23 - técnicas de integração

Técnicas de integração

Em diversas situações, as regras básicas de integração não são suficientes para resolução de algumas integrais. Por isso, técnicas mais avançadas são necessárias para achar a solução.

Por exemplo, para se calcular

_∫

x (x2

+5)100_{dx usando=se somente as regras básicas, é necessário}

expandir (x² + 5)100 _{pelo teorema binomial, multiplicar por x, e então antidiferenciar a expressão}

resultante termo a termo usando a regra geral da linearidade. Integral por substituição

O exemplo anterior pode ser mais facilmente resolvido a partir de uma observação sobre diferenciais e a regra da cadeia.

Suponha que u é uma função de v e que, por outro lado, v é uma função de x. De acordo com a regra da cadeia temos: du dx= du dv⋅ dv dx

desde que as derivadas du/dv e dv/dx existam. Dessa forma, a notação de Leibniz permite interpretar a diferenciação como uma razão entre diferenciais. Apesar dessa interpretação não ser totalmente verdadeira, essa abordagem leva a resultados válidos graças à regra da cadeia.

No exemplo anterior, podemos realizar uma mudança de variável de integração (ou substituição), da variável x para outra variável, por exemplo u. Fazendo u = x² + 5, teremos:

du dx=2 x

du=2 x dx

1

2du= x dx Fazendo a substituição na integral:

∫

x (x2+5)100dx=

_∫

(x2+5)100xdx=

_∫

u1001 2du= 1 2

∫

u 100 du 1 2 u101 101+C Substituindo u por (x² + 5):

∫

x (x2+5)100dx=(x 2 +5)101 202 +C

Em resumo, o método da substituição é a aplicação da regra da cadeia de forma “inversa”. O processo para calcular uma integral pelo método da substituição, deve-se seguir as etapas:

1- Determinar a porção do integrando f(x) de forma a simplificar a operação, e criar uma variável, por exemplo uma variável u, que seja igual a essa porção. Essa variável será também uma função da mesma variável independente, no caso u = g(x);

2- Usando a equação g(x) determinada na etapa anterior, determinar a diferencial du. A equação resultante deverá ter a forma du = g'(x)dx;

3- Usando as duas equações u = g(x) e du = g'(x)dx, reescrever todo o integrando, incluindo dx, em termos de u e du somente;

4- Calcular a integral em termos de u;

5- Usando a equação u = g(x), reescrever a resposta da etapa anterior em termos da variável original.

No caso do uso desse método para integrais definidas, é importante lembrar que os limites de integração se referem à variável independente, e por isso, devem ser igualmente substituídos pelos valores correspondentes da nova variável.

Exemplo: Calcular

∫

1 2

t2 (t3₊₂₎2dt

Calculando a integral indefinida

_∫

t

2

(t3+2)2dt , usando a mudança de variável u = t³ + 2, de modo que du = 3t²dt, ou t²dt = 1/3du. Logo:

∫

t2 (t3+2)2dt=

∫

1 3 du u2= 1 3

∫

u −2 du=1 3

(

u−1 −1

)

+C= −1 3 u+C= −1 3(t3+2)+C Então:

∫

1 2 t2 (t3+2)2dt=

|

−1 3(t3+2)

|

1 2 = −1 3(8+2)− −1 3(1+2)= 7 90

O cálculo no exemplo acima pode ser abreviado mudando os limites de integração de acordo com a troca de variáveis. Os limites de integração na integral definida acima se referem à variável t, um fato que pode ser enfatizado reescrevendo a integral na forma:

∫

1 2 t2 (t3+2)2dt=t=1

∫

t=2 t2 (t3+2)2dt

Para fazer a mudança de variável u = t³ + 2, observe que quando t = 1, u = 3 e quando t = 2, u = 10. A mudança de variáveis, então, fica:

∫

t=1 t=2 t2 (t3₊₂₎2dt=

∫

u=3 u=10 1 3 du u2 = 1 3 _u=3

∫

u=10 u−2du=

|

−1 3 u

|

3 10 1 3

(

−1 10

)

− 1 3

(

−1 3

)

= 7 90

De forma mais genérica, quando se realiza a mudança de variável, digamos de x para para u = g(x), numa integral definida na forma

∫

a b

f [g (x)] g '(x )dx , não apenas devemos mudar o integrando como foi feito para uma integral indefinida, mas também deve-se mudar os limites de integração de modo que a integral assuma a forma

∫

g (a) g (b)

Integral por partes

A técnica de integração por substituição pode ser interpretada como a regra da cadeia invertida. Da mesma forma, a integral por partes pode ser vista como a regra do produto invertida.

De acordo com a regra do produto, (f . g)' = f' . g + f . g', ou seja, f.g é a antiderivada de (f . g)' = f' . g + f . g', isto é:

∫

[f '(x )g(x )+f (x )g ' (x)]dx=f (x )g(x )+C ou

∫

f ' (x) g(x )dx +

_∫

f (x )g '(x )dx=f (x)g (x)+C

∫

f (x) g '(x )dx =f (x )g (x)−

_∫

f '(x )g( x)dx

Sabendo-se que a constante C é incluída na constante de integração correspondente a

∫

g(x )f '(x )dx .

Criando variáveis para as funções envolvidas, podemos fazer u = f(x) e v = g(x). Assim, du = f'(x)dx e dv = g'(x)dx. Logo, podemos reescrever a última equação como:

∫

u dv=uv −

_∫

v du que é conhecida como a fórmula para a integração por partes.

Exemplo: Calcule

_∫

x sen(x)dx

Fazendo u = x e dv = sen x dx:

du = dx e v =

_∫

sen(x)dx=−cos(x)+C₀ portanto:

∫

x sen(x)dx=

_∫

u dv=uv−

_∫

v du=x (−cos(x )+C₀)−

∫

(−cos(x )+C₀)dx

∫

x sen(x)dx=−x cos(x )+x C₀+

∫

cos(x )dx−

_∫

C₀dx

∫

x sen(x)dx=−x cos(x )+x C₀+sen(x)+C−C₀x

∫

x sen(x)dx=−x cos(x )+ sen(x)+C

No exemplo acima, a constante de integração C0 vinda da integração preliminar v =

∫

sen(x)dx é

cancelada. Isso sempre acontecerá no cálculo de integrais por partes. Portanto, a constante da integral v =

_∫

dv não necessita ser escrita.

O procedimento para o uso da integração por partes para calcular uma integral na forma

∫

F (x)dx pode ser resumida como:

1- Fatorar o integrando em duas partes de uma forma apropriada, digamos F(x) = F1(x)F2(x);

2- Escolha um dos dois fatores e chame-o de u. Faça então dv igual ao fator restante vezes dx. Para a função da etapa anterior, suponha que tenhamos escolhido u = F1(x) e dv = F2(x)dx;

3- Calcule du = F'1(x)dx e calcule v =

∫

F2(x )dx . Não se importe em escrever uma constante de

integração para a última integral. Agora temos:

u = F1(x) dv = F2(x)dx

du = F'1(x)dx v =

∫

F₂(x )dx

4- Calcule

∫

v du . Novamente, não se importe com a constante de integração; 5- Escreva a solução:

∫

F (x)dx=

_∫

F

_⏟

₁(x) u ⋅F

_⏟

₂(x) dv =

∫

u dv=uv−

_∫

v du+C

Note que a constante de integração é colocada na última etapa. Na etapa 2, tente selecionar u e dv tal que o produto de du por v (o qual deve ser integrado na parte 4) seja o mais simples possível. A fatoração na etapa 1 e a escolha de u e dv na etapa 2 são frequentemente problemas de tentativa e erro.

Exemplo: Calcule

_∫

ln(x)dx

Aqui, fazemos u = ln(x) e dv = (1)dx. Assim:

u = ln(x) dv = (1)dx du = (1/x) dx v =

_∫

dx=x logo:

∫

u dv=uv−

_∫

v du+C

∫

ln(x)dx=ln(x) x−

∫

x1 xdx +C

∫

ln(x)dx=x ln(x )−x +C Exemplo: Calcule

_∫

x3_cos(x2

)dx

Primeiramente fazemos uma substituição de variáveis. Fazendo t = x², temos dt = 2x dx. Logo:

∫

x3cos(x2)dx =1 2

∫

x 2 cos(x2)(2 x dx )=1 2

∫

t cos(t)dt Fazendo agora: u = t dv = cos(t)dt du = dt v =

_∫

cos(t)dt=sen (t) logo:

∫

x3cos(x2)dx =1 2

∫

t cos(t)dt= 1 2

(

uv−

∫

v du

)

1 2

∫

t cos(t)dt= 1 2

(

t sen(t)−

∫

sen(t)dt

)

= 1 2[t sen(t)+cos(t)]

∫

x3cos(x2)dx =1 2[x 2 sen(x2)+cos(x2)]+C

A fórmula

_∫

u dv=uv−

_∫

v du transforma o problema do cálculo de

_∫

u dv no cálculo de

∫

v du . Com uma escolha conveniente de u e dv, podemos frequentemente conseguir que

diretamente. Uma segunda integração por partes pode ser necessária para calcularmos

_∫

v du . De fato, várias integrações por partes pode ser necessárias.

Exemplo: Calcule

_∫

x2e2 xdx Fazendo u = x² e dv = e2x_{dx, temos du = 2x dx e v =}

_∫

_e2 x_dx=1 2e 2 x . Logo:

∫

x2e2 xdx=uv −

∫

v du=1 2x 2 e2 x−

∫

x e2 xdx

A integral à direita da equação acima necessita outra integração por partes. Fazendo u1 = x e dv1 =

e2x_{dx, temos du} 1 = dx e v1=

∫

e 2 x dx=1 2e 2 x . Agora:

∫

x e2 xdx=u1v1−

∫

v1du1= 1 2x e 2 x −

∫

1 2e 2 x dx

∫

x e2 xdx=1 2x e 2 x −1 4e 2 x +C1

Substituindo na expressão anterior:

∫

x2e2 xdx=1 2x 2 e2 x−(1 2x e 2 x −1 4e 2 x +C1)

∫

x2e2 xdx=1 2x 2 e2 x−1 2x e 2 x +1 4e 2 x +C onde C = -C1.

Em resumo integrando na forma uv', onde u é um polinômio, podem ser resolvidos por sucessivas integrações por partes, quando v =

_∫

v du simplifica os cálculos.

Considerando integrais definidas, os limites de integração devem ser respeitados com relação à variável de integração. A integral definida

_∫

a b

∫

x=a x=b u dv =

(

uv −

∫

v du

)

_x=ax=b=(uv )x=a x=b −

∫

x=a x=b v du Exemplo: Calcule

∫

1 e x2ln(x)dx

Fazendo u = ln x e dv = x² dx, temos du = dx/x e v = x³/3. Logo:

∫

1 e x2_{ln(x)dx=(uv )} 1 e −

∫

1 e v du

∫

1 e x2_ln(x)dx=

[

_{ln(x )}x3 3

]

1 e −

∫

1 e x3 3 dx x

(

x3ln (x ) 3

)

1 e −

(

x 3 9

)

1 e e3 3− e3 9 + 1 9= 2 e3+1 9