EEL105 Analise Circuitos Engenharia Modulo 2

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Universidade Federal de Itajubá

Engenharia de Controle e Automação - ECA

EEL105 - Circuitos Elétricos I

Módulo 2

Parâmetros Concentrados, Sistemas, Linearidade, Superposição, Homogeneidade e Invariância no Tempo.

Prof. Paulo César Crepaldi

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Equações de Maxwell

As equações de Maxwell são a base para as relações que envolvem a interação entre campos eletromagnéticos;

A partir destas equações, com simplificações apropriadas, podemos deduzir equações básicas relacionadas aos circuitos elétricos.

O operador “nabla” é uma

entidade matemática e não tem significado físico ou geométrico. O significado só ocorre quando ele é aplicado

a uma função.

E

σ

J

;

E

ε

D

;

H

μ

B

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Gauss

de

Lei

0 D

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Gauss

de

Lei

0 B

(2)

Ampere

de

Lei

t

D

J

H

x

(1)

Faraday

de

Lei

t

B

E

x





























k

x

j

x

i

x















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Equações de Maxwell

O vetor H representa a intensidade do campo magnético [A/m]; O vetor B representa a indução magnética (densidade do fluxo

magnético) [weber/m2= Tesla] [T];

O vetor E representa a intensidade do campo elétrico [V/m]; O vetor D representa o deslocamento elétrico (densidade do fluxo

elétrico) [C/m2_]. Interpretação:

Uma indução magnética variável no tempo produz a variação de um campo elétrico;

A densidade de corrente elétrica (vetor J [A/m2]) e/ou a variação da densidade de fluxo elétrico (∂D/∂t) dão origem a um campo magnético;

As linhas da indução magnética são fechadas; As linhas do deslocamento elétrico são abertas.

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4

Produtos Vetoriais: Divergente e Rotacional

j



k



i











                                                                                        X X X Z Y X Z Y X Z Y X Z Y X 3 2 1 F F F z y x k j i F k F j F i F k z j y i x F F rot F k z F j y F i x F F k F j F i F k z j y i x F F div F k F j F i F (x,y,z) F k (x,y,z) f j (x,y,z) f i (x,y,z) f (x,y,z) F                                  

Divergente (Produto Escalar)

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Parâmetros Concentrados e Distribuídos

Um circuito elétrico será considerado de parâmetros concentrados se as suas dimensões físicas são pequenas o suficiente para se considerar que as ondas eletromagnéticas propaguem-se instantaneamente através dele. Considere, por exemplo, um amplificador de áudio que tenha uma resposta em frequência entre 10Hz e 20KHz. O menor comprimento de

onda associado a este amplificador será:

Portanto, se d << λ considera-se o circuito elétrico (ou sistema) com parâmetros concentrados. Sob o ponto de vista da teoria

eletromagnética, um circuito com parâmetros concentrados reduz-se a um ponto (está baseado na aproximação de que ondas eletromagnéticas propagam-se instantaneamente). Por esta razão, na teoria de parâmetros

concentrados, a localização particular dos dispositivos ou elementos dentro do circuito físico não afeta o comportamento do mesmo.

[Km] 15 [m] 15000 ] [s 20.10 [m/s] 3.10 f c λ 1 3 8     

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6

Em circuitos com parâmetros distribuídos, as variáveis de corrente e tensão dependem não apenas do tempo, mas também de variáveis espaciais como comprimento e espessura. Neste caso, precisamos utilizar a teoria eletromagnética para realizar previsões a respeito do seu

comportamento (tanto para sua análise quanto para o seu projeto). Observar, nos primeiros slides deste módulo, a complexidade que pode

assumir o uso das equações que regem o comportamento eletromagnético de um determinado circuito se levarmos em

consideração as suas coordenadas espaciais.

São exemplos de sistemas distribuídos as antenas e as linhas de transmissão.

Para a disciplina EEL105 serão considerados, a princípio, circuitos e/ou sistemas de parâmetros concentrados.

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Para exemplificar um pouco mais a questão da restrição quanto às dimensões, consideremos os seguintes casos:

Para um circuito de áudio (som), a freqüência mais alta é da ordem de 20[kHz], e o correspondente comprimento de onda é 15.000[m], que é muito

maior que o tamanho de um circuito de laboratório;

Para um circuito de computação, a freqüência pode ser de 500[MHz], e neste caso λ=60[cm] e, consequentemente, a aproximação de circuito concentrado

pode não ser aceitável;

Para um circuito de micro-ondas, onde λ varia na ordem de 1[mm] a 10[cm], as leis de Kirchhoff não se aplicam pois eles são operados em freqüências

cujos comprimentos de onda são da mesma ordem de grandeza de suas dimensões.

Em um sistema de potência, entretanto, onde se opera normalmente, em regime permanente, com a freqüência nominal de 60[Hz], o comprimento de onda é 5.000[km]. É por isso que os engenheiros eletrotécnicos utilizam as leis

de Kirchhoff sem nem se lembrarem das restrições mencionadas, a menos que estejam envolvidas linhas de transmissão com muitas centenas de

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8

Sistemas

Chamamos de sistema o conjunto de elementos de circuito

(componentes) interligados estando, este conjunto, sujeito a uma

entrada (excitação) e produzindo uma saída (resposta).

Normalmente, as entradas e saídas de um sistema variam em função do tempo. Utilizam-se, então, as notações do tipo i(t), v(t), p(t), etc. Um sistema pode ser observado experimentalmente (EEL115) ou

analisado por métodos analíticos (EEL105) para compreender a sua operação e, se necessário, encontrar meios para o seu

aperfeiçoamento.

Um sistema é dito linear se obedecer as seguintes regras:

Se a entrada é multiplicada por uma constante, a saída também ficará multiplicada pela mesma constante;

Se duas entradas forem aplicadas simultaneamente, a resposta total será a soma das respostas individuais que seriam obtidas se cada uma

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Sistemas

O item 2 do slide anterior permite a utilização de um método de análise denominado de Superposição dos Efeitos ou simplesmente

Superposição. Matematicamente:

Na prática, os sistemas reais são em sua maioria não lineares. No entanto, é possível fazer aproximações linearizando por partes o comportamento do

sistema ou atuando em regiões em que a não linearidade pode ser

desprezada (neste caso, normalmente, as excursões dos sinais envolvidos são de pequena amplitude o que se traduz em operação a pequenos sinais

ou incremental.

A multiplicação por uma constante na entrada que se reflete na multiplicação da saída pela mesma constante é uma propriedade

denominada Homogeneidade.

(t)

y

c

(t)

y

c

(t)

x

c

(t)

x

c

x(t)



₁ ₁



₂ ₂



₁ ₁



₂ ₂

Sistema

x(t)

y(t)

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ID VD + VD -ID 10 Sistemas

Exemplo de um componente não linear (bipolo elétrico: diodo semicondutor) em que se aplicam os conceitos de linearização por

partes e comportamento incremental:

Curva característica de um diodo 1N4148 (baixa potência) na condição de polarização direta

A aproximação em vermelho é uma linearização por partes e as variações (Δ)

indicam uma operação em regime incremental.

ID

VD

ΔI ΔV

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Sistemas

Podemos, ainda, classificar o sistema quanto à sua variação com relação ao tempo. Podem ser, então, sistemas invariantes no tempo e

variantes no tempo.

O sistema invariante no tempo é aquele em que ao aplicarmos um retardo na entrada (por exemplo t_o[s]) obteremos uma saída também

com um retardo de t_o[s], no entanto, apresentando as mesmas características quanto as suas formas, amplitudes, etc.

) t y(t ) t x(t y(t) x(t)    _O   _O

Em EEL105 estaremos, salvo menção contrária, lidando com:

sistemas lineares de parâmetros concentrados e invariantes no tempo

Em linguagem matemática nós podemos definir um sistema linear como sendo aquele cujo comportamento é governado (descrito) por equações lineares, quer sejam equações algébricas ou equações diferenciais lineares. Por conseguinte, um

sistema não linear será sempre descrito por equações não lineares, bem mais difíceis de resolver.

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Exercícios

1. Um diferenciador é um dispositivo caracterizado pela relação y = dx/dt. Será tal dispositivo linear?

2. Determine se os sistemas seguintes são lineares ou não. a) Um sistema descrito por y = x2;

b) Um sistema caracterizado por y = t(dx/dt); c) Um sistema descrito por y = x(dx/dt).

3. São os três sistemas descritos pelas equações seguintes lineares e invariantes no tempo?

a) y(t) = dx(t)/dt + 2x(t); b) dy(t)/dt = 3x(t);

c) y(t)[dy(t)/dt] = x(t).

4. O diodo semicondutor é um bipolo elétrico que pode ser modelado através da seguinte relação tensão-corrente:

U_t é denominada tensão equivalente de temperatura. k é a constante de Boltzman, q a carga do elétron e T a temperatura absoluta (graus Kelvin). I_S é denominada de corrente de saturação reversa (constante para uma dada temperatura). É, portanto, o diodo um elemento de circuito linear? Justifique.

q kT U ; 1 e I (t) i U _t (t) v S D t D            12