Publicações do PESC Penalização Hiperbólica: Um Novo Método para Resolução de Problemas de Otimização

PENALIZAÇAO RIPERB~LICA:

UM

NOVO MZTODO

--

--

- --

--PARA RESOLUGXO DE PROBLEMAS

-

DE OTIMIZAÇÃO

Adilson Elias Xavier

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÁO DOS PROGRAVAS DE

PÕS-GRADUAÇÁO DE ENGENHARIA

DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO

RIO

DE

JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS.

NECESSARIOS

PARA

A OBTENÇAO

DO

GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS [M.Sc.)

.

Aprovada por:

240

~ i d f r d o

L

Rodrigues Hermes de Araújo

fl&,Ja

L & f d L - -

Antonio Alberto lernandes de Oliveira

i

,d&,,ej 7&4

Luiz Fernando ~oureirb

tegey

\

DE JANEIRO, RJ -.BRASIL

XAVIER, ADILSON. ELIAS

P e n a l i z a ç ã o H i p e r b ó l i c a : Um Novo Método p a r a Resolução de Probleinas de Otimização (Rio de J a n e i r o ) 1977.

X

,

90 p . 29,7 cm (COPPE-UFRJ), M.Sc. Engenharia de S i s t e -

I

mas e computação.

Tese

-

Univ. Fed. do Rio de J a n e i r o . Fac. Engenharia 1. Otiinizaçáo, ~ é t o d o s das p e n a l i d a d e s

. I . COPPE/UFRJ

i i i

A meus p a i s .

.i O a l g o r i t m o a p r e s e n t a . d o n e s t e t r a b a l h o p e r t e n c e a

f a m r l i a d o s m6todos d'as p e n a l i d a d e s e combina c a r a c t e r i s t i c a s t a n - t o d o s métodos d a s p e n a l i d a d e s . . e x t e r í o r e s 'como d o s m é t o d o s d a s

p e n a l i d a d e s i n t e r i o r e s . Tem como r e s o l v e r o p r o b l e m a g e r a l d e programação n ã o - l i n e a r s u j e i t o a r e s t r i ç õ e s de d e s i g u a l

-

d a d e . O método t r a n s f o r m a a s o l u ç ã o d e s t e problema n a s o l i i c ã o d e uma s e q u ê n c i a d e p r o b l e m a s de minimTzação sem r e s t r i s õ e s , c u j o s v a l o r e s convergem p a r a o Ótimo do p r o b l e m a o r i g i n a l , d e s d e que C c e r t a s c o n d i ç õ e s s e j a m a t e n d i d a s . A . q u e s t ã o d a i n v i a b i l i d a d e e t e s t a d a a t r a v é s d a s o l u ç ã o de um problema a u x i l i a r . E s p e c i f j c a d a uma t o l e r â n c . i a , é p o s s f v e l a o b t e n c ã o de uma s o l u ç ã o a p r o x i m a d a em uma Única i t e r a ç ã o . Ao f i n a l de c a d a i t e r a ç ã o s e obtem uma c o t a i n f e r i o r e uma s u p e r i o r que l i m i t a m o v a l o r d a s s o l u ç õ e s d o : p r o b l e m a . P a r a o c a s o convexo, o método g e r a p o n t o s d u a i s v i a - v e i s e a c o r r e s p o n d e n t e s e q u ê n c i a de v a l o r e s ' o b t i d o s p a r a a f u n - ção d u a l c o n v e r g e p a r 2 o v a l o r Ótimo do p r i m a l . São a p r e s e n t a d o s o s r e s u l t a d o s c o m p u t a c i o n a i s p a r a d o i s pequenos p r o b l e m a s . O

mé-

t o d o p r o p o s t o p o s s u i a i m p o r t a n t e c a r a c t e r í s t i c a d e s e r c o g p l e t a - mente c o n t h u o

.

The a l g o r i t h m p r e s e n t e d i n t h i s work b e l o n g s t o t h e f a m i l y of p e n a l t y methods a n d combines f e a t . u r e s o f b o t l i o u t e r and i n n e r p e n a . l t y m e t h o d s . I t p u r p o r t s t o s o l v e t h e g e n e r a l non- 1in;ar programming p r o b l e m s u b j e c t t o u n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s . . ~ h e method t r a n s f o r m s t h e s o l u t . i o n of t h i s p r o b l e m i n t o t h e s o l u t i o n o f a s e q u e n c e of u n c o n s t r a i n e d m i n i m i z a t i o n p r o b l e m s , whose v a - l u e s c o n v e r g e t o t h e op-timum o f t h e o r i g i n a l p r o b l e m , p r o v i d e d t h a t c e r t a i n c o n d i t i o n s a r e f u l f i l l e d . The i s s u e o f i n f e a s i b i l i - t y i s t e s t e d t h r o u g h t h e s o l u t i o n o f a n a u x i l i a r y probl-em. 3 n c e a t o l e r a n c e i s s p e c i f i e d , i t i s p o s s i b l e t o o b t a i n a n a p p r o x i m a - t e s o l u t i o n i n one s i n g l e i t e r a t i o n . . A t t l i e end of e a c h i t e r a - t i o n b r a c k e t s a r e o b t a i n e d which a r e bounds t o t h e v a l u e o f t i i e s 8 l u t i o n , b o t h l o w e r and u p p e r . F o r t h e convex c a s e , t l i e metliod g e n e r a t e s d u a l f e a s i b l e p o i n t s and t h e c o r r e s p o n d e n t s e q u e n c e o f v a l u e s o b t a i n e d f o r t h e d u a l f u n c t i o n c o n v e r g e s t o t h e o p t i m ~ m v a l u e o f t h e p r i m a 1 p r o b l e m . C o m p u t a t i o n a l r e s u l t s a r e p r e ç e n t e d f o r two s m a l l p r o b l e m s . The p r o p o s e d method h a s t h e i m p o r t a n t f e a t u r e of b e i n g c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s .

AGRADECIMENTOS " C E x t e r n o meus a g r a d e c i m e n t o s , a s s e g u i n t e s p e s s o a s , que d e c i d i d a m e n t e c o n t r i b u i r a m p a r a a r e a l i z a ç ã o d e s t e t r a b a l h o . Ao P r o f e s s o r J o ã o L i z a r d o R o d r i g u e s Hermes,de AraÚ- j o , p e l a s u a o r i e n t a ç ã o p r e c i s a e c r i t e r i o s a .

Ao amigo Raul A n t ô n i o M e d e i r o s Aranha Mourão V i e i - r a , p e l o a p o i o e p e l a f o r m u l a ç ã o d e c r í t i c a s e s u g e s t õ e s que p e r - m i t i r a m o a i 2 e r f e i ç o a m e n t o do t r a b a l k o .

A

c o l e g a L u c i l a Haas Macedo d e O l i v e i r a , q u e , du- r a n t e um bom p e r i o d o , s u s t e n t o u t o d a a s o b r e c a r g a de s e r v i ç o s d e c o r r e n t e do d e c r é s c i m o d a minha d e d i c a ç ã o . A D a i s y Lima P i e r u c c i . p e l a e f i c i g n c i a e r a p i d . e z n a d a t i l o g r a f i a d a s m i n u t a s e dos o r i g i n a i s . A F r a n c i s c o de A s s i s Lopes p e l o c u i d a d o e p a c i ê n - c i a n a c o n f e c ç ã o d o s d e s e n h o s . E , f i n a l m e n t e ,

2

minha e s p o s a S o l a n g e q u e , além d a d e d i c a ç ã o e e n c o r a j a m e n t o , t.eve que s e d e s d o b r a r , a i n d a m a i s , c o

-

mo mZe e companheira.

-

~ ç E u c l i d i a n o n d i m e n s i o n a l ~ ~ ~ o n

-

Dimensão do e s p a ç o E u c l i d i a n o n

x

V a r i á v e l no e s p a ç o R f ( x )

-

Função o b j e t i v o ' F ( x , a , d)

-

Função ob j e t i v o m o d i f i c a d a

-

l ' e t o r r e s t r i ç õ e s d e d e s i g u a l d a d e

-

E - e s t r i ç ã o de d e s i g u a l d a d e e s p e c í f i c a e

-

i n d i c e e s p e c i . f i c . a n d o r e s t r i ç Z . 9 d e d e s i g u a l d a d e

-

~ Ú m e r o de r e s t r i ç õ e s .de d e s i g u a l d a d e

-

V e t o r r e s t r i ç õ e s d e i g u a l d a d e

-

R e s t r i ç ã o de i g u a l d a d e e s p e c í f i c a

-

f n d i c e e s p e c i f i c a n d o r e s t r i c ã o de i g u a l d a d e

-

~ Ú m e r o de r e s t r i ç õ e s de i g u a l d a d e

-

b d i c e p a r a r e s t r i ç ã o s a t i s f a z e n d o c o n d i ç ã o e s p e c í f i - P(x, a , d )

-

Função p e n a l i d a d e a

-

~ a r â m e t r o da f u n ç ã o p e n a l i d a d e ( â n g u l o )

v i i i d

-

P a r â m e t r o d a f u n ç ã o p e n a l i d a d e ( d i s t â n c i a )

x*

-

P o n t o ó t i m o do problema de p r o g r a m a ç ã o m*

-

Número de r e s t r i ç õ e s de d e s i g u a l d a d e a t i v a s no p o n t o , X * z

-

P o n t o v i á v e l v

-

P m t o n a f r o n t e i r a da. r e g i ã o v i á v e l S

-

Região v i ã v e l A

-

C o n j u n t o de r e s t r i c õ e s v i o l a d a s V

-

G r a d i e n t e H

-

M a t r i z h e s s i a n a u

-

M u l t i p l i c a d o r de Lagrange E

-

Q u a n t i d a d e a r b i t r a r i a m e n t e pequena

-

E s c a l a r

-

I t e r a ç ã o

X k

-

P o n t o ó t i m o d a f u n ç ã o o b j e t i v o m o d i f i c a d a n a i t e r a ç ã o k b

-

S e m i - e i x o m a i o r de h i p g ~ b o l e a

-

Sem?-eixo menor de h i p é r b o . l e P

#

-

R e f e r ê n c i a a p r o p r i e d a d e d a f u n ç ã o p e n a l i d a d e ( # r e - p r e s e n t a o número de p r o p r i e d a d e )

c

#

-

R e f e r ê n c i a a c o n d i ç ã o e x i g i d a . d o p r o b l e m a

( #

r e p r e - s e n t a o número d a c o n d i ç ã o )

P á g

.

...

CAPÍTULO I

-

INTRODUÇAO E R E V I S A 0 B I B L I O G R ~ ~ F I C A

-

...

C A P I T U L O 111

-

DESENVOLVIMENTO T E O R I C O

-

...

C A P I T U L O V

-

CONCLUSOES

...

B I B L I O G R A F I A ANEXO 1.

...

--

Consideremos o problema g e r a l de programação n ã o

1 i n e a r

min f ( x )

S . a - E#)

L

O 9 i = 1 ,

...

,

m

Grande p a r t e d o s métodos que obtem com ê x i t o a

s o l u ç ã o d e s t e problema p e r t e n c e

5

f a m í l i a d o s métodos d a s p e n a - l i d a d e s . G r a ç a s

>

p r o p r i e d a d e de s u a r e l a t i v a ' c o n f i a b i l i d a d e , a c r e s c i d a da g r a n d e f a c i l i d a d e de sua p r o g r a m a ç ã o , e s t e s méto- dos s ã o c o n s i d e r a d o s uma d a s m e l h o r e s f e r r a m e n t a s p a r a a s o l u - ç ã o de p r o b l e m a s de m i n i m i z a ç ã o com r e s t r i ç õ e s . A c a r a c t e r í s t i c a comum a o s métodos d a s p e n a l i d a - d e s

é

a t r a n s f o r m a ç ã o do problema de m i n i m i z a ç ã o com r e s t r i ~ õ e s no problema sem r e s t r i ç õ e s min F ( x ) = f ( x ) + P ( x )

A i d é i a i n t u i t i v a a t r á s de t o d o s os métodos d a s p e n a l i d a d e s é que a f u n ç ã o p e n a l i d a d e p o s s u a o p o d e r de aumen- t a r f o r t e m e n t e o s v a l o r e s f o r a d a r e g i ã o v i á v e l e s i m u l t a n e a m e n - t e t e n h a a s u a i n f l u ê n c i a d e s p r e z í v e l ou mesmo n u l a d e n t r o d e s t a r e g i ã o , de modo t a l que o p o n t o ó t i m o do p r o b l e m a m o d i f i c a d o ( 2 ) e s t e j a a c e i t a v e l m e n t e próximo do p o n t o Otimo do p r o b l e m a . o r i - g i n a l . A g r a n d e m a i o r i a dos m é t o d o s d a s p e n a l i d a d e s obtém o p o n t o Ótimo a t r a v é s da s o l u ç ã o de :ima s e q u ê n c i a de p r o b l e m a s de m i n i m i z a c ã o o b t i d a p e l a v a r i a ç ã o c o n t r o l a d a de um p a r â m e t r o ' e x t e r n o , que f a z com que s e aumente g r a d a t i v a m e n t e o g r a u em que o p r o b l e m a sem r e s t r i ç õ e s s e a p r o x i m a do o r i g i n a l . A t e n d i d a s c e r - t a s h i p ó t e s e s , a c o r r e s p o n d e n t e s e q u ê n c i a 'de p o n t o s de mínimo con - v e r g e p a r a um p o n t o v i á v e l do p r o b l e m a com r e s t r i ç õ e s que s a t i r - f a z s s cortdiçõcs dz o t i ~ c ~ l i d z d c . E s t e s m é t o d o s , amplamente u t i l i z a d o s n a p r á t i c a , s ã o c l a s s i f i c a d o s , c o n s i d e r a n d o - s e e s s e n c i a l m e n t e a s m a n e i r a s em que a s f u n ç õ e s p e n a l i d a d e s s ã o c o n s t r u í d a s , em d o i s g r a n d e s e d i s t i n t o s g r u p o s b á s i c o s : d a s p e n a l i d a d e s e x t e r i o r e s e d a s p e n a - l i d a d e s i n t e r i o r e s . Um h i s t ó r i c o c o m p l e t o d a e v o l u ç ã o d e s t e s métodos é

d a d a p o r Fiacco/Mc Cormich

I I

.

Conforme c i t a d o n e s t a r e f e r ê n - c i a , bem como em A v r i e l 1 ' 1 , P o l a k 1 1 4 1 e L u e n b e r g e r 1 1 3 1 , O

t r a b a l h o p i o n e i r o n o s métodos d a s p e n a l i d a d e s e x t e r i o r e s f o i . p r o - p o s t o p o r Courant em 1 9 4 3 , 'enquanto no c a s o d a s p e n a l i d a d e s i n t e

r i o r e s o s p r i m e , i r o s t r a b a l h o s s ã o d e v i d o s a F r i s h em 1955 e C a r r o 1 em 1 9 5 9 . E n t r e o s t r a b a l h o s p o s t e r i o r e s n o s a t i v e m o s b a - s i c a m e n t e a o s d e s e n v o l v i d o s p o r t r ê s a u t o r e s : Fiacco/Mc Cormich

1 "

' " . I , Z a n g w i l i 1 1 5 1 e ~ o o s t m a

1 ' '

9 3 ' O 3 l 2

1

embora

c o n s t i t u e m um pequeno s u b c o n j u n t o do que tem s i d o p u b l i c a d o , e s - t e s t r a b a l h o s s ã o de g r a n d e i m p o r t â n c i a , j á que s ã o q u a s e s e m p r e c i t a d o s em a r t i g o s s o b r e p e n a l i z a ç ã o . Nos métodos d a s p e n a l i d a d e s e x t e r i o r e s a s f u n g õ e s p e n a l i d a d e s P ( n ) p r e s c r e v e m

um

a l t o c u s t o p a r a v i o l a ç õ e s a r e s - t r i ç õ e s . A medida o -parâm;tro e x t e x n o a u m e n t a , a s e v e r i d a d e d e s t e e f e i t o aumenta. C o n s e q u e n t e r n e ~ ~ t e s e t o r n a p r o g r e s s i v a m e f i t e mais e m a i s p r o i b i t i v o s e a f a s t a r da' r e g i ã o v i á v e l . A f i g u r a 1 d á uma i d é i a v i s u a l d e s t e mecanismo p a r a o c a s o u n i d i m e n s i o n a l . S: c o n j u n t o v i á v e l PENALIZAÇÃO E X T E R I O R ~ i g u r a 1

N e s t e s m e t o d o s , a p r i m e i r a s o l u ç ã o v i á v e l é també'm ó t i m a p a r a o p r o b l e m a de programação ( 1 )

.

Como q u a s e nenhum p r o - blema s u r g i d o n a p r á t i c a tem s e u mínimo no i n t e r i o r d a r e g i ã o v i á v e l , em g e r a l a s e q u ê n c i a de p o n t o s de mikimo sem r e s t r i ç õ e s

vá5 g r a d a t i v a m e n t e s e aproximando d a f r o n t e i r a d a r e g i ã o v i á v e l

a t é a t i n g i - l a . A s s i m o s métodos das. p e n a l i d a d e s e x t e r i o r e s tem a

m a r c a n t e c a r a c t e r í s t i c a de s e u s p o n t o s s e g u i r e m uma t r a j e t ó r i a de f o r a p a r a d e n t r o - d a r e g i ã o v i á v e l . Nos métodos d a s p e n a l i d a d e s i n t e r i o r e s t o d o o , ~ r o - c e s s o s e d e s e n v o l v e t r a b a l h a n d o - s e exclusivamente com p o n t o s v i á v e i s . A s f u n ç õ e s p e n a l i d a d e s .tem a c a r a c t e r í s t i c a de f a v u r e - c e r p o n t o s i n t e r i o r e s 5 r e g i ã o v i á v e l em r e l a . ç ã o à q u e l e s da f r o n - t e e i r a , p o s s u i n d o a s s i m um p o d e r de r e p u l s ã o â f r o n t e i r a . P o r c a u s a d e s t a ú l t i m a p r o p r i e d a d e e s t e s métodos s ã o também c o n h e c i - dos como método. d a s b a r r e i r a s , d e s d e qu.e, e x i s t e um a l . t o d e s e s t : - mula ã p r o x i m i d a d e d a f r o n t e i r a .

A

medida que o p a r â m e t r o e x t e r - no a u m e n t a , g r a d a t i v a m e n t e . d i m i n u i o c u s t o de. p r o x i m i d a d e à f r o n - t e i r a . A f i g u r a 2 i l u s t r a o f u n c i o n a m e n t o do método.

I

S : C o n j u n t o v i á v e l PENALIZAÇÃO

-

INTERIOR Figura 2

Na s e q u ê n c i a d.os prob1ema.s sem r e s t r i ç õ e s ( 2 ) , e i -

g e r a l , a c a d a i t e r a ç ã o o p o n t o de mínimo v a i g r a d a t i v a m e n t e s e aproximando d a f r o n t e i r a da r e g i ã o v i á v e l a t e ' , no l i m i t e , a t i r i - g i - l a . Assim e s t e s métodos tem a m a r c a n t e c a r a c t e r í s t i c a : d e

~ e u s ' ~ o n t o s de mínimo s e g u i r e m uma t r a j e t o r i a de d e n t r o p a r a f o - ra d a r e g i ã o v i á v e l , sem s a i r e m d e l a . Podemos a i n d a c o n s i d e r a r o g r u p o s d o s métodos d a s p e n a l i d a d e s m i s t a s , o b b i d o p e l a combinação s i m u l t â n e a d a s d u a s t é c n i c a s acimu a p r e s e n t a d a s . N e s t e s m é t o d o s , o c o n j u n t o d a s r e s t r i ç õ e s é p a r t i c i o n a d o em d u a s p a r t e s , s e n d o , e n t ã o , uma t r a t a d a p o r f u n ç õ e s p e n a l i d a d e s e x t e r i o r e s e a o u t r a p o r p e n a l i d a d e s i n - t e r i o r e s .

Um o u t r o grupo de métodos é o d o s métodos d a s p e - n a l i d a d e s l i v r e s de p a r á m e t r o s . E s t e s , d a mesma Iornia que u s

a n t e r i o r e s , obtem o mznimo a t r a v é s d a s o l u ç ã o d e uma s e q u ê n c i a de p r o b l e m a s de m i n i m i z a ç ã o sem r e s t r i ç õ e s mas com a c a r a c t e r í s - t ' i c a s de que o s . p a r â m e t r o ' s s ã o - a u t o m a t i c a m e n t e d e t e r m i n a d o s no d e s e n r o l a r do p r o c e s s o . 1 1 Como m o s t r a d o p o r Lootsma

1

9 , 1 , t a n t o o s m é t o - dos d a s p e n a l i d a d e s i n t e r i o r e s como o s d a s p e n a l i d a d e s e x t e r i o - r e s podem s e r m o d i f i c h d o s de m a n e i r a a s e r t r a n s f o r m a r e m em mé- t o d o s l i v r e s de p a r â m e t r o s . Assim, p o r exemplo, o m u i t o c o n h e c i - do metodo d o s c e n t r o s de Huard

e

e q u i v a l e n t e ?iprogramação l o g a - r í t m i c a Cpen'alidade i n t e r i o r ) p r o p o s t a p o r F r i s h e p o s t e r i o r m e r i - t e d e s e n v o l v i d a por Lootsma

1 ' 1 .

E n t r e t a n t o , n ã o a p r e s e n t a m

q u a l q u e r vantagem s o b r e o s métodos a n t e r i o r m e n t e a p r e s e n t a d o s p o i s a s u a t a x a de c o n v . e r g ê n c i a

é

m u i t o b a i x a

1"

1 .

Em t o d o s o s metodos a t é a q u i r e f e r i d o s , a s o l u ç ã o do problema f o i o b t i d a a t r a v é s de uma s e q u ê n c i a d.e p r o b l e m a s . d e m i n i m i z a ç ã o sem r e s t r i ç õ e s . E x i s t e um o u t r o grupo d e métodos

. .

que tem a p r o p r i e d a d e d e o b t e r e s t a s o l u ç ã o a t r a v é s de uma ú n i - c a m i n i m i z a ç a o .

são

o s chamados métodos d a ~ . ~ e n a l i d a d e s e x a t a s .

Um dos p r i m e i r o s d e s t e s métodos é d e v i d o a Z a n g w i l l

1

'

1

, usando uma f u n ç ã o p e n a l i d a d e e x t e r i o r l i n e a r . Pos - t e r i o r m e n t e Evans, Gould e T o l l e (conforme e x p o s t o em A v r i e l

I 1 )

d e s e n v o l v e r a m uma t e o r i a g e r a l c o m p l e t a s o b r e p e n a l i z a q ã o e y a t a p a r a uma ampla c l a s s e de f u n ç õ e s p e n a l i d a d e s d i f e r e n c i á - v e i s p o r p a r t e s . . E n t r e a s f u n c õ e s e s p e c i f i c a m e n t e e s t u d a d a s d e s - t a c a - s e uma f u n ç ã o p e n a l i d a d e e x t e r i o r e x p o n e n c i a l .

A a p a r e n t e vantagem d e s t e s métodos d e s a p a r e c e quan - do c o n s i d e r a m o s que a f u n ç ã o p e n a l i d a d e n ã o é d i f e r e n c i á v e l no p o n t o d e Ótimo. Consequentemente a s t é c n i c a s mais e f i c i e n t e s d e m i n i m i z a ç ã o não podem s e r u t i l i z a d a s e a u t i l i d a d e d e s t e s m é t o - d o s é , no m h i m o , d u v i d o s a .

I n i c i a l m e n t e , c o n s i d e r a n d o p r o b l e m a s s ó com r e s - t r i ç õ e s de i g u a l d a d e , F l e t c h e r (conforme e x p o s t o em A v r i e l

1

'

1

_{) ,} d e s e n v o l v e u um e l e g a n t e método p a r a t r a n s f o r m á - l o s n a m i n i m i z n - ção de f u n ç õ e s - p e n a l i d a d e s e x a t a s d i f e r e n c i á v e i s , em que a Úni- - c a d i f i - c u l d a d e , embora não s i m p l e s , s e resume n a d e t e r m i n a ç ã o

P o s t e r i o r m e n t e , e s t e m g t o d o f o i e x t e n d . i d o p a r a p r o b l e m a s com r e s t r i ç õ e s d e d e s i g u a l d a d e . E n t r e t a n t o , a s d i f i - c u l d a d e s c o m p u t a c i o n a i s s ã o a g o r a bem m a i o r e s j á q u e p a r a c a d a a . v a l i a ç ã o d a f u n ç ã o é n e c e s s á r i o a , s o l u ç ã o d e uni p r o b l e m a q u a - . . d r á t i c o a u x i l i a r

.

F i n a l m e n t e f a l t a a r e f e r ê n c i a a o 5 m é t o d o s l a g r a n - A g e a n o s . N e s t e g r u p o d e m é t o d o s , a s o l u ç ã o do p r o b l e m a tambér.1 e o b t i d a v i a s o l u ç ã o d e uma s e q u ê n c i a d e m i n i m i z a ç ã o sem r e s t r i - L ç õ e s . A f u n ç ã o m i n i m i z a d a é i g u a l 2 soma do l a g r a n g i a n o m a i s um t e r m o q u e t e m a f i n a l i d a d e d e g a r a n t i r q u e a f u n ç ã o t e n h a um mznimo e n ã o um p o n t o e s t a c i o n á r i o q u a l q u e r . O s . m u l t i p l . i c a d o r e s d e L a g r a n g e , a p r i o r i d e s c o n h e c i d o s , s ã o a t u a l i z a d o s a p ó s c a d a m i n i m i z a ç ã o . O s m é t o d o s d e m u l t i p l i c a d o r e s d e H e s t e n e s , d e P o w e l l e de Rockafellar ( d e s c r i t o s em A v r i e l

1 ' 1 )

p e r t e n c e m a e s t . e g r u p o . O método q u e a q u i d e s e n v o l v e r e m o s , a r i g o r , n ã o p o d e s e r c l a s s i f i c a d o em q u a l q u e r d o s g r u p o s a n t e r i o r m e n t e r e f e - r i d o s . E n t r e t a n t o t e m características'bastapte comuns com r* o s d a s p e n a l i d a d e s e x t e r i o r e s , já q u e t r a t a p o n t o f o r a d a r e g i a o v i á v e l com uma a ç ã o i d ê n t i c a a e s t e s m é t o d o s . Da mesma m a n e i r a , tem a l g u m a s e m e l h a n ç a a o s m é t o d o s d a s p e n a l i d a d e s i n t e r i o r e s j á q u e a f u n ç ã o p e n a l i d a d e u s a d a p o s s u i um e f e i t o d e r e p u l s ã o a f r o n t e i r a , embora n ã o s e n d o p r o p r i a m e ~ h e uma b a r r e i r a . De o u t r o l a d o , e s t a b e l e c i d a uma t o l . e r â n c i a ,

é

p o s s ~ v e l o b t e r unia b o a , a p r o x i m a ç ã o p a r a o mínimo em uma Ú n i c a i t e r a ç ã o . E s t a p r o p r i e d a - de de c e r t a f o r m a o a p r o x i m a d o s m é t o d o s d a s p e n a l i d a d e s e x a t a s .

O p r o b l e m a

6

r e s o l v i d o a t r a v g s d a s o l u ç ã o de uma ç e q u ê n c i a de m i n i m i z a ç õ e s sem r e s t . r i j õ e s . A o c o n t r á r i o dos _ou- t r o s m é t o d o s , que t ê m um Único p a r â n i e t r o , a s e q u ê n c i a de minimi- z a ç õ e s é o b t i d a p e l a v a r i a ç ã o de d o i s p a r â m e t r o s , a s a b e r : um ângulo a e uma d . i s t â n c i a d . É n a t u r a l s e s u p o r , que a e x i s t ê n c i a d e d o i s p a r â m e t r o s , além de c o m p l i c a r f o r t e h e n t e a o p e r a c i o n a l i - z a ç ã o do m e t o d o , d e v e r i a co.mprometer o s e u desempenho. E n t r e t a n - t o , como s e r á v i s t o , e s t a c o e x i s t ê n c i a n ã o

t r á z

m a i o r e s p r o b l e - mas, uma vez q u e , o s p a r â m e t r o s s ã o m a n i p u l a d o s s e p a r a d a m e n t e em duas d i f e r e n t e s f a s e s do a l g o r i t m o .

O. método t r a b a l h a com ma f u n ç ã o p e n a l i d a d e q u e a p r e s e n t a a d e s t a c á v e l c a r a c t e r í s t i c a de s e r completamente d i f e - r e n c i ã v e l . O u t r a c a r a c t e r í s t i c a i m p o r t a n t e , , é que q u a l q u e r pon- t o pode s e r tomado como p o n t o i n i c i a l , a s s i m como, não s e f a z n e - cessCÍ,rio qualo'iier c o n t r o l e s o b r e a l o c a l i z a c ã o dos non t o s i n t e r - m e d i á r i o s d e n t r o de c a d a minimiza.ção sem r e s t r i ç õ e s . O método a p r e s e n t a a vantagem de o b t e r ao f i n a l de c a d a i t e r a ç ã o n a s e g u n - da f a s e do a l g o r i t m o d u a s . c o t a s que l i m i t a m o v a l o r d a s o l u ç ã o f i n a l do p r o b l e m a e q u e , p o r i s s o , s e c o n s t i t u e m num e x c e l e n t e 4 c r i t é r i o . p a r a p a r a d a do p r o c e s s o de m i n i m i z a ç õ e s . A l é m d i s s o , e P

p o s s í v e l o b t e r uma s o l u ç ã o a p r o x i m a d a , mas com uma p r é - e s t a b e l e - c i d a p r e c i s ã o , em uma Ú n i c a i t e r a ç ã o no p a r â m e t r o d. F i n a l m e n - t e , p a r a p r o b l e m a s c o n v e x o s , o método obtém p o n t o s d u a i s v i á- v e i s . 0 s c o r r e s p o n d e n t e s v a l o r e s d a f u n ç ã o d u a l convergem p a r a o ó t i m o do p r i m a l .

A q u e s t ã o d a & v i a b i l i d a d e é t r a t a d a a t r a v é s d a s o l u ç ã o de um problema a u x i l i a r i n t i m a m e n t e i n t e g r a d o ao método u t i l i z a d o p a r a a r e s o l u ç ã o do problema o r i g i n a l . A s e q u ê n c i a de p o n t o s de minimo d a s m i n i m i z a ç õ e s sem r e s t r i ç õ e s tem em g e r a l a s e g u i n t . e t r a j e t ó r i a . I n i c i a l m e n t e s e a p r o x i m a d a r e g i ã ò v i . á v e l a t é p e n e t r á - l a . Em s e g u i d a , s e g u e - se. o movimento i n v e r s o n o s e n t i d o d a f r o n t e i - r a a t é , no l i m i t e , a t i n g i - l a . Ou s e j a , o método p r o p o s t o t e m . a c a r a c t e r í s t i c a de s e u s p o n t o s de mTnimo s e g u i r e m uma t r a j e t ó r i a "de f o r a p a r a den- t r o " numa p r i m e i r a f a s e ( i g u a l a o s métodos d a s p e n a l i d a d e s e x t e - r i o r e s ) e "de d e n t r o p a r a f o r a " n a s e g u n d a f a s e ( i g u a l a o s méto- d o s d a s p e n a l i d a d e s i n t e r i o r e s ) .

A f i m de i l u s t r a r t o d o o mecanismo de f u n c i o n a m e n -

d .

-

t o d ~ método e algumas dc s u a s c ~ r ~ c t e r i s t i c z ç , s z o 3prcsentaSoç o s r e s u l t a d o s c o m p u t a c i o n a i s p a r a d o i s p r o b l e m a s .

Como ú l t i m a o b s e r v a ç ã o , deve s e r d i t o q u e , quando o p a r â m e t r o d s e i g u a l a a z e r o , o método p r o p o s t o s e c o n f u n d e com o método de p e n a l i z a ç ã o e x a t a de Z a n g w i l l

1 ' 5 1 ,

que s e u t i l i z a d a s e g u i n t e f u n ç ã o p e n a l i d a d e :

com a r e s s a l v a de que a b i b l i o g r a f i a c o n s u l t a d a não t e n h a s i d o c o m p l e t a , em p a r t i c u l a r , em v i s t a de s u a enorme . c x t e n s ã . o , v a l e r e g i s t r a r que não n o s f o i p o s s í v e l o b s e r v a r q u a l -

q u e r o u t r a s e m e l h a n ç a mais p r ó x i m a , a l é m d a a c i m a r e f e r i d a , e n - t r e o método p r o p o s t o e . o s inúmeros o u t r o s métodos a i d e s c r i t o s .

O a l g o r i t m o a s e g u i r a p r e s e n t a d o s e p r o p õ e a r e - s o l v e r o s e g u i n t e p r o b l e m a :

min f (x) ( 3 )

s u j e i t o

à s

c o n d i ç õ e s g . 1 (x) - >

O , i = l ,

.

.

.

,m.

s e n d o "f" e " g " f u n ç õ e s q u a i s q u e r d e

x

E R". .Ou s e j a , t r a t a - s e da

o b t e n ç ã o d e s o l u ç ã o do Problema G e r a l de Programação Não L i n e a r s u j e i t o u n i c a n e n t e a R e s t r i ç õ e s de D e s i g u a l d a d e . A s o l u ç ã o é o b t i d a a t r a v é s da s o ~ u ç ã o d e uma s e - q u ê n c i a de m i n i m i z a ç õ e s sem r e s t r i ç õ e s da f u n ç ã o o b j e t i v c o r i g i - L n a 1 f (x) a c r e s c i d a de um t e r m o P(g(x) , a , d ) c o r r e s p o n d e n t e a p e n a l i d a d e . A f u n ç ã o m i n i m i z a d a é , e n t ã o , d e f i n i d a como :

O método p r o p o s t o no p r e s e n t e t r a b a l h o s e i n s p i - r o u n a f u n f ã o h i p e r b ó l i c a a b a i x o d e f i n i d a . Como f i c a r á c l a r o a .

s e g u i r , o método é v á l i d o p a r a uma c l a s s e bem mais ampla de f u n - ç õ e s de p e n a l i d a d e . a e d v a r i a n d o nos i n t e r v a l o s : Na a p r e s e n t a ç ã o do t r a b a l h o , é c o n v e n i e n t e a p r e s e n - t a r e s t a h i p é r b o l e numa f o r m a mais c o m p a c t a : Quando c o l o c a d a em t e r m o s de s e u s d o i s s e m i - e i x o s a e b a h i p é r b o l e a p r e s e n t a a e x p r e s s ã o i

O método p r o p o s t o e s t á b a s e a d o em f u n ç õ e s de p e n a - l í z a ç ã o que a p r e s e n t e m a s p r o p r i e d a d e s a b a i x o :

P 0 ' - P ( y , a , d) é uma f u n ç ã o c o n t í n u a , bem como; c o n t i n u a m e n t e d i - f e r e n c i á u e l . em y p a r a v a l o r e s O < a < 7r/2 e d > 0 . P 1

-

P ( y , a , d ) é a s s i n t o t i c a m e n t e t z n g e n t e às r e t a s rl(y)=-t.tgol e r 2 (y) = O p a r a d > 0 . P 2

-

lim P ( y , a , d ) = O p a r a d - > O e O < a 7 r / 2 y++m P 3

-

P ( O , . a , d) = d p a r a d - > O e ' O < a < n / 2 P5

-

P ( y , a k + ' , d) é uma f u n ç ã o convexa e d e c r e s c e n t e em y p a r a d > O e O a < 7r/2 e é uma f u n ç ã o convexa e não c r e s c e n t e em y p a r a d = O e O < a ~ / 2 .

' k

P6

-

P ( y , a , dk") < P ( y , a , d ) p a r a

vy,

O < a < n / 2

O . p a r a y

_-

> O

p7

-

l i m P ( y , a , d ) = O < a n/2

d+O - y t g a p a r a y O

P 1 0

-

P ( g ( x )

,

a ; d) é uma f u n ç ã o convexa em x s e g (x) f o r uma f u n ç ã o c ô n c a v a . P11

-

Max ( P ( y , a , d O ) - P ( y , a , d l ) ) = dG - d' . e o c o r r e em y=O , Y 3 o p a r a O a 7 r / 2 e 8 - < d 1 < a E 1 2

-

A d e r i v a d a d a f u n ç ã o p e n a l i d a d e em r e l a ç ã o a y , ou s e j a , ~ ; ( y , a , d) é uma f u n ç ã o d e c r e s c e n t e com d p a r a p o n t o s y > O ( e é uma f u n ç ã o c r e s c e n t . e com d p a r a p o n t o s y < 0)

.

P A f u n ç ã o de p e n a l i d a d e P l y , a , d) d e f i n i d a e m ( 5 ) s a t i s f a z a s 1 3 p r o p r i e d a d e s acima e n u n c i a d a s . As 4 ú l t i m a s p r o - p r i e d a d e s p o r s e r e m menos e v i d e n t e s v ã o d e m o n s t r a d a s no anexo l . O b j e t i v a n d o - s e s i m p l i f i c a r a l i n g u a g e m e c o n s i d e - r a n d o - s e o &e f o i d i t o a c i m a , chamaremos de ' p e n a ~ i z a F ã o h i p e k - bõLLca" .$' a q u a l q u e r , f u n ç ã o que s a t i s f a ~ a à s 1 3 p r o p r i e d a d e s a n t e -

riormente enunciadas.

A idéia geométrica que fundamenta o algoritmo a

seguir apresentado, é a seguinte:

-

Inicialmente como mostra a figura 4.a, aumenta-se o ângulo a

da assintota a função penalidade, provocando, com isto, sig-

nificativo aumento da penalização fora da-região viável, en-

quanto que, simultaneamente reduz-se a penalização para pon-

tos dentro da região'viável. O processo continua até que se

consiga um ponto viável.

-

aí

para a'frente mantém-se a constante e diminui-se sequen-

cialmentc o valor de d . Desta maneira, consegue-se que a pena -

lização interior torne-se cada vez mais irrelevante, manten-

.

-

do-se o mesmo nível de proibj tividade fora da T e ç l a r ) V? á v ? I .

PRIMEIRA FASE' DO ALGORI T M O : Variacão de dk mantenda d k constan t.e

Figura 4 . A

SEGUNDA FASE DO ALGORITMO : VariacQõ de d k mantendo d k c o n s t a n t e

ALGORITMO 1) Faça k = O , a' = a o , d1 = d o sendo O < a o < ~ / e d o 2 > 0 . Tome p o n t o i n i c i a l x O . 2.) Faça

k

= k + 1 3) R e s o l v a problema de m i n i m i z a ç ã o sem r e s t r i ç õ e s d a f u n ç ã o : k a p a r t i r do p o n t o i n i c i a l x k - I achando * o p o n t o ó t i m o

x

.

4 ) T e s t e s e x k

6

v i á v e l s i m + vá p a r a o p a s s o 6

vá

p a r a o p a s s o 2 . 6 ) Regra de P a r a d a - T e s t e s e

xk

é

a c e i t á v e l s i m + vá p a r a o p a s s o 8

vá

p a r a o p a s s o 2

8) xk é a s o l u ç ã o . Fim

A l t e r n a t i v a m e n t e podemos t r a t a r d i r e t a m e n t e com r e d e o a l g o r i t m o s e r i a m o d i f i c a d o n o s p a s s o s 1 e 5 , s u b s t i t u i n - d o - s e a p o r r , p o r e x e m p l o , d a s e g u i n t e f o r m a :

a A f i m de s e p r o v a r a c o n v e r g ê n c i a do a l g o r i t m o , e n e c e s s á . r i . o que s e e s t a b e l e ~ a m algumas c o n d i ç õ e s s o b r e o p r o b l e - m a . C 1

-

O c o n j u n t o v i á v e l S

e

f e c l 1 a d o . e tem i n t e r i o r n ã o v a z i o . C 2

-

f

(x)

e gi (x) , i = 1 ,

. ..

,

m s ã o f u n ç õ e s c o n t í n u a s C3

-

E x i s t e m ao & ( O , ~ / 2 ) e O

;

do t a i s q u e : C 4

-

E x i s t e um E > O t a l que o c o n j u n t o SE = { x l g i ( x )

2

-

E , i = 1 ,

...,

m)

é

l i m i t a d o . C 5

-

Na f r o n t e i r a , em q u a l q u e r d i r e ç ã o p a r a f o r a de S , a s r e s - t r i ç õ e s a t i v a s d e c r e s c e m de v a l o r e a funç.ão o b j e t i v o , bem ii como, a s r e s t r i ç õ e s sZo de v a r i a ç ã o l i m i t a d a , ou s e j a : Se x E F r o n t S ,

X

E R ' ,

w

E R* s ã o t a i s q u e : ( x +

Xw)

S e L é t a l q u e : g e ( x ) = o , e n t ã o , 3 6 z O t a l q u e :

g e ( x + Xw) O . , O <

X

< 6 e 3 6 ' > O e M > O t a i s q u e : I f ( x + XW)

-

f ( x )

1

< M . l X w l

,

O <

X

< 6' e I g i ( x + A W )

-

g i ( x ) ( < M . ~ x w ~ , i. = l , . . . , m , E s t a b e l e c i d a s a s c o n d i ç õ e s b á s i c a s p a r a o p r o b l e - ma, vamos p r i m e i r a m e n t e t o r n a r mais amplo o campo de v a l i d a d e da c o n d i ç ã c C 3 .

LEMA 1 : ( E x i s t ê n c i a de ~ í n i m o )

Se a c o n d i ç ã o C3 f o r o b e d e c i d a , ou s e j a , s e e x i s -

O

t i r algum a e algum do t a l que

i n f ~ ( x , a O , do) = F O >

-

m

X E R ~

e s e alem' d i s s o , também a s c o n d i ç õ e s C1, C 2 e C 4 forem o b e d e c i - o d a s , e n t ã o , e x i s t i r á um v a l o r

ã0

- > a t a l que Min F ( x , a , d) = i n f F ( x , a , d) X E R ~ X E R ~ p a r a t o d o a no i n t e r v a l o 'ÜO - < a < n/Z e p a r a t o d o d no i n t e r v a - 10 O

-

< d

-

< do.

Vamos c a l c u l a r a d i f e r e n ç a e n t r e a s f u n ç õ e s o b j e - t i v o s m o d i f i c a d a s p a r a d o i s v a l o r e s d e d , s e n d o d o

-

> ' d l : p e l a p r o p r i e d a d e P l 1 da f u n ç ã o p e n a l i d a d e . Sendo FO, p o r d e f i n i ç ã o , o v a l o r . í n f i m o d a f u n - gão o b j e t i v o n i o d i f i c a + a F ( x , u O , d o ) , e s t a b e i e c i d o p e l a c o i i d i - ç ã o C3, podemos e s c r e v e r a d e s i g u a l d a d e acima n a s e g u i n t e f o r - ma: que

6

v á l i d a p a r a t o d o d mo i n t e r v a l o O - < d - do e t o d o x E R". Vamos a'gora e s t u d a r a v a r i a ç ã o do p a r â m e t r o a . P r i m e i r a m e n t e vamos n o s a t e r a o s p o n t o s v i á v e i s . S e j a Z um po.nto v i á v e l q u a l q u e r . Como o c o n j u n t o v i á v e l S é .com -

C 2 )

,

c e r t a m e n t e t e r e m o s um v a l o r máximo p a r a f ( x ) n e s t e c o n j u n - t o . A s s i m p a r a t o d o O - < d - c do e O a < n / Z , te.remos: M onde f ( Z ) r e p r e s e n t a o v a l o r máximo de f ( x ) no c o n j u n t o S . Ficam, e n t ã o , e s t a b e l e c i d o s o s l i m i t e s i l u s t r a - d o s p e l a f i g u r a a b a i x o :

Consideremos a g o r a o s p o n t o s i n v i á v e i s n ã o p e r t e n - tentes ao c o n j u n t o S d a c o n d i ç ã o C 4 . S e j a w um p o n t o i n v i á v e l E q u a l q u e r n ã o p e r t e n c e n t e a e s t e c o n j u n t o . P e l a s p r o p r i e d a d e s P6 e P 7 , podemos e s c r e v e r : E s t a d e s i g u a l d a d e pode a i n d a s e r e s c r i t a como: v á l i d a p a r a t o d o d no intervalo.

u

- < d - < d o . D e ' o u t r o l a d o , p e l a s p r o p r i e d a d e s P 1 , P 4 e p 5 , podemos e s c r e v e r : q u e também

é

v á l i d o p a r a d n,o i n t e r v a l o O - < d - < d o .

Somando mdo a ambos membros da d e s i g u a l d a d e ₍₁₀₎ e usando o s r e s u l t a d o s acima o b t i d o s , t e m o s :

Donde :

Usando o r e s u l t a d o ( 8 ) , obtemos :

que é v á l i d o p a r a t o d o a o - a < n / 2 , s e n d o ge(w) - < gi(w) p a r a

i E I 1 ' Como p o r h i p ó t e s e w é i n v i á v e l e não p e r t e n c e a C S E , i m p l i c a que gL(w) -. E e p o r i s t o , a d e s i g u a l d a d e acima p o - de s e r e s c r i t a n a f o r m a : A n a l i s a n d o a e x p r e s s ã o a d i r e i t a d a d e s i g u a l d a d e

a no i n t e r v a l o . O < a < r / 2 . A s s i m c e r t a m e n t e h a v e r s um v a l o r

-0 M

a t a l que e s t a e x p r e s s ã o s e r á m a i o r que f (Z ) + mdo p a r a t p d o

a no i n t e r v a l o

ã0

-

< a < ? / 2 e O

-

c d - d o . O v a l o r de & O , _que A s a t i s f a ç a a e s t a s c o n d i ç õ e s , pode s e r f a c i l m e n t e c a l c u l a d o e e dado p o r : F i n a l m e n t e , l e v a n d o em c o n s i d e r a ç ã o ( 9 ) t e m o s :

M

~ ( w ,

a , d) > f ( ) ~ + md"

-

> ~ ( z , a , d ) p a r a q u a i s q u e r

G0

-

a < r / 2 e O - d. - < d o . D e s t a m a n e i r a : i n f F ( x , a , d ) = min { i n f F ( x , a , d ) , i n f F ( x , a , d )

3 =

X E R* XES& &SE

Como SE

6

compacto p e l a c o n d i ç ã o C.4 podemos s u b s - t i t u i r o i n f i m o p e l o mínimo:

i n f ~ ( x , a , d) = min FCx, a , d )

X E R ~ S~

p a r a a e d n o s i n t e r v a l o s :

ã0

-

< a < r / ~ e O

-

< d

-

d o .

0 s t e o r e m o s b á s i c o s d a e x i s t ê n c i a de p o n t o de m i - nimo do problema m o d i f i c a d o ( 4 ) p e r t e n c e n t e ao i n t e r i o r d a r e - g i ã o v i á v e l sO = { x l g i ( x ) > O , i = 1 ,

.

.'.

,

m} e de s u a c o n v e r - g ê n c i a p a r a o p o n t o Ôtimo do p r o b l e m a o r i g i n a l podem a g o r a s e r m o s t r a d o s . TEOREMA 1: ( E x i s t ê n c i a de Mínimo V i á v e l ) Se a s c i n c o c o n d i ç õ e s f o r e m o b e d e c i d a s , e x i s t e =o a ( d o ) t a l q u e , p a r a t o d o a no i n t e r v a l o

z0

- ;O a a

-irn/

2 p a r a t o do d no i n t e r v a l o O

-

< d - < d o , o p o n t o de mínimo d a f u n ç ã o o b j e - t i v o m o d i f i c a d a F ( x , a , d ) , ou s e j a , x ( a , d) é v i á v e l . Demonstração: Vamos l i g a r e s t e p o n t o w a um p o n t o v n a f r o n t e i - r a de S = { x l g i ( x )

-

> O , i = 1 ,

....,

m l

de uma m a n e i r a t a l _que a r e t a que o s une s e j a s e c a n t e a S , como i l u s t r a a f i g u r a a b a i -

C

Sem p e r d a de g e n e r a l i d a d e , vamos o r d e n a r a s r e s - t r i c õ e s de t a l s o r t e que s e

e n t ã o i

-

j p a r a t o d o i E I e t o d o j E I , onde I = ( 1

,...

,m}. D e s t e modo, e n t ã o t e m o s :

g1(v1 = 0

Vamos- c o n s i d e r a r a f u - k ã o o b j e t i v o e a s

.

f u n s 8 e s r e s t r i ç õ e s r e s t r i t a s ao segmento qu3 une w a v . Convencionemos que X = O c o r r e s p o n d e ao p o n t o v e

X

= 1 ao p o n t o w . D e s t e modo, vamos d e f i n i r :

f ( X ) = f ( ( 1 - A ) v + Xw)

g i ( h ) = g i ( ( l - h ) v + Xw), i = 1 ,

. . . ,

m

Uma m a n e i r a n a t u r a l de s e p r o v a r o t e o r e m a

6

d e - m o n s t r a r a e x i s t ê n c i a de ~im

;

t a l q u e , p a r a t o d o . a n o i n t e r v a l o - - a - a < r12 e p a r a t o d o O _- < d _- < d o , s e j a . v e r d a d e i r a a r e l a ç ã o Vamos p r e l i m i n a r m e n t e f a z e r uma r e o r g a n i z a ç ã o d a s r e t a de :I a w . r e s t r i ç õ e s a o l o n g o do segmento de S e j a , p o r d e f i n i ç ã o : m i n l gi ( A )

1

i S e j a também, p o r d e f i n i ç ã u : r l ( h ) = { m i n l i E 1 [ g i ( h ) = g l ( h ) l l Definamos - g2(A) = m i n l g i ( h ) li E I

-

I 1 ( X ) } , O - h - < 1 onde

No c a s o g e r a l , temos a d e f i n i ç ã o : onde P e l a d e f i n i ç õ e s de g i f h ) , i . = 1 ,

. .

.

, m é f i c i i v e r que : Como, p e l a c o n d i ç ã o C 2 , t o d a s a s r e s t r i ç õ e s g; ( x ) i = 1 ,

.

.

.

,

m s ã o c o n t í n u a s , t o d a s a s f u n ç õ e s

gi(X),

i = 1 , .

.

,m também s e r ã o c o n t í n u a s .

~ l é m

d i s s o , p e l a d e f i n i ç ã o de

gi

(h) , i = I , . . . , m e p e l a o r d e n a ç ã o dada

às

r e s t r i ç õ e s g i ( x ) em f u n ç ã o dos s e u s v a

-

lares no p o n t o v , t e m o s :

Tomemos a g o r a a d i f e r e n ç a e n t r e o s v a l o r e s d a f u n ç ã o o b j e t i v o m o d i f i c a d a a s s u m i d o s num p o n t o do segmento e no p o n t o v . S i m p l i f i c a n d o a n o t a ç ã o e l e v a n d o em c o n s i d e r a ç ã o a c o n s t r u ç ã o d a s f u n ç õ e s

E.

(A) , i = 1 ,

.

.

.

, m , temos : 1 Figura 7

Como o segmento que une o s p o n t o s v e w é P o r h i p ó t e s e s e c a n t e a S , p e l a c o n d i ç ã o C5, temos um d e c r é s c i m o de -

gl(A) quando aumentamos A a p a r t i r do p o n t o h = 0 .

De o u t i o l a d o , l e v a n d o em c o n s i d e r a c ã o que t o d o s o s p o n t o s no segmento s ã o i n v i á v e i s , temos

D e s t e modo é _{p o s s í v e l a c h a r uma f u n ç ã o l i n e a r de -}

c r e s . c e n t e em A que . s e j a sempre s u p e r i o r a ( h j no segmento v 1 a w; ou s e j a : . - t g B1

.

A g l ( h ) , O < A - < 1, R1 p e r t e n c e n d o , a o j n t e r v a l o 0

.

R > - ~ / 2 , 1 P e l a c o n t i n u i d a d e d a s . f u n ç õ e s r e s t r i ç õ e s , e p e l a c o n d i ç ã o C 5 , tamb'gm

6

p o s s i ' v e l c o n s t r u i r f u n ç õ e s l i n e a r e s que sempre s e j a m s u p e r i o r e s à s f u n ç õ e s

gi

(A) , i = 2 ,

.

. .

, m, ou s e - j a : +

Bi, i = 2 ,

...,

m , podendo assumi^ q u a l q u e r s i n a l .

S i m i l a r m e n t e , . p e l a c o n t i n u i - d a d e de f (x) e pe 1 a c o n d i ç ã o C 5 , podemos c o n s t r u i r uma f u n ç ã o l i n e a r que sempre s e -

$

Usando t o d a s a s f u n ç õ e s l i n e a r e s acima d e f i n i d a s , e em v i s t a d a p r o p r i e d a d e P 5 , podemos e s c r e v e r :

Usando a p r o p r i e d a d e ?9 d a f u n ç ã o p e n a l - i d a d e , de

p a r a

vy,

v t ,

\J

O a < n/2 e

v

O - < d - < do e l e v a n d o em c o n s i d e - -

r a s = i p que g I A ) < c. (v1 = C ) , que p e l a nropri.ed.ade Y5 i m p l . i c a . e m

1 '

L. 1 -- . -' A -

que é v á l i d a p a r a . q u a l q u e r O

-

c d - < d o . S u b s t i t u i n d o a d e s i g u a l d a d e acima em (11) e f a - zendo

m

F(X, a , d)

-

F ( v , a , d ) > ( t g 6,-tg f3 1 ' t g a -

1

' KitgBi) . h i = 2 L A n a l i s a n d o a e x p r e s s ã o a d i r e i t a d a d e s i g u a l d a d e a c i m a , vemos que e l a é i - l i m i t a d a m e n t e c r e s c e n t e com a no i n t e r -

-- ~ a l o O < a < n / 2 . Assim c e r t a m e n t e . h a v e r g um v a l o r ã t a l que e s t a e x p r e s s ã o s e r 5 p o s i t i v a p a r a t o d o a no

-

- - a c a n/2 e O - c d - < d o . E s t e dado p o r i n t e r v a l o P - - i = 2 a = a r c t g (

-4

- t g

B1

F i n a l m e n t e , f a z e n d o :

=o

a = max(E, .zO)

onde

<no

é o v a l o r l i m i t e e s t a b e l e c i d o no Lema 1 , provamos q u e :

j n f ' F ( x , a , d ) = min F ( x , a , d ) X E R ~ , S p a r a a e d n o s i n t e r v a l o s

.ao

< a < 7 r / 2 e O < d - : d.'. C . Q . D . TEOREMA 2 : ( c o n v e r g ê n c i a ) k Se a s e q u ê n c i a {d

1

é monotonamente d e c r e s c e n t e k t e n d e n d o a z e r o , ou s e j a , l i m d = O , e s e xk f o r sempre v i á v e l k- k k

-

I< k k p a r a a = a ( c o n s t a n t e ) s e n d o x p o n t e t a l que F ( x , a , d ) = k k = minx F ( x , a , d ) , e n t ã o e x i s t i r á uma s u b s e q u ê n c i a c o n v e r g e n - k t e { x

1

-t Z e o l i m i t e de q u a l q u e r d e s s a s s u b s e q u ê n c i a s 6 iiin " k p o n t o 6 i i m o . ( A l t e r n a t i v a m e n t e , a s e q u ê n c i a x c o n v e r g e p a r a o c o n j u n t o de s o l u ç õ e s Ótimas do p r o b l e m a com r e s t r i ç õ e s ) . A s . c o n d i ç õ e s C1, C 2 e C 4 g a r a n t e m que o prol!'lema de programação (3) t e n h a p e l o menos unia s o l u ç ã o ó t i m a d e s d e que f ( x ) uma f u n ç ã o c o n t í n u a é d e f i n i d a numa r e g i ã o v i á v e l S compac - t a .

S e j a X* o c o n j u n t o de p o n t o s ó t i m o s do p r o b l e m a P a r a q u a l . q u e r p o n t o x* e X* é o b s e r v a d a a , r e l a ç ã o :

3 7

j á

q u e xk p o r h i p ó t e s e é - v i á v e l . De o u t r o l a d o , como x k

6

o t i m o do p r o b l e m a n i o d i i i - cada ( 4 ) n a i t e r a ç ã o k , t e m o s : Tomando o l i m i t e q u a n d o k- -- l i m F ( x -, a , d k ) - <

l i k

F ( x * ,

5 ,

d k ) k-t k-f m k m i i m ( f ( x + p ( g i ( x k ) ,

G ,

d k ) ) z k->-O= i = l

k

k

Como p o r h i p ó t e s e { d ;+O quando k+= E d e v i d o a p r o p r i e d a d e P7 d a f u n ç ã o p e n a l i d a d e , t e m o s : Comparando ( 1 2 ) e ( 1 3 ) c o n c l u i m o s q u e : k l i m f ( x ) = f ( x * )

L

0

3

Como, p e l a s c o n d i ç õ e s C 1 e C4, o c o n j u n t o v i á v e l k 1

6

con1pact.0, e x i s t i r á uma s u b - s e q u ê n c i a

{x

1

c o n v e r g e n t e a um p o n t o x l , onde t e r e m o s : C . Q . D .

Deriionstradoç o s d o i s t e o r e m a s b â s i c o s , I podemos a g o r a f a c i l m e n t e p r o v a r q u e , o b e d e c i d a s a s c o n d i ç õ e s p r e v i a i n e n - t e e s t a h e l e c i d a s , o a l g o r i t m o p r o p o s t o c o n v e r g e . TEOREMA 3 ( C o n v e r g ê n c i a do A l g o r i t m o ) O b e d e c i d a s 3s c o n d i ç õ e s ~ l , C 2 , C 3 , C 4 e C 5 , o a l g o r i t - mo a p r e s e n t a d o n o c a p í t u l o I1 c o n v e r g e p a r a o v a l o r ó t i m o do p r o b l e m a d e p r o g r a m a s ã o ( 3 ) . Sempre q u e ria i t e r a ç á o k o p o n t o ó t i m o xk n ã o f o r v i á v e l , o â n g u l o a k'l é a u m e n t a d o p o r uma q u a n t i d a d e f i n i t a n a s e n t i d o d e n/Z. D e s t e modo c e r t a m e n t e i i a v e r a uma i t e r a ç ã o K t a l q u e o â n g u l o d a p r o x i m a i t e r a ç ã o a K-c- l s e r g m ã i o r , o u i g u a l que =a I(+1 o v a l o r do â n g u l o u . ( d ) c o n f o r m e e s p e c i f i c a d o n o 'Teoreina 1 , o u s e j a ,

k

Em f u n ç ã o d i s s o , o s p o n t o s x s e r ã o s e m p r e v i s - . v e i s p a r a t o d a s a s i t e r a ç õ e s k - > K + l .

T e n l o ~ , e n t ã o , a p a r t i r da i t e r a ç a o K + l , o rnovimeiz _- t o d e decrgscinio c o n s t a n t e do p a r â i ~ i e t r o d no s e n t i d o de O ( z e - r o ) . Como p r o v a d o no Teorema 2 , o v a l o r d a f u n ç ã o o b j e t i v o m o d i f i c a d a c o n v e r g i r á p a r a o v a l o r 6 t i m o da problema d e programação o r i g i n a l , ou s e j a ,

e .da mesma forma

A s s i m , q u a l q u e r r e g r a de p a r a d a r a z o z v e l , que t e s - .- t a a - v ~ r i a s a u & k j a d i i é r e i l s a

(x"

'-

k .k. , W , u . J e

k

f ) , s e r á a t e n d i d a mesmo quando h o u v e r m a i s de um p o n t o ótiiiio. C . Q . D . N e s t e G l t i m o c a s o , o p r o c e s s o o b v i a m e n t e p o d e r á não c o n v e r g i r s e n a r e g r a d e p a r a d a u s a r m o s q u a l q u e r c r i t é + r i o k t e s t a - n d o a c o n v e r g ê n c i a do p o n t o x

.

Se q u i z e r m o s p o r a c a s o u s a r e s t e c r i t é r i o n a r e - g r a de p a r a d a , deveremos, e n t ã o , e s t a b e l e c e r uma c o n d i ç ã o a d i - c i o n a l p a r a g a r a n t i r m o s a c o n v e r g 6 n c i a do a l g o r i t m o p a r a um &i co p o i l t o . ~ s ' t a c o n d i ç ã o p o d e r i a , p o r e x e m p l o , s e r :

C 0

-

O pont.0 Otirno do p r o b l e m a de p r o g r a m a ç ã o é Único. Vale o b s e r v a r q u e , n a s e q u ê n c i a de m i n i m i z a ç õ e s , e n q u a n t o o p a r â m e t r o a e s t i v e r s e n d o a l t e r a d o , o p o n t o de m í n i - I< no x b a s i c a m e n t e s e g u e uma t r a j e t ó r i a de f o r a p a r a d e n t r o d a r e g i ã o v i á v e l . Ao p a s s o q u e , e n q u a n t o o p a r â m e t r o d e s t i v e r s e n - do d i m i n u i d o , em g e r a l a t r a j e t . ó r i a de xl< é no s e n t i - d o de den- . t r o p a r a f o r a da r e g i ã o v i á v e l , a t é no l i n i i - t e , a t i n g i - l a .

Al.6111 d.as . q u e s t õ e s t e 6 r i c a . s r e l a c i o n a d a s com a c o n v e r g ê n c i a do a l g o r i t m o p r o p o s t o , a l g u n s o u t r o s a s p e c t o s , p r g t i S c o s e t e ó r i c o s , merecem s e r d i s c i r t i G a s . A s s i m

6

q t ? ~ examinamos o t r a t a m e n t o de e v e n t u a l i n v i a b i l i d a d e no p r o b l e m a o r i g i n a l ( 3 )

.

Examinamos, o u t r o s s i m , a p o s s i b i l i d a d e de a l c a n - ç a r a s o l u ç ã o ( a p r o x i m a d a ) em uma U n i c a i t e r a ç ã o . F i n a l m e n t e , r e s t r i n g i n d o - n o s a o Problema Convexo, mostramos que o a l g o r i t m o p r o p o s t o ge,ra p o n t o s v i á v e i s do p r o -

P

blema d u a l , que c o n v e r g e , p o r s e u t u r n o , p a r a a s o l u ~ ã o Otima do p r o b l e m a p r i m a l .

A t ' 6 o p r e s e n t e moiiien.to n a d a f o i t r a t a d o de i n v i a - - b i l i d a d e . Sempre Zoi s u p o s t a a

existência

de uma r e g i ã o v i á v e l .

Entretanto, como a seguir veremos, a questão de inviabilidade pode ser facilmente verificada através da aplica- ção repetitiva do mesmo método na solução do problema de minimi-

zação da parcela correspondente à função penalidade, ou seja:

k

k

m

minX P (x, a , d ) = min _X

1

_P (gi

(x)

, ak, dk)

i = l

TEOREMA

-

4:

(Inviabilidade)

O problema de program; ção (3) ser5 inviável se e

k

somente se n a sequência de minimizacóes de'

P

(x, a', d ) existir

k

um valor a tal que:

Demonstração:

Vamos primeiramente demonstrar a suficiência des- ta condição. Deste modo vamos supor que a desigualdade (14) se-

j a verdadeira.

Se existe uma região viave1 S , para qualquer pon-

D e c o r r e n t e d a s d e s i g u a l d a d e s (14) e ( 1 5 ) obtemos :.

que c o n t r a r i a a h i p ó t e s e de o t i m a l i d a d e de xl'. Donde podemos con - c l u i r que não e x i s t e R e g i ã o V i á v e l S , ou s e j a , o Problema 6 I n - v i á v e l

.

.A

Vamos a g o r a d e m o n s t r a r que a d e s i g u a l d a d e ( 1 4 ) e uma c o n d i ç ã o n e c e s s á r i a .

Se o p r o b l e m a é i n v i á v e l s i e n i f i c a que p a r a \ J w c ~ ~ p e l o menos uma r e s t r i ç ã o é v i o l a d a . S e j a h(w) = { i l g i ( w ) < O}.

sendo & E A .

k

como ge(u) .< O , p ( g e ( x ) , ak, d é uma f u n ç ã o c r e s c e n t e . i l i m i t a d a com c r k . A s s . i m . c e r t a m e n t e h a v e r á um K t a l que p a r a

V

k

> K

Como w f o i tomado como um p o n t o q u a l q u e r do R" a d e s i g u a . l d a d e acima v a l e . p a r a q u a l q u e r p o n t o i n c l u s i v e p a r a o p o n t o de Õtimo do p r o b l e m a de minirnização d a p a r c e l a c o r r e s p o n - d e n t e 2 f u n ç ã o p e n a l i d a d e , C . Q . D . Devemos o b s e r v a r que s e , p o r a c a s o , o c o n j u n t o v i á v e l não t i v e r i ~ i t e r i o r , s ó quando k--, é que podemos g a r a n -

t i r a o b t e n ç ã o de p o n t o v i á v e l .

Deve s e r s a l i e n t a d o qde a s o l u ~ ã o do problema Au- x i l i a r não r e p r e s e n t a um t r a b a l h o d e s i n t e g r a d o ou d i s s o c i a d o d a - q u e l e que normalmente s e r i a r e a l i z a d o p e l o a l g o r i t m o . I s t o , p o r e x e m p l o , a c o n t e c e n a s p r o p o s t a s a p r e s e n t a d a s p o r F i a c c o ( c o n f o r - me d e s c r i t o em

1 3 1 )

e p o r Lootsma

1 ' 1 .

N O p r e s e n t e c a s o , além de não r e p r e s e n t a r q u a l q u e r a c r e s c i m o a d i . c . i o n a l , d i m i n u i em g e - r a l o t r a b a l h o de p r o c e s s a m e n t o . E s t a p r o p r i e d a d e 6 b a s t a n t e ób - v i a , j á que de q u a l q u e r m a n e i r a t e r i ' a m o s q u e . aumentar s u c e s s i v a - mente cr, a t é que o b t i v 6 s s e m o s um p o n t o v i á v e l . Fazendo e s t a t a . -

r e f a , a t r a v e s d a s o l u ç ã o de um p r o b l e m a que é uma p a r c e l a . do o r i g i n a l , o t r a b a l h o n a t u r a l m e n t e é menor.

M I N I M I Z A C Ã G APROXIMADA EM UMA O N I C A ITERAÇÃG DE _---.

_-

d

Uma i n t e r e s s a n t e p r ' o p r i e d a d e do método p r o p o s t o e q u e , f o r n e c i d a uma c e r t a p r e c i s ã o com que s e a c e i t a a so1uçã.0,

6

' p o s s í v e l e n c o n t r á - l a em uma Única i t e r a ç ã o de d .

A m a n e i r a de s e c o n s e g u i r e s t e o b j e t i v o s e r 5 mos- t r a d a p a r a duas d i f e r e n t e s r e g r a s do p a r a d a .

O p r i ~ i i e i r a caso.

e

p a r a qua.ndo d e s e j arriios camo r e - g r a d e p a r a d a :

Como

xk

é ó t i m o , temos :

Supondo q u e a'' s e j a s u f i c i e n t e m e n t e a l t o , ou s e -

k

> a ~ ( ~ k - l

j a , a, _{.- ) (do Teorema I ) , p e l a c o m p a r a ç ã o d e ( 1 6 ) com} ( 1 7 ) vemos q u e p a r a f a z e r m o s a m i n i m i z a ç ã o a p r o x i m a d a em uma Ú n i c a i t e r a ç ã o d e d b a s t a t o m a r :

O s e g u n d o c a s o

6

p a r a a r e g r a d e p a r a d a :

k

=o

Devido d e s i g u a l d a d e (-17) e d e y i d o a.

x*

s e r pon- t o 6tiino t e m o s : Se o s t e r m o s e x t r e m o s d a s d e s i g u a l d a d e s acima (19)

f

(x k-1) e f ( x k - l )

-

m d k - 1 , t i v e r e m o mesmo s i n a l , com c e r t e - z a podemos e s c r e v e r : De (18) t i r a m o s :

a m i n i m i z a ç ã o aproximada s e r á e f e t u a d a em uma Única i t e r a ç ã o d e d.

V a l e d - e s t a c a r a g o r a que a o f i n a l de c a d a i t e r a - ~ ã 6 , s e xl' f o r v i á v e l , sempre temos d u a s c o t a s que l i n i i t a n i i n i c _- r i o r ' e s u p e r i o r m e n t e a s o l u ç ã o f i n a l do v a l o r do problema f ( x " )

.

E s t e r e s u l t a d o

6

d e g r a n d . e i m p o r t â n c i a p r a t i c a d e s d e que c1 a um e x c e l e n t e c r i t e r i o de t é r m i n o do método. Para. e s t a f i n a l i d a d e

chamaiiios a.atenção que a _{c o t a i n f e i i o l - p o d e sei: c a l c u l a d a d e urna} m a n e i r a m a i s p r e c i s a q u e a d a d a e m (-19). P a r a i s t o b a s t a c o n s i - d e r a r m o s o t e r m o L d e s p r e z a d o n a passagero' e f e t u a d a p a r a o b t e n ç ã o de ( 1 7 ) . A s s i m f ( x * ) f i c a l i m i t a d o e n t r e :

q u e a i n d a p o d e s e r c o l o c a d o na. f o r m a

PROBLEMA DE PROGRPJIACÃO CONVEXO

A t é a q u i , t r a t a m o s do p r o b l e m a g e r a l . d e progrerna- ç ã o l i n e a r u n i c a m e n t e com r e s t r i ç õ e s de d e s i g u a l d a d e s . C o n s i d e - r a r e m o s a g o r a um s e u c a s o p a r t i c u l a r , aLue e n t r e t a n t o é o c a s o m a i s i m p o r t a n t e , q u e r c o n s i d e r a n d o q u e a m a i o r p a r t e d a b i b l i o - g r a f i a tem s i d o d i r i g i d a p a r a o s e u e s t u d o , . q u e r c o n s i d e r a n d o a s u a f r e q u ê n c i a r e l a t i v a em t e r m o s d e p r o b l e m a s p r á t i c o s . T r a t a - s e do p r o b l e m a d e p r o g r a m a ç ã o convexo u n i c a m e n t e com r e s t r i ç õ e s d e d e s i g u h l d a d e . E s t e p r o b l e m a é o p r o b l e m a g e r a l d e f i n i d o em ( 3 ) com d u a s c o n d i c õ e s a d i c i o n a - s d e c o n v e x i d a d e : C 6

-

f ( x ) é uma f u n ç a o c o n v e x a . C 7

-

g i ( x ) , i = 1 ,

.

.

.

,m s ã o f u n ç õ e s c ô n c a v a s .

Uma p r 0 p r i e d a d . e i m p o r t a n t e do método o r a p r o p o s - t o é que t r a n s f o r m a o p r o b l e m a de p r o g r a m a ç ã o convexo n a s o l u - ç ã o de uma s e q u ê n c i a de m i n i m i z a ç õ e s s e m ' r e s t r i ç õ e s de uma f u n - ç ã o o b j e t i v o também c o n v e x a . A i m y o r t â n c i a d i s t o d e c o r r e d a s co _- n h e c i d a s v a n t a g e n s , q u e r s o b o p o n t o de v i s t a p r á t i c o como t e ó r i - c o , em s e e s t a r m i n i m i z a n d o uma f u n ç 2 o c o n v e x a . E s t a c a r a . c t e r í s t i c a do método- d e v e - s e u n i c a m e n t e h a p r o p r i e d a d e P l 0 de s u a f u n ç ã o p e n a l i d a d e , j a que a soma de f u n ç õ e s conv3xas é , p o r s u a v e z , uma ' f u n c ã o c o n v e x a . PROBLEMA DUAL O p r o b l e m a de programação ' o r i g i n a l C.3) , que d a q u i p a r a a f r e n t e s e r á r e f e r i d o como. p r o b l e m a p r i m a l , tem a s s o c i a d o com e l e um p r o b l e m a d u a l , que p a r a o c a s o c o n v e x o . p o d e ser f o r - mulado, s e g u n d o Wolfe (conforme r e f e r ê n c i a s

1

'

'

1

) , como maxi- m i z a r a f u n c ã o o b j e t i v c d u a l

s u j e i t o à s r e s t r i ç õ e s

vx

G(x , u ) = Vf (x) - _ui

v&Ji

_{(x) = 0} i = l