Felipe Roberto Bueno
Perceptrons Híbridos Lineares/Morfológicos Fuzzy
com Aplicações em Classificação
CAMPINAS 2015
Universidade Estadual de Campinas
Instituto de Matemática, Estatística
e Computação Científica
Felipe Roberto Bueno
Perceptrons Híbridos Lineares/Morfológicos Fuzzy
com Aplicações em Classificação
Dissertação apresentada ao Instituto de Matemá-tica, Estatística e Computação Científica da Uni-versidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em matemática aplicada.
Orientador: Peter Sussner
Este exemplar corresponde à versão final da dis-sertação defendida pelo aluno Felipe Roberto Bueno, e orientada pelo Prof. Dr. Peter Suss-ner.
Assinatura do Orientador
Campinas 2015
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Maria Fabiana Bezerra Muller - CRB 8/6162
Bueno, Felipe Roberto,
B862p BuePerceptrons híbridos lineares/morfológicos fuzzy com aplicações em classificação / Felipe Roberto Bueno. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.
BueOrientador: Peter Sussner.
BueDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Bue1. Teoria dos reticulados. 2. Morfologia matemática. 3. Conjuntos difusos. 4. Redes neurais (Computação). 5. Reconhecimento de padrões. I. Sussner, Peter,1961-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Hybrid fuzzy morphological/linear perceptrons with applications in
classification
Palavras-chave em inglês:
Lattice theory
Mathematical morphology Fuzzy sets
Neural networks (Computer science) Pattern recognition
Área de concentração: Matemática Aplicada Titulação: Mestre em Matemática Aplicada Banca examinadora:
Peter Sussner [Orientador] Estevão Esmi Laureano Fernando José Von Zuben
Data de defesa: 27-01-2015
Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada
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Abstract
Morphological perceptrons (MPs) belong to the class of morphological neural networks (MNNs). These MNNs represent a class of artificial neural networks that perform operations of mathematical morphology (MM) at every node, possibly followed by the application of an activation function.
Recall that mathematical morphology was conceived as a theory for processing and analyzing objects (images or signals), by means of other objects called structuring elements. Although ini-tially developed for binary image processing and later extended to gray-scale image processing, mathematical morphology can be conducted very generally in a complete lattice setting. Origi-nally, morphological neural networks only employed certain operations of gray-scale mathematical morphology, namely gray-scale erosion and dilation according to the umbra approach. These op-erations can be expressed in terms of (additive maximum and additive minimum) matrix-vector products in minimax algebra.
It was not until recently that operations of fuzzy mathematical morphology emerged as aggre-gation functions of morphological neural networks. In this case, we speak of fuzzy morphological neural networks. Hybrid fuzzy morphological/linear perceptrons was initially designed by gen-eralizing existing morphological/linear perceptrons, in other words, fuzzy morphological/linear perceptrons can be defined by a convex combination of a fuzzy morphological part and a linear part.
In this master’s thesis, we introduce a feedforward artificial neural network representing a hybrid fuzzy morphological/linear perceptron called fuzzy dilation/erosion/linear perceptron (F-DELP), which has not yet been considered in the literature. Following Pessoa’s and Maragos’ ideas, we apply an appropriate smoothing to overcome the non-differentiability of the fuzzy dilation and erosion operators employed in the proposed F-DELP models. Then, training is achieved using a traditional backpropagation algorithm. Finally, we apply the F-DELP model to some well-known classification problems and compare the results with the ones produced by other classifiers.
Keywords: Lattice Theory, Mathematical Morphology, Fuzzy Sets, Neural Networks, Pattern Recognition.
Resumo
Perceptrons morfológicos (MPs) pertencem à classe de redes neurais morfológicas (MNNs). Es-tas redes representam uma classe de redes neurais artificiais que executam operações de morfologia matemática (MM) em cada nó, possivelmente seguido pela aplicação de uma função de ativação.
Vale ressaltar que a morfologia matemática foi concebida como uma teoria para processamento e análise de objetos (imagens ou sinais), por meio de outros objetos chamados elementos estruturan-tes. Embora inicialmente desenvolvida para o processamento de imagens binárias e posteriormente
estendida para o processamento de imagens em tons de cinza, a morfologia matemática pode ser conduzida de modo mais geral em uma estrutura de reticulados completos. Originalmente, as redes neurais morfológicas empregavam somente determinadas operações da morfologia matemática em tons de cinza, denominadas de erosão e dilatação em tons de cinza, segundo a abordagem umbra. Estas operações podem ser expressas em termos de produtos máximo aditivo e mínimo aditivo, definidos por meio de operações entre vetores ou matrizes, da álgebra minimax.
Recentemente, as operações da morfologia matemática fuzzy surgiram como funções de agre-gação das redes neurais morfológicas. Neste caso, falamos em redes neurais morfológicas fuzzy. Perceptrons híbridos lineares/morfológicos fuzzy foram inicialmente projetados como uma genera-lização dos perceptrons lineares/morfológicos existentes, ou seja, os perceptrons lineares/morfoló-gicos fuzzy podem ser definidos por uma combinação convexa de uma parte morfológica fuzzy e uma parte linear.
Nesta dissertação de mestrado, introduzimos uma rede neural artificial alimentada adiante, representando um perceptron híbrido linear/morfológico fuzzy chamado F-DELP (do inglês fuzzy
dilation/erosion/linear perceptron), que ainda não foi considerado na literatura de redes neurais.
Seguindo as ideias de Pessoa e Maragos, aplicamos uma suavização adequada para superar a não-diferenciabilidade dos operadores de dilatação e erosão fuzzy utilizados no modelo F-DELP. Em seguida, o treinamento é realizado por intermédio de um algoritmo de retropropagação de erro tradicional. Desta forma, aplicamos o modelo F-DELP em alguns problemas de classificação conhecidos e comparamos seus resultados com os produzidos por outros classificadores.
Palavras-chave: Teoria dos Reticulados, Morfologia Matemática, Conjuntos Difusos, Redes Neurais, Reconhecimento de Padrões.
Sumário
Dedicatória xi
Agradecimentos xiii
1 Introdução 1
1.1 Redes Neurais: Um Breve Histórico . . . 1
1.2 Organização da dissertação . . . 2
2 Fundamentos Teóricos 4 2.1 Morfologia Matemática em Reticulados Completos . . . 4
2.2 Morfologia Matemática Binária e em Tons de Cinza . . . 7
2.3 Morfologia Matemática Fuzzy . . . 12
2.3.1 Conceitos da Teoria de Conjuntos Fuzzy . . . 13
2.3.2 Conceitos da Morfologia Matemática Fuzzy . . . 17
3 Alguns Modelos de Redes Neurais Artificiais 20 3.1 Modelo Neural Clássico . . . 20
3.2 Modelo Neural Morfológico . . . 22
3.3 Modelo MRL . . . 24
3.4 Modelo DELP . . . 27
3.5 Modelo F-DELP . . . 32
4 Resultados Experimentais 37 4.1 Primeiro Conjunto de Experimentos . . . 38
4.1.1 Problema sintético de Ripley . . . 39
4.1.2 Problema de classificação de flores íris . . . 41
4.1.3 Problema de segmentação de imagens . . . 41
4.1.4 Problema de câncer de mama de Wisconsin . . . 42
4.2 Segundo Conjunto de Experimentos . . . 43
4.2.1 Problema sobre doença cardíaca . . . 44
4.2.2 Problema de classificação de flores íris . . . 45
4.2.3 Problema de diabetes nos índios Pima . . . 45
4.2.4 Problema de classificação de vinhos . . . 46
4.2.6 Problema de identificação através do sonar . . . 47
5 Conclusão e Considerações Finais 49
Referências 51
À minha sempre unida família, Carlos Roberto Bueno (in memoriam),
Maria Aparecida Martins Bueno, Camila Aparecida Bueno (in memoriam) e
Agradecimentos
Agradeço a todos que me ajudaram, me apoiaram e contribuíram para meus estudos durante a realização deste trabalho. Principalmente aos meus pais, Carlos Roberto Bueno e Maria Apare-cida Martins Bueno, à minha irmã, Camila ApareApare-cida Bueno e à minha namorada e companheira, Camila Libanori Bernardino.
Ao meu orientador Prof. Dr. Peter Sussner, por ter me direcionado durante o desenvolvimento desta pesquisa, através de sua orientação, com disponibilidade, paciência e exigência.
À banca examinadora de qualificação e de defesa da dissertação.
A todos os professores que tive durante minha vida, desde o Ensino Básico até a Pós-Graduação, pois de alguma forma contribuíram para minha formação.
Lista de Ilustrações
2.1 Exemplo de Dilatação e Erosão (Binária). . . 8
2.2 Exemplo de Dilatação e Erosão em Tons de Cinza. . . 11
2.3 Imagem Fuzzy a - Elemento Estruturante s - Erosão fuzzy (256 × 256) de a por s. . 18
3.1 Topologia de um módulo DELP. . . 28
3.2 Topologia de um módulo F-DELP. . . 33
3.3 Relações entre os modelos MRL, DELP e F-DELP. . . 36
4.1 Fronteira de Decisão - Treino. . . 40
Lista de Tabelas
4.1 Taxas de Classificação - Problema Sintético de Ripley. . . 39
4.2 Taxas de Classificação - Íris. . . 41
4.3 Taxas de Classificação - Segmentação de Imagens. . . 42
4.4 Taxas de Classificação - Câncer de Mama de Wisconsin. . . 42
4.5 Taxas de Classificação - 1𝑜 Conjunto de Experimentos. . . 43
4.6 Taxas de Classificação - Doença Cardíaca. . . 45
4.7 Taxas de Classificação - Íris 2. . . 45
4.8 Taxas de Classificação - Diabetes nos índios Pima. . . 46
4.9 Taxas de Classificação - Vinhos. . . 46
4.10 Taxas de Classificação - Identificação de Vidros. . . 47
4.11 Taxas de Classificação - Sonar. . . 47
Lista de Abreviaturas e Siglas
ANN Artificial Neural Network. MM Mathematical Morphology.
FMM Fuzzy Mathematical Morphology. MLP Multilayer Perceptron.
MP Morphological Perceptron.
MNN Morphological Neural Network. MRL Morphological Rank Linear.
FMNN Fuzzy Morphological Neural Network. SE Structuring Element.
poset Partially Ordered Set. ELM Extreme Learning Machine.
DELP Dilation Erosion Linear Perceptron.
F-DELP Fuzzy Dilation Erosion Linear Perceptron.
MP/CL Morphological Perceptrons with Competitive Learning. kNN k-Nearest Neighbors.
SVM Support Vector Machine.
SMO Sequential Minimal Optimization.
FARC-HD Fuzzy Association Rule-based Classification method for High-Dimensional problems. Θ-FAM Θ-Fuzzy Associative Memories.
UCI University of California, Irvine.
KEEL Knowledge Extraction based on Evolutionary Learning.
𝑇𝑀 T-norma do mínimo.
𝑇𝑃 T-norma do produto.
𝑇𝐿 T-norma de Lukasiewicz.
𝐶𝐾 Conjunção de Kleene e Dienes.
𝑈𝐶 Uninorma cross-ratio.
𝐼𝑀 Implicação da T-norma do mínimo.
𝐼𝑃 Implicação da T-norma do produto.
𝐼𝐿 Implicação da T-norma de Lukasiewicz.
𝐼𝐾 Implicação da Conjunção de Kleene e Dienes.
𝐼𝐶 Implicação da Uninorma cross-ratio.
Lista de Símbolos
L, M, G - Reticulado completo. ≤ - Relação de ordem parcial. ∨,⋁︀ - Supremo relativo à relação ≤.
∧,⋀︀ - Ínfimo relativo à relação ≤.
GX - O conjunto de imagens X → G.
𝜈 - Operador negação.
¯a - Reflexão de a com relação à origem. ay - Translação de a por y ∈ X.
𝛿 - Dilatação em reticulados completos (geral). 𝜀 - Erosão em reticulados completos (geral).
𝒟𝐵 - Dilatação binária.
ℰ𝐵 - Erosão binária.
𝒟𝒰 - Dilatação umbra.
ℰ𝒰 - Erosão umbra.
∨
- Representa o produto máximo aditivo. ∧
- Representa o produto mínimo aditivo. ℱ(X) - A classe dos conjuntos fuzzy em X.
⊙ - Representa uma composição relacional fuzzy, dada pelo supremo de conjunções. ~ - Representa uma composição relacional fuzzy, dada pelo ínfimo de implicações.
Lista de Algoritmos
3.1 Treinamento MLP . . . 22 3.2 Treinamento MRL . . . 27 3.3 Treinamento DELP . . . 32 3.4 Treinamento F-DELP . . . 35
Capítulo 1
Introdução
1.1
Redes Neurais: Um Breve Histórico
O desenvolvimento das redes neurais artificiais (ANN) [11, 57, 76] iniciou-se antes da segunda metade do século XX, quando Warren McCulloch e Walter Pitts [45] (por volta de 1943), conce-beram os primeiros modelos abstratos de um neurônio. Hebb [32] (1949) explicou como uma rede de neurônios aprende, propondo uma forma de aprendizado. Após anos, Frank Rosenblatt (1958) desenvolveu o single-layer perceptron [63], que era uma rede usada para reconhecer ou classificar um conjunto de dados previamente definidos.
Porém, a partir de 1969 Marvin Minsky e Seymour Papert [47] fizeram sérias críticas à pesquisa de redes neurais, mostrando por exemplo, que o perceptron não resolvia o problema exclusive-OR (este problema pode ser resolvido por um perceptron de múltiplas camadas com apenas 3 neurô-nios). Esta fase ociosa durou até 1982 quando John Hopfield apresentou a rede de Hopfield [34], restaurando e incentivando novas pesquisas na área. Isto se deve, principalmente, a Rumelhart e McClelland que fizeram um livro [64] (1986) com grande relevância na área da ciência da com-putação. Além disso, com o surgimento do algoritmo de retropropagação para o aprendizado de redes com múltiplas camadas, passamos a ter uma ferramenta relevante para o seu treinamento. Desta forma, foi possível contestar as teses de Minsky e Papert.
Desta forma, os processos de treinamento e aprendizado das redes neurais avançaram em diver-sas direções, como a utilização de algoritmos evolutivos e enxame de partículas. Também existe um desenvolvimento voltado às redes neurais fuzzy (FNNs) [14, 27, 82], que são redes neurais cujos padrões de entrada, saída e pesos sinápticos representam conjuntos fuzzy. Além das FNNs, existe uma abordagem voltada às redes neurais morfológicas (MNNs) [53, 58, 74, 79, 85], que são fun-damentadas na morfologia matemática (MM), este conceito foi desenvolvido a partir dos estudos de George Matheron [42, 43] sobre geometria dos meios porosos e análise de texturas e Jean Serra [66, 67], com a publicação de um livro que passou a tratar a morfologia matemática como uma ferramenta para a análise de imagens. Seu objetivo era extrair informações de imagens binárias utilizando os operadores de dilatação e erosão a partir de elementos estruturantes, que são previa-mente definidos. Esta teoria, utiliza conceitos das teorias de conjuntos, geometria e topologia para a análise de informações das imagens.
binária foram generalizados para o caso de tons de cinza [72, 73, 80] e, posteriormente, desenvolvida a MM fuzzy [20, 22, 41, 48, 71, 81].
As redes neurais morfológicas surgiram a partir da união de ideias da MM com as redes neu-rais artificiais, resumidamente, os fundamentos matemáticos das MNNs podem ser encontrados na teoria da MM, com base na estrutura de reticulados completos [33, 62, 67]. A principal caracte-rística das MNNs é o uso de funções de agregação não lineares, que são descritas pelos operadores presentes na MM. Existem vários modelos de MNNs em nossa literatura, com seus respectivos processos de treinamento e aprendizagem, como os perceptrons morfológicos [59, 75], memórias associativas morfológicas [60, 83, 84], perceptrons morfológicos com aprendizagem competitiva [78, 79], além de redes neurais híbridas, como a MRL (morphological/rank/linear) [52, 53] e o DELP (dilation/erosion/linear perceptron) [1, 2, 3]. Estes modelos são utilizados em diversas aplicações, como em problemas de classificação de padrões, reconhecimento de caracteres e previsão de séries temporais [1, 2, 53].
Atualmente, alguns pesquisadores têm desenvolvido redes neurais morfológicas fuzzy (FMNN) cuja função de agregação é fundamentada em operadores da morfologia matemática fuzzy (FMM). Em poucas palavras, podemos dizer que a FMM representa uma extensão da MM binária [81], baseada na teoria dos conjuntos fuzzy [9, 50, 51]. Esta abordagem é relevante se pensarmos que, originalmente, a MM binária foi desenvolvida como uma abordagem da teoria de conjuntos para processamento e análise de objetos (sinais ou imagens) por meio de elementos estruturantes (SEs), e depois foi estendida para a FMM, fundamentada na teoria de conjuntos fuzzy. Só posteriormente, a MM foi orientada sobre uma estrutura de reticulados completos, onde seus operadores elementares foram caracterizados através de propriedades algébricas, definindo dois pontos de vista da MM. Deste modo, a FMM também pode ser vista como uma extensão das definições dos operadores algébricos da MM, ou seja, as definições da FMM englobam as existentes na MM.
1.2
Organização da dissertação
Esta dissertação de mestrado está dividida em 5 capítulos. Neste primeiro capítulo apresen-tamos um breve histórico relacionado às redes neurais, desde sua concepção até os dias de hoje, citando algumas abordagens relacionadas ao trabalho desenvolvido aqui. No capítulo 2 abordamos alguns aspectos teóricos que servem como base para o desenvolvimento das redes neurais morfológi-cas e redes neurais morfológimorfológi-cas fuzzy, onde é definida a teoria de reticulados e, consequentemente, a morfologia matemática em reticulados completos. Também apresentamos o contexto de como a MM em tons de cinza é estendida a partir da MM binária e, além disso, exploramos os conceitos da teoria de conjuntos fuzzy e da morfologia matemática fuzzy. Podemos então, estabelecer uma relação em que a MM fuzzy é definida como uma extensão da MM em tons de cinza e, assim, definir um modelo fundamentado nesta extensão.
Iniciamos o capítulo 3 com a apresentação do modelo neural clássico, para depois expor alguns modelos de redes neurais morfológicas, redes neurais híbridas e suas respectivas regras de treina-mento. Existem diferentes abordagens na área de MNNs, desta forma, tomando uma delas como base é possível desenvolver o modelo neural morfológico, além de modelos híbridos (linear/morfoló-gico) como o MRL e o DELP. Consequentemente, apresentamos um resultado que mostra a relação
existente entre o modelo MRL e o DELP. Deste modo, a partir do modelo DELP e de conceitos da morfologia matemática fuzzy, desenvolvemos um modelo híbrido que ainda não está presente na literatura de redes neurais, denominado de F-DELP (fuzzy dilation/erosion/linear perceptron) [15, 77], que é uma extensão do modelo DELP, devido à relação existente entre a MM fuzzy e a abordagem clássica (umbra) da MM em tons de cinza. Em consequência da elaboração do modelo F-DELP, durante nossa pesquisa de mestrado, produzimos duas publicações internacionais [15, 77].
No capítulo 4 são apresentados os resultados experimentais que foram realizados nos modelos MLP, MRL, DELP e F-DELP, em dois conjuntos de experimentos. Dividimos as implementações em dois conjuntos de experimentos, pois a divisão dos conjuntos de dados e formas de treinamento utilizadas nas publicações que tomamos como referências foram determinadas de maneiras diferen-tes. Assim sendo, tentamos ser o mais fiel possível a estas configurações referentes ao treinamento e divisão dos dados.
O primeiro conjunto de experimentos consiste em quatro problemas de classificação, três estão no repositório da UCI (University of California, Irvine) [6] e um na base de dados da Universidade de Oxford [56]. Estas bases de dados foram escolhidas pois estão presentes no artigo “Morphological perceptrons with competitive learning: Lattice-theoretical framework and constructive learning algorithm” [79], cujo resultado apresentado foi adotado como parâmetro para comparação dos modelos desenvolvidos nesta dissertação.
O segundo conjunto de experimentos é composto por seis problemas de classificação, presentes nos repositórios da UCI e KEEL (Knowledge Extraction based on Evolutionary Learning) [5], porém, como utilizamos três artigos [4, 25, 39] como base de nossas comparações, adotamos as bases de dados do repositório KEEL, que estão ajustadas para o treinamento por meio da validação cruzada (10-folds). Estas bases de dados foram selecionadas pois escolhemos problemas com menos de 1000 padrões, somente com atributos numéricos e sem dados faltantes, que estão nos três artigos citados anteriormente e também nos repositórios da UCI e KEEL.
Após selecionar os problemas a serem desenvolvidos, treinaremos os modelos MLP, MRL, DELP e F-DELP, analisando e comparando seus resultados com os apresentados em publicações recentes, onde foram treinados outros classificadores, como o kNN (k-Nearest Neighbors) [23], árvore de decisão [13, 26, 55], MP/CL (Morphological Perceptron with Competitive Learning) [79], FARC-HD (Fuzzy Association Rule-based Classification method for High-Dimensional problems) [4], Θ-FAM (Θ-Fuzzy Associative Memories) [25] e um representante da máquina de vetores suporte (SVM), conhecido como SMO (Sequential Minimal Optimization) [37]. Apresentaremos no capítulo 5 as conclusões e considerações finais do nosso trabalho.
Capítulo 2
Fundamentos Teóricos
Existem duas abordagens da MM que influenciaram o desenvolvimento das redes neurais mor-fológicas (MNN) e, consequentemente, seus algoritmos de aprendizagem. A primeira tem base na perspectiva geométrica e topológica, em que a MM é uma teoria para o desenvolvimento do pro-cessamento e análise de objetos, como imagens e sinais, por meio de outros objetos, denominados elementos estruturantes (SEs). A segunda tem base na perspectiva algébrica de reticulados, onde a MM tem seus operadores definidos em reticulados completos.
Desta forma, inicialmente, iremos apresentar os conceitos básicos da teoria de reticulados, reticulados completos e os operadores da MM fundamentados nesta abordagem e, posteriormente, expor um outro ponto de vista dos operadores da MM, a partir de uma perspectiva geométrica e topológica.
2.1
Morfologia Matemática em Reticulados Completos
A base da morfologia matemática pode ser encontrada na teoria de reticulados [33, 62], que é concebida segundo algumas estruturas algébricas, surgindo por imposição de algum tipo de ordem em um conjunto. Segundo Birkhoff [10], os conceitos da teoria dos reticulados estão difundidos em toda álgebra moderna. Muitos modelos de redes neurais artificiais (ANN) são construídos com base na teoria de reticulados [36, 54, 58, 68].Desta forma, apresentaremos os conceitos necessários para o desenvolvimento da nossa pesquisa, além daqueles que são imprescindíveis para o entendimento do trabalho.
Definição 2.1.1 (Conjunto Parcialmente Ordenado [10, 33]). Um conjunto parcialmente ordenado (L, ≤) ou poset, é um conjunto L em que uma relação binária ≤ é definida, satisfazendo as três
propriedades a seguir para todo 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ L:
(2.1.1a) P1. 𝑥 ≤ 𝑥 (Reflexiva), (2.1.1b) P2. 𝑥 ≤ 𝑦 e 𝑦 ≤ 𝑥 ⇒ 𝑥= 𝑦 (Antissimétrica), (2.1.1c) P3. 𝑥 ≤ 𝑦 e 𝑦 ≤ 𝑧 ⇒ 𝑥 ≤ 𝑧 (Transitiva).
Se ≤ tem a propriedade adicional que, para quaisquer dois elementos 𝑥, 𝑦 ∈ L, nós temos 𝑥 ≤ 𝑦 ou 𝑦 ≤ 𝑥, então L é dito totalmente ordenado ou uma corrente (chain). Consequentemente, ≤ é uma ordem total em L.
Definição 2.1.2 (Reticulado [10, 33]). Um conjunto parcialmente ordenado L é denominado
re-ticulado se, e somente se, todo subconjunto finito não-vazio de L possui um ínfimo e um supremo em L. O ínfimo do subconjunto Y ⊆ L é denotado por ⋀︀
Y e o supremo é denotado por ⋁︀
Y. Definição 2.1.3 (Reticulado Completo [10, 33]). O conjunto L é dito reticulado completo se todo
subconjunto, finito ou infinito, de L possui ínfimo e supremo em L.
Exemplo 2.1.4. Note que, por exemplo, o intervalo [0, 1], o conjunto R±∞= R ∪ {+∞, −∞} e o
conjunto Z±∞= Z ∪ {+∞, −∞} representam reticulados completos.
Definição 2.1.5 (Homomorfismo de Reticulados [18, 29]). Dados L e M dois reticulados. Uma
função 𝑓 : L → M que satisfaz as seguintes equações para todo 𝑥 ∈ L e para todo 𝑦 ∈ M é chamada de homomorfismo de reticulados:
(2.1.2a) 𝑓(𝑥 ∨ 𝑦) = 𝑓(𝑥) ∨ 𝑓(𝑦),
(2.1.2b) 𝑓(𝑦 ∧ 𝑥) = 𝑓(𝑥) ∧ 𝑓(𝑦).
Um homomorfismo de reticulados bijetivo 𝑓 : L → M, é dito um isomorfismo de reticulados. Se L = M temos um automorfismo de reticulados.
Definição 2.1.6 (Negação [33]). A função 𝜈 : L → L é chamada de automorfismo dual se ela
inverte a ordem parcial sobre L. Um automorfismo dual involutivo 𝜈 : L → L representa uma negação em L. Ou seja, uma negação em L é uma bijeção involutiva que inverte a ordem parcial de L.
Podemos dizer que a MM foi desenvolvida inicialmente para a utilização em imagens binárias, com Serra [66, 67] e Matheron [42, 43], que estudavam a geometria de meios porosos e a análise de texturas. Nestes estudos, os objetos considerados eram representados matematicamente por subconjuntos, definidos por funções binárias. Além disso, a partir das definições de adição e subtração de conjuntos desenvolvidas por Hermann Minkowski [46] e Hugo Hadwiger [30], foram criados os operadores básicos da MM, denominados de dilatação e erosão.
Desde o início do desenvolvimento da MM, na área de processamento e análise de imagens, sentia-se a necessidade de uma base teórica mais geral para este tipo de topologia. Desta forma, Serra e Matheron logo generalizaram este teoria para o domínio dos reticulados completos, que ocorreu a partir do fato de existir a dependência de uma relação de ordem nos resultados obtidos para conjuntos/subconjuntos e funções. Isto significa que a teoria da MM requer essencialmente que o espaço onde as imagens são definidas seja um reticulado completo.
Assim, fundamentado na MM em reticulados completos, é possível desenvolver uma teoria consistente para a MM binária, MM em tons de cinza e MM fuzzy. De fato, os conjuntos {0, 1}, R±∞ = R ∪ {+∞, −∞}, Z±∞ = Z ∪ {+∞, −∞} e [0, 1] definem reticulados completos. Deste
modo, a classe das imagens X → G com a ordem pontual herdada de G forma um reticulado completo, onde X denota um conjunto de pontos, cujos valores correspondem aos tons da imagem: preto e branco {0, 1} no caso da MM binária, tons de cinza (R±∞ou Z±∞) para a MM em tons de
cinza e valores em [0, 1] para a MM fuzzy. Observe que existe um isomorfismo entre os reticulados completos G𝑛 e GX, isto é, G𝑛 ≃ GX, para X = {x1, . . . , x𝑛}.
No contexto da Morfologia Matemática, uma erosão (algébrica) é um mapeamento 𝜀 de um reticulado completo L para um reticulado completo M que comuta com o operador ínfimo. E uma dilatação (algébrica) é um mapeamento 𝛿 de um reticulado completo L para um reticulado completo M que comuta com o operador supremo.
Definição 2.1.7 (Erosão [33, 67]). O operador 𝜀 : L → M representa uma erosão (algébrica) se,
e somente se, para todo subconjunto Y ⊆ L a seguinte igualdade é válida:
(2.1.3 ) 𝜀(︁⋀︁Y)︁= ⋀︁
𝑦∈Y
𝜀(𝑦) .
Definição 2.1.8 (Dilatação [33, 67]). O operador 𝛿 : L → M representa uma dilatação (algébrica)
se, e somente se, para todo subconjunto Y ⊆ L a seguinte igualdade é válida:
(2.1.4 ) 𝛿(︁⋁︁Y)︁= ⋁︁
𝑦∈Y
𝛿(𝑦) .
Definição 2.1.9 (Anti-erosão e Anti-dilatação [8, 67]). Seja Y ⊆ L, então a anti-erosão ¯𝜀 e a
anti-dilatação ¯𝛿, são definidas da seguinte forma:
(2.1.5a) ¯𝜀 : L → M é chamada de anti-erosão ⇔ ¯𝜀(︁⋀︁ Y)︁= ⋁︁ 𝑦∈Y ¯𝜀(𝑦) , (2.1.5b) ¯𝛿 : L → M é chamada de anti-dilatação ⇔ ¯𝛿(︁⋁︁ Y)︁= ⋀︁ 𝑦∈Y ¯𝛿(𝑦) .
Alguns autores, utilizam o sufixo “algébrico” nos quatro operadores elementares da MM des-critos anteriormente para distinguir das definições baseadas em medidas de inclusão e intersecção, como na MM binária. Originalmente, os operadores de dilatação e erosão foram definidos no contexto de processamento e análise de imagens, ou seja, as operações ocorriam entre imagens e elementos estruturantes. Somente com o desenvolvimento da morfologia matemática em reticula-dos completos, passou-se a operar entre quaisquer objetos que definem reticulareticula-dos completos (não somente entre elementos estruturantes e imagens). Consequentemente, o sufixo “algébrico” nestes operadores se deve ao fato de tratá-los de uma maneira mais geral.
Os operadores de erosão e dilatação são frequentemente associados em termos de uma relação de dualidade. Temos a dualidade em relação à adjunção e a dualidade em relação à negação. Definição 2.1.10 (Adjunção [33]). Dados dois operadores arbitrários 𝜀 : L → M e 𝛿 : M → L
com L, M reticulados completos. Dizemos que o par (𝜀, 𝛿) é uma adjunção se, e somente se, a seguinte sentença for válida:
(2.1.6 ) 𝛿(𝑥) ≤ 𝑦 ⇔ 𝑥 ≤ 𝜀(𝑦), ∀𝑥 ∈ M, ∀𝑦 ∈ L.
Proposição 2.1.11 (Dualidade [33, 67]). Sejam dois operadores arbitrários 𝜀 : L → M e 𝛿 : M → L com L, M reticulados completos. Então, para uma dilatação 𝛿, existe uma única erosão 𝜀 tal que
o par (𝜀, 𝛿) forma uma adjunção. Analogamente, para uma erosão 𝜀, existe uma única dilatação 𝛿 tal que o par (𝜀, 𝛿) forma uma adjunção.
Banon e Barrera [8] apresentaram um resultado relevante na morfologia matemática, demons-trando que todo mapeamento Ψ entre reticulados completos L e M pode ser expresso em termos das operações básicas da morfologia matemática.
Teorema 2.1.12 (Mapeamento entre Reticulados Completos [8]). Todo mapeamento Ψ : L → M
com L e M reticulados completos, pode ser representado como o supremo de ínfimos entre erosões e anti-dilatações, para algum conjunto de índices 𝐼, ou seja:
(2.1.7 )
Ψ = ⋁︁
𝑖∈𝐼
(︁
𝜀𝑖∧ ¯𝛿𝑖)︁
Similarmente, Ψ : L → M pode ser expresso como ínfimo de supremos entre dilatações e anti-erosões.
A prova do teorema anterior é construtiva e pode ser demonstrada a partir de hipótese de L e M serem reticulados completos [8].
A partir das duas noções de dualidade da MM: adjunção e negação, temos resultados em que anti-dilatações e anti-erosões são expressas por meio da combinação de uma negação com uma erosão ou dilatação.
Teorema 2.1.13 (Decomposição de Anti-dilatações e Anti-erosões). Sejam L e M reticulados
completos com negações 𝜈L e 𝜈M, respectivamente, o operador 𝛿 uma dilatação e operador 𝜀 uma erosão, então:
1. Um operador ¯𝛿 : L → M é uma anti-dilatação ⇔ ¯𝛿 = 𝜀 ∘ 𝜈L e ¯𝛿 = 𝜈M∘ 𝛿. 2. Um operador ¯𝜀 : M → L é uma anti-erosão ⇔ ¯𝜀 = 𝛿 ∘ 𝜈M e ¯𝜀 = 𝜈L∘ 𝜀.
Além desta abordagem com base na teoria algébrica de reticulados, existe um ponto de vista da MM com origem na perspectiva geométrica e topológica, em que são estudados o processamento e análise de objetos, como imagens ou sinais, por meio de elementos estruturantes. A partir disto, temos o desenvolvimento da MM para análise de imagens binárias. Identifica-se uma imagem binária A com um subconjunto de X, onde X pode ser representado pelo espaço euclidiano R𝑑ou
pelo espaço digital Z𝑑, com 𝑑 inteiro positivo, no caso de processamento de imagens, temos 𝑑 = 2.
O conjunto das partes de X é um conjunto parcialmente ordenado em termos da operação “⊆” e forma um reticulado completo. Portanto, o contexto de reticulado apresentado nesta dissertação pode ser aplicado para a morfologia matemática binária e também para sua extensão, a morfologia matemática em tons de cinza.
2.2
Morfologia Matemática Binária e em Tons de Cinza
Os operadores básicos da morfologia matemática binária são a erosão ℰ𝐵 e a dilatação 𝒟𝐵, e apartir deles os outros operadores morfológicos são definidos baseado na teoria de conjuntos, através das operações de união, intersecção e subtração de conjuntos. Essas operações estão associadas a um subconjunto S ⊆ X chamado elemento estruturante. Um elemento estruturante é geralmente usado para extrair informações da imagem.
Definição 2.2.1 (Dilatação Binária e Erosão Binária [24, 61]). Seja A ⊆ X uma imagem binária
e S ⊆ X um elemento estruturante. A erosão binária ℰ𝐵(A, S) e a dilatação binária 𝒟𝐵(A, S) de
uma imagem A pelo elemento estruturante S são definidas em termos de translações e reflexões de conjuntos, como a seguir:
(2.2.1a) ℰ𝐵(A, S) = {x ∈ X : Sx⊆ A} , (2.2.1b) 𝒟𝐵(A, S) = {︁ x ∈ X: ¯Sx∩ A ̸= ∅ }︁ .
onde a translação Sx de S por x ∈ X é dada por Sx = {s + x : s ∈ S}, o símbolo ¯S denota a
reflexão de S ao redor da origem, ou seja, ¯S= {−s ∈ X : s ∈ X} e ¯Sx representa a translação de ¯S por x ∈ X.
As definições de dilatação e erosão binária apresentadas correspondem à abordagem de Stanley Sternberg [72], em que a dilatação coincide com a soma de Minkowski [46] e a erosão coincide com a subtração de Minkowski [46]. Serra [66] defini a dilatação um pouco diferente, a dilatação de A pelo elemento estruturante S é dada por 𝒟𝐵(A, ¯S) = {x ∈ X : Sx∩ A ̸= ∅}. Entretanto, para a definição de erosão binária, as abordagens de Sternberg e Serra coincidem.
As Figuras 2.1(a), 2.1(b), 2.1(c) e 2.1(d) ilustram como ocorrem uma dilatação e erosão de uma imagem A por um elemento estruturante S.
(a) Imagem Original (256 × 256).
(b) Elemento Estruturante (21 × 21).
(c) Dilatação de A por S. (d) Erosão de A por S.
Figura 2.1: Exemplo de Dilatação e Erosão (Binária).
Observação 2.2.2. Note que as definições de erosão binária e dilatação binária também satisfazem
as definições de erosão algébrica e dilatação algébrica. Ou seja, dado um elemento estruturante (SE) arbitrário S, temos que a erosão binária ℰ𝐵(·, S) comuta com o ínfimo (é uma erosão
algé-brica) e a dilatação binária 𝒟𝐵(·, S) comuta com o supremo (é uma dilatação algébrica).
A partir da MM binária, é possível generalizar seus conceitos para a MM em tons de cinza, estendendo seu contradomínio de forma que estejamos sempre lidando com uma função definida em conjuntos que sejam reticulados completos. Uma imagem em tons de cinza, difere de uma imagem binária no contradomínio, ou seja, enquanto identificamos uma imagem binária com uma função 𝑔 : 𝒟𝑔 ⊂ X → {0, 1}, uma imagem em tons de cinza pode ser identificada com uma função
𝑓 : 𝒟𝑓 ⊂ X → 𝒢, onde 𝒢 é um conjunto cujos valores correspondem aos tons de cinza. Logo,
a morfologia matemática binária deve ser estendida para o caso em tons de cinza. Nesta seção apresentaremos a abordagem clássica da MM em tons de cinza, denominada Umbra (Sternberg) [72, 73], mas além dela existem outras abordagens, como a Threshold (Serra) [66] e a Level Set [33].
Na morfologia matemática em tons de cinza, aplica-se os conceitos da teoria de reticulados para imagens, isto é, funções de um conjunto de pontos X em um reticulado completo G, cujos valores correspondem aos tons de cinza da imagem. Vamos considerar aqui apenas imagens X → G, onde G denota o conjunto dos reais estendidos R±∞ = R ∪ {+∞, −∞} ou o conjunto dos
inteiros estendidos Z±∞= Z ∪ {+∞, −∞}. Observe que G é um reticulado completo com negação
𝑣(𝑥) = −𝑥 para todo 𝑥 ∈ G e, consequentemente a classe das imagens X → G forma um reticulado
completo.
O conjunto das imagens X → G é denotado por GX. Dada uma imagem a ∈ GX, define-se a reflexão ¯a de a com respeito à origem e a translação ay de a por y ∈ X conforme as seguintes equações:
(2.2.2a) ¯a(x) = a(−x), ∀x ∈ X,
(2.2.2b) ay(x) = a(x − y), ∀x ∈ X.
Note que o conjunto GX herda de G a estrutura de reticulado completo com negação se a ≤ b e 𝜈(a) forem definidos como segue, para todo a, b ∈ GX:
(2.2.3a) a ≤ b ⇔ a(x) ≤ b(x), ∀x ∈ X,
(2.2.3b)
𝜈(a)(x) = −a(x), ∀x ∈ X.
As operações básicas da morfologia matemática em tons de cinza são a erosão e a dilatação no reticulado completo GX. Essas operações estão geralmente associadas a um elemento estruturante pertencente à GX, que é usado para extrair informações relevantes sobre a forma e o tamanho dos objetos contidos na imagem. Nesse contexto, uma erosão refere-se a um operador ℰ : GX
× GX → GX que comuta com o ínfimo no primeiro argumento. Diz-se que ℰ(a, s) é a erosão de uma imagem a ∈ GX por um elemento estruturante s ∈ GX. Analogamente, um operador 𝒟 : GX× GX
→ GX é uma dilatação quando comutar com o supremo no primeiro argumento e 𝒟(a, s) representa a dilatação da imagem a pelo elemento estruturante s.
Definição 2.2.3 (Umbra [33, 62]). Considere um conjunto de pontos X e um conjunto de tons de
cinza G. Um subconjunto 𝑈 de X × G é uma umbra se, para todo x ∈ X e para todo 𝑠, 𝑡 ∈ G tal que 𝑠 < 𝑡 e (x, 𝑡) ∈ 𝑈, tem-se (x, 𝑠) ∈ 𝑈. O conjunto de todas as umbras contidas em X × G é denotado por 𝒰X×G
O subconjunto 𝒰X×G é um reticulado completo contido no conjunto das partes de X × G, ou seja, 𝒰X×G ⊆ 𝒫(X × G). Pode-se definir um endomorfismo de reticulados 𝒰 : GX → 𝒰X×G que associa uma imagem em tons de cinza a ∈ GX a sua umbra 𝒰(a), onde 𝒰(a) [62] é definida como: (2.2.4) 𝒰(a) = {(x, 𝑡) ∈ X × G′ : 𝑡 ≤ a(x)} .
onde G′ denota G∖{−∞, +∞}.
Da definição de 𝒰(a), tem-se que o homomorfismo de reticulados 𝒰 : GX → 𝒰
X×G torna-se um isomorfismo de reticulados se o conjunto de tons de cinza G é discreto, isto é, G = Z±∞. O inverso
desse isomorfismo é 𝒯 : 𝒰X×G → GX, onde 𝒯 (𝑈) é dado pela seguinte equação:
(2.2.5) (𝒯 (𝑈))(x) =⋁︁
{𝑡 ∈ G : (x, 𝑡) ∈ 𝑈} , ∀x ∈ X.
O isomorfismo 𝒯 (𝑈) é chamado topo da umbra 𝑈. No caso em tons de cinza contínuos, ou seja, G = R±∞ o homomorfismo 𝒰 é injetivo mas não é sobrejetivo. Entretanto, para ambos os casos,
discreto e contínuo, define-se a dilatação 𝒟𝒰(a, s) e a erosão da umbra ℰ𝒰(a, s) como a seguir.
Definição 2.2.4 (Erosão de Umbra e Dilatação de Umbra [62, 72]). Sejam a, s ∈ GX. A erosão
da umbra ℰ𝒰(a, s) e a dilatação da umbra 𝒟𝒰(a, s) da imagem a pelo elemento estruturante s são
definidas da seguinte maneira, respectivamente:
(2.2.6a)
ℰ𝒰(a, s) = 𝒯 (ℰℬ(𝒰(a), 𝒰(s))),
(2.2.6b)
𝒟𝒰(a, s) = 𝒯 (𝒟ℬ(𝒰(a), 𝒰(s))).
Porém, na prática, considera-se a seguinte formulação para ℰ𝒰 e 𝒟𝒰.
Proposição 2.2.5 (Formulação Alternativa para Erosão e Dilatação da Umbra [33, 62]). Sejam a, s ∈ GX. A erosão da umbra ℰ𝒰(a, s) e a dilatação da umbra 𝒟𝒰(a, s) da imagem a pelo elemento
estruturante s são definidas pelas seguintes equações, respectivamente:
(2.2.7a) ℰ𝒰(a, s)(x) = ⋀︁ y∈Y (a(y) +′(−s x(y))), (2.2.7b) 𝒟𝒰(a, s)(x) = ⋁︁ y∈Y (a(y) + (¯sx(y))).
As operações + e +′ coincidem com a soma usual em R exceto para +∞ e −∞ onde valem as
seguintes equações:
(2.2.8a) (+∞) + (−∞) = (−∞) + (+∞) = −∞,
(2.2.8b) (+∞) +′(−∞) = (−∞) +′ (+∞) = +∞.
Proposição 2.2.6 (Adjunção dos Operadores da Umbra [33]). A erosão ℰ𝒰 e a dilatação 𝒟𝒰 são
operadores duais com respeito à adjunção e com respeito à negação 𝜈 (2.2.3b).
As Figuras 2.2(a), 2.2(b), 2.2(c) e 2.2(d) ilustram como ocorrem uma dilatação e erosão de uma imagem em tons de cinza a por um elemento estruturante s.
(a) Imagem Original (256 × 256).
(b) Elemento Estruturante (21 × 21).
(c) Dilatação de a por s. (d) Erosão de a por s.
Figura 2.2: Exemplo de Dilatação e Erosão em Tons de Cinza.
Deste modo, fundamentado nos operadores de dilatação (2.2.7b) e erosão (2.2.7a) em tons de cinza, é possível fazer uso dos produtos matriciais (ou vetoriais) da álgebra minimax [16, 17], que podem ser utilizados como operadores nas redes neurais morfológicas. Existem dois tipos de operações definidas neste contexto: o produto máximo aditivo e o produto mínimo aditivo.
Definição 2.2.7(Produto Máximo Aditivo e Produto Mínimo Aditivo [16, 17]). Sejam 𝐴 ∈ R(𝑚×𝑝)
e 𝐵 ∈ R(𝑝×𝑛)±∞ . Definimos o produto máximo aditivo e o produto mínimo aditivo da matriz 𝐴 pela
matriz 𝐵, respectivamente por:
(2.2.9a) 𝐴 𝐵 = 𝐶, onde 𝑐∨ 𝑖𝑗 = 𝑝 ⋁︁ 𝑘=1 (𝑎𝑖𝑘+ 𝑏𝑘𝑗), (2.2.9b) 𝐴 𝐵 = 𝐷, onde 𝑑∧ 𝑖𝑗 = 𝑝 ⋀︁ 𝑘=1 (𝑎𝑖𝑘+′𝑏𝑘𝑗).
Nas Equações (2.2.9a) e (2.2.9b), os operadores + e +′ possuem prioridade em relação as
operações de ∨ e ∧ do reticulado. Contudo, o uso de parênteses pode ser utilizado para alterar o significado da expressão, por exemplo em (𝑥 ∨ 𝑦) + 𝑧.
Na álgebra minimax, o conjugado de um elemento 𝑥 ∈ G é denotado por 𝑥* e definido por: (2.2.10) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ −𝑥, se 𝑥 ∈ G∖{−∞, +∞} (inverso aditivo) +∞, se 𝑥 = −∞ −∞, se 𝑥 = +∞
Note que o mapeamento 𝑣* : G → G, dado por 𝑣*(𝑥) = 𝑥*representa uma negação no reticulado
G.
Neste momento, é possível definir os operadores de dilatação e erosão em tons de cinza por meio dos produtos apresentados em 2.2.9 e, consequentemente, utilizá-los como função de agregação nas redes neurais morfológicas.
Teorema 2.2.8 (Erosão entre Reticulados Completos [79]). Considere o seguinte operador 𝜀𝐴(x) :
R𝑛±∞→ R𝑚±∞, com A ∈ R𝑚×𝑛 e x ∈ R𝑛±∞:
(2.2.11 ) 𝜀𝐴(x) = 𝐴 ∧ x.
Temos que 𝜀 representa uma erosão do reticulado completo R𝑛±∞ para o reticulado completo R𝑚±∞.
Teorema 2.2.9 (Dilatação entre Reticulados Completos [79]). Considere o seguinte operador
𝛿𝐴(x) : R𝑛±∞ → R𝑚±∞, com A ∈ R𝑚×𝑛 e x ∈ R𝑛±∞:
(2.2.12 ) 𝛿𝐴(x) = 𝐴 ∨ x.
Temos que 𝛿 representa uma dilatação do reticulado completo R𝑛±∞ para o reticulado completo
R𝑚±∞.
Os operadores 𝜀𝐴 e 𝛿𝐴 são utilizados por vários modelos de redes neurais morfológicas, como
por exemplo, o perceptron morfológico e as memórias associativas morfológicas [59, 60, 83].
2.3
Morfologia Matemática Fuzzy
A partir da MM binária, vimos que uma de suas extensões nos leva a abordagem da MM em tons de cinza, entretanto, também temos uma extensão com base na teoria dos conjuntos fuzzy, denominada morfologia matemática fuzzy (FMM), que consiste basicamente de todos os operadores morfológicos cujos domínio e contra-domínio são classes de conjuntos fuzzy. Existem diversas pesquisas relacionando a MM com a teoria de conjuntos fuzzy, como nas propostas de Sinha e Dougherty [69, 70], Bloch e Maître [12], De Baets [20], Deng e Heijmans [22] e Maragos [41]. Ainda neste contexto, em alguns artigos são revisadas e comparadas as diferentes abordagens da FMM [48, 81].
De acordo com Sussner e Valle [81], as principais abordagens da FMM podem ser obtidas a partir da MM binária utilizando os conceitos de medida de inclusão fuzzy e medida de intersecção fuzzy, ou seja, a FMM representa uma extensão da MM binária baseada na teoria de conjuntos fuzzy. Nesta dissertação, adotaremos como base a abordagem da MM fuzzy concebida como uma extensão da MM em tons de cinza, ou seja, os operadores de dilatação e erosão fuzzy estendem os
de dilatação e erosão em tons de cinza. Esta extensão está fundamentada no fato de que existe uma correspondência entre a abordagem umbra da MM em tons de cinza com a MM fuzzy baseada no par (𝐼𝐿, 𝑇𝐿) (definido na próxima subseção). Efetivamente, esta relação pode ser definida pela
aplicação de um limiar nos operadores tratados na umbra [81].
Desta forma, vamos apresentar alguns conceitos da teoria de conjuntos fuzzy que são essenciais para a definição e entendimento da FMM.
2.3.1
Conceitos da Teoria de Conjuntos Fuzzy
A teoria dos conjuntos fuzzy é uma extensão da teoria clássica de conjuntos. Essa teoria ma-temática foi introduzida por Lofti Zadeh [90], como uma ferramenta para modelar a imprecisão, incerteza e ambiguidade que surgem em problemas. Ela atua como ferramenta em diversas áreas, como por exemplo na Biomatemática [9] e também em aplicações nos múltiplos campos da Enge-nharia [50, 51]. O termo fuzzy é traduzido por alguns autores da língua portuguesa, por nebuloso ou então difuso, neste trabalho vamos nos referir a ele como fuzzy.
Definição 2.3.1 (Função Característica). Seja 𝑈 um conjunto e 𝐴 um subconjunto de 𝑈. A
função característica de 𝐴 é dada por:
(2.3.1 ) 𝜒𝐴(𝑥) =
{︃
1, se 𝑥 ∈ 𝐴 0, se 𝑥 /∈ 𝐴
Desta forma, 𝜒𝐴 é uma função cujo domínio é 𝑈 e a imagem está contida no conjunto {0, 1},
com 𝜒𝐴(𝑥) = 1 indicando que o elemento 𝑥 está em 𝐴, enquanto 𝜒𝐴(𝑥) = 0 indica que 𝑥 não é
um elemento de 𝐴. Assim, a função característica descreve completamente o conjunto 𝐴 já que tal função indica quais elementos do conjunto universo 𝑈 são elementos também de 𝐴.
Existem casos em que a pertinência entre elementos e conjuntos não é precisa, ou seja, não sabemos dizer se um elemento pertence efetivamente a um conjunto ou não. Assim, podemos definir um conjunto fuzzy, que é uma função de um conjunto 𝑈 para o intervalo [0, 1].
Definição 2.3.2 (Função de Pertinência). Seja 𝑈 um conjunto (clássico); um subconjunto fuzzy
𝐹 de 𝑈 é caracterizado por uma função:
(2.3.2 ) 𝜙𝐹 : 𝑈 → [0, 1] ,
pré-fixada, chamada de função de pertinência do subconjunto fuzzy 𝐹 . O índice 𝐹 na função de pertinência é usado em analogia à função característica de subconjunto clássico, conforme (2.3.1).
O valor 𝜙𝐹(𝑥) ∈ [0, 1] indica o grau com que o elemento 𝑥 de 𝑈 está no subconjunto fuzzy 𝐹 ;
𝜙𝐹(𝑥) = 0 e 𝜙𝐹(𝑥) = 1 indicam respectivamente, a não pertinência e a pertinência completa de 𝑥
ao conjunto fuzzy 𝐹 .
Observação 2.3.3. Seja ℱ(X) = [0, 1]X a classe dos conjuntos fuzzy em X. Matematicamente falando, ℱ(X) pode ser visto como o conjunto das funções a : X → [0, 1] e, portanto, por simpli-cidade utilizaremos a(x) em vez de 𝜙a(x).
Para realizar uma avaliação lógica dos conectivos ou (disjunção) e e (conjunção) no sentido fuzzy, devemos estendê-los. Tais extensões são obtidas por meio das normas e co-normas (s-normas) triangulares [22, 38, 50].
Definição 2.3.4 (Conjunção Fuzzy [22, 38, 50]). Uma conjunção fuzzy é um operador crescente
𝐶 : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] que satisfaz:
(2.3.3a) 𝐶(0, 0) = 𝐶(0, 1) = 𝐶(1, 0) = 0;
(2.3.3b) 𝐶(1, 1) = 1;
ou seja, 𝐶 estende a conjunção clássica.
Definição 2.3.5 (T-Norma [22, 38, 50]). Uma conjunção fuzzy 𝑇 : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] que
satisfaz as condições a seguir para quaisquer 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢, 𝑣 ∈ [0, 1], é chamada norma triangular ou simplesmente t-norma: (2.3.4a) elemento identidade: 𝑇(1, 𝑥) = 𝑥; (2.3.4b) comutatividade: 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑇 (𝑦, 𝑥); (2.3.4c) associatividade: 𝑇(𝑥, 𝑇 (𝑦, 𝑧)) = 𝑇 (𝑇 (𝑥, 𝑦), 𝑧); (2.3.4d) monotonicidade: se 𝑥 ≤ 𝑢 e 𝑦 ≤ 𝑣, então 𝑇(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑇 (𝑢, 𝑣).
Observação 2.3.6. A operação t-norma estende o operador ∧ que modela o conectivo e.
Exemplo 2.3.7 (Mínimo, Produto, Conjunção de Lukasiewicz e Conjunção de Kleene e Dienes [22]). Os operadores de mínimo e produto são alguns exemplos de conjunções fuzzy. Existem outras
conjunções fuzzy que foram introduzidas por Lukasiewicz e Kleene e Dienes.
(2.3.5a) 𝐶𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ∧ 𝑦; (2.3.5b) 𝐶𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦; (2.3.5c) 𝐶𝐿(𝑥, 𝑦) = 0 ∨ (𝑥 + 𝑦 − 1); (2.3.5d) 𝐶𝐾(𝑥, 𝑦) = {︃ 0, 𝑦 ≤ 1 − 𝑥 𝑦, 𝑦 >1 − 𝑥
As conjunções fuzzy 𝐶𝑀, 𝐶𝑃 e 𝐶𝐿 também são exemplos de t-normas. Por isso, a partir de
agora, denotaremos estas t-normas por 𝑇𝑀, 𝑇𝑃 e 𝑇𝐿 ao invés de 𝐶𝑀, 𝐶𝑃 e 𝐶𝐿.
Os conceitos de t-norma e s-norma [22, 38, 50] desempenham um papel importante na genera-lização dos operadores de agregação e e ou da lógica clássica. Estes operadores fuzzy, definidos no intervalo unitário, se diferenciam pelos elementos identidade, 1 para a t-norma e 0 para s-norma. Pretendendo unificar e generalizar estes operadores, Yager e Rybalov [88], desenvolveram o opera-dor chamado uninorma, em que o elemento identidade 𝑒 pode ser definido como qualquer elemento pertencente ao intervalo [0, 1]. Desde os anos 90 diversos autores vem estudando e desenvolvendo os conceitos de uninormas, assim como sua aplicação [28, 51, 85, 87].
Definição 2.3.8 (Uninorma [28, 51, 88]). Uma uninorma é uma operação binária 𝑈 : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] que satisfaz as seguintes propriedades para quaisquer 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑝, 𝑞 ∈ [0, 1]:
(2.3.6a) comutatividade: 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑈(𝑦, 𝑥); (2.3.6b) associatividade: 𝑈(𝑥, 𝑈(𝑦, 𝑧)) = 𝑈(𝑈(𝑥, 𝑦), 𝑧); (2.3.6c) monotonicidade: se 𝑥 ≤ 𝑝 e 𝑦 ≤ 𝑞, então 𝑈(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑈(𝑝, 𝑞); (2.3.6d) elemento identidade: ∃ 𝑒 ∈[0, 1] tal que 𝑈(𝑥, 𝑒) = 𝑥.
Exemplo 2.3.9 (Uninorma Cross-Ratio [28]).
(2.3.7 ) 𝑈𝐶(𝑥, 𝑦) = {︃ 0, se (𝑥, 𝑦) = (0, 1) ou (𝑥, 𝑦) = (1, 0) 𝑥𝑦 𝑥𝑦+(1−𝑥)(1−𝑦), caso contrário
Definição 2.3.10 (Implicação Fuzzy [22, 50]). Um operador 𝐼 : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1], decrescente
no primeiro argumento e crescente no segundo argumento é chamado implicação fuzzy 𝐼 se estende a implicação clássica usual em {0, 1} × {0, 1}, ou seja,
(2.3.8a) 𝐼(1, 1) = 𝐼(0, 1) = 𝐼(0, 0) = 1;
(2.3.8b) 𝐼(1, 0) = 0.
Exemplo 2.3.11 (Implicação de Gödel, Implicação de Goguen, Implicação de Lukasiewicz, Impli-cação de Kleene e Dienes e ImpliImpli-cação Cross-ratio [21, 22]). Alguns exemplos de implicações fuzzy
foram introduzidas por Gödel, Goguen, Lukasiewicz, Kleene e Dienes, De Baets e Fodor.
(2.3.9a) 𝐼𝑀(𝑥, 𝑦) = {︃ 1, 𝑥 ≤ 𝑦 𝑦, 𝑥 > 𝑦 (2.3.9b) 𝐼𝑃(𝑥, 𝑦) = {︃ 1, 𝑥 ≤ 𝑦 𝑦 𝑥, 𝑥 > 𝑦 (2.3.9c) 𝐼𝐿(𝑥, 𝑦) = 1 ∧ (1 − 𝑥 + 𝑦) (2.3.9d) 𝐼𝐾(𝑥, 𝑦) = (1 − 𝑥) ∨ 𝑦 (2.3.9e) 𝐼𝐶(𝑥, 𝑦) = {︃ 1, se (𝑥, 𝑦) = (0, 0) ou (𝑥, 𝑦) = (1, 1) (1−𝑥)𝑦 𝑦(1−𝑥)+𝑥(1−𝑦), caso contrário
Definição 2.3.12(Negação Fuzzy [22, 51]). Uma aplicação 𝑁 : [0, 1] → [0, 1] é uma negação fuzzy
se satisfizer as seguintes condições:
(2.3.10a) fronteiras: 𝑁(0) = 1 e 𝑁(1) = 0;
(2.3.10b) monotonicidade: 𝑁 é não-crescente.
Além disso, dizemos que 𝑁 é uma negação estrita se é estritamente decrescente. E uma negação estrita é uma negação forte se satisfizer:
(2.3.11 ) involução: 𝑁(𝑁(𝑥)) = 𝑥.
Exemplo 2.3.13 (Negações Fuzzy). (2.3.12a) 𝑁𝑆(𝑥) = 1 − 𝑥; (2.3.12b) 𝑁𝐷(𝑥) = 1 − 𝑥 1 + 𝑝𝑥; 𝑝 > −1; (2.3.12c) 𝑁𝑅(𝑥) = 𝑝 √ 1 − 𝑥𝑝; 𝑝 ∈ (0, ∞).
Uma conjunção fuzzy pode estar relacionada com uma implicação fuzzy através de uma relação de dualidade com respeito à adjunção [22]. Diz-se que uma conjunção fuzzy 𝐶 e uma implicação fuzzy 𝐼 formam uma adjunção se, e somente se, 𝐶(𝑥, ·) e 𝐼(𝑥, ·) for uma adjunção para todo
𝑥 ∈ [0, 1]. Nesse caso, 𝐶 e 𝐼 são ditos operadores adjuntos. Por exemplo, os pares (𝐼𝑀, 𝐶𝑀),
(𝐼𝑃, 𝐶𝑃), (𝐼𝐿, 𝐶𝐿), (𝐼𝐾, 𝐶𝐾) e (𝐼𝐶, 𝑈𝐶) formam adjunções [85].
Se 𝐶 é uma conjunção fuzzy e 𝐼 é uma implicação fuzzy tal que 𝐶 e 𝐼 formam uma adjunção, então, 𝐼(𝑥, ·) é uma erosão e 𝐶(𝑥, ·) é uma dilatação em [0, 1] para todo 𝑥 ∈ [0, 1]. Além disso, para toda implicação fuzzy 𝐼, existe no máximo uma conjunção fuzzy 𝐶 (e vice-versa), tal que 𝐼 e 𝐶 formam uma adjunção. Se o par (𝐼, 𝐶) formam uma adjunção, então:
(2.3.13)
𝐼(𝑥, 𝑦) = ⋁︁{𝑧 ∈[0, 1] : 𝐶(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑦} ,
para todo 𝑥, 𝑦 ∈ [0, 1]. A implicação 𝐼 que satisfaz (2.3.13) é referida como a R-implicação associada à conjunção 𝐶 [49, 50]. Em particular, uma R-implicação sempre está bem definida se a conjunção fuzzy em (2.3.13) for uma t-norma contínua, pois um operador contínuo representa uma dilatação [33]. Resumidamente, dada uma t-norma contínua, determinamos a implicação adjunta através de (2.3.13). Denota-se por 𝐼𝑇 a R-implicação associada a uma t-norma contínua 𝑇 .
A abordagem mais geral da morfologia matemática fuzzy está fundamentada nos conceitos de medida de inclusão fuzzy e medida de intersecção fuzzy, que são definidas em função de implicações e conjunções fuzzy.
Definição 2.3.14 (Medida de Inclusão Fuzzy [80, 81]). Uma medida de inclusão fuzzy é uma
aplicação 𝐼𝑛𝑐 : ℱ(X) × ℱ(X) → [0, 1] tal que a restrição para 𝒫(X) × 𝒫(X) coincide com a inclusão para conjuntos clássicos.
Definição 2.3.15 (Medida de Intersecção Fuzzy [80, 81]). Uma medida de intersecção fuzzy é
definida como uma aplicação 𝑆𝑒𝑐 : ℱ(X) × ℱ(X) → [0, 1] tal que a restrição para 𝒫(X) × 𝒫(X) coincide com a inclusão para conjuntos clássicos.
Em poucas palavras, podemos dizer que o resultado de 𝐼𝑛𝑐(a, b) é interpretado como o grau de inclusão do conjunto fuzzy a no conjunto fuzzy b, entretanto o valor de 𝑆𝑒𝑐(a, b) representa o grau de intersecção dos conjuntos fuzzy a e b.
Definição 2.3.16 (Inclusão Inf-I [7]). Considere os conjuntos fuzzy a, b ∈ ℱ(X) e seja I uma
implicação fuzzy. Uma medida de inclusão fuzzy 𝐼𝑛𝑐: ℱ(X) × ℱ(X) → [0, 1] é dita uma inclusão Inf-I se, e somente se, é descrita pela equação:
(2.3.14 ) 𝐼𝑛𝑐(a, b) = ⋀︁
x∈𝑋
𝐼(a(x), b(x)).
Definição 2.3.17 (Intersecção Sup-C [7]). Sejam os conjuntos fuzzy a, b ∈ ℱ(X) e C uma
con-junção fuzzy. Uma medida de intersecção fuzzy 𝑆𝑒𝑐 : ℱ(X) × ℱ(X) → [0, 1] é uma intersecção Sup-C se, e somente se, Sec é dada pela equação:
(2.3.15 ) 𝑆𝑒𝑐(a, b) = ⋁︁
x∈𝑋
𝐶(a(x), b(x)).
Observe que diferentes implicações e conjunções fuzzy produzem diferentes inclusões Inf-I e intersecções Sup-C, respectivamente. Dada uma inclusão ou uma intersecção particular, indica-se a implicação fuzzy ou conjunção fuzzy utilizada através de um sub-índice. Por exemplo, 𝐼𝑛𝑐𝐿
denota a inclusão Inf-I baseada na implicação de Lukasiewicz.
2.3.2
Conceitos da Morfologia Matemática Fuzzy
Neste trabalho, utilizaremos as definições dos operadores de dilatação e erosão baseados em medidas de inclusão fuzzy e intersecção fuzzy. Para isto, com o auxílio das Equações (2.3.14), (2.3.15), definiremos o produto matriciail Sup-C, denotado por 𝐸 = 𝐴 ⊙ 𝐵 e o produto matricial Inf-I, denotado por 𝐺 = 𝐴~𝐵, que originam os operadores utilizados nas redes neurais morfológicas fuzzy.
Definição 2.3.18 (Produto Sup-C). Sejam 𝐶 uma conjunção fuzzy, 𝐴 ∈ [0, 1]𝑚×𝑘 e 𝐵 ∈[0, 1]𝑘×𝑛, então o produto sup-𝐶, 𝐸 = 𝐴 ⊙ 𝐵 é definido por:
(2.3.16 ) 𝑒𝑖𝑗 = 𝑘 ⋁︁ 𝜉=1 𝐶(𝑎𝑖𝜉, 𝑏𝜉𝑗).
Definição 2.3.19 (Produto Inf-I). Sejam 𝐼 uma implicação fuzzy, 𝐴 ∈ [0, 1]𝑚×𝑘 e 𝐵 ∈[0, 1]𝑘×𝑛, então o produto inf-𝐼, 𝐺= 𝐴 ~ 𝐵 é definido por:
(2.3.17 ) 𝑔𝑖𝑗 = 𝑘 ⋀︁ 𝜉=1 𝐼(𝑏𝜉𝑗, 𝑎𝑖𝜉).
Neste momento, com os produtos Sup-C e Inf-I bem definidos, é possível caracterizar uma erosão fuzzy e dilatação fuzzy, em termos de medidas de inclusão fuzzy e intersecção fuzzy. Também é possível determinar como estes operadores são representados e empregados nas redes neurais morfológicas fuzzy.
Definição 2.3.20 (Erosão Fuzzy [7, 48, 81, 84]). Seja 𝐼𝑛𝑐 uma medida de inclusão fuzzy tal que
𝐼(𝑠, ·) comuta com o ínfimo para todo s ∈ ℱ(X). Dados uma imagem fuzzy a ∈ ℱ(X), um elemento estruturante fuzzy s ∈ ℱ(X) e X = {x1, . . . , x𝑛}, define-se a erosão fuzzy ℰ : ℱ(X) × ℱ(X) →
ℱ(X) de a por s referente à 𝐼𝑛𝑐 através da seguinte equação:
(2.3.18 ) ℰ(a, s)(x) = 𝐼𝑛𝑐(sx, a) = ⋀︁ y∈X 𝐼(sx(y), a(y)) = 𝜀ℱ v(z) = z𝑇 ~ v,
onde sx(y) = s(y − x), ∀y ∈ X, é a translação de s por x ∈ X, v𝑇 = (sx(x1), . . . , sx(x𝑛)) e z𝑇 = (a(x1), . . . , a(x𝑛)).
A Figura 2.3 é um exemplo de erosão fuzzy, dados a uma imagem fuzzy (256 × 256) e s um elemento estruturante (21 × 21).
Figura 2.3: Imagem Fuzzy a - Elemento Estruturante s - Erosão fuzzy (256 × 256) de a por s.
Definição 2.3.21 (Dilatação Fuzzy [7, 48, 81, 84]). Sejam uma imagem fuzzy a ∈ ℱ(X), um
elemento estruturante fuzzy s ∈ ℱ(X), X = {x1, . . . , x𝑛} e 𝑆𝑒𝑐 uma medida de intersecção fuzzy
tal que 𝐶(𝑠, ·) que comuta com o supremo para todo s ∈ ℱ(X). Então uma dilatação fuzzy 𝒟 :
ℱ(X) × ℱ(X) → ℱ(X) baseada em uma medida de intersecção fuzzy 𝑆𝑒𝑐 é definida através da
equação: (2.3.19 ) 𝒟(a, s)(x) = 𝑆𝑒𝑐(¯sx, a) = ⋁︁ y∈X 𝐶(¯sx(y), a(y)) = 𝛿ℱ v(z) = v𝑇 ⊙ z,
onde ¯sx(y) = s(x − y), ∀y ∈ X, é a reflexão de sx para todo x ∈ X, v𝑇 = (¯sx(x1), . . . , ¯sx(x𝑛)), e z𝑇 = (a(x1), . . . , a(x𝑛)).
Os operadores ℰ e 𝒟 baseados nas medidas de inclusão e de intersecção são chamados de erosões Inf-I e dilatações Sup-C, respectivamente.
Os operadores ℰ(·, 𝑠) : ℱ(X) → ℱ(X) representam uma erosão se, e somente se, 𝐼𝑛𝑐(𝑠, ·) comuta com o ínfimo para todo 𝑠 ∈ ℱ(X) [22]. Pode-se mostrar que esse fato é verdadeiro para inclusões Inf-I se, e somente se, 𝐼(𝑠, ·) é uma erosão para todo 𝑠 ∈ [0, 1]. Por esta razão, a definição de erosão fuzzy Inf-I contém a condição que 𝐼(𝑠, ·) representa uma erosão. Uma observação análoga pode ser feita para o operador 𝒟, representando uma dilatação.
O conceito de adjunção possui um papel importante na morfologia matemática fuzzy. Dados 𝐼 uma implicação fuzzy e 𝐶 uma conjunção fuzzy. O par (𝐼, 𝐶) forma uma adjunção em [0, 1] se, e somente se, o par (ℰ, 𝒟) dado pelas Equações (2.3.18) e (2.3.19) formar uma adjunção em ℱ(X). Agora que já temos definidos os conceitos da MM fuzzy, da MM em tons de cinza e como estas abordagens são tratadas numa estrutura de reticulados completos, é possível relacioná-las e,
consequentemente, aplicar seus conceitos para o desenvolvimento das redes neurais morfológicas e redes neurais morfológicas fuzzy.
Esta relação entre a MM fuzzy e a MM em tons de cinza está fundamentada na ligação que há entre os operadores ℰ𝒰 e 𝒟𝒰 da abordagem umbra da MM em tons de cinza e os operadores
ℰ e 𝒟 baseados no par (𝐼𝐿, 𝑇𝐿) (2.3.9c),(2.3.5c) da FMM. Podemos afirmar que este operadores
são equivalentes, a menos de certas transformações [81]. Para demonstrar esta equivalência, dados a, s ∈ GX e x, y ∈ X basta definir um limiar nos operadores da abordagem umbra:
(2.3.20a) ℰ𝒰(a, s)(x) = 1, se s(x) − a(x) + 1 > 1, ∀x ∈ X,
(2.3.20b) 𝒟𝒰(a, s)(x) = 0, se a(x) + s(x) − 1 < 0, ∀x ∈ X.
Além da definição deste limiar, também é necessário introduzir uma transformação entre os reticulados completos [0, 1] e R±∞. Os detalhes destas transformações estão no artigo
“Classifica-tion of Fuzzy Mathematical Morphologies Based on Concepts of Inclusion Measure and Duality” [81]. Portanto, é possível demonstrar que os operadores ℰ𝒰 e 𝒟𝒰 da abordagem umbra da MM em
tons de cinza são equivalentes aos operadores da FMM, ℰ e 𝒟, baseados na t-norma e implicação de Lukasiewicz (𝐼𝐿, 𝑇𝐿).
Observação 2.3.22 (Extensão da MM em tons de cinza). A Morfologia Matemática Fuzzy é uma
extensão da Morfologia Matemática em Tons de Cinza.
Demonstração. Sabemos que os operadores da abordagem umbra da MM em tons de cinza, ℰ𝒰 e
𝒟𝒰, são equivalentes aos operadores da FMM, ℰ𝐿 e 𝒟𝐿. Mas o par de operadores ℰ𝐿 e 𝒟𝐿 é apenas
um dos pares adjuntos existentes na FMM. Portanto, os operadores da FMM são considerados uma extensão dos operadores da MM em tons de cinza e, consequentemente, a FMM estende a MM em tons de cinza.
Capítulo 3
Alguns Modelos de Redes Neurais
Artificiais
O modelo matemático que tem como objetivo descrever o comportamento do neurônio biológico é conhecido como neurônio artificial, ou de modo mais geral, o modelo que descreve o sistema nervoso biológico é conhecido como rede neural artificial [31]. Estes modelos são caracterizados pela sua arquitetura (topologia), sua função de agregação dos neurônios e suas regras de treinamento e aprendizado. É possível identificar três componentes básicos em sua composição: um conjunto de conexões sinápticas que são determinadas por pesos sinápticos (representado normalmente por
𝑤𝑖𝑗), uma regra de agregação que define as operações usadas para processar os sinais de entrada,
ponderados pelos pesos sinápticos (no modelo clássico é utilizado uma combinação linear) e uma função de ativação, que pode ser usada para introduzir não linearidade no modelo e restringir a amplitude da saída de um neurônio.
Neste capítulo serão apresentados alguns modelos de redes neurais, iniciando do modelo neural clássico e passando pelo modelo neural morfológico, além de apresentar alguns modelos híbridos, que serão serão desenvolvidos e aplicados neste trabalho.
3.1
Modelo Neural Clássico
Este modelo neural clássico foi proposto pelo biólogo Warren McCulloch e pelo matemático Walter Pitts por volta de 1943 [45]. Ele pode ser representado por estas duas equações, para cada neurônio: (3.1.1a) 𝑢= 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑤𝑗𝑥𝑗, (3.1.1b) 𝑦= 𝑓 (𝑢) .
Ou então pela forma simplificada:
(3.1.2) 𝑦 = 𝑓 ⎛ ⎝ 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑤𝑗𝑥𝑗 ⎞ ⎠, 20
