UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO – UNEMAT
DANIELE VANESSA ROSENBACH
CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE MÍSULAS COM VARIAÇÃO
PARABÓLICA
Sinop
2014/1
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO – UNEMAT
DANIELE VANESSA ROSENBACH
CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE MÍSULAS COM VARIAÇÃO
PARABÓLICA
Projeto de Pesquisa apresentado à Banca Examinadora do Curso de Engenharia Civil – UNEMAT, Campus Universitário de Sinop-MT, como pré-requisito para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil.
Prof. Orientador: Msc. Maicon José Hillesheim.
Sinop
2014/1
LISTA DE EQUAÇÕES
y dx d f x Equação 1 – Deformação normal ... 11
y I M f
x
Equação 2 – Tensão Normal ... 12
EI M dx v d 4 2
Equação 3 – Linha elástica ... 12
i e =U
U Equação 4 – Energia de deformação ... 14
i P = u
Equação 5 – Deslocamentos externos e internos ... 14 1 =
u dL Equação 6 – Deslocamento externo ... 15b x f vV nN mM tT 1 = EA EI GA GJ s dx
Equação 7 - Deslocamento ... 15 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 i j i i j i j i i ij i ij i X X X X Equação 8 – Equação de compatibilidade ... 17
0 0 1 1 1 1 1 10 0 i i j i j i ij ij i i X X
Equação 9 – Eq. de compatibilidade de forma
matricial ... 17
0
X 0 Equação 10 – Eq. de compatibilidade geral ... 17 6 5 4 3 2 1 66 65 63 62 56 55 53 52 44 41 36 35 33 32 26 25 23 22 14 11 6 5 4 3 2 1 ' ' ' ' ' ' . ' ' 0 ' ' 0 ' ' 0 ' ' 0 0 0 ' 0 0 ' ' ' 0 ' ' 0 ' ' 0 ' ' 0 0 0 ' 0 0 ' ' ' ' ' ' ' d d d d d d k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k f f f f f f
Equação 11 – Relação matricial das
forças ... 19
f'
k' d' Equação 12 – Forma geral das forças ... 19
nr i i i w n f dr n f 1 1 1 ) ( )( Equação 13 – Gauss - Legendre... 21
b x s ij dx GA vV f EI mM EA nN Equação 14 – Coeficiente de flexibilidade ... 22
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( j C C j B B j A A j j C C j B B j A A j x h x h x h x y h y h y h y
2 2 ) ( d dy d dx
J j j Equação 17 – Transformação de coordenadas ... 24
nel j i i npi i s nel j s ij w j GA V v f EI M m EA N n d GA V v f EI M m EA N n 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Equação 18- Coeficientes .... 24LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Rotação relativa por flexão de um elemento infinitesimal de barra ... 11
Figura 2 – Superposição de configurações deformadas elementares ... 18
Figura 3 – Graus de liberdade ... 23
Figura 4 – Mísula com os segmentos divididos em coordenadas naturais ... 23
LISTA DE ABREVIATURAS
PP – Projeto de Pesquisa
PTV – Princípio dos Trabalhos Virtuais
DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
1. Título: Cálculo da matriz de rigidez de mísulas com variação parabólica. 2. Tema: Engenharia Civil (30102006)
3. Delimitação do Tema: Análise de estrutura 4. Proponente(s): Daniele Vanessa Rosenbach 5. Orientador(a): Maicon José Hillesheim
6. Estabelecimento de Ensino: Universidade do Estado de Mato Grosso 7. Público Alvo: Alunos de graduação, professores e profissionais.
8. Localização: Av. dos Ingás, nº 3001, Jardim Imperial, Sinop-MT, CEP
78550-000, Brasil.
SUMÁRIO
LISTA DE EQUAÇÕES ... I LISTA DE FIGURAS ... III LISTA DE ABREVIATURAS ... IV DADOS DE IDENTIFICAÇÃO ... V 1 INTRODUÇÃO ... 7 2 PROBLEMATIZAÇÃO ... 8 3 JUSTIFICATIVA... 9 4 OBJETIVOS ... 10 4.1 OBJETIVO GERAL ... 10 4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ... 10 5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 11
5.1 CONSIDERAÇÕES DO COMPORTAMENTO DE BARRAS ... 11
5.1.1 Hipóteses das seções planas ... 11
5.1.2 Continuidade da estrutura ... 13
5.1.3 Materiais isotrópicos e homogêneos ... 13
5.2 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS ... 13
5.3 ANÁLISE DAS ESTRUTURAS ... 15
5.3.1 Método das forças ... 16
5.3.2 Coeficiente de rigidez ... 18
5.4 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ... 19
5.5 MÉTODO DE GAUSS – LEGENDRE ... 20
6 METODOLOGIA ... 22 6.1 COEFICIENTES DE FLEXIBILIDADE... 22 6.2 MAPEAMENTO DA MÍSUALA ... 22 6.3 COEFICIENTES DE RÍGIDEZ ... 25 6.4 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL ... 25 7 CRONOGRAMA ... 26 8 REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO ... 27
1 INTRODUÇÃO
As mísulas são elementos estruturais muito comuns em algumas estruturas, tais como as pontes, viadutos, barragens etc. Elas são barras não prismáticas que apresentam variação da seção transversal ao longo do seu comprimento.
Esses elementos estruturais podem estar presentes em pórticos hiperestáticos planos ou espaciais, e neste caso, são comumente resolvidos pelo método dos deslocamentos devido sua fácil implementação computacional.
Na formulação do método dos deslocamentos, deve ser calculada a matriz de rigidez da estrutura a qual é obtida através da superposição da matriz de rigidez local de cada uma das barras que compõe a estrutura.
A rigidez local de elemento de pórtico pode ser calculada através do método das forças, implicando na necessidade de calcular integrais complexas de se resolver analiticamente, onde o processo de integração numérica de Gauss-Legendre representa uma alternativa para esse problema, e, além disso, esse método de integração é amigável no ambiente de programação e representa baixo custo de processamento.
Como a maior parte das estruturas usuais é hiperestática e com muitos graus de indeterminação, torna-se necessário um processo automatizado para resolvê-las. A sua resolução consiste em encontrar os esforços internos e os deslocamentos de seus infinitos pontos que constituem a estrutura, conhecendo os esforços internos, então realiza-se o dimensionamento segundo as normativas de cálculo estrutural, que estão contidas na ABNT, tais como NBR 6118 de concreto armado, NBR 8800 de aço e NBR 7190 de madeira.
2 PROBLEMATIZAÇÃO
Na análise de estruturas que contem mísulas, a determinação da matriz de rigidez através do método das forças leva a necessidade de calcular integrais complexas de se resolver analiticamente. A variação da inércia ao longo do comprimento das curvas delimitadoras da seção transversal ao longo do eixo transversal e da própria seção transversal torna esse elemento complexo.
A dificuldade de resolver essas integrais é de certa forma um empecilho encontrado no cálculo da seção com variação parabólica e outras formas de variação, e, portanto, requerem um procedimento numérico para sua resolução, sendo este o método de Gauss – Legendre, que servirá como ferramenta no desenvolvimento.
3 JUSTIFICATIVA
A necessidade de projetar uma estrutura, que exige uma sucessão de análises e modificações nas suas características, com o intuito de garantir uma solução satisfatória, tanto em termos econômicos quanto nos quesitos funcionais e regulamentares (AZEVEDO, 2003, p.11), o que implica a necessidade da automatização, que facilitará o processo, servindo como auxílio para determinação da curva que melhor se adequa.
A dificuldade de se encontrar softwares livres que resolvem estruturas que contém mísulas é um incentivo para realização desse trabalho, pois, o mesmo poderá ajudar os demais acadêmicos. Os softwares existentes calculam seções lineares.
Outro ponto a ser salientado, é que as mísulas diminuem a seção transversal e consequentemente a inércia onde os momentos fletores são menores. O processo automatizado facilita a verificação de várias curvas, podendo assim obter a mísula que melhor aproveita os materiais empregados no elemento estrutural. O melhor aproveitamento do material torna as estruturas mais econômicas e contribui com a preservação do meio ambiente uma vez que envolve uma menor demanda da quantidade de recursos a ser retirados da natureza.
4 OBJETIVOS
4.1 OBJETIVO GERAL
Esta pesquisa tem como objetivo geral programar uma sub-rotina em linguagem de programação Fortran, visando o cálculo da matriz de rigidez local com seção variante ao longo de seu comprimento.
4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Os objetivos específicos do presente trabalho são:
Determinar a matriz de rigidez utilizando o método das forças, sendo empregado o processo de integração numérica (Gauss-Legendre).
Verificar a convergência dos resultados fazendo um refinamento da malha que representa o elemento estrutural e também fazendo a variação da quantidade de pontos de Gauss.
Procurar a curva que melhor aproveita o material empregado na estrutura de acordo a variação do momento fletor ao longo de seu comprimento.
5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
5.1 CONSIDERAÇÕES DO COMPORTAMENTO DE BARRAS
De acordo com Martha (2010), a análise da estrutura nada mais é que a elaboração de um modelo matemático em que são consideradas algumas hipóteses do comportamento real da estrutura.
Segundo Martha (1993) “Todas as estruturas devem ser capazes de alcançar um estado de equilíbrio estável para um determinado carregamento aplicado. Esta condição de equilíbrio deve ser satisfeita pela estrutura como um todo ou por qualquer porção isolada.”
5.1.1 Hipóteses das seções planas
A hipótese das seções planas foi adotada por Navier (1785-1836), tendo como principal objetivo a garantia de uma continuidade de deslocamento no interior de uma barra que sofre flexão. (MARTHA, 2010)
A hipótese da seção plana significa que as seções permanecem planas e perpendiculares ao eixo longitudinal após a deformação do elemento, como pode-se observar na Figura1.
Figura 1 – Rotação relativa por flexão de um elemento infinitesimal de barra Fonte: (MARTHA, 2010)
Essa hipótese implica em uma distribuição linear das deformações ao longo da altura da viga, e a partir da Figura 1 tem-se a deformação devido à flexão em função da altura y da viga dada pela seguinte equação:
y dx d f x
Onde:
f x
: deformação normal na direção longitudinal devido ao efeito da flexão;
d : rotação relativa por flexão de um elemento infinitesimal de barra.
Com base na lei de Hooke ( E), deduz-se que distribuição de tensões normais é linear ao longo da altura da viga, e relaciona-se com o esforço interno (momento fletor) e com as características da seção transversal por meio da seguinte equação: y I M f x
Equação 2 – Tensão Normal
Onde:
f x
: tensão normal na direção longitudinal da barra devido ao efeito de flexão;
M: Momento fletor;
I: Momento de inércia.
A teoria de Navier despreza as deformações provenientes dos efeitos cortantes na determinação da linha elástica.
Segundo Hibbeler (2010),“O diagrama de deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centroide de cada área da seção transversal da viga é denominado linha
elástica.”
Após a deformação na viga, devido a flexão simples, o eixo longitudinal torna-se curvo, sendo a linha elástica o eixo em que as tensões são nulas. (TIMOSHENKO e GERE, 1983, p. 135)
Para o comportamento de flexão, a linha elástica relaciona-se com a carga distribuída pela equação diferencial:
EI M dx v d 4 2
Equação 3 – Linha elástica
Onde:
v : deslocamento transversal; M: Momento fletor;
I: Momento de inércia;
5.1.2 Continuidade da estrutura
Uma estrutura contínua é definida por possuir características de deformações causadas pelas tensões similares em todo o elemento. Sendo contínuo o elemento, as tensões e deformações não variam bruscamente entre dois pontos no interior do corpo carregado.
Conforme Martha (2010, p. 87):
“As condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações são condições geométricas que devem ser satisfeitas para garantir que a estrutura, ao se deformar, permaneça contínua (sem vazios ou sobreposição de pontos) e compatível com seus vínculos externos.”
5.1.3 Materiais isotrópicos e homogêneos
Os materiais isotrópicos possuem as mesmas propriedades físicas e mecânicas em todas as direções sendo possível dizer que suas características se mantem semelhantes se comparadas a outro plano de orientação arbitrária.
Já os materiais homogêneos possuem as propriedades físicas e mecânicas mantidas em todo o seu volume, ou seja, as características são as mesmas em todo o seu volume.
As propriedades dos materiais devem ser conhecidas para ser possível a análise de como o material e também relacionar a deformação à medida que a tensão é aplicada.
5.2 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
Para calcular uma estrutura é necessário analisar, de forma minuciosa, as cargas atuantes, segundo Hibbeler (2010, p.520) “Quando cargas são aplicadas a um corpo, elas deformam o material. Contanto que nenhuma energia seja perdida sob forma de calor, o trabalho externo realizado pelas cargas será convertido em trabalho interno denominado energia de deformação.”
Com base no conceito de densidade de energia de deformação de um elemento cúbico de volume infinitesimal sujeito a tensões normais e de cisalhamento, é possível relacionar essas tensões com os esforços solicitantes internos e quantificar a energia de deformação interna de um elemento estrutural através da integração ao longo do volume. Através do princípio da conservação de energia, para o caso de cargas concentradas, pode-se equacionar a energia interna
de deformação da estrutura com o trabalho externo realizado pela força externa e encontrar o deslocamento no ponto de aplicação da força.
O Princípio da conservação de energia é bastante intuitivo, porém sua aplicação para calcular os deslocamentos nas estruturas é limitada, pois, é empregado apenas para o caso de cargas concentradas, e o resultado é obtido somente para o ponto de aplicação da carga (MARTHA, 2010, p. 189). Essa limitação é contornada pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV).
O PTV considera um corpo estático, para isso, as condições de equilíbrio e de compatibilidade devem ser atendidas. Sendo as condições de equilíbrio são quando as cargas internas estejam relacionadas às externas de maneira única. Já nas condições de compatibilidade é necessário que, os deslocamentos externos estejam relacionados com as deformações internas também de maneira única. (HIBBELER, 2010, p. 583)
A partir desses conceitos, a energia de deformação (U) diz:
i e =U
U Equação 4 – Energia de deformação
Sendo assim pode-se dizer que:
i P = u
Equação 5 – Deslocamentos externos e internosOnde: P: Cargas externas; i
: Deslocamentos internos; : Deslocamentos externos; u : Cargas internas.Com base nessas considerações, Hibbeler (2010) aponta que o PTV pode ser aplicado para determinar o deslocamento e sua inclinação em qualquer ponto. A fim de definir o comportamento de um corpo, aplica-se uma carga virtual, com intensidade unitária, e a mesma resultará em carga virtual interna que estará associada aos deslocamentos internos devido às cargas externas reais. Conforme pode ser verificado na formulação a seguir:
1 =
u dL Equação 6 – Deslocamento externoOnde:
P = 1: Carga unitária virtual externa que atua na direção de ; u : Carga virtual interna que atua sobre o elemento;
: Deslocamento externo provocado pelas cargas reais;
dL : Deslocamento interno do elemento na direção de u, provocado pelas cargas reais.
Esse método do princípio dos trabalhos virtuais, também pode ser denominado método das forças virtuais, que é utilizado para o cálculo dos deslocamentos externos.
Conforme Soriano e Lima (2006, p. 28), usando uma força unitária, é possível determinar o deslocamento no ponto desejado, utilizando a seguinte equação:
b x f vV nN mM tT 1 = EA EI GA GJ s dx
Equação 7 - Deslocamento Onde:n, m, v, e t são os esforços solicitantes na estrutura com força unitária;
N, M, V e T são os esforços solicitantes na estrutura com o carregamento original, e a integral é ao longo do comprimento;
fs é o fator de forma para cisalhamento;
I: Momento de inércia; :
J Momento de inércia transversal; E: Módulo de elasticidade;
:
G Módulo de elasticidade transversal.
5.3 ANÁLISE DAS ESTRUTURAS
A análise das estruturas corresponde à etapa do projeto em que são determinados os esforços atuantes, as tensões, as deformações e os deslocamentos ocorrentes na estrutura. Este estudo deve ser considerado em todas as etapas. (MARTHA, 1993).
Segundo Martha (1993) “Todas as estruturas devem ser capazes de alcançar um estado de equilíbrio estável para um determinado carregamento aplicado. Esta
condição de equilíbrio deve ser satisfeita pela estrutura como um todo ou por qualquer porção isolada.”
A compatibilidade de deslocamento é a exigência, que durante todo o carregamento, as partes da estrutura deformada permaneçam juntas, ou seja, que esses deslocamentos e deformações sejam consistentes. (MARTHA, 1993).
Os dois principais métodos de análise estrutural são o Método das forças e o Método dos deslocamentos.
5.3.1 Método das forças
O método das forças, também conhecido como método da flexibilidade, é utilizado na análise das estruturas indeterminadas, mas que pode ser utilizados em qualquer tipo de estrutura como vigas, pórticos e outros. Este método atende os requisitos de equilíbrio e compatibilidade, podendo ser observado também à substituição de uma estrutura indeterminada por uma estável e determinada. (LEET, UANG e GILBERT, 2009, p. 421).
De acordo com Soriano e Lima (2006, p.75):
“O objetivo do método das forças é determinar um conjunto de reações e/ou esforços seccionais superabundantes ao equilíbrio estático de estruturas hiperestáticas, permitindo que as demais reações e/ou esforços seccionais sejam calculados com as equações da estática.”
Conforme Soriano e Lima (2006, p.76), “Para aplicar o método das forças, seleciona-se um conjunto de redundantes estáticas Xi cujas restrições são retiradas
da estrutura hiperestática transformando-a em isostática. Esse modelo isostático é denominado sistema principal.”
Segundo Santos (2008), o método da flexibilidade pode ser dividido em seis passos:
Escolher as reações consideradas como ações redundantes e definir um sistema principal estaticamente determinado;
Calcular as deformações causadas no sistema principal pelas ações presentes na estrutura original;
Calcular as deformações causadas no sistema principal pelas ações redundantes nos pontos onde são aplicadas;
Resolver simultaneamente as equações de compatibilidade do problema, de modo que as ações redundantes identificadas tonem a estrutura original em estaticamente determinada;
Montar as equações de compatibilidade associadas ao problema, considerando a superposição das deformações causadas pelas ações e reações;
Calcular a matriz “NxN” de coeficientes de flexibilidade associados ao problema, sendo N o número de redundantes.
A equação de compatibilidade pode ser observada as seguir, através do sistema: 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 i j i i j i j i i ij i ij i X X X X
Equação 8 – Equação de compatibilidade
Onde:
i
X : Hiperestáticos, sendo i o índice que varia de 1 a g (grau de hiperestaticidade);
0
i
: Termo de carga de rotação ou de deslocamento associado ao hiperestático;
ij
: Coeficiente de flexibilidade podendo ser de deslocamento ou de rotação, também está associado ao hiperestático.
Então este sistema de equações de compatibilidade pode ser é reescrito na forma matricial: 0 0 1 1 1 1 1 10 0 i i j i j i ij ij i i X X
Equação 9 – Eq. de compatibilidade de forma matricial
Esta equação pode ser reescrita de maneira condençada:
0
X 0 Equação 10 – Eq. de compatibilidade geralOnde:
0 : Vetor dos termos de carga;
X : Vetor dos hiperestáticos.Os termos de cargas e os coeficientes de flexibilidade podem ser determinados pelo método das forças virtuais.
5.3.2 Coeficiente de rigidez
Os coeficientes de rigidez são denominados forças ou momentos que atuam nas extremidades das barras, sendo responsável pelo seu equilíbrio quando é imposto um deslocamento unitário. (MARTHA, 2010, p. 272)
A seguinte notação é utilizada, conforme mostrado na Figura 2:
d’: Deslocabilidade de barra no sistema local, ou seja, deslocamento em um dos eixos x ou y, ou rotação em uma extremidade de uma barra isolada;
k’ij: Coeficiente de rigidez de barra no sistema local, ou seja, é uma força ou
momento que atua na extremidade da barra na direção da deslocabilidade d’i, para
equilibrá-la quando a deslocabilidade unitária d’j=1 é imposta em uma das
extremidades;
f’i: Força generalizada de barra no sistema local, significa uma força ou
momento que atua na direção da deslocabilidade d’i de uma barra para equilibrá-la.
Figura 2 – Superposição de configurações deformadas elementares Fonte: (MARTHA, 2010)
A partir da Figura 2 é possível à superposição das configurações deformadas, sendo assim, pode ser determinada a seguinte relação matricial para todas as forças e momentos que atuam nas extremidades da barra:
6 5 4 3 2 1 66 65 63 62 56 55 53 52 44 41 36 35 33 32 26 25 23 22 14 11 6 5 4 3 2 1 ' ' ' ' ' ' . ' ' 0 ' ' 0 ' ' 0 ' ' 0 0 0 ' 0 0 ' ' ' 0 ' ' 0 ' ' 0 ' ' 0 0 0 ' 0 0 ' ' ' ' ' ' ' d d d d d d k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k f f f f f f
Equação 11 – Relação matricial das forças
A Equação 11 pode ser escrita de forma condensada:
f'
k' d' Equação 12 – Forma geral das forçasSendo:
f' : Vetor das forças generalizadas de barras no sistema local;
k' : Matriz de rigidez de uma barra no sistema local;
d' : Vetor de deslocabilidade de barra no sistema local.5.4 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
Conforme Soriano e Lima (2006, p.137):
“O método dos deslocamentos, por ser amplamente utilizado em programações automáticas, é o mais importante método de análise de estruturas. Nele, as incógnitas primárias são deslocamentos em pontos adequadamente escolhidos na estrutura, que são obtidos por meio da resolução de um sistema de equações algébricas lineares de equilíbrio. Esses deslocamentos são denominados graus de liberdade e seu número,
grau de indeterminação cinemática.”
O método dos deslocamentos e o método das forças são semelhantes, pois, os dois consideram as condições de compatibilidade, leis constitutivas dos materiais e as condições de equilíbrio. Sendo que o método dos deslocamentos pode ser definido como sendo as componentes de deslocamento ou rotação livre em um nó na estrutura, na direção de um dos eixos globais. (MARTHA, 2010, p. 300)
Sendo assim, Soriano e Lima (2006, p. 143) afirmam que o método dos deslocamentos consiste na seguinte sistemática:
Definir um sistema principal em que os deslocamentos considerados como graus de liberdade da estrutura estejam restringido, onde esses deslocamentos são incógnitas primarias a determinar (com sentidos positivos arbitrados);
Cálculo dos esforços de engastamento perfeito e combinação desses esforços, com sinais contrários, com as forças aplicadas nos deslocamentos, para obtenção das forças nodais combinadas;
Cálculo dos coeficientes de rigidez das barras, e assim, obtenção dos coeficientes de rigidez da estrutura;
Definir e calcular do sistema de equação de equilíbrio para e a resolução dos referidos deslocamentos;
Obtenção dos esforços finais. Segundo Martha (2010, p.328):
“Realmente, nos dias de hoje, não se concebe mais analisar uma estrutura sem o auxílio de um programa de computador. Entretanto, algumas vezes é necessário analisar manualmente uma estrutura. Isso é feito, em geral, para se adquirir sensibilidade sobre o comportamento da estrutura ou para entender e metodologia de análise do método dos deslocamentos.”
As estruturas com barras que possuem inércia não constante, ou seja, possuem uma seção que varia ao longo de seu comprimento, podem ser determinado através do método dos deslocamentos. (SUSSEKIND, 1987, p. 120)
5.5 MÉTODO DE GAUSS – LEGENDRE
O processo de integração numérica, mais especificamente o de Gauss-Legendre, tem como objetivo avaliar a integração e pode ser facilmente incluído em programas computacionais destinados análise de estruturas. (AZEVEDO, 2003, p. 81)
Para entender a metodologia da quadratura de Gauss, seja um domínio já transformado em coordenadas naturais, compreendido entrexi 1 e xf 1, o integrando é avaliado em cada ponto de Gauss Pi e multiplicado pelo seu respectivo
peso wi. Sendo o valor da integral dado pelo somatório do produto de todos os valores da função avaliada para cada ponto de Gauss pelo seu respectivo peso. Os pontos Pi são convenientes calculados de modo a minimizar o erro fornecendo
valores exatos das integrais de polinômios de ordem p2n1, onde n é numero de pontos de Gauss utilizado.
Para uma dimensão, o valor do integrando é dado por:
nr i i i w n f dr n f 1 1 1 ) ( )6 METODOLOGIA
Este trabalho objetiva determinar os coeficientes da matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano. Para essa tarefa será utilizado algumas etapas que visam definir este processo.
Apenas seções retangulares ou de formato I serão utilizadas, sendo que nas de seções I apenas a altura da alma poderá variar. Quanto à seção retangular a altura da seção é que sofrerá a variação.
6.1 COEFICIENTES DE FLEXIBILIDADE
Os parâmetros geométricos, como a área e o momento de inércia, são incógnitas variáveis, devido à seção parabólica das mísulas. Portanto, esses parâmetros serão obtidos através de integrais entre pontos.
Considerando uma estrutura hiperestática, será necessária a determinação de alguns parâmetros principais, em que consiste na análise do elemento e a determinação das forças atuantes.
O método das forças, e em seu contexto, os coeficientes de rigidez correspondem às reações de apoio do elemento quando é imposto o deslocamento unitário um dos seus graus de liberdade. A construção das equações de compatibilidade é obtida através do cálculo dos coeficientes de flexibilidade e dos termos de carga que por sua vez são calculados pelo método das forças virtuais.
b x s ij dx GA vV f EI mM EA nN Equação 14 – Coeficiente de flexibilidade
6.2 MAPEAMENTO DA MÍSUALA
A necessidade de resolver as integrais inerentes ao método ao longo do comprimento da mísula, implica na necessidade de transformar as coordenadas cartesianas em coordenadas naturais, onde ordenada y e a abscissa x são mapeadas em coordenadas naturais, permitindo a utilização do método integração de Gauss – Legendre.
Para avaliar essas integrais e obter os coeficientes de flexibilidade, a mísula biengastada (Figura 3) devidamente referenciada no sistema local com seus respectivos graus de liberdade será discretizada, tendo seu comprimento subdividido em n segmentos.
Figura 3 – Graus de liberdade Fonte: Autoria própria
O elemento parabólico será utilizado para fazer a aproximação do contorno da mísula, pois este tem maior capacidade de modelar curvas irregulares. Sendo assim, o elemento é dividido em segmentos (Figuras 3 e 4).
Figura 4 – Mísula com os segmentos divididos em coordenadas naturais Fonte: Autoria própria
O sistema de coordenadas locais é transformado em coordenadas naturais por meio das funções de forma:
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( j C C j B B j A A j j C C j B B j A A j x h x h x h x y h y h y h y
Equação 15 – Funções de forma
Onde:
j
y : Alturas da seção de mísulas;
j
) 1 ( 2 1 ) ( ) 1 )( 1 ( ) ( ) 1 ( 2 1 ) ( C B A h h h
Figura 5 – Gráfico para obter os valores de Fonte: (AZEVEDO, 2003)
Para avaliação da integral, cada um de seus segmentos tem a sua coordenada local transformada em coordenadas naturais. Sendo coordenadas naturais o sistema que engloba todo o elemento, obtendo os pontos que foram definidos.
Onde o jacobiano da transformação das coordenadas cartesianas para coordenadas naturais para um modelo unidimensional é dado por:
2 2 ) ( d dy d dx
J j j Equação 16 – Transformação de coordenadas
Após a transformação de coordenadas, o método de Gauss – Legendre é utilizado para calcular os coeficientes de flexibilidade:
nel j i i npi i s nel j s ij w j GA V v f EI M m EA N n d GA V v f EI M m EA N n 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Equação 17- Coeficientes Onde:nel: quantidade de segmentos que a mísula é dividida; npi: número de pontos de Gauss.
6.3 COEFICIENTES DE RÍGIDEZ
Com os coeficientes de flexibilidade calculados, têm-se as equações de compatibilidade e resolvendo-as, obtém os coeficientes de rigidez de um elemento de pórtico plano através do método das forças.
Os coeficientes de flexibilidades determinam as reações da estrutura, bem como as deformações devido às tensões atuantes, então com a estrutura determinada é possível obter a matriz de rigidez através da Equação 11.
6.4 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL
Uma vez que se padroniza o procedimento do cálculo da matriz de rigidez, é possível implementar uma sub-rotina que automatiza todo o processo, bastando o usuário entrar com as dimensões das mesma, as grandezas de interesse são calculadas.
Com o processo automatizado, facilmente pode ser incorporado a um programa de análise estrutural, podendo resolver estruturas com uma grande quantidade de graus de liberdade.
7 CRONOGRAMA
ATIVIDADES JUN JUL AGO SET OUT NOV Entrega do projeto de pesquisa Revisão bibliográfica complementar Coleta de dados complementares Redação da monografia Revisão e entrega oficial do trabalho Apresentação do trabalho em banca
8 REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO
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