Cap7 Sec3 2x4

(1)

Capítulo 7

Técnicas de

Integração

7.3 Substituição Trigonométrica

Nessa seção aprenderemos sobre os vários tipos de substituições trigonométricas.

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

Para achar a área de um círculo ou uma elipse, uma integral da forma,

aparece, onde a > 0.

•Se a integral fosse , a substituição poderia ser eficaz.

•Mas como está, é mais difícil.

2 2 a x dx

³

2 2

³

x a x dx 2 2 u a x 2 2

³

a x dx

 Se mudarmos a variável de x para pela substituição x = a sen , então a identidade 1 – sen2_{= cos}2_{permitirá que nos}

livremos da raiz, porque: SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

Observe a diferença entre a substituição u = a2_{– x}2_{e a substituição x = a sen .}

Em geral, podemos fazer uma substituição da forma x = g(t) usando a Regra da Substituição ao contrário.

Para simplificar nossos cálculos, presumimos que

g tenha uma função inversa, isto é, g é injetora.

 Nesse caso, se trocarmos u por x e x por g na Regra da Substituição (Equação 5.5.4), obteremos:

•Esse tipo de substituição é chamado substituição inversa.

( )

( ( )) '( )

f x dx

f g t g t dt

³

Podemos fazer a substituição inversa

x = a sen , desde que esta defina uma função injetora.

•Isso pode ser conseguido pela restrição de no intervalo [-/2, /2].

SUBSTITUIÇÃO INVERSA TABELA DE SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Na tabela a seguir listamos as substituições trigonométricas que são eficazes para as expressões radicais dadas em razão de certas identidades trigonométricas.  Em cada caso, a restrição de é imposta

para assegurar que a função que define a substituição seja injetora.

•Estes são os mesmos intervalos usados na Seção 1.6 na definição de funções inversas.

(2)

TABELA DE SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Calcule

•Seja x = 3 sen , onde –/2 /2.

•Então, dx = 3 cos d e

•Observe que cos 0 porque –/2 /2.

Exemplo 1 2 2

9 ³

x

dx

x

Então, a Regra de Substituição Inversa fornece:

Exemplo 1 SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

Como esta é uma integral indefinida, devemos retornar à variável x original x.

Isso pode ser feito de duas formas. Exemplo 1 SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

A primeira, usando-se as identidades trigonométricas para expressar cot em termos de sen = x/3.

Na segunda, ou pelo desenho de um diagrama, como na Figura, onde é interpretado como um ângulo de um triângulo retângulo.

 Como sen = x/3, escolhemos o lado oposto e a hipotenusa como tendo comprimentos x e 3.

Pelo Teorema de Pitágoras o comprimento do lado adjacente é

 Assim podemos ler o valor de cotg diretamente da figura: 2 9 x Exemplo 1 SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 2 9 cotT x

(3)

 Como sen = x/3, temos = sen-1_(x/3).

E assim,

Encontre a área delimitada pela elipse

2 2 2 2

1 x

y

a

b

 Isolando y na a equação da elipse, temos

ou 2 2 2 2 2

1

2 2

y

x

a

x

b

a

2 2

b

y

a

x

a

r

Como a elipse é simétrica em relação a ambos os eixos, a área total A é quatro vezes a área do primeiro quadrante.

A parte da elipse no primeiro quadrante é dada pela função

•E dessa forma, 2 2 ₀_{d d} b y a x x a a 2 2 1 4

³

₀ a_b A a x dx a Exemplo 2 SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

Para calcular essa integral substituímos x = a sen .

 Então, dx = a cos d.

Para mudar os limites de integração notamos que quando

:

•Quando x = 0, sen = 0; logo = 0

•Quando x = a, sen = 1; logo = /2

Exemplo 2 SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA Além disso, já que 0 /2. Exemplo 2 SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

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Mostramos que a área de uma elipse com semieixos a e b é ab.

•Em particular, tomando a = b = r, demonstramos a famosa fórmula que diz que a área de um círculo de raio r é r2_.

Como a integral no Exemplo 2 era uma integral definida, mudamos os extremos de integração e não tivemos de converter de volta à variável x original.

Observação SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

³

dx x x Exemplo 3 SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

•Assim, temos:

Para calcular essa integral trigonométrica, colocamos tudo em termos de sen e cos :

 Portanto, fazendo a substituição u = sen , temos: Exemplo 3 SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA Usamos a Figura para determinar que a . •E assim, Exemplo 3 SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

(5)

• Seria possível usar a substituição trigonométrica x = 2 tg aqui (como no Exemplo 3).

2

₄

x

dx

x

³

• Mas a substituição direta u = x2_{+ 4 é mais simples.} • Porque, então, du = 2x dx e 2 2 1 2 4 4 x du dx u x u C x C

³

O Exemplo 4 ilustra o fato de que, mesmo quando as substituições trigonométricas são possíveis, elas nem sempre dão a solução mais fácil.

•Você deve primeiro procurar um método mais simples.

Observação SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

dx

x

a

³

 Seja x = a sec , onde 0 < < /2 ou < < /2.

 Então, dx = a sec tg d e

Ex.: 5—Solução 1

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA Ex.: 5—Solução 1

O triângulo da Figura mostra que

:

Então, temos:

(6)

 Escrevendo C1= C –ln a, temos:

 Para x > 0, substituição hiperbólica

x = a cosh t também pode ser dada.

•Usando a identidade cosh2_{y – senh}2_{y = 1, temos:} SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA Ex.: 5—Solução 2

 Como dx = a senh t dt, obtemos:

 Como cosh t = x/a, temos t = cosh-1_(x/a)

e

Embora as Fórmulas 1 e 2 pareçam muito diferentes, elas são realmente equivalentes pela Fórmula 3.11.4. 1 2 2

cosh

dx

x

C

a

x

a

§ ·

¨ ¸

© ¹

³

Como o Exemplo 5 ilustra, as substituições hiperbólicas podem ser utilizadas no lugar de substituições trigonométricas e elas, às vezes, nos levam a respostas mais

simples.

Mas geralmente usamos substituições trigonométricas, porque as identidades trigonométricas são mais familiares que as identidades hiperbólicas.

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA Observação

•Primeiro observamos que

•Logo, a substituição trigonométrica é apropriada. 3 3 3 / 2 2 3/ 2 0

(4

9)

x

dx

x

³

2 3/ 2 2 3 (4x 9) ( 4x 9)

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA Exemplo 6

Embora não seja exatamente uma expressão da tabela de substituições

trigonométricas, ela se torna parte delas quando fazemos a substituição preliminar u = 2x.

2

4x 9

Quando combinamos esta com a

substituição da tangente, temos x = 3/2 tg .

O que dá

dx

3₂

sec

2

T T

d

e

(7)

 Quando x = 0, tg = 0; assim = 0.

 Quando x = , tg = ; assim = /3.3 3 / 2 3 SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA Exemplo 6

 Agora, substituimos u = cos de modo que du = - sen d.

• Quando = 0, u = 1.

• Quando = /3, u = ½.

• Podemos transformar o integrando em uma função para a qual a substituição trigonométrica é apropriada completando o quadrado: 2 3 2 x dx x x

³

2 2 2 2 3 2 3 ( 2 ) 3 1 ( 2 1) 4 ( 1) x x x x x x x

 Isso sugere a substituição u = x + 1.

• Então, du = dx e x = u – 1. • Assim, 2 2 1 3 2 4

³

x dx

³

u du x x u

 Agora substituímos u = 2 sen

.

Obtendodu 2cosT Td e 4u2 2cosT SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA Exemplo 7

(8)

Figura mostra o gráfico do integrando do Exemplo 7 e o de uma integral indefinida (com C = 0).

•Qual é qual?