Aproximações de funções preservando formas simpléticas

Texto

(1)Universidade Federal de Alagoas Programa de Pós-Graduação em Matemática. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO. Rio São Francisco. Aproximações de Funções Preservando Formas Simpléticas. MATEMÁTICA. A ciência do infinito. Thiago Fontes Santos. Maceió 21 de Dezembro de 2006.

(2) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS Instituto de Matemática Programa de Pós-graduação em Matemática. Dissertação de Mestrado. Aproximações de funções preservando formas simpléticas. Thiago Fontes Santos. Orientador:. Prof. Dr. Krerley Oliveira. Apoio Financeiro:. Centro de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES. Maceió - Dezembro de 2006.

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(4) 3. Aos meus avós paternos Maria dos Prazeres Santos e Luiz Antônio dos Santos(In memorian), minha Irmã Shirleny Fontes Santos e minha futura esposa Mônica Teles Santos..

(5) 4.

(6) Agradecimentos Inicialmente agradeço a Deus por ter me proporcionado mais esta realização, dando-me coragem necessária para enfrentar as ocasiões difíceis e a minha família pelo apoio e o incentivo durante todo esse período que estive distante. Ao professor Krerley Oliveira pela amizade, orientação, paciência e benevolência durante todo o mestrado. Aos professores Manuel Bernardino, Natanael , Paulo Rabelo de Souza que muito contribuíram no inicio da minha formação acadêmica. Agradeço aos professores do Instituto de Matemática da Universidade Federal de Alagoas (UFAL) e em especial Adan Corcho, Ediel Azevedo, Fernando Echaiz e Marcos Petrúcio pelas contribuições acadêmicas e a amizade. Agradeço a amizade de José Anderson, André Vinicius, Naldisson, Almir Rogerio, José Arnaldo,Clarissa Codá, Davy Souza, Márcio Henrique, Claudemir Silvino, Fábio Bóia, Daniel Nicolau, André Pizzaia e companheirismo Maria de Andrade, Julio Cesar. Enm, a todos amigos e colegas que compartilharam minha história acadêmica, meus sinceros agradecimentos. Ao Prof. Dr. Jairo Bochi e Prof. Dr. Leonardo Macarini pelo estudo atencioso desta dissertação. Agradeço a CAPES pelo suporte nanceiro. A minha amável noiva, Mônica Teles, motivadora deste e de futuros trabalhos.. 5.

(7) Resumo. Mostraremos que é possível aproximar um difeomorfismo simplético com derivada contínua por um difeomorfismo simplético, infinitamente diferenciáveis, sobre uma variedade simplética compacta. Além disso, provamos o Teorema de Darboux e Moser.. Palavras-chave: Difeomorfismo Simplético; Preservar Volume..

(8) Introdução As funções como. sen (x), ex , log (x) se encaixam numa classe de funções chamada de analíticas,. ou seja, em torno de cada ponto do seu domínio existe um desenvolvimento, o qual representa a função dada como soma de uma série de potências:. f (x) =. ∞ X. an (x − x0 )n .. n=0 Deste modo, escrevendo polinômio e. fn (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n ,. f (x) = lim fn (x) n→∞. para todo. x. vemos que cada. fn. é um. no intervalo de convergência da série. Pode-se mostrar. ainda que em cada intervalo compacto de convergência, tem-se. fn → f. uniformemente.. Um resultado que generaliza o que vimos acima foi feito por K. Weierstrass em 1885. Conforme. f : [a, b] → R. Weierstrass, qualquer função contínua polinômios no seu intervalo de denição um polinômio. f. p. tal que. [a, b].. kf (x) − p(x)k < ε. é limite uniforme de uma seqüência de. Portanto, dada. para todo. x ∈ [a, b].. f. contínua em. [a, b]. e. ε > 0,. existe. Observe que estamos aproximando. por funções innitamente diferenciáveis pois polinômios são funções de classe. C∞.. Para a prova. do resultado de Weierstrass recomendamos [6]. Num contexto mais geral, podemos nos perguntar se dada uma função contínua. R, U. aberto, ela pode ser aproximada por funções classe. de como fazer isso. Dena. ∞. C∞.. Isto é possível, vejamos um exemplo. n. η ∈ C (R ) por  1   C exp |x|2 − 1 η(x) :=   0. se. |x| < 1. se. |x| ≥ 1. Z onde. C. η dx = 1.. é escolhida de forma que. Agora, para cada. Rn. ηε (x) :=. 1 x η . ε ε 7. f : U ⊆ Rn →. ε > 0,. seja.

(9) 8 Não difícil vericar que as funções. ηε. são de classe. C∞. e satisfazem. Z ηε dx = 1, supp.ηε ⊂ B(0; ε). Rn Dena. Z. ε. ηε (x − y)f (y)dy .. f (x) :=. Por uma mudança de variável, podemos escrever. f ε (x) =. U. Z. ηε (y)f (x−y)dy .. Por razões que mais adiante caram claras,. fε. é de classe. C∞. e. ε→∞. f ε −−−→ f. B(0; ε). U.. uniformemente nas partes compactas de. Neste trabalho, estamos interessados em aproximar funções preservando volume, o qual no método descrito acima nem sempre conseguimos. Resolveremos este problema sob a luz da Geometria Simplética. Chamaremos de variedades simplética o par. (M, σ). 2-forma fechada e não-degenerada. Um difeomorsmo simpléticas é dito simplético se Por exemplo, dado. onde. M. é uma superfície suave e. φ : (M1 , σ1 ) → (M2 , σ2 ). σ. uma. entre variedades. φ∗ σ2 = σ1 .. (p, q) = (p1 , . . . , pn , q1 , . . . , qn ) ∈ R2n w0 (p, q) =. n X. podemos considerar a 2-forma. dpi ∧ dqi .. i=1 Com esta forma,. (R2n , w0 ). é uma variedade simplética.. Apesar de ser um exemplo muito simples, é o que sempre ocorre, em coordenadas locais, numa variedade simplética qualquer. Este é um resultado clássico da geometria simplética provado por Darboux. Daremos uma prova deste fato seguindo as idéias de [12]. Um motivo básico para escolhermos a geometria simplética para tentarmos solucionar o problema de aproximar funções preservando volume é o fato de que difeomorsmos simpléticos preservam volumes simpléticos e desta maneira basta que suavizemos estes difeomorsmos. Mais precisamente, se. φ∗ σ2 = σ1. φ : (M1 , σ1 ) → (M2 , σ2 ). então. (σ1 )n. e. (σ2 )n. é um difeomorsmo entre variedades simpléticas tal que. são formas de volume sobre. Z A para todo boreliano. (σ1 )n =. Z. M1. e. M2 ,. respectivamente, e. (σ2 )n ,. φ(A). A ⊂ M1 .. Este trabalho está organizado como segue. No Capítulo 1 apresentaremos os conceitos básicos sobre formas alternadas e diferenciais bem como a fórmula mágica de Cartan que relaciona a derivada de Lie com a diferencial exterior e o produto interior. A seguir denimos as topologias na qual duas funções de classe. Ck. Ck. estarão próximas se além de estarem próximas quando avaliamos. num ponto suas derivadas também estão próximas até a ordem. k..

(10) 9 O Capítulo 2 começa com algumas noções sobre a Cohomologia de lamos os grupos de. de Rham. A seguir, calcu-. de Rham de alguns casos particulares. Usaremos esta teoria grandemente no. próximo capitulo. No Capítulo 3 aduzimos os conceitos mais importantes deste trabalhos, a saber, os de Topologia Simplética. Dentre os tópicos ali abordados, destacamos o Teorema de Darboux e o Teorema de Moser. Outra seção de relevante presença é a de Funções Geradoras, as quais servem de base para chegarmos ao nosso objetivo nal. Por m, o Capítulo 4 traz métodos de aproximações de funções. Dentre eles, veremos como podemos aproximar funções preservado o volume simplético.. Maceió, 21 dezembro 2006..

(11) 10.

(12) Sumário 1 Preliminares. 13. 1.1 Formas Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 1.1.1 Denições e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 1.1.2 Produto Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 1.2 Formas Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 1.2.1 Pull-Back de uma forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 1.2.2 Diferencial Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 1.2.3 Produto Interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 1.2.4 Derivada de Lie de formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 1.3 Partição da unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 1.4 Integração de formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 1.5 Topologias C. 40. 2 Cohomologia de. k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. de Rham. 2.1 Denição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 2.2 Invariância homotópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 2.3 Alguns exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. 3 Topologia Simplética. 57. 3.1 Álgebra linear simplética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 3.2 Variedades simpléticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60. 3.2.1 Teorema de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62. 3.2.2 Teorema de Moser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67. 11.

(13) 12. SUMÁRIO. 3.2.3 Algumas obstruções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 3.2.4 Funções geradoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. 4 Aproximações de funções. 79. 4.1 Suavização padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79. 4.2 Suavização Simplética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 81. 5 Aproximações C 1 e outros resultados 5.1 Aproximações C. 89. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89. 5.2 Fluxos C 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90. 5.3 Aproximações em Regiões com Bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91. 1,α. Referências Bibliográcas. 93. Índice Remissivo. 95.

(14) Capítulo 1. Preliminares 1.1 Formas Alternadas 1.1.1 Denições e exemplos Consideraremos uma base num espaço vetorial máxima. E. como uma família linearmente independente. (ei )i∈I , de elementos de E, com índices num conjunto I. Uma lista com índices no conjunto. I = 1, 2, . . . , r. é chamada uma. Dados espaços vetoriais. r−lista.. E, F ,. uma aplicação. ϕ : E × E × ... × E → F, | {z }. diz-se. r−linear quando. r−vezes. seus valores. ϕ(v1 , . . . , vr ) dependem linearmente de cada uma das variáveis v1 , . . . , vr ∈ E , ou seja,. ϕ(v1 , v2 , . . . , vi + wi , . . . , vr ) ϕ(v1 , v2 , . . . , λvi , . . . , vr ) quaisquer que sejam. = ϕ(v1 , v2 , . . . , vi , . . . , vr ) + ϕ(v1 , v2 , . . . , wi , . . . , vr ) = λϕ(v1 , v2 , . . . , vi , . . . , vr ),. v1 , v2 , . . . , vr ∈ E. e. λ ∈ R.. As operações usuais de soma de aplicações e produto de um aplicação por uma escalar fazem do conjunto das aplicações por. r−lineares ϕ : E × E × . . . × E → F. um espaço vetorial, que denotaremos. Lr (E; F ). Diremos que uma aplicação. seqüencia. (v1 , v2 , . . . , vr ). ϕ ∈ Lr (E; F ). é alternada se. ϕ(v1 , v2 , . . . , vr ) = 0. possuir repetições, ou seja, se existirem. i 6= j. com. vi = vj ,. sempre que a e diremos que. é anti-simétrica se. ϕ(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vr ) = −ϕ(v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vr ) 13. (1.1).

(15) 14. [CAP. 1:. para quaisquer. v1 , . . . , vr ∈ E .. A proposição seguinte dá um critério simples para as aplicações. Proposição 1.1.1.. ϕ. ϕ ∈ Lr (E; F ).. Seja. Demonstração. Dados Como. PRELIMINARES. Então. v1 , v2 , . . . , vr ∈ E ,. ϕ. r−lineares. serem alternadas.. é alternada se, e somente se, for anti-simétrica.. consideremos. ϕ(vi , vj ) = ϕ(v1 , v2 , ..., vi , ..., vj , ..., vr ).. é alternada então. 0. = ϕ(vi + vj , vi + vj ) = ϕ(vi , vi ) + ϕ(vi , vj ) + ϕ(vj , vi ) + ϕ(vj , vj ) = ϕ(vi , vj ) + ϕ(vj , vi ),. Portanto. ϕ(vi , vj ) = −ϕ(vj , vi ),. ou seja,. ϕ. é anti-simétrica.. Reciprocamente, usando a notação anterior, se Segue daí que. ϕ(v, v) = 0,. Vamos denotar por que. Ar (E; F ). é subespaço de. e indicaremos por. formas de grau. r.. é alternada.. Lr (E; F ).. A partir de agora, as aplicações. serão chamadas de formas. Ar (E; R) = Ar (E).. Convencionaremos que. r−lineares. Os elementos de. E. Seja. ϕ : E ×E ×. . .×E → F. são linearmente dependentes então. r−lineares. alternadas. alternadas ou simplesmente. Ar (E). são também chamados. Ar (E) = {0} para r < 0 e A0 (E) = R, ou seja, as formas. de grau zero são os escalares. De acordo com a nossa notação. Proposição 1.1.2.. ϕ(v, v) = −ϕ(v, v).. é anti-simétrica então. Ar (E; F ) o conjunto das aplicações r−lineares alternadas de E em F. Claro. ϕ : E × E × ... × E → R r−formas. ϕ. logo. ϕ. A1 (E) = E ∗ =. uma aplicação. ϕ(v1 , . . . , vr ) = 0.. dual de. r-linear alternada.. Em particular, se. Se. E. v1 , . . . , vr ∈. r > dim E. então. Ar (E) = {0}. Demonstração. Como. v1 , . . . , vr. linear dos demais. Digamos que. são linearmente dependentes, um desses vetores é combinação. v1 =. r X. αi · vi .. Então. i=2. ϕ(v1 , v2 , . . . , vr ) =. r X. αi · ϕ(vi , v2 , . . . , vr ) = 0.. i=2 Se. r > dim E. então quaisquer. r. vetores. E. são linearmente dependentes.. {0}. Vejamos alguns exemplos dessas. r−formas:. Segue que. Ar (E) =.

(16) [SEC. 1.1:. 15. FORMAS ALTERNADAS. Exemplo 1.1.1. m−forma. O determinante de uma matriz. det ∈ Am (Rm ). alternada. determinante da matriz. Exemplo 1.1.2.. m×m. Dados. se, para. m×m. v1 , v2 , . . . , vm ∈ Rm. cujas colunas são os vetores. r−funcionais lineares f 1 , . . . , f r. f 1 ∧ . . . ∧ f r : E × . . . × E −→ R. de. pusermos. det(v1 , v2 , . . . , vm ). =. v1 , v2 , . . . , vm . E ∗ , obtemos a forma linear alternada. chamada de produto exterior desses funcionais, denida por. f 1 ∧ . . . ∧ f r (v1 , . . . , vr ) = det(f i (vj )). com. i, j = 1, . . . r.. A multilinearidade desta forma segue da. linearidade de cada funcional. fj. Exemplo 1.1.3.. Λ : E ∗ × . . . × E ∗ −→ Ar (E). Considere. poderá ser considerado como uma. e das propriedades de determinante. a aplicação denida por. Λ(f 1 , . . . , f r ) = f 1 ∧ . . . ∧ f r . Como o determinante uma matriz é uma. Λ. é uma aplicação. r−linear. alternada de. r−linear E. ∗. em. alternada nos seus vetores-coluna, temos que. Ar (E).. Algumas vezes escreveremos, para. I =. {i1 , . . . , ir }, f I = f i1 ∧ . . . ∧ f ir .. Lema 1.1.1. de E. Se. Sejam. ϕ, ψ : E × . . . × E −→ F. ϕ(v1 , . . . , vr ) = ψ(v1 , . . . , vr ). aplicações. r−lineares. qualquer que seja a. e G um conjunto de geradores. r−lista (v1 , . . . , vr ). de elementos de G,. x∈E. podemos escrevê-lo. ϕ = ψ.. então. Demonstração. Provaremos usando indução sobre m X. como. (1.2). x=. aj vj .. r.. Se. r = 1,. dado. Daí,. j=1. ϕ(x). =. =. m X j=1 m X. aj ϕ(vj ) aj ψ(vj ). j=1 m X = ψ( aj (vj )) j=1. = ψ(x). Suponha que a armação valha para. ϕv , ψ v. r − 1.. Para cada. v ∈ G,. denamos as aplicações. por. ϕv (x1 , . . . , xr−1 ). = ϕ(x1 , . . . , xr−1 , v). ψv (x1 , . . . , xr−1 ). = ψ(x1 , . . . , xr−1 , v). r − 1 lineares.

(17) 16. [CAP. 1:. Por hipótese de indução,. PRELIMINARES. ϕv = ψv para qualquer (r−1)-lista de elementos de G, ou seja, ϕ(x1 , . . . , xr−1 , v) =. ψ(x1 , . . . , xr−1 , v). quaisquer que sejam. adores de E, dado. xr ∈ E. x1 , . . . , xr−1 ∈ E. e. v ∈ G.. Como G é um conjunto de ger-. temos que. ϕ(x1 , . . . , xr−1 , xr ). = ϕ(x1 , . . . , xr−1 ,. m X. ai vi ). i=1. = =. m X i=1 m X. ai ϕ(x1 , . . . , xr−1 , vi ) ai ψ(x1 , . . . , xr−1 , vi ). i=1. = ψ(x1 , . . . , xr ).. Lema 1.1.2.. Sejam. base de E. Se. ϕ, ψ : E × . . . × E −→ F. aplicações. ϕ(ei1 , . . . , eir ) = ψ(ei1 , . . . , eir ). r−lineares. para toda seqüencia crescente. inteiros contidos em. {1, . . . , m}. Demonstração. Seja. (j1 , . . . , jr ) uma r−lista de inteiros contidos em {1, . . . , m}.. de elementos nessa lista, então nadas.. então. {e1 , . . . , em }. alternadas e. i1 < . . . < ir. uma de. r. ϕ = ψ.. ϕ(ej1 , . . . , ejr ) = ψ(ej1 , . . . , ejr ) = 0. Suponha que os elementos dessa. r−lista. Se houver repetição. pois as aplicações são alter-. sejam todos distintos.. Daí, por meio de su-. cessivas transposições (trocas de posições entre 2 elementos apenas), podemos pôr os números. (j1 , . . . , jr ). na ordem crescente. (i1 < . . . < ir ).. k. Se são necessárias. k. tranposições, temos que. k. ϕ(ej1 , . . . , ejr ) = (−1) ϕ(ei1 , . . . , eir ) = (−1) ψ(ei1 , . . . , eir ) = ψ(ej1 , . . . , ejr ) anterior,. ϕ = ψ.. Agora, procuraremos explicitar uma base para considere. Assim, pelo lema. {e1 , . . . , em } ⊂ E. J = {j1 < . . . < jr }. base dual de. contidos em. Ar (E). {e1 , . . . , em } ⊂ E. {1, . . . , m},. I 6= J. eI (ej1 , . . . , ejr ) = 0 no entanto,. I = J,. então existe. ∗. .. Dados. ik ∈ I − J. tal que. se. I 6= J. se. I = J.. eik (ej ) = 0. Para tanto,. I = {i1 < . . . < ir }. para todo. pois teremos um determinante de uma matriz cuja então. E.. e. armamos que.   0, eI (ej1 , . . . , ejr ) =  1, De fato, se. a partir de uma base de. eI (ej1 , . . . , ejr ) = det(Id) = 1. j ∈ J.. k−ésima. Segue que. linha é nula. Se,. onde Id é a matriz identidade. r × r.. No.

(18) [SEC. 1.1:. 17. FORMAS ALTERNADAS. caso geral, sejam. v1 , . . . , vr ∈ E ,. com. vj =. m X. aij ei. j = 1, . . . r.. para. Para cada. i ∈ I,. temos que. i=1. ei (vj ) = aij .. Então. eI (v1 , . . . , evr ). = det(eik (vj )) = det(aik j ) = det(aI ),. onde. aI. denota a matriz. r×r. (aij ). obtida da matriz. escolhendo-se as. r−linhas. cujos índices. pertencem ao conjunto I.. Teorema 1.1.1. I = {i1 , . . . , ir } Ar (E).. Seja. uma base de. percorre os subconjuntos de. Em particular,. Demonstração. Dado. dim Ar (E) =. w ∈ Ar (E),. E∗.. {1, . . . , m}. As. r−formas eI = ei1 ∧ . . . ∧ eir ,. onde. com r elementos, constituem uma base de. m r .. . seja. αI = w(ei1 , . . . , eir ). X. αI eI é tal que para toda lista I temos que. r−forma ϕ = {1, . . . , m}. {e1 , . . . , em }. ϕ(ej1 , . . . , ejr ). I = {i1 < . . . < ir }.. J = {j1 < . . . < jr }. X. =. para cada. A. de inteiros contidos em. αI eI (ej1 , . . . , ejr ). I. = αJ = w(ej1 , . . . , ejr ).. combinação. X. αI eI = 0. ϕ = w,. ou seja,. w =. X. αI eI . Isto mostra que as r−formas eI I geram Ar (E). Notemos que estas r−formas são linearmente independente pois se tivermos uma Logo, a partir do Lema 1.1.2,. tiramos, para toda lista. J = {j1 < . . . < jr }, 0 = ϕ(ej1 , . . . , ejr ) =. I. αJ . Dados. f 1, . . . f r. base formada pelas termos da base. (ej ). funcionais de. r−formas eI. E∗,. vamos dar uma expressão para. f1 ∧ . . . ∧ fr. em termos da. como no teorema anterior. Podemos exprimir este funcionais em. como. fi. =. m X. aij ej .. (1.3). j=1. f1 ∧ . . . ∧ fr =. X. αJ eJ ,. com. J = {j1 < . . . < jr } ⊂ {1, . . . , m}.. Daí,. Pelo que vimos no Teorema 1.1.1, existe uma expressão única. J. αJ = f 1 ∧ . . . ∧ f r (ej1 , . . . , ejr ) = det(f i (ejk )). para todo.

(19) 18. [CAP. 1:. αJ = det(aJ ).. Assim. f1 ∧ . . . ∧ fr =. X. det(aJ )eJ. PRELIMINARES. a soma estendendo-se a todos os subconjuntos. J. J ⊂ {1, . . . , m}. com. r. r=m. elementos. Em particular, quando. . . . ∧ f m = det(a).e1 ∧ . . . ∧ em ,. a = (aij ). onde. temos, simplesmente, que. f1 ∧. {e1 ∧ . . . ∧ em }. para. é a matriz de passagem de. {f 1 , . . . , f m }. w ∈ Ar (E) quando fazemos uma mudança. Vejamos como mudam as coordenadas de uma forma de base em E. Sejam. {e1 . . . , em } e {f1 . . . , fm } base de E com ej =. {e1 . . . , em }. e. {f 1 . . . , f m },. cumprem as relações. m X. aij fi , (j = 1, . . . , m).. i=1 m X. fi =. aij ej , (i = 1, . . . , m).. Suas base duais,. Dados conjuntos. j=1. I, J. com. r. elementos, indicamos com. aIJ. X. fI = det(aIJ )eJ . J X X w= αJ eJ = βI f I relativamente Pelo que vimos,. J. a sub-matriz. r×r. da matriz. Agora, se uma forma as bases. (eJ ). e. (f J ). a = (aij ) com i ∈ I. w ∈ Ar (E). e. j ∈ J.. admite as expressões. temos que. I. w. X. =. αJ eJ. J. X. =. βI. X. I. " X X. =. J. αJ =. # βI det(aIJ ) eJ. I. X. βI det(aIJ ). I Agora, note que para todo r. Segue que. det(aIJ )eJ. J. transformação linear. ≥ 1,. uma transformação linear. ∗. A : Ar (F ) −→ Ar (E),. A : E −→ F. determina uma nova. a qual chamaremos de transposta, denida por. (A∗ · w)(v1 , . . . , vr ) = w(A · v1 , . . . , A · vr ) para quaisquer. w ∈ Ar (F ). Observação 1.1.1.. e. (1.4). v1 , . . . , vr ∈ E .. Considere dim(E )=dim(F )=m. Se. {e1 , . . . , em } ⊂ E ∗. e. {f 1 , . . . , f m } ⊂ F ∗. são bases então. A∗ (f 1 ∧ . . . ∧ f m ) = det(a) e1 ∧ . . . ∧ em , onde. (1.5). a = (aij ) representa a matriz de passagem das bases duais às bases {e1 , . . . , em } e {f 1 , . . . , f m }.. De fato, sejam. {e1 , . . . , em } ⊂ E. ∗. {e1 , . . . , em } ⊂ E e. e. {f 1 , . . . , f m } ⊂ F. ∗. {f1 , . . . , fm } ⊂ F . Seja. a = (aij ). bases, duais respectivamente das bases. a matriz em relação a essas bases, ou seja,.

(20) [SEC. 1.1:. A · ej =. 19. FORMAS ALTERNADAS. m X. aij fi para j = 1, . . . , m. Pelo Teorema 1.1.1, i=1 base para esse espaço. Daí,. dim Am (E) = 1. e. {e1 ∧ . . . ∧ em }. é uma. m,. orien-. A∗ (f 1 ∧ . . . ∧ f m ) = λ e1 ∧ . . . ∧ em , onde. λ. Exemplo 1.1.4.. =. A∗ (f 1 ∧ . . . ∧ f m ) (e1 , . . . , em ). =. (f 1 ∧ . . . ∧ f m )(A · e1 , . . . , A · em ). =. det(f i (A · ej )). =. det(a).. A forma elemento de volume. Seja. E. um espaço vetorial de dimensão. tado e munido de um produto interno. Tomemos uma base ortonormal positiva. E.. Dada a seqüencia de vetores. v1 , . . . , vm ∈ E , vj =. {e1 , . . . , em }. em. escrevamos. m X. aij ej ,. i=1 para cada. j = 1, . . . , m.. de volume. w. Considere. a = (ai j )m×m. a matriz assim obtida. Dena a forma elemento. por. w(v1 , . . . , vm ) = det(a). Evidentemente. w ∈ Am (E).. Resta mostrar que. w. (1.6). não depende da escolha da base.. Para isso,. dena a matriz. g = (h vi , vj i)m×m na qual o elemento situado na. i-ésima. linha e. h vi , vj i = h. j -ésima X. coluna é o produto. aki ek ,. X. Note que. asj es , i. s. k. =. X. h vi , vj i.. aki akj .. k Daí, obtemos que. g = aT a.. Isto implica que. det(g) = (det(a))2 .. p w(v1 , . . . , vm ) = ± det(g), onde o sinal depende da orientação tomada.. Portanto. (1.7).

(21) 20. [CAP. 1:. PRELIMINARES. 1.1.2 Produto Exterior No exemplo 1.1.2 vimos o produto de funcionais em. E∗,. a qual chamamos de produto exterior de. funcionais. Agora, vamos denir o que seja o produto exterior de uma Uma. r−forma. w(p) ∈ Ar (E).. exterior em E é a aplicação. w. k−forma por uma r−forma.. que associa para cada. p ∈ E. um elemento. aI (p)eI , I = (i1 < I {1, . . . , m}. Agora, vamos denir algumas operações das r−formas em E. Primeiro, se Pelo teorema 1.1.1, podemos escrever. w(p) =. X. . . . < ir ) ⊂ w1. e. w2. são. X. (aI + bI )eI . Se w1 é uma r−forma e I w2 uma s-forma é possível denir uma operação, chamada produto exterior w1 ∧ w2 obtendo uma duas. r−formas,. r + s-forma. podemos denir a soma como. w1 + w2 =. da seguinte maneira: dados. X. w1 =. aI eI. I e. X. w2 =. bI eJ. J dena. w1 ∧ w2 =. X. aI bI eI ∧ eJ. I,J As operações com o produto exterior gozam de certas propriedades. Veremos algumas delas a seguir.. Proposição 1.1.3.. Seja. w1. uma. r−forma, w2. a). (w1 ∧ w2 ) ∧ w3 = w1 ∧ (w2 ∧ w3 ),. b). (w1 ∧ w2 ) = (−1)rs w2 ∧ w1 ,. uma s-forma e. w3. Demonstração. Pelo Teorema 1.1.1, escrevamos. w1 =. X. aI eI , I = (i1 < . . . ir ). I. w2 =. X. bJ eJ , J = (j1 < . . . jr ). J. w2 =. X L. cL eL , L = (l1 < . . . lr ).. uma k-forma. Então:.

(22) [SEC. 1.2:. 21. FORMAS DIFERENCIAIS. a) Segue diretamente da denição.. b) Notemos que. w1 ∧ w2. X. =. aI bJ ei1 ∧ . . . ∧ eir ∧ ej1 ∧ . . . ∧ ejs. I,J. X. =. (−1)aI bJ ei1 ∧ . . . ∧ eir−1 ∧ ej1 ∧ eir ∧ ej2 ∧ . . . ∧ ejs. I,J. X. =. (−1)k aI bJ ej1 ∧ ei1 ∧ . . . ∧ eir−1 ∧ eir ∧ ej2 ∧ . . . ∧ ejs .. I,J Desde que. J. tem. s. elementos, nós obtemos, repetindo o argumento para cada. w1 ∧ w2. X. =. ejq , jq ∈ J ,. (−1)ks aI bJ ej1 ∧ . . . ∧ ejs ∧ ei1 ∧ . . . ∧ eir. I,J. (−1)ks w2 ∧ w1 .. =. Dada uma forma. w,. usaremos a notação abreviada. wn := |w ∧ .{z . . ∧ w}. n−vezes. Observação 1.1.2. w ∧ w = 0.. Apesar de que. Por exemplo se. ei ∧ ei = 0. não é verdade que para qualquer forma. w = a1 e1 ∧ e2 + a2 e3 ∧ e4 ,. temos. w. tem -se. w ∧ w = a1 a2 e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4 .. 1.2 Formas Diferenciais De agora em diante,. p ≥ 1, X(M ). M. representará uma superfície. m−dimensional. o conjunto dos campos de vetores denidos em. x ∈ M.. tangente a. M. {(Uα , φα )}. tal que para todo. no ponto. α, β. M. contida no. e por. Tx M. Rn ,. de classe. Cp,. o espaço vetorial. 1. Diremos que uma superfície é orientável se existir um atlas com. Uα ∩ Uβ 6= ∅. det(d(φβ ◦ φ−1 α )) > 0.. (1.8). Esse atlas nós chamaremos de orientação e as cartas neste atlas nós chamaremos de cartas positivas. Mais adiante, usando técnicas de partição da unidade, mostraremos que uma condição necessária e suciente para que superfície em. n−dimensional M. seja orientável é que exista uma forma de volume. M.. 1 Uma. atlas numa superfície. M. é uma coleção de cartas tais que seus domínios cobrem. M..

(23) 22. [CAP. 1:. Uma forma diferencial de grau. r. numa superfície. M. PRELIMINARES. é uma aplicação. w : x ∈ M 7→ w(x) ∈ Ar (Tx M ) que associa a cada ponto. x∈M. uma forma. r−linear. alternada. w(x). no espaço vetorial tangente. Tx M .. Representação por meio de parametrizações Seja. ϕ : U0 → U. uma parametrização de um aberto. U ⊂ M.. Para cada. x = ϕ(u) ∈ U. temos uma. base. . Denotaremos por cada. x = ϕ(u) ∈ U ,. base de cada. Ar (Tx M ).. ∂ϕ ∂ϕ (u), . . . , (u) ⊂ Tx M. ∂u1 ∂um. {du1 , . . . , dum } ⊂ (Tx M )∗. as. (1.9). a base dual de (1.9).. r−formas duI = dui1 ∧ . . . ∧ duir ,. Assim dada uma forma diferencial. w,. com. Pelo Teorema 1.1.1, para. I = {i1 < . . . < ir }. de grau. r. em. M,. constituem uma. podemos escrever, para. x = ϕ(u) ∈ U : w(x) = w(ϕ(u)) =. X. aI (u)duI. (1.10). I Daí, a forma. w. dene, para cada parametrização. ϕ : U0 → U. em. M,. as funções. aI : U0 → R.. Convém mostrar que esta representação não depende da parametrização. De fato, seja outra parametrização em. M,. com. . U ∩ V 6= ∅.. Para todo. x = ϕ(u) = ψ(v) ∈ U ∩ V. ∂ψ ∂ψ (v), . . . , (v) ⊂ Tx M. ∂v1 ∂vm. e. {dv1 , . . . , dvm } ⊂ (Tx M )∗ que se relacionam com as base determinadas por. ϕ. do seguinte modo:. ∂ϕ ∂uj. =. m X ∂vi ∂ψ ∂u j ∂vi i=1. dvi. =. m X ∂vi duj ∂uj j=1. ψ : V0 → V. temos as bases.

(24) [SEC. 1.2:. 23. FORMAS DIFERENCIAIS. x = ϕ(u) = ψ(v) ∈ U ∩ V. Pelo que já vimos na seção anterior, se. e. w(x) =. X. aJ (u)duJ =. J. X. bI (u)dvI. então. I. X. aJ (u) =. det. I. onde. ∂vI ∂uJ. ∂vI ∂uJ. bI (v),. é a matriz. r×r. formada pelos elementos. ∂vi ∂uj. (1.11). tais que. i∈I. e. j ∈ J.. Portanto ca. estabelecido a não dependência da parametrização. Diremos que uma coberta por imagens. U. diferencial. w. de parametrizações. sobre. M. é de classe. ϕ : U0 → U ,. X. aI duI as funções aI sendo todas de classe I ∞ tratadas neste trabalho serão de classe C . tem. w=. r-forma. Denição 1.2.1. diferencial. w. Uma. de grau. n. Usaremos a notação Proposição 1.1.2, se. forma de volume sobre. M. C. C k , k < p,. de classe. k. Ck,. quando. . Salvo menção ao contrário, as formas. em uma superfície. n−dimensional M. é uma forma. w(m) 6= 0, ∀ m ∈ M .. tal que. então. pode ser. relativamente às quais se. Ωr (M ) para designar o conjunto das r-formas sobre M .. r > dim M. M. Observe que, pela. r. Ω (M ) = {0}.. 1.2.1 Pull-Back de uma forma Sejam grau. r. x∈M. M. e. N. superfícies e. F :M →N. uma aplicação de classe. sobre N, deniremos o pull-back de e cada. r−lista. de vetores. w. pela função. F. C k , k ≥ 1.. Dada uma forma. e escreveremos. F ∗w. w. é uma. de. pondo para cada. w1 , . . . , wr ∈ Tx M ,. [(F ∗ w)(x)](w1 , . . . , wr ) = w(F (x))(F 0 (x).w1 , . . . , F 0 (x).wr ) Em particular, se. w,. 0−forma,. ou seja,. w = g : Rm → Rn. (1.12). é uma aplicação diferenciável. então. (F ∗ g)(x) = (g ◦ F )(x) De acordo com a denição dada em (1.12), temos que. (F ∗ w)(x) = [F 0 (x)]∗ · w(F (x)).. (1.13).

(25) 24. [CAP. 1:. Pull-back de. Observação 1.2.1.. Se. F : Rn → Rn. w. pela função. PRELIMINARES. F.. uma aplicação diferenciável e. w = dx1 ∧ . . . ∧ dxm. então,. pela observação (1.1.1),. F ∗ (dx1 ∧ . . . ∧ dxn )(x) = det(F 0 (x))dy1 ∧ . . . ∧ dyn , onde. y1 , . . . , y n. são as funções coordenadas de. Proposição 1.2.1.. Sejam. M1 , M 2 , M 3. F.. superfícies,. f : M1 → M2. e. g : M2 → M3. diferenciáveis. Então: a). f ∗ (cw + w) = cf ∗ (w) + f ∗ (w), ∀c ∈ R, ∀w, w ∈ Ωr (M2 );. b). (g ◦ f )∗ (w) = f ∗ (g ∗ (w)),∀w ∈ Ωr (M3 );. c). f ∗ (w ∧ w) = f ∗ (w) ∧ f ∗ (w), ∀w ∈ Ωr (M2 ).. Demonstração.. a) Dado. c ∈ R, p ∈ M1. e. v1 , . . . , vr ∈ Tp M1 ,. f ∗ (cw + w)(p)(v1 , . . . , vr ). =. temos que, 0. 0. (cw + w)(f (p)).(f (p).v1 , . . . , f (p).vr ) 0. 0. = cw(f (p)).(f (p).v1 , . . . , f (p).vr ) + 0. 0. w(f (p)).(f (p).v1 , . . . , f (p).vr ) = Logo,. f ∗ (cw + w) = f ∗ (cw) + f ∗ (w).. (cf ∗ (w)(p) + f ∗ (w)(p)) (v1 , . . . , vr ).. aplicações.

(26) [SEC. 1.2:. 25. FORMAS DIFERENCIAIS. b) Dados arbitrariamente. x ∈ M1 ,. uma. ((g ◦ f )∗ w)(x)(v1 , . . . , vr ). r−forma w ∈ M3. e. v1 , . . . , vr ∈ Tx M1 ,. temos que. 0. 0. = w(g(f (x))).((g ◦ f ) (x).v1 , . . . , (g ◦ f ) (x).vr ). Por outro lado,. (f ∗ (g ∗ (w)))(x)(v1 , . . . , vr ). 0. 0. (g ∗ (w))(f (x))(f (x).v1 , . . . , f (x).vr ). =. 0. 0. = w(g(f (x))).((g ◦ f ) (x).v1 , . . . , (g ◦ f ) (x).vr ) Logo. (g ◦ f )∗ (w) = f ∗ (g ∗ (w)).. c) Inicialmente, seja derivada de. f. f1 , . . . , fr. 1-formas de. M2 .. Omitindo o ponto. x. e denotando por. df. a. neste ponto, nós obtemos. f ∗ (f1 ∧ . . . ∧ fr )(v1 , . . . , vr ). (f1 ∧ . . . ∧ fr )(df.v1 , . . . , df.vr ). =. = det(fi (df.vj )) = det(f ∗ (fi (vj ))) (f ∗ (f1 ) ∧ . . . ∧ f ∗ (fr ))(v1 , . . . , vr ).. =. (x1 , . . . , xr ) coordenadas para M1 e (y1 , . . . , yr ) coordenadas para M2 onde yi = X fi (x1 , . . . , xr ) sendo fi as funções coordenadas de f : M1 → M2 . Sejam w = aI dyI , w = I X bJ dyJ duas k−formas em M2 . Então, Agora, sejam. J. f ∗w =. X. f ∗ (aI ) f ∗ dyi1 ∧ . . . ∧ f ∗ dyik. I e. f ∗w =. X. f ∗ (bJ ) f ∗ dyj1 ∧ . . . ∧ f ∗ dyjk .. J Conseqüentemente,. f ∗ (w ∧ w). X = f ∗( aI bJ dyI ∧ dyJ ) I,J. =. X. =. X. =. X. (aI ◦ f )(bJ ◦ f )f ∗ (dyI ∧ dyJ ). I,J. (aI ◦ f )(bJ ◦ f )f ∗ dyI ∧ f ∗ dyJ. I,J. I,J ∗. (aI ◦ f )f ∗ (dyI ) ∧. X J. ∗. = f (w) ∧ f (w). (bJ ◦ f )f ∗ (dyJ ).

(27) 26. [CAP. 1:. Exemplo 1.2.1.. Forma elemento de ângulo.. α(x, y) = Claro que. α(x, y) · v =. −y · v1 + x · v2 , x2 + y 2. Considere a. 1−forma α. sobre. R2 r { 0 }. −y dx + x dy . x2 + y 2. para todo vetor. PRELIMINARES. dada por. (1.14). v = (v1 , v2 ) ∈ R2 .. Seja. ϕ : R → R2 r { 0 }. uma aplicação diferenciável denida por. ϕ(t) = (cos t, sen t). Usando a denição (1.12), obtemos que,. [(ϕ∗ α)(t)](q). = α(ϕ(t))(ϕ0 (t) · q) =. (−sen t) (−q sen t) + (cos t) (q cos t). = q ou seja,. ϕ∗ α = dq .. Exemplo 1.2.2.. w ∈ Ωr (M ) e ϕ : U0 → U uma ∂ϕ ∂ϕ parametrização de M . Em cada ponto x = ϕ(u) ∈ U , os vetores (u), . . . , (u) constituem ∂u1 ∂um ∗ uma base do espaço vetorial tangente Tx M , cuja dual é {du1 , . . . , dum } ⊂ (Tx M ) . Escrevendo X duI = dui1 ∧ . . . ∧ duir , com I = {i1 < . . . < ir }, temos w(x) = aI (u)duI . Denote por Forma induzida por uma aplicação.. Seja. I. dxI = dxi1 ∧. . .∧dxir , onde {dx1 , . . . , dxm } é a base canônica de (Rm )∗ , dual de {e1 , . . . , em } ⊂ Rm . ∂ϕ 0 Sabemos que ϕ (u) · ei = (x). Segue que ∂ui (ϕ∗ dui )(ej ). Assim. Logo,. ϕ∗ dui = dxi .. = dui (ϕ0 (u) · ej )   0, ∂ϕ = dui =  ∂uj 1,. se i. 6=. j. .. se i = j. I = {i1 , . . . ir } ∂ϕ ∂ϕ (u), . . . , (u) = aI (u). [ϕ∗ w(u)](ei1 ∧ . . . ∧ eir ) = w(x) ∂ui1 ∂uir X ϕ∗ w = aI dxI . I. Além disso, se.

(28) [SEC. 1.2:. 27. FORMAS DIFERENCIAIS. 1.2.2 Diferencial Exterior O propósito desta seção é estender a diferencial de funções para uma aplicação. d : Ωr (M ) → Ωr+1 (M ) para qualquer. r ≥ 0.. Iniciaremos com formas em abertos de menos de classe. Para o que segue, as formas consideradas são pelos. C 1.. w ∈ Ωr (U ),. Dado. Rn .. usaremos a representação em termos de parametrização na qual podemos. escrever. w=. X. aI dxI .. I. w. Deniremos a diferencial exterior de uma forma. dw. =. X. por. daI ∧ dxI. I. =. X ∂aI j,I. Observação 1.2.2.. ∂xj. dxj ∧ dxI .. A diferencial exterior de funções (0−formas) coincide com a denição usual. Rm . X ∂a dw = da = dxj . ∂xj j de diferencial no. De fato, se. w. é uma. 0−forma,. ou seja,. w = a : U ⊂ Rm → R. então. Agora veremos algumas propriedades deste operador que serão importantes ao longo deste trabalho.. Proposição 1.2.2. denidas em V e. 1.. Sejam. U ⊂ Rm , V ⊂ R n. f : U → Rn. de classe. C2. tal que. d(w + w) = dw + dw;. 2. Se. w ∈ C2. então. abertos,. d(dw) = 0;. 3.. d(w ∧ w) = dw ∧ w + (−1)gr w (w ∧ dw);. 4.. d(f ∗ w) = f ∗ (dw).. w, w. f (U ) ⊂ V .. formas diferenciais de classe. Então:. C1.

(29) 28. [CAP. 1:. Demonstração.. X. w=. 1. Basta observar que se. aI dxI. w=. e. X. I. =. dw + dw. X ∂aI ∂xj. j,I. X. =. dxj ∧ dxI +. X ∂aL j,L. dxj (. j,I,L. bJ dxJ. então. J. ∂xj. dxj ∧ dxL. ∂aI ∂bL dxI + dxL ) ∂xj ∂xj. = d(w + w). 2. Seja. w=. X. aI dxI. então. X ∂aI. dw =. ∂xj. j,I. I. ddw. =. dxj ∧ dxI .. Daí,. X ∂ 2 aI dxk ∧ (dxj ∧ dxI ) ∂xk ∂xj. k,j,I. =. X X ∂ 2 aI dxk ∧ dxj ∧ dxI ∂xk ∂xj. =. XX. =. 0,. I. k,j. I. k<j. (. ∂ 2 aI ∂ 2 aI − )dxk ∧ dxj ∧ dxI ∂xk ∂xj ∂xj ∂xk. pelo teorema de Schwarz.. 3. Sejam. w=. X. aI dxI. e. w=. I. X. bJ dxJ .. Então,. J. d(w ∧ w). =. X ∂(aI bJ ) dxr ∧ dxI ∧ dxJ ∂xr. r,I,J. =. X. bJ. ∂aI dxr ∧ dxI ∧ dxJ ∂xr. aI. ∂bJ dxr ∧ dxI ∧ dxJ ∂xr. r,I,J. +. X r,I,J. =. X ∂aI X dxr ∧ dxI ) ∧ bj dxJ ( ∂xr J. r,I. +. X X ∂bJ (−1)gr w ( aI dxJ ) ∧ ( ( dxr ∧ dxJ ) ∂xr I. r,J. gr w. = dw ∧ w + (−1) 4. Se. w. w ∧ dw. é uma 0-forma então, pela regra da cadeia, em todo ponto 0. dg(f (x)).f (x) = d(g ◦ f )(x).. x∈U. tem-se. PRELIMINARES.

(30) [SEC. 1.2:. 29. FORMAS DIFERENCIAIS. 0. f ∗ (dg)(x).v = dg(f (x)).f (x).v . Logo f ∗ (dg) = d(g ◦ X f ) = d(f ∗ g). Agora, considere w = aI dxI uma r−forma, r ≥ 1. Segue que f ∗ w = X X I (f ∗ aI )(f ∗ dxi1 ∧ . . . ∧ f ∗ dxir ) = (f ∗ aI ) (d(xi1 ◦ f ) ∧ . . . ∧ d(xir ◦ f )). Portanto, v ∈ Rm. Daí, para todo. temos. I. I. d(f ∗ w). X ∂(f ∗ aI ). =. ∂xj. j,I. X. =. dxr ∧ (d(xi1 ◦f ) ∧ . . . ∧ d(xir ◦ f )). (f ∗ (daI ) ∧ (d(xi1 ◦ f ) ∧ . . . ∧ d(xir ◦ f ))). I. = f ∗ (dw)).. A seguir, deniremos a diferencial exterior de uma forma em. C. 1. .. Para toda parametrização. U,. em. tal que. ϕ : U0 → U ⊂ M ,. ϕ∗ (dϕ w) = d(ϕ∗ w).. bijeção das formas em. U. M.. Seja. existe uma única forma. w ∈ Ωr (M ),. classe. dϕ w ,. r+1. Isto se deve ao fato de que o pull-back. sobre as formas em. U0 .. Se. w|U =. X. aI (u)duI. de grau. w 7→ ϕ∗ w. é uma. então, pelo exemplo 1.2.2,. I. ϕ∗ w = que. X. aI (u)dxI donde d(ϕ∗ w) = I X dϕ w = daI ∧ duI .. X. daI ∧ dxI .. Logo, a igualdade. ϕ∗ (dϕ w) = d(ϕ∗ w) signica. I. I Vamos vericar que se efeito, temos que parâmetro. Logo. ψ : V0 → V. é outra parametrização então. ϕ = ψ ◦ ξ : ϕ−1 (U ∩ V ) → U ∩ V , ϕ∗ = ξ ∗ ◦ ψ ∗ .. Daí, em. onde. ξ. dϕ w = dψ w. em. U ∩V.. Com. é o difeomorsmo de mudança de. U ∩V:. ϕ∗ (dψ w). = ξ ∗ ψ ∗ (dψ w) = ξ ∗ d(ψ ∗ w) = d(ξ ∗ ψ ∗ w) = d(ϕ∗ w) = ϕ∗ (dϕ w).. Portanto. dψ w = dϕ w. em. U ∩V.. Denimos a diferencial exterior cujo valor em cada ponto parametrização em. M. x∈M. tal que. dw. da forma. é dado por. x ∈ U.. w ∈ Ωr (M ). como a forma de grau. (dw)(x) = (dϕ w)(x),. onde. r+1. ϕ : U0 → U. em. M. é qualquer.

(31) 30. [CAP. 1:. Por m, diremos que uma é. exata. r−forma, α. quando existe uma forma. de classe. C 1, w. r−1. de grau. fechada. é. e classe. C2. se. tal que. PRELIMINARES. dw = 0.. Diremos que. w. dα = w.. Em virtude da. proposição acima, toda forma exata é fechada.. 1.2.3 Produto Interior Dado. X ∈ X(M ),. ιX : Ωr+1 (M ) → Ωr (M ),. considere a aplicação. denida por. [(ιX w)(x)] (v1 , . . . , vr ) := w(x)(X(x), v1 , . . . , vr ). Quando. w ∈ Ω0 (M ). nós colocaremos. contração, da forma. w. Proposição 1.2.3.. Se. pelo campo. ⊂ (Tx M )∗ r+1. w2 = e. Esta aplicação é chamada de produto interior, ou. X.. w1 ∈ Ωr (M ) , w2 ∈ Ωl (M ). ιY (w1 ∧ w2 ). Demonstração. Dado. ιX w = 0.. x ∈ M,. (1.15). e. Y ∈ X(M ). então. (ιY w1 ) ∧ w2 + (−1)r w1 ∧ (ιY w2 ).. =. (1.16). {e1 (x), . . . , em (x)} uma base de Tx M. considere. e. o dual dessa base. Pelo Teorema 1.1.1 é suciente provarmos para. r+s. ∧ ... ∧ e. ,. r + s ≤ m.. Observe que, para todo. ιY (e1 ∧ . . . ∧ er ) =. r X. {e1 (x), . . . , em (x)}. w1 = e1 ∧ . . . ∧ er. Y ∈ X(M ),. (−1)j−1 ιY (ej ) e1 ∧ . . . ∧ ebj ∧ . . . ∧ er ,. j=1. onde. ebj. signica que omitimos o termo. ej .. De fato, para todo.  ιY (e1 ∧ . . . ∧ er )(v1 , . . . , vr−1 ). =. =. =.   det   r X j=1 r X j=1. v1 , . . . , vr−1 ∈ Tx M ,. e1 (Y ) e1 (v1 ) . . .. e1 (vr−1 ).     . . . .. . . .. . . .. . . .. er (Y ). er (v1 ). .... er (vr−1 ). (−1)j−1 ej (Y )(e1 ∧ . . . ∧ ebj ∧ . . . ∧ er )(v1 , . . . , vr−1 ) (−1)j−1 ιY (ej )(e1 ∧ . . . ∧ ebj ∧ . . . ∧ er )(v1 , . . . , vr−1 ).. e.

(32) [SEC. 1.2:. 31. FORMAS DIFERENCIAIS. Usando este fato obtemos que,. ιY (w1 ∧ w2 ). r+s X. =. (−1)j−1 ιY (ej )(e1 ∧ . . . ∧ ebj ∧ . . . ∧ er+s ). j=1 r+s X. =. (−1)l−1 ιY (el )(e1 ∧ . . . ∧ er ∧ . . . ∧ ebl ∧ . . . ∧ er+s ). l=r+1 r X. (−1)j−1 ιY (ej )(e1 ∧ . . . ∧ ebj ∧ . . . ∧ er ∧ . . . ∧ er+s ). +. j=1. (−1)r. =. s X. l+r ∧ . . . ∧ er+s ) (−1)l−1 ιY (el )(e1 ∧ . . . ∧ er ∧ . . . ∧ ed. l=1 r X. +. (−1)j−1 ιY (ej )(e1 ∧ . . . ∧ ebj ∧ . . . ∧ er ∧ . . . ∧ er+s ). j=1. (−1)r w1 ∧ ιY w2 + ιY w1 ∧ w2. =. 1.2.4 Derivada de Lie de formas Antes de prosseguir, precisamos de algumas denições. Um uxo numa superfície cação. Φ:R×M →M. tal que para todo. 1.. Φ(0, p) = p;. 2.. Φ(t, Φ(s, p)) = Φ(t + s, p).. Um uxo local é uma aplicação. p∈M. e. Φ : A → M,. M. é uma apli-. s, t ∈ R,. onde. A. é uma aberto com. A ⊃ {0} × M ,. satisfaz as duas propriedade de uxo no domínio de denição. Algumas vezes escreveremos ou. Φt (·). para representar o uxo. Φ(t, ·).. Um uxo. ϕt. está associado ao campo. X. que. Φt (·). se. d (ϕt ) = X ◦ ϕt . dt Uma denição dinâmica da derivada de Lie é dada a seguir. de classe. C. 1. , em. escreveremos. M. £X ,. e. r. w ∈ Ω (M ).. é uma. r-forma. A derivada de Lie da forma. ϕt. é o uxo local de. X.. w. X. um campo de vetores,. com respeito ao campo. X,. e. dada por. £X (w) := onde. Seja. d ∗

(33)

(34) (ϕ w) t=0 dt t. (1.17).

(35) 32. [CAP. 1:. Exemplo 1.2.3.. Se. w. é uma 0-forma, ou seja,. £X (w). w : U ⊂ Rn → R ,. PRELIMINARES. então, por (1.13),. d ∗

(36)

(37) (ϕ w) t=0 dt t

(38) d = (w ◦ ϕt )

(39) t=0 dt = dw(X) =. = ιX dw. Existe uma fórmula explícita para o cálculo da derivada de Lie de formas, conhecida como. Fórmula de Cartan. Antes de nós enunciarmos e provarmos esta fórmula, precisamos estabelecer um par de lemas.. Lema 1.2.1.. Para todo. X ∈ X(M ). temos que. £X (w1 ∧ w2 ) = (£X w1 ) ∧ w2 + w1 ∧ (£X w2 ), para quaisquer que sejam. Demonstração. Sejam. w1 ∈ Ωr (M ). w1 ∈ Ωr (M ). e. e. (1.18). w2 ∈ Ωs (M ).. w2 ∈ Ωs (M ).. Considere. ϕt. o uxo local de. X ∈ X(M ).. Segue do ítem (c) da Proposição (1.2.1) que. ϕ∗t (w1 ∧ w2 ) = ϕ∗t (w1 ) ∧ ϕ∗t (w2 ).. (1.19). Desde que o produto exterior é bilinear, podemos diferenciar a igualdade acima que obtendo.

(40) d ∗ ϕt (w1 ∧ w2 )

(41) t=0 dt

(42) d ∗ = (ϕt (w1 ) ∧ ϕ∗t (w2 ))

(43) t=0 dt

(44)

(45) d ∗ d ∗ ∗ ∗

(46)

(47) ϕ (w1 ) t=0 ∧ ϕ0 (w2 ) + ϕ0 (w1 ) ∧ ϕ (w2 ) t=0 = dt t dt t = (£X w1 ) ∧ w2 + w1 ∧ (£X w2 ),. £X (w1 ∧ w2 ). onde usamos que. Lema 1.2.2.. =. ϕ∗0 = id,. Para todo. já que. ϕ0 (x) = x ∀ x ∈ M .. X ∈ X(M ). e. w ∈ Ωr (M ). temos que. d£X w = £X dw.. (1.20).

(48) [SEC. 1.2:. 33. FORMAS DIFERENCIAIS. Demonstração. A partir da denição de derivada de Lie de formas e das propriedades de pull-back, temos que. £X (dw). Teorema 1.2.1 (Fórmula de Cartan)..

(49) d (ϕ∗t (dw))

(50) t=0 dt

(51) d (d(ϕ∗t w))

(52) t=0 = dt d ∗

(53)

(54) (ϕ w) t=0 = d dt t = d£X w. =. Seja. X ∈ X(M ). e. w ∈ Ωr (M ).. Então. £X (w) = d(ιX w) + ιX (dw). Demonstração. Faremos a prova usando indução sobre o grau da forma. X(M ).. Para. 0−formas. formas de grau. r.. (1.21). w. sobre. M.. Seja. X ∈. isso foi feito no Exemplo (1.2.3). Admita que (1.21) seja verdadeira para. Note que uma. (r + 1)−forma X. pode ser escrita como. dfi ∧ wi ,. i onde. wi. é uma. r−forma e fi. é uma aplicação diferenciável (0−forma), numa vizinhança de. m ∈ M.. Pelo Lema (1.2.1) temos que. £X (df ∧ w) = (£X df ) ∧ w + df ∧ (£X w) Por outro lado, juntando a hipótese de indução, a Proposição (1.2.3) e as propriedades de produto exterior de formas, obtemos as seguintes igualdades. ιX d(df ∧ w) + dιX (df ∧ w). = −ιX (df ∧ dw) + d((ιX df ) ∧ w − df ∧ (ιX w)) = −ιX df ∧ dw + df ∧ ιX dw + d(ιX df ) ∧ w + ιX df ∧ dw + df ∧ dιX w = df ∧ £X w + d£X f ∧ w.. Usando o Lema (1.2.2), segue-se o resultado.. A derivada de Lie pode ser usada na descrição da variação de formas diferenciais, como veremos no resultado seguinte..

(55) 34. [CAP. 1:. Teorema 1.2.2 (Teorema da Derivada de Lie).. Seja. ϕt : M → M. PRELIMINARES. o uxo associado ao campo. X.. Então. d (ϕ∗ w) = ϕ∗t (£X w) , dt t para toda. (1.22). w ∈ Ωr (M ).. Demonstração. Faremos a prova usando indução sobre o grau da forma. 0−forma. em. M. então,. w. sobre. M.. Se. w. é uma. ∀ m ∈ M, ϕ∗t (£X w)(m). =. (£X w)(ϕt (m)) d ∗

(56)

(57) (ϕ w) t=0 (ϕt (m)) dt t

(58) d

(59) (w ◦ ϕt ) t=0 (ϕt (m)) dt dw (ϕt (m)) X((ϕt (m))) dt d (w ◦ ϕt )(m) dt d ∗ (ϕ w)(m). dt t. = = = = =. Suponha que (1.22) seja verdadeira para formas de grau mente, escrevemos uma. (r + 1)−forma. r. em. M.. Assim como zemos anterior-. como. X. dfı ∧ wı ,. ı onde. wi. é uma. Usando o ítem. r−forma e fi (c). é uma aplicação diferenciável. (0−forma), numa vizinhança de m ∈ M .. da Proposição 1.2.1 temos que. d ∗ d (ϕt (df ∧ w)) = (ϕ∗t df ∧ ϕ∗t w). dt dt Por outro lado, juntando a bilinearidade do produto exterior, hipótese de indução e as propriedade de pull-back teremos que. d ∗ (ϕ df ∧ ϕ∗t w) dt t. . d ∗ ϕt f ∧ ϕ∗t w + ϕ∗t df ∧ ϕ∗t £X w dt = d(ϕ∗t £X f ) ∧ ϕ∗t w + ϕ∗t df ∧ ϕ∗t £X w = d. = ϕ∗t d(£X f ) ∧ ϕ∗t w + ϕ∗t (df ∧ £X w) = ϕ∗t (d£X f ∧ w + df ∧ £X w) = ϕ∗t £X (df ∧ w).

(60) [SEC. 1.3:. 35. PARTIÇÃO DA UNIDADE. Isto naliza a prova.. Observação 1.2.3.. Usando a mesma notação do Teorema 1.2.2, a equação (1.22) pode ser gen-. eralizada para tratar, ainda, a variação de formas diferenciais tempo-dependentes. d ∗ (ϕ wt ) dt t. ϕ∗t+h wt+h − ϕ∗t wt h→ 0 h ∗ ∗ ϕ∗ wt − ϕ∗t wt (ϕ w t+h − ϕt wt ) lim ϕ∗h t + t+h h→ 0 h h

(61)

(62) d ∗ d ∗

(63)

(64) + (ϕ wy )

(65) (ϕ wt )

(66) dy t dx x y=t x=t

(67) dw

(68) y ϕ∗t + ϕ∗t (£X wt )

(69) dy y=t dwt ∗ ϕt + £X wt dt. =. lim. = = = =. Corolário 1.2.1.. Se. ϕt. wt :. X. é o uxo local associado a. então, para toda forma. w,. £X w = 0 ⇔ ϕ∗t w = w, ∀t. onde. ϕt. está denido.. Demonstração. Pelo Teorema 1.2.1, temos que. c=. ϕ∗0 w. =. (1.23). w, tem-se ϕ∗t w. Reciprocamente, se. d ∗ ϕ w = ϕ∗t 0 = 0. dt t. Logo. ϕ∗t w = c ∀t.. Desde que. = w.. ϕ∗t w = w. d ∗ ϕ (w) = 0, ∀t. dt t. para todo t, então. d (ϕ∗ (w)) |t=0 = 0. dt t. Em particular,. £X w =. 1.3 Partição da unidade Seja. f. uma aplicação denida em. taremos este conjunto por em. supp. f .. M.. O suporte de. Dizemos que. f. f. é o conjunto. {m ∈ M : f (m) 6= 0}.. tem suporte compacto se. supp. f. Deno-. é compacto. M. Uma coleção de subconjuntos. uma vizinhança. U. de. m. em. M. {Cλ }. tal que. M é dita localmente nita se para cada m ∈ M existe T U Cλ = ∅ exceto para uma quantidade nita de índices de. λ.. Denição 1.3.1. M. Seja. M. uma superfície de classe. é uma família de funções. ξ = (ξλ )λ∈Λ. de classe. Ck. C. k. Uma partição da unidade de classe. em. M. tais que:. Ck. em.

(70) 36. [CAP. 1:. 1. Para quaisquer. λ∈Λ. e. x ∈ M,. 2. A família. C = (supp.ξλ )ξλ ∈Λ. 3. Para todo. x ∈ M,. X. tem-se. PRELIMINARES. ξλ (x) ≥ 0;. é localmente nita;. ξλ (x) = 1.. λ∈ Λ Dizemos que a partição da unidade superfície. M. quando para cada. α∈Λ. X. ξα = 1 está subordinada à cobertura C = (Cλ )λ∈Λ0 da α∈Λ 0 existe algum λ ∈ Λ tal que supp ξα ⊂ Cλ . Dizemos que a. X. ξα = 1 está estritamente subordinada à cobertura C = (Cλ )λ∈Λ quando α∈Λ tem índices no mesmo conjunto que as funções ξα e, além disso, supp ξα ⊂ Cα para todo α ∈ Λ. partição da unidade. Teorema 1.3.1. M. Seja. M. uma superfície de classe. existe uma partição da unidade. X. ξλ = 1. Ck.. Para toda cobertura aberta. de classe. C. k. C = (Cλ )λ∈Λ. de. , estritamente subordinada à cobertura. λ∈Λ. C. Demonstração. Ver [10]. Com esta ferramenta podemos provar o próximo resultado.. Proposição 1.3.1. (Critério de orientabilidade). .. se, e somente se, existir uma forma de volume em Demonstração. Seja nada a. Uα .. {(Uα , φα )}. Uma superfície. Uα. w=. é orientável. M.. uma orientação para. Assuma que todos os. n−dimensional M. M. e. {pα }. uma partição da unidade subordi-. são conexos. Dena. X. pα · (φ∗α (dx1 ∧ . . . ∧ dxn )). α Basta mostrar que nita de índices. wx 6= 0. para todo. x ∈ M.. α, digamos α1 , . . . , αk .. Fixe. x ∈ M.. Então. pα (x) 6= 0. para uma quantidade. Daí, juntando a condição de orientabilidade e o observação. 1.2.1,. ∗ (φ−1 α1 ) w. =. k X. ∗ ∗ (φ−1 α1 ) (pα · (φα (dx1 ∧ . . . ∧ dxn ))). i=1. =. k X. −1 ∗ (pα ◦ φ−1 α1 ) [(φαi ◦ φα1 ) dx1 ∧ . . . ∧ dxn ]. i=1. =. k X i=1. 6= ∅.. −1 (pα ◦ φ−1 α1 ) det d(φαi ◦ φα1 ) dx1 ∧ . . . ∧ dxn.

(71) [SEC. 1.4:. wx 6= 0 ∀x ∈ M .. Logo. Reciprocamente, seja. M. para. Uα. dena. w uma forma de volume em M .. do seguinte modo: Considere. são conexos. Então. então. fα 6= 0. e como. Vα = Uα. é dada por. M.. 37. INTEGRAÇÃO DE FORMAS. e. {(Uα , φα )}. é conexo,. ϕα = φα .. Caso contrário, dena. ∗ (φ∗α )(φ−1 α ) w. = fα ◦. α, β. tais que. φα (x)φ∗α (dx1. α.. Podemos assumir que todos. fα .. e. w. é não-nula. Se. fα (x) > 0. Desde que. fα (x) < 0 ∀x ∈ Uα .. Vα = Uα. Como. ϕα = T ◦ φα. onde. T : Rn → Rn. ∗ (φ−1 α ) w = fα (x)dx1 ∧ . . . ∧ dxn. então. ou seja,. φ∗α (dx1 ∧ . . . ∧ dxn ) = para todo. ou. {Vβ , ϕβ }. Vamos vericar que isto dene uma orientação em. Vα ∩ Vβ 6= ∅.. ∧ . . . ∧ dxn ),. M.. para alguma. fα (x) > 0 ∀x ∈ Uα. T (x1 , . . . , xn ) = (−x1 , x2 , . . . , xn ).. Para tanto, sejam. uma atlas para. ∗ (φ−1 α ) w = fα (x)dx1 ∧ . . . ∧ dxn ,. Uα. Vamos produzir uma orientação. w , fα ◦ φα (x). Daí,. ∗ (φβ ◦ φ−1 α ) (dx1 ∧ . . . ∧ dxn ). =. fα dx1 ∧ . . . ∧ dxn . fβ ◦ φβ ◦ φ−1 α. Por outro lado, pela observação 1.2.1,. ∗ (φβ ◦ φ−1 α ) (dx1 ∧ . . . ∧ dxn ). =. det(d(φβ ◦ φ−1 α )) dx1 ∧ . . . ∧ dxn .. Logo. det(d(φβ ◦ φ−1 α )). =. fα >0 fβ ◦ φβ ◦ φ−1 α. como queríamos demonstrar.. 1.4 Integração de formas Nesta seção nós deniremos a integração de uma. n−forma. numa superfície. Primeiro consideraremos o caso de um subconjunto aberto conexo. U ⊂ R. n. n−dimensional.. com coordenadas. x1 , . . . , xn . Para uma forma Seja todo. R. n. w. uma. w. dena o suporte de. n−forma. em. U ⊂ Rn. w, supp. w,. pelo conjuntos. {x : w(x) 6= 0}.. com suporte compacto. Note então que. por 0 com suporte em algum cubo. Sabemos que. w. w. estende-se para. pode ser escrita como. w = f (x1 , . . . , xn )dx1 ∧ . . . ∧ dxn ,.

(72) 38. [CAP. 1:. f. Z. para alguma função. PRELIMINARES. Portanto nós podemos denir. Z. Z Z. w=. w=. Z .... f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn ,. Rn. U. (1.24). Rn. onde a integral do lado direito é a integral de Riemann usual. Para esta denição fazer sentido. f. necessitamos que. seja Riemann-integrável com suporte compacto.. Agora, suponha que. W ∈ Rn. é outro conjunto aberto e. h:W →U. seja um difeomorsmo. Já. vimos na seção 1.2.1 que. h∗ w = (f ◦ h) det(h0 )dx1 ∧ . . . ∧ dxn . Conseqüentemente, pelo Teorema de mudança de variável,. Z. Z Z. Z ... f (h(x1 , . . . , xn )) det(h0 (x1 , . . . , xn ))dx1 . . . dxn Rn Z Z Z = ± ... f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn Rn Z = ± w,. h∗ w. =. det(h0 ).. onde o sinal é o sinal de Assuma que. M. seja uma superfície. n−dimensional. aremos somente cartas nesta orientação. Seja num conjunto aberto. n−forma. em. U. W ⊂ Rn .. w. domínio de uma carta. uma. orientada, com a orientação positiva. Us-. n−forma. na qual seu suporte está contido. φ : U → W ⊂ Rn .. Sabemos que. Z w. (φ−1 )∗ w.. =. (1.25). Rn. M. Para mostrar que esta denição independe da escolha da carta, seja. h := ψ ◦ φ. . Então. ψ. é uma. Assim nós deniremos. Z. −1. (φ−1 )∗ w. −1. −1. ◦h=φ. Z. ψ. outra carta e denote. e pelo que vimos anteriormente. −1 ∗. (φ. ) w. Z. (ψ −1 ◦ h)∗ w. Z. (ψ −1 )∗ w. = =. como queríamos demonstrar. Agora seja. w. uma. n−forma. tura localmente nita de que o conjunto. K. M. e. arbitrária em. {fi }. M. com suporte compacto. K.. Seja. {Ui }. uma cober-. uma partição da unidade subordinada a esta cobertura. Note. intersecta somente uma quantidade nita dos. Z w. =. XZ i. fi · w.. Ui .. Nós denimos. (1.26).

(73) [SEC. 1.4:. 39. INTEGRAÇÃO DE FORMAS. Vamos mostrar que isto está bem denido.. 1=. X. fi gj .. fi = fi. Segue que. X. i,j. gj =. X. j. Considere. fi gj .. {gj }. uma outra tal partição.. Então. Daí,. j. Z fi w =. XZ. fi gj w.. j Portanto. XZ. Z w. =. fi w. i. XXZ. =. i. XZ. =. fi gj w. j. gj w. j como queríamos. Agora, consideremos. M. e. N. duas superfícies. n−dimensionais conexas e orientáveis e ϕ : M → N. 2. w ∈ Ωn (N ) Z ϕ∗ w = w. um difeomorsmo que preserva a orientação . Se. Z M De fato, seja. {Ui }. maticamente,. ψi ◦ ϕ−1. e. N. uma cobertura localmente nita de. ψi ,. que denotaremos por. {ϕ(Ui )}. e. {fi }. tem suporte compacto então. M. com cada. Ui. domínio de uma carta,. uma partição da unidade subordinada a esta cobertura.. é uma cobertura localmente nita de. N. com cada. ϕ(Ui ). Auto-. domínio da carta. {fi ◦ ϕ−1 } é uma partição da unidade subordinada à cobertura {ϕ(Ui )}.. De acordo com. a denição de integração que vimos aqui, temos que. Z w. =. N. XZ i. =. XZ i. =. (fi ◦ ϕ−1 ) ◦ (ϕ ◦ ψi−1 ) · (ϕ ◦ ψi−1 )∗ w. ψi (Ui ). XZ i. =. fi ◦ ϕ−1 · w. ϕ(Ui ). XZ i. =. fi ◦ ϕ−1 · w. N. ψi (Ui ). XZ Zi. =. (fi ◦ ψi−1 ) · (ψi−1 )∗ ◦ ϕ∗ w fi · ϕ∗ w. M. ϕ∗ w.. M. 2 Preservar. orientação signica que para toda carta positiva. ψ. em. M , ψ ◦ ϕ−1. é uma carta positiva em. N..

(74) 40. [CAP. 1:. Consequentemente, como todo aberto conexa e. ϕ : A → ϕ(A). A⊂M. pode ser considerado uma superfície. ϕ∗ w =. Z w.. A. M ⊂R. n. j -ésimo. de. m. chama-se superfície com bordo (de dimensão. numa aberto. U0. U ⊂M. M. necessariamente. e classe. C. k. Rn .. Um conjunto. ) quando cada ponto. ϕ : U0 → U ,. x∈M. de classe. Ck,. Rm .. é o conjunto. ϕ : U0 → U ,. toda parametrização. semi-espaço de. que é imagem de uma parametrização. de algum semi-espaço de. O bordo (ou fronteira) de. (1.27). ϕ(A). Rnj = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ; xj ≥ 0}. pertence a um aberto. n−dimensional. um difeomorsmo, segue que. Z. Chamaremos. PRELIMINARES. de classe. C. ∂M 1. formados pelos pontos. , de um aberto. U ⊂ M,. x∈M. com. tais que, para. x = ϕ(u),. tem-se. u ∈ ∂U0 .. Observação 1.4.1.. Sempre que dissermos simplesmente superfície, sem qualicações, estaremos. C∞.. nos referindo a uma superfície sem bordo, de classe. Finalizaremos esta seção enunciando o Teorema de Stokes cuja prova pode ser encontrada em [3].. Teorema 1.4.1 (n − 1)-forma. (Stokes). em. M. .. M. Seja. uma superfície. n-dimensional. orientável com bordo e. w. uma. com suporte compacto. Então. Z. Z dw =. M. w.. (1.28). ∂M. 1.5 Topologias C k Considere. C k (M, Rs ) o espaço das aplicações continuas de classe C k , 0 ≤ k < ∞,. superfície compacta. M.. uma carta local ver [10]. Para. As operações usuais de soma e produto de funções tornam. V1 , . . . , V n. espaço vetorial. Seja. {xi , Ui } k. denidas em uma. com. s. f ∈ C (M, R ). uma cobertura de. xi (Ui ) = B(2) denote por. i. e. M. tal que cada. xi (Vi ) = B(1).. f := f ◦. x−1 i. Vi. C k (M, Rs ). um. esteja contida no domínio de. Estas escolhas são sempre possíveis,. : B(2) → Rs .. Deniremos. kf kC k = max sup {kf i (u)k, kDf i (u)k, . . . , kDk f i (u)k}. i. Na denição acima, considere. k ≥ 1.. u∈B(1). kDk f i (u)k = sup{kDk f i (u)(v1 , . . . , vk )k; kvi k = 1, 1 ≤ i ≤ k},.

(75) [SEC. 1.5:. TOPOLOGIAS. Proposição 1.5.1.. 41. CK. k kC k. é uma norma.. Demonstração. Como estamos tomando o supremo de elementos não-negativos, temos que. 0.. kf kC k = 0. Além disso, se. então. i. kf kC k ≤ kf kC k = 0. f ◦ x−1 i (B(1)) = f (Vi ), ∀i = 1, . . . , n. Agora, dados. k. s. f, g ∈ C (M, R ). kf + gkC k. Logo. f ≡ 0.. para todo. É claro que. i = 1, . . . , n.. kf kC k ≥. Daí,. 0 =. kαf kC k =| α | kf kC k , ∀α ∈ R.. temos que. max sup {kf i + g i (u)k, kDf i (u) + Dg i (u)k, . . . , kDk f i (u) + Dk g i (u)k}. =. i. u∈B(1). ≤ max[ sup {kf i (u)k, kDf i (u)k, . . . , kDk f i (u)k} i. u∈B(1). sup {kg i (u)k, kDg i (u)k, . . . , kDk g i (u)k}]. +. u∈B(1). = kf kC k + kgkC k . Logo. k kC k. é de fato uma norma.. Veremos na proposição abaixo que com esta norma o espaço das aplicações de classe numa superfície compacta. Proposição 1.5.2.. M. C k (M, Rs ). com a norma. k kC k. é um espaço vetorial completo.. verge para algum elemento desse espaço. Seja. fλ : M → Rs. k kC k .. p ∈ Vl. p ∈ M,. existe. denidas. é completo.. Demonstração. Devemos mostrar que, nesta norma, toda seqüencia de Cauchy em. Dado. Ck. l ∈ 1, . . . , n. tal que. C k (M, Rs ) con-. um seqüencia de Cauchy na norma. e para algum. u ∈ B(1). temos que. fλ (p) = f ◦ x−1 l (u). Daí,. kfλ (p) − fλb (p)k ≤ kfλ − fλb kC k < ε , Esta desigualdade diz que. f (p) = lim fλ (p). λ→∞. para cada. fλ (p). é uma seqüencia de Cauchy em. i Em particular, fλ (u). u ∈ B(1), Dfλi (u) ε > 0,. é uma seqüencia de Cauchy em. existe. n0 ∈ Z. e portanto converge. Denote. i. → f (u) para todo u ∈ B(1) e i = 1, . . . , n.. converge para uma transformação linear Com efeito, dado. Rs. i. T (u).. tal que se. L(Rm × Rm , Rs ). Por outro lado,. e, por conseguinte,. Vamos mostrar que tal convergência é uniforme.. λ1 , λ 2 > n 0. kDfλi 1 (u) − Dfλi 2 (u)k <. então. ε , ∀u ∈ B(1). 2.

(76) 42. [CAP. 1:. Como, para cada. m ≥ n1. u ∈ B(1), Dfλi (u) → T i (u). então existe. n1 ∈ Z. Assim, para. tal que se. ε . 2. λ > max{n0 , n1 }, kDfλi (u) − T i (u)k. ≤ <. i i kDfλi (u) − Dfm (u)k + kDfm (u) − T i (u)k ε ε + =ε 2 2. Pelo Teorema de derivação termo a termo, ver [10], temos que. fn → f. u. então. i kDfm (u) − T i (u)k <. fn → f. que depende de. PRELIMINARES. na norma na norma. k kC 1 .. k kC k .. fi. é. C1. e. Df i = T i .. Segue que. Com a mesma argumentação, mostramos, por indução, que. f ∈ Ck. e.

(77) Capítulo 2. de Rham. Cohomologia de Neste capitulo, salvo menção ao contrário,. M, N. e. P. denotarão superfícies contidas no. Rn .. 2.1 Denição Dizemos que duas formas fechadas existir alguma foma equivalência. Sejam. • w1 ∼ w1 •. •. Se. λ ∈ Ωr−1 (M ). λ. é uma (r. w2 ∼ w3. e. então. w1 ∼ w2. w2 ∼ w1. λ0 = −λ. então. para obter. Deste modo, se. w1 ∼ w2 ,. se. Vamos vericar que tal relação é de. formas fechadas então:. w1 ∼ w3. implicando que. são cohomólogas, e escrevemos. w1 − w2 = dλ.. − 1)-forma. e w2 − w3 = dλ Se. tal que. w1 , w2 , w3 ∈ Ωr (M ). pois se. w1 ∼ w2. w1 , w2 ∈ Ωr (M ). fechada então. pois existem. w1 − w1 = 0 = dλ;. e ∈ Ωr−1 (M ) λ, λ. tais que. w1 − w2 = dλ. e. e ; w1 − w3 = d(λ + λ). pois como existe. λ ∈ Ωr−1 (M ) tal que w1 − w2 = dλ, basta tomar. w2 − w1 = dλ0 .. w ∈ Ωr (M ). é forma fechada, denotaremos por. . [w] = w + dλ; λ ∈ Ωr−1 (M ) a sua classe de cohomologia. Repare que a classe. Proposição 2.1.1. aditivo, para todo. O conjunto. [0]. é a coleção das. r HdR (M ) = { [w] : w ∈ Ωr (M ). r > 0. 43. r-formas. com. exatas sobre. dw = 0}. M.. forma um grupo.

(78) 44. [CAP. 2:. Demonstração. Sabemos que se pois. w1 , w2. d(w1 + w2 ) = dw1 + dw2 = 0.. ou seja, dadas. w1 , w2. são formas fechadas em. M. COHOMOLOGIA DE. então. w1 + w2. DE RHAM. é forma fechada. Assim, deniremos a operação de adição da maneira natural,. são formas fechadas em. M. então. [w1 ] + [w2 ] = [w1 + w2 ].. Logo, as seguinte. propriedades são facilmente vericadas:. i). ii). ([w1 ] + [w2 ]) + [w3 ] = [w1 ] + ([w2 ] + [w3 ]), ∀ w1 , w2 , w3 ∈ Ωr (M ) [w] + [0] = [0] + [w] = [w], ∀ w ∈ Ωr (M ). iii) Para toda. Portanto,. w ∈ Ωr (M ). r HdR (M ). O grupo. forma fechada,. forma fechada;. [−w]. é o seu inverso.. é, de fato, um grupo.. r HdR (M ). é chamado de. r-ésimo. vezes escrevermos simplesmente grupos de. grupo de cohomologia de. . Como não existe forma de grau. portanto. df = 0. 0 HdR (M ) ∼ = R.. então. f. −1,. temos que. =0. é localmente constante. Se. então toda. p Note que existe um produto HdR (M ). ×. 0 HdR (M ). r-forma. q,. e. M. diferenciáveis;. for conexa então. quando. M. Algumas. →. e. η. é constante e. 0 < r ≤ dim M .. p+q HdR (M ) dado por. w. f. df = 0}.. não for conexa. Decorre. fechada é exata, para. q HdR (M ). Vamos vericar que este produto está bem denido. Ora, se. p. M.. r HdR (M ) é o grupo nulo1 se r < 0 ou r > dim M. 0 (M ) = {f : M → R HdR. Mas adiante calcularemos. r da denição que se HdR (M ). de Rham de. de Rham.. Por convenção e pela Proposição 1.1.2 temos que. Notemos que se. formas fechadas;. [w] × [η] 7→ [w ∧ η].. são formas fechadas, de graus. respectivamente, então, pela Proposição 1.2.2,. (w + dλ1 ) ∧ (η + dλ2 ). = w ∧ η + w ∧ dλ2 + dλ1 ∧ η + dλ1 ∧ dλ2 = w ∧ η + dθ. onde. θ = (−1)−gr w w ∧ λ2 + λ1 ∧ η + λ1 ∧ dλ2 .. Deste modo,. [w + dλ1 ] × [η + dλ2 ] = [w] × [η],. cando provado que a aplicação acima está bem denida. Assim, dada uma classe. [w], denotaremos. [w]n := [w] × · · · × [w]. Na seção 1.2.1, vimos que uma aplicação diferenciável. G∗ : Ωr (N ) → Ωr (M ),. G : M → N. induz uma aplicação. que a chamamos de pull-back. Além disso, pela Proposição 1.2.2, segue. que. •. Se. w ∈ Ωr (N ). 1 Algumas. é fechada então. G∗ w. é forma fechada pois. vezes usaremos 0 para denotar este grupo.. d(G∗ w) = G∗ (dw) = 0;.