MATERIAIS
MESTRADO EM ENGENHARIA E TECNOLOGIA DE MATERIAIS
KARINA RUSCHEL
AN ´ALISE DE UMA CORRENTE DE TURBIDEZ COM VARIAC¸ ˜AO DAS PROPRIEDADES F´ISICAS
Porto Alegre 2018
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA E TECNOLOGIA DE MATERIAIS
ANÁLISE DE UMA CORRENTE DE TURBIDEZ COM
VARIAÇÃO DAS PROPRIEDADES FÍSICAS
KARINA RUSCHEL
GRADUADA EM ENGENHARIA MECÂNICA
ORIENTADOR: PROF. DR. JORGE HUGO SILVESTRINI
Dissertação de Mestrado realizada no Pro-grama de Pós-Graduação em Engenha-ria e Tecnologia de MateEngenha-riais (PGETEMA) da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia e Tecnologia de Materiais
Porto Alegre Março de 2018
sunto nos assentará tão bem, ao fim, como a verdade. Apenas ela cai bem.(...)Diga o que você tem a dizer, não o que deveria dizer. ”
Agradeço a todas as pessoas que possibilitaram que este trabalho fosse possí-vel. Primeiramente, agradeço ao meu noivo, Vinícius Ávila Isse, pelo apoio, paciência e incentivo. Ao meu pai, minha madrasta e irmãos, Jorge, Pedro e Flávia, que sempre me incentivaram a buscar aquilo que me faz feliz. À minha família pela “torcida” e encorajamento.
Aos professores que durante a minha formação acadêmica que disseram que tinha perfil para pesquisa, mas em especial ao professor Jorge Hugo Silvestrini, pela oportunidade e pela sua orientação. Aos professores do programa de pós-graduação pelos ensinamentos transmitidos e a professora Edith Beatriz Camano Schettini pelas aulas de Turbulência. À Cláudia e ao Anderson por ajudarem a organizar, lembrar os prazos, pela atenção e carinho durante estes dois anos.
Aos queridos amigos do LaSET, Ricardo Frantz, Bruno Farenzena, Felipe Schuch, Júlio Ripoll, Victor Nejelischi, Ezequiel Pelisoli e Filipi Vianna pela paciência, revisões e amizade. Agradeço em especial ao amigo e colega Ricardo Frantz por me ajudar com o código e pela troca de experiências. Sem eles este trabalho não teria sido possível.
Aos amigos que entenderem minha ausência e que mesmo assim continuaram torcendo por mim, em especial ao amigo Marco Diniz, por ser a “perturbação inicial” que eu precisava para começar o Mestrado.
Ao CNPq, que financiou a bolsa de estudos do mestrado e a Petrobrás que possibilitou o projeto de pesquisa DNS-DAM
AGRADECIMENTOS . . . . 4 Sumário . . . . 5 Lista de Figuras . . . . 7 Lista de Tabelas . . . . 10 LISTA DE SÍMBOLOS . . . . 11 RESUMO . . . . 13 ABSTRACT . . . . 14 1 . INTRODUÇÃO . . . . 15 1.1 Relevância . . . 17 2 . OBJETIVOS . . . . 18 2.1 Objetivos Específicos . . . 18 3 . REVISÃO BIBLIOGRÁFICA . . . . 20 3.1 Corrente de Gravidade . . . 20
3.1.1 Definição, classificações e suas partes . . . 20
3.1.2 Mecanismo de início de uma corrente e seus depósitos . . . 23
3.2 Reologia . . . 28
3.2.1 Fluidos Newtonianos e não-Newtonianos . . . 32
3.3 Sedimentação . . . 34
3.3.1 Velocidade de sedimentação . . . 36
4 . FORMULAÇÃO MATEMÁTICA . . . . 40
4.1 Equações Governantes . . . 40
4.1.1 Parâmetros adimensionais: fatores de escala . . . 40
4.1.2 Lei de Stokes para a partícula . . . 41
4.1.3 Aproximação de Boussinesq . . . 43
4.1.4 Conservação da massa, Navier-Stokes e transporte de escalares 43 4.2 Domínio, condições de contorno e condições iniciais . . . 45
4.3 Simulação numérica direta (DNS) e Simulação de Grandes Escalas (LES) 46 5 . METODOLOGIA NUMÉRICA . . . . 50
5.1 Discretização espacial . . . 50
5.2 Avanço no tempo . . . 52
5.3 Dissipação numérica sobre derivada segunda . . . 53
6.2 Pós-processamento . . . 58
7 . CONCLUSÃO . . . . 68
8 . PROPOSTA PARA TRABALHOS FUTUROS . . . . 70
Referências . . . . 71
Apêndices
75
APÊNDICE A . Recursos Computacionais . . . . 76Figura 1.1 – Exemplos de fenômenos naturais formados por correntes de gravidade. 15 Figura 3.1 – Representação esquemática de uma corrente de gravidade na
confi-guração ”lock-exchange”, onde os dois fluidos, ρc e ρa, ficam
sepa-rados por uma placa localizada na metade do comprimento em x1.
Fonte: Adaptado de Francisco (2014). . . 20 Figura 3.2 – Classificação de uma corrente de turbidez em relação as diferenças
de massas específicas da corrente (ρc) e do fluido ambiente (ρa).
Fonte: Adaptado de Mulder et al. (2003). . . 21 Figura 3.3 – Regiões de uma corrente de turbidez. É possível identificar onde
ocor-rem os processes de mistura, erosão e deposição e como os mesmos estão relacionados às regiões de turbulência e regime laminar. Fonte: Adaptado de Gladstone e Sparks (2002). . . 22 Figura 3.4 – Regiões de uma corrente de densidade e estruturas de lobos, fendas
e vórtices de Kelvin-Holmholtz. Fonte: Adaptado de Gladstone e Sparks (2002). . . 22 Figura 3.5 – Perfil de velocidade. Pontos de inflexão e velocidade máxima a partir
de uma corrente de gravidade. Fonte: Adaptado de Kneller e Buckee (2000). . . 23 Figura 3.6 – Relação tensão de cisalhamento e taxa de deformação, tipo de
mate-rial e tipo de corrente. Adapatado de (GANI, 2004) . . . 24 Figura 3.7 – Vista esquemática para representação do relevo continental. Regiões
da plataforma continental, talude e planície abissal. Fonte: Sonnig (2012). . . 24 Figura 3.8 – Principais processos de ressedimentação. Adaptado de Manica (2009). 25 Figura 3.9 – Figura adaptada de Mulder e Alexander (2001). Apresenta os diversos
mecanismos que estão relacionados durante um escoamento com sedimentos. O diagrama apresenta a distância que geralmente os tipos de depósitos irão ocorrer, devido à concentração, mecanismo de suporte, espessura do depósito e regime de velocidades. . . 27 Figura 3.10–Adaptado de Manica (2009). A figura correlaciona a reologia, ao tipo
de fluxo, mecanismo dominante para o suporte de grãos e quais são os mecanismos em relação a concentração e variação no tempo e espaço do escoamento. . . 28 Figura 3.11–Fonte: Manica (2009). Limites reológicos em função do tipo de
corrente, concentração de sedimentos coesivos e não-coesivos. . . 29 Figura 3.12–Adaptado de Barnes et al. (1989). . . 30
aparente e a tensão de cisalhamento. Fonte: adaptado de Barnes et
al. (1989). . . 33
Figura 3.14–Comportamento dos materiais conforme tensão e taxa de cisalha-mento e viscosidade e taxa de cisalhacisalha-mento.Fonte: adaptado de Barnes et al. (1989). . . 34
Figura 3.15–Diagrama que correlaciona os tipos de sedimentação, com a concen-tração das partículas e seu formato. Fonte: Adaptado de Lucchese (2015) . . . 37
Figura 4.1 – Esquema para o balanço de energia numa corrente de gravidade, segundo a abordagem de Benjamin. Fonte: Adaptado de Benjamin (1968). . . 41
Figura 4.2 – Forças atuantes em uma partícula esférica, segundo a lei de Stokes. Fonte: Francisco (2014). . . 42
Figura 4.3 – Domínio de cálculo para tempo t= 0 Fonte: Adaptado de Francisco (2014). . . 46
Figura 5.1 – Exemplo de uma malha cartesiana bi-dimensional. Os círculos pretos representam os nós das fronteiras. Fonte: Adaptado de Francisco (2014). . . 50
Figura 6.1 – Critério Q para o CASO O mostrando os vórtices da simulação DNS. para tempo 15. Imagem superior considera as propriedades constan-tes e a inferior, variáveis. . . 57
Figura 6.2 – Critério Q para o CASO III mostrando os vórtices em uma simulação ILES para tempo 15 Imagem superior considera as propriedades constantes e a inferior, variáveis. . . 58
Figura 6.3 – Posição da frente xf em função do tempo t, com e sem variação das propriedades. . . 60
Figura 6.4 – Evolução da massa suspensa mp/mpoem função do tempo t. . . 61
Figura 6.5 – Evolução da taxa de deposiçãom˙p em função do tempo t. . . 62
Figura 6.6 – Mapas de deposição Dt . . . 63
Figura 6.7 – Perfis de velocidade com campos de concentração para CASO II com propriedades fixas. Tempos t = 40, t = 50 e t = 60. . . 63
Figura 6.8 – Perfis de velocidade com campos de concentração para CASO II com propriedades variáveis. Tempos t= 40, t = 50 e t = 160. . . 64
Figura 6.9 – Perfis de velocidade com campos de concentração para CASO III com propriedades fixas. Tempos t = 40, t = 50 e t = 60. . . 64
Figura 6.10–Perfis de velocidade com campos de concentração para CASO III com propriedades variáveis. Tempos t= 40, t = 50 e t = 160. . . 65
Figura 6.12–Tensão de cisalhamento no fundo para o CASO III para os tempos t = 10, t = 30 e t = 50. As imagens estão aos pares, onde a superior é constante e inferior variável. . . 66 Figura 6.13–Iso-superfície dos campos de concentração para o CASO III e tempo
Tabela 3.1 – Constantes adimensionais para algumas suspensões de partículas assimétricas, obtidas através de dados experimentais. Adaptado de Barnes et al. (1989) . . . 32 Tabela 3.2 – Constantes adimensionais para diferentes diâmetros de partícula.
Fonte: adaptado de Ferguson e Church (2004). . . 39 Tabela 5.1 – Casos com e sem a variação das propriedades, onde CON significa
que a viscosidade e a velocidade de sedimentação são constantes e VAR para as propriedades citadas como variáveis ao longo do escoamento. . . 54 Tabela 5.2 – Valores dimensionais relativos as principais propriedades da água
˜
c Máxima fração volumétrica de partículas ˜
dp Diâmetro da partícula [µm]
eg Vetor unitário apontando no sentido da gravidade ˜ Fp Força peso [N ] ˜ Fb Força de empuxo [N ] ˜ Fd Força de atrito [N ] ˜
g0 Aceleração da gravidade reduzida [m/s2]
˜
g Aceleração da gravidade [m/s2]
˜
k Difusividade da concentração de sedimentos [m2/s]
Li Dimensão do domínio físico na direção do eixo xi
mp Quantidade de material em suspensão
˙
ms Taxa de sedimentação
ni Número de pontos da malha na direção xi
˜
p Pressão [P a]
˜
q Vazão por unidade de largura [m2/s]
R Densidade do sedimento submergido
Re Número de Reynolds
Sc Número de Schmidt
t Tempo adimensional
U Velocidade adimensional média em profundidade ˜
ui Vetor campo de velocidade [m/s]
˜
us Velocidade de queda da partícula [m/s]
˜ us
xi Sistema de coordenadas
˙γ Taxa de deformação
∆t Passo de tempo da simulação numérica
εt Eficiência no transporte de sedimentos
˜
µa Viscosidade dinâmica do fluido ambiente[P a · s]
˜
µrel Viscosidade dinâmica relativa[P a · s]
˜
µm Viscosidade dinâmica da mistura partícula/fluido ambiente[P a · s]
˜
ν Viscosidade cinemática [m2/s]
˜
ρa Massa específica do fluido ambiente [kg/m3]
˜
ρc Massa específica da mistura partícula/fluido ambiente [kg/m3]
˜
ρp Massa específica da partícula [kg/m3]
ϕ Concentração volumétrica de partícula σ Tensão de cisalhamento
RUSCHEL, Karina.ANÁLISE DE UMA CORRENTE DE TURBIDEZ COM VARIAÇÃO DAS PROPRIEDADES FÍSICAS . Porto Alegre. 2018 Dissertação de mestrado. Pro-grama de Pós-Graduação em Engenharia e Tecnologia de Materiais, PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL.
Com o objetivo de determinar qual o efeito do da variação do coeficiente de viscosidade dinâmica e da velocidade de queda num escoamento com sedimentos, o presente trabalho faz uso de uma metodologia numérica computacional e do conceito de corrente de gravidade. Por meio de duas abordagens numéricas distintas, compara as vantagens de utilizar uma abordagem do tipo ILES com DNS, afim de reduzir o tempo computa-cional e ainda manter grande parte do efeito da física no problema. São comparados quatro casos distintos, com e sem propriedades variáveis, totalizando oito simulações. Para verificar o código, foi simulado um caso (CASO 0) baseado no artigo de Espath et al. (2013) variando o coeficiente de viscosidade dinâmica e a velocidade de queda utilizando uma metodologia DNS. Para o CASO I, foi verificado o efeito da metodologia ILES, com os mesmos parâmetros do CASO 0. Por fim, para aumentar a concentração e, por consequência, o número de Reynolds, os CASOS II e III utilizaram parâmetros de sedimentos como carvão e pume na aproximação de Boussinesq. Foi observado que o efeito da velocidade de queda variável auxilia na redução da velocidade da posição da frente e mantém mais material em suspensão por mais tempo, sendo tal efeito observado em casos experimentais, o que demonstra a aproximação ainda maior das simulações numéricas com casos reais.
Palavras-chave: viscosidade variável,corrente de gravidade, corrente de turbidez, velo-cidade de queda variável, ILES, DNS, simulação numérica computacional.
RUSCHEL, Karina. ANALYSIS OF A TURBIDITY CURRENT VARYING THE PHY-SICAL PROPERTIES. Porto Alegre. 2018. Master Thesis. Graduation Program in Materials Engineering and Technology, PONTIFICAL CATHOLIC UNIVERSITY OF RIO GRANDE DO SUL.
The present work uses a numerical computational methodology and the concept of gravity current to determine the effect of the variable properties on a sediment flow. Through two different numerical approaches, it compares the advantages of using an ILES or DNS in order to reduce computational time and still keep physics of the problem. Four different cases are compared, with and without variable properties, totaling eight simulations. To verify the code a case (CASE 0) was simulated based on the article of cite espath13 by varying the coefficient of dynamic viscosity and the fall velocity using a DNS methodology. For CASE I, the effect of the ILES methodology was verified with the same parameters of CASE 0. Finally, to increase the concentration and the Reynolds number, CASES II and III use sediment parameters such as coal and pume in Boussinesq approach. It was observed that the effect of the variable fall velocity helps to reduce the velocity of the front and maintains more material in suspension for longer time periods, being this effect observed in experimental cases, which demonstrates the even greater approximation of numerical simulations with cases real.
Keywords: variable viscosity, turbiduty current, gravity current, variable falling velocity, ILES, DNS, numerical computational simulation.
1 INTRODUÇÃO
A busca pela compreensão dos fenômenos da natureza acompanha a humani-dade desde que se tem registro. A causa das ações da natureza foram primeiramente atribuídas a divindades, mas com o advento da ciência, todos os fenômenos passaram a ser estudados com o objetivo de entendê-la. Fazendo uso das ciências fundamentais, como matemática, física e química o homem se tornou capaz de explicar, compreender e fazer melhor uso daquilo que está disponível. Um fenômeno muito interessante é o chamado corrente de gravidade. Sua definição, segundo Simpson (1999), é que a mesma é gerada pela diferença de densidade de um escoamento em relação ao outro, podendo ser encontrada em diversos meios e sendo responsável por diversas consequências. Para ilustrar, é possível citar alguns eventos, como: tempestades de areia (Figura 1.1a), fluxos piroclásticos, fenômenos climáticos (Figura 1.1b), desastres ambientais - como ocorrido em Mariana, em Minas Gerais em 2015 - ou um derrama-mento de óleo no mar. Já para a arquitetura e engenharia, por exemplo, quando do projeto de uma edificação onde se busca fazer melhor uso da ventilação natural, uma corrente de gravidade rege o escoamento. O movimento relativo dependerá da origem da diferença de massa específica, que irá determinar outras características da corrente.
(a) Tempestade de areia avançando sobre uma cidade. Fonte:
mydesignstories (2003).
(b) Tempestade formando no oceano pacífico. Fonte: storms (2019).
Figura 1.1 – Exemplos de fenômenos naturais formados por correntes de gravidade. A causa entre essas diferenças de massa específica pode ser em função da temperatura, salinidade, materiais diferentes ou de sedimentos. Este último, segundo Simpson (1999), é de interesse especial para a geologia, oceanografia e engenharia civil, como será melhor explicado no próximo capítulo. Para ilustrar a vasta gama de áreas que são afetadas por escoamentos que transportam sedimentos tem-se: escoamentos com lama ou águas turvas, avalanches, fluxo de material de alguns tipos
de erupções vulcânicas e a nuvem gerada pela poeira de um prédio em demolição. Especificamente no contexto geológico, a chamada corrente de turbidez é uma corrente de gravidade que transporta sedimentos. Segundo Meiburg e Kneller (2010), esse é o principal mecanismo de transporte de material orgânico de um rio para o oceano e, segundo Schuch (2016) apud Trenberth et al. (2007), um terço daquilo que é precipitado dentro de um rio vai para os oceanos.
Dentro do contexto geológico, o interesse se concentra em compreender o transporte desses materiais, já que esse mecanismo é associado à formação de reser-vatórios de hidrocarbonetos. Tendo em vista os custos da uma instalação, exploração e abandono de poços de petróleo, é de fundamental importância por meio de uma prospecção do local onde possivelmente haja um reservatório, saber seu potencial de aproveitamento e melhor ponto de perfuração. Tais informações podem ser melhor compreendidas através do estudo dos eventos que formaram o reservatório, que é o objetivo do estudo das correntes de turbidez.
Existe um consenso de que para a formação destes depósitos é devido a diversos eventos semelhantes a uma corrente de turbidez, mas o entendimento das características deste escoamento ainda é um desafio (MULDER; ALEXANDER, 2001). Eventos isolados são estudados em laboratório ou experimentalmente, mas apresentam custos muito altos em função da instrumentação e dificuldade de tratamento dos dados. Como um instrumento complementar, as simulações numéricas computacionais vêm para auxiliar a redução dos custos destes experimentos e para o entendimento deste complexo fenômeno. O trabalho proposto tem por objetivo analisar os efeitos que ocorrem durante estes escoamentos, com o intuito de determinar as propriedades físico-químicas dessas correntes, além das suas particularidades em relação a parâmetros adimensionais, como Reynolds, Froude, Schmidt e Weber, que possibilitam extrapolar os resultados para qualquer configuração.
Algumas simplificações são necessárias para a resolução das equações que regem estes escoamentos e serão melhor detalhadas na metodologia. Geralmente, as variações de viscosidade dinâmica, conforme apresentadas por Julien (1998), e a velocidade de queda das partículas são desprezadas para altos números de Reynolds (turbulento), mesmo para altos valores de concentração de sedimentos. Por meio da modelagem matemática das equações de Navier-Stokes, foram simulados quatro casos que são melhor explicados no Capítulo 4. Na revisão bibliográfica serão apresenta-dos alguns equacionamentos sobre como pode ser tratada a variação da viscosidade e velocidade de queda. Tais equações foram verificadas por meio de dados experi-mentais (CASTRO, 2016) e servem como balizadoras para as simulações numéricas computacionais.
Sobre as simulações numéricas computacionais, estas tem se mostrado confiá-veis, práticas e apresentam custos permissíveis (FRANCISCO, 2014; SCHUCH, 2016). Dentro das diferentes abordagens de simulação, esse trabalho utilizará DNS e ILES (Implicit Large Eddy Simulation) e o desenvolvimento numérico desses métodos será tratado nos capítulos posteriores. O que limita em termos computacionais uma DNS é o número de Reynolds, para isto uma estratégia para que seja utilizado um filtro muito sutil e que se mantenha a resolução das escalas turbulentas é utilizar ILES e comparar com DNS extrapolando qual seria o comportamento para Re maiores, como está melhor detalhado no Capítulo 4.
Por fim, esse trabalho utiliza um código aberto e livre chamado Incompact3D. esse código utiliza um esquema de diferenças finitas compactas de 6a ordem
re-solvendo as equações de continuidade, Navier-Stokes e a equação de transporte difusivo-convectivo, no qual permite realizar tanto uma DNS quanto um ILES.
1.1
Relevância
Como dito no início desse capítulo, são diversas as aplicações onde encontra-se uma corrente de gravidade. Francisco (2014) cita em sua disencontra-sertação de mestrado até mesmo nos processos de fabricação de peças fundidas, onde o material que entra em contato com o molde passará a ser o fluido de maior massa específica e o de menor massa específica será aquele no interior do mesmo. Com isto os projetistas precisam analisar as melhores estratégias para o escoamento dentro da matriz para garantir a qualidade das peças.
Outro exemplo de aplicação de uma corrente é na prevenção de desastres ambientais. As simulações permitem tomar ações mais consistentes quando se refere a derramamentos de óleo ou rompimento de barragens. Poder prever como será o comportamento desses escoamentos, auxilia no desenvolvimento de métodos para contenção desses poluentes, assim como entender como será a sua dispersão ou deposição.
2 OBJETIVOS
O objetivo principal do trabalho é investigar o efeito da variação das propri-edades físicas (variação do coeficiente de viscosidade dinâmica e da velocidade de queda) em um escoamento com sedimentos com diferentes concentrações. Os efeitos destas variações serão observados em uma corrente de turbidez durante o escoamento numa configuração Lock-exchange - estes conceitos serão detalhados mais adiante -, analisando os efeitos de duas abordagens numéricas, DNS e ILES.
A partir desta proposta, o trabalho levanta as seguintes questões:
Qual será o comportamento do escoamento durante e após a completa mistura?
Quando comparado a um escoamento onde estas variações foram des-prezadas, qual o custo e significado físico das variações entre um escoamento e outro?
Quais serão os valores de tensão de cisalhamento no fundo do domínio que irá determinar o comportamento do fluido?
2.1
Objetivos Específicos
Com base nestas perguntas e no objetivo principal, surgem outros objetivos em específico.
• Definir, dentre os modelos estudados, qual é aquele que melhor atende as condi-ções para escoamentos com sedimentos.
• Analisar a influência da concentração e da massa específica da partícula para que se mantenha dentro do limite de Boussinesq.
• Utilizar para as mesmas configurações (tamanho do domínio, malha e condições de contorno) valores diferentes de Reynolds em 3D e analisar o efeito da variação do coeficiente de viscosidade. Na sequência, acrescentar a variação da velocidade de queda.
• Determinar o comportamento da massa suspensa, taxa sedimentação e posição da frente.
• Determinar os perfis de depósito e de tensões na parede do fundo para determi-nados tempos, traçar os perfis de velocidade médios em relação a x3 e o perfil de
concentração médio em relação x3.
• Compreender o peso de cada uma das variáveis, numa corrente de turbidez, já que as características deste escoamento dependem do material, concentração, velocidade e diferença de densidade entre os fluidos.
3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Neste capítulo são definidos alguns conceitos para melhor entendimento do estudo proposto. Inicia-se ao descrever uma corrente de gravidade, quais os processos de gênese deste movimento e como este fenômeno é responsável pelo transporte de sedimentos. A partir destes, estabelecer-se o que é uma corrente de turbidez, assim como mostrar quais são suas classificações e características. Por meio dela, falar-se-á um pouco sobre análise reológica e o comportamento esperado quando falamos sobre fluidos Newtonianos e os não-Newtonianos, trazendo as principais formulações sobre o comportamento da viscosidade durante uma mistura. Por fim, será apresentado o comportamento da velocidade de queda da partícula e os tipos de sedimentação esperados.
3.1
Corrente de Gravidade
3.1.1
Definição, classificações e suas partes
Uma corrente de gravidade é um processo no qual fluidos com diferentes valores de massa específica se movimentam um sobre o outro, quando submetidos a um campo gravitacional, podendo ser um fenômeno natural ou causado pelo homem. A configuração “lock-exchange” é um conceito simples e que possibilita realizar diversas análises numa corrente de gravidade. Como está representada pela Figura 3.1, essa configuração se constitui num canal horizontal que divide, por meio de uma barreira vertical, fluidos de diferentes massas específicas. Neste caso, o mais denso é chamado de ρc e o fluido ambiente de ρa. O experimento consiste em retirar esta barreira e
observar o movimento relativo.
ρc
ρa
x1
x2
g
Figura 3.1 – Representação esquemática de uma corrente de gravidade na configura-ção ”lock-exchange”, onde os dois fluidos, ρc e ρa, ficam separados por
uma placa localizada na metade do comprimento em x1. Fonte: Adaptado
Apesar de parecer uma experiência trivial, ela é responsável por uma grande variedade de fenômenos de fluxo, onde alguns desses fenômenos ainda não apre-sentam uma explicação teórica definitiva, servindo de modelo para diversos sistemas geofísicos e industriais. Esta configuração é geralmente utilizada para o estudo de um mecanismo do tipo pulso. Outros arranjos são utilizados para o entendimento de um escoamento quando alimentado de forma contínua, como os de Frantz et al. (2017) e Schuch (2016).
Sobre as classificações, essas são função da posição do fluido da corrente em relação ao fluido ambiente, como podemos observar na Figura 3.2, onde Mulder et al. (2003) apresentam diferentes tipos de correntes: hipopicnais, hiperpicnais, homopicnais ou mesopicnais.
Figura 3.2 – Classificação de uma corrente de turbidez em relação as diferenças de massas específicas da corrente (ρc) e do fluido ambiente (ρa). Fonte:
Adaptado de Mulder et al. (2003).
Já as regiões de uma corrente de gravidade são definidas conforme a Figura 3.3. Estas diferentes partes são identificadas por um regime de escoamento laminar e tamanhos de grãos maiores ao fundo e outra região de turbulência e com grãos mais finos acima. Na interface dessas zonas ocorre a interação entre os dois escoamentos
e, na região de mistura, segundo Gladstone e Sparks (2002), ocorre a elutriação1da cabeça e do corpo para a região de esteira de turbulência, conforme representado na Figura 3.4
Figura 3.3 – Regiões de uma corrente de turbidez. É possível identificar onde ocorrem os processes de mistura, erosão e deposição e como os mesmos estão relacionados às regiões de turbulência e regime laminar. Fonte: Adaptado de Gladstone e Sparks (2002).
A Figura 3.4 ilustra algumas partes da corrente, como o nariz, cabeça e corpo, assim como as importantes estruturas de lobos e fendas e os vórtices de Kelvin-Helmholtz. Esses últimos são associados a instabilidades na interface na região de entranhamento (SIMPSON, 1999).
Figura 3.4 – Regiões de uma corrente de densidade e estruturas de lobos, fendas e vórtices de Kelvin-Holmholtz. Fonte: Adaptado de Gladstone e Sparks (2002).
Cada uma destas regiões apresentam particularidades em relação ao compor-tamento do perfil de velocidade. Segundo Kneller e Buckee (2000), a região do nariz é o ponto onde a velocidade é máxima e ao traçarmos uma linha paralela ao fundo do escoamento passando por este ponto, a corrente é dividida numa região superior,
1operação que consiste em pulverizar substâncias e misturá-las à água com o objetivo de separar as
chamada de região exterior, na qual se apresenta um gradiente de velocidade negativo vertical, e uma região inferior, que possui um gradiente de velocidade positivo. Por isto, nos resultados estão presentes a posição e a velocidade da frente para comparar o comportamento de uma configuração em relação a outra.
Figura 3.5 – Perfil de velocidade. Pontos de inflexão e velocidade máxima a partir de uma corrente de gravidade. Fonte: Adaptado de Kneller e Buckee (2000). Ao analisar a região de mistura, o interesse maior é relativo ao comportamento da tensão de cisalhamento. Esta parte é formada por um fluido com novas propriedades e características que se alteram durante todo o escoamento. Ao variarmos a concentra-ção de sedimentos, o tipo de corrente de turbidez varia sua classificaconcentra-ção, mas dentro de um mesma corrente podemos ter mais uma fase, como explicado por (SIMPSON, 1999). O autor diz que numa corrente de turbidez de alta densidade existem duas fases. Uma fase escoando acima com um fluido de baixa densidade e com um comportamento Newtoniano, e outra região de alta densidade e com comportamento não-Newtoniano no corpo. Segundo Gani (2004), ao correlacionar os tipos de escoamentos e o compor-tamento dos fluidos, analisando a relação entre as taxas de deformação( ˙γ) e a tensão de cisalhamento(σ) o autor apresenta o gráfico da Figura 3.6.
A Figura 3.6 condensa informações sobre reologia e o tipo de corrente. As pró-ximas seções buscam um referencial histórico e as classificações dos fluidos conforme seus modos reológicos e as identificações dos tipos de correntes a partir do ambiente oceânico.
3.1.2
Mecanismo de início de uma corrente e seus depósitos
Um tipo de corrente que muito interessa aos pesquisadores é a corrente de turbidez. Essa é responsável pelo transporte de material para os oceanos e pela for-mação do solo marinho, assim como pela forfor-mação de rochas sedimentares. A sua classificação e mecanismos de sustentação são complexos e, até mesmo, conflitantes no meio científico (HEIMSUND, 2007), mas como esse não é o objetivo deste traba-lho, serão utilizados os conceitos apresentados por Manica (2009). O autor utiliza, a
Figura 3.6 – Relação tensão de cisalhamento e taxa de deformação, tipo de material e tipo de corrente. Adapatado de (GANI, 2004)
partir da costa, cada parte do ambiente oceânico para explicar como esse fluxo se inicia. A Figura 3.7 mostra uma vista esquemática da topografia próxima à plataforma continental.
Figura 3.7 – Vista esquemática para representação do relevo continental. Regiões da plataforma continental, talude e planície abissal. Fonte: Sonnig (2012).
Conforme a Figura 3.7, a região da plataforma continental possui uma decli-vidade de aproximadamente 0, 1◦ e tem como característica um segmento que fica
submerso na margem continental até o início do talude, e se chama ambiente marinho raso. Na sequência, tem-se a região do ambiente marinho profundo, que corresponde ao talude, com uma inclinação em torno de 4◦, e ao sopé, com declividade próxima
a0, 05◦. Por fim, na região do substrato, encontra-se o assoalho oceânico ou planície
abissal, que irá se estender por todo o solo marinho. Os processos que ocorrem entre as regiões da plataforma, talude e sopé até a planície abissal e o tipo de material que constitui os sedimentos podem determinar o tipo de corrente e o tipo de depósito.
para a compreensão sobre as características dos deslizamentos submarinos de grande escala ocorreu em 1929, em alto mar, em Grandes Bancos, Terra Nova (Canadá). Os deslizamentos de terra causados por um grande terremoto foram responsáveis por movimentar 100km de material através da plataforma continental. Com isto, diversos cabos telefônicos foram rompidos, possibilitando medir a velocidade de frente desta corrente. O registro mostra que para uma inclinação de apenas0, 25◦ a corrente atingiu
uma velocidade de19m/s. Esse importante evento indicou que existem dois fenômenos principais que ocorrem nestes fluxos de sedimentos, as correntes de turbidez e o fluxo de detritos.
Figura 3.8 – Principais processos de ressedimentação. Adaptado de Manica (2009).
Conforme apresentado por Heimsund (2007), Kuenen definiu o termo turbidito para um depósito gerado por uma corrente de turbidez e a sequência vertical de fácies2
para os turbiditos por Bouna3(GANI, 2004). No entanto, essa simples classificação não
abrangia todos os diferentes depósitos que eram encontrados, tampouco podia-se dizer que o mecanismo que deu origem aquele depósito era uma corrente de turbidez. Com isso outros termos, nos quais a força motriz era a ação da gravidade, foram propostos para o transporte de sedimentos em águas profundas. Para citar como principais, tem-se: deslizamento (sliding) e escorregamento (slumping) ((MANICA, 2009) apud DORREN (1951)), fluxo de detritos ((MANICA, 2009) apud DORREN (1951)) e alta concentração de grãos não-coesivos chamados de fluxos de grãos. Ainda existem outros modos nos quais o mecanismo de transporte não se dá através de uma corrente de gravidade, por isto não serão tratados aqui. Manica (2009) ainda apresenta os fluxos
2Caracterizado pelo somatório de todos os aspectos litológicos (composição, textura, estruturas
sedimentares e cor), paleontológicos (conteúdo e registo fossilífero), geométricos e paleocorrentes, que integram uma unidade estratigráfica, tornando única e identificável entre aquelas se lhe sobrepõem como as que a procedem.
3A deposição do material sedimentar efetua-se em sequência, designada por sequência de Bouma,
liquefeitos (liquefied flows) e fluxos lamosos (slurry flows). A Figura 3.8 mostra algumas características desses processos e como os mesmos estão intimamente relacionados, evidenciando que de um mesmo evento podemos ter um fluxo como consequência do outro.
Segundo o diagrama apresentado pela Figura 3.9 de Mulder e Alexander (2001), os tipos de depósito estão relacionados à concentração de sedimentos, regime do escoamento, mecanismo de sustentação e espessura de depósito. A influência da turbulência se mantém até faixas de concentração de10% para correntes de turbidez, acima disso são fluxos onde o mecanismo de sustentação é em função das interações entre os grãos ou uma matriz de suporte. No presente trabalho, a influência da variação das propriedades será avaliada até a faixa de concentração que se mantém dentro do limite de Boussinesq, que será apresentado junto da metodologia.
Muito da compreensão das correntes de turbidez tem origem na preservação de seus depósitos sedimentares na natureza. Em relação ao transporte de sedimentos, as partículas maiores irão para o fundo, onde o movimento das mesmas pode ser por rolamento ou arrastamento, as partículas menores e intermediárias se moverão por meio de rolamento e saltação, já as partículas muito finas se mantêm em suspensão por mais tempo. Além desses processos, pode haver re-suspensão, interação entre partículas, formação de diferentes diâmetros a partir de quebras ou efeitos coloidais -variação das propriedades físicas e dos campos não-conservativos e dissipação devido à deposição. Com isso, questiona-se o comportamento das propriedades físicas já que estas serão resultante de uma interação entre as partículas por meio dos processos acima citados, agindo separadamente ou em conjunto.
Estas combinações de processos de transporte terão efeito na reologia do escoamento. Dott (1963) classifica, segundo a reologia dos fluxos, como as correntes de turbidez sendo Newtonianas e fluxos de massa, de detritos, etc, como plásticos. Manica (2009) apud Middleton e Hampton (1973), conforme Figura 3.10, introduziram o termo “Sediment Gravity Flows”, o qual é definido como o transporte de sedimentos em que o movimento paralelo ao fundo é provido pela gravidade e apresentam quatro categorias de escoamentos:
• Corrente de turbidez: turbulência como mecanismo de sustentação;
• Fluxo de grãos: a suspensão pelas interação entre os grãos, seja por colisão ou forças viscosas;
• Fluxos de sedimentos fluidizados: suspensão pelo movimento ascendente do fluido intragranular;
Figura 3.9 – Figura adaptada de Mulder e Alexander (2001). Apresenta os diversos mecanismos que estão relacionados durante um escoamento com sedi-mentos. O diagrama apresenta a distância que geralmente os tipos de depósitos irão ocorrer, devido à concentração, mecanismo de suporte, espessura do depósito e regime de velocidades.
• Fluxo de detritos: uma matriz coesiva mantém o material em suspensão.
Manica (2009) apresenta em sua tese uma nova proposta para a classificação das correntes de turbidez. A Figura 3.11 mostra uma relação entre os limites de reologia, seu comportamento e concentração de forma mais detalhada. Segundo o autor esta classificação se baseia nas propriedades dos fluidos e nos processos hidrodinâmicos e deposicionais, apresentando quatro grupos de fluxos. Nas regiões I, IV e V estão as correntes de turbidez (de baixa densidade) e os fluxos de detritos, já as correntes de turbidez de alta densidade estão representadas nas regiões II e III, representariam as correntes de turbidez, onde ocorrem efeitos inerciais importantes. Por fim, na região VI as correntes de turbidez de alta densidade com preponderância de efeitos viscosos.
Figura 3.10 – Adaptado de Manica (2009). A figura correlaciona a reologia, ao tipo de fluxo, mecanismo dominante para o suporte de grãos e quais são os mecanismos em relação a concentração e variação no tempo e espaço do escoamento.
Neste momento, passa a ser importante definir alguns conceitos reológicos e entender quais são as classificação reológicas.
3.2
Reologia
Dott (1963) foi o primeiro a dar importância à reologia em relação às correntes de turbidez. Segundo a definição de Bingham “a reologia é o estudo da deformação e escoamento da matéria”. De acordo com Whorlow (1980) e Barnes et al. (1989), “o estudo da deformação e fluxo da matéria, os quais envolvem fenômenos de
elas-Figura 3.11 – Fonte: Manica (2009). Limites reológicos em função do tipo de corrente, concentração de sedimentos coesivos e não-coesivos.
ticidade, plasticidade e viscosidade, constitui-se no principal objetivo da reologia”. A reologia de suspensões, por sua vez, compreende o estudo do comportamento de fluxo de suspensões de sólidos utilizando, principalmente, a determinação da viscosidade aparente e da tensão de escoamento ou “yield stress”. Uma das formas de caracteriza-ção do comportamento reológico de suspensões consiste na realizacaracteriza-ção de ensaios de medidas da tensão de cisalhamento em função da taxa de cisalhamento, reportados como curvas de fluxo. Esses ensaios são realizados com viscosímetros de tubo ou rotacionais.
Neste contexto, conceituar o que é viscosidade e sua variação se torna funda-mental. De acordo com Barnes et al. (1989), a viscosidade de um fluido é a resistência ao deslizamento de suas moléculas devido à fricção interna e, quanto maior o grau de fricção interna de um fluido, maior é a sua viscosidade. O coeficiente de viscosidade - seja dinâmico ou cinemático - é diretamente dependente dos efeitos das variações da temperatura e pressão, mas no presente estudo não serão considerados. Na Fi-gura 3.12 tem-se o movimento relativo de duas placas paralelas com área A, a uma distância entre elas d, preenchida por um fluido. A partir de um determinado instante t = 0, a placa superior é posta em movimento na direção x a uma velocidade constante u. Quando o sistema atinge um movimento permanente, a força necessária para manter este movimento é F .
Figura 3.12 – Adaptado de Barnes et al. (1989). para o plano xy, como:
τyx = −µ
dux
dy (3.1)
sendo τ é a tensão de cisalhamento, µ é o coeficiente de viscosidade dinâmica e dux dy o gradiente de velocidade em x. Bird et al. (1960) afirmam que para uma resistência ao escoamento de fluidos com peso molecular menor do que 5.000, o sistema é regido pela lei de Newton, e quando o coeficiente de viscosidade é dado como constante, sua classificação é Newtoniano. Demais fluidos, como polímeros, suspensões, pastas e lamas são chamados de não-Newtonianos. No entanto, é importante analisar esta lei para todos os planos no sistema de coordenadas x1,x2 e x3, que é chamada de
generalização da lei de Newton da viscosidade. Para isto, existem nove componentes de tensão, τij que estão descritas como,
τij = −µ ∂uj ∂xi + ∂ui ∂xj + 2 3µ − k ∂ux ∂x + ∂uy ∂y + ∂uz ∂z δij (3.2)
Como o escoamento em questão é incompressível, a segunda parte do termo é nula. Quando o coeficiente de viscosidade é resultante de uma corrente de gravidade com material em suspensão, dizemos que haverá um coeficiente de viscosidade da mistura dependente da variação da concentração. Segundo Barnes et al. (1989), se aumentarmos a concentração de partículas em suspensão, o coeficiente de viscosidade de mistura irá aumentar, resultando de um líquido até a consistência de pasta e conforme mais partículas são, adicionadas pode chegar a um sólido. O que se sabe em relação a este comportamento é que ele é totalmente dependente de diversas caractertísicas do material, seja quando avaliamos a nível microscópico, como formato da partícula, da sua distribuição em tamanho, da interação entre as partículas, etc, até aspectos macros, como consistência, resistência a deformação, sua deformabilidade, dentre outros.
Segundo Ferreira et al. (2005), são diversas as variáveis que estão presentes num sistema de partículas em suspensão. Elas podem ser variáveis hidrodinâmicas, devido à presença do fluido, ou às variáveis resultantes de fenômenos interfaciais, relacionadas à carga de superfície e à presença de reagentes químicos, e todas podem estar atuando simultaneamente no sistema. As propriedades reológicas, em termos macroscópicos, são influenciadas pelas interações, em nível microscópico, devido às transferências de energia nessas interações. O autor cita cinco tipos de efeitos: Browniano, hidrodinâmicos, de empacotamento, coloidal e efeito de inércia.
Em referência ao modo como o coeficiente de viscosidade varia nas misturas com materiais em suspensão, o trabalho inaugural que considerou os efeitos de sus-pensões de esferas foi de Einstein, em 1905 (BARNES et al., 1989). Ele considerou que as suspensões podem ser tratadas como esferas rígidas, mas com concentrações tão baixas a ponto de não haver interação entre as partículas, possibilitando analisar somente o efeito do movimento do fluido ao redor das esferas. A equação proposta foi a seguinte: µrel = µm µ = 1 + 5 2ϕ , (3.3)
sendo µm o coeficiente de viscosidade dinâmica da mistura, µ o coeficiente de
visco-sidade dinâmica inicial do fluido sem partículas e ϕ a concentração volumétrica de sedimentos. Esta relação é aproximada e pode ser utilizada até mesmo para baixos va-lores de concentração volumétrica (ϕ <0, 05)(JULIEN, 2002). Castro (2016) apresenta em sua dissertação de mestrado, onde propõe uma nova abordagem, mais de dez mo-delos diferentes, sendo que as equações propostas viriam em função da concentração e tipo de mistura. Já Bird et al. (1960) apresentam mais quatro abordagens diferentes e Barnes et al. (1989) apresentam outras duas, onde os efeitos de floculação podem ser levados em consideração.
O coeficiente de viscosidade de suspensões e emulsões pode apresentar uma fase líquida sem mudar de estado e pode apresentar um comportamento Newtoniano ou Não-newtoniano. Bird et al. (1960) fala brevemente sobre sistemas com duas fases através de algumas analogias, onde substituímos a suspensão por um sistema de uma fase, onde este segue a lei de Newton com duas modificações: o coeficiente de viscosidade µ é substituído pelo coeficiente de viscosidade efetiva4, e a velocidade e
as componentes de tensão são descritos através do valor médio.
Em termos de simplicidade para programar e por apresentar uma boa aproxi-mação, a equação de Kreiger e Dougherty (KD), que deriva do modelo de Einstein para
suspensões não-esféricas (KRIEGER; DOUGHERTY, 1959), será a utilizada neste trabalho, ˜ µm = ˜µ 1 − ϕ˜ ϕmax −[µ∗]ϕmax , (3.4)
sendo µ˜ o coeficiente de viscosidade do fluido sem partículas,ϕ˜ é a concentração volumétrica de sedimentos,µ˜∗ é a viscosidade intrínsica, e ϕ
max é relacionada a
máxima fração de empacotamento do material.
Atualmente, esta correlação pode ser aplicada para a suspensão de diversos materiais, conforme apresentado na tabela Tabela 3.1 de Barnes et al. (1989).
Tabela 3.1 – Constantes adimensionais para algumas suspensões de partículas assi-métricas, obtidas através de dados experimentais. Adaptado de Barnes et al. (1989) Sistema [µ∗] ϕ max [µ∗]ϕmax Esferas (submicron) 2, 7 0, 71 1, 92 Esferas (40µm) 3, 28 0, 61 2, 00 Gesso Moído 3, 25 0, 69 2, 24 Dióxido de Titânio 5, 0 0, 55 2, 75 Laterita 9, 0 0, 35 3, 15 Bastões de vidro(30µm × 70µm) 9, 25 0, 268 2, 48 DPlacas de vidro(100µm × 400µm) 9, 87 0, 382 3, 77 Grãos de quartzo(53µm − 76µm) 5, 8 0, 371 2, 15 Fibra de vidro (razão axial 7) 3, 8 0, 374 1, 42
Dentro da reologia é importante ressaltar que os materiais são tratados con-forme seu comportamento. Na Subseção 3.2.1, está descrito o que caracteriza os modos como os materiais reagem.
3.2.1
Fluidos Newtonianos e não-Newtonianos
Como regra geral, os fluidos Newtonianos apresentaram uma relação linear entre a tensão de cisalhamento(σ) e a taxa de cisalhamento ( ˙γ). Os não-Newtonianos, por sua vez, apresentam um comportamento diferente, em que a variação do coeficiente de viscosidade(µ) (aumentando ou reduzindo, conforme as características do fluido) mudará com a cisalhamento( ˙γ).
A Figura 3.13 mostra um diagrama com as classificações do comportamento dos materiais. Já os Gráficos 3.14a e 3.14b complementam à Figura 3.13 com as informações relativas a reação dos materiais em relação a taxa de cisalhamento.
Figura 3.13 – Diagrama ilustrativo com as classificações dos fluidos conforme seu comportamento em relação à variação do coeficiente de viscosidade aparente e a tensão de cisalhamento. Fonte: adaptado de Barnes et al. (1989).
Materiais em que o coeficiente de viscosidade diminui quando ocorre um aumento da taxa de cisalhamento, são chamados de pseudoplásticos (Figura 3.14b). Este comportamento é percebido em algumas graxas, óleo lubrificantes para motores, etc. Já um fluido dilatante apresenta um comportamento inverso. Como exemplo, certas suspensões com alta porcentagem de sólidos. Os fluidos plásticos necessitam de uma tensão finita, também chamada de tensão de escoamento, para que ocorra movimento, como mostrado na Figura 3.14b. Como exemplo são tidas as suspensões pseudo-homogêneas compostas por partículas finas ou ultrafinas.
Conforme descrito na Figura 3.13, outra classe de material não-Newtoniano são aqueles dependentes do tempo. Estes tipos estão ilustrados na Figura 3.14c e mostram os dois tipos de fluidos: tixotrópicos e reopéticos. Os fluidos tixotrópicos apre-sentam uma redução da viscosidade com o tempo, quando submetidos a uma taxa de cisalhamento constante. Já os reopéticos apresentam um aumento da viscosidade com o tempo. No processamento mineral, esse comportamento é bastante inconveniente devido às mudanças na viscosidade, por exemplo.
A classificação dos sistemas quanto à sua reologia está ligada às misturas, assim como a velocidade do fluxo e com a concentração. A forma como os sedimentos se depositam ou são suportados é estudo da sedimentação, que é o assunto da
(a) Gráfico relativo ao comportamento do material devido a taxa e tensão de
cisalhamento.
(b) Gráfico relativo a viscosidade do material e sua classificação.
(c) Gráfico sobre o comportamento de materiais reopéticos e tixotrópicos.
Figura 3.14 – Comportamento dos materiais conforme tensão e taxa de cisalhamento e viscosidade e taxa de cisalhamento.Fonte: adaptado de Barnes et al. (1989).
Seção 3.3.
3.3
Sedimentação
Segundo Carvalho (2008), sedimentos são partículas sólidas resultantes do processo de sedimentação, mas muitos autores (JULIEN, 1998; KNELLER; BUCKEE, 2000; CHENG, 1997; FERREIRA et al., 2005) chamam de sedimento, as partículas derivadas da rocha ou de agentes biológicos, quando transportados por um fluido (águas de rios, mares, oceanos, etc e vento) da sua origem aos locais de deposição. Portanto, podemos chamar de sedimento todo o material sólido em suspensão e aquele que já foi depositado.
Sobre a forma como o material deposita, partindo da observação de quando uma partícula é solta em um recipiente contendo água, a partícula cai segundo a lei sedimentação livre de acordo com duas condições: para dois grãos com a mesma
massa específica, mas de tamanhos diferentes, o maior atinge maior velocidade. Se dois grãos possuem o mesmo tamanho, mas tê massas específicas diferentes, o grão mais pesado atinge maior velocidade.
Então, num primeiro momento, fica evidente que a velocidade de sedimentação depende da massa específica, do tamanho do grão e da concentração. Pensando sobre a complexidade de um escoamento com a combinação destas características supracitadas, Manica (2009) apresenta os seguintes itens como responsáveis pelo suporte de grãos,
• Turbulência (será definida em Capítulo 4).
• Decantação impedida (hindered settling): devido à alta concentração de grãos o movimento da água é dificultado e aproxima os grãos que tentam depositar-se. A água intersticial é expulsa dos espaços entre as partículas, o que dificulta a movimentação e retarda a decantação dos grãos.
• Empuxo (buoyant lift): fornecido por uma matriz composta de sedimentos mais finos e água.
• Pressão dispersiva (dispersive pressure): os grãos são mantidos em suspensão pela interação entre eles (colisão em regime inercial ou pelas forças viscosas produzidas sobre o grão em regime viscoso).
• Movimento ascendente do fluido intragranular: em dispersões muito concentradas, o fluido tende a ser expulso para cima ao mesmo tempo em que de grãos maiores e mais densos tendem a decantar.
• Matriz coesiva (matrix strenght): uma mistura de material argiloso e fluido intersti-cial suporta o peso dos clastos5 e forma um filme que lubrifica as irregularidades
na superfície dos grãos, reduzindo o cisalhamento e permitindo que os fluxos de detritos fluam por grandes distâncias, mesmo em declives muito suaves.
Sobre a velocidade de sedimentação, Cheng (1997) diz que esta é uma das propriedades básicas na sedimentação de partículas. Ele comenta que a velocidade de sedimentação depende do número ou da concentração de partículas, formato, tamanho, da massa específica das partículas e do coeficiente de viscosidade do fluido. Outra característica importante é sobre haver ou não interação entre as partículas. Isto quer dizer que um meio com maior concentração, onde as partículas se encontram mais
5Um detrito ou clasto é um fragmento de uma rocha pré-existente (quer ela seja uma rocha magmática,
próximas umas das outras, depositará com uma velocidade maior do que se considerar uma única partícula ou um sistema mais disperso. Desta forma, a sedimentação pode ser de quatro tipos (BARROSO, 2007), como mostra a Tabela 5.4:
1. Tipo I, ou Sedimentação Discreta: Também conhecida como Lei de Stokes, esta é caracterizada por uma velocidade uniforme de sedimentação, sem que haja interação entre partículas no meio. Os tipos de partículas deste movimento são as de saibro e areia. Não há variação da massa da partícula ao longo do percurso e elas apresentam uma trajetória retilínea.
2. Tipo II, ou Sedimentação Floculenta: Existem pequenos agrupamentos das par-tículas e, por consequência, acontece um aumento gradual da velocidade de decantação devido ao aumento da massa, obrigando a uma queda acelerada. Pode apresentar trajetória curvilínea com a concavidade voltada para baixo, que é denominada de varredura.
3. Tipo III, ou Sedimentação Zonal: Também chamada de Hindered Settling ou retardada, semelhante à tipo II, a velocidade de queda aumenta, mas de forma mais expressiva, pois a concentração será maior caracterizando uma redução gra-dual da velocidade de decantação das partículas em suspensão. Este fenômeno deve-se a um aumento de concentração de partículas e devido à perturbação que o movimento de uma partícula provoca na vizinha, retardando o seu movimento. Pode-se formar um agregado denso de partículas que decanta em conjunto, deixando acima o líquido com o aspecto de limpo.
4. Tipo IV, ou Sedimentação Compressiva: o fenômeno de compressão, no qual a concentração de partículas é tão elevada que os sólidos comprimem a água ao decantar. Ocorre quando a densidade de partículas é tal que a decantação faz-se por densificação apenas pelo peso das partículas que estão acima e das que vão sendo adicionadas subsequentemente.
Em relação às aproximações relativas à velocidade de queda, na Subse-ção 3.3.1 será apresentado um breve apanhado dos estudos sobre o tema.
3.3.1
Velocidade de sedimentação
O objetivo desta seção é identificar algumas equações que foram propostas por diversos autores, a fim de melhor descrever o comportamento da velocidade de sedimentação.
Figura 3.15 – Diagrama que correlaciona os tipos de sedimentação, com a concentra-ção das partículas e seu formato. Fonte: Adaptado de Lucchese (2015)
Para definir como é a sedimentação de uma partícula, é necessário calcular o número de Reynolds da partícula, chamado de Rep,
Rep =
usd p
µa
(3.5) que é dependente da velocidade de queda da partícula, us, do seu diâmetro, d
p e do
coeficiente de viscosidade do fluido ambiente, µa.
Segundo Julien (1998), para partículas esféricas, a velocidade de sedimentação é apresentada como, us = s 4 3 (ρp− ρa) ρp gdp Cd , (3.6)
onde o coeficiente de arrasto Cd é dependente do regime do escoamento em que
a partícula está submersa e ρp é a massa específica da partícula. Para um regime
laminar, onde Rep < 0, 1, o coeficiente de arrasto se limita a Cd = 24/Rep ou para
Stokes. Já num regime turbulento e em transição é utilizada outra aproximação, mas como não será aplicada a este trabalho, não serão tratadas aqui.
Diversos trabalhos buscam desenvolver um único equacionamento que sirva para qualquer tipo de partícula (tamanho, formato, etc) e regime de escoamento. Com base nisto, Cheng (1997) apresenta, fazendo uso de uma equação proposta por Lewis et al. (1985),
us
us 0
= (1 − ϕ)n, (3.7)
onde, us é a velocidade de sedimentação terminal de uma única partícula no fluido, ϕ é
a concentração volumétrica, us
0é a velocidade de sedimentação de partículas dispersas
em uma concentração volumétrica ϕ, e n é um expoente definido como,
n= ln2 − 2ϕ 2 − 3ϕ + 1.5 ln s 25 + (1 − ϕ)(2 − 3ϕ) 2 4 + 4δϕ 2/3 (Re4/3+ 10Re2/3) − 5 √ 25 + Re4/3+ 10Re2/3− 5 ln(1 − ϕ) , (3.8) sendo δ = (ρp− ρa) ρa
Segundo o autor, essa aproximação para n está de acordo com os dados experimentais utilizados, mas especialmente para partículas pequenas e areia. Cheng (1997) afirma que a equação proposta se relaciona não somente ao número de Rey-nolds, mas também à densidade dos sedimentos e à concentração volumétrica das partículas.
Já Jiménez e Madsen (2003) propõem uma equação para estimar a velocidade de queda com base no trabalho de Dietrich (1982), no qual a velocidade de queda é prevista por meio do diâmetro e do fator de forma. A equação foi verificada com dados experimentais e com outras equações relativas a aproximação da velocidade de queda,
1 us∗ = A + B S∗ S∗ = dN 4ν r (ρp ρa − 1)gdN (3.9)
onde, A e B são constantes encontradas a partir de dados experimentais para valores amostrados de S∗. No entanto, o valor de dN, chamado de diâmetro nominal, vai de
0, 06mm < dN < 1mm, abaixo deste valor os autores recomendam utilizar Stokes e
acima disso, afirmam ser improvável que haja partículas em suspensão.
Já Ferguson e Church (2004) apresentam uma equação explícita para todo e qualquer diâmetro, regime de escoamento até mesmo para a fase de transição
-e d-emostram uma boa co-erência com dados publicados -e -exp-erim-entais. O obj-etivo principal deste equacionamento é ser aplicável a qualquer situação, desde que se saiba o diâmetro da partícula. A equação para a velocidade de queda fica,
us = ρp ρagd 2 p C1νm+ (0.75C2ρρpagd3p)0.5 (3.10)
Esta aproximação se reduz à lei de Stokes para grãos finos e apresenta um coeficiente de arrasto constante para sedimentos mais grossos. Nela estão inclusos os efeitos da viscosidade e da massa específica. No entanto, ainda se faz necessário o uso de constantes, C1 e C2, porém essa é uma abordagem muito mais simples do
que os demais trabalhos apresentados. C1 é a constante encontrada na equação de
Stokes para um regime laminar e C2 é relacionado ao coeficiente de arrasto para Re na
O(103). Os autores apresentam os seguintes valores para as constantes, conforme a
Tabela 3.2
Tabela 3.2 – Constantes adimensionais para diferentes diâmetros de partícula. Fonte: adaptado de Ferguson e Church (2004).
Material C1 C2
Esferas 18 0, 4
Areia (peneirada) 18 1, 0
Areia (diâmetro nominal) 20 1, 1
Grãos angulares 24 0, 2
Laterita 9, 0 0, 35
Além da equação muito mais simples, ela é facilmente programada. Outra vantagem é que ela pode ser utilizada tanto para diâmetros peneirados como nominais.
4 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA
A modelagem matemática que rege os escoamentos está descrita nesta seção. Primeiramente são apresentados os parâmetros adimensionais, que servem para definir quais as forças e mecanismos governam o sistema. Na sequência, a teoria de Benjamin (1968) sobre o balanço de energia numa corrente é demonstrada de forma que seja possível trazer parâmetros de escala. De maneira analítica, as equações de Navier-Stokes e a de transporte escalar são apresentadas em sua forma dimensional (um til ˜(·) denota grandezas dimensionais) e, fazendo uso dos parâmetros de escala, as equações são declaradas na sua forma adimensional.
4.1
Equações Governantes
4.1.1
Parâmetros adimensionais: fatores de escala
Como já foi descrito no Capítulo 3, correntes de densidade são fenômenos que podem ocorrer em diversos meios e em diferentes ordens de grandeza. A forma de modelar matematicamente e correlacionar o que é observado na natureza é utilizando os parâmetros adimensionais. Linden (2012) fala que é possível capturar muita da física envolvida com um único parâmetro: o número de Froude. A partir da configuração da Figura 3.1 as equações serão modeladas.
A condição inicial da Figura 3.1 possibilita definir a primeira proporção, que é o conceito de gravidade reduzida. Linden (2012) realiza uma análise da variação da pressão, antes da retirada da placa, no fundo do domínio, conforme Equação 4.1 e, devido à aceleração do fluido mais denso ao fundo do domínio e à aceleração do fluido mais leve acima, é possível determinar a gravidade reduzida,
∆˜p= ˜g ˜ ρc− ˜ρa ˜L2 = ˜g∆˜ρ ˜L2 (4.1) ˜ g0 = ˜g∆˜ρ ˜ ρa , (4.2)
desta forma é possível dizer que a velocidade da frente da corrente ˜Uf é proporcional à
raiz quadrada da gravidade reduzida ˜g0 e da altura do domínio ˜L 2, ˜ Uf ∝ q ˜ g0L˜ 2, (4.3)
com isto, fica evidente porque do número de Froude é tão importante, já que o mesmo traz em si a intensidade das forças inerciais e gravitacionais,
F r = qU˜f ˜ g0L˜
2
(4.4)
onde, o denominador da equação é também chamado de velocidade de flutuaçãou˜b
e será utilizado como velocidade característica para adimensionalizar as equações. Ainda em relação ao número de Froude, Benjamin (1968) propõe valores quantitativos para estimá-lo valores de Froude a partir balanço de energia.
Figura 4.1 – Esquema para o balanço de energia numa corrente de gravidade, segundo a abordagem de Benjamin. Fonte: Adaptado de Benjamin (1968).
O autor aplica a equação de Bernoulli e realiza o balanço de massa e momento no volume de controle. Com esse desenvolvimento, ele encontra uma razão entre as alturas da cabeça ˜h e do domínio de ˜L2 de
1
2. Por esse motivo, o comprimento característico do domínio é como ˜h= L˜2
2 . Além disso, o número de Froude característico para uma configuração do tipo lock-exchange é F r = 1
2.Com isso, podemos manter a
física do problema, mesmo numa escala reduzida.
4.1.2
Lei de Stokes para a partícula
Aplicando o balanço de forças em uma partícula que está em processo de sedimentação, considerando-a uma esfera e o meio líquido sendo água, a velocidade de queda é chamada de u˜s. A Figura 4.2 esquematiza esse balanço, sendo a força peso ˜Fpatuando na direção de queda, e as forças de empuxo ˜Fb e arrasto ˜Fdcontrárias
ao movimento.
Portanto, o balanço de forças pode ser equacionado como ˜
Fp = ˜Fb+ ˜Fd, (4.5)
expandindo a notação de cada termo, resultando em, π 6d˜ 3 pρ˜pg˜= π 6d˜ 3 pρ˜a˜g+ 3π ˜µmd˜pu˜s, (4.6)
Figura 4.2 – Forças atuantes em uma partícula esférica, segundo a lei de Stokes. Fonte: Francisco (2014).
onde o diâmetro da partícula é ˜dp, a aceleração da gravidade é ˜g, o coeficiente de
viscosidade dinâmica da mistura 鵘m, a massa específica da água éρ˜ae a da partícula
éρ˜p.
A partir do desenvolvimento é possível obter a velocidade de sedimentação, ˜ us = 1 18d˜ 2 pg˜ (˜ρp− ˜ρa) ˜ µm . (4.7)
Substituindo a Equação (3.4) na Equação (4.7) a velocidade de queda de Stokes em função da concentração fica:
˜ us(c) = 1 18d˜ 2 pg˜ (˜ρp− ˜ρa) ˜ µ(1 − ϕ˜ ϕmax )−[µ∗]ϕ max . (4.8)
Neste momento, pode-se definir o coeficiente de viscosidade cinemática,ν˜m,
pois ele é função do coeficiente de viscosidade dinâmica e da massa específica, conforme, ˜ νm(˜c) = ˜ µm(˜c) ˜ ρc (4.9)
Por fim, o tensor de tensões Newtonianas pode ser reescrito em função de ˜ µm(˜c), conforme a equação (4.10): τji = ˜µm(˜c) ∂ ˜ui ∂x˜j +∂u˜j ∂x˜i (4.10)
4.1.3
Aproximação de Boussinesq
Segundo Meiburg et al. (2015), quando a diferença entre as massas específicas de uma corrente e do fluido ambiente não excedem O(1%) o escoamento pode ser tratado pela aproximação de Boussinesq.
Lowe et al. (2005) apresentam experimentos comparando os efeitos de uma aproximação não-Boussinesq e Boussinesq. São tratados como sistemas não-Boussinesq quando a diferença de densidades entre os fluidos é grande, o que geralmente é um efeito importante e deve ser respeitado quando estudadas nas correntes de gravidade atmosféricas, por exemplo. Para que esta estimativa seja válida γ - que é a razão entre o fluido menos denso e o fluido mais denso - deve estar entre 0, 95 e 1. Neste caso, será a razão entre a massa específica do fluido ambienteρ˜a e a massa específica da
correnteρ˜c, conforme evidenciado em,
γ = ρ˜a ˜ ρc (4.11) 0, 95 < γ 6 1 (4.12) ∴ γ = 1 − ρ˜a ˜ ρc 6 5% (4.13) esta abordagem também demanda que a equação de continuidade seja respeitada, conforme apresentada a seguir.
4.1.4
Conservação da massa, Navier-Stokes e transporte de escalares
A massa específica da corrente ρ˜c, segundo Hogg et al. (2000), pode ser
descrita como função da massa específica do fluido ambienteρ˜a e das partículasρ˜p,
bem como da máxima fração volumétrica ocupada pelos sedimento c, na seguinte˜ forma: ˜ ρc = ˜ρa 1 + ρ˜p− ˜ρa ˜ ρa ˜ c . (4.14)
A aproximação de Boussinesq necessita que a equação da conservação da massa como incompressível, da seguinte forma:
˜ ρp− ˜ρa ˜ ρa ˜ c 1, (4.15)
resultando em ρ˜c ≈ ˜ρa na (4.14). Desse modo, pode-se empregar as equações de
fluido seja constante, exceto no termo gravitacional. A equação da conservação da massa é expressa por
∂u˜j
∂x˜j
= 0. (4.16)
As equações da quantidade de movimento são acrescidas por um termo de forçagem, que é responsável por acoplar o efeito das partículas sobre o fluido (NECKER et al., 2002), sendo escritas como
∂u˜i ∂˜t + ˜uj ∂u˜i ∂x˜j = −1 ˜ ρa ∂p˜ ∂x˜i + ∂ ∂x˜j ˜ νm(˜c) ∂ ˜ui ∂x˜j + ∂u˜j ∂x˜i − c˜ ˜ ρa ˜ Fd, (4.17)
ondep˜é a pressão,ν˜m é o coeficiente viscosidade cinemática da mistura dependente
da concentração ˜c.
A velocidade de convecção das partículas é dada pela soma da velocidade local do fluido u˜i e da velocidade de queda da partícula u˜s, que possui o sentido
da aceleração da gravidade. A equação do transporte dos campos de concentração, portanto, é escrita como
∂c˜ ∂˜t + ∂(˜uj + ˜us(˜c)e g j)˜c ∂x˜j = ˜k ∂ 2˜c ∂x˜j∂x˜j , (4.18)
onde ˜k representa a difusividade mássica e egj = (0, −1, 0) o vetor unitário agindo na direção da gravidade.
Para facilitar a resolução numérica, as equações governantes (4.16, 4.17 e 4.18) são escritas em sua forma adimensional. Para tanto, dois importantes grupos adimensionais são utilizados.
O número de Reynolds, Re= U ˜˜h
˜
ν , (4.19)
e compreende a razão entre as forças de inércia e as forças viscosas, onde ˜U e ˜hsão a velocidade e comprimento característico do escoamento, respectivamente. Por último o número de Schmidt,
Sc = ν˜ ˜
k, (4.20)
que é definido como a razão entre difusão de quantidade de movimento e difusão molecular de partículas ˜k.
Para facilitar a visualização da dependência de Reynols com a equação do coeficiente de viscosidade da mistura, ela é descrita como uma função f(ϕ), como
µm µ0 = 1 − ϕ ϕmax −[µ∗]ϕmax = f (ϕ) (4.21)
A equação (3.4) é resultado de diversos dados experimentais, com misturas que podem ter um comportamento não-Newtoniano e para valores de concentração volumétrica de até ϕ <0, 25. ϕmaxé característica da estrutura cristalina do material. No
artigo de Luckham e Ukeje (1999), no qual os autores analisam os efeitos na reologia de um polímero devido ao tamanho de partículas de um sistema disperso, falam que a máxima fração de empacotamento para suspensões monodispersas raramente irá exceder para qualquer tipo de arranjo um fator de empacotamento maior do que0, 639. Com isto, para os valores de ϕmax foi utilizado 0, 74, pois é um valor teórico para
materiais com arranjo do tipo cúbido de face centrada (CFC) ou hexagonal compacta (HC) e seria o limite superior para este parâmetro. Segundo Barnes et al. (1989), quanto maior o fator de empacotamento, menor o valor de viscosidade intrínseca.
Já˜
µ∗ que é a viscosidade intrínseca1, descreve a habilidade do material em
suspensão em aumentar a viscosidade do solvente na ausência de qualquer interação intermolecular, e a viscosidade do solvente, µ. Neste trabalho seu valor será de vale˜
5
2, no qual se torna o valor para uma suspensão diluída ideal e partículas esféricas
(GUERRA et al., 2012).
Em sua forma adimensional as equações são escritas como ∂uj ∂xj = 0, (4.22a) ∂ui ∂t = −uj ∂ui ∂xj − ∂p ∂xi + ∂ ∂xj f (ϕ) Re ∂ui ∂xj + ∂uj ∂xi + egi ϕ, (4.22b) ∂ϕ ∂t = − ∂(uj + egjus(ϕ))ϕ ∂xj + 1 ReSc ∂2ϕ ∂xj∂xj , (4.22c)
e serão tratadas desta forma a partir daqui.
4.2
Domínio, condições de contorno e condições iniciais
Como mencionado na revisão bibliográfica, o presente trabalho utiliza a confi-guração lock-exchange. Um tipo específico para essa conficonfi-guração é a chamada de
1[µ∗] muitas vezes chamada de viscosidade infinita, é um valor que não depende da concentração
sendo definido como um valor de viscosidade onde a diluição é infinita. É dada pela equação[µ∗] =
limϕ→0 lnµm
µ0 ϕ
finite volume release e na Figura 4.3 está representado o domínio de cálculo com os eixos de coordenadas e as dimensões do domínio.
Figura 4.3 – Domínio de cálculo para tempo t = 0 Fonte: Adaptado de Francisco (2014). A Figura 4.3 apresenta o eixo de coordenadas (x1, x2, x3) na interface que
separa o fluido ambiente do fluido com partículas. O domínio apresenta comprimento, altura e largura de L1 × L2 × L3 e a região onde contém a mistura de fluido-partículas
para t = 0 apresenta as dimensões L1s×L2s×L3s. Em relação às condições de contorno
para o campo de velocidades, no fundo é imposta a condição de não-deslizamento (velocidade na parede é zero) e no topo e nas laterais é utilizada a condição de deslizamento livre (gradiente de velocidade com a componente normal é zero).
Para se aproximar a simulação a este tipo de experimento, é adicionada uma perturbação na interface igual a ui logo após a retirada da placa, que se encontra
em x1 = 0. Outra abordagem que é uma característica desse tipo de modelagem
é a geração do campo de concentrações inicial ser dado por uma função tangente hiberbólica, c(t = 0) = c0 h 0.5 − 0.5tanhx1 √ Rei. (4.23)
4.3
Simulação numérica direta (DNS) e Simulação de
Gran-des Escalas (LES)
Uma importante caraterística dos escoamentos, sejam de engenharia ou na natureza, é a turbulência. Esta é uma característica difícil - se não a mais difícil - de ser definida na mecânica dos fluidos, mas Lesieur (2012) diz que tais escoamentos podem ser detalhados da seguinte forma:
• Por natureza são tridimensionais, instáveis e apresentam flutuações em todas as direções;
