Um estudo sobre generalizações de extensão de Zadeh para funções contínuas

CAMPINAS

Instituto de Matemática, Estatística e

Computação Científica

KELLY MARQUES DE OLIVEIRA LOPES

Um Estudo Sobre Generalizações do Princípio

de Extensão de Zadeh para Funções Contínuas.

Campinas

2019

Um Estudo Sobre Generalizações do Princípio de

Extensão de Zadeh para Funções Contínuas.

Tese apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Uni-versidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutora em Matemática Aplicada.

Orientador: Estevão Esmi Laureano

Este exemplar corresponde à versão

fi-nal da Tese defendida pela aluna Kelly

Marques de Oliveira Lopes e orientada

pelo Prof. Dr. Estevão Esmi Laureano.

Campinas

2019

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467

Lopes, Kelly Marques de Oliveira,

L881e LopUm estudo sobre generalizações do princípio de extensão de Zadeh para funções contínuas / Kelly Marques de Oliveira Lopes. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.

LopOrientador: Estevão Esmi Laureano.

LopTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Lop1. Lógica fuzzy. 2. Zadeh, Extensão de. 3. Funções contínuas. 4. Modelos matemáticos. I. Esmi, Estevão, 1982-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: A study on generalizations of the Zadeh's extension principle for

continuos functions Palavras-chave em inglês: Fuzzy logic Zadeh's extension Continuous functions Mathematical models

Área de concentração: Matemática Aplicada e Computacional Titulação: Doutora em Matemática Aplicada e Computacional Banca examinadora:

Estevão Esmi Laureano [Orientador] Laécio Carvalho de Barros

Igor Leite Freire

Rosana Sueli da Motta Jafelice Francielle Santo Pedro Simões

Data de defesa: 28-02-2019

Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada e Computacional

Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)

- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-0482-3333

- Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/3755000985620723

pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof(a). Dr(a). ESTEVÃO ESMI LAUREANO

Prof(a). Dr(a). FRANCIELLE SANTO PEDRO SIMÕES

Prof(a). Dr(a). LAÉCIO CARVALHO DE BARROS

Prof(a). Dr(a). IGOR LEITE FREIRE

Prof(a). Dr(a). ROSANA SUELI DA MOTTA JAFELICE

A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

minha vida.

Agradeço a Deus sobre todas as coisa; pelo fôlego de vida e por colocar em mim o desejo e a vontade de lutar e vencer.

Ao professor Estevão que vem me ajudando desde o mestrado. Agradeço por ter aceitado ser meu orientador, por sua paciência e compreenção.

Ao professor Joni, que abriu as portas do IMECC, para esta joven sonhadora, meu eterno agradecimento.

Aos professoreres Oliveira e Barros que sempre estiveram prontos a me ajudar, em todo o período que estive na Unicamp.

Ao meu querido professor Vendite, que acreditou e investiu em mim.

Ao meu grande amigo Porfírio, que sempre esteve ao meu lado, me auxiliando e me ajudando nos momentos mais difíceis do curso.

Às minhas colegas, companheiras de estudo e de café, Kelly Cadena, Marta, Fernanda; amizade como a de vocês nunca será esquecida.

Aos meus tios e tias que sempre estiveram ao meu lado acreditando e apoiando. À tia Maria que comprou o meu primeiro livro de Cálculo, obrigada pela ajuda. À tia Jura pela interseção. Aos meus tios Antonio Carlos e Junior, pelos bons momentos de discussão e de estudo.

Aos meus coordenadores, Ana Claudia, Juliato, Marco Roberto, e em especial os professores Carlos Fielde e Eliandro Rogerio, que sempre me incentivaram, e me deram todo apoio com suas palavras amigas e de encorajamento.

Aos meus novos colegas do banco, muito obrigada pelo apoio e incentivo. Meus queridos alunos, razão pela qual eu me esforço e me dedico todos os dias. Aos meus pais José Rodrigues e Rita Marques, que sempre me ensinaram a correr atrás dos meus sonhos e nunca desistir, o meu carinho e amor.

Aos meus irmãos Karen, Deivid e Nathaly pelos momentos de discontração. À minha filha Kethelyn, por compreender e aceitar me do jeito que sou. Ao esposo Mauricelio, que sempre me apoiou. Que me entendeu quando decidi sair de casa para ir atrás de meu objetivo. Quando atrasei a minha gravidez para alcançar o meu sonho. Amor, obrigada por me entender nesse período tão difícil e tão importante da minha vida.

consquistar o meu sonho; por uma palavra amiga, por um abraço, por um carinho, por acreditarem em mim; a minha gratidão e o meu muitíssimo obrigada.

É melhor tentar, ainda que em vão sentar-se, fazendo nada até o final. Eu prefiro na chuva caminhar, que em dias frios em casa me esconder. Prefiro ser feliz embora louco, que em conformidade viver. (Martin Luther King)

Zadeh propôs em seus trabalhos uma fórmula chamada de princípio de extensão, que é um método para estender uma função f : X Ñ Y para uma função ˆf : FpXq Ñ FpY q. Baseado neste método, define-se o princípio de extensão sup-J de uma função f : RnÑ R em uma dada n-upla de números fuzzy pA1,   , Anq como sendo o conjunto fuzzy ˆfpJq

de R, onde J é um certo conjunto fuzzy de Rn, chamado de distribuição de possibilidade conjunta, que descreve uma relação de interatividade entre A1,   , An. Um dos nossos

objetivos neste trabalho é determinar condições suficientes para que a extensão sup-J de

f : R2 Ñ R em um par de números fuzzy pA1, A2q, denotado por fJpA1, A2q, seja também

um número fuzzy. Além disso, providenciamos uma família parametrizada de distribuições de possibilidade conjunta Jγ, γ P r0, 1s, tal que fJγpA1, A2q é um número fuzzy e sua norma

forma um mapeamento contínuo e crescente com respeito à γ. Por fim, mostramos que a menor e a maior norma possível de um número fuzzy dado pela extensão sup-J de f em pA1, A2q são atingidas em γ  0 e γ  1, respectivamente.

Palavras-chave: Lógica fuzzy. Princípio de Extensão de Zadeh. Funções contínuas.

Zadeh’s extension principle can be viewed as a mathematical tool to extend a function

f : X Ñ Y to a function ˆf : FpXq Ñ FpY q. Based on this idea, the sup-J extension principle of a function f : Rn Ñ R at a n-tuple of fuzzy numbers fuzzy pA1,   , Anq is

given by the fuzzy set ˆfpJq of R, where J is a certain fuzzy set of Rn, called joint possibility distribution, that describes a relation of interactivity among A1,   , An. Here, we establish

sufficient conditions for the sup-J extension of f : R2 Ñ R at a pair of fuzzy numbers pA1, A2q, denoted by fJpA1, A2q,to be a fuzzy number as well. Moreover, we provide a

parametrized family of joint possibility distributions Jγ, γ P r0, 1s, such that fJγpA1, A2q is

a fuzzy number and its norm consists of increasing and continuous map with respect to γ. Finally, we show that the smallest and largest norms of fuzzy numbers given by the sup-J extension of f at pA1, A2q are reached using γ  0 and γ  1, respectively.

Keywords: Fuzzy logic. Zadeh Extension Principle. Continuous functions . Mathematical

Figura 1 – Fluxograma do desenvolvimento da tese. . . 17

Figura 2 – α-nível de A. . . . 21

Figura 3 – Número fuzzy trapezoidal. . . . 28

Figura 4 – Número fuzzy triangular. . . . 29

Figura 5 – Número fuzzy trapezoidal para o conjunto fuzzy dos adolescentes. . . . 29

Figura 6 – Princípio de extensão de Zadeh de uma função f em um conjunto fuzzy A. 39 Figura 7 – Distribuição de possibilidade conjunta da função Jpx, yq dada na Equa-ção 2.8. . . 43

Figura 8 – Extensão sup-J da função f e J dadas no Exemplo 7. . . . 43

Figura 9 – Extensão sup-J da função f e J dadas no Exemplo 8. . . . 44

Figura 10 – Função r1px, α, 0, fq descontínua em x=1. . . . 52

Figura 11 – Extensões sup-Jγ da função fpx1, x2q  x1  exppx2q com relação ao parâmetro γ. . . . 70

Figura 12 – Variação da norma da extensão sup-Jγda função fpx1, x2q  x1exppx2q com relação ao parâmetro γ. . . . 71

Figura 13 – Extensão sup-Jγ da função fpx1, x2q  x1x2 com relação ao parâmetro γ. 71 Figura 14 – Variação da norma da extensão sup-Jγ da função fpx1, x2q  x1x2 com relação ao parâmetro γ. . . . 72

Figura 15 – Extensões sup-Jγ da função fpx1, x2q  x1 2x2 com relação ao parâ-metro γ. . . . 72

Figura 16 – Variação da norma da extensão sup-Jγ da função fpx1, x2q  x1 2x2 com relação ao parâmetro γ. . . . 73

Figura 17 – Extensão sup-Jγ da função fpx1, x2q  x2  cospx1q com relação ao parâmetro γ. . . . 73

Figura 18 – Variação da norma da extensão sup-Jγ da função fpx1, x2q  x2cospx1q com relação ao parâmetro γ. . . . 74

Figura 19 – Extensões sup-Jγ da função fpx1, x2q  x2  tagpx1q com relação ao parâmetro γ. . . . 74

Figura 20 – Variação da norma da extensão sup-Jγ da função fpx1, x2q  x2tagpx1q com relação ao parâmetro γ. . . . 75

Figura 21 – Extensões sup-Jγ da função fpn, pq  2n  expp
0.068pq com relação ao parâmetro γ. . . . 76

Figura 22 – Variação da norma da extensão sup-Jγ da função fpn, pq  2n  expp
0.068pq com respeito ao parâmetro γ. . . . 77

Figura 23 – Extensão sup-Jγ da função fpn, pq  np1
expp
0.068pqq com relação ao parâmetro γ. . . . 77

FpXq Classe de conjuntos fuzzy em X. RF Classe dos números fuzzy.

d₈ Distância de Pompeiu-Hausdorff.

ϕApxq ou Apxq Pertinência no elemento x do subconjunto fuzzy A .

U ,V Universos gerais não fuzzy.

L Reticulado ordenado completo.

ª X Supremo do conjunto X. © X Ínfimo do conjunto X. a_ b máximo entre a e b. a^ b mínimo entre a e b.

R Relação entre conjuntos fuzzy. ΠX_Rpxq Projeção da relação fuzzy R em X. [A]α α-nível de um subconjunto fuzzy A.

LA Função que associa para cada α o ínfimo derAsα.

RA Função que associa para cada α o supremo de rAsα.

RC

F Conjunto de números fuzzy com funções contínuas LA e RA.

[aα₁, aα₂] Valores dos extremos do α-nível de um número fuzzy A . K Subconjuntos compactos não vazios de Rn.

||  || Norma de um número fuzzy. p

f Extensão de Zadeh de uma função f .

Jγ Distribuição conjunta de possibilidade com parâmetro γ.

p

fJ Extensão Sup-J da função f .

Introdução . . . 15

1 CONCEITOS BÁSICOS . . . 18

1.1 Conjuntos Fuzzy . . . 18

1.2 Operações Entre Conjuntos Fuzzy . . . 19

1.3 O Conceito de α
níveis . . . 20

1.4 Conceitos Básicos de Conjuntos L-Fuzzy . . . 21

1.5 Relações Fuzzy . . . 24

1.6 Números Fuzzy . . . 26

1.7 Métrica e Norma de um Número Fuzzy . . . 33

1.8 Outros Resultados Úteis . . . 34

1.9 Multifunções . . . 36

2 PRINCÍPIO DA EXTENSÃO SUP-J . . . 39

2.1 Princípio de Extensão de Zadeh . . . 39

2.2 Distribuição de Possibilidade Conjunta . . . 40

3 FAMÍLIAS DE DISTRIBUIÇÕES DE POSSIBILIDADE CONJUNTA 49 4 SIMULAÇÕES . . . 70 4.1 Simulações . . . 70 4.1.1 Modelo de Nicholson-Bailey . . . 74 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . 79 REFERÊNCIAS . . . 80 ANEXO A – CÓDIGOS-FONTE . . . 83

A.1 Código Principal . . . 83

Introdução

Zadeh apresenta em seu trabalho (ZADEH,1965) uma fórmula geral chamada de princípio de extensão, que estende uma função X Ñ Y para uma função FpXq Ñ FpY q, onde X e Y são dois universos não vazios. Seja FpXq a classe de subconjuntos fuzzy em X. No caso particular onde X é dado pelo produto cartesiano de n universos, ou seja, X  X1      Xn, Zadeh define a extensão da função na n-upla pA1, . . . , Anq,

com Ai P FpXiq para i  1, . . . , n, como sendo a extensão de Zadeh de A em D, onde

DP FpXq dado por Dpx1, . . . , xnq  mintA1px1q, . . . , Anpxnqu para todo px1, . . . , xnq P X

(ZADEH, 1965; ZADEH, 1975). Neste trabalho vamos focar apenas em funções f de R2 em R contínuas.

Em muitos casos do cotidiano é preciso estabelecer restrições sobre uma situ-ação, para que ela se torne verídica e consistente. Esse tipo de tratamento a noção de interatividade. Essa noção, por sua vez, pode ser definida em termos de uma distribuição de possibilidade conjunta (KLIR; YUAN, 1995)(DUBOIS; PRADE,1981)(ZADEH,1965;

ZADEH, 1975) (CARLSSON; FULLÉR; LENDER, 2004). Fuller e Majlender generaliza-ram o princípio de extensão de Zadeh, gerando conjuntos fuzzy mais gerais além daqueles dados pela operação do min como proposto por Zadeh.

Muitos pesquisadores têm estudado fórmulas e propriedades da extensão de operadores elementares como, por exemplo, a classe de números fuzzy com as operações de adição e a subtração (IGNÁCIO,2015),(DUBOIS; PRADE,1981), (CARLSSON; FULLÉR; LENDER,2004;BAETS; MARKOVÁ-STUPNANOVÁ,1997;FULLÉR; KERESZTFALVI,

1992;FULLÉR, 2014;HONG, 2002; KAWAGUCHI; DA-TE, 1994;MESIAR,1997). Uma abordagem bem conhecida na literatura para gerar uma distribuição de possibilidade conjunta para qualquer par de números fuzzy é baseado no produto cartesiano com respeito à t-norma (DIAMOND; KLOEDEN,2000). Neste trabalho, estamos propondo a utilização de uma família parametrizada de distribuições conjuntas para um par arbitrário de números fuzzy .

A Figura 1a seguir apresenta as etapas do desenvolvimento desse trabalho. No no item 1 temos a aplicação direta do princípio de extensão de Zadeh em uma função contínua f de um espaço X para espaço Y , gerando uma função fuzzy ˆf : FpXq Ñ FpY q.

Utilizando uma distribuição de possibilidade conjunta J no item 2 do Fluxograma da Figura 1, passamos a trabalhar com funções f definidas em Rn com contra domínio em R. Sob estas circunstâncias, no item 3 estabelecemos quais são as condições suficientes que devem incidir sobre J para termos que o contra domínio de ˆfJ seja a classe dos números

funções contínuas de R2 em R. Em particular, propomos uma família parametrizada de distribuições de possibilidade conjunta tais que a respectiva extensão sup-J de f associa pares de números fuzzy de RC_F a um conjunto fuzzy de RC_F, ondeRC_F denota a classe dos números fuzzy cujos extremos dos α-níveis formam funções contínuas de r0, 1s em R. Além disso, mostramos que a norma do número fuzzy fJγpA, Bq forma um mapeamento crescente

e contínuo com respeito à γ.

Este trabalho está organizado da seguinte forma. No primeiro Capítulo apresen-tamos os conceitos básicos de Lógica fuzzy, juntamente com alguns resultados importantes que se fazem necessários para a compreensão e desenvolvimento deste trabalho. No segundo Capítulo, vamos apresentar o princípio de extensão sup-J, juntamente com suas definições e alguns resultados, que estão listados nos itens 2 e 3 do Fluxograma da Figura 1. No terceiro Capítulo será apresentado uma família de distribuição de possibiliadade conjunta juntamente com as demostrações dos resultados listados no Capítulo 4, tais resultados aparecem no item 4 do Fluxograma da Figura 1. Apresentamos também algumas simula-ções realizadas que ilustram o teorema principal desta tese, Teorema 10. Encerramos no quinto Capítulo com as Conclusões e Considerações finais.

Princípio de Extensão de Zadeh f : X Ñ Y ˆ f : FpXq Ñ FpY q 1 X  Rn e Y  R J :pRFqn Ñ FpRnq Princípio de Extensão Sup-J ˆ fJ :pRFqnÑ FpRnq ˆ fJ : ˆf  J 2 Condições sufici-entes: Corolário 4, Teorema 7, Corolá-rio 5e Corolário 6. ˆ fJ : pRFqn Ñ RF 3 Construção de uma família de extensões: Teorema 8, Teorema 9 e Teorema 10. ˆ fJγ :R C FRCF Ñ RCF 4

1 Conceitos Básicos

Neste capítulo apresentamos os conceitos fundamentais que usaremos neste trabalho. Este capítulo está organizado da seguinte forma: Primeiro, vamos relembrar algumas definições e conceitos básicos concernentes à classe de conjuntos fuzzy, juntamente com suas operações, depois vamos definir o conceito de α-níveis, e rever as notações de relações fuzzy e suas propriedades, em seguida, o conceito de números fuzzy, e finalmente, vamos apresentar alguns conceitos e resultados importantes do Cálculo e da Análise que serão utilizados no decorrer deste trabalho.

1.1

Conjuntos Fuzzy

Seja X um conjunto arbitrário e Y um subconjunto de X, a função característica de Y é dada por:

XYpxq 

#

0 se x R Y

1 se x P Y , @x P X. (1.1)

A função XY caracteriza os elementos do conjunto clássico Y (Em particular,

temos que XYpxq  0, se o elemento não pertence ao conjunto e XYpxq  1, caso o elemento

xP X pertença ao conjunto). Assim, o domínio da função XY está restrita ao conjunto {0,

1}. Note que, a função característica descreve completamente o conjunto Y .

É comum encontrarmos casos onde a relação entre os elementos de um conjunto não é tão precisa como a apresentada anteriormente. Casos onde um elemento possa pertencer de forma parcial à um dado conjunto. Por exemplo, consideremos o subconjunto dos números reais próximos de 2.

A  tx P R; x é próximo de 2u.

A pergunta em questão é: O número 5 e o número 2, 001 pertencem a A? A resposta dessa pergunta é incerta, pois não sabemos dizer o que é estar próximo de 2. A única afirmação que podemos fazer é que o número 2, 001 está mais próximo de 2 do que o número 5. Dessa forma, o número 2, 001 pertence a A com um grau de pertinência maior que o número 5.

Pensando dessa forma, Zadeh propõe uma flexibização no conjunto imagem da função característica, dando a possibilidade de um elemento pertencer parcialmente a um dado conjunto fuzzy (ZADEH, 1965).

Definição 1. Seja X um conjunto clássico. Um subconjunto fuzzy A de X é caracterizado

por uma função de pertinência

ϕApXq : X Ñ r0, 1s. (1.2)

Esta função é chamada de função de pertinênica do subconjunto fuzzy A. O valor ϕApxq da função é interpretado como o grau com que o elemento x está contido

no conjunto fuzzy A, ou seja, ϕApxq  0 indica a não pertinência do x a A, e ϕApxq  1

indica pertinência total ao conjunto A.

Um conjunto fuzzy também pode ser representado por um conjunto clássico de pares ordenados:

A tpx, ϕApxqq, com x P Xu.

Desta forma, podemos dizer que um subconjunto Y de X é um conjunto fuzzy de X, cuja função de pertinência é dada por sua correspondente função característica.

Por simplicidade, utilizaremos a notação Apxq ao invés de ϕApxq. Denotaremos

por FpXq a classe de todos os subconjuntos fuzzy de X .

1.2

Operações Entre Conjuntos Fuzzy

Assim como na lógica clássica, a lógica fuzzy também utiliza alguns operadores lógicos, por exemplo o operador conjunção (e) e a disjunção (ou), que na lógica fuzzy são substituidos pelos respectivos operadores min (mínimo) e max (máximo), ou mais geral, por t-normas ou s-normas.

Sejam A e B dois conjuntos fuzzy do espaço X, com suas respectivas funções de pertinência Apxq e Bpxq. Dizemos que A está contido em B, isto é, A € B se, e somente se, Apxq ¤ Bpxq para todo x P X. Além disso, A  B, se e somente se, Apxq  Bpxq para todo x P X. As funções de pertinência do conjunto vazio e do conjunto universo X serão indicados por Hpxq  0 e Xpxq  1 para todo x P X, respectivamente.

Definição 2. As funções de pertinência que representam a União, Intersecção e

Comple-mentar dos conjuntos fuzzy A e B , são dadas respectivamente por:

pA Y Bqpxq  max xPU tApxq, Bpxqu pA X Bqpxq  min xPUtApxq, Bpxqu A1pxq  1
Apxq, para todo xP X.

Na lógica fuzzy um dado elemento pode pertencer a um conjunto, mas também pode pertencer ao seu complementar com graus de certeza diferentes. Esta é a grande diferença entre a teoria fuzzy e a teoria clássica de conjuntos: a lei do meio excluído é satisfeita na teoria clássica enquanto que na teoria fuzzy não. Por exemplo, se Apxq  0.5, para todo x P X, temos que pA X A1qpxq  0.5  0, para todo x P X.

1.3

O Conceito de α

níveis

Um subconjunto fuzzy A de X é caracterizado por elementos do seu universo com seus respectivos graus de pertinência. Dizemos que um determinado elemento x está no α-nível de A, se seu grau de pertinência é maior ou igual a αP p0, 1s. A definição mais precisa de α-níveis é dada a seguir (BARROS; BASSANEZI, 2010).

Definição 3. Seja A um subconjunto fuzzy de X e α P p0, 1s. O α-nível de A é o

subconjunto de X definido por:

rAsα _{ tx P X; Apxq ¥ αu.}

Se adicionalmente X é um espaço topológico, o nível zero de um subconjunto

fuzzy A é definido como sendo o fecho do conjunto suporte de A, isto é

rAs0 _{ supppAq,}

em que

supppAq  tx P X; Apxq ¡ 0u.

Definição 4. Um subconjunto fuzzy é dito normal se rAs1  H.

Proposição 1. (KLIR; YUAN,1995) Seja X um universo não vazio e sejam A, BP FpXq. As seguintes sentenças são verdadeiras:

1. A B ô rAsα  rBsα,@α P p0, 1s; 2. A„ B ô rAsα „ rBsα, @α P p0, 1s; 3. Para todo xP X, temos que:

Apxq  suptα P p0, 1s ; x P rAsαu; (1.3)

onde, por definição supH  0.

Exemplo 1. Seja A um subconjunto fuzzy de R com a seguinte função de pertinência: Apxq  $ ' & ' % x
1 se 1 ¤ x ¤ 2 3
x se 2   x   3 0 se xR r1, 3q

Neste caso, temos: rAsα  rα 1, 3
αs para 0   α ¤ 1 e supppAq  p1, 3q 

r1, 3s.

A Figura 2 ilustra a função de pertinência de A, e um dado α-nível de A.

Figura 2 – α-nível de A.

Fonte: o autor

1.4

Conceitos Básicos de Conjuntos

L-Fuzzy

Um conjunto parcialmente ordenado é um conjunto não vazio P com uma relação de ordem parcial ¤, que é reflexiva, transitiva e anti simétrica (GRÄTZER, 1971). O conjunto resultante é denotado por pP, ¤q ou simplesmente por P , se a relação de ordem é clara no contexto. Se x ¤ y para x, y P P , então dizemos que x é menor ou igual a y ou, equivalentemente, y maior ou igual a x. Seja X „ P , um elemento l P P é dito ser

limitante inferior de X se l ¤ x, para todo x P X. Analogamente, u P P é dito ser um limitante superior de X se x¤ u, para todo x P X. O ínfimo e supremo de X „ P , quando

existem, são definidos respectivamente como sendo o maior dos limitantes inferiores de X e como o menor dos limitantes superiores de X. Vamos utilizar os simbolos ©X e ªX

para denotar o ínfimo e supremo de X „ P , respectivamente. No caso em que X  tx, yu, vamos escrever x_ y e x ^ y ao invés de ªX e ©X, respectivamente. Além disso, se X  txi{i P Iu, em que I é um conjunto de índices, então denotaremos por

© iPI xi e ª iPI xi ao invés de ©X e ªX, respectivamente.

Se todo subconjunto finito X de um conjunto ordenadoL tem ínfimo e supremo em L, então L é dito ser um reticulado (BIRKHOFF, 1993). Todavia, um reticulado L

é chamado de limitado se ©L P L e ªL P L. Um reticulado L é completo se todo subconjunto (finito ou infinito) de L tem um ínfimo e um supremo em L. Em particular, todo reticulado completo é limitado (BIRKHOFF,1993). SejaL um reticulado completo, se 0_L e 1_L denotam respectivamente ©L e ªL, então definimos 1_L ©H e 0_LªH.

Um reticulado pL, ¤q é chamado de corrente ou chain se temos x ¤ y ou y ¤ x para todo x, y P L. Neste caso, ¤ é dito uma ordem total. Se L é um reticulado completo então, dizemos que L é uma corrente completa. O intervalo r0, 1s representa um exemplo de corrente completa.

Seja pLi,¤iq um reticulado, (limitado ou completo) para todo i  1, . . . , n, o

produtoL  L1. . .Ln também representa respectivamente, um reticulado (limitado ou

completo), onde x¤ y ô xi ¤ yi, para todo i 1, . . . , n e para x, y P L. Adicionalmente,

L é chamado de produto de reticulados constituido por L1, . . . ,Ln. No caso onde Li  M,

para todo i  1, . . . , n, o simbolo Mn representaL1 . . .  Ln.

Se X é um universo arbitrário epL, ¤q é um reticulado completo, então a classe de funções X Ñ L, denotado pelo simbolo LX, é um reticulado completo com a ordem parcial dada por „, ponto a ponto para todo A, B P LX (BIRKHOFF, 1993), como se segue.

A„ B ô Apxq ¤ Bpxq, @ x P X. (1.4)

Os operadores de ínfimo e supremo em LX também são definidos ponto a ponto. Especialmente para A „ LX, temos que C  ©A e D  ªA são dados para todo

xP X como abaixo: Cpxq  © APA Apxq e Dpxq  ª APA Apxq. (1.5)

Em teoria de conjuntos L-fuzzy, o reticulado completo LX representa a classe de conjuntos L-fuzzy em um universo arbitrário X (GOGUEN, 1967). Mais precisamente, o conjunto L-fuzzy A em X pode ser visto como uma função de X para L chamada de

função de pertinência, onde o valor de Apxq representa o grau de pertinência de x P X em A.

Se X é finito, ou seja, X  tx1, . . . , xnu, o conjunto A de L-fuzzy pode ser

identificado como um vetor pApx1q, . . . , Apxnqqt P Ln. O conceito de intersecção e união

de conjuntos L-fuzzy são baseados nos operadores ínfimo e supremo, respectivamente. Note que a classe de conjuntos L-fuzzy extende a noção de subconjuntos crisp de X. Especificamente, cada conjunto crisp Y „ X é unicamente associado com o conjunto

L-fuzzy XY dada pela seguinte função característica:

XYpxq 

#

0_L se xR Y

1_L se xP Y , @x P X. (1.6)

Em particular, o caso em que L é o intervalo r0, 1s, temos a classe de conjuntos

fuzzy, isto é, FpXq  r0, 1sX (ZADEH, 1965). De agora em diante, focaremos somente na classe de conjuntos fuzzy.

Proposição 2. Seja L um reticulado, então para quaiquer a, b, c, d P L valem:

(a) Se a¤ b, então a _ b  b e a ^ b  a. (b) Se a¤ b e c ¤ d, então a _ c ¤ b _ d e a ^ c ¤ b ^ d. (c) Se a¤ b então a _ c ¤ b _ c, e a ^ c ¤ b _ c. (d) a_ a  a e a ^ a  a. (e) a^ b  a _ b ô b  a. (f) a_ b  b _ a e a ^ b  b ^ a. (g) pa _ bq _ c  a _ pb _ cq e pa ^ bq ^ c  a ^ pb ^ cq. (h) a_ pb ^ cq ¤ pa _ bq ^ pa _ cq e pa ^ bq _ pa ^ cq ¤ a ^ pb _ cq. (i) a_ pa ^ bq  a e a ^ pa _ bq  a.

A demostração da Proposição 2 pode ser encontrada em (BIRKHOFF, 1993).

Teorema 1. Seja L um reticulado completo totalmente ordenado. Dado Y „ L, para todo

Y1,   , Yi „ L tais que Y 

¤

iPI

Yi, em que I é um conjunto de índices não vazio, temos

que: (a) ªY ª iPI pªYiq. (b) ©Y © iPI p©Yiq.

Demonstração. (a) Como Yi „ Y , temos que

ª

Yi ¤

ª

Y, para iP I, isso implica que, ª

iPI

pªYiq ¤

ª

Y.

Seja y P Y , existe i P I tal que y P Yi, o que implica que y¤

ª Yi ¤ ª iPI pªYiq. Isso implica que ª iPI

pªYiq é um limitante superior de Y , ou seja,

ª

Y ¤ª

iPI

pªYiq.

Logo, segue que ªY ª

iPI

(b) A prova do item b é similar à apresentada no item a.

1.5

Relações Fuzzy

Como a teoria de conjuntos fuzzy generaliza a classe de conjuntos crips (conjuntos clássicos), o conceito de relação pode ser estendido através da teoria fuzzy. Uma relação

fuzzy de um conjunto X para outro conjunto Y é dada por um conjunto fuzzy em X Y ,

que é representado por uma função R : X  Y Ñ r0, 1s. O valor de Rpx, yq pode ser interpretado como o grau de relacionamento entre x e y para px, yq P X  Y (Di Nola et al., 1989).

A noção de relação fuzzy pode ser estendida para um produto de n universos, como se segue.

Definição 5. (BARROS; BASSANEZI,2010) Uma relação fuzzy R, sobre U1U2. . .Un

é qualquer subconjunto do produto cartesiano. Se o produto cartesiano for formado por apenas dois conjuntos, U1 U2 a relação é chamada de relação binária fuzzy sobre U1 U2.

Se U1  U2  . . .  Un U, diz-se que R é uma relação sobre Un. Assim, uma relação R

é caracterizada por sua função de pertinência R : U1 U2 . . .  UnÑ r0, 1s.

Se a função de pertinência da relação for indicada por R, então o valor de Rpx1, x2, . . . , xnq P r0, 1s, indica o grau com que os elementos xi estão relacionados entre

si, segundo a relação fuzzy R.

Definição 6. (BARROS; BASSANEZI,2010) O produto cartesiano dos subconjuntos fuzzy Ai P FpUiq, i  1, . . . , n é a relação fuzzy A1 A2 . . .  An, cuja função de pertinência

é dada por

pA1 A2 . . .  Anqpx1, x2, . . . , xnq  A1px1q ^ A2px2q ^ . . . ^ Anpxnq,

em que ^ representa o mínimo.

As relações fuzzy surgem em vários contextos e podem, por exemplo, ser utilizadas para auxiliar em diagnósticos médicos (BARROS; BASSANEZI, 2010).

Definição 7. Sejam R e S duas relações fuzzy binárias em FpX  Y q e FpY  Zq,

respectivamente. A composição R_^S é uma relação fuzzy binária em FpX  Zq cuja

função de pertinência é dada por

R_^Spx, zq ª

yPY

Neste trabalho, utilizaremos apenas composição relacional fuzzy do tipo sup-t, para isso, vamos primeiramente definir uma t-norma.

Definição 8. Um operador t :r0, 1s  r0, 1s Ñ r0, 1s, sendo tpx, yq  xty, é uma t-norma se satisfaz as seguintes condições:

1. Elemento neutro: t(1, x)= 1t x = x;

2. Comutativadade: t(x, y)= x t y = y t x= t(y, x); 3. Associativadade: x t(y t z)= (x t y) t z;

4. Monotonicidade: se x¤ u e y ¤ v, então xty  utv;

A seguir apresentamos algumas das t-normas mais utilizadas. 1. t-norma do mínimo: ^px, yq  mintx, yu 2. t-norma do produto: tpx, yq  x.y 3. Lukasiewicz: tLpx, yq  maxt0, x y
1u.

A composição sup-tptq de duas relações fuzzy R P FpX  Y q e S P FpY  Zq

corresponde a seguinte relação fuzzy RtS P FpX  Zq (KLIR; YUAN, 1995):

pR tSqpx, zq 

ª

yPY

Rpx, yq t Spy, zq @x P X e @z P Z. (1.7)

A composição sup-t de uma relação fuzzy R P FpX  Y q e um conjunto S P FpY q produz o seguinte conjunto fuzzy R tS P FpXq (KLIR; YUAN, 1995):

pR tSqpxq 

ª

yPY

Rpx, yq t Spyq @x P X. (1.8)

Vamos utilizar o símbolo _^ se a t-norma empregada é a do mínimo.

Definição 9. Seja R uma relação fuzzy binária sobre X  X. Então, para quaisquer x, y

e z de X, a relação fuzzy R é dita

1. reflexiva: se Rpx, xq  1;

3. transitiva: se Rpx, zq ¥ Rpx, yq ^ Rpy, zq;

4. anti-simétrica: se Rpx, yq ¡ 0 e Rpy, xq ¡ 0 implicaque x  y.

A relação reflexiva denota a máxima relação entre o indivíduo com ele mesmo. A relação simétrica caracteriza a relação de mesma intensidade entre os indivíduos. A relação transitiva denota que a relação entre dois indivíduos não pode ser simultanêamente menor que cada um deles juntamente com os demais. Por fim, a relação anti-simétrica não admite qualquer reciprocidade entre indivíduos distintos.

Outro importante conceito que vamos utilizar neste trabalho consiste na proje-ção de relações fuzzy (KLIR; YUAN,1995; PEDRYCZ; GOMIDE,2007).

Definição 10. Seja R uma relação fuzzy em FpX  Y q. A projeção de R em X é o conjunto fuzzy ΠX_R P FpXq dado por

ΠX_Rpxq  ª

yPY

Rpx, yq, @x P X.

A projeção de uma relação fuzzy R em Y é o conjunto fuzzy ΠY_R P FpY q dado por

ΠY_Rpyq  ª

xPX

Rpx, yq, @y P Y.

De forma geral, a projeção de uma relação fuzzy n-ária RP FpX1 . . .  Xnq

em Xi com 1¤ i ¤ n, é o conjunto fuzzy ΠiR de Xi dado por

Πi_Rpxiq 

ª

xjPXj,ji

Rpx1, . . . , xnq, @xi P Xi. (1.9)

1.6

Números Fuzzy

Em muitos casos na matemática tratamos de quantidades imprecisas que muitas vezes são utilizadas para quantificar conceitos incertos tais como estar em torno do número 2. Tais conceitos podem ser modelados por uma classe especial de conjuntos fuzzy de R, denominada de números fuzzy que consiste na generalização dos números reais. Neste capítulo, vamos rever alguns conceitos de números fuzzy (BEDE, 2013; GOETSCHEL; VOXMAN, 1986).

Definição 11. (KALEVA, 1990) Um conjunto fuzzy A de R é dito ser um número fuzzy se A satisfaz as seguintes propriedades:

(b) A é convexo fuzzy , i.e., Apβx p1
βqyq ¥ Apxq ^ Apyq para todo x, y P R e β P r0, 1s;

(c) A é semicontínua superiormente em R, i.e., para todo x0 P R e todo  ¡ 0 existe

δ ¡ 0 tal que Apxq
Apx0q    para |x
x0|   δ;

(d) A é suporte compacto, i.e., rAs0  tx ; Apxq ¡ 0u é compacto.

O conjunto de números fuzzy será denotado pelo símbolo RF.

Note que R é um caso particular de RF porque X_txu P FpRq é um número

fuzzy para todo xP R. A próxima proposição apresenta uma definição equivalente para

números fuzzy em termos dos α-níveis (KALEVA, 1990).

Proposição 3. (KALEVA,1990) Dado um número fuzzy A, se Mα  rAsα para αP r0, 1s, então a família de intervalos tMα; αP r0, 1su satisfaz as seguintes propriedades:

(a) Mα é um intervalo fechado e não vazio para todo αP r0, 1s; (b) Mα „ Mβ para 0¤ β ¤ α ¤ 1;

(c) para qualquer sequência pαnq que converge por baixo para α P p0, 1s, temos que;

8

£

n1

Mαn  Mα_;

(d) para qualquer sequência pαnq que converge por cima para 0, temos que;

cl  ₈ ¤ n1 Mαn   M0_.

Reciprocamente, se tMα; α P r0, 1su é uma família de intervalos reais que

satisfaz as propriedades de (a)-(d) da proposição acima, então existe um único A P RF tal

que Mα  rAsα para todo αP r0, 1s.

Como os α-níveis de números fuzzy A são intervalos fechados e não vazios pela Proposição 3, cada AP RF pode ser associado a um par de funções definidos de r0, 1s em

R, como se segue.

Definição 12. Dado A P RF, as funções LA, RA:r0, 1s Ñ R são definidas por:

LApαq  © rAsα _{e R} Apαq  ª rAsα_{. (1.10)} para cada α P r0, 1s.

Note que, das propriedades (a) e (b) da Proposição 3, temos que rAsα  rLApαq, RApαqs, onde LA é uma função não decrescente e RA é uma função não crescente.

Podemos ainda escrever cada elemento do α-nível da seguinte forma: rLApαq, RApαqs : raα1, a

α

2s.

Vejamos alguns exemplos de números fuzzy.

Definição 13. (BARROS; BASSANEZI, 2010) Um número fuzzy A é dito trapezoidal se sua função de pertinência é da forma:

Apxq  $ ' ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ' % x
a b
a se a¤ x   b 1 se b¤ x ¤ c d
x d
c se c  x ¤ d 0 caso contrário

para a, b, c, d P R com a ¤ b ¤ c ¤ d. Neste caso, denotamos A por pa; b; c; dq. A Figura 3 ilustra um conjunto fuzzy trapezoidal. Além disso, os α-níveis de A possuem a seguinte forma. raα 1, a α 2s  rpb
aqα a, pc
dqα ds. (1.11) para todo α P r0, 1s.

Figura 3 – Número fuzzy trapezoidal. Fonte: o autor

Quando tomamos b c no número fuzzy trapezoidal, obtemos o número fuzzy triangular, que é ilustrado na Figura 4. Neste caso, A será denotado por A : pa; u; bq. Os

α-níveis do número fuzzy triangular possuem a seguinte forma.

raα

1, aα2s  rpu
aqα a, pu
bqα bs (1.12)

Figura 4 – Número fuzzy triangular. Fonte: o autor

Exemplo 2. O conjunto fuzzy dos adolescentes pode ser representado pelo número fuzzy

trapezoidal, dado pela função de pertinência da equação abaixo

Apxq  $ ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' % x
11 3 se 11¤ x   14 1 se 14¤ x ¤ 17 20
x 3 se 17  x ¤ 20 0 caso contrário

Figura 5 – Número fuzzy trapezoidal para o conjunto fuzzy dos adolescentes. Fonte: o autor

Na Figura 5 podemos observar o comportamento do conjunto fuzzy dos adoles-centes.

A próxima proposição declara que RF pode ser totalmente caracterizado com

um conjunto de pares de funções (BEDE,2013;GOETSCHEL; VOXMAN, 1986).

Proposição 4. Seja A um número fuzzy. Se LA, RA:r0, 1s Ñ R são definidas como em

(1.10), então as seguintes propriedades são verdadeiras:

(a) LA é uma função limitada e não decrescente, e mais, LA é uma função contínua à

(b) RA é uma função limitada e não crescente, e mais, RA é uma função contínua à

esquerda em p0, 1s e contínua à direita em 0; (c) LAp1q ¤ RAp1q.

Reciprocamente, se LA e RA são duas funções de r0, 1s para R que satisfazem

as propriedades de (a)-(c) da Proposição 4, então, existe um único número fuzzy A tal que

rAsα _{ rL}

Apαq, RApαqs para todo α P r0, 1s.

Teorema 2. (BARROS, 1997) Um conjunto fuzzy A de R é um número fuzzy se e somente se, rAsα é um intervalo fechado, limitado e não vazio para todo αP r0, 1s. Demonstração. Por um lado temos que, se A é um número fuzzy, a Proposição 3 nos garante que rAsα é um intervalo fechado e não vazio, para todo αP r0, 1s.

Por outro lado, sabemos que rAsα é um intervalo fechado, limitado e não vazio, para todo αP r0, 1s. Tomemos L, R : r0, 1s Ñ R, dados por:

Lpαq ©rAsα e Rpαq ªrAsα,@α P r0, 1s.

Note que, Lp1q ¤ Rp1q, e que pela definição de α-níveis, L e R são funções não decrescente e não crescente, ambos seguem do fato que rAsα „ rAsβ se 0 ¤ β ¤ α ¤ 1, respectivamente. Contudo, L e R são limitadas, pois rAs0 é limitada.

Tomemos α P r0, 1s e pαkq como sendo um sequência tal que 0 ¤ αk ¤ αk 1¤ α

com αk Ñ α quando k Ñ 8. Utilizando a monotocidade da função L temos, Lpαkq ¤

Lpαk 1q ¤ Lpαq e então yα
 lim_kÑ8Lpαkq ¤ Lpαq. Suponhamos que y
α   Lpαq para

y P py_α
, Lpαqq, temos que αk ¤ Apyq   α, @k P N. Como cada rAsαk é um intervalo

fechado, temos a seguinte contradição; α lim

kÑ8αk ¤ Apyq   α. Portanto, L é contínua à

esquerda em (0,1]. Similarmente, podemos provar a continuidade à esquerda de R em (0,1]. Finalmente, tomemos pαkq como sendo uma sequência tal que 0 ¤ αk 1 ¤ αk ¤

1 e αk Ñ 0 quando k Ñ 8. Temos que Lp0q P rAs0 pois, rAs0 é um intervalo fechado.

Contudo, utilizando a monocidade da L temos que, Lp0q ¤ lim

kÑ8Lpαkq  yα. Se Lp0q   yα,

então Lp0q R clty; Apyq ¡ 0u  rAs0, contradizendo o fato de que Lp0q P rAs0. Assim,

Lp0q  lim

kÑ8Lpαkq e, portanto, L é contínua à direita em 0. Analogamente, podemos provar

que R é contínua à direita em 0.

Portanto, de acordo com a Proposição 4, A é um número fuzzy .

Proposição 5. Seja RC_F o subconjunto dos números fuzzy dado por

RC

O conjunto RC_F com a métrica de Pompeiu-Hausdorff, que será definida em (1.14), forma um espaço métrico completo e separável, mais detalhes pode ser encontrado

em (BEDE, 2013).

Teorema 3. Seja AP RC_F, temos que:

(a) rAs0  rLAp0q, LAp1qs Y rAs1 Y rRAp1q, RAp0qs.

(b) Se zP rLAp0q, LAp1qs, então LApApzqq  z.

(c) Se zP rRAp1q, RAp0qs, então RApApzqq  z.

Demonstração. (a) Seja z P rAs0. Se Apzq  1, então z P rAs1. Agora Apzq   1, então

z R rAs1, o que resulta que zP rAs0zrAs1, ou seja,

z P rAs0zrAs1. Temos que rAs0_zrAs1 _{ rL} Ap0q, RAp0qszrLAp1q, RAp1qs  rLAp0q, LAp1qs Y rRAp1q, RAp0qs „ rLAp0q, LAp1qs Y rRAp1q, RAp0qs.

Logo, temos que rAs0 P rLAp0q, LAp1qs Y rAs1Y rRAp1q ¤ RAp0qs. Em contra partida,

temos que rLAp0q, LAp1qs „ rLAp0q, RAp0qs  rAs0, pois LAp0q ¤ LAp1q ¤ RAp1q ¤

RAp0q. Também temos, rLAp1q, RAp1qs  rAs1 „ rAs0. E por fim,rRAp1q, RAp0qs „

rLAp0q, RAp0qs  rAs0. Desta forma,rAs0 … rLAp0q, LAp1qs Y rAs1Y rRAp1q, RAp0qs.

(b) Suponhamos que α Apzq, isso implica que z P rAsα, ou seja, z R rAsβ com β ¡ α, ou ainda, z R rLApβq, RApβqs, β ¡ α. Se LApαq  z, ou seja, LApαq   z ¤ LApβq,

para todo β ¡ α. Seja pβnq com βn ¡ α tal que βn Ñ α quando n Ñ 8. Desta

forma, z ¤ lim

nÑ8LApβnq  LApαq   z, o que é uma contradição, pois por hipótese

LApαq  z. Logo, LApαq  z, o que resulta em LApApzqq  z com α  Apzq.

(c) Suponhamos que α Apzq, isso implica que z P rAsα, ou seja, z R rAsβ com β ¡ α, ou ainda, z R rLApβq, RApβqs, β ¡ α. Se RApαq  z, ou seja, RApαq   z ¤ RApβq,

para todo β ¡ α. Seja pβnq com βn ¡ α tal que βn Ñ α quando n Ñ 8. Desta

forma, z ¤ lim

nÑ8RApβnq  RApαq   z, o que é uma contradição pois, por hipótese

Proposição 6. (BARROS; BASSANEZI,2010) Sejam A e B números fuzzy com α
níveis dados respectivamente por, rAsα  raα₁, aα₂s e rBsα  rbα₁, bα₂s, @α P r0, 1s. As seguintes operações aritméticas podem ser definidas, como se segue:

• A soma entre A e B é o número fuzzy A B cujos α
níveis são:

rA Bsα _{ rAs}α _rBsα _{ ra}α 1 b α 1, a α 2 b α 2s;

• A diferença entre A e B é o número fuzzy A
B cujos α
níveis são: rA
Bsα _{ rAs}α
_rBsα _{ ra}α 1
b α 2, a α 2
b α 1s;

• A multiplicação de um escalar λ por A é o número fuzzy A cujos α
níveis são: rλAsα _{ λrAs}α _ # rλaα 1, λa α 2s se λ ¥ 0 rλaα 2, λa α 1s se λ   0;

• A multiplicação entre A e B é o número fuzzy A B cujos α
níveis são: rA  Bsα _{ rAs}α_{ rBs}α _{ rminP, maxP s;}

onde P  taα₁  bα₁, aα₁  bα₂, aα₂  bα₁, aα₂  bα₂u.

• Se 0R rBs0_{, então a divisão entre A e B é o número fuzzy A{B cujos α
níveis são:}

 A B α  _rBsrAsα_α  raα 1, a α 2s   1 bα 2 , 1 bα 1  .

Exemplo 3. Sejam A e B dois números fuzzy dados respectivamente porp1; 2; 3q e p3; 4; 5q,

que por sua vez indicam respectivamente "aproximadamente 2" e "aproximadamente 4". Observemos que de acordo com a Equação (1.12), temos

rAsα _{ r1 α, 3
αs e rBs}α _{ r3 α, 5
αs, @α P r0, 1s.}

De acordo com a Proposição 6, temos:

rA Bsα _{ rAs}α _rBsα_{ r4 2α, 8
2αs, @α P r0, 1s.}

O que implica que, A B  p4; 6; 8q. Além disso, temos que

rA
Bsα _{ rAs}α
_rBsα _{ r
4 2α,
2αs, @α P r0, 1s.}

A multiplicação de A por 4 é dada por

r4Asα _{ 4rAs}α _{ r4 4α, 12
4αs, @α P r0, 1s.}

E, portanto, 4A p4, 8, 12q.

O produto A B e a divisão A{B são os números fuzzy dados pelos os α-níveis

rA  Bsα _{ rAs}α_{ rBs}α _{ rp1 αq  p3 αq, p3
αq  p5
αqs, @α P r0, 1s.} e  A B α  rAs_rBsα_α  rp1 αq{p5
αq, p3
αq{p3 αqs, @α P r0, 1s.

Note que os números fuzzy obtidos, respectivamente, pela multiplicação e divisão não são triangulares. Embora, na soma, na subtração e na multiplicação por escalar, o resultado é um número fuzzy triangular.

1.7

Métrica e Norma de um Número Fuzzy

Um outro fato conhecido é que o conjunto de números fuzzy com a distância de Pompeiu-Hausdorff produz um espaço métrico completo (BEDE, 2013). A distância entre números fuzzy é baseada na distância entre subconjuntos compactos de R, e a classe de conjuntos compactos não vazios de R é denotada por K.

Definição 14. Sejam A, B dois conjuntos compactos não vazios de R. A separação de

Hausdorff de B a partir de A é dada por:

ρpA, Bq  sup αPA dpa, Bq, em que dpa, Bq  inf bPB||a
b||.

Além disso, a distância de Pompeiu-Hausdorff entre A e B é dada por

dHpA, Bq  maxtρpB, Aq, ρpA, Bqu. (1.13)

Os conjuntos dos subconjuntos compactos de R formam um espaço métrico com a distância de Pompeiu-Hausdorff.

Definição 15. Dizemos que a distância de Pompeiu-Hausdorff em RF é a função d₈ :

RF  RF Ñ r0, 8q dada por

d₈pA, Bq  sup

αPr0,1s

dHprAsα,rBsαq  sup αPr0,1s

Para o caso onde os conjuntos fuzzy são A e B intervalos, digamos, que

A  ra1, a2s e B  rb1, b2s, então a distância de Pompeiu-Hausdorff é dada por

d₈pA, Bq  sup

aPr0,1s

maxt|aα₁
bα₁|, |aα₂
bα₂|u  maxt|a1
b1|, |a2
b2|u. (1.15)

pois aα
 a1, aα  a2, bα
 b1 e bα  b2 para todo αP r0, 1s.

Proposição 7. (BEDE, 2013) O conjunto de números fuzzy RF com a distância de

Pompeiu-Hausdorff d₈ forma um espaço métrico completo.

A norma dos números fuzzy é uma função ||  || : RF Ñ r0, 8q dada por

||A||  d8pA, X p0qq, para todo A P RF. (1.16)

1.8

Outros Resultados Úteis

O próximo Lema e o Corolário apresentados são ferramentas necessárias para as próximas demonstrações deste trabalho.

Lema 1. Seja R : R Ñ K uma função contínua com respeito a métrica de

Pompeiu-Haursdorff, tal que, Rpxq  H para todo x P R, e seja g : R2 Ñ R uma função contínua. As funções m :R Ñ R e M : R Ñ R dadas por:

M(x)= ª

yPRpxq

gpx, yq e m(x)= ©

yPRpxq

gpx, yq, @x P R são funções bem definidas e contínuas.

Demonstração. Inicialmente vamos provar a continuidade de M .

Como Rpxq P K, o teorema do valor extremo de Weierstrass nos garante que a gpx, q é limitada no compacto Rpxq P K, e que existe yx P Rpxq tal que Mpxq 

gpx, yxq, @x P R. Portanto, M é bem definida.

Agora, suponhamos que M não seja contínua em x, isto é, existe  ¡ 0 tal que para todo δ ¡ 0 existe z satisfazendo |x
z| ¤ δ tal que |Mpxq
Mpzq| ¥ .

Tomando δn  1{n, obtemos uma sequência de pznq tal que |Mpxq
Mpznq| ¥ .

Supondo que a sequência pznq possui uma subsequência pznkq de tal forma que Mpxq ¡

Mpznkq. Logo, temos Mpxq
 ¡ Mpznkq para todo k. Como por hipótese g é contínua,

existe ρ ¡ 0 tal que |gpx, yxq
gpz, yq|   , para todo y e z satisfazendo |y
yx|   ρ e

|x
z|   ρ.

Como a função R é contínua na métrica de Pompeiu-Hausdorff, dado ρ ¡ 0 e x P R, existe τ ¡ 0 tal que |z
x|   τ ñ d₈pRpzq, Rpxqq   , para todo z. Assim

d₈pRpzq, Rpxqq   ª yPRpxq  © ¯ yPRpzq |y
¯y|  ª ª ¯ yPRpzqq  © yPRpxq |y
¯y|    . Assim existe

y P Rpzq tal que |y
yx|    e para z satisfazendo |z
x|   τ. Para k suficientemente grande

temos que |znk
x|   τ ^ ρ. Isso implica que, existe ynk P Rpznkq tal que |ynk
yx|   ρ o

que implica em |gpznk, ynkq
gpx, yxq|   , ou seja,
   gpx, yxq
gpznk, ynkq   , o que

implica que, Mpxq
   gpznk, ynkq    Mpxq, pois gpx, yxq  Mpxq, o que produz a

seguinte contradição: Mpznkq   Mpxq
   Mpznkq.

Suponhamos agora que exista pznkq tal que Mpznkq ¡ Mpxq . Seja ynk P

Rpznkq tal que Mpznkq  gpznk, ynkq. Como R é contínua e Rpzq é compacto para todo

z P R, temos que R é limitada em rx
, x s. Isso implica que pynkq é limitada. Assim,

existe uma subsequência pynkpq „ pynkq tal que ynkp Ñ ¯y. Novamente, como R é contínua,

segue que ¯y P Rpxq, pois, znkp Ñ x quando p Ñ 8. Pela continuidade de g, para p

suficientemente grande temos |gpznkp, ynkpq
gpx, ¯yq|    ñ
   gpznkp, ynkpq
gpx, ¯yq  

ñ gpx, ¯yq
   Mpznkpq  gpznkp, ynkpq   gpx, ¯yq  ¤ Mpxq , o que produz a seguinte

contradição: Mpxq    Mpzn_kpq   Mpxq . Portanto M não pode ser descontínua em

x.

De maneira similar, prova-se a continuidade de m.

Como consequência deste Lema, obtemos o Corolário 1, com a continuidade de funções em R.

Corolário 1. Seja g:R2 Ñ R e l, r: R Ñ R funções contínuas. Se l ¤ r, i.e. l(x) ¤ r(x)

para todo x P R, então as funções M, m: R Ñ R dadas por: M(x)= ª

yPrlpxq,rpxqs

gpx, yq e m(x)= ©

yPrlpxq,rpxqs

gpx, yq, @x P R são funções bem definidas e contínuas.

A demonstração do Corolário 1 pode ser encontrada em (ESMI et al.,2017) ou (IGNÁCIO, 2015).

Teorema 4. (KLEMENT; MESIAR; PAP, 2000) Seja panq, pbnq P r0, 1s tal que an Ñ a

e bnÑ b quando n Ñ 8, com an ¥ a e bn¥ b para todo n. Se t é uma t-norma contínua

à direita então, ant bn Ñ a t b quando n Ñ 8.

Demonstração. Por hipótese temos que an Ñ a e bn Ñ b, quando n Ñ 8, ou seja, as

sequências são convergentes. Dado M P N, existe M0 P N, tal que bn ¤ bM, para todo

n ¥ M0. Assim, pela monotocidade de t temos bnt an ¤ bMt an, e como b ¤ bn, também

pela monotocidade da t segue que b t a¤ bnt an ¤ bMt an. Tomando o limite das sequências

e pela continuidade à direita de t temos, b t a¤ lim

todo M. Como b ¤ bM e bM Ñ b, quando M Ñ 8, segue que, lim

MÑ8bM t aÑ b t a. Logo,

b t a¤ lim

nÑ8bnt an¤ b t a, o que implica que n Ñ 8. Logo limnÑ8bnt an b t a.

Corolário 2. Sejam apkq₁ Ñ a1, apkq2 Ñ a2, . . . , apkqn Ñ an quando k Ñ 8, sequências em

r0, 1s com apkqi ¥ ai,@i  1, . . . , n, @k P N. Se t uma t-norma contínua à direita. Então

lim

kÑ8a

pkq

1 t apkq2 t . . . t apkqn  a1 t a2 t . . . t an.

Demonstração. Mostremos que apkq₁ t . . . t apkq_n Ñ a1t . . . t an utilizando indução. De acordo

com o Teorema 4 temos que apkq₁ t apkq₂ Ñ a1t a2 quando k Ñ 8. Suponhamos que

cpkq_n
1  apkq₁ t . . . , t apkq_n
1 Ñ cn
1  a1t . . . t an
1, quando k Ñ 8. Utilizando a

associ-atividade de t, temos papkq₁ t . . . t apkq_n
1q t apkq_n  cpkq_n
1t apkq_n Ñ cn
1t an quando k Ñ 8

pelo Teorema 4. Assim, segue que cn
1t an pa1t a2 . . . t an
1q t an a1t . . . an, ou seja,

lim

kÑ8a

pkq

1 t apkq2 t . . . t apkqn  a1t a2t . . . tan.

1.9

Multifunções

Nesta seção vamos apresentar a definição de multifunção, juntamente com suas propriedades e alguns exemplos. Apresentaremos também o Teorema de Michael que será utilizado em demonstrações posteriores.

Definição 16. (Multifunção)(AUBIN, 1991) Sejam X e Y subconjuntos não vazios. Uma aplicação F : X Ñ PpY q é denominada multifunção, se F pXq  H@x P X.

Em vista da Definição 16, uma multifunção é uma função que associa a cada ponto de um conjunto X  H um único subconjunto de Y  H.

Exemplo 4. Seja F :R Ñ PpRq, definida por

Fpxq 

#

r0, 1s se x  0 0 se x  0, é uma multifunção.

Definição 17. (AUBIN, 1991) Seja F : X Ñ PpY q uma multifunção. A imagem de F , denotada por ImpF q, é definida por:

ImpF q  F pXq  ¤

xPX

Definição 18. (AUBIN, 1991) Considere a multifunção F : X Ñ PpY q, definimos o gráfico de F , por:

grafpF q  tpx, yq P X  Y ; y P F pxqu.

Definição 19. (AUBIN, 1991) Considere um subconjunto qualquer M € Y e F : X Ñ

PpY q uma multifunção. Definimos a pré-imagem de M, por:

F
1pMq  tx P X; F pXq X M  Hu.

Definição 20. (AUBIN, 1991) Seja F : X Ñ PpY q uma multifunção. Diremos que F possui valores unitários, se Fpxq é um conjunto unitário, ou seja,

Fpxq  tfpxqu, onde f : X Ñ Y é uma função.

Para o que se segue, consideremos X e Y espaços de Banach diferentes do vazio.

Definição 21. (Semicontínua Superiormente) (AUBIN, 1991) A multifunção F :

Ω Ñ PpRnq, Ω € Rm, é dita semicontínua superiormente, denotada por scs em t0 P Ω, se para todo  ¡ 0 existe um δ  δpt0, q ¡ 0, tal que

ρpF ptq, F pt0qq   .

se ||t
t0||   δ, t P Ω.

Definição 22. (Semicontínua Inferiormente) (AUBIN, 1991) A multifunção F :

Ω Ñ PpRnq, Ω € Rm, é dita semicontínua inferiormente, denotada por sci em t0 P Ω, se para todo  ¡ 0 existe um δ  δpt0, q ¡ 0, tal que

ρpF pt0q, F ptqq   .

se ||t
t0||   δ, t P Ω.

Definição 23. (Continuidade)(AUBIN, 1991) A multifunção F : ΩÑ PpRnq, Ω € Rm é dita contínua, se F é scs e sci simultaneamente.

Exemplo 5. Considere as multifunções F, G : R Ñ PpRq, dadas por

Fpxq  # r
1, 1s, se x  0, 0, se x 0, e Gpxq  # r
1, 1s, se x  0, 0, se x 0, As multifunções F e G são scs e sci, respectivamente.

Proposição 8. (AUBIN, 1991) A multifunção F : ΩÑ PpRnq, Ω € Rm é contínua se, e somente se, F é contínua na métrica de Pompeiu-Haursdorff.

Definição 24. (Seleção)(AUBIN, 1991) Seja F : X Ñ PpY q uma multifunção, em que X é um espaço métrico e Y é um espaço de Banach. Suponha que existe uma função f : X Ñ Y com a seguinte propriedade:

fpxq P F pxq, @x P X; Neste caso, dizemos que f é uma seleção da multifunção F .

Definição 25. (Seleção Contínua)(AUBIN, 1991) Dada uma multifunção F : X Ñ

PpY q, diz-se que a função f : X Ñ Y é uma seleção contínua de F se, f for uma

seleção de F e contínua em X.

Teorema 5. (Teorema de Michael(caso sci))(AUBIN; CELLINA, 1984) Seja F :

Ω Ñ PpY q, Ω € Rm, uma multifunção sci fechado e convexo para todo x P Ω. Dados

px0, y0q P grafpF q, então existe uma seleção contínua f de F tal que fpx0q  y0.

Demonstração. A demostração desse Teorema pode ser encontrada em (AUBIN; CELLINA,

1984).

Existem multifunções scs com valores fechados e convexos que não possuem seleção contínua. como pode ser observado no próximo exemplo.

Exemplo 6. Consideremos a multifunção F : R Ñ PpRq, definida por:

Fpxq  $ ' & ' % r0, 1s, se x  0, t1u, se x ¡ 0, t0u, se x   0,

F é semicontínua superiormente, mas é claro que f não tem uma seleção contínua definida em R.

Corolário 3. Uma multifunção F : D Ñ PpRq, D „ R, tal que F pxq  rapxq, bpxqs com

apxq ¤ bpxq, para todo x P D, é contínua se, e somente se, as funções a, b : D Ñ R são contínua em D.

2 Princípio da Extensão Sup-J

Neste capítulo, temos por objetivo estudar o princípio de extensão para uma função f : RnÑ R com base na noção de distribuição de possibilidade conjunta (FULLÉR; KERESZTFALVI, 1991; FULLÉR; MAJLENDER,2004). Para tanto, iniciaremos com o estudo do príncipio de extensão de Zadeh, que é o método utilizado para estender operações realizadas em conjuntos clássicos para conjuntos fuzzy.

2.1

Princípio de Extensão de Zadeh

Temos visto constantemente a necessidade de estender operadores e funções desenvolvidos em conjuntos clássicos para lidar com conjuntos fuzzy. Diante deste fato, Zadeh propõe um método conhecido como Príncipio de Extensão, que tem por objetivo indicar como será a imagem de um subconjunto fuzzy através da função f .

A Figura 6ilustra a extensão de Zadeh de uma função f bijetora em rAs0.

ϕ_A ϕ_{f (A )}^ _f α α α Z 1 1 X

Figura 6 – Princípio de extensão de Zadeh de uma função f em um conjunto fuzzy A. Fonte: (BARROS; BASSANEZI, 2010)

Definição 26. Seja f uma função de X em Z. A extensão de Zadeh de f é uma função

ˆ

f : FpXq Ñ FpZq que associa A P FpXq ao subconjunto fuzzy ˆfpAq de Z, cuja função de pertinência é dada por

ˆ fpAqpzq  $ & % ª xPf
1pzq Apxq , se f
1pzq  H, 0 , se f
1pzq  H onde f
1pzq  tx P X : fpxq  zu.

Este próximo resultado mostra que os α-níveis de um conjunto fuzzy, gerados pelo príncipio de extensão de Zadeh de uma função contínua f em A coincidem com as imagens da função f nos α-níveis de A. No que segue, assumimos que X é um espaço topológico.

Teorema 6. (BARROS; BASSANEZI, 2010) Seja f: X Ñ Z uma função contínua e A um subconjunto fuzzy de X. Então, para todo αP r0, 1s vale

r ˆfpAqsα  fprAsαq.

A próxima definição enuncia o Príncipio de Extensão de Zadeh para funções com duas variáveis.

Definição 27. (ZADEH, 1965) Sejam f: X  Y Ñ Z, A1 e A2 subconjuntos fuzzy de

X e Y respectivamente. A extensão ˆf de f , aplicada em pA1, A2q é o subconjunto fuzzy

ˆ

fpA1, A2q de Z, cuja função de pertinência é dada por

ˆ fpA1, A2qpzq  $ & % ª px,yqPf
1_pzq pA1pxq ^ A2pyqq , se f
1pzq  H 0 , se f
1pzq  H em que f
1pzq  tpx, yq P X  Y : fpx, yq  zu.

2.2

Distribuição de Possibilidade Conjunta

Na teoria de conjuntos fuzzy um conceito muito utilizado é o de teoria de possibilidade. Neste trabalho vamos considerar a noção de distribuição de possibilidade dada via conjunto fuzzy. Qualquer conjunto fuzzy normal de Ω define uma distribuição de possibilidade.

Definição 28. Uma distribuição de possibilidade sobre um conjunto não-vazio Ω é uma

função ϕ : ΩÑ r0, 1s satisfazendo ϕpwq  1, para algum w P Ω.

Em muitos casos temos a necessidade de analisar o comportamento de mais de uma variável, ou seja, como elas se comportam conjuntamente. Nesses casos, devemos analisar a distribuição de possibilidade conjunta.

Definição 29. Uma relação fuzzy J P FpRnq é dita ser uma distribuição de possibilidade

conjunta de A1, . . . , AnP RF se

para todo xP R e i  t1, . . . , nu.

Além disso, os números fuzzy A1, A2, . . . , An são chamados de não interativos

se: Jpx1, . . . , xnq  n © i1 Aipxq (2.2)

para todo px1, . . . , xnq P Rn. Caso contrário, dizemos que A1, . . . , An são interativos.

Da Equação (2.1), temos que Jpx1, . . . , xnq ¤ Aipxiq para todo i  1, . . . , n.

Assim, a distribuição conjunta de possibilidade J de A1, . . . , An satisfaz a seguinte

desi-gualdade: Jpx1, . . . , xnq ¤ n © i1 Aipxiq.

Agora, temos a possibilidade de trabalhar com funções f : Rn Ñ R, ou seja, podemos trabalhar em um espaço de dimensão igual a n como sendo o domínio da f .

Desta forma, podemos aplicar o princípio de extensão de Zadeh de uma função

f : RnÑ R, em uma distribuição de possibilidade conjunta J para definir o princípio de

extensão sup-J de f .

Definição 30. (FULLÉR; MAJLENDER, 2004) Seja J P FpRnq uma distribuição conjunta de possibilidade de A1, . . . , An P RF e seja f :Rn Ñ R. A extensão sup-J de f

em pA1, . . . , Anq P pRFqn é definida por

p

fJpA1, . . . , Anqpyq  pfpJqpyq 

ª

tJpx1, . . . , xnq ; px1, . . . , xnq P f
1pyqu, @y P R (2.3)

em que f
1pyq  tpx1, . . . , xnq P Rn; y  fpx1, . . . , xnqu.

Note que o princípio de extensão de Zadeh para funções de multiplos argumentos surge quando A1, . . . , An são não interativos (ZADEH, 1965). Mais geralmente, se J é

dado para todo px1, . . . , xnq P Rn por Jpx1, . . . , xnq  A1px1q t . . . t Anpxnq, então dizemos

que o princípio de extensão é baseada na t-norma (DUBOIS; PRADE, 1982) (FULLÉR; KERESZTFALVI, 1991; CARLSSON; FULLÉR; LENDER, 2004).

Como a distribuição de possibilidade conjunta J é nada mais que um conjunto

fuzzy de Rn, temos que pfJpA1, . . . , Anq é dado pelo conjunto fuzzy ˆfpJq definido pelo