Distribuição de Possibilidade Conjunta

Na teoria de conjuntos fuzzy um conceito muito utilizado é o de teoria de possibilidade. Neste trabalho vamos considerar a noção de distribuição de possibilidade dada via conjunto fuzzy. Qualquer conjunto fuzzy normal de Ω define uma distribuição de possibilidade.

Definição 28. Uma distribuição de possibilidade sobre um conjunto não-vazio Ω é uma

função ϕ : ΩÑ r0, 1s satisfazendo ϕpwq  1, para algum w P Ω.

Em muitos casos temos a necessidade de analisar o comportamento de mais de uma variável, ou seja, como elas se comportam conjuntamente. Nesses casos, devemos analisar a distribuição de possibilidade conjunta.

Definição 29. Uma relação fuzzy J P FpRnq é dita ser uma distribuição de possibilidade

conjunta de A1, . . . , AnP RF se

para todo xP R e i  t1, . . . , nu.

Além disso, os números fuzzy A1, A2, . . . , An são chamados de não interativos

se: Jpx1, . . . , xnq  n © i1 Aipxq (2.2)

para todo px1, . . . , xnq P Rn. Caso contrário, dizemos que A1, . . . , An são interativos.

Da Equação (2.1), temos que Jpx1, . . . , xnq ¤ Aipxiq para todo i  1, . . . , n.

Assim, a distribuição conjunta de possibilidade J de A1, . . . , An satisfaz a seguinte desi-

gualdade: Jpx1, . . . , xnq ¤ n © i1 Aipxiq.

Agora, temos a possibilidade de trabalhar com funções f : Rn Ñ R, ou seja, podemos trabalhar em um espaço de dimensão igual a n como sendo o domínio da f .

Desta forma, podemos aplicar o princípio de extensão de Zadeh de uma função

f : RnÑ R, em uma distribuição de possibilidade conjunta J para definir o princípio de

extensão sup-J de f .

Definição 30. (FULLÉR; MAJLENDER, 2004) Seja J P FpRnq uma distribuição conjunta de possibilidade de A1, . . . , An P RF e seja f :Rn Ñ R. A extensão sup-J de f

em pA1, . . . , Anq P pRFqn é definida por

p

fJpA1, . . . , Anqpyq  pfpJqpyq 

ª

tJpx1, . . . , xnq ; px1, . . . , xnq P f
1pyqu, @y P R (2.3)

em que f
1pyq  tpx1, . . . , xnq P Rn; y  fpx1, . . . , xnqu.

Note que o princípio de extensão de Zadeh para funções de multiplos argumentos surge quando A1, . . . , An são não interativos (ZADEH, 1965). Mais geralmente, se J é

dado para todo px1, . . . , xnq P Rn por Jpx1, . . . , xnq  A1px1q t . . . t Anpxnq, então dizemos

que o princípio de extensão é baseada na t-norma (DUBOIS; PRADE, 1982) (FULLÉR; KERESZTFALVI, 1991; CARLSSON; FULLÉR; LENDER, 2004).

Como a distribuição de possibilidade conjunta J é nada mais que um conjunto

fuzzy de Rn, temos que pfJpA1, . . . , Anq é dado pelo conjunto fuzzy ˆfpJq definido pelo

uma função contínua, então uma aplicação do teorema de Nguyen revela que (NGUYEN, 1978) r pfJpA1, . . . , Anqsα  fprJsαq, @α P r0, 1s, (2.4) pois, r pfpA1, . . . , Anqsαs  clty P R; sup yfpxq Jpxq ¡ αu  clty P R; Dx, y  fpxq, Jpxq ¡ αu  cltfpxq P R; Jpxq ¡ αu  fptx P Rn_{; Jpxq ¡ αuq}  fprJsα_{q (2.5)}

Note ainda que, pela Definição 7 da composição relacional, o conjunto fuzzy p

fJpA1, . . . , Anq pode também ser descrito por meio de uma relação unária em Rn:

Rf  ^J  pfJpA1, . . . , Anq, (2.6)

em que Rf é um conjunto fuzzy de R  Rn cuja função característica é dada por:

Rfpy, xq 

#

1 se y fpxq

0 caso contrário , @y P R e @x  px1, . . . , xnq P R

n_{. (2.7)}

A última observação garante que ˆfJpA1, . . . , Anq é um conjunto fuzzy. Contudo,

gostaríamos que a extensão sup-J da f não fosse apenas um conjunto fuzzy, mas sim um número fuzzy.

No artigo Additions of completely correlated fuzzy numbers (CARLSSON; FULLÉR; LENDER,2004), depois de definirem uma distribuição de possibilidade conjunta sup-J no Lema 2.1, os autores afirmam que a extensão de fJpA1, . . . , Anq é um número fuzzy.

O Exemplo 7 a seguir é um contra exemplo para mostrar que os autores se enganarram quando fazem essa afirmação, ou seja, a continuidade da f não é uma condição suficiente para garantir que a extensão sup-J da f seja um número fuzzy.

Exemplo 7. Seja f : R2 Ñ R dada por fpx, yq  x y, para todo px, yq P R2 e sejam A1, A2 P RF conjuntos fuzzy triângulares p
1; 0; 1q. Seja J P FpR2q uma distribuição de

possibilidade fuzzy de A1, A2 definida por:

Jpx, yq  $ ' & ' % A1pxq se x 
y A1p0.5q se x  0.5 e y  0 0 caso contrário (2.8)

A Figura 7 exibe a visão top-down da distribuição de possibilidade conjunta Jpx, yq.

Figura 7 – Distribuição de possibilidade conjunta da função Jpx, yq dada na Equação 2.8. Fonte: o autor

Da Definição 30, temos que

ˆ fJpA1, A2qpzq  $ ' & ' % 1 se z  0 0.5 se z 0.5 0 caso contrário

Podemos observar na Figura 8 que a extensão sup-J da função fpx, yq  x y produz um conjunto fuzzy, que não é um número fuzzy.

Figura 8 – Extensão sup-J da função f e J dadas no Exemplo 7.

Fonte: o autor

Portanto, como vimos no exemplo anterior, a continuidade da f não é condição suficiente para que a extensão sup-J de f seja um número fuzzy. Nosso próximo exemplo ilustra que a continuidade também não é uma condição necessária.

Exemplo 8. Sejam A1, A2 P RF dados como no Exemplo7e J P FpR2q como na Equação 2.8 e f definida por: fpx, yq  $ ' ' ' ' & ' ' ' ' % 1 se xP r0, 0.5q Y p0.5, 8q ou x 
0.5 0.5 se x 0.5 p1 xq se x P r
1,
0.5q Y p
0.5, 0q 0 caso contrário ,@x, y P R2.

A extensão sup-J de f corresponde ao número fuzzy ,

ˆ

fJpA1, A2qpzq 

#

z se z P r0, 1s

0 caso contrário,@z P R.

A Figura 9 mostra a extensão sup-J da função f em A1, A2, que produz o

número fuzzy p0; 1; 1q, ou seja, temos neste caso um número triangular fuzzy. Logo, a continuidade da f não é condição necessária para que a extensão sup-J de f seja um número fuzzy.

Figura 9 – Extensão sup-J da função f e J dadas no Exemplo 8.

Fonte: o autor

Finalmente, o próximo exemplo mostra que o resultado da extensão sup-J pode não ser um conjunto fuzzy normal se a distribuição de possibilidade conjunta de J não for normal. Além disso, a normalidade de J não representa condição necessária como podemos ver no item piiq do Exemplo 9, mas apenas condição suficiente. Mais precisamente, se existe x P Rn tal que Jpxq  1, então temos que ˆfJpA1, . . . , Anqpfpxqq  1.

Exemplo 9. Sejam A1  A2  p
1; 0; 1q P RF e seja J P FpRnq uma distribuição de

possibilidade conjunta de A1, A2 definida por

Jpx, yq 

#

A1pxq ^ A2pyq se x 
y

(i) Se f :R2 Ñ R é dada por fpx, yq  x y para todo px, yq P R2, então pela Definição 30, a extensão sup-J de f em pA1, A2q é dada por

ˆ fJpA1, A2qpzq  $ ' ' ' & ' ' ' % 2 z 2 se z P r
2, 0q 2
z 2 se z P p0, 2s 0 caso contrário ,

que não é um conjunto fuzzy normal;

(ii) Se g :R2 Ñ R é dada por gpx, yq  x
y para todo px, yq P R2, então, pela Definição 30, a extensão sup-J de g em pA1, A2q é dada por

ˆ gJpA1, A2qpzq  $ ' ' ' & ' ' ' % 2 z 2 se z P r
2, 0s 2
z 2 se z P r0, 2s 0 caso contrário ,

que é um número fuzzy.

Como uma aplicação direta do Teorema 2 temos o Corolário 4a seguir, onde a relação Rf é um conjunto fuzzy de Rn em R, definido como na Equação 2.7.

Corolário 4. Sejam J P FpRnq, f : Rn Ñ R e Rf P FpR  Rnq dada como na Equação

(2.7). ˆfpJq é um número fuzzy se, e somente se r ˆfpJqsα é um intervalo fechado e não vazio para cada α P r0, 1s.

Demonstração. (ñ)Como ˆfpJq é um número fuzzy, de acordo com Proposição3, r ˆfpJqsα

é um intervalo fechado e não vazio para cada αP r0, 1s.

(ð) De acordo com o Teorema 2como, r ˆfpJqsα é um intervalo fechado e não vazio para cada αP r0, 1s, segue que, ˆfpJq é um número fuzzy.

Uma breve ánalise do Corolário4revela que qualquer tentativa para estabelecer condições sobre J e f para se que obtenha um número fuzzy por meio do princípio da extensão de sup-J, basta garantir o cumprimento da propriedade (a) da Proposição 3.

Definição 31. (MUNKRES, 2000) Um espaço X é dito ser conexo se para qualquer decomposição em união de dois subconjuntosnão vazios A e B tem-se que AX B  H e AX B  H.

Proposição 9. Seja f : Rn Ñ R uma função contínua. Se X „ Rn é conexo, então o conjunto tfpxq ; x P Xu é conexo (MUNKRES, 2000).

O teorema a seguir mostra condições suficientes para que a extensão sup-J de funções contínuas tenha como resultado um número fuzzy.

Teorema 7. Seja J P FpRnq um conjunto fuzzy normal e f : Rn Ñ R uma função

contínua. Se rJsα é um conjunto fechado, limitado e conexo para todo α P r0, 1s, então

ˆ

fpJq é um número fuzzy.

Demonstração. Notemos primeiramente que rJsα é não vazio, pois rJs1 „ rJsα e J é normal. Para todo α P r0, 1s, temos que rJsα é um conjunto compacto, pois rJsα é um conjunto limitado e fechado de Rn.

De acordo com o Teorema 6 e o teorema de Nguyen (NGUYEN,1978), temos a seguinte igualdade r ˆfpJqs  fprJsαq; para todo α P r0, 1s. Utilizando a Proposição 9, temos que fprJsαq é um conjunto conexo de R, e de acordo com (MUNKRES,2000) todo conexo em R é um intervalo.

Pelo teorema do valor extremo de Weierstrass, sabemos que existem xα
e

xα P rJsα, tais que fpxα
q ¤ fpxq ¤ fpxαq, para todo x P rJsα. Ou seja, fprJsqα  r ˆfpJqsα

é um intervalo fechado e não vazio para todo α P r0, 1s.

Logo, pelo Teorema 2podemos concluir que, ˆfpJq é um número fuzzy.

O próximo corolário mostra que o princípio de extensão sup-J para funções contínuas com a distribuição de possibilidade conjunta de números fuzzy dada por meio de t-normas contínuas à direita também são números fuzzy.

Corolário 5. Considere A1, . . . , An P RF, uma função contínua f : Rn Ñ R, e uma

t-norma contínua à direita. Seja J P FpRnq uma distribuição de possibilidade conjunta de A1, . . . , An dada por

Jpx1, . . . , xnq  A1px1q t . . . t Anpxnq,

para todo px1, . . . , xnq P Rn. Então, ˆfJpA1, . . . , Anq é um número fuzzy.

Demonstração. Sabemos que rJsα  H pois, rJs1 „ rJsα, uma vez que J é normal. Seja pxk_{q uma sequência de rJs}α

tal que xk Ñ ¯x quando k Ñ 8. Definimos uma sequênciada p˜xk_{q também contida em rJs}α _{da seguinte forma:}

˜ xk_i  # xk_i ; se Aipxkiq ¥ Ap ¯xiq ¯ xi ; se Ap¯xiq ¡ Aipxkiq. ,@i  1, . . . , n e @k P N. (2.9)

Note que ˜xkÑ ¯x quando k Ñ 8; pois cada componente de ˜xk é igual a ¯xi ou

faz parte de uma subsequência de xk_i. Como qualquer subsequência de xk_i converge para ¯xi,

pois pxk_iq é convergente, segue que ˜xk_i Ñ ¯xi quando k Ñ 8, para todo i  1, . . . , n. Assim,

˜

Tomando ˜xk na formulação dada acima, temos que ˜xk P rJsα@k. De fato, de

(2.9), segue que Aip˜xkiq ¥ Aipxkiq para todo i e todo k. Utilizando a monotocidade de t,

temos:

Jp˜xkq  A1p˜xk1q t A2p˜xk2q t . . . t Anp˜xnkq ¥ A1pxk1q t A2pxk2q t . . . t Anpxknq ¥ α.

Como ˜xk Ñ ¯x quando k Ñ 8, segue que lim

kÑ8Aip˜x k

iq ¤ Aip¯xiq, pois Ai é

contínua superiormente. Mas por construção, temos que Aip˜xkiq ¥ Aip¯xiq, o que implica

em lim kÑ8Aip˜x k iq ¥ Aip¯xiq. Logo lim kÑ8Aip˜x k iq  Aip¯xiq,para todo i  1, . . . , n.

De acordo com o Corolário 4, se tomamos o limite da sequência acima, e utilizando o fato da t ser contínua à direita, temos

α¤ lim

kÑ8pA1p˜x k

1q t A2p˜xk2q t . . . t Anp˜xknqq  A1p¯x1q t A2p¯x2q t . . . Anp¯xnq,

ou seja, ¯xP rJsα, desta forma rJsα é fechado.

Mostremos agora a conexidade de rJsα. Sejam yi P rAis1  H para todo

i  1, . . . , n e px1, . . . , xnq P rJsα, ou seja A1px1q t A2px2q t . . . t Anpxnq ¥ α. Vamos

construir uma curva z que depende de β, de tal forma que zβ  p1
βqxi βyi, para

todo i  1, . . . , n e β P r0, 1s. Pela Propriedade (b) da Definição 11 temos que Aipzβq ¥

Aipxiq ^ Aipyiq  Aipxiq, pois Aipyiq  1, isso implica que Aipp1
βqxi βyiq ¥ Aipxiq

para todo β P r0, 1s e todo i  1, . . . , n. Utilizando a monotocidade de t temos que,

A1pp1
βqx1 βy1q t . . . t Anpp1
βqxn βynq ¥ A1px1q t . . . t Anpxnq, ou seja, tp1

βqx βyu „ rJsα, para todo β P r0, 1s.

Dados x e w P rJsα, podemos construir caminhos P1  tp1
βqx βy; β P

r0, 1su „ rJsα _{e P}

2  tp1
βqw βy; β P r0, 1su „ rJsα de tal forma que y P P1 X P2,

ou seja, P1 X P2  H. Como P1 e P2 são conexos e a intersecção é não vazia, então

P  P1 Y P2 „ rJsα é conexo. Como x e w P rJsα foram arbitrários, segue que rJsα é

conexo. Agora, como rJsα é conexo e fechado para todo αP r0, 1s, pelo Teorema7 segue que ˆfJpA1, . . . , Anq é um número fuzzy

O Corolário 6 implica que se dois números fuzzy A1 e A2 são completamente

correlacionados (FULLÉR, 2014; CARLSSON; FULLÉR; LENDER, 2004;CARLSSON; FULLÉR; MAJLENDER, 2005) ou ainda, g-correlacionados (CABRAL; PRATA; BAR- ROS,2013), então a correspondente extensão sup-J de uma função contínua f empA1, A2q,

isto é, fJpA1, A2q é um número fuzzy.

Corolário 6. Seja f : RnÑ R uma função contínua e seja J P FpRnq uma distribuição

de possibilidade conjunta de A1, . . . , An P RF. Se existem funções contínuas gi : R Ñ R,

para i 2, . . . , n tais que

rJsα _{ tpx, g}

então ˆfJpA1, . . . , Anq é um número fuzzy.

Demonstração. Considere Gα :rA1sα Ñ Rnrepresentada por, Gαpxq  px, g2pxq, . . . , gnpxqq,

para todo x P rA1sα. Note que a função G é contínua, pois as funções gi são contínuas. Pela

Proposição 9segue que GαprA1sαq é conexa para todo α P r0, 1s pois, rA1sα é conexo. Além

disso, GαprA1sαq é um conjunto compacto em R e portanto fechado, pois rA1sα é compacto

(MUNKRES, 2000). Logo, uma aplicação do Teorema 2nos garante que ˆfJpA1, . . . , , Anq

3 Famílias de Distribuições de Possibilidade

Conjunta

Neste capítulo, vamos considerar um par de números fuzzy A1, A2 P RCF, onde

RC

F denota o conjunto dos números fuzzy cujas funções LA e RA são funções contínuas,

salvo indicação expressa contrária. Nosso objetivo é construir famílias paramétricas de conjuntos fuzzy em R2, que possam servir como distribuições de possibilidade conjuntas para um par de números fuzzy A1, A2. Utilizando os conceitos definidos em (2.1) e (2.2),

temos por objetivo obter algum controle sobre a interatividade. Para tanto, propomos uma família parametrizada de conjuntas bivariadas, que possui um parâmetro γ para o ajuste e controle da norma da extensão sup-J de uma função contínua f :R2 Ñ R.

Este capítulo teve como inspiração a dissertação de mestrado do aluno Gustavo B. Igáncio (IGNÁCIO, 2015) e o artigo (ESMI et al.,2017). Na dissertação do Gustavo B. Ignácio aparecem as primeiras ideias que serviram como base para o desenvolvimento deste capítulo. Mais precisamente, nessa dissertação foi desenvolvido uma família de distribuição de possibilidades que permitem estender as quatro operações aritméticas dos números reais para lidar com um dado par de números fuzzy. Neste trabalho foram estabelecidos resultados similares ao apresentado no Teoremas9e10, contudo, não foi possível estabelecer que a menor norma possível é atingida quando γ  0 tais como foram estabelecidos neste capítulo. O artigo (ESMI et al., 2017) apresenta uma proposta ligeiramente modificada da dissertação (IGNÁCIO, 2015) para estender operação de soma para um dado par de números fuzzy. Neste artigo, com a modificação proposta para a família de distribuições de possibilidade conjuntas indexadas por um parâmetro γ, foi possível estabeler que a norma mínima da extensão sup-J da adição é atingida com γ  0. Inicialmente, neste capítulo pretendíamos estender de forma natural as definições e resultados apresentados em (ESMI et al., 2017), contudo, não obtivemos sucesso nesta primeira abordagem. Com efeito, aqui propomos uma nova família de distribuições de possibilidade conjuntas indexadas por um parâmetro γ dada na Equação (3.20) com as quais conseguimos estabelecer resultados similiares aos apresentados em (ESMI et al., 2017), porém, para qualquer função contínua de R2 para R, ou seja, aqui não nos restringindo a operação de adição.

Dados A1, A2 P RCF, vamos definir as seguintes funções, F

i

^ : R  r0, 1s 

C0pR2,Rq Ñ R, e F_{_}i :R  r0, 1s  C0pR2,Rq Ñ R com i P t1, 2u, onde C0pR2,Rq denota

F_^1pz, α, fq  © wPrA2sα |fpz, wq| (3.1) F_{_}1pz, α, fq  ª wPrA2sα |fpz, wq| (3.2) F_^2pz, α, fq  © wPrA1sα |fpw, zq| (3.3) F_{_}2pz, α, fq  ª wPrA1sα |fpw, zq| (3.4) para todo z P R, α P r0, 1s e f P C0pR2,Rq.

Para z, α fixos e, utilizando a continuidade da f e o Corolário 1, temos a garantia da continuidade das funções F_^i e F_{_}i tanto para o primeiro quanto para o segundo argumento, para todo iP t1, 2u.

O teorema do valor extremo de Weierstrass (GUIDORIZZI,2007) garante que para cada z P R, α P r0, 1s e f : R2 Ñ R com f contínua, existem w_^ e w_{_} P rA2sα tais

que

F_^1pz, α, fq  |fpz, w_^q| e F_{_}1pz, α, fq  |fpz, w_{_}q|. (3.5) De maneira similiar, existem w_^ e w_{_} P rA1sα tais que

F_^2pz, α, fq  |fpw_^, zq| e F_{_}2pz, α, fq  |fpw_{_}, zq|. (3.6)

Da Proposição4podemos concluir que, as funções F_^i e F_{_}i são respectivamente crescentes e decrescente com relação ao segundo argumento, respectivamente.

Vamos definir agora uma função vi, de tal forma que vi : R  r0, 1s2 

C0pR2,Rq Ñ R, com i P t1, 2u, dada por

vipz, α, γ, fq  p1
γqF_^ipz, α, fq γF_{_}ipz, α, fq. (3.7) para todo z P R, α, γ P r0, 1s e f P C0pR2,Rq.

A função vi foi também introduzida no artigo (ESMI et al., 2017), em que os autores a utilizam para a realização de extensão sup-J, restrito ao operador soma.

Lema 2. A função vipz, α, γ, fq, dada em (3.7), é contínua com relação ao primeiro,

Demonstração. Como F_{_}i e F_^i são funções contínuas com respeito ao primeiro e ao segundo argumento e a soma de funções contínuas é também uma função contínua, temos a continuidade da vi, para i P t1, 2u com respeito ao primeiro e o segundo argumento. Por definição, temos também que vi é crescente e contínua com respeito ao terceiro argumento.

Do Lema 2, segue que:

vipz, α, 0, fq  F_^ipz, α, fq ¤ vipz, α, γ, fq ¤ F_{_}ipz, α, fq  vipz, α, 1, fq, (3.8) para todo z P R, todo α, γ P r0, 1s, i P t1, 2u e f P C0pR2,Rq.

Pelo teorema do valor intermediário temos que, para cada z P R, α, γ P r0, 1s e

iP t1, 2u, existe w_zi P rA3
isα com iP t1, 2u tal que:

v1pz, α, γ, fq  |fpz, w_z1q| (3.9)

v2pz, α, γ, fq  |fpw_z2, zq|. (3.10) Vamos considerar agora a função auxiliar ri : R  r0, 1s2  C0pR2,Rq Ñ K,

com iP t1, 2u, definida a seguir.

Definição 32. Seja ri : R  r0, 1s2 C0pR2,Rq Ñ K uma multifunção, com K sendo a classe dos conjuntos compactos de R, dada para i  1, 2 por

r1pz, α, γ, fq  tw P rA2sα; |fpz, wq| ¤ v1pz, α, γ, fqu (3.11)

r2pz, α, γ, fq  tw P rA1sα; |fpw, zq| ¤ v2pz, α, γ, fqu. (3.12)

Note que rip, α, γ, fq pode não ser uma função contínua com respeito a métrica

dH dada em (1.13) para f P C0pR2,Rq e α, γ P r0, 1s fixos. O exemplo a seguir ilustra este

fato.

Exemplo 10. Seja f uma função de R2 em R dada por fpx, yq  cospπpx
yqq 1.

Como a função cosseno é limitada por -1 e 1, temos fpx, yq ¥ 0, para todo x e y. Assim,

cospπpx
yqq 
1 ô πpx
yq  πp2n 1q ô x
y  2n 1 ô y  x
2n
1, ou

seja, f
1p0q  tpx, x
2n
1q; @x, n P Zu. Sejam A1  r0, 2s e A2  r0, 2s de modo que,

rA1sα  rA2sα  r0, 2s, para todo α P r0, 1s.

Tomando γ  0 e α P r0, 1s temos que, v1pz, α, 0, fq  F_^1pz, α, fq, para todo z P rA1sα  r0, 2s. Note que, pz 1q P r0, 2s se z P r0, 1q, enquanto que, pz
1q P r0, 2s

se z P p1, 2s. Pela Equação (3.11), temos que r1px, α, 0, fq  f
1p0q X r0, 2s, para todo

r1px, α, 0, fq  $ ' & ' % tx 1u se x P r0, 1q t0, 2u se x 1. tx
1u se x P p1, 2s (3.13) Como lim xÑ1
r 1_{px, α, 0, fq  t2u e lim} xÑ1 r

1_{px, α, 0, fq  t0u podemos concluir que,}

ripx, α, 0, fq é descontínua em x  1. Como pode ser observado na Figura 10 a seguir. Além disso, temos que a multifunção rip, α, 0, fq é scs.

De maneira análoga, utilizando a Equação (3.13) podemos mostrar que a função

r2px, α, 0, fq também será descontínua em x  1.

Figura 10 – Função r1px, α, 0, fq descontínua em x=1. Fonte: o autor

Nossa intenção a princípio era aplicar o Teorma de Michael na função rip, α, γ, fq mas, como mostramos, a função pode não ser necessariamente semicontínua inferiormente, que é um dos requisitos do Teorema 5, o que fez com que não pudéssemos continuar nessa linha de pesquisa. Isso fez com que buscássemos outras opções. Para tanto, foi necessária a construção de mais algumas funções auxiliares para chegar no nosso objetivo.

A proposição a seguir estabelece algumas propriedades das funções ri que serão utilizadas nas próximas demonstrações. Para tal, vamos introduzir as seguintes funções:

T1pz, α, γ, fq : tfpz, yq; y P r1pz, α, γ, fqu  fpz, r1pz, α, γ, fqq, (3.14)

f_^1px, α, fq  © wPrA2sα fpx, wq e f_{_}1px, α, fq  ª wPrA2sα fpx, wq, (3.16) f_^2px, α, fq  © wPrA1sα fpw, xq e f_{_}2px, α, fq  ª wPrA1sα fpw, xq. (3.17)

Note que as funções f_^i e F_^i (tais como as funções f_{_}i e F_{_}i) distinguem entre si pela não aplicação do módulo sob a função f .

A Proposição 10 apresentada adiante garante que as funções r1 e r2 são de fato bem definidas, isto é, ripz, α, γ, fq P K, para todo z P R, α, γ P r0, 1s e f P C0pR2,Rq.

Proposição 10. Seja a função ri como definida em (3.11) e (3.12). Então as seguintes

sentenças são válidas:

(a) ripz, α, γ, fq é compacto e não vazio para cada z P R, α, γ P r0, 1s e i P t1, 2u. (b) ripz, α, γ, fq „ ripz, α, β, fq se 0 ¤ γ ¤ β ¤ 1.

(c) Dado z P R com α, γ P r0, 1s, temos que T1pz, α, γ, fq e T2pz, α, γ, fq dadas em

(3.14) e (3.15) são intervalos limitados, fechados, não vazios e mais, Tipz, α, γ, fq  rmaxt
vi_{pz, α, γ, fq, f}i

^pz, α, fqu, mintvipz, α, γ, fq, f_ipz, α, fqus.

Demonstração. (a) Mostremos que ripz, α, γ, fq é compacto. Dado z P R, considere a função contínua hzpq  |fpz, q|. Temos que phzq
1pra, bsq é fechado para todo ra, bs „

R, pois a inversa de um conjunto fechado por uma função contínua é também fechado (KREYSZIG,1989). Em particular, temos que phzq
1prF_^ipz, α, fq, vipz, α, γ, fqsq é

fechado. Além dissso, o conjunto ripz, α, γ, fq  phzq
1prF_^ipz, α, fq, vipz, α, γ, fqsq X

rA2sα é fechado e limitado, pois a intersecção finita de conjuntos fechado é tam-

bém fechada e rA2sα é limitado de acordo com a Proposição (3). Note ainda que

r1pz, α, γ, fq é não vazio, uma vez que o teorema do valor extremo de Weierstrass

garante que existe w P rA2sα tal que |fpz, wq|  F_^1pz, α, fq. Similarmente, podemos

mostrar que o conjunto r2pz, α, γ, fq é fechado, limitado e não vazio para todo z P R e α, γ P r0, 1s. Isto é, r2pz, α, γ, fq é um conjunto compacto e não vazio de R. (b) Mostremos que ripz, α, γ, fq „ ripz, α, β, fq. Seja γ ¤ β, de acordo com o Lema

2 temos que, v1pz, α, γ, fq ¤ v1pz, α, β, fq. Se w P r1pz, α, γ, fq então w P rA2sα

e |fpz, wq| ¤ v1pz, α, γ, fq ¤ v1pz, α, β, fq. Logo, pela definição de r1, segue que

w P r1pz, α, β, fq e, portanto r1pz, α, γ, fq „ r1pz, α, β, fq. De maneira similar,

(c) Pelo item paq temos que ripz, α, γ, fq é compacto e não vazio. Assim, pela con- tinuidade de f temos que T1pz, α, γ, fq  fpz, r1pz, α, γ, fqq e T2pz, α, γ, fq 

fpr2pz, α, γ, fq, zq são compactos e não vazios. Falta ainda provar que Tipz, α, γ, fq, i 

t1, 2u são intervalos de R. Vamos denotar fpz, rA2sαq  rl, us. Pela Equação (3.11)

temos que r1pz, α, γ, fq „ rA2sα, o que resulta em fpz, r1pz, α, γ, fqq „ rl, us.

Caso 1) Se 0P rl, us, então:

F_^1pz, α, fq  0 e F_{_}1pz, α, fq  |l| _ |u|.

Logo, v1pz, α, γ, fq  p1
γqF_^1pz, α, fq γF_{_}1pz, α, fq  γp|l| _ |u|q  K

Gostaríamos de verificar que a seguinte igualdade é verdadeira: fpz, r1pz, α, γ, fqq  rl, us X r
K, Ks.

Seja w P fpz, r1pz, α, γ, fqq, então existe y P r1pz, α, γ, fq tal que fpz, yq  w P rl, us. Além disso|fpz, yq| ¤ K o que implica que fpz, yq P r
K, Ks, ou seja, w P r
K, Ks, o que resulta em w P rl, usXr
K, Ks. Portanto, fpz, r1pz, α, γ, fq „ rl, usXr
K, Ks. Por outro lado, se w P rl, us X r
K, Ks, então existe y P rA2sα tal que fpz, yq  w e

|fpz, yq| ¤ K. Logo, y P r1_{pz, α, γ, fq e, portanto w P fpz, r}1_{pz, α, γ, fqq. Isto implica}

querl, usXr
K, Ks „ fpz, r1pz, α, γ, fqq. Assim, concluimos que fpz, r1pz, α, γ, fqq  rl, us X r
K, Ks.

Temos também que, rl, us X r
K, Ks  rl _
K, u ^ Ks, onde l  f_^ipz, α, fq,

u f_{_}ipz, α, fq e K  vipz, α, γ, fq, isso implica que,

rl _
K, u ^ Ks  rmaxtl,
Ku, mintu, Kus  rmaxtf1

^pz, α, fq,
v1pz, α, γ, fqu, mintf_1pz, α, fq, v1pz, α, γ, fqus.

Caso 2) Se 0  l ¤ u, então:

F_^1pz, α, fq  l e F_{_}1pz, α, fq  u.

Logo, v1pz, α, γ, fq  p1
γql γu  K ¤ u.

Gostariamos de verificar que a seguinte igualdade é verdadeira: fpz, r1pz, α, γ, fqq  rl, Ks „ rl, us.

Se w P fpz, r1pz, α, γ, fqq, então existe y P r1pz, α, γ, fq „ rA2sα tal que fpz, yq  w

e |fpz, yq| ¤ K, o que implica que fpz, yq P r
K, Ks. Mas |fpz, yq|  fpz, yq, pois

No documento Um estudo sobre generalizações de extensão de Zadeh para funções contínuas (páginas 40-83)