EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES: ASPECTOS FÍSICOS E SOLUÇÃO FRACA EM ESPAÇOS DE SOBOLEV

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(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA ˆ CENTRO DE CIENCIAS NATURAIS E EXATAS ´ ˜ MESTRADO EM MATEMATICA ´ PROGRAMA DE POS-GRADUAC ¸ AO. ˜ EQUAC ¸ OES DE NAVIER-STOKES: ASPECTOS FÍSICOS E ˜ FRACA EM ESPAC SOLUC ¸ AO ¸ OS DE SOBOLEV. ˜ DE MESTRADO DISSERTAC ¸ AO. Paulo Cesar Costa. Santa Maria, RS, Brasil 2008.

(2) ˜ EQUAC ¸ OES DE NAVIER-STOKES: ASPECTOS FÍSICOS E ˜ FRACA EM ESPAC SOLUC ¸ AO ¸ OS DE SOBOLEV. por. Paulo Cesar Costa. Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão Mestrado em Matemática, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para obten¸cão do grau de Mestre em Matemática. Orientador: Prof. Dr. João Paulo Lukaszczyk. Santa Maria, RS, Brasil 2008.

(3) UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA ˆ CENTRO DE CIENCIAS NATURAIS E EXATAS ´ ˜ MESTRADO EM MATEMATICA ´ PROGRAMA DE POS-GRADUAC ¸ AO A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova a Disserta¸cão de Mestrado ˜ EQUAC ¸ OES DE NAVIER-STOKES: ASPECTOS FÍSICOS E ˜ FRACA EM ESPAC SOLUC ¸ AO ¸ OS DE SOBOLEV elaborada por Paulo Cesar Costa Como requisito parcial para obten¸cão do grau de Mestre em Matem´ atica. ˜ EXAMINADORA: COMISSAO. Jo˜ ao Paulo Lukaszczyk, Dr. (Presidente/Orientador). Celene Buriol, Dra. (UFSM). Maur´ıcio Fronza da Silva, Dr. (UFSM). Santa Maria, 10 de dezembro de 2008.

(4) Agradecimentos Em primeiro lugar gostaria de agradecer a DEUS por me dar vida, sa´ ude e for¸ca para que eu pudesse realizar este trabalho a tanto sonhado. Agrade¸co também às pessoas que de uma forma ou de outra colaboraram para a realiza¸cão desta disserta¸cão, em especial a minha mãe Helena de Nardi Costa que mesmo longe sempre esteve perto de mim mediante suas ora¸cões. Agrade¸co aos professores do Programa de Pós-Gradua¸cão Mestrado em Matemática da UFSM pelo conv´ıvio enriquecedor e pela troca de experiência, em particular ao meu orientador Professor Doutor João Paulo Lukaszczyk, pela paciência, persistência, amizade, compreensão e disponibilidade dispensados durante a elabora¸cão desta disserta¸cão. Agrade¸co ao comando do CMSM pelo apoio obtido durante a realiza¸cão de todo curso mediante concessão de horário especial para estudo. ´ Finalmente gostaria de agradecer de forma especial à minha esposa Elica Torezani Costa e ao meu filho Guilherme Torezani Costa pela compreensão nos momentos que me fiz um presente ausente. Com certeza esse trabalho não se realizaria se não tivesse deles o carinho e amor em todos os momentos dif´ıceis desta longa jornada de trabalho. Ang´ ustia, cansa¸co, vontade de desistir mas eles estavam sempre prontos para recarregar minhas energias. Com muito amor, meu muito obrigado. Dedico este trabalho a meu pai Lourival José da Costa (in memorian). ii.

(5) Resumo Neste trabalho, a partir da lei da conserva¸cão da massa e da segunda lei de Newton, deduzimos as equa¸cões de Navier-Stokes para um fluido incompress´ıvel. Em seguida fazemos, de forma detalhada, a formula¸cão variacional destas equa¸cões. Para esta formula¸cão, através do método de Galerkin, provamos a existência de solu¸cão fraca em espa¸cos de Sobolev em um dom´ınio limitado cuja fronteira seja regular.. iii.

(6) Abstract In this work, based on the Law of conservation of mass and the Newton’s second Law, we deducted the equations of Navier-Stokes for the uncompressing fluids. Then we have developed in a detailed way the varying form of these equations. For this formulation, through the Galerkin method, we have proved the existence of weak solutions in Sobolev spaces in a bounded domain whit regular boundary.. iv.

(7) Nota¸c˜ ao No desenvolvimento deste trabalho procuramos utilizar a nota¸cão usual contida em livros dedicados ao estudo de equa¸cões diferenciais parciais, como referência ver ADANS [1], conforme descrito abaixo: • Ω é um aberto limitado do Rn (n ≤ 4) com fronteira ∂Ω regular. • Ω é fecho do conjunto Ω. • Dm u(x) =. ∂ |m| u(x) m m n ∂x1 1 ∂x2 2 ... ∂xm m. com |m| = m1 + m2 + ... + mn .. • Lp (Ω) é o espa¸co das fun¸cões mensuráveis g tais que Z p1

(8)

(9) p

(10) g

(11) p = |g(x)| dx < ∞, 1 ≤ p < ∞. L (Ω) Ω. • Para Ω ⊂ R3 , p ≥ 1 e u = {u1 , u2 , u3 } onde ui : Ω −→ R com i = 1, 2, 3 temos: |u|Lp (Ω) =. Lp (Ω). =. b(u, v, w) =. |ui (x)|p dx. Ω. i=1.

(12)

(13)

(14) ∇u

(15). ! p1. 3 Z X. ! p1

(16) 3 Z

(17) X

(18) ∂ui (x)

(19) p

(20)

(21)

(22) ∂xj

(23) dx i,j=1 Ω 3 Z X i,j=1. Ω. ui. ∂vj wj dx. xi. No caso de p = 2 as normas acima serão denotadas por |u| e |∇u|. v.

(24) • C(Ω), C k (Ω), C0k (Ω), C0∞ (Ω) são espa¸cos de fun¸cões definidos usualmente em análise, ver LIMA [16]. • D(Ω) é o espa¸co da fun¸cões de C ∞ (Ω) com suporte compacto contido em Ω. • W0m,p (Ω) é o fecho de D(Ω) em W m,p (se p = 2 escreve-se H0m = W0m,2 ). Em particular, H01 (Ω) é o fecho de D(Ω) em H 1 (Ω). • V ∗ = {u ∈ D(Ω), div u = 0}. • V é o fecho de V ∗ em H01 (Ω). • H é o fecho de V ∗ em L2 (Ω). 0. • B é o dual do espa¸co de Banach B, isto é, o conjunto de todos os funcionais lineares cont´ınuos em B. • Lp (0, T, X) é o espa¸co da fun¸cões Lp no tempo com valores em X, 1 ≤ p < ∞. • L∞ (0, T, X) é o espa¸co da fun¸cões L∞ no tempo com valores em X. • Para u e v definidas em Ω temos: Z (u, v) = u(x)v(x) dx. Ω. • ((u, v)) = (∇u, ∇v). • hf, ui é o funcional linear f aplicado em u. • S(Rn ) é o espa¸co das fun¸cões u ∈ C ∞ (Rn ) tais que sup|xα Dβ u| < x. ∞, α, β ∈ Nn , onde para x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn e α = (α1 , α2 , ..., αn ) ∈ Nn tem-se xα = xα1 1 .xα2 2 . ... .xαnn . vi.

(25) 0. • S = {f : S(Rn ) −→ R; f linear e cont´ınuo} é o espa¸co das distribui¸cões temperadas. • δo e δT são distribui¸cões de Dirac dadas, respectivamente, por δo : D(R) −→ φ. R. e. 7−→ hδo , φi = φ(0). vii. δT : D(R) −→ φ. R. 7−→ hδT , φi = φ(T )..

(26) Introdu¸c˜ ao As equa¸cões de Navier-Stokes foram denominadas assim após Claude Louis Marie Navier (1785-1836) e George Gabriel Stokes (1819-1903) desenvolverem um conjunto de equa¸cões que descreveriam o movimento das substâncias fluidas tais como l´ıquidos e gases. Elas constituem um conjunto de equa¸cões que descrevem um grande n´ umero de fenômenos f´ısicos de grande interesse econômico e acadêmico tais como: clima, correntes oceânicas, fluxo de água em canos, fluxo ao redor de aerofólios (asas), propaga¸cão de fuma¸ca em incêndio, fluxo sangu´ıneo, etc. As equa¸cões de Navier-Stokes são equa¸cões diferenciais que descrevem o movimento de um fluido (neste trabalho consideraremos a densidade do fluido ρ = 1). As variáveis são o campo de velocidades e a pressão. A formula¸cão clássica para um fluido viscoso e incompress´ıvel é a seguinte: achar uma fun¸cão vetorial v : Ω × [0, T ] −→ Rn e uma fun¸cão escalar p : Ω × [0, T ] −→ R tais que. viii.

(27)    vt + v · ∇v − µ∆v + ∇p = f em Ω × (0, T )      div v = 0 em Ω × (0, T )   v(x, 0) = v0 (x) ∀x ∈ Ω      v(x, t) = 0 ∀t ∈ (0, T ) e ∀x ∈ ∂Ω onde v(x, t) é a velocidade da part´ıcula que ocupa o ponto x no instante t, p(x, t) é a pressão exercida sobre ela no mesmo ponto e no mesmo instante, µ é o coeficiente de viscosidade e v0 (x) é a velocidade inicial. O trabalho está dividido em quatro cap´ıtulos principais.. No primeiro. cap´ıtulo apresentamos os preliminares, resultados básicos de análise funcional que darão suporte para o estudo de solu¸cões fracas em espa¸cos de Sobolev. No segundo cap´ıtulo deduzimos as equa¸cões de Navier-Stokes para um fluido viscoso e incompress´ıvel. Nesta dedu¸cão usamos princ´ıpios básicos da F´ısica tais como a conserva¸cão da massa e a segunda lei de Newton além do teorema do transporte. No terceiro cap´ıtulo come¸camos fazendo uma série de considera¸cões a respeito da forma trilinear b que aparece na formula¸cão variacional das equa¸cões. Em seguida mostramos de forma detalhada a formula¸cão variacional das equa¸cões de Navier-Stokes para um fluido viscoso e incompress´ıvel bem como a existência de solu¸cão em dimensão finita. O quarto cap´ıtulo é dedicado à existência de solu¸cão em um espa¸co de dimensão infinita. Come¸camos este cap´ıtulo fazendo várias estimativas que darão suporte para a demonstra¸cão do teorema 3.1 que é o objetivo maior deste trabalho. Para tal usamos as convergências forte, fraca e fraco-estrela.. ix.

(28) Sum´ ario Agradecimentos. ii. Resumo. iii. Abstract. iv. Nota¸c˜ ao. v. Introdu¸c˜ ao. viii. 1 Preliminares. 1. 1.1. Teorema da Divergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Teorema de Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.3. Imersões de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.4. Identidade de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.5. Desigualdade de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.6. Teorema de Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.7. Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.8. Desigualdade de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.9. Identidade de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.10 Teorema da Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.11 Teorema da Representa¸cão de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. x.

(29) 1.12 Defini¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.13 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2 As Equa¸c˜ oes de Navier-Stokes. 3. 6. 2.1. A Fun¸cão Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.2. O Campo de Velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2.3. A Derivada Parcial e Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.4. O Teorema do Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. 2.5. Conserva¸cão da Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 2.6. Fluidos Incompress´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. 2.7. Conserva¸cão do Momento Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. 2.8. Equa¸cões de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. Solu¸c˜ ao em Dimens˜ ao Finita. 34. 3.1. Introdu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 3.2. A Forma Trilinear b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 3.3. Formula¸cão Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. 3.4. Solu¸cão em Dimensão Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. 4 Solu¸c˜ ao em Dimens˜ ao Infinita 4.1. 4.2. 47. Estimativas a Priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1.1. A sequência {vm } é limitada em L∞ (0, T, H) . . . . . . . 47. 4.1.2. A sequência {vm } é limitada em L2 (0, T, V ) . . . . . . . 50. 4.1.3. Se 0 < γ <. 1 4. então {e vm } é limitada em H γ (R, V, H). . . 51. Solu¸cão em Dimensão Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. Conclus˜ ao. 73. Referˆ encias Bibliogr´ aficas. 74. xi.

(30) Cap´ıtulo 1 Preliminares Neste cap´ıtulo apresentamos uma série de resultados básicos que darão suporte teórico para o estudo da equa¸cão a que nos propomos. A fim de não tornar este trabalho longo e cansativo, os resultados aqui enunciados não serão demonstrados, apenas será indicado uma referência onde se pode encontrar tais demonstra¸cões.. 1.1. Teorema da Divergˆ encia. Seja Ω uma região em três dimensões delimitada por uma superf´ıcie fechada ∂Ω, e denotemos por n o vetor normal unitário exterior a ∂Ω em (x, y, z). Se F é uma fun¸cão vetorial dotada de derivadas parciais cont´ınuas em Ω, então Z Z F · n dS = div F dV. Ω. ∂Ω. Referˆ encia: SWOKOWSKI [25] pág. 616.. 1.

(31) 1.2. Teorema de Carath´ eodory 0. Considere a equa¸cão diferencial ordinária x = f (t, x). Seja f uma fun¸cão definida numa região R dada por |t−τ | ≤ a e |x−ξ| ≤ b tal que f é mensurável em t para cada x fixo e cont´ınua em x para cada t fixo. Se existe uma fun¸cão m integrável no intervalo |t − τ | ≤ a com |f (t, x)| ≤ m(t). (t, x) ∈ R. então existe uma solu¸cão ϕ satisfazendo a EDO a menos de um conjunto de medida nula. Referˆ encia: CODDINGTON [4] pág. 43.. 1.3. Imers˜ oes de Sobolev. Se Ω é um aberto limitado do Rn com fronteira regular então para todo u ∈ H01 (Ω) e 1 ≤ q < ∞ tem-se: |u|Lq (Ω) ≤ c(Ω)|u|H01 (Ω). se n = 2,. |u|L6 (Ω) ≤ c(Ω)|u|H01 (Ω). se n = 3,. |u|L4 (Ω) ≤ c(Ω)|u|H01 (Ω). se n = 4,. |u|. 2n. L n−2 (Ω). ≤ c(Ω)|u|H01 (Ω) se n ≥ 3.. ´ Referˆ encia: TEMAM [26] p. 159 ou BREZIS [2] p. 168.. 1.4. Identidade de Green. Se Ω ⊂ R3 é um conjunto aberto limitado então Z Z ∂v (u∆v + ∇u∇v) dx = u − → dS Ω ∂Ω ∂ n 2.

(32) onde. − é a derivada de v na dire¸cão de → n.. ∂v → ∂− n. Referˆ encia: EVANS [5] p. 559.. 1.5. Desigualdade de H¨ older. Sejam 1 < p, q < ∞ com. 1 p. 1 q. +. = 1. Se u ∈ Lp e v ∈ Lq então uv ∈ L1 e vale. a desigualdade Z |uv| ≤ |u|Lp |v|Lq . ´ Referˆ encia: BREZIS [2] p. 56.. 1.6. Teorema de Tonelli. Sejam Ω1 ⊂ Rn , Ω2 ⊂ Rm abertos e f : Ω1 ×Ω2 −→ R uma fun¸cão mensurável. Se Z |f (x, y)|dy < ∞ Ω2. para quase todo x ∈ Ω1 e Z. Z |f (x, y)|dy < ∞. dx Ω1. Ω2. então f ∈ L1 (Ω1 × Ω2 ). ´ Referˆ encia: BREZIS [2] p. 55.. 1.7. Teorema de Fubini. Sejam Ω1 ⊂ Rn , Ω2 ⊂ Rm abertos e f : Ω1 ×Ω2 −→ R uma fun¸cão mensurável. Se f ∈ L1 (Ω1 × Ω2 ) então Z Z Z f (x, y) dy dx = Ω1. Ω2. Ω2. Z. Z f (x, y) dx dy =. f (x, y) dx dy. Ω1 ×Ω2. Ω1. 3.

(33) ´ Referˆ encia: BREZIS [2] p. 55.. 1.8. Desigualdade de Poincar´ e. Se Ω ⊂ Rn é um aberto limitado com fronteira regular então para todo v ∈ H01 (Ω) tem-se: |v|L2 (Ω) ≤ c|∇v|L2 (Ω) onde c é uma constante que depende de Ω. Referˆ encia: MEDEIROS [21] p. 91.. 1.9. Identidade de Parseval. Se f : R −→ C é infinitamente diferenciável e tem suporte compacto então |f |2L2 (R) = |fb|2L2 (R) . ´ Referˆ encia: IORIO [13] p. 192.. 1.10. Teorema da Compacidade. Se X0 , X e X1 são espa¸cos de Hilbert onde X0 ⊂ X ⊂ X1 com inje¸cões cont´ınuas e a inje¸cão de X0 em X compacta então para qualquer limitado K γ e γ > 0 dados a inje¸cão de HK (R, X0 , X1 ) em L2 (R, X) é compacta, onde. H γ (R, X0 , X1 ) = {v ∈ L2 (R, X0 ); Dtγ v ∈ L2 (R, X1 )} γ HK (R, X0 , X1 ) = {u ∈ H γ (R, X0 , X1 ), supp u ⊂ K}.. Referˆ encia: TEMAM [26] p. 274. 4.

(34) 1.11. Teorema da Representa¸ c˜ ao de Riesz. Sejam 1 < p, q < ∞ com. 1 p. +. 1 q. 0. = 1. Se u ∈ (Lp (Ω)) então existe uma u ńica. fun¸cão v ∈ Lq (Ω) tal que Z hu, f i =. ∀f ∈ Lp (Ω).. vf. ´ Referˆ encia: BREZIS [2] p. 61.. 1.12. Defini¸c˜ oes. • Se f ∈ L1 (R) a transformada de Fourier de f se define por Z b f (r) = e−2iπrt v(t) dt R 0. • Se u ∈ S a transformada de Fourier u b de u se define por b ∀φ ∈ S. hb u, φi = hu, φi, Como exemplo calculemos a transformada de Fourier de δ0 e δT : Z ∞ Z ∞ −2iπt.0 b b b hδo , φi = hδo , φi = φ(0) = e φ(t) dt = 1 φ(t) dt = h1, φi. −∞. −∞. logo δbo = 1 Analogamente Z. ∞. b = φ(T b )= hδbT , φi = hδT , φi. e−2iπtT φ(t) dt = he−2iπtT , φi.. −∞. Logo δbT = h(r) = e−2iπrT .. 1.13. Teorema. Se f ∈ L1 (Rn ) a transformada fb de f como distribui¸cão temperada coincide com a transformada de f como fun¸cão. Referˆ encia: HOUNIE [12] p. 81. 5.

(35) Cap´ıtulo 2 As Equa¸c˜ oes de Navier-Stokes 2.1. A Fun¸c˜ ao Fluxo. Uma maneira de se descrever o movimento de um fluido 1 é tentando seguir o movimento de suas part´ıculas, atribuindo as coordenadas x, y e z a cada uma delas e especificando estas coordenadas em fun¸cão do tempo. Nesse contexto, um modelo matemático para esta descri¸cão é a fun¸cão φ definida da seguinte forma: seja Ω0 ⊂ R3 uma região aberta limitada ocupada por uma por¸cão de fluido (l´ıquido ou gás) no instante t = 0. A fun¸cão φ : Ω0 × [0, T ] −→. R3. 7−→ φ(a, t). (a, t). é tal que para cada a ∈ Ω0 a curva t 7−→ φ(a, t) descreve a trajetória da part´ıcula que ocupava a posi¸cão a no instante t = 0, ou ainda, considerando o escoamento do fluido, para cada t fixo, φt (Ω0 ) = Ωt é a região ocupada pela por¸cão de fluido no tempo t. 1. Fluido é qualquer substˆ ancia não sólida capaz de escoar e assumir a forma do recipiente. que o contém.. 6.

(36) A fun¸cão φ chama-se fun¸c˜ ao fluxo e esta é a descrri¸c˜ ao lagrangeana. Os pontos de Ω0 são chamados coordenadas materiais.. 2.2. O Campo de Velocidades. Outra maneira de descrever o movimento de um fluido é abandonar a tentativa de especificar a trajetória de cada part´ıcula e, ao invés, especificar a velocidade do fluido, em cada ponto do espa¸co, a cada instante de tempo. Nesse contexto, um modelo matemático para esta descri¸cão é a fun¸cão v definida da seguinte forma: seja Ω ⊂ R3 um aberto limitado. A fun¸cão v : Ω × [0, T ] −→. R3. 7−→ v(x, t). (x, t). é tal que para cada x fixo, vx = v(x, t) nos dá o vetor velocidade da part´ıcula que está passando pela posi¸cão x, no instante t. Assim, focaliza-se a aten¸cão no que está acontecendo em um determinado ponto no espa¸co, num instante particular, ao invés de no que está acontecendo com uma determinada part´ıcula do fluido. A fun¸cão v chama-se campo de velocidades e esta é a descri¸c˜ ao euleriana. Os pontos x são chamados coordenadas espaciais. A fun¸cão fluxo e o campo de velocidades estão fortemente ligados. Das defini¸cões acima segue-se imediatamente a rela¸cão d v φ(a, t), t = φ(a, t), dt. a ∈ Ω0. (2.1). isso quer dizer que o vetor velocidade da part´ıcula que está no ponto φ(a, t) é a derivada do caminho t 7−→ φ(a, t). Portanto, conhecendo-se a fun¸cão φ podemos definir, para cada t, a fun¸cão φt (x) = φ(x, t). Essa nova fun¸cão, para cada t fixado, nos dá a posi¸cão da 7.

(37) part´ıcula que no instante t = 0 ocupava a posi¸cão x. Por exemplo, φ0 (x) = φ(x, 0) = x. Sabendo-se inverter a fun¸cão φt obtemos a fun¸cão φ−1 tal que φ−1 ea t t (x) ´ posi¸cão a em que a part´ıcula se encontrava no instante t = 0. Se φ(a, t) = x então φ−1 cão 2.1, temos t (x) = a. Assim, da rela¸ d v(x, t) = v φ(a, t), t = φ(φ−1 t (x), t dt ou seja, conhecendo-se φ e sabendo-se inverter a fun¸cão φt obtemos o campo de velocidades v(x, t). Reciprocamente, se o campo de velocidades v(x, t) for conhecido, obtém-se φ resolvendo-se, para cada a ∈ Ω0 a equa¸cão diferencial ordinária com a condi¸cão incial  . d φ(a, t) dt.  φ(a, 0). = v φ(a, t), t. (2.2). = a.. Isso justifica o fato de apenas o campo de velocidades ser uma das variáveis nas Equa¸cões de Navier-Stokes, como veremos adiante. No intuito de deduzir as Equa¸cões de Navier-Stokes a partir da segunda lei de Newton e do princ´ıpio da conserva¸cão da massa vamos admitir que a fun¸cão fluxo φ exista e possua todas as propriedades de diferenciabilidade e invertibilidade que forem necessárias. Mais precisamente, se Ωt é a região do espa¸co ocupada pelo fluido no instante t, admitiremos que φt : Ω0 −→. Ωt. x 7−→ φ(x, t) é diferenciável e possui inversa diferenciável.. 8.

(38) 2.3. A Derivada Parcial e Material. Dada uma fun¸cão f (x, t), x ∈ Ωt ⊂ R3 e uma trajetória t −→ φ(a, t) considere a fun¸cão composta fφ (t) = f φ(a, t), t . Usando a regra da cadeia para derivar fφ e omitindo os argumentos das fun¸cões f e φ obtemos: 0. fφ (t) =. d f (φ1 , φ2 , φ3 , t) dt. ∂f ∂φ1 ∂f ∂φ2 ∂f ∂φ3 ∂f ∂t + + + ∂φ1 ∂t ∂φ2 ∂t ∂φ3 ∂t ∂t ∂t ∂f ∂f ∂f ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 ∂f 0 fφ (t) = , , · , , + ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 ∂t ∂t ∂t ∂t 0. fφ (t) =. 0. 0. fφ (t) = φ · ∇f +. ∂f ∂t. onde a u ´ltima expressão é a forma reduzida da pen´ ultima, de acordo com as conven¸cões para a utiliza¸cão dos s´ımbolos · e ∇. Assim, de 2.2, temos: ∂f 0 fφ (t) = v · ∇f + (φ(a, t), t). ∂t A derivada material de f , que denotaremos por Df ∂f = v · ∇f + . Dt ∂t. Df , Dt. é definida pela fórmula: (2.3). Assim, dada uma fun¸cão f (x, t), a derivada material nos dá a taxa de varia¸cão de f ao longo da trajetória de uma part´ıcula que, no instante t, ocupa a posi¸cão x ∈ Ωt . Se considerarmos um ponto fixo no espa¸co a derivada material nos dá a taxa de varia¸cão de f em rela¸cão ao tempo (descri¸cão Euleriana). Neste caso, Df Dt. =. ∂f ∂t. chama-se derivada parcial.. 9.

(39) 2.4. O Teorema do Transporte. Uma fun¸cão f : U −→ Rn , definida no aberto U ⊂ Rm , diz-se diferenciável no ponto a ∈ U quando, para todo v = (α1 , ..., αm ) tal que a + v ∈ U e para cada i = 1, ..., n, tem-se m X ∂fi fi (a + v) − fi (a) = (a).αj + ri (v) ∂xj j=1. com. lim. v→0. ri (v) = 0. |v|. A matriz . ∂fi (a) ∈ M (n × m) ∂xj. chama-se matriz jacobiana de f no ponto a e a transforma¸cão linear f 0 (a) : Rm → Rn , cuja matriz em rela¸cão às bases canônicas de Rm e Rn é a matriz jacobiana de f no ponto a, chama-se a derivada da aplica¸c˜ ao f no ponto a. Lema 2.1. Se a aplica¸cão f : U −→ R3 , definida no aberto U ⊂ R3 e diferenciável no ponto a ∈ U, admite uma inversa g = f −1 : V −→ R3 definida no aberto V ⊂ R3 e diferenciável no ponto b = f (a), ent˜ ao Jf (a) 6= 0, onde Jf (a) é o determinante da matriz jacobiana de f no ponto a. Demonstra¸c˜ ao: Seja Id : R3 −→ R3 a aplica¸cão identidade, ou seja, Id (x) = (x), para todo 0. x ∈ R3 . A transforma¸cão linear Id : R3 −→ R3 , cuja matriz em rela¸cão a base canônica é I3 (matriz identidade de ordem 3) é a derivada de Id . Assim, g o f = 0. 0. 0. 0. Id , e portanto, (g o f ) (a) = Id . Pela Regra da Cadeia vem que g (f (a)).f (a) = 0. 0. 0. 0. 0. 0. g (b).f (a) = I3 . Analogamente, f (g(b)).g (b) = f (a).g (b) = I3 . Isso mostra 0. 0. 0. que g (b) = f (a)−1 , ou seja, f (a) possui inversa. Assim, pelas propriedades usuais dos determinantes temos que Jf (a) 6= 0. Mais geralmente, se uma aplica¸cão f admite inversa em todo seu dom´ınio aberto D, então Jf (x) 6= 0 para todo x ∈ D.. 10.

(40) Teorema 2.1 (Teorema do Transporte). Satisfeitas as hip´ oteses sobre a fun¸cão fluxo φ mencionadas nas se¸c˜ oes anteriores e sendo Ωt uma regi˜ ao onde se pode aplicar o Teorema da Divergência de Gauss, vale a seguinte f´ ormula: Z Z d Df f (x, t)dx = + f div v (x, t)dx. dt Ωt Dt Ωt Demonstra¸c˜ ao: Na primeira integral acima, para cada t fixo, fa¸camos a seguinte mudan¸ca de variável: x = φt (y) ou seja, (x1 , x2 , x3 ) = (φ1 (y), φ2 (y), φ3 (y)) = φ1 (y1 , y2 , y3 ), φ2 (y1 , y2 , y3 ), φ3 (y1 , y2 , y3 ) assim, o jacobiano J(y, t) é dado por

(41)

(42) ∂φ1

(43)

(44) ∂y1

(45)

(46) ∂φ2

(47) J(y, t) =

(48) ∂y 1

(49)

(50)

(51) ∂φ3

(52)

(53) ∂y1. ∂φ1 ∂y2 ∂φ2 ∂y2 ∂φ3 ∂y2. ∂φ1 ∂y3 ∂φ2 ∂y3 ∂φ3 ∂y3.

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

(66). onde o argumento y das derivadas foi omitido. Logo, Z Z

(67)

(68) f (x, t)dx = f (φt (y), t)

(69) J(y, t)

(70) dy. Ωt. (2.4). Ω0. Como, por hipótese, φt é sempre invers´ıvel, pelo Lema 2.1 J(y, t) nunca se anula. Além disso, o jacobiano é cont´ınuo (pois é uma soma de produtos de fun¸cões cont´ınuas). Por outro lado, t = 0 ⇒ x = φ0 (y) ⇒ (x1 , x2 , x3 ) = φ0 (y) = y = (y1 , y2 , y3 ). Neste caso.   1, se i = j ∂φi (y) =  0, se i 6= j. ∂yj 11.

(71) Dessa forma, J(y, 0) = det I3 = 1 > 0. Logo, J(y, t) é sempre positivo e 2.4 pode ser escrito como Z. Z f (x, t)dx =. Ωt. f (φt (y), t)J(y, t)dy.. (2.5). Ω0. Pela defini¸cão da fun¸cão φ, φt (y) = φ(y, t) é a posi¸cão da part´ıcula que no tempo t = 0 ocupava a posi¸cão y que não se altera com o passar do tempo. Dessa forma a integral que resultou da mudan¸ca de variáveis tem dom´ınio de integra¸cão independente do tempo. Podemos, portanto, trocar a ordem de deriva¸cão e integra¸cão, obtendo Z Z d d f (x, t)dx = f (φ(y, t), t)J(y, t)dy dt Ωt dt Ω0 Z d [f (φ(y, t), t)J(y, t)] dy = dt Ω0 Z d d = f (φ(y, t), t) J(y, t) + f (φ(y, t), t) J(y, t) dy dt dt Ω0 Z Z d d = f (φ(y, t), t) J(y, t)dy + f (φ(y), t) J(y, t)dy. dt Ω0 dt Ω0. Consideremos a primeira integral após a u ´ltima igualdade acima. A derivada no integrando é a derivada de f calculada ao longo de um caminho, ou seja, a derivada material. Logo Z Z d Df f (φ(y), t) J(y, t)dy = (φ(y, t), t) J(y, t)dy. dt Ω0 Ω0 Dt Da´ı, pela mudan¸ca de variável x = φt (y), temos Z Z Df Df (φ(y, t), t)J(y, t)dy = (x, t). Ω0 Dt Ωt Dt Consideremos agora a integral Z d f (φ(y), t) J(y, t)dy. dt Ω0 12. (2.6).

(72) Inicialmente vamos calcular a derivada do jacobiano,

(73)

(74)

(75) ∂φ1 ∂φ1 ∂φ1

(76)

(77)

(78)

(79) ∂y1 ∂y2 ∂y3

(80)

(81)

(82) dJ d

(83)

(84) ∂φ2 ∂φ2 ∂φ2

(85)

(86) =

(87)

(88) dt dt

(89) ∂y1 ∂y2 ∂y3

(90)

(91)

(92)

(93) ∂φ3 ∂φ3 ∂φ3

(94)

(95)

(96)

(97) ∂y1 ∂y2 ∂y3

(98) no ponto (y, t). Pela regra de Sarrus para o cálculo de determinante, obtemos: dJ dt. d ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 + + − dt ∂y1 ∂y2 ∂y3 ∂y2 ∂y3 ∂y1 ∂y3 ∂y1 ∂y2. =. ! ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 − − − . ∂y3 ∂y2 ∂y1 ∂y1 ∂y3 ∂y2 ∂y2 ∂y1 ∂y3. Pela regra do produto, temos: d dt. . ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 ∂yi ∂yj ∂yk. . =. ∂φ1 ∂yi. 0. ∂φ2 ∂φ3 ∂φ1 + ∂yj ∂yk ∂yi. . ∂φ2 ∂yj. 0. ∂φ3 ∂φ1 ∂φ2 + ∂yk ∂yi ∂yj. . ∂φ3 ∂yk. 0 .. Assim, fazendo i, j, k variar no conjunto A = {1, 2, 3}, com i 6= j 6= k 6= i obtemos: 0 0 0 d ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 = + + dt ∂y1 ∂y2 ∂y3 ∂y1 ∂y2 ∂y3 ∂y1 ∂y2 ∂y3 ∂y1 ∂y2 ∂y3 d dt. . ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 ∂y2 ∂y3 ∂y1. . =. ∂φ1 ∂y2. 0. ∂φ2 ∂φ3 ∂φ1 + ∂y3 ∂y1 ∂y2. . ∂φ2 ∂y3. 0. ∂φ3 ∂φ1 ∂φ2 + ∂y1 ∂y2 ∂y3. . ∂φ3 ∂y1. 0. 0 0 0 ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 = + + ∂y3 ∂y1 ∂y2 ∂y3 ∂y1 ∂y2 ∂y3 ∂y1 ∂y2 0 0 0 d ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 − =− − − dt ∂y3 ∂y2 ∂y1 ∂y3 ∂y2 ∂y1 ∂y3 ∂y2 ∂y1 ∂y3 ∂y2 ∂y1 0 0 0 d ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 − =− − − dt ∂y1 ∂y3 ∂y2 ∂y1 ∂y3 ∂y2 ∂y1 ∂y3 ∂y2 ∂y1 ∂y3 ∂y2. d dt. . ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 ∂y3 ∂y1 ∂y2. . . 13.

(99) d dt. . ∂φ1 ∂φ2 ∂φ3 − ∂y2 ∂y1 ∂y3. . =−. ∂φ1 ∂y2. 0. ∂φ2 ∂φ3 ∂φ1 − ∂y1 ∂y3 ∂y2. . ∂φ2 ∂y1. 0. ∂φ3 ∂φ1 ∂φ2 − ∂y3 ∂y2 ∂y1. . ∂φ3 ∂y3. Observe que cada uma das seis derivadas acima é uma soma de três parcelas. Somando a primeira parcela de cada uma delas obtemos o determinante

(100)

(101)

(102) ∂ ∂φ1 ∂ ∂φ1 ∂ ∂φ1

(103)

(104) ∂t ∂y1 ∂t ∂y2 ∂t ∂y3

(105)

(106)

(107)

(108)

(109)

(110) ∂φ2 ∂φ2

(111) D1 =

(112) ∂φ2

(113) ∂y2 ∂y3

(114) ∂y1

(115)

(116) ∂φ3

(117) ∂φ ∂φ 3 3

(118) ∂y

(119) ∂y ∂y 1. 2. 3. Analogamente, a soma das segundas parcelas e das terceiras nos dão, respectivamente, os determinantes

(120)

(121) ∂φ1 ∂φ1 ∂φ1

(122) ∂y1 ∂y2 ∂y3

(123)

(124) ∂ ∂φ2 ∂ ∂φ2 ∂ ∂φ2 D2 =

(125) ∂t ∂y ∂t ∂y ∂t ∂y 1 2 3

(126)

(127) ∂φ3 ∂φ3 ∂φ3

(128) ∂y ∂y ∂y 1. 2. 3.

(129)

(130)

(131)

(132)

(133)

(134)

(135)

(136)

(137). e.

(138)

(139)

(140)

(141)

(142) D3 =

(143)

(144)

(145)

(146). ∂φ1 ∂y1. ∂φ1 ∂y2. ∂φ1 ∂y3. ∂φ2 ∂y1. ∂φ2 ∂y2. ∂φ2 ∂y3. ∂ ∂φ3 ∂t ∂y1. ∂ ∂φ3 ∂t ∂y2. ∂ ∂φ3 ∂t ∂y3.

(147)

(148)

(149)

(150)

(151)

(152)

(153)

(154)

(155). Por outro lado, pela regularidade da fun¸cão φ, podemos trocar a ordem de deriva¸cão e escrever ∂ ∂φi ∂ (y, t) = ∂t ∂yj ∂yj =. =. . ∂φi (y, t) ∂t. ∂ [vi (φ(y, t), t)] ∂yj 3 X ∂vi k=1. ∂φk (φ(y, t), t) (y, t) . ∂xk ∂yj. Assim, aplicando a propriedade da soma para determinantes, segue que

(156)

(157)

(158)

(159) ∂v1 ∂φk ∂v1 ∂φk ∂v1 ∂φk

(160)

(161) ∂φ1 ∂φ1 ∂φ1

(162) ∂xk ∂y1 ∂xk ∂y2 ∂xk ∂y3

(163)

(164) ∂y1 ∂y ∂y3

(165)

(166) 2 3 3 X

(167)

(168) X

(169)

(170) dJ

(171)

(172) ∂φ ∂φ ∂φ ∂φ ∂φ ∂v ∂v ∂v 2 2 k 2 2 ∂φk =

(173) 2 k

(174) +

(175) ∂y12 ∂xk ∂y1 ∂xk ∂y2 ∂xk ∂y3 ∂y2 ∂y3

(176) dt

(177) k=1

(178) k=1

(179)

(180)

(181) ∂φ3 ∂φ3 ∂φ3 ∂φ3 ∂φ3

(182) ∂φ3

(183)

(184) ∂y ∂y1 ∂y2 ∂y3 ∂y ∂y 1. 2. 3. 14.

(185)

(186)

(187)

(188)

(189)

(190) +

(191)

(192)

(193). 0 ..

(194)

(195)

(196)

(197) 3 X

(198)

(199) +

(200)

(201) k=1

(202)

(203). ∂φ1 ∂y1. ∂φ1 ∂y2. ∂φ1 ∂y3. ∂φ2 ∂y1. ∂φ2 ∂y2. ∂φ2 ∂y3. ∂v3 ∂φk ∂xk ∂y1. ∂v3 ∂φk ∂xk ∂y2. ∂v3 ∂φk ∂xk ∂y3.

(204)

(205)

(206)

(207)

(208)

(209) .

(210)

(211)

(212). Consideremos o primeiro somatório acima. A primeira parcela deste somatório é. ∂v1 J. ∂x1. Já a segunda e a terceira parcelas são determinantes formados. por linhas proporcionais, portanto iguais a zero. Logo este somatório é igual a ∂v1 J. ∂x1 De maneira análoga vemos que o segundo e terceiro somatórios acima são iguais, respectivamente, a ∂v2 J ∂x2. e. ∂v3 J. ∂x3. Portanto, d J(y, t) = J(y, t) div v(φ(y, t), t). dt Da´ı, Z. dJ f (φ(y, t), t) (y, t) = dt Ω0. Z f (φ(y, t), t) [div v(φ(y, t), t)] J(y, t)dy.. (2.7). Ω0. Logo, através da substitui¸cão x = φt (y), temos Z Z ∂J f (φ(y, t), t) (y, t) = f (x, t) div v(x, t)dx. ∂t Ω0 Ωt. (2.8). Assim, d dt. 2.5. Z . Z f (x, t)dx = Ωt. Ωt. Df + f div v (x, t). Dt. (2.9). Conserva¸c˜ ao da Massa. A lei da Conserva¸cão da Massa afirma que em qualquer sistema natural a matéria é conservada, ou seja, não se gera nem se destrói matéria. Em 15.

(213) qualquer sistema, f´ısico ou qu´ımico, nunca se cria nem se elimina matéria, apenas é poss´ıvel transformá-la de uma forma em outra. Nesta se¸cão vamos usar a lei da Conserva¸cão da Massa para obter uma rela¸cão para o movimento de matéria cont´ınua. Seja Ω uma região ocupada por uma por¸cão de fluido e seja ρ(x, t), ou simplismente ρ, a densidade da part´ıcula de fluido que ocupa o ponto x ∈ Ω no instante t. Consideremos também uma parti¸cão interior Ωk de Ω. Escolhendo um ponto xk em cada sub-região Ωk , de volume ∆Vk e formando a soma de Riemann X. ρ(xk )∆Vk. k. obtemos o valor aproximado da massa m da por¸cão do fluido que ocupa a região Ω. Assim, por defini¸cão, a massa da por¸cão de fluido que ocupa uma região Ω no instante t é dado por Z m=. ρ(x, t)dx. Ω. Dessa forma, dizer que a massa se conserva significa que para todo t ≥ 0, com Ωt a imagem de Ω0 pela fun¸cão φt e Ω0 arbitrário, tem-se Z Z ρ(x, t)dx. ρ(x, 0)dx = Ω0. Ωt. Portanto Z Z d d ρ(x, 0)dx = ρ(x, t)dx. dt Ω0 dt Ωt Como a primeira integral da igualdade acima independe do tempo temos Z d ρ(x, t)dx = 0. dt Ωt Assumindo que ρ tem derivadas cont´ınuas e aplicando Teorema do Transporte 2.1 obtemos d 0= dt. Z . Z ρ(x, t)dx = Ωt. Ωt. 16. Dρ + ρ div v (x, t)dx. Dt.

(214) Se Ωt é um aberto qualquer ocupado pelo fluido no instante t, então existe Ω0 aberto tal que φt (Ω0 ) = Ωt , já que estamos supondo φt invers´ıvel e cont´ınua (Veja LIMA [16], pág. 22) ou seja, em qualquer instante de tempo t a integral sobre a Ωt da fun¸cão cont´ınua Dρ + ρ div v Dt é sempre nula. Isso só é poss´ıvel se esta fun¸cão for identicamente nula. Obtemos assim a equa¸cão da conserva¸c˜ ao da massa, também conhecida como equa¸cão da continuidade Dρ + ρ div v = 0. Dt. (2.10). Pelas hipóteses feitas sobre a fun¸cão ρ e o campo de velocidades temos div(ρ v) = div(ρ v1 , ρ v2 , ρ v3 ) ∂(ρ v1 ) ∂(ρ v2 ) ∂(ρ v3 ) + + ∂x ∂y ∂z ∂ρ ∂v1 ∂ρ ∂v2 ∂ρ ∂v3 = v1 + ρ + v2 + ρ + v3 + ρ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂v1 ∂v2 ∂v3 = v1 + v2 + v3 + ρ +ρ +ρ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂v1 ∂v2 ∂v3 = , , · (v1 , v2 , v3 ) + ρ , , ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z =. = v · ∇ρ + ρ div v.. (2.11). Da´ı e da equa¸cão da continuidade 2.10 temos Dρ + div(ρ v) − v · ∇ρ = 0. Dt Assim, usando a defini¸cão de derivada material a equa¸cão da continuidade pode ser escrita como dρ + div(ρ v) = 0. dt 17.

(215) 2.6. Fluidos Incompress´ıveis. Um fluido é dito incompress´ıvel quando o seu volume não se altera durante o escoamente, ou seja, se no instante t = 0 uma por¸cão de fluido ocupa uma região Ω0 de volume V0 e no instante t ocupa uma região Ωt de volume Vt tem-se V0 = Vt mesmo que a forma das duas regiões sejam diferentes. Consequentemente, devido a lei da conserva¸cão da massa, dizer que um fluido é incompress´ıvel é equivalente a dizer que a densidade é constante. Na verdade a maioria dos fluidos são compress´ıveis, porém em certas condi¸cões de temperatura e pressão a compressibilidade é tão pequena que o fluido pode ser considerado como incompress´ıvel. Decorre da defini¸cão de integral tripla que se f (x, y, z) = 1 em toda uma região Ω então a integral Z dx Ω. é o valor do volume de Ω. Dessa forma, a condi¸cão do volume de qualquer por¸cão de fluido ser preservada pelo fluxo é descrita pela equa¸cão: Z d dx = 0. dt Ω Assim, se um fluido é incompress´ıvel, o Teorema do Transporte aplicado a f = 1 nos dá d 0= dt. Z . Z dx = Ω. Ω. D + div v dx, Dt. ou seja, Z Ω. Z ∂f v · ∇f + + div v dx = div v dx = 0. ∂t Ω. Esta rela¸cão é válida para todo aberto Ω. Da´ı se conclui que o divergente da velocidade é nulo em todos os pontos, ou seja, div v = 0 que é a condi¸cão de incompressibilidade. 18. (2.12).

(216) 2.7. Conserva¸c˜ ao do Momento Linear. Durante o movimento de um fluido a por¸cão de fluido que ocupa uma região Ωt interage mecanicamente com o meio externo (ao fluido) e com o resto do fluido. A intera¸cão com o meio externo se dá através das for¸cas externas (peso, for¸ca de coriólis, for¸cas eletromagnéticas, etc.). A intera¸cão com o resto do fluido se dá na fronteira de Ωt através das for¸cas internas (for¸cas de contato ou tensões). O momento linear de um sistema é igual ao produto de sua massa por sua velocidade. Ele mede a quantidade de movimento do sistema e tem o seguinte significado f´ısico: quanto maior o momento de um sistema, mais dif´ıcil se torna pará-lo. Por exemplo, dados dois objetos com momentos lineares distintos, se pararem no mesmo intervalo de tempo devido a uma colisão, as consequências (ou seja, os estragos) serão maiores no objeto com maior momento linear. Nesta se¸cão deduziremos uma equa¸cão que envolve este conceito. Consideremos uma região Ωt . Decompondo esta região em sub-regiões Ω1 , Ω2 , ... Ωk tal que o interior de Ωi é disjunto do interior Ωj , i, j ∈ 1, 2, ... k sempre que i 6= j, tomando-se arbitrariamente xi ∈ Ωi e considerando, respectivamente, mi e ∆Vi a massa e o volume da sub-região Ωi , o valor aproximado do momento linear relativo a por¸cão do fluido que ocupa a região Ωi é Mi = mi v(xi , t) = ρ(xi , t)v(xi , t)∆Vi . Assim, o momento linear de uma por¸cão de fluido que ocupa, no instante t, a região Ωt é, por defini¸cão Z ρ(x, t)v(x, t)dx. Ωt. Se não existem for¸cas agindo no sistema seu momento linear se mantém constante. Porém, se existem for¸cas agindo nele a segunda lei de Newton afirma que a taxa de varia¸cão temporal da quantidade de movimento linear 19.

(217) (momento linear) é igual a soma total das for¸cas que atuam no sistema, ou seja, Z d ρv dx = FORC ¸ A TOTAL. dt Ωt Esta, por sua vez, é a soma das for¸cas externas e das for¸cas internas. Quanto às for¸cas externas suponhamos conhecida a fun¸cão f (x, t) que dá o somatório das for¸cas externas por unidade de massa. Dessa forma, a for¸ca externa total atuando na por¸cão do fluido que, no instante t, ocupa a região Ωt é, por defini¸cão Z ρ(x, t)f (x, t) dx. Ωt. Se apenas o peso for considerado, f (x, t) =. p m. =. m.g m. = g (gravidade). Trataremos agora das for¸cas internas (for¸cas de contato ou tensões). Um dos mais importantes axiomas da mecânica do cont´ınuo é a hipótese de Cauchy com rela¸cão a essas for¸cas. Considerando N o conjunto de todos os vetores unitários de R3 , Cauchy admite a existência de um campo de tensões cont´ınuo em x s : N × Ω × [0, T ] −→. R3. 7−→ s(n, x, t). (n, x, t). que dá a for¸ca de contato por unidade de área atuando numa superf´ıcie perpendicular a n, no ponto x, no instane t. Dessa forma, a for¸ca exercida pelo resto do fluido na por¸cão do fluido que, no instante t, ocupa a região Ωt , é dada por Z s(n, x, t) dSx ∂Ωt. onde n é normal a ∂Ωt , apontando para fora. Assim, Z Z Z d ρ(x, t)v(x, t) dx = ρ(x, t)f (x, t) dx + s(n, x, t) dSx dt Ωt Ωt ∂Ωt | {z } | {z } | {z } for¸ca total for¸ca externa for¸ca interna. (2.13). O teorema seguinte garante que se o fluido satisfizer a segunda lei de Newton então s tem de depender linearmente de n. 20.

(218) Teorema 2.2 (Teorema de Cauchy). Se s(n, x, t) definida para todo x em uma região aberta Ω e para todo vetor unit´ ario n é cont´ınua em x e se f (x, t) é limitada em Ω então s(n, x, t) é linear em n, isto é, s(n, x, t) = S(x, t)n. Demonstra¸c˜ ao: Pelo Teorema do Transporte temos Z Z d D ρv dx = (ρv) + ρv div v dx dt Ω Dt Ω Z Dρ Dv = v+ρ + ρv div v dx Dt Dt Ω Z Dv Dρ = ρ +v + ρ div v dx Dt Dt Ω donde, pelo princ´ıpio da conserva¸cão da massa, vem Z Z d Dv ρv dx = ρ dx. dt Ω Ω Dt. (2.14). Consideremos a fun¸cão g = ρf −ρ Dv . A segunda lei de Newton juntamente Dt com 2.14 nos dá Z. Dv ρ dx = Ω Dt. Z. Z ρf dx +. s dSx. Ω. ∂Ω. Z . Z Dv = g+ρ dx + s dSx Dt Ω ∂Ω Z Z Z Dv = g dx + ρ + s dSx . Ω Ω Dt ∂Ω. Logo Z. Z s dSx = −. ∂Ω. g dx. Ω. 21.

(219) Como por hipótese f é limitada segue-se que |g| ≤ k, para algum k real. Logo,

(220) Z

(221)

(222)

(223). ∂Ω.

(224)

(225) Z

(226) Z Z Z

(227)

(228)

(229) s dSx

(230)

(231) =

(232)

(233) g dx

(234)

(235) ≤ |g|dx ≤ k dx = k dx = k vol(Ω) Ω. Ω. Ω. Ω. onde vol(Ω) é o volume da região Ω. A fim de estender a hipótese de Cauchy a todo vetor de R3 consideremos a fun¸cão   |u| s u , x , se u 6= 0 |u| s(u, x) =  0, se u = 0 onde o parâmetro t foi eliminado para simplificar a nota¸cão. Vamos mostrar que para todo x da região de escoamento a fun¸cão s(u, x) definida acima é linear em n. Para tal consideremos um ponto x0 interior a região de escoamento, os vetores u1 e u2 linearmente independentes e os escalares e δ positivos e suficientemente pequenos. Além disso, consideremos os planos π1 , com normal u1 , que passa por x0 e o plano π2 , com normal u2 , passando também por x0 . Tomemos também o plano π3 que passa por x0 + u3 , com normal u3 = −(u1 + u2 ). Seja R a região limitada por estes planos e pelos planos paralelos π4 e π5 distantes δ de x0 , com normais u4 = m e u5 = −m, respectivamente, conforme figura abaixo.. 22.

(236) Logo a fronteira da região R é. ∂R =. 5 [. Si. i=1. onde Si é a face de R cujo vetor normal é ui . Na figura anterior considere um corte transversal produzido por um plano π paralelo a u1 e u2 , conforme figura abaixo.. Observe que o ângulo o ângulo. π 2. π 2. b = β. Por outro lado, + β é externo ao ∆AOF , logo A. b = α. Portanto + α é externo ao ∆OBF , logo B ∆AOB ∼ ∆OCD. e da´ı |u1 | |u2 | |u3 | = = OB OA AB donde vem que |u1 | |u2 | |u3 | = = OB.2α OA.2α AB.2α ou seja, se αi é a área da face Si temos |u1 | |u2 | |u3 | = = α1 α2 α3 23.

(237) logo, α1 =. |u1 | α3 |u3 |. e. α2 =. |u2 | α3 . |u3 |. (2.15). Além disso, as faces paralelas têm áreas α4 = α5 =. α3 |u3 | |u3 | = α3 2δ 2 4δ. (2.16). e o volume da região R é dado por Vol(R) =. α3 |u3 | 2δ. 2. 2δ =. |u3 | α3 . 2δ. Por outro lado, Z s(n, x)dSx =. 5 Z X. ∂R. i=1. =. s(n, x)dSx. Si. 5 Z X. Z s1 (n, x)dSx ,. Si. i=1. . Z s2 (n, x)dSx ,. Si. s3 (n, x)dSx Si. onde sj , j = 1, 2, 3, é a componente j de s. Como por hipótese s é cont´ınua em x, cada uma das suas componentes sj também são. Aplicando o Teorema do Valor Médio (para integrais) à integral Z sj (n, x)dSx j = 1, 2, 3 Si. no vetor. ui |ui |. relativo à face Si e considerando xji ∈ Si o ponto onde o Teorema. se verifica temos:

(238)

(239)

(240)

(241)

(242) 5 5

(243) X

(244) X ui 1 ui 2 ui 3 ui ∗

(245)

(246)

(247)

(248)

(249) s1 , x α1 , s2 , x α2 , s3 , x α3

(250) =

(251) s , x αi

(252)

(253)

(254)

(255)

(256)

(257) |ui | i |ui | i |ui | i |ui | i i=1 i=1 ≤ k onde x∗i = (x1i , x2i , x3i ). 24. |u3 | α3 2. (2.17).

(258) Substituindo em 2.17 os valores de αi , i = 1, ..., 5 calculados em 2.15 e 2.16 obtemos

(259) 2

(260) X u3 ∗ ui ∗ |ui |

(261) s , xi α3 + s , x3 α3 +

(262)

(263) |u | |u | |u | i 3 3 i=1

(264)

(265) |u3 |

(266) ∗ |u3 | ∗ |u3 | +s(m, x4 ) α3 + s(−m, x5 ) α3

(267) ≤ k α3 .

(268) 4δ 4δ 2 Multiplicando ambos os membros da desigualdade acima por |u34δ|α3 temos

(269)

(270) u 4δ|u1 | u2 ∗ 4δ|u2 | u3 ∗ 4δ|u3 |

(271) 1 , x∗1 + s , x + s ,x +

(272) s 2

(273) |u1 | |u3 |2 |u2 | |u3 |2 |u3 | 3 |u3 |2

(274)

(275)

(276) +s(m, x∗4 ) + s(−m, x∗5 )

(277) ≤ 2kδ

(278) e da´ı

(279)

(280) 4δ u1 ∗ u2 ∗ u3 ∗

(281) |u1 |s , x + |u2 |s , x + |u3 |s ,x +

(282)

(283) |u3 |2 |u1 | 1 |u2 | 2 |u3 | 3

(284)

(285)

(286) + (s(m, x∗4 ) + s(−m, x∗5 ))

(287) ≤ 2kδ.

(288) Pela defini¸cão da fun¸cão s temos

(289)

(290)

(291) 4δ

(292) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

(293)

(294)

(295) |u3 |2 s(u1 , x1 ) + s(u2 , x2 ) + s(u3 , x3 ) + s(m, x4 ) + s(−m, x5 )

(296) ≤ 2kδ. (2.18) Fazendo δ tender a zero em 2.18 obtemos | (s(m, x∗4 ) + s(−m, x∗5 ))| = 0. Como > 0 2.19 nos dá: s(m, x∗4 ) = s(−m, x∗5 ). 25. (2.19).

(297) Agora fazendo −→ x0 temos x∗4 −→ x0. e. x∗5 −→ x0. logo, s(m, x0 ) = −s(−m, x0 ). ∀ m ∈ R3. (2.20). pois, dado m ∈ R3 sempre existem x0 , u1 e u2 satisfazendo as condi¸cões acima. Em 2.18 fa¸camos agora o contrário, ou seja, primeiro fa¸camos −→ 0 depois δ. Assim −→ 0. ⇒. s(u1 , x∗1 ) + s(u2 , x∗2 ) + s(u3 , x∗3 ) = 0. donde vem que s(−(u1 + u2 ), x∗3 ) = −s(u1 , x∗1 ) − s(u2 , x∗2 ). Fazendo δ −→ 0 temos s(−(u1 + u2 ), x0 ) = −s(u1 , x0 ) − s(u2 , x0 ). Portanto, de 2.20 obtemos s(u1 + u2 , x0 ) = s(u1 , x0 ) + s(u2 , x0 ) Isto mostra que s é aditiva para vetores L.I. . Mostraremos agora que dado α ∈ R tem-se s(αu, x) = α s(u, x) para todo u ∈ R3 . De fato, pela defini¸cão da fun¸cão s temos α = 0 ⇒ s(0.α, x) = s(0, x) = 0 = 0.s(u, x), αu u , x = α|u| = s , x = α s(u, x)e |αu| |u| αu u α < 0 ⇒ s(αu, x) = |αu|s , x = |α||u|s − ,x = |αu| |u| u = −|α||u|s( , x) = −|α|s(u, x) = α s(u, x). |u| α > 0 ⇒ s(αu, x) = |αu|s. 26.

(298) Temos que mostrar ainda que s é aditiva para vetores não necessariamente L.I. . De fato, sejam u1 e u2 vetores L.D. . Assim u2 = ku1 para algum k real. Logo s(u1 + u2 , x) = s(u1 + k u1 , x) = s((1 + k) u1 , x) = (1 + k)s(u1 , x) = = s(u1 , x) + k s(u1 , x) = s(u1 , x) + s(ku1 , x) = = s(u1 , x) + s(u2 , x). Resta-nos mostrar ainda que existe uma fun¸cão matricial S(x, t). De fato, se B = {e1 , e2 , e3 } é a base canônica de R3 então existe uma matriz S(x, t) que representa a transforma¸cão linear s, ou seja, s(n, x, t) = S(x, t)n o que conclui a prova do teorema.. Assim, omitindo o argumento (x, t) das fun¸cões que aparecem no integrando, 2.13 nos dá Z Z Z d ρf dx + Sn dSx ρv dx = dt Ωt Ωt ∂Ωt | {z } | {z } | {z } for¸ca total for¸ca externa for¸ca interna. (2.21). com . a a a  11 12 13  Sn =  a21 a22 a23  a31 a32 a33. . . . n a n + a12 n2 + a13 n3   1   11 1      n2  =  a21 n1 + a22 n2 + a23 n3    n3 a31 n1 + a32 n2 + a33 n3. onde li (i = 1, 2, 3) são as linhas da matriz S.. 27. . . l ·n   1    =  l2 · n   l3 · n.     .

(299) Pelo Teorema da Divergência (preliminar 1.1) temos Z Z Sn dS = (l1 · n, l2 · n, l3 · n) dS ∂Ωt. ∂Ωt. Z. Z l1 · n dS,. =. l2 · n dS,. ∂Ωt. ∂Ωt. Z. =. l3 · n dS. ∂Ωt. Z div l1 dx, Ωt. . Z. . Z div l2 dx,. Ωt. div l3 dx Ωt. Z =. (div l1 , div l2 , div l3 ) dx Ωt. Z =. Div S dx. Ωt. Assim d dt. Z. Z ρv dx =. Ωt. Z pf dx +. Ωt. Div S dx. Ωt. Pelo Teorema do Transporte temos Z Z Z D (ρv) + ρv div v dx = pf dx + Div S dx. Dt Ωt Ωt Ωt Logo Z Ωt. D (ρv) + ρv div v − ρf − Div S dx = 0 Dt. Por outro lado D Dv Dρ Dv (ρv)+ρv div v = ρ +v +ρv div v = ρ +v Dt Dt Dt Dt. . Dρ Dv + ρ div v = ρ . Dt Dt | {z } =0. Da´ı Z Ωt. D ρ v − ρf − Div S dx = 0. Dt. (2.22). Como o integrando em 2.22 é continuo e Ωt é arbitrário, resulta ρ. Dv = ρ f + Div S Dt. conhecida como a Equa¸cão da Conserva¸c˜ ao do Momento. 28. (2.23).

(300) 2.8. Equa¸co ˜es de Navier-Stokes. As equa¸cões da conserva¸cão da massa 2.10 e do momento 2.23 ainda são insuficientes para descrever o movimento de um fluido. Elas consistem de quatro equa¸cões escalares e 13 incógnitas: v1 , v2 , v3 , ρ e as nove entradas da matriz S. Para completar a descri¸cão devemos relacionar S com outras variáveis, como por exemplo a viscosidade. A viscosidade desempenha nos fluidos o mesmo papel que o atrito nos sólidos. Ela é a propriedade f´ısica de um fluido que exprime sua resistência ao cisalhamento interno, isto é, a qualquer for¸ca que tenda produzir o escoamento entre suas camadas. Newton descobriu que em muitos fluidos, a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente da velocidade, com constante de proporcionalidade igual a µ (viscosidade). Os fluidos que obedecem esta lei são chamados Fluidos Newtonianos e os que não obedecem são chamados não-Newtonianos. Neste trabalho vamos supor que o fluido seja Newtoniano. Consideremos inicialmente o caso em que a viscosidade é nula, ou seja, as for¸cas internas atuam apenas perpendicularmente à superf´ıcie de Ωt . Neste caso S(x, t)n deve ser sempre paralelo a n. Isto equivale a afirmar que existe uma fun¸cão p(x, t) tal que S(x, t) = −p(x, t)I3 onde I3 denota a matriz identidade de ordem 3, p é a pressão e     ∂p −p 0 0 − ∂x 1        ∂p  Div S = Div(−pI3 ) = Div  0 −p = 0   − ∂x2  = −∇p.     ∂p 0 0 −p − ∂x3 Neste caso a equa¸cão da conserva¸cão do momento é ρ. Du + ∇p = ρf Dt 29. (2.24).

(301) que juntamente com a equa¸cão da conserva¸cão da massa 2.10 consistem agora de quatro equa¸cões escalares e cinco incógnitas: v1 , v2 , v3 , ρ e p. Existem duas sa´ıdas para esta situa¸cão. A primeira é considerar que o fluido é incompress´ıvel, o que é uma boa aproxima¸cão para os fluidos em algumas situa¸cões, como por exemplo em vôos super-sônicos. Nesta ótica ρ(x, t) = ρ0 é constante e nós temos as Equa¸cões de Euler para um fluido não-viscoso e incompress´ıvel: ρ0. Du + ∇p = ρ0 f Dt Div v = 0.. Uma outra maneira é introduzir uma equa¸c˜ ao de estado, ou seja, supor que existe uma fun¸cão conhecida r : (0, ∞) −→ ρ. R. 7−→ p = r(ρ).. Para um gás ideal a temperatura constante, p é diretamente proporcional a ρ.. Consideremos agora o caso viscoso. Neste caso, no sentido de obtermos uma forma para a matriz S, vamos usar os argumentos de KREISS [14]. Experimentos f´ısicos mostram que quando o gradiente dos componentes de v é zero, ou seja, v é constante na variável espacial, a forma para S em 2.24 ainda é apropriada. Para ficar claras as idéis consideremos, em particular, que v seja constante também na variável temporal. Assim é razoável supor que não há tranferência de movimento entre as part´ıculas e portanto o fluido pode ser considerado como inv´ıscido (viscosidade nula). Então é natural supor que, na forma mais geral de S, S + pI3 dependa dos gradientes das componentes de v. Numa primeira aproxima¸cão podemos supor que tal dependência é linear,. 30.

(302) e isto é, existe uma fun¸cão Se linear tal que S + pI3 = S(G), onde     G = G(x, t) =   . ∂v1 ∂x1. ∂v1 ∂x2. ∂v1 ∂x3. ∂v2 ∂x1. ∂v2 ∂x2. ∂v2 ∂x3. ∂v3 ∂x1. ∂v3 ∂x2. ∂v3 ∂x3.   .  . Por outro lado, G pode ser decomposta de maneira u ńica como 1 1 G(x, t) = (G + Gt ) + (G − Gt ) |2 {z } |2 {z } GS. GA. onde GS e GA são, respectivamente, as partes simétrica e antisimétrica de G. Num corpo sólido não há transferência de momento entre as partes. Além e disto, a matriz G é antisimétrica. logo devemos ter S(G) = 0. Portanto, para e fluidos, é razoável supor que S(G) dependa somente da parte simétrica de T . e S ) seja invariante sob rota¸cões Também é fisicamente razoável supor que S(G e GS U t ) = do sistema de coordenadas, isto é, em termos matemáticos S(U e S )U t . U S(G Usaremos agora o seguinte teorema cuja prova pode ser encontrada em GURTIN & MARTINS [10]. e Teorema 2.3. Seja Se = S(D) uma transforma¸c˜ ao linear de D = (dij )3X3 satisfazendo t e DU t ) = U S(D)U e S(U. para todo U3X3 ortogonal e D3X3 simétrica. Ent˜ ao ∂v1 ∂v2 ∂v3 0 e S(D) = µ + + I3 + 2µD ∂x1 ∂x2 ∂x3 0. onde µ e µ são constantes independentes de D. Fazendo D = 12 (G + Gt ) no teorema ?? temos 0. S = −pI + µ (div v)I + µ(G + Gt ) 31. (2.25).

(303) 0. onde p é a pressão, µ (viscosidade) e µ são constantes, I3 é a matriz identidade de ordem 3 e Gt é a transposta da matriz    G = ∇v =  . ∂v1 ∂x1. ∂v1 ∂x2. ∂v1 ∂x3. ∂v2 ∂x1. ∂v2 ∂x2. ∂v2 ∂x3. ∂v3 ∂x1. ∂v3 ∂x2. ∂v3 ∂x3.    . . Supondo que o fluido satisfaz 2.12 (condi¸cão de incompressibilidade), 2.25 se reduz a S = −pI3 + µ(G + Gt ). Além disso,    t G+G =  . ∂v1 2 ∂x 1 ∂v2 ∂x1. +. ∂v2 ∂x2. ∂v3 ∂x1. +. ∂v1 ∂x3. ∂v1 ∂x2. +. ∂v2 ∂x1. ∂v2 2 ∂x 2 ∂v3 ∂x2. 32. +. ∂v2 ∂x3. ∂v1 ∂x3. +. ∂v2 ∂x3. +. ∂v3 ∂x1 ∂v3 ∂x2. ∂v3 2 ∂x 3.      .