Existência global de soluções para certos sistemas parabólicos não lineares.

(1)

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

Existˆ

encia Global de Solu¸

c˜

oes

para Certos Sistemas

Parab´

olicos N˜

ao Lineares

Claudete Matilde Webler

(2)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE S ˜

AO CARLOS

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

Existˆ

encia Global de Solu¸

c˜

oes para Certos Sistemas

Parab´

olicos N˜

ao Lineares

Claudete Matilde Webler

Orientador: Prof. Dr. Cezar Issao Kondo

Disserta¸cão apresentada ao Progra-ma de Pós-Gradua¸cão em Matemática da UFSCar como parte dos requisitos para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

(3)

Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária da UFSCar

W376eg

Webler, Claudete Matilde.

Existência global de soluções para certos sistemas parabólicos não lineares / Claudete Matilde Webler. -- São Carlos : UFSCar, 2005.

67 p.

Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São Carlos, 2005.

1. Equações diferenciais parciais não lineares. 2. Sistemas parabólicos. 3. Espaços de Hölder. 4. Dinâmica dos gases. I. Título.

(4)

.

Orientador

(5)

Banca Examinadora

Prof. Dr. Cezar Issao Kondo

Prof. Dr. Jos´e Ruidival Soares dos Santos Filho

(6)

(7)

”Para fazer uma floresta, basta ter uma árvore, uma abelha e um sonho... E se não tiveres a abelha e nem a árvore, somente o sonho bastará.”

(8)

Agradecimentos

Em primeiro lugar a Deus pela vida e por jamais deixar de me estender sua generosa m˜ao. Meu profundo louvor e gratid˜ao.

Ao Professor Dr. Cezar Issao Kondo pela orienta¸c˜ao, disponibilidade, exemplo e amizade.

Aos meus pais Lothário e Ivone pelo carinho de sempre e por terem me educado com muito amor e responsabilidade. Aos meus irmãos e cunhados José, Cledir, Dulce e Eloir, Lori e Dion´ısio, Eg´ıdio e Marisa pelo carinho, compreensão e apoio de sempre. Às minhas sobrinhas Franciele e Alecsandra pelos momentos de felicidade que me proporcionam. Vocês são o meu maior tesouro, amo todos vocês.

Aos meus primos, tios e amigos campinenses que sempre me deram for¸ca para eu continuar estudando. Em especial ao Nelson Lang e ao casal Chico e Reinildes pelo exemplo e encorajamento.

Aos meus padrinhos, em especial o Jos´e Aldino e a Margarida, pelo carinho e amizade mais pr´oxima.

Aos professores do Departamento de Matemática da UFSM, em espe-cial meus orientadores de inicia¸cão cient´ıfica: Bernadete, Jetúlio e Peneireiro. Também a todos os amigos da gradua¸cão, hoje espalhados pelo Brasil, espe-cialmente aos colegas Marli, Marnei, Sabrina, Liane, Janice, André, Carlos e Cristiane pela amizade mais próxima.

(9)

A todos os colegas do PPG-M pelo companheirismo, ensinamentos e amizade. Aos amigos Kelly, Marcos, Mariza e Jacson pela amizade e pela importante ajuda que me deram logo que cheguei aqui em S˜ao Carlos. Aos amigos Elaine, Ta´ısa, Jamil e Rodrigo pela amizade, for¸ca e por estarem sempre presentes. Aos colegas Renato e Paulo pelas instru¸c˜oes de Latex.

`

As secret´arias C´elia e Irma por serem sempre amigas e batalhadoras pela nossa causa.

(10)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

2 Existˆencia de Solu¸c˜oes Globais 10

3 Aplica¸cões às Equa¸cões da Dinâmica dos Gases 42

4 A n˜ao Suavidade na Dinˆamica dos Gases 59

(11)

In this work, we study the global existence of smooth solutions for certain systems of the form ut+f(u)x = Duxx, where u and f are vectors and D

is a positive, constant and diagonalizable matrix. We assume that the initial conditionu0 satisfies||u0−u||L∞_(IR)< r, whereuis a fixed vector, f is defined

in the ball of the centeruof radiusrand_||u0−u||L2_(IR)is sufficiently small. We

(12)

Resumo

Neste trabalho, estudamos a existˆencia global de solu¸c˜oes suaves para certos sistemas da forma ut +f(u)x = Duxx, sendo u e f vetores e D uma matriz

diagonaliz´avel, constante e positiva. Assumimos o dado inicialu0 satisfazendo

||u0−u||L∞_(IR)< r, ondeu´e um vetor fixado,f ´e definida numa bola de centro

u e raio r e que _||u0 −u||L2_(IR) ´e suficientemente pequeno. Mostramos como

(13)

Neste trabalho provamos a existência global de solu¸cões de certos sistemas parabólicos

ut+f(u)x=Duxx, (x, t)∈IR×IR+

com dados iniciais u(x,0) = u0(x), baseado em [HS]. Aqui u= (u1, u2, ..., un),

f é um vetor fun¸cão suave e D é uma matriz diagonalizável constante, com autovalores positivos. Assumimos quef é definida e é de classeC3 numa bola de centro num ponto fixo u e raio r. Primeiramente obtemos a existência de uma solu¸cão local quandou0−u∈L∞(IR) com||u0−u||L∞_(IR)< r. Em seguida

estendemos estas solu¸c˜oes globalmente com a hip´otese de que existe um par de entropia-fluxo de entropia apropriado para o sistema (conforme definido no cap´ıtulo 2) e queu0−u∈L2(IR) com||u0−u||L2_(IR) suficientemente pequeno.

Estes teoremas de existˆencia s˜ao apresentados no cap´ıtulo 2.

No cap´ıtulo 3 aplicaremos nossos resultados às equa¸cões da dinâmica dos gases, isto é, às leis de conserva¸cão de massa, momento e energia com o termo de difusãoDuxxinclu´ıdo. Constru´ımos explicitamente o par de

entropia-fluxo de entropia para as formula¸cões mais simples destas equa¸cões e provamos um resultado geral que mostra de que maneira a entropia pode se estender sobre as formula¸cões equivalentes. Deste modo estabelecemos a existência global de solu¸cões suaves das equa¸cões na dinâmica dos gases (com termos de difusão adicionados como acima) na formula¸cão de entropia, em coordenadas Lagrangeanas ou Eulerianas.

(14)

(15)

Preliminares

Neste cap´ıtulo apresentaremos alguns conteúdos preliminares (defi-ni¸cões, Lemas, Teoremas) necessários para o desenvolvimento da disserta¸cão.

Iniciamos apresentando um resultado de [LSU] que usaremos na demonstra¸c˜ao do Teorema 2.1.

Sejam Ω um aberto eQT = Ω×(0, T).

Dizemos que uma fun¸cãou(x) definida em Ω satisfaz a condi¸cão de Hölder em x com expoente α, α_∈(0,1), se u(x) é limitada e existe uma constante C tal que

α_Ω= sup x, x′ _∈Ω |x₋x′_|< ρ0

½

|u(x)₋u(x′)_| |x₋x′_|α

¾

≤C,

sendo ρ0 >0 uma constante.

Sejal >0 um n´umero n˜ao inteiro.

Definimos_Hl_{(Ω) como sendo o espa¸co de Banach cujos elementos s˜ao fun¸c˜oes}

cont´ınuas u(x) em Ω com derivadas cont´ınuas at´e a ordem [l], (onde [l] ´e o maior inteiro menor que l) e

|u_|(_Ωl) =l_Ω +

[l]

X

j=0

j_Ω<_∞, sendo

0_Ω=_|u_|(0)_Ω = max

(16)

4

j_Ω=X

j

|D_xju_|(0)_Ω ; (_Ωl)=X

([l])

< D_x[l]u >(_Ωl−[l]); α_Ω= sup

x, x′ _∈Ω |x₋x′_|< ρ0

½

|u(x)₋u(x′)_| |x₋x′_|α

¾

, com α _∈(0,1).

Assim

|u_|l_Ω = X

[l]

sup x, x′ _∈Ω |x₋x′_|< ρ0

(

|Dx[l]u(x)−D[xl]u(x′)|

|x₋x′_|l₋[l]

)

+ max

Ω |u(x)|

+

[l]

X

j=1

(X

j

max

Ω |D

j

xu(x)|).

Definimos_Hl,₂l₍_Q

T) como sendo o espa¸co de Banach das fun¸c˜oesu(x, t)

que s˜ao cont´ınuas em QT juntamente com todas as suas derivadas da forma

Dr

tDxs para 2r+s < l e norma finita

|u_|l_Q_T =(_Ql)_T +

[l]

X

j=0

j_Q_T<_∞ sendo

0_Q_T_{≡ |}u_|(0)_Q

T = max_Q T |

u_|; j_Q_T= X

2r+s=j

|Dr_tDs_xu_|0_Q_T; (_Ql)

T=

(l)

x,QT +

(l

2)

t,QT; (_x,Ql) _T= X

2r+s=[l]

|D_trD_xsu_|_x,Q(l−[_Tl]); (

l

2)

t,QT=

X

0<l−2r−s<2

|D_trD_xsu_|( l−2r−s

2 )

t,QT ; (_x,Qα)_T= sup

(x, t),(x′, t)_∈QT

|x₋x′_|< ρ0

½

|u(x, t)₋u(x′, t)_| |x₋x′_|α

¾

, 0< α <1;

(_t,Qα)

T= sup

(x, t),(x, t′)_∈QT

|t₋t′_|< ρ0

½

|u(x, t)₋u(x, t′)_| |t₋t′_|α

¾

(17)

Assim

|u_|lQT =

X

2r+s=[l]

sup

(x, t),(x′, t)_∈QT

|x₋x′_|< ρ0

½

|DrtDsxu(x, t)−DtrDxsu(x′, t)|

|x₋x′_|(l₋[l])

¾

+ X

0<l₋2r₋s<2

sup

(x, t),(x, t′)_∈QT

|t₋t′_|< ρ0

(

|DtrDsxu(x, t)−DtrDxsu(x, t′)|

|t₋t′_|(l−2r−s

2 )

)

+ max

QT | u_|+

[l]

X

j=1

( X

(2r+s=j)

max

QT |

D_trD_xsu_|). Indicamos por L(x, t, ∂

∂x, ∂

∂t) o operador diferencial linear parab´olico com coeficientes reais

L(x, t, ∂ ∂x,

∂ ∂t)u=

∂u ∂t −

n

X

i,j=1

aij(x, t)

∂2u ∂xi∂xj

+

n

X

i=1

ai(x, t)

∂u ∂xi

+a(x, t)u.

Assumimos que este operador é uniformemente parabólico, isto é, no dom´ınio onde os problemas são resolvidos a desigualdade

νξ2 _≤aij(x, t)ξiξj ≤µ|ξ|2, (x, t)∈QT

(com ν, µ fixados) ´e satisfeita para quaisquer reaisξ1,... ξn.

Assumimos que os coeficientes do operador acima est˜ao definidos na faixa D(_nT₊₁) = En ×(0, T) (En ´e o espa¸co euclideano n-dimensional). Neste

dom´ınio, consideremos o Problema de Cauchy

  

L(x, t, ∂ ∂x,

∂

∂t)u(x, t) = g(x, t) u_|t=t0 =ϕ(x).

(1.1)

Introduzimos a nota¸c˜ao u(k)(x) = ∂

(k)_u₍_{x, t}₎

∂tk |t=t0,

A(x, t, ∂ ∂x)u=

n

X

i,j=1

aij(x, t)

∂2u ∂xi∂xj −

n

X

i=1

ai(x, t)

∂u ∂xi −

a(x, t)u.

Desta forma as fun¸c˜oesu(k)(x) (k = 0,1) s˜ao determinadas da seguinte maneira: u(0)₍_x_{) =} _ϕ₍_x_), _u(1)₍_x_{) =} _A₍_{x, t}

0,

∂

(18)

6 fun¸cões são encontradas da rela¸cão recursiva

u(k+1)(x) = ∂

k

∂tkA(x, t,

∂

∂x)u(x, t) +

∂kg(x, t) ∂tk |t=t0

=

k

X

j=0

  k

j



A(j)(x, t0,

∂ ∂x)u

(k₋j)₍_x_{) +}_g(k)₍_x₎_,

ondegk(x) = ∂

k_g₍_{x, t}₎

∂tk |t=t0 eA

(j)₍_{x, t, ∂x}_{) ´e o operador resultante do operador}

A derivando os coeficientes j vezes em rela¸c˜ao at.

Teorema 1.1 Suponhamos l > 0 um n´umero n˜ao inteiro e os coeficientes

do operador L (acima definido) de classe _Hl,₂l₍_D(T)

n+1). Ent˜ao para qualquer

g _{∈ H}l,2l(D(T)

n+1), ϕ∈ H(l+2)(En)o problema (1.1) tem uma ´unica solu¸c˜ao u de

classe _Hl+2,l

2+1(D(T)

n+1). Ela satisfaz a desigualdade

|u_|l+2

DT n+1 ≤

C(_|g_|l_DT

n+1+|ϕ|

l+2

En)

com a constante C n˜ao dependendo de g e ϕ.

Demonstra¸c˜ao: Ver [LSU], pag.320.

Em seguida enunciaremos alguns teoremas e defini¸c˜oes que ser˜ao usa-dos no decorrer do trabalho:

Teorema 1.2 (Teorema do Ponto Fixo de Banach )

Seja R um subconjunto fechado do espa¸co m´etrico completo (X, d). Se a

apli-ca¸cão A :R _→R é uma contra¸cão, então A possui um, e somente um, ponto

fixo em R.

Demonstra¸c˜ao: Ver [O], pag.28.

Defini¸c˜ao 1.1 Dizemos que _{fk}∞k=1 ´e uniformemente equicont´ınuo se para

cada ǫ >0 existe δ >0, tal que _|x₋y_|< δ implica

(19)

Teorema 1.3 (Teorema de Arzela- `Ascoli )

Suponhamos que_{fk}∞k=1 é uma seqüência de fun¸cões cont´ınuas a valores reais

definidas em IRn, tal que

|fk(x)| ≤M (k ∈IN, x ∈IRn)

para alguma constante M e que_{fk}∞k=1´e uniformemente equicont´ınuo. Ent˜ao

existe uma subseq¨uˆencia _{fkj}

∞

j=1 ⊂ {fk}∞k=1 e uma fun¸c˜ao cont´ınua f tal que

fkj →f uniformemente em subconjuntos compactos de IR

n

.

Demonstra¸c˜ao: Ver [E], pag.635.

Lema 1.1 SejaΩ_⊂IRmum aberto convexo e limitado. Se a seqüência de apli-ca¸cões diferenciáveis fk : Ω → IRn converge num ponto c ∈ Ω e a seqüência

das derivadas fk′ : Ω → L(IRm; IRn), converge uniformemente a uma

apli-ca¸c˜ao g : Ω_→L(IRm; IRn)ent˜ao(fk) converge uniformemente em Ωpara uma

aplica¸cão f : Ω_→IRn, a qual é diferenciável, com f′ ₌_g_.

Demonstra¸c˜ao: Ver [L], pag.269.

Defini¸cão 1.2 A seqüência _{fk}∞k=1 em Lp(Ω), com 1≤p <∞, converge

fracamente a f _∈Lp_(Ω)_{, e escreve-se}

fk⇀ f em Lp(Ω)

se

lim

k→∞

Z

Ω

fkg dx=

Z

Ω

f g dx

para cada g _∈Lq_(Ω)_{, onde} 1

p+ 1 q = 1.

Teorema 1.4 (Teorema de Compacidade fraca em Lp ₎

Suponhamos 1 < p < _∞. Seja _{fk}∞k=1 uma seqüência de fun¸cões em Lp(Ω)

satisfazendo

sup

k k

fkkLp_(Ω) <∞.

Então existe uma subseqüência _{fkj}∞j=1 e uma fun¸cão f ∈Lp(Ω) tal que

(20)

8

Demonstra¸c˜ao: Ver [EG], pag.57.

Teorema 1.5 Se u_∈D′_(IRn

) e φ _∈C∞

0 (IRn) ent˜ao u∗φ ∈C∞(IRn) e

supp(u_∗φ)_⊂suppu+suppφ.

Para qualquer multi-´ındice α temos

∂α(u_∗φ) = (∂αu)_∗φ=u_∗(∂αφ).

Demonstra¸c˜ao: Ver [H], pag.88.

Defini¸c˜ao 1.3 :

i) Definimos η_∈C∞(IRn₎ _por

η(x) :=

  

 

Cexp

µ

1 |x_|2₋₁

¶

se _|x_|<1 0 se _|x_{| ≥}1,

sendo a constante C escolhida de tal forma que

Z

IRnη dx= 1.

ii) Para cada ǫ >0, seja

ηǫ(x) :=

1 ǫnη

³_x

ǫ

´

.

Chamamos a fun¸cão η de mollifier. As fun¸cões ηǫ são C∞ e satisfazem

Z

IRnηǫdx= 1, supp(ηǫ)⊂Bǫ(0).

Defini¸cão 1.4 Se f : Ω_→IR é localmente integrável, definimos

fǫ:=ηǫ∗f em Ωǫ.

Isto ´e,

fǫ(x) =

Z

Ω

ηǫ(x−y)f(y)dy=

Z

Bǫ(0)

ηǫ(y)f(x−y)dy

(21)

Teorema 1.6 (Propriedades dos Mollifiers)

i) fǫ ∈C∞(Ωǫ).

ii) fǫ →f q.t.p quando ǫ→0.

iii) Se f _∈C(Ω) ent˜ao fǫ →f uniformemente em subconjuntos compactos de

Ω.

iv) Se 1_≤p <_∞ e f _∈Lp_loc(Ω) ent˜ao fǫ→f em Lp_loc(Ω).

Demonstra¸c˜ao: Ver [E], pag.630.

Teorema 1.7 (Desigualdade de Minkowski para integrais em espa¸cos Lp₎

Sejam 1 _≤ p < _∞ e F(x, y) uma fun¸cão mensurável no espa¸co produto de medida σ-finita X_×Y. Então

µZ

Y

µZ

X|

F(x, y)_|dx

¶p

dy

¶1

p ≤

Z

X

µZ

Y |

F(x, y)_|p_dy

¶1

p dx,

sendo dx e dy medidas em X e Y, respectivamente.

Demonstra¸c˜ao: Ver [S], pag.271.

Defini¸c˜ao 1.5 Sejam a >0 e b >0. Definimos a fun¸c˜ao beta por

B(a, b) =

Z 1

0

ta−1(1₋t)b−1dt.

Defini¸cão 1.6 Uma fun¸cão f _∈ L1_(Ω) _{tem varia¸cão limitada em} _Ω _(ou _f _∈

BV(Ω)) se

sup

½Z

Ω

f divϕ dx tal que ϕ _∈C₀1(Ω,IRn),_|ϕ(x)_{| ≤}1

¾

<_∞.

(22)

Cap´ıtulo 2

Existˆ

encia de Solu¸

c˜

oes Globais

Nosso objetivo neste cap´ıtulo é provar a existência de solu¸cõesu_∈IRn para o problema

ut+f(u)x =Duxx (x, t)∈IR×IR+ (2.1)

u(x,0) =u0(x) (2.2)

sob restri¸c˜oes apropriadas para u0, f e D.

Primeiro obtemos um resultado de existˆencia local para o caso em que D´e diagonal, denotada por D= (d1, d2, ..., dn), di >0, 1 ≤i≤n.

Seja K(x, t) a solu¸c˜ao fundamental associada com o operador ∂

∂t − D ∂2

∂x2, isto ´e, K(x, t) ´e um vetor de IR

n _{cuja j-´esima componente ´e}

Kj(x, t) =

1

p

4πdjt

e− x2

4_{dj t}

, t >0, x_∈IR.

Observe que a solu¸c˜ao do problema (2.1)₋(2.2) satisfaz a equa¸c˜ao integralu(t) = K(t)_∗u0−

Z t

0

Kx(t−s)∗f(u(s))ds, onde * denota a convolu¸c˜ao

no espa¸co dada nas componentes. Para isso, consideremos o problema (2.1)₋ (2.2) da seguinte forma:

ut−Duxx =−f(u)x =g

(23)

Teremos (usando a solu¸cão do problema não homogêneo que envolve a equa¸cão do calor) cada componente da solu¸cão fundamental de (2.1) - (2.2), parax_∈IR, da forma:

uj(x, t) =

Z

IRKj(x−y, t)u0j(y)dy +

Z t

0

Z

IRKj(x−y, t−s)(−fj(u(y, s))x)dyds = Kj(t)∗u0j(x)−

Z t

0

Kjx(t−s)∗fj(u(s))(x)ds.

Portanto

u(x, t) = K(t)_∗u0(x)−

Z t

0

Kx(t−s)∗f(u(s))(x)ds.

Observemos que

          

kK(., t)_k1 = 1

° ° ° °

∂α_K₍_{., t}₎

∂xα

° ° ° °

1

≤ C(α) tα2

para α= 1,2, ... .

(2.3)

Assumimos que f ´e definida e ´e de classe C3 _{na bola fechada} _Br₍_u₎

de raior e centro num ponto u, tal quef(u) = 0. Definimos o conjunto das fun¸c˜oes GT por

GT ={u∈L∞(IR×[0, T]) :ku(t)−ukL∞_(IR) ≤r}

e o operador L em GT por

L(u)(t) =K(t)_∗u0−

Z t

0

Kx(t−s)∗f(u(s))ds, u∈GT. (2.4)

Nosso resultado de unicidade local segue da propriedade de L dada no seguinte lema:

Lema 2.1 Assuma que u0−u ∈L∞(IR)∩L2(IR) e que ku0 −uk∞ =s′ < r. Se T >0 é suficientemente pequeno (dependendo de s′_{) então vale o seguinte:} a) GT é invariante por L.

(24)

12

c) Existe uma constante C0 dependendo somente de K e f tal que se u∈GT

satisfaz

ku(t)_k2 ≤C0ku0k2, t∈[0, T] (2.5)

ent˜ao L(u)(t) tamb´em satisfaz (2.5).

d) Existe uma constante C1 dependendo somente de K e f tal que se u∈GT

satisfaz

kux(t)kp ≤

C1ku0kp

√

t , 0< t≤T (2.6)

para p= 2 ou p=_∞ ent˜ao L(u)(t) tamb´em satisfaz (2.6).

e) Dado t0 ∈ (0, T) existe uma constante C2 dependendo somente de K, f e

t0 tal que se u∈GT satisfaz (2.6) e

kuxx(t)kp ≤C2

(_ku0kp +ku0k2p)

√ t₋t0

, t0 < t≤T (2.7)

para p= 2 ou p=_∞ ent˜ao L(u)(t) tamb´em satisfaz (2.7).

f ) Dado t1 ∈(0, T) existe uma constante C3 dependendo somente de K, f, t0

e t1 tal que se u∈GT satisfaz (2.6), (2.7) e

kuxxx(t)k2 ≤C3

(_ku0k2+_√ku0k22 +ku0k32)

t₋t1

, t1 < t≤T (2.8)

ent˜ao L(u)(t) tamb´em satisfaz (2.8).

Demonstra¸c˜ao: Sem perda de generalidade, tomemosu= 0. Para facilitar

a leitura, denotamos a matriz jacobiana def porf′(u), a derivada de grau dois def por f′′(u) e a derivada de grau trˆes de f por f′′′(u). Temos desta forma |f′₍_u₎_{| ≤} _M

1 , |f′′(u)| ≤ M2 e |f′′′(u)| ≤ M3 para algum Mk > 0, k = 1,2,3

(poisf _∈C3(Br(0))).

a) Seja u _∈ GT ent˜ao usando (2.4), a desigualdade do Valor M´edio, (2.3) e o

fato de _ku0k∞=s′, temos

|L(u)(t)_|=

¯ ¯ ¯

¯K(t)∗u0−

Z t

0

Kx(t−s)∗f(u(s))ds

(25)

≤

Z

IR|K(x−y, t)|ku0k∞dy+

Z t

0

Z

IR|Kx(x−y, t−s)||f(u(y, s))|dyds ≤ s′

Z

IR|K(x−y, t)|dy+

Z t

0

Z

IR|Kx(x−y, t−s)|M1|u(y, s)|dyds ≤ s′+M1r

Z t

0

Z

IR|Kx(x−y, t−s)|dyds ≤ s′+M1rC(1)

Z t

0

1 (t₋s)12

ds

≤ s′+Cr√T .

Assim

kL(u)(t)_k_∞_≤r[s

′

r +C √

T]_≤r,

desde que C√T _≤ r−s

′

r , o que ´e poss´ıvel para T suficientemente pequeno (0< T < 1

C2, sendo C= 2M1C(1)). PortantoL(u)(t)∈GT.

b) Sejam u, v _∈GT. Usando a desigualdade do Valor M´edio e (2.3),

temos:

|L(u)(t)₋L(v)(t)_{| ≤}

Z t

0

Z

IR|Kx(x−y, t−s)||f(u(y, s))−f(v(y, s))|dyds ≤

Z t

0

Z

IR|Kx(x−y, t−s)|M1|u(y, s)−v(y, s))|dyds ≤ M1ku−vkL∞_(IR_×_[0_,T_])

Z t

0

Z

IR|Kx(x−y, t−s)|dyds ≤ M1ku−vkL∞_(IR_×_[0_,T_])C(1)

Z t

0

1 (t₋s)12

ds

= C(1)M1ku−vk∞2

√ t

≤ C√T_ku₋v_k_∞.

Logo

kL(u)(t)₋L(v)(t)_k_∞ _≤C√T_ku₋v_k_∞.

Portanto L ´e uma contra¸c˜ao se 0 < C√T < 1, ou seja, 0 < T < 1

C2, sendo

C = 2M1C(1).

(26)

14 M´edio, uma desigualdade de H¨older e (2.3), temos:

kL(u)(t)_k2 ≤

(Z

IR

·Z

IR|K(x−y, t)|

1

2|K(x−y, t)| 1 2|u

0(y)|dy

¸2 dx )1 2 + + (Z IR ·Z t 0 Z

IR|Kx(x−y, t−s)|

1 2+

1 2M

1|u(y, s)|dyds

¸2 dx )1 2 ≤    Z IR "µZ

IR|K(x−y, t)|dy)

¶1 2 µZ

IR|K(x−y, t)||u0(y)|

2_dy ¶1 2 #2 dx    1 2 + (Z IR "Z t 0 µZ

IR|Kx(x−y, t−s)|dy

¶1 2

µZ

IR|Kx(x−y, t−s)|M

2

1|u(y, s)|2dy

¶1 2 ds #2 dx    1 2 ≤ ½Z IR µZ

IR|K(x−y, t)||u0(y)|

2_dy ¶ dx ¾1 2 +    Z IR "Z t 0

C(1)12

(t₋s)14

µZ

IR|Kx(x−y, t−s)|M

2

1|u(y, s)| 2 dy ¶1 2 ds #2 dx    1 2 .

Usando o Teorema de Fubini, o Teorema de Minkowski para Integrais e (2.3) vem

||L(u)(t)_||2 ≤

½Z

IR|u0(y)|

2

µZ

IR|K(x−y, t)|dx

¶ dy ¾1 2 + Z t 0    Z IR "

M1C(1) 1 2

(t₋s)14

µZ

IR|Kx(x−y, t−s)||u(y, s)|

2_dy ¶1 2 #2 dx    1 2 ds ≤ ½Z

IR|u0(y)|

2_dy ¾1 2 + Z t 0

M1C(1) 1 2

(t₋s)14

½Z

IR|u(y, s)|

2

µZ

IR|Kx(x−y, t−s)|dx

¶

dy

¾1 2

ds

≤ ku0k2+M1C(1)

Z t

0

1 (t₋s)12k

u(s)_k2ds

≤ ku0k2+M1C(1)C0ku0k22

√ t

≤ (1 +M1C(1)C02

√

T)_ku0k2

(27)

seC0 ≥

1 1₋2M1C(1)

√

T eT ´e suficientemente pequeno (0< T <

1 [2M1C(1)]2

). d) Seja u _∈ GT satisfazendo (2.6). Derivando (2.4) em rela¸c˜ao a x,

obtemos:

(i) Para p= 2:

kL(u)x(t)k2 ≤

(Z IR ¯ ¯ ¯ ¯ Z

IRKx(x−y, t)u0(y)dy

¯ ¯ ¯ ¯ 2 dx )1 2 + (Z IR ¯ ¯ ¯ ¯ Z t 0 Z

IRKx(y, t−s)f(u(x−y, s))xdyds

¯ ¯ ¯ ¯ 2 dx )1 2

Usando que_|f(u)x| ≤ |f′(u)||ux| ≤M1|ux|e (2.3) vem

≤

(Z

IR

·Z

IR|Kx(x−y, t)|

1 2+

1 2|u

0(y)|dy

¸2 dx )1 2 + (Z IR ·Z t 0 Z

IR|Kx(y, t−s)|

1 2+

1 2M

1|ux(x−y, s)|dyds

¸2

dx

)1 2

.

Agora usando uma desigualdade de H¨older e (2.3) teremos

kL(u)x(t)k2 ≤

(Z

IR

"µZ

IR(|Kx(x−y, t)|

1 2)2dy

¶1 2

µZ

IR|Kx(x−y, t)||u0(y)|

2_dy ¶1 2 #2 dx    1 2

+M1

(Z

IR

"Z t

0

µZ

IR(|Kx(y, t−s)|

1 2)2dy

¶1 2

µZ

IR(|Kx(y, t−s)|

1 2)2|u

x(x−y, s)|2dy

¶1 2 ds #2 dx    1 2 ≤ µ C(1) √ t ¶1 2 ½Z IR Z

IR|Kx(x−y, t)||u0(y)|

2_dydx

¾1 2

+M1

   Z IR   Z t 0 Ã C(1) (t₋s)12

!1 2

µZ

IR|Kx(y, t−s)||ux(x−y, s)|

(28)

16 Usando o Teorema de Fubini, o Teorema de Minkowski para Integrais e (2.3) vem

||L(u)x(t)||2 ≤

µ C(1) √ t ¶1 2 ½Z

IR|u0(y)|

2

Z

IR|Kx(x−y, t)|dxdy

¾1 2

+

+ M1

Z t 0    Z IR   Ã C(1) (t₋s)12

!1 2

µZ

IR|Kx(y, t−s)||ux(x−y, s)|

2_dy ¶1 2 #2 dx    1 2 ds

≤ C√(1) t

½Z

IR|u0(y)|

2_dy ¾1 2 + Z t 0

M1C(1) 1 2

(t₋s)14

½Z

IR|Kx(y, t−s)|

µZ

IR|ux(x−y, s)|

2_dx ¶ dy ¾1 2 ds

≤ C√(1)

t ku0k2+

Z t

0 k

ux(s)kL2_(IR)

M1C(1) 1 2

(t₋s)14

½Z

IR|Kx(y, t−s)|dy

¾1 2

ds

≤ C√(1)

t ku0k2+M1C(1)

1 2

Z t

0

C1k

u0k2

s12

C(1)12

(t₋s)12

ds

= C√(1)

t ku0k2+M1C1C(1)ku0k2

Z t

0

s−12t− 1 2(1− s

t)

−1 2 ds

= C_√(1)

t ku0k2+M1C1C(1)ku0k2

Z t

0

s12−1(1−s) 1 2−1ds

= C√(1)

t ku0k2+M1C1C(1)ku0k2B( 1 2,

1 2) ≤ Cku_√0k2

t {1 +C1 √

T_}

≤ C1k

u0k2

√ t

se C1 ´e grande eT ´e pequeno (de modo que C1 ≥

C

1₋C√T e T < 1

C2 sendo

C = max_{C(1), M1C(1)B(

1 2,

1

2)}) e B ´e a fun¸c˜ao beta. (ii) Para p=_∞

|L(u)x(t)| ≤

Z

IR|Kx(x−y, t)||u0(y)|dy +

Z t

0

Z

(29)

|L(u)x(t)| ≤ ku0k∞

Z

IR|Kx(x−y, t)|dy +

Z t

0

Z

IR|Kx(y, t−s)|M1|ux(x−y, s)|dyds ≤ ku0k∞

C(1) √

t +M1

Z t

0 k

ux(s)k_∞

Z

IR|Kx(y, t−s)|dyds ≤ ku0k∞

C(1) √

t +M1C1ku0k∞C(1)

Z t

0

1 √_s√

t₋sds

= _ku0k∞

C(1) √

t +M1C1ku0k∞C(1)B( 1 2,

1 2) = _ku0k∞

C(1) √

t +M1C1ku0k∞C(1)π ≤ Cku_√0k∞

t {1 +C1 √

T_}

≤ C1k

u_√0k∞

t .

Logo

kL(u)x(t)k∞≤C1k

u0k∞

√ t

se C1 ´e grande eT ´e pequeno (de modo que C1 ≥

C

1₋C√T e T < 1

C2 sendo

C = max_{C(1), M1C(1)B(

1 2,

1 2)}).

e) Sejav =L(u). Ent˜ao as propriedades de semi-grupo deK (ver [Lu] pag.179) implicam que, para t > t0,

v(t) = K(t₋t0)∗v(t0)−

Z t t0

Kx(t−s)∗f(u(s))ds.

(i) Para p= 2:

kvxx(t)k2 ≤

"Z

IR

¯ ¯ ¯ ¯ Z

IRKx(y, t−t0)vx(x−y, t0)dy

¯ ¯ ¯ ¯

2

dx

#1 2

+

"Z

IR

¯ ¯ ¯ ¯

Z t t0

Z

IR|Kx(y, t−s)||f(u(x−y, s))xx|dyds

¯ ¯ ¯ ¯

2

dx

(30)

18

=A+B, (2.9)

respectivamente. Vamos estimar separadamenteAeB. Usando uma desigual-dade de H¨older e (2.3) em A, obtemos:

A_≤

(Z

IR

"µZ

IR|Kx(y, t−t0)|dy

¶1 2

µZ

IR|Kx(y, t−t0)||vx(x−y, t0)|

2_dy ¶1 2 #2 dx    1 2

≤ C(1)

1 2

(t₋t0) 1 4

½Z

IR

Z

IR|Kx(y, t−t0)||vx(x−y, t0)|

2_dydx

¾1 2

.

Usando o Teorema de Fubini, novamente (2.3) e (2.6) temos

A _≤ C(1)

1 2

(t₋t0) 1 4

½Z

IR|Kx(y, t−t0)|

Z

IR|vx(x−y, t0)|

2_dxdy

¾1 2

= C(1)

1 2

(t₋t0) 1 4k

vx(t0)k2

½Z

IR|Kx(y, t−t0)|dy

¾1 2

≤ C(1)

(t₋t0) 1 2k

vx(t0)k2

≤ C(1)C1ku0k2 (t₋t0)

1 2t 1 2 0 . Portanto

A_≤ C(1)C1ku0k2 (t₋t0)

1 2t 1 2 0 .

Usando uma desigualdade de H¨older e (2.3) em B obtemos

B _≤ (Z IR "Z t t0 µZ

IR|Kx(y, t−s)|dy

¶1 2

µZ

IR|Kx(y, t−s)||f(u(x−y, s))xx|

2_dy ¶1 2 ds #2 dx    1 2

≤ C(1)12

(Z

IR

"Z t t0

1 (t₋s)14

µZ

2_dy ¶1 2 ds #2 dx    1 2 .

(31)

B _≤ C(1)12 Z t t0 (Z IR " 1 (t₋s)14

µZ

2_dy ¶1 2 #2 dx    1 2 ds

= C(1)12

Z t t0

1 (t₋s)14

½Z

IR|Kx(y, t−s)|

µZ

IR|f(u(x−y, s))xx|

2_dx ¶ dy ¾1 2 ds

= C(1)12

Z t t0

1 (t₋s)14k

f(u(s))xxkL2_(IR)

½Z

IR|Kx(y, t−s)|dy

¾1 2

ds

≤ C(1)

Z t t0

1 (t₋s)12k

f(u(s))xxkL2_(IR)ds.

Agora

|f(u(x, s))xx| ≤ |f′′(u(x, s))||ux(x, s)|2+|f(u(x, s))||uxx(x, s)|.

Assim

kf(u(s))xxk2 ≤

½Z

IR|f

′′₍_u₍_{x, s}₎₎_|2

|ux(x, s)|2|ux(x, s)|2dy

¾1 2

+

½Z

IR|f

′₍_u₍_{x, s}₎₎_|2

|uxx(x, s)|2dy

¾1 2

≤ M2kux(s)k_∞

½Z

IR|ux(x, s)|

2_dy

¾1 2

+ M1

½Z

IR|uxx(x, s)|

2_dy

¾1 2

≤ M_{kux(s)k_∞kux(s)k2+kuxx(s)k2}.

Usando (2.6) e (2.7) e que 0< t0 ≤s ≤t temos

kf(u(s))xxk2 ≤ M

(

(C1)2ku0k∞ku0k2

s +

C2(ku0k2+ku0k22)

(s₋t0) 1 2

)

≤ M

(

(C1)2ku0k∞ku0k2

t0

+ C2(ku0k2+ku0k

2 2)

(s₋t0) 1 2

)

(32)

20 Substituindo as estimativas de A, B e_kf(u(s))xxk2 em (2.9), obtemos

kvxx(t)k2 ≤

C(1)C1ku0k2

(t₋t0) 1 2t

1 2 0

+C(1)

Z t t0

M (t₋s)12

½

(C1)2k

u0k∞ku0k2

t0

+ C2(ku0k2+ku0k

2 2)

(s₋t0) 1 2

)

ds.

Tomando C = max

½

C(1)C1

√ t0

,C(1)M(C1)

2_k_u 0k∞

t0

, M C(1)

¾

eN =_ku0k2+ku0k22, vem

kvxx(t)k2 ≤

CN (t₋t0)

1 2 + Z t t0 CN ( 1 (t₋s)12

+ C2

(t₋s)12(s−t 0) 1 2 ) ds = CN

(t₋t0) 1 2

+CN2(t₋t0) 1

2 +CC 2N π

≤ N

(t₋t0) 1 2

[C+CC2π(t−t0) 1 2]

≤ N

(t₋t0) 1 2

[C+CC2π

√ T]

≤ N C2

(t₋t0) 1 2

para T pequeno tal que (1₋π√T C) > 0 e assim C2 ≥

C

(1₋π√T C) grande (sendoM = max_{M1, M2}eC = max

½

C(1)C1

√_t

0

,C(1)M(C1)

2_k_u 0k∞

t0

, M C(1)

¾

). Usamos acima que

Z t t0

1 (t₋s)12(s−t

0) 1 2

ds = π que ´e obtida fazendo mudan¸ca de vari´aveis.

(i) Para p=_∞:

|vxx(t)| ≤ |Kx(t−t0)∗vx(t0)|+

¯ ¯ ¯ ¯ Z t t0

Kx(t−s)∗f(u(s))xxds

¯ ¯ ¯

¯=A+B,

respectivamente. Vamos estimar separadamente A e B. Usando (2.6) e (2.3) temos:

A _≤

Z

IR|Kx(x−y, t−t0)|vx(y, t0)|dy ≤ ||vx(t0)||∞

Z

IR|Kx(x−y, t−t0)dy ≤ C1||

u_√0||∞

t0

C(1) √

t₋t0

(33)

Temos tamb´em

B _≤

Z t t0

Z

IR|Kx(x−y, t−s){|f

′′₍_u₍_{y, s}₎₎_||_u

x(y, s)|2

+_|f′(u(y, s))_||uxx(y, s)|}dyds

≤ M2

Z t t0

||ux(s)||2_∞

Z

IR|Kx(x−y, t−s)|dyds +M1

Z t t0

|||uxx(s)||∞

Z

IRKx(x−y, t−s)dyds. Usando (2.6) e (2.7) parau e (2.3), temos:

B _≤ M2C12||u0||2_∞C(1)

Z t t0

1 s

1 (t₋s)12

ds

+M1C2(||u0||∞+||u0||2_∞)C(1)

Z t t0

1 √

s₋t0√t−s

ds

≤ M2C

2

1C(1)||u0||2_∞√t−t0

t0

+M1C2C(1)π(||u0||∞+||u0||2_∞).

Substituindo as estimativas em A eB:

|vxx(t)| ≤

C1||u0||∞C(1)

√_t

0√t−t0

+ M2C

2

1C(1)||u0||2_∞√t−t0

t0

+M1C2C(1)π(||u0||∞+||u0||2_∞).

TomandoC = max

½

C1C(1)

√ t0

,M2C

2 1C(1)

t0

, M1C(1)π

¾

, vem:

|vxx(t)| ≤ C

½

||u0||∞

√ t₋t0

+_||u0||2_∞√t−t0+C2(||u0||∞+||u0||2_∞)

¾

≤ C||u0||∞+||u0||

2

∞

√

t₋t0 {

1 +T +C2

√ T_}.

Logo

||vxx(t)||_∞ ≤ C2||

u0||∞+||u0||2_∞

√ t₋t0

seC2 ≥

C+CT

1₋C√T eT < 1 C2.

f) Sejav =L(u). Ent˜ao as propriedades de semi-grupo deK implicam que parat > t1

v(x, t) =K(t₋t1)∗v(t1)(x)−

Z t t1

(34)

22 e assim

vxxx(x, t) =Kx(t−t1)∗vxx(t1)(x)−

Z t t1

Kx(t−s)∗f(u(s))xxx(x)ds,

kvxxx(t)k2 =

(Z IR ¯ ¯ ¯ ¯ Z

IRKx(y, t−t1)vxx(x−y, t1)dy

¯ ¯ ¯ ¯ 2 dx )1 2 + (Z IR ¯ ¯ ¯ ¯ Z t t1 Z

IRKx(y, t−s)f(u(x−y, s))xxxdyds

¯ ¯ ¯ ¯ 2 dx )1 2

= A+B,

respectivamente. Vamos estimar separadamenteAeB. Usando uma desigual-dade de H¨older e (2.3) em A, obtemos:

A _≤

(Z

IR

"µZ

IR|Kx(y, t−t1)|dy

¶1 2

µZ

IR|Kx(y, t−t1)||vxx(x−y, t1)|

2_dy ¶1 2 #2 dx    1 2

≤ C(1)

1 2

(t₋t1) 1 4

½Z

IR

Z

IR|Kx(y, t−t1)||vxx(x−y, t1)|

2_dydx

¾1 2

.

Usando o Teorema de Fubini e em seguida (2.7) para v =L(u), vem

A _≤ C(1)

1 2

(t₋t1) 1 4

½Z

IR|Kx(y, t−t1)|

Z

IR|vxx(x−y, t1)|

2_dxdy

¾1 2

≤ C(1)

(t₋t1) 1 2k

vxx(t1)k2

≤ C(1)

(t₋t1) 1 2

C2

(_ku0k2+ku0k22)

(t1−t0) 1 2

.

Portanto

A_≤ C(1)

(t₋t1) 1 2

C2

(_ku0k2+ku0k22)

(t1−t0) 1 2

(35)

Usando novamente uma desigualdade de H¨older e (2.3) temos B _≤ (Z IR "Z t t1 µZ

IRKx(y, t−s)dy

¶1 2

µZ

IR|Kx(y, t−s)||f(u(x−y, s))xxx|

2_dy ¶1 2 ds #2 dx    1 2

≤ C(1)12

(Z

IR

"Z t t1

1 (t₋s)14

µZ

IR|Kx(y, t−s)||f(u(x−y, s))xxx|

2_dy ¶1 2 ds #2 dx    1 2 .

Usando o Teorema de Minkowski para Integrais e em seguida o Teorema de Fubini e (2.3) vem

B _≤ C(1)12

Z t t1 (Z IR " 1 (t₋s)14

µZ

IR|Kx(y, t−s)| |f(u(x₋y, s))xxx|2dy

¢1 2 i2 dx ¾1 2 ds = Z t t1

C(1)12

(t₋s)14

½Z

IR|Kx(y, t−s)|

Z

IR|f(u(x−y, s))xxx|

2_dxdy

¾1 2

ds

= C(1)12

Z t t1

1 (t₋s)14k

f(u(s))xxxk2

½Z

IR|Kx(y, t−s)|dy

¾1 2

ds

≤ C(1)

Z t t1

1 (t₋s)12k

f(u(s))xxxk2ds.

Agora usando o fato def _∈C3₍_Br_{(0)) temos}

kf(u(s))xxxk2 ≤ M3

½Z

IR|ux(x, s)|

2

|ux(x, s)|2|ux(x, s)|2dx

¾1 2

+3M2

½Z

IR|ux(x, s)|

2

|uxx(x, s)|2dx

¾1 2

+M1

½Z

IR|uxxx(x, s)|

2_dx

¾1 2

≤ M3kux(s)k4_∞

½Z

IR|ux(x, s)|

2_dx

¾1 2

+3M2kux(s)k2_∞

½Z

IR|uxx(x, s)|

2_dx

¾1 2

+M1kuxxx(s)k2

(36)

24 sendo M = max_{M1,3M2, M3}. Agora usando (2.6), (2.7) e (2.8) vem

kf(u(s))xxxk2 ≤ M

½

C4 1ku0k4_∞

s2

C1ku0k2

√

s +

C2 1ku0k2_∞

s C2

(_ku0_√k2+ku0k22)

s₋t0

+C3

(_ku0k2+ku0k22+ku0k32)

√_s −t1

¾

.

Substituindo esta ´ultima estimativa em B

B _≤ M C(1)

(

C₁5_ku0k4_∞ku0k2

Z t t1

1 (t₋s)12

1 s2_s12

ds

+C₁2C2ku0k2_∞(ku0k2+ku0k22)

Z t t1

1 (t₋s)12

1 (s₋t0)

1 2s

ds

+C3(ku0k2+ku0k22+ku0k32)

Z t t1

1 (t₋s)12

1 (s₋t1)

1 2

ds

)

.

Calculando separadamente as integrais acima,

Z t t1

1 (t₋s)12

1 (s₋t1)

1 2

ds = π (conforme vimos em (e) trocando t0 por t1). Do fato de t0 < t1 e t1 < s < t

temos

Z t t1

1 (t₋s)12

1 (s₋t0)

1 2s ds _≤ Z t t1 1 (t₋s)12

1 (s₋t0)

1 2t

1

ds

≤ _t1

1

Z t t0

1 (t₋s)12

1 (s₋t0)

1 2 ds = π t1 . Tamb´em Z t t1 1 (t₋s)12

1 (s)52

ds _≤

Z t t1

1 (t₋s)12

1 (t1)

5 2

ds

= 2 √

t₋t1

(t1) 5 2

.

Assim

B _≤ M C(1)

(

2√t₋t1

t

5 2 1

π t1

+ C3(ku0k2+ku0k22+ku0k32)π

ª

(37)

Substituindo em A eB:

kvxxx(t)k2 ≤

C(1) √_t

−t1

C2

(_ku0k2+ku0k22)

√_t

1−t0

+M C(1)

(

2√t₋t1

t

5 2 1

+

π t1

+C3(ku0k2+ku0k22+ku0k32)π

¾

.

TomandoC = max

(

C(1)C2

√ t1−t0

,2M C(1)C

5 1ku0k4_∞

t

5 2 1

,M C(1)C

2

1C2πku0k2_∞

t1

, M C(1)π

)

segue que

kvxxx(t)k2 ≤ C

½

(_ku0_√k2+ku0k22)

t₋t1

+_ku0k2√t−t1

+ (_ku0k2+ku0k22) +C3(ku0k2 +ku0k22+ku0k32)

ª

≤ C

½

√_t −t1

+ (_ku0k2+ku0k22+ku0k32)

√ t₋t1

+ (_ku0k2+ku0k22+ku0k32) +C3(ku0k2+ku0k22+ku0k32)

ª

≤ [C+ (C √

T +C)√t₋t1+CC3√t−t1](ku0k2+ku0k22+ku0k32)

√ t₋t1

.

Para C3 suficientemente grande (C3 ≥ C

[1 +T +√T]

1₋√T ) e T suficientemente pequeno (T < 1

C2), segue que

kvxxx(t)k2 ≤

C3

√_t −t1

(_ku0k2+ku0k22+ku0k32).

Para concluir a demonstra¸cão, tomamos T < E, onde E é a menor das limita¸cões encontradas paraT de (a)-(f).

Usando o Lema acima, podemos demonstrar nosso resultado de existˆencia de solu¸c˜ao local para o problema (2.1)-(2.2):

Teorema 2.1 Assuma que u0 −u ∈ L∞(IR)∩L2(IR) e ku0 −uk∞ =s′ < r. Então existe uma única solu¸cão u de (2.1)-(2.2) definida na faixa IR_×[0, T]

onde T depende somente de K, f e s′. Além disso, ut, ux e uxx são Hölder

cont´ınuas em 0 < t0 ≤ t ≤ T; ut(t), ux(t), uxx(t), utx(t) e uxxx(t) est˜ao em

L2_(IR) _para _t_∈₍₀_{, T}₎_{; e valem:}

(38)

26

e

kux(t)k2 ≤C1k

u0−uk2

√

t . (2.11)

Aqui C0 e C1 s˜ao definidas como no Lema 2.1.

Demonstra¸c˜ao: Sem perda de generalidade, tomemos u= 0.

Sejam u0 _≡0 e un _≡_L₍_un−1_).

Como u0 ∈ L∞(IR) ∩L2(IR), logo u0 ∈ L1loc(IR). Como K ∈

C∞_(IR_×₍₀_{, T}_{)) segue que} _u1 ₌_K₍_t₎_∗_u

0 ∈C∞(IR×(0, T)). Agora para

u2 =K(t)_∗u0−

Z t

0

Kx(t−s)∗f(u1(s))ds

ondeK(t)_∗u0 ∈ C∞(IR×(0, T)) e

Z t

0

Kx(t−s)∗f(u1(s))ds ∈ C3(IR×(0, T)),

temos a garantia de que u2 _∈ C3(IR_×(0, T)). Ent˜ao por indu¸c˜ao segue que un=K(t)_∗u0−

Z t

0

Kx(t−s)∗f(un−1(s))ds ∈C3(IR×(0, T)).

Mostraremos agora, por indu¸c˜ao, que as estimativas (2.5) a (2.8) valem para cada un: u0 _∈ GT = {u ∈ L∞(IR×[0, T]) : ku(t)k∞ ≤ r} e satisfaz as

propriedades (2.5) a (2.8). Suponhamos queun₋1 _∈_G

T e satisfaz (2.5) a (2.8)

ent˜ao, pelo Lema 2.1, un ₌ _L₍_un−1₎ _∈ _G

T e satisfaz (2.5) a (2.8). Portanto

por indu¸c˜ao segue que as estimativas valem para cada un. Como un₍_{., t}₎

∈ L2_{(IR) e [(}_un₎2_]

x ´e limitada, segue que un(x, t) → 0

quando_|x_{| → ∞}. Da mesma forma comoun

x(., t)∈L2(IR) e [(unx)2]x´e limitada,

segue que unx(x, t) → 0 quando |x| → ∞ para cada t > 0 (veja [Sm], pag.

436 ).

Agora, pelo Lema 2.1 (a) e (b), temos que L : GT → GT ´e uma

contra¸cão, onde GT é um subconjunto fechado do espa¸co métrico completo

L∞_(IR_×_[0_{, T}_{]). Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach,} _L_{tem um, e somente}

um, ponto fixo emGT, ou seja,unconverge a uma fun¸c˜aou∈GT, para algum

tempo suficientemente pequenoT dependendo somente deK,f es′ (conforme demonstra¸c˜ao de (a) e (b) do Lema 2.1).

(39)

como no Lema 2.1.

Mostramos acima que as estimativas (2.5) a (2.8) valem paraun_,_∀_n_.

Por (2.7) segue que: kun_xx(t)_k2 ≤ C2

(_ku0k2+ku0k22)

√

t₋t0 ≤

C2

(_ku0k2+ku0k22)

√ t2−t0

=C∗ para cada t_≥t2.

Mostraremos que un

x s˜ao H¨older cont´ınuas em x para cada t ≥ t2.

Sejam x1, x2 ∈IR, ent˜ao

|unx(x1, t)−unx(x2, t)| =

¯ ¯ ¯ ¯

Z x2

x1

unxx(x, t)dx

¯ ¯ ¯ ¯

≤

Z x2

x1

|un_xx(x, t)_|dx ≤

·Z x2

x1

|un_xx(x, t)_|2dx

¸1 2 ·Z x2

x1

dx

¸1 2

≤ kun_xx(t)_k2(x2−x1) 1 2

≤ C∗(x2−x1) 1 2.

Mostraremos agora queuntx(t)∈L2(IR) parat ≥t2. Diferenciando

un_t ₋Dun_xx =₋f(un−1)x (2.12)

em rela¸c˜ao ax, obtemos

u_txn =Dun_xxx₋[(u_xn−1)Tf′′(un−1)un_x−1+f′(un−1)un_xx−1]. Assim, sendo d=max_{dj}, temos

kun_tx(t)_k2 ≤

≤

½Z

IR|D|

2

|unxxx(x, t)|2dx

¾1 2

+

½Z

IR|f

′′₍_un₋1₍_{x, t}₎₎

|2|unx−1(x, t)|4dx

¾1 2

+

½Z

IR|f

′₍_un₋1₍_{x, t}₎₎

|2|unxx−1(x, t)|2dx

¾1 2

≤ d

½Z

IR|u

n

xxx(x, t)|2dx

¾1 2

+M2kunx−1(t)k∞

½Z

IR|u

n₋1

x (x, t)|2dx

¾1 2

+M1

½Z

IR|u

n₋1

xx (x, t)|2dx

¾1 2

(40)

28 Por (2.6), (2.7) e (2.8) segue que

kun_tx(t)_k2 ≤

≤C′

½

C3

(_ku0k2+_√ku0k22 +ku0k32)

t₋t1

+C₁2ku0k∞ku0k2

t +C2

ku0_√k2+ku0k22

t₋t0

¾

≤ C′

½

C3

√ t2−t1

+C₁2ku0k∞ku0k2 t2

+C2k

u0k2+ku0k22

√ t2−t0

¾

= C.

Portantoun

tx ∈L2(IR) para todo t≥t2.

Para t2 ≤ t′ ≤ t′′ ≤ T, seja f(y) = unx(y, t′′)−uxn(y, t′). Seja g(z) =

Z x+z x

f(y)dy ent˜ao g′(z) =f(x+z). Assim

lim

ǫ_→0

1 ǫ

Z x+ǫ x

f(y)dy= lim

ǫ_→0

g(ǫ)₋g(0)

ǫ =g

′_{(0) =}_f₍_x₎_.

Portantof(x)₋1 ǫ

Z x+ǫ x

f(y)dy_→0 quandoǫ_→0, ou seja,f(x)₋1 ǫ

Z x+ǫ x

f(y)dy= o(ǫ). Da´ıf(x)₋1

ǫ

Z x+ǫ x

f(y)dy =O(ǫ). Deste modo

un_x(x, t′′)₋un_x(x, t′) = = 1

ǫ

Z x+ǫ x

un_x(y, t′′)₋u_xn(y, t′)dy+O(ǫ) = 1

ǫ

Z t′′ t′

Z x+ǫ x

un_tx(y, t)dydt+O(ǫ) ≤ 1_ǫ

Z t′′ t′

(·Z x+ǫ x |

un_tx(y, t)_|2dy

¸1

2 ·Z x+ǫ

x

dy

¸1 2)

dt+O(ǫ)

≤ √_ǫ

ǫ

Z t′′

t′ k

un_tx(t)_kL2_(IR)dt+O(ǫ)

≤ (C′)−12(t′′−t′)− 1 3 sup

t2≤t≤T

kun_tx(t)_kL2_(IR)

Z t′′

t′

dt+O(ǫ) ≤ C′′[(t′′₋t′)−13(t′′−t′) + (t′′−t′)

2 3]

= C∗∗(t′′₋t′)23

se ǫ=O(t′′₋t′)23, ou seja, ǫ

(t′′₋_t′₎23 ≤

C′ para algum C′_, _t′′₋_t′ _{pr´oximo de}

zero, ent˜ao ǫ_≤C′(t′′₋t′)23. Logo un

(41)

Agora, usando a H¨older continuidade em xe em t, temos

|unx(x1, t′)−unx(x2, t′′)| ≤

≤ |un_x(x1, t′)−unx(x1, t′′)|+|u n

x(x1, t′′)−u n

x(x2, t′′)|

≤ C′[(x2 −x1) 1

2 + (t′′−t′) 1 2(T)

1 6]

≤ C[(x2−x1)2+ (t′′−t′)2] 1 2.

Al´em disso temos un

x uniformemente limitadas por (2.6) em [t2, T]. Portanto

as fun¸c˜oesun

x s˜ao uniformemente H¨older cont´ınuas em IR×[t2, T].

Usaremos o Teorema 1.1 para mostrar que un

xx s˜ao uniformemente

H¨older cont´ınuas em IR_×[t2, T]. Consideremos o sistema

  

un

t −Dunxx =−f(un−1)x

un(x, t2) =L(un−1)(t2).

Paran = 1, sendo u0 = 0

  

u1_t ₋Du1_xx =₋f(u0)x =−f(0)x = 0

u1(x, t2) =L(u0)(t2)

o sistema tem solu¸c˜aou1de classe_Hl+2,₂l+1_(IR_×_[_t

2, T]) coml =

1

2 pelo Teorema 1.1. Isto segue pois 0 _{∈ H}l,l

2(IR×[t₂, T]) e L(u0)(t₂) ∈ Hl+2(IR). De fato,

L(u0₎₍_t

2) =K(t2)∗u0 ∈C2(IR) e mostraremos que a norma |K(t2)∗u0| 1 2+2

IR ´e finita. Temos u0x H¨older cont´ınua com expoente

1

2 o que segue do fato de u

n x

serem uniformemente H¨older cont´ınuas com expoente 1

2. Usando isto e (2.3) vem

|[K(t2)∗u0]xx(x)−[K(t2)∗u0]xx(x′)|

|x₋x′_|12 ≤

≤

Z

IR|Kx(z, t2)|

|u0x(x−z)−u0x(x′−z)|

|x₋x′_|12

dz

≤ CC_√(1) t2

(42)

30 Da´ı,

|K(t2)∗u0| 1 2+2

IR =

= X

[1 2+2]

sup x, x′ _∈IR |x₋x′_|< ρ0

(

|D[

1 2+2]

x [K(t2)∗u0](x)−D [1

2+2]

x [K(t2)∗u0](x′)|

|x₋x′_|12

)

+ max

IR |K(t2)∗u0(x)|+

[1 2+2]

X

j=1

(X

j

max IR |D

j

x[K(t2)∗u0](x)|)

≤ CC√(1) t2

+_||u0||∞+

C(1) √

t2 ||

u0||∞+

C(2) t2 ||

u0||∞.

Suponhamos que_

 

uk_t−1₋Duk₋1

xx =−f(uk−2)x

uk−1₍_{x, t}

2) = L(uk−2)(t2)

tem uma solu¸c˜ao uk−1 _{de classe} _Hl+2,l

2+1(IR×[t₂, T]) com l = 1

2. Logo u

k−1

´e cont´ınua e tem derivadas cont´ınuas da forma Dr

tDsx para 2r+s < l+ 2 e

tem norma finita, ou seja, _|uk−1_|(l+2)

QT ≤ C, para alguma constante C. Como l+ 2 = 1

2 + 2 (⇒ [l+ 2] = 2), segue do primeiro e do segundo somat´orio da norma que:

sup

(x, t),(x′, t)_∈QT

|x₋x′_|< ρ0

(

|ukxx−1(x, t)−ukxx−1(x′, t)|

|x₋x′_|12

)

≤C

e

sup

(x, t),(x′, t)_∈QT

|t₋t′_|< ρ0

(

|uk−1

xx (x, t)−ukxx−1(x, t′)|

|t₋t′_|14

)

≤C.

Portanto uk₋1

xx s˜ao uniformemente H¨older cont´ınuas em x e em t, logo

uni-formemente H¨older cont´ınuas em IR_×[t2, T].

Consideramos agora_

 

uk

t −Dukxx =−f(uk−1)x

uk(x, t2) =L(uk−1)(t2).

Vamos mostrar que ₋f(uk−1₎

x ∈ H

1 2,

1

4(IR×[t₂, T]) e L(uk−1)(t₂)∈ H 1

2+2(IR).

Temos₋f(uk−1)x ∈C(IR×[t2, T]) poisf ∈C3(Br(0)) para (x, t)∈IR×[0, T]

e (usando [l] = [1

(43)

| −f(uk−1)x|

1 2

IR×(t2.T) = sup

(x, t),(x′, t)_∈QT

|x₋x′_|< ρ0

(

|f(uk−1(x, t))x−f(uk−1(x′, t))x|

|x₋x′_|12

)

+ sup

(x, t),(x, t′)_∈Q_T |t₋t′_|< ρ0

(

|f(uk−1(x, t))x−f(uk−1(x, t′))x|

|t₋t′_|14

)

+ max

QT |

f(uk−1(x, t))x|

finito pois temos: i) max

QT |

f(uk−1(x, t))x| < ∞ pelo fato de f ∈ C3(Br(0)) e ukx−1 s˜ao

uniforme-mente H¨older cont´ınuas; ii)

|f(uk₋1₍_{x, t}₎₎

x−f(uk−1(x′, t))x|

|x₋x′_|12 ≤

M|u

k₋1

x (x, t)−ukx−1(x′, t)|

|x₋x′_|12

≤ M′

pois f _∈ C3₍_Br_{(0)) e} _uk₋1

x s˜ao uniformemente H¨older cont´ınuas em x com

expoente 1 2; iii)

|f(uk−1₍_{x, t}₎₎

x−f(uk−1(x, t′))x|

|t₋t′_|14 ≤

M′′|u

k−1

x (x, t)−ukx−1(x, t′)||t−t′|

5 12

|t₋t′_|14|t−t′| 5 12

≤ M∗_|T ₋t2| 5 12

pois f(uk−1)x ∈ C2(Br(0)) e ukx−1 s˜ao uniformemente H¨older cont´ınuas em t

com expoente 2

3. Portanto −f(u

k₋1₎

x∈ Hl,

l

2(IR×[t

2, T]) coml =

1 2. Falta mostrar que _|L(uk−1₎₍_t

2)| 1 2+2

IR ´e finita. Usando (2.8) temos |[L(uk−1₎₍_t

2)]xx(x′)−[L(uk−1)(t2)]xx(x)|

|x′₋_x_|12 ≤

Z x′ x |

[L(uk−1)(t2)]xxx(y)|dy

≤ 1

|x′₋_x_|12

"Z x′ x |

[L(uk−1)(t2)]xxx(y)|2dy

#1 2 "Z _x′

x

dy

#1 2

≤ C3

(_||u0||2+||u0||22+||u0||32)

√_t

2−t1

(44)

32

Da´ı, usando (2.6) e (2.7) para p=_∞, vem:

|L(uk−1)(t2)| 1 2+2

IR = sup

x,x′∈IR

|x−x′|<ρ0

|[L(uk₋1₎₍_t

2)]xx(x′)−[L(uk−1)(t2)]xx(x)|

|x′₋_x_|12

+

2

X

j=0

max IR |D

j x[L(u

k₋1₎₍_t 2)](x)|

≤ r+C3

(_||u0||2+||u0||22+||u0||32)

√_t

2−t1

+C1||

u0||∞

√_t

2

+C2||

u0||∞+||u0||2_∞

√_t

2−t0

.

Observe que al´em de_|L(uk−1)(t2)| 1 2+2

IR ser finita ´e limitada independente de k. Aplicando novamente o Teorema 1.1 com l = 1

2, obtemos uma solu¸c˜ao u

k

de classe _Hl+2,₂l+1_(IR _×_[_t

2, T]). Logo, usando a desigualdade do Teorema e

o fato de L(un−1(t2)) e −f(un−1)x serem limitadas independente de n (em

Hl+2_{(IR) e} _H2l+1(IR×[t

2, T]), respectivamente), segue que ukxx s˜ao

uniforme-mente H¨older cont´ınuas. Mostramos desta forma que un

xx s˜ao uniformemente

Hölder cont´ınuas em IR_×[t2, T],∀n. Segue da equa¸cão (2.12) queunt também

s˜ao uniformemente H¨older cont´ınuas em IR_×[t2, T],∀n.

Como un

x e unxx são uniformemente Hölder cont´ınuas então, pelo

Teo-rema de Arzela- Àscoli (Teorema 1.3), _{unx} e {unxx} são pré-compactos em

IR_×[t2, T].

Por _{un

x} ser pré-compacto, existe uma subseqüência de {unx}, que

denotamos tamb´em por _{unx}, que converge uniformemente a uma fun¸c˜ao

cont´ınua v em subconjuntos compactos de IR_×[t2, T]. Pelo fato de ser

con-vergˆencia uniforme segue que v = ux (Lema 1.1). Pelos mesmos argumentos,

usando a subseq¨uˆencia, se mostra queunxx → uxx em subconjuntos compactos

de IR_×[t2, T].

ComoD ´e constante ef _∈C3(Br(0)) segue que

un_t =Dun_xx₋f′(un−1)un_x−1 _→Duxx−f(u)x =ut

(45)

segue queun

t, unx e unxx convergem uniformemente em conjuntos compactos de

IR_×(0, T] a ut, ux e uxx, respectivamente, que assim também serão Hölder

cont´ınuas.

Pelo Lema 2.1 (d), para cada 0 < t _≤ T fixo, existe C1 dependendo

somente deK e f tal que _kunx(t)k2 ≤C1k

u0k2

√

t <∞. Isto implica que u

n x(t)∈

L2_{(IR). Como} _un

x → ux uniformemente ent˜ao segue que ux(t) ∈ L2(IR) para

cada t >0.

Pelo Lema 2.1 (e), dadot0 ∈(0, T), existeC2 dependendo somente de

K, f e t0 tal que

kun_xx(t)_k2 ≤C2

(_ku0k2+ku0k22)

√ t₋t0

, _∀ t0 < t≤T.

Disto segue que un

xx(t) ∈ L2(IR),∀n. Como unxx → uxx uniformemente, segue

queuxx(t)∈L2(IR) para cada t >0.

Por (2.5) temos _kun₍_t₎

k2 ≤ C0ku0k2, ∀n e un → u uniformemente

ent˜ao segue que _ku(t)_k2 ≤ C0ku0k2. Da mesma forma por (2.6) segue que

kux(t)k2 ≤ C1k

u0k2

√

t . Finalmente, como u

n

xxx(t) s˜ao uniformemente limitadas

em L2_{(IR), para cada} _{t >} _{0 fixo (por (2.8)), ent˜ao elas convergem fracamente}

em L2(IR): un

xxx(t) ⇀ w(t) ∈ L2(IR) (consequˆencia do Teorema de

compaci-dade fraca emL2(Ω)).

Por outro lado, paraφ _∈C∞

0 (IR) temos

Z

IRu

n

xxx(x, .)φ(x)dx−

Z

IRuxxx(x, .)φ(x)dx= =

Z

IR[u

n

xxx(x, .)−uxxx(x, .)]φ(x)dx

≤ kun₋u_k_∞_kφxxxk∞vol(suppφ)

onde supp(φ) ´e o suporte compacto de φ. Fazendo n _→ +_∞ obtemos

Z

IRu

n

xxx(x, .)φ(x)dx→

Z

IRuxxx(x, .)φ(x)dx, o que implica queu

n

xxx →uxxx no

sentido das distribui¸c˜oes. Porun

xxx(t)⇀ w(t) segue que

Z

IRu

n

xxx(x, .)φ(x)dx→

Z

IRw(x, .)φ(x)dx. Pela unicidade do limite segue que w(t) =uxxx(t) no sen-tido das distribui¸c˜oes. Como w(t) _∈ L2(IR) segue que uxxx(t) ∈ L2(IR) para

(46)

34 Como ut = Duxx −f(u)x e uxx(t), ux(t) ∈ L2(IR), segue que ut(t)

∈L2(IR). Da mesma forma, comoutx=Duxxx−f(u)xx =Duxxx−[f′′(u)u2x+

f′₍_u₎_u_xx_], _u_xxx₍_t_), _u_xx₍_t_), _u_x₍_t₎_∈_L2_{(IR) e} _u

x s˜ao H¨older cont´ınuas (logo

limi-tadas), segue que utx∈L2(IR).

A fim de estender estas solu¸cões globalmente, isto é, para todot >0, devemos fazer uso do chamado par de entropia-fluxo de entropia que é definido como segue:

Defini¸cão 2.1 As fun¸cões α, β: Br(u) _→IR são chamadas par de entropia-fluxo de entropia para f em Br(u), denotado por (α, β), se a rela¸cão

∇α(u)Tf′(u) = _∇β(u)T (2.13)

vale em Br(u).

A entropia α ser´a assumida satisfazendo

δ_|u₋u_|2 _≤α(u)_≤ 1

δ|u−u|

2_, _u

∈Br(u), (2.14)

para alguma constante δ. Finalmente, dizemos que α ´e consistente com a matriz diagonal D se existe um ǫ >0 tal que

wTDα′′(u)w_≥ǫ_|w_|2 (2.15) para todou_∈Br(u) e w_∈IRn_.

A existência de um tal par (α, β) nos possibilitará deduzir certas limi-ta¸cões à priori para as solu¸cões de (2.1)-(2.2). Estas limilimi-ta¸cões são fundamen-tais para estender nossas solu¸cões locais para solu¸cões globais.

Lema 2.2 Assuma que existe um par de entropia-fluxo de entropia como

descrito na Defini¸c˜ao 2.1 satisfazendo (2.14) e (2.15). Seja u0−u∈L∞(IR)∩

L2(IR)com _ku0−uk∞=s′ < r. Nestas condi¸c˜oes existem constantes positivas

C4 e C5 tais que se ué uma solu¸cão clássica de (2.1)-(2.2) em IR×(t0, t1)

ent˜ao

(47)

Se ux(t0)∈L2(IR) ent˜ao

kux(t)k2 ≤C5(kux(t0)k2 +ku(t0)k2), t0 ≤t≤t1. (2.17)

Demonstra¸cão: Como u é solu¸cão suave de (2.1)-(2.2) para t _∈ (t0, t1)

podemos multiplicar (2.1) por _∇αT _{e usar (2.13) e (2.15) para obter}

∇α(u)Tut+∇α(u)Tf(u)x =∇α(u)TDuxx

[α(u)]t+∇α(u)Tf′(u)ux =∇α(u)TDuxx

[α(u)]t+∇ β(u)Tux =∇α(u)TDuxx

[α(u)]t+ [β(u)]x = −[α′′(u)ux]TDux+ [α′′(u)ux]TDux+∇α(u)TDuxx

= [_∇α(u)TDux]x−(α′′(u)ux)TDux

= [_∇α(u)T_Du

x]x−uTx[α′′(u)]TDux.

Usando o fato deD ser diagonal e em seguida (2.15) com w=ux

[α(u)]t+ [β(u)]x = (∇α(u)TDux)x−uTxDα′′(u)ux ≤(∇α(u)TDux)x−ǫ|ux|2.

Integrando sobre IR_×[t0, t] e por um argumento utilizado no Teorema 2.1,

temos

Z

IRα(u(x, .))

¯ ¯t

t0dx ≤ −ǫ

Z t t0

Z

IR|ux(x, t)|

2_dxdt.

Portanto

Z

IRα(u(x, t))dx+ǫ

Z t t0

Z

IR|ux(x, t)|

2_dxdt

≤

Z

IRα(u(x, t0))dx. (2.18) Isto juntamente com (2.14) nos d´a

δ

Z

IR|u(x, t)|

2_dx

≤

Z

IRα(u(x, t)) +ǫ

Z t t0

|ux(x, t)|2dxdt

≤

Z

IRα(u(x, t0))dx ≤ 1_δ

Z

IR|u(x, t0)|

(48)

36 Portanto_ku(t)_k2 ≤C4ku(t0)k2.

Para provar (2.17), consideremos novamente (2.1). Derivando em rela¸c˜ao a x

utx+f(u)xx =Duxxx

e multiplicando por uT x

uTxutx+uTxf(u)xx =uTxDuxxx.

Assim ∂ ∂t

µ

u2_x 2

¶

+ (uT_xf(u)x)x−uTxxf(u)x = (uTxDuxx)x−uTxxDuxx

1 2

∂ ∂t(u

2

x) = −(u T

xf(u)x)x+uTxxf(u)x+ (uTxDuxx)x−uTxxDuxx.

Integrando sobre IR _×[t0, t] e por um argumento utilizado no Teorema 2.1

temos: 1 2

Z

IR|ux(x, .)|

2¯_¯t t0dx =

=

Z t t0

Z

IR[f(u(x, s))

T

xuxx(x, s)−(Duxx(x, s))Tuxx(x, s)]dxds

≤

Z t t0

Z

IR[|f

′₍_u₍_{x, s}₎₎_||_u

x(x, s)||uxx(x, s)| −d′|uxx(x, s)||uxx(x, s)|]dxds

≤

Z t t0

Z

IR[M1|ux(x, s)||uxx(x, s)| −d

′_|_u

xx(x, s)|2]dxds

onde d′ =_{mindi}. Al´em disso

µ

C

2d′|ux| − |uxx|

¶2

≥0 _⇒ C

d′|ux||uxx| ≤

C2

4(d′₎2|ux| 2₊

|uxx|2

⇒ C_|ux||uxx| ≤C

µ

C 4d′|ux|

2₊ d′

C|uxx|

2

¶

.

Assim

1 2

Z

IR|ux(x, t)|

2

− |ux(x, t0)|2dy ≤

Z t t0

Z

IR

·

C

µ

C

4d′|ux(x, s)|

2

+ d′

C|uxx(x, s)|

2

¶

−d′_|uxx(x, s)|2

¸

(49)

o que implica que

|ux(t)k2₂ ≤ kux(t0)k22+

C2

2d′

Z t t0

Z

IR|ux(x, s)|

2_dxds.

Agora de (2.18) e (2.14) temos que

Z t t0

Z

IR|ux(x, s)|

2_dxds

≤ 1_ǫ

Z

IRα(u(x, t))dx+

Z t t0

Z

IR|ux(x, s)|

2_dxds

≤ 1_ǫ

Z

IRα(u(x, t0))dx ≤ _ǫδ1

Z

IR|u(x, t0)|

2_dx.

TomandoC′ = max

½

1, C

2

2d′_ǫδ

¾

temos

kux(t)k22 ≤C′(kux(t0)k22+ku(t0)k22).

Logo

kux(t)k2 ≤C5(kux(t0)k2+ku(t0)k2).

Podemos agora expor nosso resultado de existˆencia global:

Teorema 2.2 Assuma que existe um par de entropia-fluxo de entropia como

descrito na Defini¸c˜ao 2.1, satisfazendo (2.14) e (2.15). Sejau0−u∈L∞(IR)∩

L2_(IR) _com _k_u

0 −uk∞ = s′ < r e sejam C0 a C5 como definidas nos Lemas

2.1 e 2.2. Ent˜ao o problema (2.1)-(2.2) tem uma solu¸c˜ao global desde que ·

2C4C5

µ

C1

√

T +C4

¶¸1 2

ku0−uk2 ≤s′.

Aqui C5 = max{C5,1}.

Demonstra¸c˜ao: Novamente podemos tomar u = 0. Seja a = C4ku0k2 e

b=C5

³

C1

√

T +C4

´

ku0k2. Nossa hipótese é então que

√

2ab_≤s′. Pelo Teorema 2.1 existe uma solu¸cão u definida próximo do tempo T e pelo Lema 2.1 (a) vemos queu satisfaz _ku(t)_k_∞ _≤r, 0_≤t _≤T (pela demonstra¸cão do Teorema 2.1 ,u_∈L∞(IR_×[0, T]) e _ku(t)_k_∞ _≤r). Por (2.16) _ku(T)_k2 ≤C4ku0k2 =a e