Estudo e desenvolvimento de modelos matemáticos aplicados a tecnologia de dispositivos sensores

(1)

Ijuí/RS 2015

UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO

ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL

Curso de Pós Graduação Stricto Sensu em Modelagem Matemática

MARINA GEREMIA

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIAS

ESTUDO E DESENVOLVIMENTO DE MODELOS MATEMÁTICOS

APLICADOS A TECNOLOGIA DE DISPOSITIVOS SENSORES

(2)

Ijuí/RS 2015

ESTUDO E DESENVOLVIMENTO DE MODELOS

MATEMÁTICOS APLICADOS A TECNOLOGIA DE DISPOSITIVOS

SENSORES

Dissertação do Curso de Pós Graduação Strictu Sensu em Modelagem Matemática apresentado como requisito parcial para obtenção de título de Mestre em Modelagem Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Luiz Antônio Rasia

(3)

DCEEng - Departamento de Ciências Exatas e Engenharias

A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova a Dissertação.

ESTUDO E DESENVOLVIMENTO DE MODELOS MATEMÁTICOS

APLICADOS A TECNOLOGIA DE DISPOSITIVOS SENSORES

Elaborada por

MARINA GEREMIA

Como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática

Comissão Examinadora

Prof. Dr. Luiz Antônio Rasia (Orientador) - DCEEng

Prof. Dr. Antônio Carlos Valdiero (Co-orientador) – DCEEng

Prof. Dr. Humber Furlan – FATEC-SP

Prof. Dr. Manuel Martin Perez Reimbold - DCEEng

Ijuí/RS 2015

(4)

Dedico este trabalho aos meus pais e, em especial, ao meu esposo.

(5)

Agradeço primeiramente a Deus, por estar sempre no meu caminho, iluminando e guiando minhas escolhas.

A minha família pelo carinho e incentivo.

Ao meu esposo, Cristian, por todo o amor, serenidade e paciência transmitidos durante a realização desta dissertação, especialmente nos momentos mais difíceis.

Ao meu orientador e amigo, Professor Dr. Luiz Antônio Rasia, pelos ensinamentos, por toda dedicação, paciência e competência com que me orientou neste trabalho, conseguindo me transferir uma parte valiosa de seu conhecimento.

Aos meus colegas e amigos, Rodrigo Moreira e Alberto Moi, com quem pude trocar informações e experiências que foram muito importantes para a realização deste trabalho. Aos meus professores e colegas do curso de pós graduação com os quais tive a oportunidade de trabalhar e aprender muito. A Sra. Geni, secretária do curso, pelo apoio.

(6)

“Por vezes sentimos que aquilo que fizemos não é senão uma gota de água no mar. Mas o mar seria menor se lhe faltasse uma gota.”

(7)

tecnologia de dispositivos sensores. 2015. 162 f. Dissertação (Mestrado em Modelagem Matemática) - Departamento de Ciências Exatas e Engenharias, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijuí, 2015.

RESUMO

Neste trabalho é apresentado o estudo teórico do efeito piezoresistivo e das suas propriedades em dois tipos de materiais com estrutura amorfa, o carbono semelhante ao diamante e o óxido de índio dopado com estanho. Esse estudo compreende o levantamento bibliográfico sobre os materiais, a análise de algumas de suas propriedades, a avaliação e comparação gráfica, através do software 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏𝑇𝑀_{, de determinadas características apresentadas pelos materiais.}

O conhecimento detalhado de algumas características físicas das estruturas e dos materiais que podem ser utilizados para a fabricação dos sensores depressão piezoresistivos integrados é importante, pois estes sensores tem uma dependência direta com as propriedades do material. Os dois materiais estudados apresentam o efeito piezoresistivo, sinal de sensibilidade e dependência com a temperatura, condizentes com as características esperadas para aplicação de filmes finos. De acordo com os resultados obtidos, neste trabalho, estes filmes podem ser utilizados, com excelentes resultados, em aplicações envolvendo sensores de pressão piezoresistivos. A resposta apresentada é coerente em relação à literatura e, portanto, os processos e simulações analíticas realizadas são adequados para o tratamento de materiais semicondutores empregados na fabricação de elementos sensores de pressão.

(8)

technology of sensor devices. 2015. 162 f. Dissertação (Mestrado em Modelagem Matemática) - Departamento de Ciências Exatas e Engenharias, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijuí, 2015.

ABSTRACT

This work presents the theoretical study of the piezoresistive effect and its properties in two types of materials with amorphous structure, the diamond-like carbon and indium oxide doped with tin. This study comprises the literature on the materials, the analysis of some of its properties, the evaluation and graphical comparison, through Matlab software, certain characteristics presented by the materials. Detailed knowledge of certain physical characteristics of structures and materials that can be used for the manufacture of integrated piezoresistive sensors depression is important since these sensors have a direct dependence on the material properties. The two materials studied show the piezoresistive effect, sensitivity signal and dependence with temperature, consistent with the expected characteristics for the application of thin films. According to the results of this study, these films can be used with excellent results in applications involving piezoresistive pressure sensors. The response shown is coherent with the literature and therefore the analytical process and simulations are suitable for the treatment of semiconductor materials used in manufacturing pressure sensing elements.

(9)

Figura 1 - Coeficiente de piezoresistência para o material tipo N em função da concentração

de dopantes...

... 27

Figura 2 – Coeficiente piezoresistivo longitudinal no plano (001) para silício tipo P.

... 27

Figura 3 – Modelo físico de sensor piezoresistivo

... 28

Figura 4 – Níveis de energia para materiais condutores, isolantes e semicondutores.

... 30

Figura 5 –Comparação entre o modelo de uma estrutura molecular amorfa e uma estrutura molecular cristalina.

... 33

Figura 6 – Comparativo de filmes finos fabricados com materiais monocristalinos, policristalinos e amorfos.

... 33

Figura 7 - Diagrama dos “efeitos cruzados” em materiais semicondutores

... 34

Figura 8 - Representação estrutural do a – C : H

... 44

Figura 9 – Representação de orbitais de carbono

... 45

Figura 10 – Modelo multivalley para para filmes de silício. Ilustração de superfície de energia para o Silício não estressado (a) e ilustração de superfície de energia para o Silício estressado (b)...

... 48

Figura 11– Modelo para filmes de DLC. (a) sem esforço mecânico e (b) com esforço mecânico...

... 49

Figura 12 – Representação do método PVD sputtering.

... 51

Figura 13 – Fluxograma representando as etapas básicas de processamento de piezoresistores...

... 52

Figura 14 – Esquema geométrico de um sensor de pressão

... 52

Figura 15 - Representação esquemática da membrana de silício de um transdutor de pressão piezoresistivo sofrendo deformação devido à aplicação de uma pressão externa.

... 55

(10)

Figura 19 – Diagrama Desenvolvimento do Arranjo Experimental

... 64

Figura 20 – Fotografia do arranjo experimental para caracterização mecânica dos filmes de DLC e ITO...

... 65

Figura 21 – Arranjos experimentais para medidas em filmes de DLC

... 65

Figura 22 – Equipamento HP para caracterização das estruturas de teste.

... 66

Figura 23 – Fotografia de saída dos cabos e controle de temperatura da estufa.

... 66

Figura 24 – Comportamento dos coeficientes piezoresistivos longitudinal, transversal e de cisalhamento do filme de DLC não dopado no plano (100).

... 68

Figura 25 – Comportamento dos coeficientes piezoresistivos longitudinal, transversal e de cisalhamento do filme de DLC dopado com 40% de nitrogênio no plano (100).

... 69

Figura 26 – Comportamento dos coeficientes piezoresistivos longitudinal, transversal e de cisalhamento do filme de DLC dopado com 60% de nitrogênio no plano (100).

... 70

Figura 27 – Comportamento dos coeficientes piezoresistivos longitudinal, transversal e de cisalhamento do filme de ITO livre de oxigênio no plano (100).

... 71

Figura 28 – Comportamento dos coeficientes piezoresistivos longitudinal, transversal e de cisalhamento do filme de ITO dopado com 5% oxigênio no plano (100).

... 72

Figura 29 – Comportamento dos coeficientes piezoresistivos longitudinal, transversal e de cisalhamento do filme de ITO dopado com 10% oxigênio no plano (100).

... 73

Figura 30 – Distribuição do esforço mecânico em diafragma circular para filmes de DLC livre de dopantes...

... 74

Figura 32 - Coeficiente piezoresistivo longitudinal em função da variação de dopantes N para a-C:H não dopado.

... 77

Figura 33 - Coeficiente piezoresistivo longitudinal em função da variação de dopantes N para a-C:H dopado com 40% de nitrogênio.

... 78

(11)

Figura 35 - Coeficiente piezoresistivo longitudinal em função da variação de dopantes N para

filmes de ITO livres de dopantes.

... 80

Figura 36 - Coeficiente piezoresistivo longitudinal em função da variação de dopantes N para

filmes de ITO dopados com 5% de oxigênio.

... 81

Figura 37 - Coeficiente piezoresistivo longitudinal em função da variação de dopantes N para filmes de ITO dopados com 10% de oxigênio.

... 82

Figura 38 - Resistência em função da variação de dopantes N para a-C:H não dopado.

... 83

Figura 39 - Resistência em função da variação de dopantes N para a-C:H dopado com 40% de nitrogênio...

... 84

Figura 40 - Resistência em função da variação de dopantes N para a-C:H dopado com 60%

de nitrogênio...

... 85

Figura 41 - Resistência em função da variação de dopantes N para filmes de ITO livre de

oxigênio...

... 86

Figura 42 - Resistência em função da variação de dopantes N para filmes de ITO dopado com 5% de oxigênio....

... 87

Figura 43 - Resistência em função da variação de dopantes N para filmes de ITO dopado com

10% de oxigênio..

... 88

Figura 44 - Resistência em função do coeficiente piezoresistivo transversal, (𝜋𝑡), para filmes

de DLC, a – C:H....

... 89

Figura 45 – Resistência em função do coeficiente piezoresistivo transversal, (𝜋𝑡), para filmes

de DLC dopados com 40% de nitrogênio.

... 90

... 91

de ITO livre de dopantes.

... 92

Figura 48- Resistência em função do coeficiente piezoresistivo transversal, (𝜋𝑡), para filmes

(12)

de ITO dopado com 10% de oxigênio.

... 94

Figura 50 - Resistência em função do coeficiente piezoresistivo longitudinal, (𝜋𝑙), para filmes

de DLC, a–C:H...

... 95

... 96

... 97

de ITO livre de dopantes.

... 98

... 99

... 100

Figura 56 – Variação da resistência elétrica, Δ𝑅𝑅 , em função da deformação mecânica, 𝜀,

para filmes de DLC livre de dopantes.

... 101

Figura 57 – Variação da resistência elétrica, Δ𝑅𝑅 , em função da deformação mecânica,

𝜀,para filmes de DLC dopados com 40% de nitrogênio.

... 102

para filmes de DLC dopados com 60% de nitrogênio.

... 103

para filmes de ITO livres de dopantes.

... 104

para filmes de ITO dopados com 5% de oxigênio.

... 105

(13)

livres de dopantes.

... 107

Figura 63 – Resistência elétrica sujeita a tensão mecânica longitudinal para filmes de DLC

dopados com 40% de nitrogênio.

... 108

Figura 64– Resistência elétrica sujeita a tensão mecânica longitudinal para filmes de DLC

dopados com 60% de nitrogênio.

... 109

Figura 65 – Resistência elétrica sujeita a tensão mecânica longitudinal para filmes de ITO

livres de dopantes.

... 110

Figura 66 – Resistência elétrica sujeita a tensão mecânica longitudinal para filmes de ITO

doados com 5% de oxigênio.

... 111

Figura 67 – Resistência elétrica sujeita a tensão mecânica longitudinal para filmes de ITO doados com 10% de oxigênio.

... 112

Figura 68 – Resistência elétrica sujeita a tensão mecânica transversal para filmes de DLC

livres de dopantes.

... 113

Figura 69 – Resistência elétrica sujeita a tensão mecânica transversal para filmes de DLC

dopado com 40% de nitrogênio.

... 114

Figura 70 – Resistência elétrica sujeita a tensão mecânica transversal para filmes de DLC dopado com 60% de nitrogênio.

... 115

Figura 72 – Resistência elétrica sujeita a tensão mecânica transversal para filmes de ITO não

dopados...

... 116

Figura 73 – Resistência elétrica sujeita a tensão mecânica transversal para filmes de ITO

dopados com 5% de oxigênio.

... 117

Figura 74 – Resistência elétrica sujeita a tensão mecânica transversal para filmes de ITO dopados com 10% de oxigênio.

... 118

Figura 75 – Resistência elétrica em função do strain para filmes de DLC livres de

dopantes...

... 119

Figura 76 – Resistência elétrica em função do strain para filmes de DLC com 40% de

(14)

Figura 77 – Resistência elétrica em função do strain para filmes de DLC com 60% de

nitrogênio...

... 121

Figura 78 – Resistência elétrica em função do strain para filmes de ITO livres de

dopantes...

... 122

Figura 79 – Resistência elétrica em função do strain para filmes de ITO com 5% de oxigênio...

... 123

Figura 80 – Resistência elétrica em função do strain para filmes de ITO com 10% de

oxigênio...

... 124

Figura 81 – Gauge factor em função da variação de temperatura para filmes de DLC livres de

dopantes, sujeitos a tensão mecânica.

... 126

Figura 82 – Gauge factor em função da variação de temperatura para filmes de DLC dopados

com 40% de nitrogênio, sujeitos a tensão mecânica.

... 127

Figura 83 – Gauge factor em função da variação de temperatura para filmes de DLC dopados

... 128

Figura 84 – Gauge factor em função da variação de temperatura para filmes de ITO livres de dopantes, sujeitos a tensão mecânica.

... 129

Figura 85 – Gauge factor em função da variação de temperatura para filmes de ITO dopados

com 5% de oxigênio, sujeitos a tensão mecânica.

... 130

Figura 86 – Gauge factor em função da variação de temperatura para filmes de ITO dopados

... 131

Figura 87 – Comportamento do TCR em função da resistência elétrica para filmes de DLC livres de dopantes, sujeitos a tensão mecânica.

... 132

Figura 88 – Comportamento do TCR em função da resistência elétrica para filmes de DLC

dopados com 40% de nitrogênio, sujeitos a tensão mecânica.

... 133

Figura 89 – Comportamento do TCR em função da resistência elétrica para filmes de DLC

(15)

livres de dopantes, sujeitos a tensão mecânica.

... 135

Figura 91 – Comportamento do TCR em função da resistência elétrica para filmes de ITO

dopados com 5% de oxigênio, sujeitos a tensão mecânica.

... 136

Figura 92 – Comportamento do TCR em função da resistência elétrica para filmes de ITO

dopados com 10% de oxigênio, sujeitos a tensão mecânica.

... 137

Figura 93 – Comportamento do TCGF em função da temperatura para filmes de DLC livres

de dopantes, sujeitos a tensão mecânica.

... 138

Figura 94– Comportamento do TCGF em função da temperatura para filmes de DLC dopados

... 139

Figura 95– Comportamento do TCGF em função da temperatura para filmes de DLC dopados com 60% de nitrogênio, sujeitos a tensão mecânica.

... 140

Figura 96 – Comportamento do TCGF em função da temperatura para filmes de ITO livres de

dopantes, sujeitos a tensão mecânica.

... 141

Figura 97 – Comportamento do TCGF em função da temperatura para filmes de ITO dopados

... 142

Figura 98 – Comportamento do TCGF em função da temperatura para filmes de ITO dopados com 10% de oxigênio, sujeitos a tensão mecânica.

... 143

(16)

(17)

Tabela 1 - Transformação de índices na conversão de notações

... 24

Tabela 2 - Propriedades elétricas do cobre e do silício (temperatura ambiente)

... 31

Tabela 3 – Propriedades mecânicas de alguns filmes

... 38

Tabela 4 – Comparação entre resistores baseados em filmes finos ou espessos depositados em diferentes substratos.

... 41

Tabela 5 - Características e ligações do carbono

... 46

Tabela 6 – Comparação de algumas características do diamante, do grafite e do DLC.

... 46

Tabela 7 - Parâmetros 𝛼 e 𝛽 para placas retangulares com extremidades fixas

... 56

Tabela 8 – Dados comparativos entre diferentes materiais para diafragmas circulares.

... 58

(18)

𝑅0 Resistência de um material sem deformação

𝑅𝑟𝑒𝑓 Resistência de referência

𝑅_𝑠 Resistência de Folha

𝑇_𝑙 Esforço mecânico longitudinal 𝑇_𝑡 Esforço mecânico transversal

𝑇_𝑥𝑦 Esforço Mecânico de Cisalhamento médio

𝜋𝑙 Coeficiente Piezoresistivo Longitudinal

𝜋𝑡 Coeficiente Piezoresistivo Transversal

𝜋𝑥𝑦 Coeficiente Piezoresistivo de Cisalhamento

µ Mobilidade dos elétrons de um material

𝜃 Temperatura

𝜌 Resistividade elétrica de um material

DLC Diamond-like Carbon E Módulo de Young Δ𝜃 Variação da temperatura GF Fator de sensibilidade 𝜗 Coeficiente de Poisson i Corrente elétrica

𝐸⃗ Vetor campo elétrico

L Comprimento

MEMS Micro-Electro-Mechanical System

P Pressão

Q Carga elétrica elementar R Resistência de um material

(19)

TCR Coeficiente de variação da resistência com a temperatura ITO Indium-Tin-Oxide w Largura do material 𝛼 TCR de 1ª Ordem 𝛽 TCR de 2ª Ordem Δl Variação do comprimento ΔR Variação da resistência elétrica Δρ Variação da Resistividade elétrica

G Módulo de Rigidez 𝛾_𝑖𝑗 Deformação tangencial

𝜏𝑖𝑗 Stress Tangencial

𝜋 Coeficiente piezoresistivo

𝐽̅ Vetor densidade de corrente 𝐿

𝑤

Razão entre comprimento e largura

𝑎 𝑡

Razão entre raio e espessura de um diafragma

𝜎 Condutividade elétrica

𝑆_𝑖𝑗 Tensor de deformações elásticas

𝐶_𝑖𝑗 Tensor coeficientes de cisalhamento

𝜈̅ Campo elétrico

𝜃𝑟𝑒𝑓 Temperatura de referência

𝑅_𝑟𝑒𝑓 Resistência de referência

𝑇𝐶𝑅_𝑟𝑒𝑓 Coeficiente de variação da resistência com a temperatura de referência

𝜀 Deformação mecânica

(20)

𝜋𝑠 Coeficiente piezoresistivo de cisalhamento 𝑇_𝑥 = 𝑇_𝑙 Tensão longitudinal 𝑇𝑦 = 𝑇𝑡 Tensão transversal D Rigidez de flexão Y Deflexão A Área 𝑇_𝑟𝑢𝑝 Tensão de ruptura 𝐹_𝑟𝑢𝑝 Força de ruptura 𝑦𝑚á𝑥 Deflexão máxima A Raio

X Distância entre o centro do piezoresistor e o ponto onde a força é aplicada D Distância o centro do piezoresistor e a extremidade da viga

∆𝑅 𝑅

Variação relativa da resistência elétrica do material

∆𝜌 𝜌

(21)

1 INTRODUÇÃO... ... 20

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

... 22

2.1 Classificação dos Sensores

... 22

2.2 Sensores de pressão piezoresistivos

... 22

2.2.1

Breve histórico

... 22

2.2.2

Teoria da Piezoresistividade

... 23

2.3 Materiais Condutores, Semicondutores e Isolantes

... 30

2.3.1 Materiais Semicondutores

... 31

2.3.1.1 Material Policristalino

... 32

2.3.1.2 Material Monocristalino

... 32

2.3.1.3 Material Amorfo

... 32

2.4 Propriedades dos Semicondutores

... 33

2.4.1

Propriedades Térmicas

... 35

2.4.2

Propriedades Mecânicas

... 36

2.4.3

Propriedades Elétricas

... 38

2.5 Características dos Filmes Finos

... 40

2.5.1

Características dos Filmes com Estrutura Amorfa tipo ITO

... 41

2.5.2

Características dos Filmes com Estrutura Semelhante ao Diamante

... 43

2.7 Descrição do Modelo Utilizado

... 52

3 DESCRIÇÕES DO PROCESSAMENTO, DAS ESTRUTURAS DE TESTE E DO ARRANJO EXPERIMENTAL PARA CARACTERIZAÇÃO DE FILMES DE DLC E DE ITO...

... 54

(22)

3.1.1

Desenvolvimento de um Sensor de Pressão Piezoresistivo

... 55

3.1.2

Dimensões e Elaboração Analítica para Diafragmas Circulares

... 57

3.2 Descrição do Método da Viga Engastada – “Cantilever”

... 60

3.3 Projeto Físico das Estruturas de Teste

... 62

4 Resultados e discussões

... 67

4.1 Modelamento e Determinação de Valores Nominais Aproximados para Diafragmas

Circulares...

... 67

4.2 Caracterização Elétrica, Mecânica e Térmica dos Filmes de DLC e ITO

... 76

4.2.1

Avaliação Elétrica para Filmes de DLC e ITO

... 76

4.2.1.1 Modelamento Matemático da Piezoresistência em Função dos Coeficientes

Piezoresistivos Longitudinais e Transversais

... 88

4.2.1.2 Variação Adimensional da Piezoresistência com a Deformação Mecânica

100

4.2.2

Avaliação Mecânica para Filmes de DLC e ITO

... 106

4.2.3

Avaliação Térmica para Filmes de DLC e ITO

... 124

5 CONCLUSÕES

... 144

6 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

... 146

REFERÊNCIAS…

... 147

ANEXO A – Análise dos coeficientes piezoresistivos fundamentais para silício

policristalino...

... 153

APÊNDICES...

... 159

APÊNDICE A - Artigos apresentados no 3º Congresso Internacional de Metrologia Mecânica

(23)

(24)

1 INTRODUÇÃO

São encontrados comercialmente sensores para sinais em diversos domínios: mecânico, químico, magnético e térmico. No domínio mecânico a variável de destaque é a pressão, por ser a segunda variável física mais medida no planeta ficando atrás apenas da variável temperatura (BAKKER, 2000).

Microssensores de pressão são utilizados amplamente em aplicações automotivas, controle de processos e áreas biomédicas (pressão arterial, pressão intraocular, pressão intracraniana, pulsação intracraniana, intrauterino abdominal e pressão urinária). Estas aplicações exigem alta sensibilidade, no entanto as técnicas mais utilizadas atualmente para este fim têm custo elevado devido à complexidade de fabricação. Para superar este problema sensores micro eletromecânicos (MEMS de Micro-Electro-Mechanical Systems) usados em combinação com sensores piezoresistivos são uma excelente opção (HERRERA, 2009).

Sensores piezoresistivos, dependendo do tipo do material utilizado, tem capacidade para operar em condições extremas, com altas temperaturas, níveis elevados de radiação e ambientes corrosivos (aplicações duras). De outro modo, o desempenho de um sensor e a aptidão para uma aplicação depende das propriedades do material utilizado (THOMAZZINI, 2011).

Estudos realizados demonstram que o silício, que é o material mais utilizado como sensor piezoresistivo, tem aplicação limitada, especialmente em altas temperaturas (acima de 1500_{) (FRAGA, 2012). Atualmente inúmeras pesquisas têm sido realizadas para caracterizar}

as propriedades piezoresistivas de materiais semicondutores com o objetivo de substituir o silício em aplicações duras. Entre esses materiais, o DLC e o ITO têm se destacado devido às suas propriedades químicas e físicas.

Neste trabalho são analisadas algumas propriedades dos filmes de DLC e ITO como: fator de sensibilidade ao esforço mecânico, coeficiente de variação de piezoresistência com a temperatura, coeficientes piezoresistivos longitudinais e transversais, comportamento térmico e piezoresistivo com a utilização de dopantes, entre outras. Também será feito um modelamento matemático na sequência deste trabalho, para filmes de DLC e ITO, com a adequação das equações usuais para os sensores feitos de silício monocristalino visando comparar as diferentes características dos materiais fornecendo os parâmetros e relações matemáticas para implementação de transdutores piezoresistivos (RASIA, 2009).

(25)

opostos, pois o DLC é um material altamente isolante e o ITO um material altamente condutor. Apesar destes materiais apresentarem estruturas diferentes em ambos as propriedades dependem dos seguintes parâmetros: orientação cristalográfica, tipo e nível de dopantes, temperatura e efeitos relativos às propriedades mecânicas as quais estão relacionadas através das constantes mecânicas dadas pelo coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade (RASIA, 1997; EICKHOFF, 2004). Como os parâmetros de processo influenciam significativamente nas propriedades finais dos materiais obtidos, o conhecimento destes parâmetros é muito importante. Este conhecimento permite o projeto de elementos sensores que podem ser compensados de forma elétrica, térmica e mecânica, buscando obter um dispositivo com excelente sinal elétrico de saída (RASIA, 1997).

(26)

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 Classificação dos Sensores

Os sensores podem ser classificados em dois grupos: ativos e passivos. Os sensores ativos não precisam de uma fonte de energia externa para excitação. Já os sensores passivos necessitam de uma fonte de energia, além da energia do sinal aplicada na entrada. Os sensores piezoresistivos são um exemplo de sensor passivo, pois necessitam de uma fonte de excitação externa normalmente implementada por uma fonte de referência band gap ou uma fonte de corrente.

A parte ativa do sensor é chamada de transdutor, que possui a capacidade de converter um sinal de uma forma física para outra correspondente, não necessariamente em sinal elétrico. Os transdutores elétricos são mais utilizados que os transdutores não elétricos devido à possibilidade de condicionar estes sinais para processamento e, juntamente com o sensor (transdutor de entrada), fabricá-los em um mesmo chip (RASIA, 1997).

Um sensor deve ser capaz de reagir a um determinado sinal não elétrico e convertê-lo para o domínio elétrico. O sinal elétrico deve ser processado, amplificado, filtrado, digitalizado ou codificado e, dependendo da natureza do sistema, apresentado de forma adequada aos sentidos humanos (RASIA, 2009).

2.2 Sensores de pressão piezoresistivos

2.2.1 Breve histórico

Lord Kelvin, em 1856, descobriu a piezoresistividade ao observar que a resistência do cobre e do ferro aumentava quando estes materiais eram submetidos à ação de um esforço mecânico. Porém a primeira aplicação do efeito da piezoresistividade só apareceu na década de 30, utilizando filamentos de metais sobre um filme fixado a uma superfície verificou-se que quando a superfície sofria uma deformação devido à pressão, a resistência do filamento de metal variava e esta variação podia ser medida. Este dispositivo foi chamado de strain

gauge (MIDDELHOEK, 2000).

Em 1954, Smith verificou que o efeito piezoresistivo é em torno de cem vezes maior no Si e Ge se comparado aos metais (SMITH, 1954; BEEBY, 2004). No ano de 1969 foi fabricado o primeiro sensor de pressão piezoresistivo (MIDDELHOEK, 2000).

(27)

2.2.2 Teoria da Piezoresistividade

O efeito da piezoresistividade se refere à mudança de resistividade de um material semicondutor ou condutor, devido a um estresse mecânico aplicado. Esse efeito é explorado em sensores do domínio mecânico, que converte a deformação mecânica em um sinal elétrico. O conhecimento do efeito piezoresistivo é necessário, é fundamental entender como os coeficientes piezoresistivos, propriedades do material, respondem ao esforço mecânico aplicado ou à pressão hidrostática aplicada. Estes coeficientes correspondem à alteração na resistividade devido ao esforço (“stress”) mecânico e podem ser convertidos para deformações (“strain”) através do módulo de Young (FRENCH, 1989). A resposta da alteração na resistividade pode ser expressa em termos de um tensor com três componentes independentes denominadas 𝜋₁₁

, 𝜋

₁₂ e 𝜋₄₄.

A Condutividade elétrica, 𝜎, é definida como a medida da habilidade de um material conduzir corrente elétrica, não dependendo da geometria, e é dada pela Equação (1).

𝜎 =

1 𝜌

( (1) Onde 𝜌 representa a resistividade, que é a capacidade de um material se opor à passagem de corrente elétrica, um parâmetro muito utilizado para definir propriedades elétricas.

A condutividade é diretamente proporcional à densidade e à mobilidade de portadores. Sendo que a densidade de portadores expressa o número de partículas livres portadoras de carga elétrica por volume, e, a mobilidade, 𝜇, indica a facilidade com que os portadores se movimentam e é definida como a proporcionalidade entre a velocidade de arraste de portadores, 𝑣 , e o campo elétrico, 𝐸⃗ , que os coloca em movimento, como mostra a Equação (2).

𝜇 =

𝑣

𝐸⃗

( (2)

Altos valores de 𝜇 favorecem o aumento da condutividade do material. Esta é uma das propriedades elétricas mais delicadas de serem controladas e previstas, por sofrer grande influência dos diversos fatores que caracterizam o filme.

(28)

As propriedades piezoresistividade para filmes com estrutura cúbica são representadas pelo tensor coeficiente piezoresistivo,

𝜋

_{𝑖𝑗𝑘𝑙}, e explicadas pelo “modelo de transferência de elétrons” usado para descrever o mesmo fenômeno no silício (RASIA, 1997). Esta teoria relaciona a mudança da resistividade, 𝜌_𝑖𝑗, com a redistribuição dos elétrons entre os multivales no espaço de momento em um diagrama de superfícies de energia. Mecanismo este associado à deformação mecânica (“strain”),

𝜀

_{𝑖𝑗𝑘𝑙}, aplicada em determinada direção cristalográfica. Por causa deste processo ocorre uma transferência de elétrons que provoca uma mudança na mobilidade,

𝜇

_𝑖𝑗, anisotrópica (não se mantém a mesma em todas as direções). Portanto, o efeito piezoresistivo pode ser definido de acordo com a Equação (3).

∆𝜌

_𝑖𝑗

𝜌

= 𝜋

𝑖𝑗𝑘𝑙

𝑇

𝑘𝑙

( (3) Onde 𝑇_𝑘𝑙 é o esforço mecânico na estrutura do material.

Buscando reduzir o número de elementos impendentes de um tensor, utiliza-se uma notação matricial equivalente de uso generalizado na literatura, conforme a Tabela 1.

Tabela 1 - Transformação de índices na conversão de notações

Representação Tensorial 11 22 33 23, 32 13, 31 12, 21

Representação Matricial 1 2 3 4 5 6

Fonte: Próprio Autor

Esta notação equivalente permite que a equação (3) seja escrita na forma da Equação (4).

∆𝜌

_𝑖

𝜌

= ∑ 𝜋

𝑖𝑗

𝑇

𝑗 6 𝑗=1 ( (4)

Para 𝑖 = 1, 2, … ,6 sendo que o tensor de coeficientes piezoresistivos é dado pela Equação (5).

𝜋

_𝑖𝑗

=

(

𝜋

₁₁

𝜋

₁₂

𝜋

₁₂

𝜋

₁₂

𝜋

₁₁

𝜋

₁₂

𝜋

₁₂

𝜋

₁₂

𝜋

₁₁

0

0 0 0

𝜋

₄₄

0

0 𝜋

₄₄

0

0 𝜋

₄₄

)

( (5)

(29)

Onde 𝜋₁₁= 𝜋₁₁₁₁ e 𝜋₁₂= 𝜋₁₁₂₂. Estes coeficientes dependem do tipo de material, da temperatura e da concentração de dopantes (KANDA, 1991).

Uma deformação num dado material exercida ao longo de uma determinada direção provoca sempre alterações em todas as dimensões. O efeito piezoresistivo pode ser descrito expressando a mudança da resistência elétrica, ∆𝑅, de forma macroscópica em função do esforço mecânico, da deformação mecânica, 𝜀, e do fator de sensibilidade ou gauge fator, 𝐺𝐹, pela Equação (6).

𝐺𝐹 =

∆𝑅

𝑅𝜀

( (6) Onde um GF com sinal positivo indica um aumento da resistência e um GF com sinal negativo uma redução.

O fator de sensibilidade é dependente da orientação cristalográfica do material e está relacionado ao coeficiente piezoresistivo através do módulo de Young, dado pela Equação (7).

𝐺𝐹 = 𝜋

_𝑖𝑗

𝐸

(

(7)

Verifica-se, de acordo com a equação (7), que a maior contribuição dada pelo coeficiente piezoresistivo na sensibilidade do material se dá através da relação existente com o módulo de elasticidade ou módulo de Young (RASIA, 2009).

Como consequência da mudança na mobilidade o GF dos semicondutores é grande se comparado com valores medidos em metais, cuja sensibilidade é dada por variações puramente geométricas. Semicondutores são mais usados como elementos sensores de esforço mecânico por combinarem sensibilidade e estabilidade, embora semicondutores dopados apresentam forte dependência com a temperatura (SHOR, 1994).

Quando uma força é aplicada em um sensor de pressão sua resistência irá mudar e pequenas deformações em todas as dimensões e na resistividade, esta mudança na resistência pode ser descrita pela Equação (8):

∆𝑅 =

𝜕𝑅

𝜕𝐿

∆𝐿 −

𝜕𝑅

𝜕𝑤

∆𝑤 −

𝜕𝑅

𝜕𝑡

∆𝑡 +

𝜕𝑅

𝜕𝜌

∆𝜌

(8) Temos:

∆𝑅 =

𝜌𝐿

𝐿𝑤𝑡

∆𝐿 −

𝜌𝐿

𝑤

2

_𝑡

∆𝑤 −

𝜌𝐿

𝑤𝑡

2

∆𝑡 +

𝜌𝐿

𝑤𝑡𝜌

∆𝜌

(9)

(30)

Simplificando e dividindo a Equação (9) por R teremos:

∆𝑅

𝑅

=

∆𝐿

𝐿

−

∆𝑤

𝑤

−

∆𝑡

𝑡

+

∆𝜌

𝜌

(10)

A alteração no comprimento do tensor é proporcional à deformação mecânica, 𝜀, o que podemos representar pela Equação (11):

𝜀 =

∆𝐿

𝐿

(11)

Reescrevendo a variação na espessura e na largura, respectivamente, teremos:

∆𝑡

𝑡

= 𝜀

𝑡

= −𝜗𝜀

(12)

∆𝑤

𝑤

= 𝜀

𝑤

= −𝜗𝜀

(13)

Substituindo as Equações (12) e (13) na Equação (10) encontraremos:

∆𝑅

𝑅

= 𝜀 + 2𝜗𝜀 +

∆𝜌

𝜌

(14)

Dividindo a Equação (14) pela deformação mecânica, 𝜀, obtemos:

∆𝑅

𝑅𝜀

= 1 + 2𝜗 +

∆𝜌

𝜌𝜀

(15)

Portanto, relação entre a mudança nas dimensões do sensor e a sensibilidade (GF) é dada através do coeficiente de Poisson, efetuando a soma do efeito geométrico,

1 + 2𝜗, e

físico, ∆𝜌

𝜌𝜀, dada pela Equação (16).

𝐺𝐹 = 1 + 2𝜗 +∆𝜌 𝜌𝜀

(16)

Onde 𝜗 é o coeficiente de Poisson e o termo 1 + 2𝜗 representa a alteração nas dimensões do material. Se o sistema constituído apresentar propriedades elásticas anisotrópicas, o 𝐺𝐹 pode ser dado em termos das constantes de deformação elástica (coeficiente de compliança).

A sensibilidade mecânica é alterada principalmente pela resistividade do material, da mobilidade, da temperatura, θ, e da concentração de impurezas, N. Já os coeficientes de piezoresistência dependem da temperatura e de N. Portanto, as propriedades elétricas de sensores piezoresistores são extremamente sensíveis à presença de impurezas, mesmo em pequenas concentrações (KOBERTEIN, 2006). Sendo que a concentração de impurezas N é

(31)

dada pela Equação (17).

𝑁 =

𝜌

𝑞𝜇

(17)

Onde 𝑞 é a carga elétrica elementar.

Os coeficientes piezoresistivos, 𝜋𝑠, estão relacionados com os níveis de concentração

de impurezas, orientação cristalográfica do material, temperatura e, consequentemente, com o tipo de condutividade de acordo com Akbar (2001), conforme ilustram as Figuras (1) e (2), que representam o coeficiente piezoresistivo longitudinal determinado por Kanda (1982) no plano (001), para silício tipo P e tipo N .

Figura 1 -Coeficiente de piezoresistência para o material tipo N em função da concentração de dopantes.

Fonte: Kanda (1982)

(32)

Fonte: Kanda (1982)

A relação existente entre o esforço mecânico, 𝑇_𝑘 e a deformação mecânica,

𝜀

_{𝑖𝑗𝑘𝑙}, é dada pelo módulo de Young, através da Equação (18).

𝑇

_𝑘𝑙

= 𝐸. 𝜀

_{𝑖𝑗𝑘𝑙} (

(18) Neste trabalho, serão estudados elementos sensores com substratos de DLC e ITO com deposição de diferentes filmes finos semicondutores, de acordo com o modelo físico mostrado na Figura 3 de acordo com (MAISEL, 1983; GNIAZDOWSKI, 1998).

(33)

Num elemento sensor, como o mostrado na Figura 1, a mudança da resistividade é descrita pela mudança relativa da resistência elétrica do resistor quando submetido a um estresse mecânico externo aplicado. Dessa forma, o modelo matemático que descreve esta variação da resistência elétrica pode ser reescrito e relacionado com os componentes longitudinais e transversais do estresse mecânico e com os respectivos coeficientes piezoresistivos do material do qual é feito o elemento sensor, de acordo com a Equação (19).

∆𝑅

𝑅

= 𝜋

𝑙

𝑇

𝑙

+ 𝜋

𝑡

𝑇

𝑡

(19)

Sendo que π_l e π_t são os coeficientes piezoresistivos longitudinais e transversais, e, T_l e T_t são os esforços mecânicos longitudinais e transversais ao eixo de aplicação da força sobre o cristal semicondutor.

Em geral, a relação que existe entre a variação da resistência com os componentes do esforço mecânico pode ser expressa pela Equação (20) e a Equação (21).

(

∆𝜌

𝜌

)

_𝑙

= 𝜋

𝑙

𝑇

𝑙

+ 𝜋

𝑡

𝑇

𝑡 (20)

(

∆𝜌

𝜌

)

_𝑡

= 𝜋

𝑙

𝑇

𝑡

+ 𝜋

𝑡

𝑇

𝑙 (21)

Para uma mesma pressão aplicada o esforço mecânico longitudinal tem maior importância na deflexão máxima sofrida pelo diafragma do que o esforço mecânico transversal. A contribuição do esforço mecânico transversal é menor porque o mesmo é diretamente proporcional ao coeficiente de Poisson, através da Equação (22):

(34)

A escolha do plano e o tipo de resistividade do material para fabricação de sensores está relacionada ao desejo de compatibilizar o sensor com a técnica padrão de processamento. O plano mais usado é (100) e neste caso temos:

𝜋

_𝑙

= 𝜋

₁₁

− 2(𝜋

₁₁

− 𝜋

₁₂

− 𝜋

₄₄

) (

1

4 )

(23)

𝜋

_𝑡

= 𝜋

₁₂

+ (𝜋

₁₁

− 𝜋

₁₂

− 𝜋

₄₄

) (

1

2 )

(24)

2.3 Materiais Condutores, Semicondutores e Isolantes

O que caracteriza o material condutor é o fato de os elétrons de valência estarem fracamente ligados ao átomo, podendo ser facilmente deslocados do mesmo. São eles os responsáveis pela passagem e transporte da corrente elétrica através dos materiais.

Nos materiais condutores existe uma superposição parcial entre as bandas de valência e condução. Já nos semicondutores e isolantes, os elétrons tem que vencer o band gap (banda proibida), onde não existe nenhuma solução de energia. Um semicondutor difere de um isolante pelo tamanho do gap de energia. A Figura 4 representa as bandas de valência, de condução e band gap para materiais condutores, semicondutores e isolantes.

Figura 4 – Níveis de energia para materiais condutores, isolantes e semicondutores.

(35)

grande sensibilidade ao esforço mecânico aplicado. Os materiais isolantes apresentam sensibilidade desprezível e nos materiais condutores ela é dada apenas por variações geométricas.

Observando a Tabela 2 é possível comparar algumas propriedades elétricas entre um condutor e um semicondutor.

Tabela 2 - Propriedades elétricas do cobre e do silício (temperatura ambiente)

Cobre (Cu) Silício (Si)

Tipo de condutor Metal Semicondutor

Densidade de portadores de cargas 𝑛 (𝑚−3₎ _{9 ∙ 10}24 _{1 ∙ 10}16

Resistividade 𝜌 (Ω ∙ 𝑚) 2 ∙ 10−8 _{3 ∙ 10}3

Coeficiente de temperatura da resistividade (𝑇𝐶𝑅, 𝐾−1₎ _{4 ∙ 10}−3 _{−70 ∙ 10}−3 Fonte: Próprio Autor

2.3.1 Materiais Semicondutores

Os semicondutores são do grupo de materiais elétricos possuindo condutividade elétrica, σ, intermediária entre metais e isolantes. A magnitude desta propriedade pode ser variada em quantidades controladas através da mudança do nível de concentração de impurezas, temperatura e excitação óptica, durante os processos de fabricação.

A concentração de impurezas, N, é usada para alterar a condutividade dos semicondutores de modo que os mesmos podem se tornar materiais tipo N ou P, de acordo com o dopante utilizado (KANDA,1982).

Dependendo da combinação atômica estes matérias podem se apresentar como policristalinos, monocristalinos e mesmo amorfos. Neste trabalho, estes materiais serão explorados do ponto de vista do uso das propriedades piezoresistivas no projeto de elementos sensores.

(36)

2.3.1.1 Material Policristalino

É um sólido constituído de uma infinidade de cristais denominados grãos ou cristalitos, com orientações cristalográficas e dimensões aleatórios, fortemente unidos entre si, que preenchem todo o volume do sólido (VLACK, 1973). As áreas onde estes grãos encontram-se são conhecidas como contornos de grão e são usados para processos de fabricação de diferentes tipos de sensores e atuadores devido as suas bem estabelecidas propriedades elétricas, térmicas e mecânicas.

2.3.1.2 Material Monocristalino

É um material no qual a rede cristalina da amostra inteira é contínua e sem rupturas até suas bordas, sem contornos ou fronteiras de grãos. A ausência de defeitos associados com contornos de grãos pode dar aos monocristais propriedades únicas, particularmente, mecânicas, elétricas, térmicas e ópticas, as quais podem também ser anisotrópicas, dependendo do tipo de estrutura cristalográfica (VLACK, 1973).

2.3.1.3 Material Amorfo

É a designação dada à estrutura que não têm ordenação espacial ou orientação cristalográfica preferencial a longa distância, quando comparados aos sólidos regulares. Os materiais amorfos não possuem estrutura atômica definida e apresentam fácil magnetização devido ao fato de seus átomos se encontrarem arranjados de maneira aleatória, facilitando a orientação dos domínios magnéticos (VLACK, 1973). A Figura 5 apresenta o comparativo entre o modelo de uma estrutura molecular amorfa e uma estrutura molecular cristalina e a Figura 6 a analogia entre filmes finos fabricados com materiais monocristalinos, policristalinos e amorfos.

(37)

Figura 5 –Comparação entre o modelo de uma estrutura molecular amorfa e uma estrutura molecular cristalina.

Fonte: Damiani (2010)

Figura 6 – Comparativo de filmes finos fabricados com materiais monocristalinos, policristalinos e amorfos.

Fonte: Moi (2014)

2.4 Propriedades dos Semicondutores

A literatura fornece informações sobre muitas das propriedades dos materiais, porém, cabe ao projetista avaliar e determinar aquelas que são importantes para um projeto específico (TIPLER, 2006). Neste trabalho pretende-se fazer avaliações e levantar matematicamente as características relevantes para um projeto de transdutor piezoresistivo de pressão, além de determinar o fator de sensibilidade dos diferentes materiais usados em consonância com a metodologia proposta, para atingir este objetivo o conhecimento das propriedades dos materiais analisados é fundamental.

A influência que determinada grandeza exerce sobre as demais é denominada como efeito cruzado, no caso dos sensores piezoresistivos as propriedades físicas do material se relacionam e afetam a resistência, o que resulta na necessidade de identificá-las e

considerá-Estrutura Amorfa

Estrutura Cristalina

(38)

las no projeto de resistores. O diagrama ilustrado na Figura 7 mostra como um material com propriedades semicondutoras se comporta em termos elétricos, mecânicos e térmicos (RASIA, 1997). A partir desta análise inicia-se o projeto de um transdutor.

Figura 7 - Diagrama dos “efeitos cruzados” em materiais semicondutores

De acordo com o diagrama descrito e, considerando que o sinal e a magnitude do efeito piezoresistivo está associada com o tipo de dopante, temperatura, orientação e qualidade cristalográfica de acordo com Maisel (1983) exige-se um alinhamento dos piezoresistores sobre diafragmas com uma grande precisão de posicionamento nas regiões de máximo esforço mecânico de acordo com Furlan (1997) para aperfeiçoar os efeitos resultantes.

(39)

2.4.1 Propriedades Térmicas

Todas as propriedades físicas associadas a sensores piezoresistivos de pressão são sensíveis aos efeitos da temperatura. Qualquer medida feita com um sensor de pressão pode ser afetada pela temperatura e, portanto, sua influência deve ser considerada.

O nível de dopante e a forma do perfil são as principais causas da variação da resistência com a temperatura, que tem como fonte principal a mobilidade dos portadores de carga uma vez que o número de portadores permanece constante. A mobilidade e diminui com o aumento da temperatura à medida que as concentrações de dopantes aumentam.

A dependência da resistividade com a temperatura é dada pelo coeficiente de variação da resistência com temperatura, TCR, que se apresenta como negativo para pequenas concentrações e passa a ser positivo para altas concentrações, quando predomina a componente cristalina da resistividade (MOSSER, 1991).

Um modelo simples para um piezoresistor que não está sujeito aos esforços mecânicos, mas que depende dos efeitos da variação da resistência com a temperatura, é dado pela Equação (17):

𝑅 = 𝑅

₀

(1 + 𝑇𝐶𝑅∆𝜃)

(25)

Os diferentes filmes que estão sendo empregados e modelados matematicamente, neste trabalho, podem apresentar valores negativos ou positivos para o TCR, dependendo do nível e tipo de dopante. Para baixas concentrações de dopantes, o comportamento do TCR é dominado pelos efeitos de barreira e a dependência com a temperatura tem uma natureza exponencial (RASIA, 2004). Para altas concentrações predominam os efeitos de substrato e, desse modo, pode ser escrita conforme a Equação (26).

𝑇𝐶𝑅 =

∆𝑅 𝑅

⁄

𝑟𝑒𝑓

∆𝜃

𝑒𝑥𝑝[−𝑇𝐶𝑅

𝑟𝑒𝑓

(𝜃 − 𝜃

𝑟𝑒𝑓

)]

( 26)

Não sendo constante em todos os casos. Os parâmetros com índices ref são medidos à temperatura de referência considerada.

O coeficiente de temperatura da piezosensibilidade, TCGF, é outra característica térmica que deve ser avaliada no projeto de um piezoresistor, ele é definido como a variação relativa do coeficiente de sensibilidade por grau de variação da temperatura e é dado por:

𝑇𝐶𝐺𝐹 =

𝐺𝐹(𝜃) − 𝐺𝐹(𝜃

𝑟𝑒𝑓

)

(40)

Onde os efeitos de segunda ordem, como os coeficientes de variação das constantes elásticas, não são considerados nesta equação.

Para qualquer tipo de piezoresistor o TCR e TCGF devem apresentar o menor valor possível. Porém é desejável que estes valores se anulem de acordo com Rasia (2009).

2.4.2 Propriedades Mecânicas

Para analisar as propriedades mecânicas de um material podem ser usados como parâmetros o Módulo de Young, a Relação de Poisson e o Módulo de Rigidez. Estas características dependem da direção cristalográfica.

O Módulo de Young, E, é um parâmetro mecânico que proporciona a medida de rigidez de um material sólido e é definido como a relação entre a tensão mecânica e a deformação mecânica na mesma direção da tensão aplicada, como mostra a Equação (28):

𝐸

_𝑖

=

𝑇

𝑖𝑗

𝜀

_𝑖𝑗

(28)

Essa relação para materiais anisotrópicos resulta na Lei de Hooke e descreve, matematicamente, o comportamento experimental de determinados materiais quando sofrem pequenas deformações. Como a deformação é adimensional, o Módulo de Young tem as mesmas dimensões da tensão. Este parâmetro é inversamente proporcional ao tensor de deformações elásticas, 𝑆_𝑖𝑗.

Quando a tensão é aplicada em um corpo gerando uma deformação elástica observa-se uma razão negativa entre a deformação normal,

𝜀

_𝑗, e a deformação transversal,

𝜀

_𝑖, denominada Coeficiente de Poisson, uma medida adimensional que pode ser apresentada na forma de tensor como mostra a Equação (29).

𝜗

_𝑖𝑗

= −

𝜀

𝑗

𝜀

_𝑖

(29)

Em que 𝑖 ≠ 𝑗 = 1,2 e 3 e o sinal (-) indica compressão.

Os materiais investigados neste trabalho, ITO e DLC, apresentam, respectivamente, Módulo de Young na ordem de 0,998 ∙ 1011 𝑁/𝑚² e 0,06 ∙ 1011− 3 ∙ 1011 𝑁/𝑚² e Coeficiente de Poisson na ordem de 0,25 e 02 − 0,4 de acordo com Rasia (2009).

O Módulo de Rigidez (𝐺) de um material, também conhecimento por Módulo de Cisalhamento ou Módulo de Torção, relaciona a deformação tangencial,

𝛾

_𝑖𝑗, com o stress tangencial, 𝜏_𝑖𝑗, na Equação (30).

(41)

𝐺 =

1

2 .

𝜏

_𝑖𝑗

𝛾

_𝑖𝑗 (30) para 𝑖 ≠ 𝑗 = 4,5 e 6.

Para materiais isotrópicos os Módulos de Rigidez e de Young estão correlacionados entre si e com o coeficiente de Poisson através da Equação (31).

𝜗 =

𝐸

2𝐺

− 1

(31)

Em muitos casos os esforços mecânicos são componentes ao longo do eixo do cristal semicondutor empregado para fabricação de elementos sensores, porém, em outros casos, trabalha-se em um sistema de coordenadas orientadas arbitrariamente, de modo que, deve ser usada a Lei de Hooke generalizada para determinar os coeficientes de deformação elásticas, expressados através da Equação (32).

𝜀

_𝑖𝑗

= 𝑆

_{𝑖𝑗𝑘𝑙}

. 𝑇

_𝑖𝑗 (

32)

Sendo que, é um tensor de quarta ordem de constantes de deformações elásticas do substrato ou filme considerado. O conhecimento das constantes é fundamental para produzir diafragmas a partir de um determinado material, uma vez que, é possível determinar as relações que existem entre o esforço mecânico e a deformação mecânica e, consequentemente, o comportamento de um piezoresistor que venha a ser fabricado sobre um determinado substrato.

Na forma matricial a Equação (32) pode ser escrita como na Equação (33)

(

𝜀

₁

𝜀

₂

𝜀

₃

𝜀

₄

𝜀

₅

𝜀

₆

)

=

(

𝑆

₁₁

𝑆

₁₂

𝑆

₁₂

𝑆

₁₂

𝑆

₁₁

𝑆

₁₂

𝑆

₁₂

𝑆

₁₂

𝑆

₁₁

0 0

0 0 0

0 0 0 0

0

0 0 0 0

0 0 0

𝑆

₄₄

0

0 𝑆

₄₄

0

0 𝑆

₄₄

)

(

𝑇

₁

𝑇

₂

𝑇

₃

𝑇

₄

𝑇

₅

𝑇

₆

)

( 33)

Os esforços mecânicos em filmes podem ser escritos, de outro modo, em função das deformações mecânicas usando a Equação (34).

𝑇

_𝑖𝑗

= 𝐶

_{𝑖𝑗𝑘𝑙}

. 𝜀

_𝑖𝑗

( 34)

(42)

Onde, 𝐶_{𝑖𝑗𝑘𝑙}, são as constantes de rigidez elásticas. Como não existe uma representação espacial para os tensores de quarta ordem, é conveniente escrever a Equação (34) de forma, matricial como visto na Equação (35) (RASIA, 1997).

(

𝑇

₁

𝑇

₂

𝑇

₃

𝑇

₄

𝑇

₅

𝑇

₆

)

=

(

𝐶

₁₁

𝐶

₁₂

𝐶

₁₂

𝐶

₁₂

𝐶

₁₁

𝐶

₁₂

𝐶

₁₂

𝐶

₁₂

𝐶

₁₁

0 0

0 0 0

0 0 0 0

0

0 0 0 0

0 0 0

𝐶

₄₄

0

0 𝐶

₄₄

0

0 𝐶

₄₄

)

(

𝜀

₁

𝜀

₂

𝜀

₃

𝜀

₄

𝜀

₅

𝜀

₆

)

(35)

Na Tabela 3, são mostradas algumas das propriedades mecânicas dos materiais analisados neste trabalho.

Tabela 3 – Propriedades mecânicas de alguns filmes

Tipo de Material Módulo de Young

(𝑁/𝑚²) Coeficiente de Poisson Silício Monocristalino 1,8. 1011 0,28 Silício Policristalino 1,61. 1011 _0,23 DLC (a – C : H) 0,998. 1011 _{0,2 – 0,4} ITO (𝐼𝑛2𝑂3: 𝑆𝑛) 1,97. 1011 0,25 – 0,35

Fonte: (FRENCH, 2002; TIBREWALA, 2006; SMITH, 1954; YEUNG, 2007).

2.4.3 Propriedades Elétricas

As propriedades elétricas são importantes quando se deseja configurar piezoresistores, como sensores de pressão. A pressão pode causar um aumento ou uma diminuição da resistividade, dependendo do tipo de material e da direção sobre o qual é aplicada. (Rasia,1997)

Os cristais cúbicos são anisotrópicos em muitas de suas propriedades, ou seja, algumas de suas propriedades físicas variam com a direção cristalográfica. Isto acontece com a resistividade elétrica e com o coeficiente piezoresistivo, por exemplo. Através da expansão em série de uma relação entre a variação da resistividade e a tensão mecânica, pode ser estabelecido que para pequenas tensões a mudança de resistividade é linear ao esforço mecânico “stress”, o que pode ser representado pela Equação (37).

(43)

∆𝜌 = 𝜌

₀

𝜋

_𝑖𝑗

𝑇

_𝑖 (37)

A resistividade pode ser escrita como a soma da resistividade inicial e a variação da resistividade como na Equação (38).

𝜌 = 𝜌

₀

+ ∆𝜌

(38)

Substituindo a Equação (37) na Equação (38) teremos:

(

𝜌

₁

𝜌

₂

𝜌

₃

𝜌

₄

𝜌

₅

𝜌

₆

)

=

(

𝜌

₀

𝜌

₀

𝜌

₀

0

0 0 )

+

(

𝜋

₁₁

𝜋

₁₂

𝜋

₁₂

𝜋

₁₂

𝜋

₁₁

𝜋

₁₂

𝜋

₁₂

𝜋

₁₂

𝜋

₁₁

0

0 0 0 0

0 0 0

0

0 𝜋

₄₄

0

0 𝜋

₄₄

0

0 𝜋

₄₄

)

.

(

𝑇

₁

𝑇

₂

𝑇

₃

𝑇

₄

𝑇

₅

𝑇

₆

)

(39)

A Equação (39) pode ser representada através da Equação (40):

(

𝜌

₁

𝜌

₂

𝜌

₃

𝜌

₄

𝜌

₅

𝜌

₆

)

= 𝜌

₀

.

(

1 + 𝜋

₁₁

𝑇

₁

+ 𝜋

₁₂

𝑇

₂

+ 𝜋

₁₂

𝑇

₃

1 + 𝜋

₁₂

𝑇

₁

+ 𝜋

₁₁

𝑇

₂

+ 𝜋

₁₂

𝑇

₃

1 + 𝜋

₁₂

𝑇

₁

+ 𝜋

₁₂

𝑇

₂

+ 𝜋

₁₁

𝑇

₃

𝜋

₄₄

𝑇

₄

𝜋

₄₄

𝑇

₅

𝜋

₄₄

𝑇

₆

)

(40)

O tensor que representa a resistividade na Equação (40) pode ser transformado em uma matriz simétrica fazendo o processo inverso da simplificação de índices de acordo com Fruett (2002) mostrado na Tabela 1. A Equação (40) pode ser reescrita na forma de uma equação equivalente a Lei de Ohms, representada na Equação (41):

( 𝐸₁ 𝐸₂ 𝐸₃ ) = 𝜌₀ ( 1 + 𝜋₁₁𝑇₁+ 𝜋₁₂𝑇₂ +𝜋12𝑇3 𝜋44𝑇6 𝜋44𝑇5 𝜋₄₄𝑇₆ 1 + 𝜋12𝑇1+ 𝜋11𝑇2 +𝜋12𝑇3 𝜋44𝑇4 𝜋₄₄𝑇₅ 𝜋₄₄𝑇₄ 1 + 𝜋12𝑇1+ 𝜋12𝑇2 +𝜋11𝑇3 ) ( 𝐽₁ 𝐽₂ 𝐽₃ ) (41)

(44)

Como neste trabalho será usada uma membrana fina algumas simplificações podem ser feitas. Os componentes de tensão na direção [001] e as tensões relacionadas à esta direção (𝑇3, 𝑇4, 𝑇5) são consideradas desprezíveis, bem como o campo elétrico 𝐸3. Logo:

𝐸

₁

= 𝜌

₀

[(1 + 𝜋

₁₁

𝑇

₁

+ 𝜋

₁₂

𝑇

₂

)𝐽

₁

+ (𝜋

₄₄

𝑇

₆

𝐽

₂

)]

(42)

𝐸

₂

= 𝜌

₀

[𝜋

₄₄

𝑇

₆

𝐽

₁

+ (1 + 𝜋

₁₂

𝑇

₁

+ 𝜋

₁₁

𝑇

₂

)𝐽

₂

]

(43)

2.5 Características dos Filmes Finos

Os filmes finos desempenham uma função essencial nos dispositivos e circuitos integrados, eles são usados nas conexões das regiões ativas de um dispositivo, na comunicação entre dispositivos, no acesso externo aos circuitos, para isolar camadas condutoras, como elementos estruturais dos dispositivos, para proteger as superfícies do ambiente externo, como fonte de dopante e como barreira para a dopagem. Os filmes finos podem ser caracterizados como condutores, semicondutores ou isolantes, normalmente, são crescidos termicamente ou depositados a partir da fase vapor (RIZZO, 2010).

A espessura, a estrutura atômica e a composição química destes filmes devem ser uniformes, com baixa densidade de defeitos e mínima contaminação por partículas para que seja mantida a funcionalidade dos dispositivos fabricados.

As geometrias diminutas dos dispositivos semicondutores resultam em circuitos com superfícies bastante rugosas. Neste caso, os filmes depositados devem ter boa aderência, baixo estresse mecânico e prover uma boa cobertura de degraus. Normalmente, as propriedades de um material na forma de filme fino diferem substancialmente das propriedades do mesmo material na sua forma maciça devido à influência da superfície. Por outro lado, as propriedades dos filmes são altamente dependentes dos processos de deposição, da composição do material, da espessura e da resistividade elétrica. Estes parâmetros descritos devem ser considerados para a fabricação e processamento de elementos sensores piezoresistivos, uma vez, que os dispositivos sensores usam as mesmas técnicas de microeletrônica (FRAGA, 2012).

Metais e semicondutores com resistividade elétrica adequadas e baixo TCR são extremamente eficientes para uso em resistores. Devido a compatibilidade entre as tecnologias IC e MEMs esse tipo de resistor apresenta algumas vantagens como: tamanho pequeno, baixo custo e alta confiabilidade (FRAGA, 2012). Pode-se observar na Tabela 4 que os filmes finos apresentam uma série de vantagens em relação aos filmes espessos.

(45)

Tabela 4 – Comparação entre resistores baseados em filmes finos ou espessos depositados em diferentes substratos.

Tipo de resistor Vantagens Desvantagens

Filmes espessos Baixo Custo Alta Potência Correspondente fraco TCR ruim (> 100 𝑝𝑝𝑚/0𝐶) Grande área Filmes Finos depositados em vidro Bom correspondente Bom TCR (< 100 𝑝𝑝𝑚/0𝐶) Custo Moderado Pequena área Material Delicado Baixa Potência Filmes Finos depositados em cerâmica Bom correspondente Bom TCR (< 100 𝑝𝑝𝑚/0𝐶) Custo Moderado Pequena área

Geralmente tem área maior que outros filmes finos

Filmes Finos depositados em sílicio Bom correspondente Bom TCR (< 100 𝑝𝑝𝑚/0𝐶) Custo Moderado Bom rastreamento

Os filmes finos DLC e ITO analisados neste trabalho são depositados substratos de silício.

2.5.1 Características dos Filmes com Estrutura Amorfa tipo ITO

O óxido de índio dopado com estanho (ITO de Indium-Tin-Oxide) é um material semicondutor degenerado de alto band gap, transparente à faixa visível do espectro solar, que pertence a um grupo de materiais chamado de óxidos condutores transparentes (TCOs de