U MA EXTENSÃO DO CRITÉRIO DEK ESTEN SOBRE

I

MATEMÁTICA

UMA EXTENSÃO DO CRITÉRIO DE

KESTEN SOBRE

AMENIDADE PARA CADEIAS DE

M

ARKOV TOPOLÓGICAS

ELAINE

FERREIRA

ROCHA

AMENIDADE PARA CADEIAS DE

M

ARKOV TOPOLÓGICAS

Dissertação de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática.

Orientador:Prof. Dr. Manuel Stadlbauer.

Markov topológicas / Elaine Ferreira Rocha. – Salvador: UFBA, 2013. Orientador: Prof. Dr. Manuel Stadlbauer.

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática, Programa de Pós-graduação em Matemática, 2013.

Referências bibliográficas.

1. Sistemas dinâmicos. 2. Formalismo termodinâmico . I. Manuel Stadl-bauer . II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática. III. Título.

AMENIDADE PARA CADEIAS DE

M

ARKOV TOPOLÓGICAS

ELAINE

FERREIRA

ROCHA

Dissertação de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática, aprovada em 12 de setembro de 2013.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Manuel Stadlbauer (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Paulo César Rodrigues Pinto Varandas UFBA

Agradeço aos meus pais, Eliene e Floristano, e a minha irmã Laiane, pelo amor, apoio incondicional às minhas decisões e pela formação da pessoa que hoje sou.

Ao professor Manuel Stadlbauer pela orientação, disponibilidade e paciência. Aos professores Paulo Varandas e Albert Fisher por terem aceitado participar da comis-são julgadora desta dissertação, em especial ao professor Paulo, pelo incentivo e ajuda prestada por todo o meu percurso durante o mestrado.

Agradeço aos meus amigos, pela ajuda prestada na elaboração deste ou de alguma forma no meu percurso nesses dois anos, dentre eles, Anderson, Andressa, Ângela, Alejandra, Edward, Felipe, Jacqueline, Kátia, Marcus, Mariana, Raimundo, Sara e aos meninos de Feira (Carol, Junilson e Diego). E de uma forma especial à Karina e Elen, pelo carinho, amizade, por sempre estarem junto, me ajudando e apoiando tanto com a matemática como com a vida, enfim, muitas vezes dando sentido ao meu sorriso.

Aos funcionários e professores do Departamento de Matemática da UFBA, pelo seu profissionalismo.

A todos aqueles que direta ou indiretamente contribuíram para a conclusão de mais esta etapa da minha vida.

Neste trabalho estudamos o teorema de Kesten sobre amenidade para caminhos aleatórios simétricos em grupos discretos e os resultados obtidos por Stadlbauer, que são uma extensão do Teorema de Kesten para extensão por grupo de Cadeias de Markov topológica. Vimos que sob hipóteses bem suaves sobre a continuidade e simetria do po-tencial associado, amenidade do grupo implica que a pressão de Gureviˇc da extensão e da base são iguais, por outro lado, basta que o potencial seja Hölder contínuo e a cadeia de Markov topológica tenha a propriedade de grandes imagens e pré-imagens para que a pressão de Gureviˇc e a base se coincidam impliquem na amenidade do grupo.

Palavras-chave: Amenidade; Cadeias de Markov topológica; Extensão por grupo; Formalismo termodinâmico; Operador de Ruelle; Pressão de Gureviˇc.

In this work, we study Kesten’s theorem on amenability for symmetric random walks on discrete groups and the results obtained by Stadlbauer, which are extension of Kesten’s result to group extension of topological Markov chains. Under very mild assumptions about the continuity and symmetry of the potential, amenability of the group implies that the Gureviˇc pressure of the extension and the base are equal. On the other hand, if the potential is Hölder continuous, the topology of the Markov chain has the property of big images and pre-images and the Gureviˇc pressure coincide, then group is amenable.

1 Introdução 1

2 Teorema de Kesten sobre amenidade 2

2.1 Introdução à teoria da probabilidade . . . 2

2.2 Cadeias de Markov . . . 4

2.3 Caminhos aleatórios sobre grupos . . . 6

2.4 O Teorema de Kesten . . . 9

3 Extensão do critério de Kesten sobre amenidade para cadeias de Markov topológicas 15 3.1 Cadeias de Markov Topológicas . . . 15

3.2 Extensão por grupo de cadeias de Markov Topológicas . . . 19

3.3 Extensões por grupos amenos . . . 20

1

Introdução

Nesse trabalho serão estudados um teorema clássico da probabilidade, que é o teo-rema de Kesten que caracteriza grupos amenos, e os resultados obtidos por Stadlbauer [21] que são a extensão deste teorema para extensão por grupo de cadeias de Markov topológicas. O resultado obtido por Kesten [9] caracteriza amenidade em termos do raio espectral de um operador de Markov associado a um caminho aleatório simétrico. Mais precisamente, um grupo G enumerável é ameno se, e somente se, o raio espectral do

operador agindo sobrel2(G)é igual a um.

Propriedades probabilísticas de caminhos aleatórios em grupos estão profundamente entrelaçadas com muitas características essencialmente algébricas, como exemplo, ame-nidade, crescimento exponencial, etc. A definição de grupo ameno surgiu aproximada-mente em 1929, com Von Neumann, seguindo a qualGum grupo enumerável é ameno

se existe uma probabilidade µ finitamente aditiva, tal que µ(G)=1 e µ(Ag) = µ(A), para cadaA_⊂Geg_∈G. Equivalentemente, Følner mostrou (ver [5]) que, paraG

enu-merável, o grupo é ameno se existe uma sequência(Kn:n∈N)de subconjuntos finitos

deGcom_∪∞_n=1Kn=Gtal que

lim

n→∞|gKn△Kn|/|Kn|=0 ∀g∈G,

onde_|._|refere-se a cardinalidade do conjunto e∆a diferença simétrica.

Os principais resultados do artigo [21], objeto principal de estudo, foram estender o Teorema de Kesten para extensões por grupo, substituindo afirmações sobre o raio espectral por afirmações sobre a pressão de Gureviˇc.

Aqui, consideramos extensões por grupos de uma cadeia de Markov topológica para uma dada função potencial (ver capítulo 2), isto é, para uma cadeia de Markov topológ-ica(Σ_A,θ), um potencialϕ :Σ_{A →}(0,∞)e uma aplicaçãoψ :Σ_A→H deΣ_A para um grupo discretoH. A extensão por grupo de(Σ_A,θ,ϕ)porψ é definido por

T :Σ_A×H_→Σ_A×H,(x,g)_7→(θ(x),gψ(x)),

e o potencial elevado definido por ˆϕ :Σ_A×H _→R_{,(x,g)7→ϕ(x)}, em que é

assum-ido ao longo que ψ é constante nos estados I de Σ_A. Este, em seguida dá origem a uma noção natural de simetria através da existência de uma involução ι :I _→I tal

que ψ([ιw]) = ψ([w])−1 para todo w_∈ I, onde [w] refere-se ao cilindro associado a

w_∈I. Esta involução estende-se a palavras finitas, que leva ao conceito de um potencial

simétrico fraco se existe uma sequência(Dn)com limnD1n/n=1 tal que

sup

x∈[w],y∈[ιw]

∏n_j−₌₀1(ϕ_◦θj_(x))

para todo w_∈In, com In referindo-se às palavras de comprimento n. Estes conceitos

podem ser encontrados em [1],[14],[20],[12]. A definição de pressão de Gureviˇc foi definida por Sarig [18], como sendo

PG(T) =lim sup n_→∞

1

nlog

∑

x∈[w],Tn_(x,g)=(x,g)

ϕ(x)_·ϕ(θx)_···ϕ(θn−1x).

O primeiro resultado, o Teorema 3.1, basicamente indica que, quando o potencial é fracamente simétrico e o grupo é ameno, então PG(T) = PG(θ). Este resultado é

uma consequência do Teorema de Kesten, uma vez que as hipóteses dão origem a uma construção de operadores autoadjuntosPneml2(G), para cadan∈N, cujo raio espectral

são igual aePG(θ), como uma consequência do Teorema de Kesten e a amenidade de_G. O segundo resultado, o Teorema 3.6, exige hipóteses mais complexas, que o potencial seja Hölder contínuo e somável e que θ tenha a propriedade de grandes imagens e

pré-imagens, mas vale notar que a extensão não precisa ser simétrica. Daí, temos que

PG(T) =PG(θ)implica queGé ameno. A prova é inspirada por um argumento de Day

em [4] e se baseia numa análise cuidadosa da ação do operador de Ruelle sobre um mergulho del2(G)em um determinado subespaço deC(Σ_A×G).

O presente trabalho foi dividido em duas partes. O capítulo 2, apresentamos alguns resultados introdutórios sobre à teoria da probabilidade, cadeias de Markov e em par-ticular, caminhos aleatórios sobre grupos, para então enunciarmos e demonstrarmos o teorema clássico de Kesten. No capítulo 3, baseado no artigo [21], faremos algumas definições sobre cadeias de Markov topológicas e a extensão por grupo de cadeias de Markov topológicas, em seguida, a apresentação dos dois resultados que são a extensão do Teorema de Kesten. Por fim, estudamos uma outra versão do primeiro resultado do Teorema de Stadlbauer (teorema 3.1), baseado no artigo de Jaerisch [13].

2

Teorema de Kesten sobre amenidade

Nesse capítulo serão apresentados algumas definições e resultados com respeito à teoria da probabilidade, com o objetivo de definir um processo estocástico, para que dessa forma possamos definir uma cadeia de Markov e daí uma classe especial, que são os caminhos aleatórios sobre grupos. O objetivo principal deste capítulo é apresentar o clássico teorema de Kesten que caracteriza grupos ameno e demonstrá-lo.

2.1

Introdução à teoria da probabilidade

Definição2.1. Umespaço mensurávelé um conjunto munido com umaσ-álgebraF.

SejaA_∈F, dizemos queF é uma_σ-álgebra se satisfaz:

i) seA_∈F, então_Ac_∈F

ii) seAi∈F, uma sequência de conjuntos enumeráveis, então∪iAi∈F.

Definição 2.2. Chamamos de medida finitamente aditiva qualquer função µ :S_→R

(ou na reta estendida R_{∪ {+}∞_}) de uma σ-álgebra Stal que µ(_⊘) =0 e sempre que tenhamosSj∈S,1≤ j≤ndisjuntos tais que∑nj=1Sjtambém pertença aS, então vale

µ

n

∑

j=1 Sj

=

n

∑

j=1 µ(Sj).

µ é dita medida sigma-aditivasenacima puder ser∞. Se temos µ :S_→[0,+∞], µ é ditamedida positiva.

Definição2.3. Umespaço de probabilidadeé uma tripla(Ω,F_,P), onde_Ωé o espaço

qualquer, F é uma sigma-álgebra, e _P é uma função que atribui probabilidades aos

elementos deF, isto é,_Pé uma medida positiva com_P(Ω) =1.

Dizemos que dois eventosAeBsão independentes quandoP(A_∩B) =P(A)_·P(B), ou seja, dois eventos são independentes entre si quando a probabilidade de que os dois aconteçam simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de que cada um deles aconteça.

Definição 2.4. Dados dois eventos A e B, com P(B)>0, definimos a probabilidade condicionaldeAdadoBpor

P(A_|B) = P(A∩B) P(B) .

Note que se os eventosAeBsão independentes, entãoP(A_|B) = P(A_P)₍·_BP₎(B) =P(A). Ou

seja, a ocorrência deBnão altera a chance de ocorrência deA.

Umavariável aleatóriaé uma função mensurávelX :Ω_→R.

Definição2.5. Umprocesso estocástico(Xn)n∈N é uma coleção de variáveis aleatórias

tal quew_7→(Xn(w):n∈N)é mensurável em relação aσ-álgebraB(RN).

Xnrepresenta o estado do processo no tempon. ComoNé um conjunto enumerável,

então(Xn)n∈Né dito um processo estocástico discreto no tempo.

No presente trabalho, veremos somente um processo estocástico em tempo discreto. O espaço de estados de um processo estocástico é definido como o conjunto de todos os valores possíveis que a variável aleatóriaXnpode assumir. O espaço de estados será

representado porE.

Definição 2.6. Seja (Xn)n∈N um processo estocástico. Uma distribuição marginal de

X1,···,Xnse define comoP(X1∈A1, . . . ,Xn∈An) =P(∩n_i=1X_i−1(Ai)).

Vamos definir uma medidaµ porµ(B):=P(X1∈A1, . . . ,Xn−1∈An−1,Xn∈B)com

B_∈F. Uma pergunta natural a se fazer é se esta medida _µ existe, e a resposta é sim

se Xn é um processo estocástico, pois µ(B) =P(∩n_i=1−1X_i−1(Ai)∩Xn−1B). Temos um

teorema o qual afirma o inverso, ou seja, se a medidaµ existe, então existe o processo estocástico.

Teorema 2.1 (Extensão de Tulcea). Seja X espaço discreto e P_{(X) as partes de X .} Considere uma sequência arbitrária de espaços mensuráveis, o espaço Ω=∏∞_n=0Xn

e F _=⊗∞

n=0Pn(X), n∈ N, o correspondente espaço produto e o produto direto de

σ-álgebras. Seja µ(B) =P(_∩n_i=1−1X_i−1(Ai)∩Xn−1B) uma medida de probabilidade em

P_{n(X), então temos que existe e é único o processo estocástico.}

A demonstração pode ser encontrada em [2]. Este teorema é um caso especial onde o tempo é discreto, podemos ter um teorema ao qual generaliza este, que é o teorema da extensão de Kolmogorov, no qual pode ser encontrado na mesma referência [2].

2.2

Cadeias de Markov

Uma cadeia de Markov (ou processo de Markov) é um caso particular de processo estocástico com estados discretos e apresenta a propriedade Markoviana (ver equação 1), que é chamada assim em homenagem ao matemático Andrei Andreyevich Markov. Esta propriedade também é chamada de memória markoviana, pois os estados anteriores são irrelevantes para a predição dos estados seguintes, desde que o estado atual seja conhecido. Assim, vejamos a definição formal:

Definição2.7. Umacadeia de Markové um processo estocástico(Xn)n∈Ncom o tempo

discreto,N_={0_,1_,2_{, . . .}}, no qual o espaço de estados_E é finito ou enumerável e que

possui a propriedade de Markov (ou propriedade markoviana),

P(Xn+1= j|X0=i0, . . . ,Xn=in) =P(Xn+1= j|Xn=in), (1)

para todos os estadosi0, . . . ,in,je todo instanten. SeXn=idizemos que o processo no

instantenestá no estadoi.

Aqui, com o Teorema de extensão de Tulcea, podemos garantir que tal processo estocástico existe e é unicamente determinado.

Uma interpretação para a equação (1) é dizer que o estado futuro do processo,

Xn+1= j não depende do passado, X0 =i0, . . . ,Xn−1 =in−1, e somente depende do

presente,Xn=in. A probabilidade condicional (1) é chamada de probabilidade de

tran-sição. Vamos restringir o nosso estudo às cadeias de Markov homogêneas, isto é, aque-las cadeias nas quais a equação (1) não depende do tempon, ou seja,

Logo Pi,j é a probabilidade de passar em qualquer instante, do estado i ao estado j.

Uma maneira simples de visualizar um tipo específico de cadeia de Markov é através de um automato finito. Se estamos no estadoi no tempon, então a probabilidade de que

nos movamos para o estado jno tempon+1 não depende de n, e somente depende do

estado atuali em que estamos. Assim, em qualquer tempo n, uma cadeia de Markov

finita pode ser caracterizada por uma matriz de probabilidades cujo elemento (i,j) é dado porP(Xn+1= j|Xn=i)e é independente do tempon.

Estas probabilidades de transição Pi,j são normalmente agrupadas numa matriz P,

que denominamosmatriz de transição. Se E é finito, por exemplo, E=_{0,1, . . . ,N_},

então:

P=

    

P0,0 P0,1 . . . P0,N

P1,0 P1,1 . . . P1,N

... ... ... ...

PN,0 . . . PN,N

    

SeEé infinito, por exemplo,E =_{0,1,2, . . ._}, então a matrizPserá infinita:

P=

  

P₀,0 P0,1 . . . P1,0 P1,1 . . .

... ... ...

  

Dizemos que uma matrizP= (Pi,j)i,j∈E é umamatriz estocástica sePi,j ≥0, para

todosi,j_∈E e para todoi_∈E,∑_j∈EPi,j=1. Ou seja, todas as entradas de uma matriz

estocástica são não negativas e qualquer linha tem a soma um. Note que toda matriz de transição é uma matriz estocástica. De fato, a primeira condição corresponde que as entradas são valores de probabilidade e a segunda condição, que se o processo está no estadoino instantenentão no próximo instante ele terá que estar em algum dos estados j_∈E. Observe que uma matriz estocástica determina uma cadeia de Markov_{Xn}n≥0.

De fato, o primeiro estado pode ser sorteado de uma distribuição discreta qualquer emE

e estando no estadoi, para determinar o estado da cadeia no próximo instante, sorteamos

um dos valores j_∈Ede acordo com a distribuição dada porPi,j,j∈E.

De forma geral, vale a probabilidade de transição em m passos de uma cadeia de

MarkovX,

P_i(_,m_j)=P(Xm+n= j|Xn=i)

é a entrada (i,j)dam-ésima potência da matriz de transiçãoP, isto é,Pm=P_·P_···P

onde hámtermos no produto. Note que por construção a expressão anterior independe

den. Isto decorre do seguinte resultado.

Demonstração. Temos que

P(Xn+m= j|X0=i) =

∑

P(Xn+m= j,Xm=k|X0=i) (2)

Usando a definição de probabilidade condicional, cada um dos somados pode ser escrito da forma,

P(Xn+m= j,Xm=k|X0=i) = P(Xn+m= j,Xm=k,X0=i) P(X0=i)

= P(Xn+m= j,Xm=k,X0=i) P(Xm=k,X0=i) ·

P(Xm=k,X0=i)

P(X0=i) =P(Xn+m= j|Xm=k,X0=i)·P(Xm=k|X0=i)

=P(Xn+m= j|Xm=k)P(Xm=k|X0=i),

onde na última linha usamos a propriedade de Markov. Substituindo em (2), obtemos o resultado desejado:

P(Xn+m= j|X0=i) =

∑

P(Xn+m= j|Xm=k)P(Xm=k|X0=i)

Note que se chamarmos deP(m)= (P_i(_,m_j))à matriz de transição de ordemm, teremos

que o teorema acima afirma queP(m+n) =P(m)_·P(n). ComoP(1)=P, temos então que P(n+1)=P_·P(n)e usando um argumento indutivo, obtemos queP(n)=Pn.

Um exemplo muito importante de cadeias de Markov com espaços de estados in-finito é apresentado na seção seguinte.

2.3

Caminhos aleatórios sobre grupos

Caminhos aleatórios sobre grupos são considerados como uma classe especial de cadeias (processos) de Markov que fornecem exemplos simples de comportamento prob-abilístico não trivial. Por outro lado, problemas probprob-abilísticos de caminhos aleatórios em grupos estão profundamente entrelaçadas com muitas características essencialmente algébricas de grupos e suas álgebras de grupos (amenidade, crescimento exponencial, etc.). Ambos estes aspectos tornam o assunto especialmente interessante e importante, como pode-se ver em artigos de Gouezel [6], Gerl- Woess [7], Pólya [16] e Furstenberg [22].

Vamos considerar aqui sempreGum grupo enumerável eµ uma medida de

proba-bilidade sobreG. Vejamos a definição de caminhos aleatórios sobre grupos segundo o

trabalho de Kaimanovich e Vershik (ver em [9]).

NotaremosGumgrupo discreto infinitocom o elemento identidade id_∈G, como o

i) id_·g=geg_·id=g

ii) existe um elemento inversog−1_∈Gpara o qualg_·g−1=g−1_·g=id

Dada uma medida de probabilidade µ em G, o par(G,µ) será chamado de um grupo

com medida. Osuporte da medidaµ será denotado por suppµ:

suppµ =_{g_∈G:µ(g)>0_}.

A medida µ será chamada nãodegeneradase o semigrupo gerado pelo suporte é todo

o grupoG,finitáriase suppµ é finito, esimétricaseµ(g) =µ(g−1). Em todo trabalho a condição de medida não degenerada será assumida, a não ser que seja especificado o contrário.

Definição2.8. Ocaminho aleatóriosobreGé definido porΩespaço mensurável,_{Pg:

g_∈G_}medidas de probabilidade sobre Ωe uma sequênciaXn:Ω→Gcomn∈Ntal

que para cadan_∈N_,gi∈G,

Pg(X1=g1, ...,Xn=gn) = n−1

∏

i=1

µ(g−_i 1gi+1)

Em outras palavras, a posição de um caminho aleatório pode ser obtido a partir do anterior, através da multiplicação à direita com o elemento aleatório independente do grupo que tem a distribuição µ. Note que a definição de caminhos aleatórios segue apenas pela sua probabilidade de transição (sem qualquer distribuição inicial fixada), assim o caminho aleatório pode ser identificado com o par(G,µ). O caminho aleatório

esquerdo pode ser definido similarmente com a probabilidade de transição P(g_|h) = µ(gh−1). Evidentemente,P(g−1_|h−1) = µ(h−1g) e substituindo a medida µ por uma reflexão reduz o estudo do caminho aleatório a esquerda ao estudo da direita somente.

Vejamos alguns exemplos:

1) O caminho aleatório simples (ou passeio aleatório simples) onde o espaço de es-tados são os números inteiros, isto é, G =Z. As transições só ocorrem entre

estados vizinhos,Pi,i+1=p=1−Pi,i−1, com 0≤p≤1. Se p=0, as transições

são somente a esquerda e sep=1, elas são só para a direita. Quandop= 1₂, as transições satisfazem,

Pi,j=

(₁

2, j=i−1 ou j=i+1

0, caso contrário

1/4 1/4

1

/4

1

/4

Figura 1: Caminho aleatórioZ2

2) G=Z2,_{P(Xn+1=z±ei|Xn=z) =} 1 4

3) G=Zd, temos um resultado fundamental, devido a Pólya, 1921 (ver [16]), no

qual, sep= ₂1_d, então

lim

n_→∞

P_id(X₂n=id)

cd.n

−d

2

=1

e

P_id(X_k=idinfinitamente) =

(

1 sed_≤2

0 sed>2.

Por outras palavras, a caminho aleatório simétrico em Zd é recorrente se, e

so-mente se,d_≤2.

SejaF_d={e1,e−1

1 , . . . ,ed,e−_d1}. Ogrupo livreFdé definido por

F_d:_{=∪m∈N{(v1, . . . ,vm)∈}Fm

d :vi6=v−_i+11,∀i=1, . . . ,m−1}.

A aplicaçãoF_d×F_d→F_d, onde_{(v1, . . . ,vm).(w1, . . . ,wn) = (v1, . . . ,vm,w1, . . . ,wn)},

o qual pertence aF_d e é a palavra reduzida por_eie−1

i =e−

1

i ei=⊘.

4) G=F_2=<e1,e2,e−1

1 ,e−21>, grupo livre com dois geradores

5) G=F_d, um resultado fundamental sobre os grupos livres é o Teorema de

Gerl-Woess, em 1986 (ver [7]), que afirma que, se p= ₂1_d eρ:= √2_dd−1. Então

lim

n→∞

Pid(Xn=id)

c_d.n−23_ρn

=1 e

1/4 1/4

1

/4

1

/4

Figura 2: Caminho aleatórioF2

Agora, vamos calcular o crescimento exponencial, ou seja, calcular o

lim sup

n

logpn

Pid(Xn=id)

dos grupos dos exemplos 3)e 5).

3) SeG=Zd, então

lim sup_nlogqn

Cdn

−d

2 ₌0

5) SeG=F_d, então

lim sup_nlogρ n

q

Cdn

−3

2 =log

√

2d−1

d =

(

0 sed=1

<0 sed_≥2

Na seção seguinte veremos uma caracterização de grupo ameno (veja 2.9) através do crescimento exponencial descrito acima.

2.4

O Teorema de Kesten

Teorema 2.3(Kesten, 1959). Se um grupo enumerável G é ameno, então o raio espec-tral éρ=1para toda medida de probabilidadeµ simétrica em G. Reciprocamente, se ρ=1para alguma medida simétricaµ cujo suporte gera G, então G é ameno.

Uma definição importante para o trabalho é a definição de grupo ameno, pois os principais teoremas apresentados aqui, serão de certa maneira uma caracterização destes grupos. A definição surgiu aproximadamente em 1929, com Von Neumann, na qual um grupo enumerável G é ameno se existe uma medida de probabilidade µ finitamente aditiva, tal que µ(G) =1 e µ(Ag) =µ(A), para cada A_⊂G e g_∈G. Equivalente a

esta definição, usaremos a condição de Følner para grupos enumeráveis que pode ser formulado como segue:

Definição 2.9. Um grupo enumerável G é ameno se, existe uma sequência (Kn) de

subconjuntos finitos deGcom_∪∞_n=1Kn=Gtal que

lim

n→∞|gKn△Kn|/|Kn|=0 ∀g∈G,

Definição2.10. Dado um subconjunto finitoK_⊂Geε >0, um subconjuntoA_⊂Gé

chamadoconjunto Følnerpara o par(K,ε)se_|Ag_△A_|<ε_|A_|,_∀g_∈K.

Então, a existência de uma media invariante emGé equivalente à existência de um

conjunto Følner para todo par(K,ε)(ver [5]). Onde_|·|refere-se a cardinalidade do con-junto,∆a diferença simétrica dos conjuntos AgeA, e média invariante é um elemento ϕ em(l∞)∗ com_kϕ_k=1 eϕ(_·) =ϕg(·), que em particular não é necessariamente uma

medida. Exemplos:

• Grupo ameno: SejaG=Z,_{Kn={−n,−n+}1_{, ...,n}}, temos queZé ameno, pois

limn→∞|(m+Kn)△Kn|/|Kn|=limn→∞2m/2n+1=0 ∀m∈Z.

• Grupo não ameno: F₂ o grupo livre com dois geradores _e1 e _e2 não é ameno.

Suponha por absurdo queF₂ é ameno, então para qualquer _{ε >}0, podemos

en-contrar um conjunto finito não vazio Atal quex_·Adifere de A, no máximo, em ε_|A_|pontos para todox=e1,e2,e−₁1,e₂−1. SejaE1,E2,E−1,E−2⊂F2o conjunto

de todas as palavras que começam com e1,e2,e₁−1,e−₂1 respectivamente. Temos F_{2=E1∪E2∪E−1∪E−2∪ {id}}. O conjunto_{e1(A∩(E2∪E−1∪E−2))}está

con-tido eme1·Ae emE1e assime1(A\E−1) =e1A\e1E−1⊂E1

Então,

|e1(A_\E₋1)_|=_|e1A∩E1|

=_|E1∩((e1A∩A)∪(e1A∩Ac))| =_|E1∩(e1A∩A)|+|E1∩(e1A∩Ac)|

Por outro lado,_|e1B|=|B|, para qualquerB⊂F2, daí,|e1(A\E−1)|=|A\E−1|=

|A_{| − |}A_∩E₋1|

Então, para todoi_{∈ {}e1,e2,e−₁1,e−₂1}

|A_{| − |}A_∩E₋i| ≤ |A∩E−i|+ε|A|

Da mesma maneira, fazendo isso para todos os_{e1,e2,e₁−1,e−₂1}, obtemos

4_|A_{| −}

∑

i∈{e1,e2,e₁−1,e−₂1}

|A_∩Ei| ≤

∑

i∈{e1,e2,e₁−1,e−₂1}

|A_∩Ei|+4ε|A|

onde∑_i∈{e

1,e2,e−₁1,e−₂1}|A∩Ei|=|A\{id}|. Dividiremos em dois casos, caso 1: _{id_}∈/A:

4_|A_{| − |}A_{| ≤ |}A_|+4ε_|A_{| ⇒}2_|A_{| ≤}4ε_|A_|

caso 2: _{id_{} ∈}A:

4_|A_{| − |}A_|+1_{≤ |}A_{| −}1+4ε_|A_{| ⇒}2_|A_|+2_≤4ε_|A_|.

Absurdo, pois para umε suficientemente pequeno (por exemplo ε <1/2) a

de-sigualdade não vale.

Definição 2.11. Umespaço de Hilbert é um espaço munido com um produto interno

que é completo (toda sequência de Cauchy converge) em relação com a norma induzida pelo produto interno.

Definição 2.12. Dados G um grupo enumerável, l2(G) =_{f :G_→R : p_∑f(g)2_<

∞_}um espaço de Hilbert, eµ uma probabilidade simétrica (µ(g) =µ(g−1)) sobre G,

podemos definir um operadorPµ :l2(G)→l2(G)por

Pµ(f)(g):=

∑

h_∈G

µ(h)f(gh−1).

Visto que se f _≥0 entãoPµ(f)≥0 ePµ(1) =1, o operador é umoperador autoadjunto

de Markov.

O operador adjunto P∗é o único operador tal queP∗f(g):= f(P(g))e f(P(g)):=

hf,P(g)_i. EPautoadjunto se_hf,P(g)_i=_hP f,g_ipara todog,f _∈l2(G).

Para definirmos o raio espectral, necessitamos de mais duas definições, a de conjunto resolvente e a de espectro. SejaT :B_→Boperador linear num espaço de Banach

com-plexoB₆=_{0_}. Oconjunto resolventedeT, denotado porυ(T), é o conjunto dosλ_∈C

Definição2.13. Oraio espectraldo operadorT :B_→Bé ρσ(T):= sup

λ∈σ(T)| λ_|

Utiliza-se no trabalho a definição de raio espectral para operadores autoadjuntos. No nosso caso o operador de Markov é um operador autoadjunto no espaço l2(G). O

teorema de Gelfand (ver por exemplo em [17]) sobre o raio espectral nos permite definir o raio espectral dePµ agindo eml2(G)como:

ρ:=lim sup

n→∞

n

q

P_µn(χ_{id})(id),

em queP_µn(χ_{id})(id) é a probabilidade de voltar a identidade em tempo n. Podemos

obter esta equivalência da definição do raio espectral usual com esta em [9].

Uma observação importante a se fazer é que o raio espectral do operador de Markov é menor ou igual a 1.

Definição2.14. Uma função f é ditaε-invariante para o operador P em l2(G)se para

todoε >0 tem-se_kP(f)₋f_k2≤ε_kf_k2.

Agora vejamos a demonstração do teorema de Kesten [11], seguiremos a prova mais acessível de [9].

Demonstração. a) SejaGum grupo ameno, mostraremos queρ=1 para todaµsimétrica. Se o suporte deµ é finito, então pela condição de Følner, existe uma funçãoε-invariante diferente de zero paraPeml2(G), no qual_∀ε >0, tomemos a função característicaχA

de um conjunto Følner para o suporte µ, que assume valores 1 se g_∈Ae 0 seg_∈/ A.

Então,

kPχA−χAk22=

∑

g∈G

∑

h∈suppµ

µ(h)χA(gh−1)−χA(g)

2

=

∑

g_∈G

∑

h∈suppµ

µ(h)χA(gh−1)−

∑

µ(h)χA(g)

2

,pois

∑

h∈suppµ

µ(h) =1

=

_∑

g∈G

∑

h∈suppµ

µ(h)(χA(gh−1)−χA(g))

2

=_kg_7−→

∑

h∈suppµ

µ(h)(χA(gh−1)−χA(g))k22

≤

∑

h∈suppµ

µ(h)_kχA(gh−1)−χA(g))k22

≤

∑

h∈suppµ

µ(h)_kχAh(g)−χA(g))k22≤

∑

h∈suppµ

µ(h)_kχAh△Ak22

=

_∑

h_∈suppµ

µ(h)_|Ah_△A_{| ≤}

∑

h_∈suppµ

Usou-se queχA(gh−1) =1⇔gh−1∈A⇔g∈Ah⇔χAh(g) =1, e portanto

(χA(gh−1)−χA(g)) = (χAh(g)−χA(g)) =

    

1 seg_∈Ah_\A

0 seg_∈Ah_∩A

−1 seg_∈A_\Ah

Daí,_|χAh(g)−χA(g)|=χAh△A(g). Além disso,kχAk2₂=∑g∈G(χA(g))2=∑g∈GχA(g) =

∑g_∈A1=|A|, implica que,kχAh△Ak22=|Ah△A|.

Então,_kPχA−χAk2₂≤εkχAk2₂. Daí,kPk=1, isto é,ρ=1. Isto provém do seguinte

resultado da Análise Funcional (ver [17]):

Proposição 2.4. Se para todoε >0, existe f tal que_kP(f)₋λf_k<ε_kf_k, então λ _∈ σ(P)(espectro de P).Valendo a recíproca.

Daí, temos que 1_∈σ(P). Então, comoρ:=sup_{λ _∈σ(P)_}e para qualquer

oper-ador de Markov,ρ_≤1, temos queρ=1.

Se o suporte de µ é infinito, tome para cada δ >0, um subconjunto finito T_{δ ⊂}

suppµ tal queµ(T_δ)>1₋δ (ouµ(T_δ)c<δ). Então, pela condição de Følner, temos para todoε>0, que existe conjuntoAque é(T_δ,ε)-Følner, isto é,

|Ah_△A_|/_|A_|<ε _∀h_∈T_δ.

Dadoε >0 afirmamos que existe uma funçãoε-invarianteχA (diferente de zero) para

Peml2(G). De fato,

kPχA−χAk2≤

∑

µ(h)_kχAh△Ak2

=

_∑

h∈Tδ

µ(h)_kχAh△Ak2+

∑

µ(h)_kχAh△Ak2

≤

∑

h∈Tδ

µ(h)√ε_kχAk2+

∑

µ(h)_kχAh+χAk2

≤√ε_kχAk2+2δkχAk2

Então, _kPχA−χAk2≤(√ε+2δ)kχAk2. Como δ,ε >0 foram arbitrários deduzimos

pela proposição 2.4 que_kP_k=1, isto é,ρ=1.

b) Reciprocamente, suponhamosρ=1 para uma medidaµnão degenerada simétrica emG(ou seja, considera-seµ(id)₆=1), mostraremos queGé um grupo ameno.

Fixe um subconjunto finito K _⊂ G. Passando (se necessário) a uma convolução

n-vezes da medida µ, podemos supor que suppµ contém K. Considere uma

decom-posição da medida µ em uma combinação convexa de duas medidas de probabilidade

autoadjuntos e_kPik ≤1. Então,

kPµk=αkPµ₁k+ (1−α)kPµ₂k

1_≤α_kPµ₁k+ (1−α)kPµ₂k, logokPik=1,i=µ1,µ2

Assim, pode-se supor que suppµ é finita e suppµ contémK. Agora, existe uma função

quaseε-invariante f _∈l2(G), isto é,_kf₋P f_{k ≤}ε_kf_k. Podemos tomar para f a função

característica de um subconjunto finito A_⊂G (ver teorema 3.6 passagem (11)). Pela

finitude do suppµ, min{µ(g):g_∈suppµ_}=δ >0, portanto, temos PχA(g) =1 ou

PχA(g)≤1−δ para todog∈G, vejamos:

PχA(g) =

∑

µ(h)χA(gh−1)

=

_∑

h∈suppµ

µ(h)χAh(g) =

(

1, seg_∈Ah;_∀h_∈suppµ

≤1−δ, seg_∈/Ah;_∃h_∈suppµ

Observe que seg_∈/Ah0, então

∑

h∈suppµ

µ(h)χAh(g)≤

∑

µ(h)χAh(g)≤

∑

µ(h) =1₋µ(h0).

Voltando, então temos,

kχA(g)−PχA(g)k

        

=0 seg_∈A;g_∈Ah;_∀h_∈suppµ =1 seg_∈/A;g_∈Ah;_∀h_∈suppµ

≥δ seg_∈A;g_∈/Ah;_∃h_∈suppµ_{−→ {}g_{∈ ∪}h∈suppµA\Ah}

≤1−δ seg_∈/A;g_∈/Ah;_∃h_∈suppµ

Então,

kχA−PχAk ≥δ χ_{∪h∈suppµ}A\Ah

≥δ χA\Ah,∀h∈suppµ

≥δp_|A_\Ah_|

Mas,_|A_△Ag_|=_|A_\Ag_|+_|Ag_\A_|=2_|A_\Ag_|. Daí,_|A_△Ag_|/2=_|A_\Ag_|e portanto

obte-mosp_|A_△Ag_|/2=p_|A_\Ag_|.

Logo, δp_|A_△Ag_|/2 =δp_|A_\Ag_{| ≤ k}χA−PχAk ≤εkχAk,g∈ K onde a última

passagem utiliza a hipótese do teorema.

Obtemosδ2p_|A_△Ag_|/2_≤ε2_kχAk, e portanto,

|A_△Ag_|

|A_| ≤

2ε2

no qual pela condição de Følner,Gé ameno se e somente se_|A_△Ag_|/_|A_{| ≤}ε, para um subconjunto finito A_⊂G, A é ε-Følner para K. Portanto, A é um (2_δε22)-Følner para

K.

3

Extensão do critério de Kesten sobre amenidade para

cadeias de Markov topológicas

Essa seção é baseada no artigo [21], no qual vamos estudar algumas definições so-bre cadeias de Markov topológica, e posteriormente para compreendermos os teoremas principais do artigo 3.1 e 3.6, vamos estudar a extensão por grupo que é uma generaliza-ção para caminhos aleatórios. Daí, teremos duas seções separadamente para apresentar cada um desses teoremas.

3.1

Cadeias de Markov Topológicas

SejamIum conjunto enumerável (alfabeto) eA= (ai j)i,j∈I uma matriz tal queai j∈

{0,1_}para todoi,j_∈I e∑_jai j >0 para todoi∈J, ou seja, que a matriz de transição

Anão contenha linhas ou colunas com todos os elementos iguais a 0. Vamos denotar o

par(Σ_A,θ)correspondendo a cadeia de Markov topológicas (ou, espaço shift), o qual

Σ_A:=_{(wk)k=0,1,...:wk∈Ieawkwk+1 =1,∀i=0,1, ...},

θ :Σ_A→Σ_A,θ :(wk: k=1,2, . . .)7→(wk: k=2,3, . . .).

Uma sequência finitaw= (w1...wn)comn∈N,wk∈I parak=1,2, ...,neawkwk+1 =1

para k =1,2, ...,n₋1 é chamado como sendo uma palavra de comprimento n, e o

conjunto

[w]:=_{(vk)∈ΣA: comwk=vk∀k=1,2, . . . ,n}

como sendo umcilindro de comprimento n. Denotamos como o conjunto de palavras

admissíveis de comprimento no conjuntoWn, o comprimento de w_∈Wn por _|w_|e o

conjunto de todas as palavras admissíveis por W∞=S_nWn. Além disso, θn_:[w]→

θn_{([w])é um homeomorfismo (aplicação contínua e invertível, com inversa contínua),}

a inversa existe e denotaremos porτw:θn([w])→[w], a qual está bem definida. Para

a,b_∈W∞en_∈Ncom_{n≥ |a|}, definimos

W_an_,b=_{(w1···wn)∈Wncom(w1. . .w_|a|) =a, wnbadmissível}.

disso, diremos queΣ_Aétopologicamente transitivose para todoa,b_∈I, existena,b∈N

tal queW_an_,a_b,b ₆= /0, ou equivalentemente, podemos dizer que θna,b_{([a])∩[b]6=} /0. _Σ

A é

chamado detopologicamente misturadora se para todoa,b_∈I, existeN_a,b∈Ntal que Wnna,b 6= /0 para todo n≥Na,b, equivalentemente, podemos notar por θn([a])∩[b]6= /0

para todo n_≥Na,b. Além disso, uma cadeia de Markov topológica é dita que possui

grandes imagens e pré-imagens, se existe um conjunto finitoIg.i.p.⊂Wtal que para todo

v_∈W, existeβ _∈Ig.i.ptal que(vβ)∈W2ou(βv)∈W2, respectivamente. Finalmente,

uma cadeia de Markov topológica é dita que possui apropriedade (g.i.p.) se a cadeia é

topologicamente misturadora e tem grandes imagens e pré-imagens.

Visto que estamos interessados na relação entre aspectos do formalismo termodinâ-mico e a amenidade do grupoG, considere o par(Σ_A,ϕ), ondeϕ:Σ_A→Ré uma função

estritamente positiva ao qual nos referimos como umpotencial. Para n_∈Ne_w∈Wn,

definimos

Φ_n:=

n−1

∏

k=0

ϕ_◦θk eCw:= sup x,y∈[w]

Φ_n(x)/Φ_n(y). (3)

O potencial ϕ é dito que tem variação localmente limitada se ϕ é contínua e existe

C>0 tal queCw ≤C para todo n∈Ne w∈Wn, e é chamado potencial devariação

médiaseϕ é contínua e, para todon_∈N, existe_Cn>0 com_Cw≤Cnpara todo_w∈Wn

e limn→∞√nCn=1. Para sequências positivas (an),(bn), frequentemente escreveremos

an≪bn se existeC>0 com an≤Cbn para todo n∈N, e an≍bn se an≪bn≪an.

Uma nova hipótese, mais forte sobre a variação é relacionada com ser localmente Hölder contínua. Portanto, definimos a n-ésima variação de uma função f :Σ_A→Rpor

Vn(f) =sup{|f(x)−f(y)|:xi=yi,i=1,2, . . . ,n}.

A função f é referida como uma função localmente Hölder contínua no sentido sim-bólico, se existe 0<r<1 eC_≥1 tal queVn(f)≪rn para todon≥1. Podemos ver

aqui a equivalência da notação mais conhecida sobre funções Hölder contínua: _|s(x)₋ s(y)_{| ≤}c_|x₋y_|. Para definir uma métrica e escrever como _|s(x)₋s(y)_{| ≤}cd(x,y)α,

basta tomar o conjuntoΣ_Ae a métricad_1/2estal queVn(s)≤crn, temos quer= (1/2)t,

então,t= _loglog₍₁(r_/)₂₎. Então, paraxeyno mesmo cilíndro[w],w_∈Wn,

|s(x)₋s(y)_{| ≤}crn =c(1/2)tn =c((1/2)n)t

≤c_·d(x,y)t

Generalizando, podemos ver a métrica comodr((xi),(yi)):=rmin{f:xj6=yj}e temos

|s(x)₋s(y)_| dr((xi),(yi))≤

no qual notamos que é uma função Lipschitz. A uma função localmente Hölder contínua com_kf_k∞<∞chamamos defunção Hölder contínua.

Agora, vejamos a seguinte estimativa bem conhecida (ver em [18]). Para n_≤m, x,y_∈[w]para algumw_∈Wm_{, e f função localmente Hölder contínua,}

n

_∑

k=0

f_◦θk(x)₋f_◦θk(y)_≤

n−1

∑

k=0

f◦θk(x)−f◦θk(y)

≤c_·

n₋1

∑

k=0

d(θk(x),θk(y)) =c

n₋1

∑

k=0

1/(rk)d(x,y)

=c

n

∑

k=0

1/(rk)_·rm=c

n

∑

k=1

rm−k

=c_·rm−n

n−1

∑

k=0

rk_≤c_·rm−n 1

1₋r

Então,

n

_∑

k=0

f_◦θk_(x)

−f_◦θk_(y)

≪ ₁1

−rr

m−n_.

Observação: temos dr(θ(x),θ(y)) = 1_rd(x,y), temos r2=d((x1,x2, ...),(x1,x2, ...)) e

r=d((θ(x₁,x₂, ...)),(θ(x₁,x₂, ...))).

Em particular, a função expf ou (ef) é um potencial de variação limitada. Para

um dado potencial ϕ, o objeto básico do formalismo termodinâmico são as funções de partição. Uma vez que o espaço de estados pode ser contável, considere a função partiçãoZ_anpara um fixadoa_∈Ique são definidos por

Z_an:=

∑

θn_{(x)=x,x∈[a]} Φ_n(x).

Além disso, referimos a taxa de crescimento exponencial deZ_an, por

PG(θ,ϕ):=lim sup n→∞ log

n

p

Zn

a=lim sup n→∞

1

nlogZ

n a,

como a pressão de Gureviˇc de (Σ_A,θ,ϕ). Essa noção foi introduzida em [18] para cadeias topologicamente misturadora eϕpotencial localmente log-Holder contínua, isto é, logϕ é localmente Holder contínua. No qual apresenta que se(Σ_A,θ,ϕ)é transitiva

e ϕ é uma variação média, argumentos em que combinamos com a decomposição de

θp _{em componentes misturadoras, onde prepresenta o período de(Σ}

A,θ), mostra que

PG(θ,ϕ)é independente da escolha deae que

PG(θ,ϕ) = lim n→∞,Wn

a,a6=/0

1

nlogZ

Além disso, é fácil ver que PG(θ,ϕ) permanece inalterado substituindo a∈W1 com

alguma_∈Wn. Temos também que, se log_ϕ é Hölder contínua e o sistema é

topologi-camente misturadora, então possui um princípio variacional.

Dois objetos básicos para nossa análise são a concepção de medida conforme e medida Gibbs relacionadas com um potencial ϕ. Devido ao fato que a construção canonicamente conduzirá a medidas σ-finitas, faremos uso do seguinte: uma medida de probabilidade borelianaµ σ-finita é chamadaϕ-conformese

µ(θ(A)) =

Z

A

1

ϕdµ

para todo conjunto borelianoAtal queθ_|A é injetiva. Para(w1···wn+1)∈Wn+1 e um

potencial de variação média, então imediatamente segue que

µ([w])_≍Φ_n(x)C_n±1µ(θ([wn])),∀x∈[w]

ou

C_n−1µ(θ([wn+1]))≤

µ([w1. . .wn+1])

Φ_n(x) ≤Cnµ(θ([wn+1])) (4)

para todox_∈[w1···wn+1]. Note que essa estimativa implica que PG(θ,ϕ) =0 é uma

condição necessária para a existência de uma medida conforme com respeito a um po-tencial de variação média. Além disso, a estimativa acima motiva as seguintes definições: seµ(θ([w]))_≍1 (isto é, seµ é finita eθ possui g.i.p) obtemos queµ([w])_≍Φ_n(x), se

adicionarmos que µ é medida de probabilidade, entãoµ éϕ-Gibbs. Ou ainda, assuma que existe uma sequência(Bn:n∈N)comBn≥1 tal que

B−_n1_≤ µ([w])

Φ_n(x) <Bn (5)

para todon_∈N,w_∈Wnex_∈[w]. Se supBn<∞, entãoµ é chamadamedidaϕ-Gibbs,

e se limB1n/n=1, então µ é chamada medida ϕ-Gibbs fraca. A fim de introduzir um

novo objeto básico, o operador de Ruelle, definimos a ação do ramo inverso deτv nas

funções da seguinte forma. Parav_∈Wne f :Σ_A→R, a aplicação

f_◦τv:ΣA→R;x7→χθn_([v])(x)f(τ_v(x)),

que é f_◦τv(x):= f(τv(x))parax∈θn([v])e f◦τv(x):=0 parax∈/θn([v]). Ooperador

de Ruelle, então é definido por

Lϕ(f) =

∑

v∈W

ϕ_◦τv · f◦τv,

onde f :Σ_{A →}C é um elemento de um espaço funcional apropriado tal que a soma

3.2

Extensão por grupo de cadeias de Markov Topológicas

Para introduzir o objeto básico da nossa análise, fixe um grupo enumerável discreto

G e uma aplicação ψ :Σ_A→G tal queψ é constante em [w] para todow_∈W1. Em

seguida, comX :=Σ_A×Gequipado com a topologia de produto, aextensão por grupo ou G-extensão(X,T)de(Σ_A,θ)é definida por

T :X _→X,(x,g)_7→(θx,gψ(x)).

Observe que (X,T) também é uma cadeia de Markov topológica e os conjuntos de

cilíndros são dados por[w,g]:= [w]_{× {}g_}, paraw_∈W∞eg_∈G. Portanto, o conjunto Xgé definido comoXg:=ΣA× {g}e

ψn(x):=ψ(x)ψ(θx)···ψ(θn−1x)

paran_∈Nex_∈Σ_A. Observe queψn:ΣA→Gé constante em cilindros de comprimento

ne, em particular, queψ(w):=ψn(x), para algumx∈[w]ew∈Wn, está bem definida.

Além disso, paraa,b_∈W1en_∈N, considere o conjunto

Gn(a,b):={ψ(w):n∈N,w∈Wn,[a]⊃[w],θn([w])⊃[b]}.

De outro modo,Gn(a,b)consiste nos elementos do grupo associado a palavras de

com-primento n que começam pela letra a e terminam com a letra b. Note que (X,T)

é topologicamente transitivo se, e somente se, para a,b_∈W1,g_∈ G, existe n_∈ N

com g_∈Gn(a,b), e que (X,T)é topologicamente misturadora se, e somente se, para

a,b_∈W1 e g_∈ G, existe N _∈ N (dependendo de _a,b,g) tal que _{g ∈Gn(a,b)} para

todo n >N. Note que a transformação da base (Σ_A,θ) de um grupo por extensão topologicamente transitivo tem que ser topologicamente transitiva, e topologicamente misturadora se a extensão é topologicamente misturadora, respectivamente. Portanto, se (X,T) é topologicamente transitivo, então _{ψ(a): a _∈W1_} é um conjunto

ger-ador para G. Agora, fixe uma cadeia de Markov topológica topologicamente

mis-turadora (Σ_A,θ), e G-extensão topologicamente transitiva (X,T). Fixe um potencial

(positivo) ϕ :Σ_{A →}Rcom _{PG(θ,ϕ) =}0. Note que _ϕ eleva para um potencial ˆ_ϕ em X definindo ˆϕ(x,g):=ϕ(x). Para facilitar a notação, não será feito distinção entre ˆϕ

e ϕ. Além disso, para v_∈W∞, o ramo inverso dado por _[v,·] será denotado por _τv,

que éτv(x,g):= (τv(x),gψ(v)−1). A fim de distinguir entre o operador de Ruelle e as

funções de partição que diz respeito a θ e a T, estes objetos para extensão por grupo

serão escritos em letras caligráficas, isto é, para a_∈W, ξ _∈[a]_{× {}id_}, (η,g)_∈X, e n_∈N

L_(f)(ξ,g):₌

∑

v∈W

ϕ(τv(ξ))f◦τv(ξ,g),

e

Zn

[a,g]:=

∑

3.3

Extensões por grupos amenos

Nesta seção, vamos mostrar que a Pressão de Gureviˇc permanece inalterada em extensão por um grupo ameno. Em particular, será verificado que esta afirmação é verdadeira em condições muito fracas. Iremos utilizar a definição de amenidade como visto no primeiro capítulo, pela condição de Følner (ver 2.9).

Estamos interessados na caracterização da amenidade em termos da Pressão de Gureviˇc de uma extensão por grupo, esta será uma extensão do Teorema 2.3. A fim de obter uma extensão deste resultado para espaços de shift, temos que considerar a extensão por grupo como uma simetria. Diremos que (Σ_A,θ,ψ)é simétrica se existe uma aplicação deW1_→W1,w_7→wpcom as seguintes propriedades:

1) paraw_∈W1,(wp)p=w

2) parav,w_∈W1, a palavra(vw)é admissível se, e somente se(wpvp)é admissível 3) ψ(vp) =ψ(v)−1para todov_∈W1.

Observe que esta noção de simetria pode ser estendido para uma involução de W∞

definindo(w1...wn)p:= (wnp...w₁p).

Referimosϕcomo um potencial fracamente simétrico seϕ é contínua e existe uma sequência(Dn)com limn→∞√nDn=1 tal que, para todon∈New∈Wn,

sup

x∈[w],y∈[wp_] Φ_n(x)

Φ_n(y) ≤Dn.

Se supDn<∞, entãoϕ é referido como um potencial simétrico. Observe que um

po-tencial fracamente simétrico ou simétrico é necessariamente de variação média com respeito aCn:=D2nou de variação limitada, respectivamente.

Como um corolário imediato do teorema de Kesten para o raio espectral do oper-ador de Markov associado a um passeio aleatório simétrico (ver [10] e [9] teorema 5), obtemos o seguinte teorema para extensões por grupo.

Teorema 3.1(Stadlbauer, 2013). Seja T uma extensão por grupo simétrica topologica-mente transitiva de uma cadeia de Markov topológica(Σ_A,θ)topologicamente mistu-radora, potencialϕ fracamente simétrica e PG(θ)finita. Então, PG(T) =PG(θ), se G é

um grupo ameno.

Demonstração. Iremos provar que a amenidade deGimplica quePG(T) =PG(θ). Para

tal, vamos construir uma família de operadores autoadjuntos eml2(G)por extensão por

2) parav_∈W∞, temos queavap é admissível se, e somente se, (avap)p_=avp_ap _é

admissível

3) ψ((avap)p_{) =ψ(ava}p₎−1_.

Assim, paran>_|a_|, vamos definir uma involução (função que é inversa de si própria) ι:W_an_,ap→W_an_,ap,ι(av):=avp. Desde queψ(a) =id, segue queψ(v) =ψ(ιv)−1para todov_∈W_an_,ap.

Dessa forma, assuma que PG(θ) é finito e fixe ξ ∈[ap]. Para n∈N e v∈Wan,ap,

definiremos

π(ξ,v):= 1

2(φn(τv(ξ)) +φn(τiv(ξ))).

Daí, este dá origem a um operadorPn:l2(G)→l2(G)em um espaço de Hilbert

com-plexol2(G)por:

Pn(f)(γ):=

∑

π(ξ,v)f(γψ(v)−1),

onde, para facilitar a notação, o fato que o operadorPn depende deξ é omitido. Note

quePn(1) =Lnϕ(χ[a])(ξ)<∞e, comhf,gi=∑f(γ)g(γ)referindo ao produto interno

padrão, temos_hχγ,Pn(χγ∗)i=hPn(χγ),χγ∗i, paraγ,γ∗ ∈G. Em particular, isto implica quePné um operador autoadjunto.

Combinando _hχγ,Pn(χγ)i=hχid,Pn(χid)i para todo γ ∈G com Pn sendo

autoad-junto, então dado que o raio espectralρndePnsatisfaz (ver, por exemplo [9])

ρn=lim sup k→∞

k

q

hχid,Pnk(χid)i,

e que, sePné um operador positivo, então temos que o lim sup acima é um limite.

É fácil ver quePG(T)≤PG(θ), pois temosZan,g≤Zan, ou seja,

∑

Tn_{(x,g)=(x,g),x∈[a,g]}

φn(x)≤

∑

θn_{(x)=x,x∈[a]}

φn(x),

já que Tn(x,g) = (x,g),x_∈[a,g] pode ser visto como θn_{(x) =x,x∈[a],ψ}

n(x) =id.

Resta mostrar a desigualdade inversa, PG(θ)≤PG(T). Vamos definir uma medida de

probabilidade simétrica emG(ou seja,mn(g) =mn(g−1)) do seguinte modo:

mn(g) =

1

Pn(1)_v∈Wn

∑

π(ξ,v).

A probabilidade está bem definida desde que_|PG(θ)|<∞. Observe que o grupo gerado

pelo suporte de mn é um subgrupo de G, e como por hipótese, G é ameno,

com o caminho aleatório simétrico dado pormnfor igual a _PP_nn₍₁₎(·), teremos pelo teorema

de Kesten que ρ(Pn(·)

Pn(1)) =1, daí, ρ(Pn(·)) =Pn(1) e então ρn=Pn(1). Dessa forma, para provarmos a afirmação (PG(T) =PG(θ), seGé ameno), é suficiente mostrar que

lim sup log(ρn)/n=PG(θ)e depois lim sup log(ρn)/n≤PG(T).

Passo 1: Paran_{≥ |}a_|, temosιw_∈W_an_,ap se, e somente se,w∈W_an_,ap. Por isso,

ρn=Pn(1) =

∑

π(ξ,w) =

_∑

w∈W_an_,ap

1

2(Φn(τw(ξ))+Φn(τιw(ξ))) =_w∈

∑

Φ_n(τw(ξ)).

Escolhak_{≥ |}a_|e v_∈W_ak_,ap. Para n_≥k, a propriedade de variação média deϕ é dada por

ρn=

∑

w∈W_an_,ap

Φ_n(τw(ξ))

≥

∑

w∈Wn

a,ap:(wn−k···wn)=v

Φ_n(τw(ξ))

≥C_k−1_·Z_bn−k_·Φ_k(τv(ξ))·C−_n−1_k

ondeb:= (a_|a|)pparaa= (a1···a_|a|). Então,

lim sup

n→∞

1

nlogρn=lim supn→∞

1

nlog(C

−1

k ·Z n−k

b ·Φk(τv(ξ))·C−

1

n−k)

=lim sup

n→∞

1

n(logC

−1

k +logZ n−k

b +logΦk(τv(ξ)) +logC−_n−1_k)

=lim sup

n→∞

1

nlogZ

n−k b

pois temos que lim sup_n1_nlogCn=0 se, e somente se,√nCn→1. Portanto,

lim sup

n

1

nlogρn=PG(θ).

Passo 2: Paraw_∈W_an_,ap, um potencial simétrico fraco implica que

Φ_n(τw(ξ)) =

Φ_n+|a|(τw(ξ))

Φ_|a|(ξ) = (Cn·Dn+|a|)

±1_φ

n(τιw(ξ)).

Por isso, existe uma sequência(Dˆn), comπ(ξ,v) =Φn(τw(ξ))·Dˆn±

1

e limn→∞ n

p _ˆ

Dn=

1. Por tansitividade, existe l_∈N e_v∈Wl

ap_a com ψ(v) =id. Consequêntemente, por

w1,w2, ...,wk∈Wan,ap, temosw∗:= (w1vw2v...wkv)∈Waak(n+1)e, parax∈[w∗],

Φ_k(n+1)(x)_≥(Dˆn−

1

·inf_{Φ_l(y):y_∈[va]_})k_·

k

∏

i=1

Isso dá origem a seguinte estimativa _hχ_(id),P_nk(χ_(id))_i em termos da função partição Zk(n+1)

a,id com respeito aT como definido acima.

1

kloghχ(id),P

k

n(χid)i=

1

klog_g

∑

1,···,gk∈G:ψ(g1),···ψ(gk)=id

π(g₁)_···π(g_k)

≤ 1

klog

∑

v∈W_apal :ψ(g1),···ψ(gk)=id

Φ_n(τv(g1))···Φn(τv(gk))·Cn±k·Dˆn± k

= 1 klog(Z

nk+kl

[a,id] )±

1

klogCn±

1

klogDn = n

knlogZ

nk+kl

[a,id]

Então,

lim sup

k→∞

1

kloghχid,P

k

n(χid)i ≤lim sup k

n nklogZ

nk+kl

[a,id] .

Daí,

log(ρn)≤lim sup k

n nklogZ

nk+kl

[a,id] ,

logo,

lim sup

n→∞

1

nlog(ρn)≤lim supn

1

nlogZ

nk+kl

[a,id] =PG(T)

Pois, como P_n2 é um operador positivo (_hχid,Pn2(χid)i ≤0) com kPn2k=ρn2, obtemos

tomando o limite parak_→∞,k_∈2Ne então para_n→∞temos o que desejamos

lim sup

n

1

nlogρn≤PG(T).

Portanto, provamos que seGé um grupo ameno, entãoPG(θ) =PG(T).

3.4

O Teorema de Kesten para extensão por grupo

O ingrediente essencial da prova do Teorema 3.1 foi o fato de que uma medida de probabilidade simétrica define um operador simétrico l2(G). Assim, a fim de provar o resultado análogo do resultado de Kesten para extensões por grupos de cadeias de Markov topológicas, resta mostrar que PG(θ) =PG(T)implica amenidade, onde é

in-vetigado o uso da fórmula do raio espectral aplicado a operadores simétricos eml2(G)

como, por exemplo, em [9]. No entanto, o passo fundamental aqui é cuidadosamente analisar um mergulho eml2(G)e usar um argumento baseado na rotundidade uniforme

misturadora. Ou seja, teremos que assumir que a base tem a propriedade g.i.p (grandes imagens e pré-imagens). Como uma primeira consequência da propriedade, obtemos a existencia de um subconjunto finito deW∞com as seguintes propriedades:

Lema 3.2. Seja(X,T)uma extensão por grupo topologicamente transitiva de(Σ_A,θ), donde (Σ_A,θ) tem a propriedade de grandes imagens e pré-imagens (g.i.p). Então, existe n_∈N_{e um subconjunto finito J de W}n_{tal que para cada par(β,β}′_)comβ,β′_∈ Ig.i.pexiste wβ,β′∈J tal que(wβ,β′)∈Wneψn(wβ,β′) =id.

Demonstração. Como T é topologicamente transitiva, temos que existe p_∈N, _p o

período de (X,T) e B1,B2, ...,Bp tal que B1∪˙...∪˙Bp=ΣA e Tp|Bi é topologicamente misturadora comi=1, ...,p(ver [1] proposição 4.2.2). Então, para cadaa_∈W,_∃Na∈N

tal que

Tps([a,g])_⊃[a,g],para todos_≥Naeg∈G.

Por isso, para cada par(β,β′_)∈I2

g.i.p⊂W2com(β′,β)admissível, temosNβ,β′ tal que para cadas_≥N_β,β′ existev_β,β′ ∈Wps−2tal que(β′βv_β,β′β′)é admissível e

ψps(β′βvβ,β′) =id

⇒id=ψ1(β′).ψps−1(βvβ,β′)

⇒id=ψps₋1(βvβ,β′).ψ1(β′)

⇒id=ψps(βvβ,β′β′).

Dado queIg.i.pé finito, segue que existek:=max{pNβ,β′:(β,β′∈Ig.i.p)}tal quevβ,β′ pode ser escolhido para ser um elemento deWk−2. Pela possível inclusão de um número

finito de estados, podemos assumir sem perda de generalidade que o subsistema deΣ_A comIg.i.p é topologicamente misturadora. Segue-se daí que existe alguml∈Ntal que

cada par(β0,βl)∈Ig.i.ppodem ser conectados por uma palavra admissível da forma

w_β0,βl := (β0v_β0,β1β1β2v_β2,β3β3β4...v_βl

Uma consequência da propriedade de grandes imagens e pré-imagens é a existên-cia de uma medida invariante Gibbs. Isto é, se (Σ_A,θ) tem a propriedade de grandes imagens e pré-imagens e o logϕ é Hölder contínua e somável (_kLϕ(1)k∞<∞), então

existe a exp(₋PG(θ,ϕ)).ϕ (µ medida Gibbs) e uma autofunçãoh Hölder-contínua tal

que hdµ é uma medida de probabilidade invariante. Nota-se que (Σ_A,θ) tem a pro-priedade de Gibbs-Markov (ou seja, µ(A) =0_⇔µ(θ−1(A)) =0) e logdµ◦θ

dµ Hölder). A função logh é uniformemente limitada por cima e por baixo, assumiremos a partir

de agora, sem perda de generalidade, quePG(θ,ϕ) =0 eLϕ(1) =1, no qual pode ser verificada facilmente a partir do teorema abaixo de Sarig (ver [19]).

Teorema 3.3. Seja(Σ_A,θ) a cadeia de Markov topológica com a propriedade (g.i.p) e o potencialϕ somável, então existe h_≥0tal que Lϕ(h) =ePG(θ)·h elogh é Hölder

contínua.

Vamos verificar queLϕ(1)(x) =1, ondeϕ∗=e−PG(θ)ϕ_h◦h_θ e pela proposiçãoLϕ(h) =

ePG(θ)·_h.Então,

Lϕ∗(1)(x) =

∑

e−PG(θ)_ϕ(y) h(y)

h(θy).1=e

−PG(θ)

∑

ϕ(y)h(y) h(x)

=e−PG(θ) 1

h(x)_θ

∑

=e−PG(θ) 1

h(x)Lϕ(h)(x)

=e−PG(θ) 1

h(x)e

PG(θ)_{h(x) =}1

Agora, verifiquemos quePG(θ) =0.

SejaZn,ϕ =

∑

ϕn(x) =

∑

θn_x=x,x∈[a]

e−nPG(θ)_ϕ

n(x)

h(x)

h(θn_(x)). Então, paraC:=

sup_x∈ΣAh(x)

PG(θ,ϕ) =lim sup n→∞

1

nlog(Zn,ϕ) =lim sup

1

n(−nPG(θ) +log_θn_x=

∑

ϕn(x)

h(x) h_◦(θn_(x)))

=lim sup1

n(−PG(θ) +log(_θn_x=

∑

ϕn(x).C±2))

=lim sup1

n(−nPG(θ) +log

∑

1

nlog

∑

1

Temos que lim sup1_nlog∑ϕn(x) =PG(θ)e lim supn→∞1n2C=0. Logo

PG(θ,ϕ) =−PG(θ,ϕ) +PG(θ,ϕ) =0,

como queríamos.

A existência da medida µ dá origem à seguinte definição deH₁ eH_∞. Dada uma

função mensurável f :X _→R, _g∈G e _p=1 ou _p=∞, definimos a norma _kfkg_p:₌

kf(.,g)_kp

JfKp:=

r

∑

g∈G

(_kf_kgp)2eHp:={f :X →R;JfKp<∞}.

Portanto, temos o conjunto H_c :_{={f ∈}H : _f é constante em _Xg,∀g∈G} e _ρ :₌

exp(PG(T,ϕ))

Proposição 3.4. Os espaços de funções(H_1,J·K1)e(H_{∞,J·K∞)são espaços de Banach,} os operadoresLk

ϕ :=H∞→H∞são limitados e existe c≥1tal queJLϕkK∞≤c,∀k∈N.

Portanto,Λ_k:=sup(_{JL

k

ϕ(f)K1

JfK1 ;f ≥0,f ∈Hc})≤1elim supk→∞(Λk) 1

k ≥ρ

Demonstração. Primeiro, vamos mostrar que os espaços de funções(H_p,J.Kp)são

es-paços de Banach lembrando queH_p:_={f :_{X →}R:_JfKp<∞}.

i) H_pé um espaço vetorial:

a) 0_∈H_p

b) JλfKp=

q

∑_g∈G(_kλf_kgp)2=

q

|λ_|2∑_g∈G(_kf_kgp)2=|λ|

q

∑_g∈G(_kf_kgp)2<∞

com f _∈H_p

c) Jf+hKp=

q

∑g_∈G(kf +hkgp)2≤

q

∑g_∈G(kfkgp+khkgp)2<∞com f,h∈Hp

ii) H_pé normado:

a) JλfKp =0⇒ kkfkgpkl2(G) =0⇒ kfk

g

p=0∀g∈G, por l2(G) ser normado

⇒ f_|Xg=0 quase todo ponto (q.t.p), porL

p_(µ)

b) JλfKp=|λ|JfKp

c) Jf +hKp=kkf+hkgpkl2(G)≤ kkfk

g

p+khkgpkl2(G)≤JfKp+JhKp

iii) H_{p é completo: Seja(fn)uma sequência de Cauchy em}H_{p, então comol}2_(G)é

um espaço de Banach, faz-se um mergulho desta norma eml2(G), e então temos