Teoria dos
Números
Divisibilidade
1
Conhecimentos prévios
Sistemas de Numeração
Representação de números em uma base
Visto em INFO I
Números Naturais e Inteiros
Propriedades básicas
Valor absoluto
Sistemas de Numeração
Teorema: Dado um número natural x e um natural b > 1, existe e é única a representação de a na base b.
Representação em uma base
x = dndn−1… d1d0
x = dn. bn+ dn−1. bn−1+ ⋯ + d1. b1+ d0. b0 Usual – base 10 (sistema decimal) (1022)3= 35
Exemplos de Indução
Mostre que:
1. 1 + 2 + 3 + ... + n = ½(n(n+1))
2. Seja A = 1 1
0 1 . Calcule A2 e A3 para
determinar uma possível fórmula para
An, n ∈ IN. Demonstre a fórmula obtida por indução.
3. 2n< n! , para todo n ≥ 4, n ∈ IN
Um pouco de história
Euclides de Alexandria (aprox. 325 – 265 a.C.)
Os elementos– 13 volumes
Livros VII, VIII e IX eram sobre Teoria dos Números
Utilização de segmentos de reta representando números
Relações de múltiplos e divisores dadas por medidas de segmentos de acordo com unidade padrão ‘u’
Interesse em estudar relações entre os números que não dividiam outros
Divisão Euclidiana
Definição: Dados os números naturais a e b, dizemos que a é de b, se existe um número natural n tal que a = nb.
Motivação geométrica:
Sejam a e b números naturais. Dispondo os múltiplos naturais de b numa semirreta, obtemos uma divisão desta em intervalos de comprimento
Divisão Euclidiana
Duas possibilidades para a:
a é múltiplo de b
a = qb, q IN
a está compreendido entre dois múltiplos de b
Como a distância de a até qb é menor que a distância entre dois múltiplos de b (menor que b), temos:
a = qb + r, com r < b r
Lema da Divisão de Euclides
Sejam a e b números naturais, com b > 0. Então, existem números naturais q e r, com 0 r < b, de modo que a = qb + r.
Demonstração – Indução sobre a
Conceito de múltiplo e o Lema de Euclides podem ser estendidos para os inteiros
Lema: Sejam a e b inteiros com b 0. Então existem inteiros q e r, com 0 r < |b|, tais que
a = qb + r. Além disso, são únicos os inteiros q e r satisfazendo essas condições.
Demonstração
4 Casos:
1. a ≥ 0 e b > 0 (para IN) 2. a ≥ 0 e b < 0
3. a < 0 e b > 0 4. a < 0 e b < 0
Caso 1: Indução sobre a
Se a = 0, escolhemos q = r = 0, obtendo 0 = 0.b + 0
Seja então a > 0
Suponha, por indução, que o lema vale para (a – 1)
Demonstração
Demonstração - Unicidade
Suponha que existam dois pares (q’,r’) e (q”,r”) satisfazendo o Lema, i. é.:
a = q’.b + r’ (0 r’ < b)
a = q”.b + r” (0 r” < b) q’.b + r’ = q”.b = r”
Demonstração
Caso 4 (a < 0 e b < 0): (os demais são exercícios)
Como a < 0 e b < 0, temos –a > 0, –b > 0 e |b| = -b
Definição
Definição: Sejam
a, b ∈ ℤ,
dizemos que
se
∃ c ∈ ℤ
tal que
b = a. c
Notação:
a|b
Exemplos:
3|6, pois 6 =
2
.3 (existe 2)
2|p, para todo p par, pois p = 2n para
algum n em
ℤ
Se a|b, dizemos que a é divisor de b
Analogamente dizemos que b é múltiplo de a
Conforme definição anterior
Proposição
Proposição 1: Sejam a, b, c, x, y ∈ ℤ. Então: i) a|a
ii) a|b e b|a a = ±b iii) a|b e b|c a|c iv) a|b (-a)|b e a|(-b)
v) a|b e a|c a|(bx + cy)(em particular a|(b+c)) vi) a|b a|bx e ax|bx
Demonstração
Demonstração
Critérios de Divisibilidade
Por 2:
Um número natural a é divisível por 2 se, e somente se, o algarismo das unidades for divisível por 2
D]
Demonstração - continuação
Critérios de Divisibilidade
Por 9:
Um número natural a é divisível por 9 se, e somente se, a soma de seus algarismos for divisível por 9
D] (exercício)
Precisa antes mostrar que 10j= 9bj+ 1(onde bj é um inteiro positivo).
Critérios de Divisibilidade
Por 11:
Um número natural
𝑥 = 𝑑
𝑛𝑑
𝑛−1… 𝑑
1𝑑
0é
divisível por 11 se, e somente se, a soma
alternada de seus algarismos
𝑑
0− 𝑑
1+
𝑑
2− … + (−1)
𝑛𝑑
𝑛for divisível por 11
D] Para todo j temos:
10j= (11 − 1)j= 11cj+ −1 j , cj∈ ℤ
(provar em separado – exercício)
Demonstração
Temos que:
x = dn(11cn+ (−1)n) + ⋯ + d2(11c2+ (−1)2) + d1(11c1+ (−1)1) + d0=
= 11 dncn+ ⋯ + d2c2+ d1c1 + (d0− d1+ d2− ⋯ + −1)ndn =
= 11c + d0− d1+ d2− ⋯ + (−1)ndn
Portanto 11|x se, e somente se, 11|(d0− d1+ d2− ⋯ + −1 ndn)
De acordo com a Proposição 1, item v
Máximo Divisor Comum - MDC
Definição: Sejam a,b
∈ ℤ
, d
∈ ℤ
é um
para a e b
se:
i)
d|a e d|b
ii)
Se
d’
∈ ℤ
,
d’|a
e
d”|b
, então
d’|d
Ex.:
Resultados Importantes
Sejam a,b∈ ℤ, d∈ ℤ
tal que:
i. d|a e d|b
ii. Existem inteiros x,y tais que d = ax + by Então d é um máximo divisor comum para a e b.
D]
Basta mostra a condição (ii) da definição de MDC. Seja d′ ∈ ℤ tal que d′|a e d′|b
Pela Proposição 1, item (v) d′|(ax + by), isto é,
d′|d
Logo d é um máximo divisor comum para a e b.
Resultados Importantes
Sejam
a, b ∈ ℤ
. Então
a
e
b
possuem um máximo divisor
comum
d.
Além disso, existem
inteiros
x, y
tais que
d = ax + by
. Se
d ≥ 0,
então
d
é único.
Notação: d = (a,b) ou d = MDC(a,b)
d = máximo divisor comum de a e b (d ≥ 0)
Existência e Unicidade do MDC
D] do Teorema - Existência
Se a = b = 0 então 0 é um máximo divisor comum para a e b. Podemos supor então que a ou b é diferente de 0. (a ≠ 0).
Seja S = m ∈ ℕ; m = ax + by; x, y ∈ ℤ . S ≠ ∅ pois ou
a ∈ S (se a > 0) ou −a ∈ S se a < 0 .
Fazendo y = 0 e x = 1 ou x = −1
Seja d o menor elemento de S. d = ax + by
Pelo algoritmo da divisão existem inteiros q e r tal que a = dq + r com 0 ≤ r < d. Se r ≠ 0, então
r = a − dq = a − ax + by q = a 1 − xq − byq ⇒ r ∈ S.
Contradição pois d é o menor elemento de S e r < d. Logo r = 0 e d|a. Do mesmo jeito, mostramos que d|b. Logo d é um MDCpara a e b.
D] do Teorema - Unicidade
d ≥ 0
Se
d e d
1são dois MDC com
d, d
1≥ 0.
Então como
d
é MDC
⇒ d
1|d
Então como
d
1é MDC
⇒ d|d
1
Então
d = ±d
1
Com
d, d
1≥ 0
, temos com
d = d
1Algoritmo de Euclides para MDC
MDC(a,b):
𝑎 = 𝑏𝑞1+ 𝑟1
𝑏 = 𝑟1𝑞2+ 𝑟2 𝑟2< 𝑟1< 𝑏
𝑟1= 𝑟2𝑞3+ 𝑟3 ... ...
𝑟𝑛−2= 𝑟𝑛−1𝑞𝑛+ 𝑟𝑛 𝑟𝑛≠ 0
𝑟𝑛−1= 𝑟𝑛𝑞𝑛+1 𝑟𝑛= 𝑎, 𝑏 Quociente
Resto
1 1 2
10 6 4 2 4 2 0
Resposta: MDC de 10 𝑒 6 = 2 Até o resto
chegar a zero
Exercícios
1.
Para os inteiros a, b e c, prove ou dê um
contraexemplo:
a)
Se ac|bc, então a|b
b)
Se a|b e a|c, então a|(b-c)
c)
Se c|(a+b), então c|a ou c|b
d)
Se a|b, então a|bx para todo x inteiro
e)
Se c|ab, então c|a ou c|b
2.
Provar que o algoritmo de Euclides para
calcular o MDC é válido (use indução).
Referências
FERNANDES, Ângela Maria Vidigal; [et al]
Fundamentos de Álgebra. Belo Horizonte.
Editora UFMG, 2009