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Um pouco de hist´
oria
In´ıcio da Probabilidade: 1654 com a troca de cartas entre Pascal e Fermat sobre o Problema dos Pontos colocado para Pascal por Chevalier de M´er´e.
A e B jogam dados, vamos supor que A ganha 1 ponto quando o resultado pertence ao conjunto {1, 2} enquanto B ganha 1 ponto quando o resultado pertence ao conjunto {3, 4, 5, 6}. Se A precisa de n pontos para ganhar e B necessita m pontos para ganhar. Qual a probabilidade que A ganhe o jogo?
O primeiro estudo sistem´atico de como calcular probabilidades apareceu no livro Liber de Ludo Aleae, publicado em 1663, pelo m´edico italiano ( e tamb´em matem´atico, f´ısico e astr´ologo ) Girolamo Cardano ( 1501 - 1576 ).
Devido a sua fama na ´epoca, Cardano foi convidado para fazer o hor´oscopo de Eduardo VI. Prognosticou-lhe longa vida. O rei morreu no ano seguinte. Por outro lado Cardano previu o dia exato de sua morte e acertou. Muitos dizem que cometeu suic´ıdio para tornar realidade esta previs˜ao. O conhecimento de como calcular probabilidades circulou entre matem´aticos tais como Galileu ( 1564 - 1642 ) e depois passou da It´alia para a Fran¸ca com Fermat e Pascal.
Em 1654 Fermat e Pascal trocam correspondˆencias sobre o problema dos pontos: Dois jogadores, aos quais faltam a e b pontos, respectivamente, decidem interromper o jogo. Como as apostas devem ser divididas?
A solu¸c˜ao de Pascal pode ser exemplificada da seguinte maneira: Suponha que o primeiro jogador a obter 3 pontos vence a aposta em que cada um colocou 32 moedas de ouro.
Suponhamos que o primeiro j´a tenha vencido duas partidas e o segundo apenas uma. Como na partida seguinte o jogador A pode vir a vencer ( ganhando todas as 64 moedas ) ou perder ( ficando ambos empatados ), A dir´a: Estou seguro de receber 32 moedas caso seja derrotado na pr´oxima, mas posso vir a ganhar e como as nossas chances s˜ao as mesmas, vamos dividir as 32 restantes. Portanto parando agora, levo 48 ( = 32 + 16 ) moedas e vocˆe 16.
Na situa¸c˜ao em que o primeiro tenha ganho duas partidas e o outro nenhuma, o racioc´ınio acima levaria `a seguinte conclus˜ao: Caso o jogador A ven¸ca a pr´oxima partida leva 64 moedas, e na hip´otese de perder, temos a situa¸c˜ao anterior, levando portanto 48 moedas. Desta forma A dir´a: 48 est˜ao
asseguradas e portanto dividimos as restantes 16 moedas, isto ´e, levo 56 ( = 48 + 8 ) moedas ... Na situa¸c˜ao em que o jogador A venceu uma partida e o jogador B nenhuma, este racioc´ınio levaria o oponente A a ficar com 44 moedas ! ( se perder faz juz a 32, mas se ganhar faz juz a 56. Portanto, 32 asseguradas e divide 24 ( = 56-32 ) ao meio, isto ´e 12 + 32 = 44 ).
Pascal prossegue neste racioc´ınio e o estende para situa¸c˜oes mais complicadas, bem como para o caso de jogadores com habilidades distintas, e portanto com chances desiguais. Sua solu¸c˜ao faz uso do famoso triˆangulo de Pascal.
Fermat procedeu de outra maneira. Numa carta a Pascal desenvolve seu m´etodo, que repousa em considera¸c˜oes sobre a an´alise combinat´oria. Vamos exemplificar: Suponha que o jogador A venceu uma partida e o jogador B nenhuma. Ap´os quatro partidas o jogo estar´a fatalmente encerrado, pois um dos dois oponentes ter´a os trˆes pontos necess´arios. Indicando por a uma partida vencida por A e por b a partida vencida por B, ter´ıamos as seguinte poss´ıveis situa¸c˜oes:
1- a aaaa 9- a baaa 2- a aaab 10-a baab 3- a aaba 11-a baba 4- a aabb 12-a babb 5- a abaa 13-a bbaa 6- a abab 14-a bbab 7- a abba 15-a bbba 8- a abbb 16-a bbbb
Neste caso existem 11 favor´aveis para o jogador A e 5 para o jogador B do total de 16 poss´ıveis. ( Note que 11 ¸ 16 = 0,6875 , e que 0,6875 X 64 = 44 moedas ). ( Ou que 20 ¸ 44 = 5 ¸ 11 ).
Portanto as duas solu¸c˜oes ( Pascal e Fermat ) s˜ao as mesmas.
Este problema interessou a Huygens ( 1629 - 1695 ) que iniciou o estudo propriamente dito da Teoria das Probabilidades e incentivou Jacques Bernoulli ( 1654 - 1705 ) a publicar o Teorema Central do Limite ( Teorema de Ouro ).
N˜ao ´e muito freq¨uˆente o fato de um filho herdar do pai um talento fora do comum, mas mais estranho ´e o aparecimento de uma dinastia de s´abios, que ocuparam um lugar de destaque na hist´oria da ciˆencia.
Este ´e o caso da fam´ılia dos Bernoulli.
Um grande matem´atico ( Leibnitz ) em uma carta a Jo˜ao I Bernoulli chegou a criar um verbo para se referir a ocupa¸c˜ao matem´atica dos membros desta estirpe : Alegra-me saber que teu filho bernoulliza, mantendo assim a tradi¸c˜ao da fam´ılia.
resultados s˜ao introduzidos.
Suas id´eias dominaram durante todo o s´eculo 19. Rapidamente as id´eias foram sendo aplicadas em ´areas tais como finan¸cas p´ublicas, seguros e diversas ´areas sociais.
A partir da metade do s´eculo 19, gradualmente se tornaram parte da teoria f´ısica, primeiramente nos estudos da teoria de transferˆencia de calor e depois com Maxwell que utilizou o c´alculo de probabilidade em 1860 para deduzir a lei dos gases a partir da posi¸c˜ao e das velocidades das mol´eculas. Boltzmann em 1877 utilizou a id´eia de distribui¸c˜ao de probabilidade de energias das mol´eculas para interpretar a quest˜ao de irreversibilidade na Termodinˆamica.
O surgimento da mecˆanica quˆantica apoiada pela teoria da radia¸c˜ao colocada sobre bases pro-babil´ısticas por Max Plack em 1900 permitiu que a probabilidade invadisse a teoria atˆomica e seus conceitos se tornassem fundamentais para a ciˆencia moderna.
Neste per´ıodo, in´ıcio do s´eculo 20, principalmente as contribui¸c˜oes de matem´aticos russos, permi-tiram a formaliza¸c˜ao assim como o avan¸co no estudo da Teoria da Probabilidade, em particular do problema central do limite e das cadeias de Markov. Considera¸c˜oes sobre os fundamentos, aplica¸c˜oes `
a economia e sociologia foram feitos por Bertrand Russel, Keynes e Pareto, respectivamente.
A conex˜ao estreita entre matem´atica e a probabilidade foi iniciada por Emile Borel, sua liga¸c˜ao com teoria dos jogos sedimentada por Von Neumann em 1928 e assim por diante...
2
An´
alise Combinat´
oria
Exemplo Sistema de comunica¸c˜ao n antenas alinhadas
Funcional: a menos que duas antenas consecutivas estejam com defeito
Se m antenas s˜ao defeituosas e as antenas s˜ao arrumadas ao acaso, qual a probabilidade do sistema ser funcional?
2.1
Princ´ıpio b´
asico da contagem:
• 2 experimentos:
1. Experimento 1: m resultados 2. Experimento 2: n resultados
• Total: m.n formas de realizar experimento 1 seguido de experimento 2
Proof. E1 = {1, 2, . . . , m}, E2 = {1, 2, . . . , n}, E1× E2 = {(1, 1), (1, 2), . . . , (m, n)}
Exemplo 2
• Depto Estat´ıstica: 18 docentes • Depto Mat. Aplicada: 43 docentes • Depto Matem´atica: 64 docentes
Comiss˜ao com 3 docentes, um de cada departamento:
18 . 43 . 64 = 49536 Exemplo 2
• Placas antigas: 2 letras e 4 n´umeros • Placas atuais: 3 letras e 4 n´umeros
26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 6.760.000
26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175.760.000
Exemplo 4 Seja A um conjunto com n pontos. Quantas fun¸c˜oes f : A → {0, 1} podem ser definidas?
2 . 2 . 2 . . . 2 = 2n
Seja P(A) = conjunto de todos os subconjuntos de A. Da´ı, |P(A)| = 2n . Por que?
2.2
Permuta¸
c˜
oes
A = {1, 2, . . . , n}
π : A → A; tal que π(i) 6= π(j), i 6= j quantas permuta¸c˜oes s˜ao poss´ıveis? n!
Exemplo 5: Temos 11 livros • 4 matem´atica
• 3 qu´ımica • 2 hist´oria • 2 inglˆes
Todos os livros do mesmo assunto juntos: 4! (4!.3!.2!.2!) = 13824
Exemplo 6: Anagramas • PIMENTA: 7! = 5040 • ESTATISTICA:
11!
2.3
Combina¸
c˜
oes
Conjunto: n objetos Subconjunto: k objetos n k E.g.: n = 5, k = 3 5 . 4 . 3 Mas {1, 2, 3} = {3, 2, 1} No. permuta¸c˜oes = 3!
5.4.3 3! = 5! 2!3! = 5 3
exemplo 7: Comite com 7 professores MAP 43 7
exemplo 8: Comite com 4 professores MAP e 3 Estatistica 43 7 + 18 3
E se Ronaldo e Nancy n˜ao querem participar juntos?
2 0 16 3 + 2 1 16 2
nem Ronaldo e nem Nancy Ronaldo, mas n˜ao Nancy ou Nancy e n˜ao Ronaldo
Exemplo Antenas funcionais: n antenas sendo m defeituosas ( = 0) e n − m n˜ao defeituosas (= 1)
∧ : poss´ıveis loca¸c˜oes para as m defeituosas. n − m + 1 m Identidade: n r = n − 1 r − 1 + n − 1 r
(Fixe um dos objetos, no lado direito da equa¸c˜ao temos o n´umero de subconjuntos de tamanho r que cont´em o objeto fixado mais o n´umero de subconjuntos de tamanho r que n˜ao cont´em o objeto fixado.
Teorema binomial: (x + y)n= n X k=0 n k xkyn−k
Prova: Por indu¸c˜ao.
2.4
Coeficientes multinomiais
Conjunto: n objetos Subconjuntos: k1 objetos, k2 objetos, . . ., kr objetos
n k1 n − k1 k2 n − k1− k2 k3 . . . n − k1− . . . − kr−1 kr = n! k1!k2! . . . kr! Nota¸c˜ao : n k1, . . . , kr
Exemplo: O time de basktball do IMECC tem 10 jogadores, entretanto precisamos dividi-los em dois times A e B pois time A vai jogar em SP e time B vai jogar em Limeira. Quantas divis˜oes s˜ao poss´ıveis?
10! 5!5!
Exemplo: O time de basktball do IMECC tem 10 jogadores, entretanto precisamos dividi-los em dois times A e B para jogarem entre si. Quantas divis˜oes s˜ao poss´ıveis?
10! 5!5!2!
Teorema multinomial: (x1+ x2+ . . . + xr)n = X (k1,...,kr);k1+...+kr=n n k1, . . . , kr x k1 1 x k2 2 . . . xkrr
2.5
Distribui¸
c˜
ao de bolas em urnas
Proposi¸c˜ao: O n´umero de solu¸c˜oes inteiras positivas para a equa¸c˜ao x1+ x2 + . . . + xr = n:
n − 1 r − 1 0 ∧ 0 ∧ 0 ∧ . . . ∧ 0
Temos n objetos simbolizados por 0 e temos que escolher r − 1 dos espa¸cos ∧.
Suponha n = 8 e r = 3, temos que escolher dois divisores como abaixo: 000|000|00
Proposi¸c˜ao: O n´umero de solu¸c˜oes inteiras n˜ao negativas para a equa¸c˜ao x1+ x2+ . . . + xr = n:
n + r − 1 r − 1 Seja yi = xi+ 1, i = 1, . . . , r.
Exemplo: Um investidor tem 20 mil reais para distribuir entre 4 poss´ıveis investimentos. Cada investimento deve ser feito em cotas de mil reais. Quantas estrat´egias pos´ıveis?
23
3
= 1771 se ele investir todo o dinheiro
24
Exemplo: Antenas funcionais: n antenas sendo m defeituosas ( = 0) e n − m n˜ao defeituosas (= 1)
∧ 1 ∧ 1 ∧ 1 ∧ . . . ∧ 1 ∧ n − m + 1 loca¸c˜oes ∧ : poss´ıveis loca¸c˜oes para as m defeituosas.
n − m + 1 m
Objetivo: Determinar quantos destes arranjos lineares n˜ao cont´em antenas defeituosas consecu-tivas.
Imagine primeiramente que as antenas defeituosas foram alinhadas sequencialmente e que depois disso as antenas funcionais v˜ao ser alocadas.
x1: no. de antenas n˜ao defeituosas antes da primeira defeituosa, etc.
x1+ . . . + xm = n − m, x1 ≥ 0, xm+1 ≥ 0, xi > 0 Seja y1 = x1+ 1, etc. .. y1 + . . . + ym+1 = n − m + 2 n − m + 1 m
