Segunda Lista de Calculo II
1-) Desenhe as curvas a seguir, dê suas derivadas e a equação da reta tangente em t =2 em cada uma delas
(considere sen2 = 0,9 e cos2 = – 0,4):
a)
γ
(t) = (1,t,1)
b)
γ
(t) = (t,t,1)
c)
γ
(t) =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
t
t
t
,
,
1
, t>0
d)
γ
(t) = (t, sen t, cos t)
e)
γ
(t) = (sen t, sen t, t), t
≥
0
2-) Determine o dominio das seguintes funções:
a)
γ
(t) = (ln t, t,
1
−
t
²
,
t
²
)
b)
f(x,y) =
y
−
x
²
+
2
x
−
y
c)
f(x,y) = z , onde z
²
+ 4 = x
²
+ y
²
e z
≥
0
3-) Desenhe as curvas de nível das funções z = f(x,y):
a)
z =
1
−
x
y
b)
z = 1 – x
²
– y
²
c)
z = xy
d)
z =
y
x
y
x
+
−
e)
z =
x
²
+
y
²
4-) Mostre que as seguintes funções são limitadas e dê os limitantes:
a)
f(x,y) =
²
²
²
y
x
x
+
b)
f(x,y) =
²
²
y
x
x
+
c)
f(x,y) = sen( x
²
+1)
5-) Calcule
lim
(
,
)
) 0 , 0 ( ) ,
(xy→
f
x
y
, se existir. Senão mostre que não existe, onde:
a)
f(x,y) = e
x² + 2yb)
f(x,y) = xy + 2x – 3y
²
+ 4
c)
f(x,y) =
²
²
y
x
d)
f(x,y) =
4 2
2
y
x
xy
+
e)
f(x,y) =
²
²
²
3
y
x
y
x
+
f)
f(x,y) =
²
²
²
)
²
(
y
x
y
x
sen
+
+
6-) Verifique se a função f(x,y) =
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
≠
+
+
)
0
,
0
(
)
,
(
,
0
)
0
,
0
(
)
,
(
,
²
²
²
)
²
(
y
x
se
y
x
se
y
x
y
x
sen
é contínua em (0,0)
7-) Calcule as derivadas parciais em cada uma das funções a seguir:
a)
f
(
x
,
y
)
=
5
x
4y
²
+
xy
³
+
4
b) z = cos xy
c)
²
²
²
³
y
x
y
x
z
+
+
=
d)
(
,
)
x² y²e
y
x
f
=
− −e) z = x
²
ln (1 + x
²
+ y
²
)
f)
xyxye
z
=
g) f (x,y) = ( 4xy – 3y
³
)
³
+ 5x
²
y
h) z = arc tg
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
y
x
i)
yx
y
x
g
(
,
)
=
j) (x
²
+ y
²
) ln (x
²
+ y
²
)
l)
f
(
x
,
y
)
=
3x
³
+
y
²
+
3
m)
²
)
²
cos(
.
y
x
seny
x
z
+
=
8-) Considere
²
²
²
y
x
xy
z
+
=
. Verifique que :
y
z
y
x
z
x
∂
∂
+
∂
∂
= z
9-) Seja
φ
:
IR
→
IR
uma função de uma variável real, diferenciável e tal que
φ
’(1) = 4. Seja
g (x,y) =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
y
x
a)
x
g
∂
∂
(1, 1) b)
y
g
∂
∂
(1, 1)
10-) Seja g (x,y) =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
y
x
φ
a função do exercício anterior. Verifique que:
=
0
∂
∂
+
∂
∂
y
g
y
x
g
x
,
para todo (x, y) ∈
IR
²
tal que
y
≠
0
11-) Considere a função w =xy + z
4, onde z = z(x,y) . Admita que
4
1 1=
∂
∂
= = y x
x
z
e que z = 1 para x = 1 e
y = 1. Calcule
1 1 = =
∂
∂
y x
x
w
.
12-) Seja
f
(
x
,
y
)
=
x
³
+
y
²
−
6
xy
+
φ
(
y
)
. Determine uma função
φ
de modo que:
1
²
6
³
2
+
+
−
=
∂
∂
y
y
x
y
x
y
f
13-) Determine uma função f (x, y) tal que:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
+
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
1
²
6
³
2
6
²
²
3
y
y
x
y
x
y
f
y
y
x
x
f
14-) Seja f (x, y) = x
²
+ y
²
e seja γ
(t) = ( t, t, z(t)) , t ∈ IR, uma curva cuja imagem está contida no gráfico
de f:
a)
Determine z(t)
b)
Esboce os gráficos de f e
γ
c)
Determine a reta tangente a
γ
no ponto (1, 1, 2).
d)
Seja T a reta do item c, mostre que T está contida no plano de equação:
)
1
).(
1
,
1
(
)
1
).(
1
,
1
(
)
1
,
1
(
−
∂
∂
+
−
∂
∂
=
−
y
y
f
x
x
f
f
z
15-) Dizemos que (x
o, y
o) é um ponto crítico ( ou estacionário) de z = f (x, y) se
(
0,
0)
=
0
∂
∂
y
x
x
f
e
0
)
,
(
0 0=
∂
∂
y
x
y
f
. Determine (caso existam) os pontos críticos da função dada:
a)
f (x, y) = x
²
+ y
²
b)
f (x, y) = 2x + y
³
c)
f (x, y) = x
²
– 2xy + 3y
²
+ x – y
d)
f (x, y) = x
4+ 4xy + y
416-) Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado:
a)
f (x, y) = 2x
²
y em (1, 1, f (1, 1))
b)
f (x, y) = x
²
+ y
²
em (0, 1, f (0, 1))
c)
f (x, y) = 3x
³
y – xy em (1, –1, f (1, –1))
d)
f (x, y) = x.e
x² - y²em (2, 2, f (2, 2))
17-) Calcule a diferencial de cada função:
a)
z = x
³
y
²
b)
z = x.arc tg (x + 2y)
c)
z = sen xy
d)
u =
s² t²e
−e)
T = ln (1 + p
²
+ V
²
)
f)
x = arc sen uv
18-) Seja
x² y²xe
z
=
−.
a) Calcule o valor aproximado para a variação
Δzem z, quando se passa de x = 1 e y = 1 para
x = 1,01 e y = 1,002.
b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1,01 e y = 1,002.
19-) Calcule
dt
dz
quando z = sen (xy), x = 3t e y = t
²
20-) Seja g(t) = f (3t, 2t
²
– 1) , calcule g’(0) admitindo
x
f
∂
∂
(0, – 1) =
3 1