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11-) Considere a função w =xy + z

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Academic year: 2019

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(1)

Segunda Lista de Calculo II

1-) Desenhe as curvas a seguir, dê suas derivadas e a equação da reta tangente em t =2 em cada uma delas

(considere sen2 = 0,9 e cos2 = – 0,4):

a)

γ

(t) = (1,t,1)

b)

γ

(t) = (t,t,1)

c)

γ

(t) =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

t

t

t

,

,

1

, t>0

d)

γ

(t) = (t, sen t, cos t)

e)

γ

(t) = (sen t, sen t, t), t

0

2-) Determine o dominio das seguintes funções:

a)

γ

(t) = (ln t, t,

1

t

²

,

t

²

)

b)

f(x,y) =

y

x

²

+

2

x

y

c)

f(x,y) = z , onde z

²

+ 4 = x

²

+ y

²

e z

0

3-) Desenhe as curvas de nível das funções z = f(x,y):

a)

z =

1

x

y

b)

z = 1 – x

²

– y

²

c)

z = xy

d)

z =

y

x

y

x

+

e)

z =

x

²

+

y

²

4-) Mostre que as seguintes funções são limitadas e dê os limitantes:

a)

f(x,y) =

²

²

²

y

x

x

+

b)

f(x,y) =

²

²

y

x

x

+

c)

f(x,y) = sen( x

²

+1)

5-) Calcule

lim

(

,

)

) 0 , 0 ( ) ,

(xy

f

x

y

, se existir. Senão mostre que não existe, onde:

a)

f(x,y) = e

x² + 2y

b)

f(x,y) = xy + 2x – 3y

²

+ 4

c)

f(x,y) =

²

²

y

x

(2)

d)

f(x,y) =

4 2

2

y

x

xy

+

e)

f(x,y) =

²

²

²

3

y

x

y

x

+

f)

f(x,y) =

²

²

²

)

²

(

y

x

y

x

sen

+

+

6-) Verifique se a função f(x,y) =

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

+

+

)

0

,

0

(

)

,

(

,

0

)

0

,

0

(

)

,

(

,

²

²

²

)

²

(

y

x

se

y

x

se

y

x

y

x

sen

é contínua em (0,0)

7-) Calcule as derivadas parciais em cada uma das funções a seguir:

a)

f

(

x

,

y

)

=

5

x

4

y

²

+

xy

³

+

4

b) z = cos xy

c)

²

²

²

³

y

x

y

x

z

+

+

=

d)

(

,

)

x² y²

e

y

x

f

=

− −

e) z = x

²

ln (1 + x

²

+ y

²

)

f)

xy

xye

z

=

g) f (x,y) = ( 4xy – 3y

³

)

³

+ 5x

²

y

h) z = arc tg

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

y

x

i)

y

x

y

x

g

(

,

)

=

j) (x

²

+ y

²

) ln (x

²

+ y

²

)

l)

f

(

x

,

y

)

=

3

x

³

+

y

²

+

3

m)

²

)

²

cos(

.

y

x

seny

x

z

+

=

8-) Considere

²

²

²

y

x

xy

z

+

=

. Verifique que :

y

z

y

x

z

x

+

= z

9-) Seja

φ

:

IR

IR

uma função de uma variável real, diferenciável e tal que

φ

’(1) = 4. Seja

g (x,y) =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

y

x

(3)

a)

x

g

(1, 1) b)

y

g

(1, 1)

10-) Seja g (x,y) =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

y

x

φ

a função do exercício anterior. Verifique que:

=

0

+

y

g

y

x

g

x

,

para todo (x, y) ∈

IR

²

tal que

y

0

11-) Considere a função w =xy + z

4

, onde z = z(x,y) . Admita que

4

1 1

=

= = y x

x

z

e que z = 1 para x = 1 e

y = 1. Calcule

1 1 = =

y x

x

w

.

12-) Seja

f

(

x

,

y

)

=

x

³

+

y

²

6

xy

+

φ

(

y

)

. Determine uma função

φ

de modo que:

1

²

6

³

2

+

+

=

y

y

x

y

x

y

f

13-) Determine uma função f (x, y) tal que:

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

+

+

=

=

1

²

6

³

2

6

²

²

3

y

y

x

y

x

y

f

y

y

x

x

f

14-) Seja f (x, y) = x

²

+ y

²

e seja γ

(t) = ( t, t, z(t)) , t ∈ IR, uma curva cuja imagem está contida no gráfico

de f:

a)

Determine z(t)

b)

Esboce os gráficos de f e

γ

c)

Determine a reta tangente a

γ

no ponto (1, 1, 2).

d)

Seja T a reta do item c, mostre que T está contida no plano de equação:

)

1

).(

1

,

1

(

)

1

).(

1

,

1

(

)

1

,

1

(

+

=

y

y

f

x

x

f

f

z

15-) Dizemos que (x

o

, y

o

) é um ponto crítico ( ou estacionário) de z = f (x, y) se

(

0

,

0

)

=

0

y

x

x

f

e

0

)

,

(

0 0

=

y

x

y

f

. Determine (caso existam) os pontos críticos da função dada:

a)

f (x, y) = x

²

+ y

²

b)

f (x, y) = 2x + y

³

c)

f (x, y) = x

²

– 2xy + 3y

²

+ x – y

d)

f (x, y) = x

4

+ 4xy + y

4

(4)

16-) Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado:

a)

f (x, y) = 2x

²

y em (1, 1, f (1, 1))

b)

f (x, y) = x

²

+ y

²

em (0, 1, f (0, 1))

c)

f (x, y) = 3x

³

y – xy em (1, –1, f (1, –1))

d)

f (x, y) = x.e

x² - y²

em (2, 2, f (2, 2))

17-) Calcule a diferencial de cada função:

a)

z = x

³

y

²

b)

z = x.arc tg (x + 2y)

c)

z = sen xy

d)

u =

s² t²

e

e)

T = ln (1 + p

²

+ V

²

)

f)

x = arc sen uv

18-) Seja

x² y²

xe

z

=

.

a) Calcule o valor aproximado para a variação

Δz

em z, quando se passa de x = 1 e y = 1 para

x = 1,01 e y = 1,002.

b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1,01 e y = 1,002.

19-) Calcule

dt

dz

quando z = sen (xy), x = 3t e y = t

²

20-) Seja g(t) = f (3t, 2t

²

– 1) , calcule g’(0) admitindo

x

f

(0, – 1) =

3 1

21-) Expresse

dt

dz

em termos de suas derivadas parciais onde x = t

²

e y = 3t

22-) Suponha que f (t

²

, 2t) = t

³

– 3t. Mostre que

x

f

(1, 2) = –

y

f

(1, 2)

23-) Admita que x

x

f

(x, y) – y

y

f

( x, y) = 0. Mostre que g(t) = f

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

t

t

,

2

é uma função constante.

24-) Seja z = f (u + 2v, u

²

– v). Expresse

du

dz

e

dv

dz

em termos das derivadas parciais de f

25-) Dê o vetor gradiente de f(x, y) = ln (xy) + x

²

y no ponto

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

2

1

,

1

26-) Dê a reta tangente a curva de nível de f(x, y) = ln x + x

²

y no ponto

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(5)

27-) Indique a direção e o sentido que a função f(x, y) = cos (xy) cresce mais rapidamente, e a direção e o

sentido que decresce mais rapidamente, ambas no ponto

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

2

1

,

π

28-) Calcule

u

f

!

(xo, yo) onde f(x, y) = e

x² - y²

, (xo, yo) = (1, 1) e

u!

é o versor de (3,4)

29-) Seja f(x, y) = x

²

+ xy + y

²

Calcule

u

f

!

(1, –2 ), onde

u!

aponta no direção e sentido do máximo

crescimento de f no ponto (1, –2)

30-) Seja f(x, y) = x.arctg

y

x

. Calcule

u

f

!

(1, 1), onde

u!

aponta no direção e sentido do máximo crescimento

de f no ponto (1, 1)

31-) Estude os máximos e mínimos locais das funções:

a)

f(x, y) = x

²

+ 3xy + 4y

²

– 6x + 2y

b)

f(x, y) = x

³

– 3x

²

y + 27y

c)

f(x, y) = x

4

+ y

4

– 2x

²

– 2y

²

32-) Argumente para mostrar que se

γ

é a curva de nível de

f

:

IR

n

IR

, então

(

f

!

γ

)(

t

)

=

c

,

t

IR

, onde

c é uma constante.

33-) Mostre que

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

+

=

)

0

,

0

(

)

,

(

,

0

)

0

,

0

(

)

,

(

²

²

²

²

)

,

(

y

x

se

y

x

se

y

x

y

x

y

x

f

não é contínua em (0,0)

34-) Mostre que

(

0

,

0

)

(

0

,

0

).(

0

)

(

x

0

,

y

0

).(

y

y

0

)

y

f

x

x

y

x

x

f

y

x

f

z

+

+

=

gera um plano tangente a f(x,y) em

(xo; yo; f(xo;yo) ) onde

f

:

IR

³

IR

é diferenciável em (xo,yo).

35-) Mostre que

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

(

,

,

(

,

))

(

,

),

(

,

),

1

)

,

,

(

0 0 0 0 0 0

x

0

y

0

y

f

y

x

x

f

y

x

f

y

x

z

y

x

λ

dá a equação vetorial do plano

tangente a f(x,y) em (xo; yo; f(xo;yo) ) onde

f

:

IR

³

IR

é diferenciável em (xo,yo).

36-) Prove que se

f

:

IR

³

IR

for diferenciável em (xo,yo) então f será contínua em (xo,yo).

37-) Seja

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

+

=

)

0

,

0

(

)

,

(

,

0

)

0

,

0

(

)

,

(

²

²

³

)

,

(

y

x

se

y

x

se

y

x

x

y

x

f

, mostre que :

a) f adimite derivadas parciais em (0,0)

b) f é contínua em (0,0)

c) f não é diferenciavel em (0,0)

(6)

38-) Seja

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

=

)

0

,

0

(

)

,

(

,

0

)

0

,

0

(

)

,

(

²

²

1

²

).

²

(

)

,

(

y

x

se

y

x

se

y

x

sen

y

x

y

x

f

, mostre que :

a) as derivadas parciais de f não são contínuas em (0,0)

b) f é diferenciavel em (0,0)

c) f é diferenciavel em IR

²

39-) Argumente para mostrar que se (xo,yo) é extremante para

f

:

IR

2

IR

, então o plano tangente a f em

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