TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
DESENVOLVIMENTO, PROJETO E CONSTRUÇÃO DE
ARRANJO EXPERIMENTAL PARA A MODELAGEM DE
VAZAMENTOS VIRTUAIS E VAZAMENTOS REAIS.
Nome: Felipe Sales Brito
Orientador: Dr. Francisco Tadeu Degasperi
Dezembro de 2010
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FELIPE SALES BRITO
DESENVOLVIMENTO, PROJETO E CONSTRUÇÃO DE ARRANJO EXPERIMENTAL PARA A MODELAGEM DE VAZAMENTOS VIRTUAIS E
VAZAMENTOS REAIS
SÃO PAULO
2010
Trabalho de conclusão do Curso, apresentado para obtenção do grau de TECNÓLOGO no Curso de Tecnologia em Materiais, Processos e Componentes Eletrônicos da Faculdade de Tecnologia de São Paulo, FATEC-SP.
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Esse trabalho é dedicado ao Laboratório de Tecnologia do Vácuo, aos seus integrantes e ao Prof° Francisco Tadeu Degasperi.
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AGRADECIMENTOS
Agradeço aos meus pais, por terem me dado todo o apoio e tudo o que foi preciso para isto ser possível.
Agradeço ao Laboratório de Tecnologia do Vácuo.
Agradeço ao meu professor Tadeu, pelo apoio, cobrança e confiança para que esse trabalho pudesse ser executado.
À Raquel minha namorada, pelo apoio e as palavras motivadoras.
E a todos que foram responsáveis pela minha formação, incentivando, estudando e fazendo piadas para que as horas difíceis se tornassem fáceis.
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“Todo mundo comete erros. O truque é cometê-los quando ninguém está olhando.”
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Resumo
Na indústria do vácuo diversos fatores são importantes para se fazer um bom projeto. Entre eles existe um de extrema importância que é o vazamento. Pois se existir algum tipo de vazamento nos sistemas de vácuo, ele está praticamente todo condenado. Podendo ser dividido em dois tipos, ele recebe o nome de vazamento real e vazamento virtual. O vazamento real é quando ocorre algum tipo de defeito nas câmaras, nas conexões, soldas, entre outros lugares, e surge uma ligação entre o seu interior e o ambiente. O vazamento virtual existe quando ocorre o aprisionamento dos gases em algum ponto e eles são bombeados por uma condutância relativamente baixa. O trabalho estudou o comportamento de câmaras com vazamento virtual para fazermos sua modelagem, de modo a facilitar sua detecção. Com os resultados obtidos conseguimos um modelo inicial e verificamos sua validade em alguns casos, além da verificação qualitativa do seu comportamento.
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Abstract
In the vaccum industry many factors are important to make a viable project. Among them the leak is a very important factor. It could be divided in two types, real leak and virtual leak. The real leak occurs when existes any type of defect that links the inside of the vacuum chamber, the connexions, the solder , and others places, to the enviroment. The virtual leak occurs when the gases inside the chamber are trapped and they are pumped by a relative low condutance. This work studied the behavior of the chamber with the virtual leak to make its modeling, and make easier its detection. With the obtained results we made an initial modeling and veryfied its vality in some cases, and we made a qualitative analysis of its behavior.
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1 – Objetivo 9
2 – Introdução 10
3 – Conceitos Físicos e Métodos
3.1 – Fluxo de gás e Throughput, Q 10
3.2 - Condutância, C 11
3.3 - Velocidade de bombeamento, S 14
3.4 - Livre caminho médio, l 16
3.5 - Tipos de Fluxos dos gases em tubos e orifícios. 17
3.6 - Condutância nos diferentes regimes. 18
4 – Experimentos e Resultados
4.1 – Vazamento Virtual e Real 20
4.2 – Arranjo experimental. 30 4.3 – Determinação do Volume 32 4.4 – Curvas Teóricas. 36 5 – Conclusão e Perspectivas 40 6 – Bibliografia 41 Apêndice A 42
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1 – Objetivo
Esse trabalho tem como finalidade analisar o comportamento da variação de pressão em uma câmara de vácuo, quando essa apresenta um vazamento virtual. Serão analisadas as curvas teóricas e comparadas com as curvas práticas. Serão verificadas as relações condutância e volume do vazamento virtual, e se para as mesmas relações deverão ou não apresentar o mesmo comportamento.
Serão feitas análises para o estudo do comportamento de um ar condicionado, pois ele apresenta características semelhantes com as do vazamento virtual, como volumes relativamente altos para serem bombeados através de baixas condutâncias.
10
2 - Introdução
Quando o assunto é vazamento virtual em um sistema de vácuo, se encontra pouca teoria sobre o assunto, em alguns casos ele é apenas comentado. O vazamento virtual tem uma alta importância no sistema de vácuo, pois a presença dele pode condenar todo o projeto, principalmente quando o mesmo for operar em alto vácuo ou ultra-alto vácuo. Esse trabalho consiste em montar pequenas câmaras ligadas a uma câmara de vácuo maior ligados por um tubo com condutância extremamente baixa. Serão realizadas medidas a fim de se obter o comportamento da câmara na presença de um vazamento virtual, para concluirmos se há presença de vazamento virtual ou não e também para diferenciar o vazamento da taxa de degaseificação.
Verificamos relevante o desenvolvimento deste estudo, pois além dos malefícios que o vazamento virtual pode trazer para um sistema de vácuo caso não seja possível fazer sua detecção, ele contribui para o entendimento de como se comporta um sistema de ar condicionado.
Essa comparação entre um ar condicionado e um vazamento virtual é possível, pois ambos apresentam uma quantidade de gás relativamente alta sendo bombeado através de uma condutância baixa.
3 - Conceitos Físicos e Métodos
3.1 - Fluxo de gás e Throughput, Q
Fluxos de gases ocorrem devido à diferença de pressões. Considerando o fluxo na figura 1, onde uma diferença de pressão é mantida entre seus extremos, p1 é maior que p2,
portanto o fluxo segue na direção indicada. Como o volume ocupado por certo gás depende as pressão, o pequeno volume representado por A se expande conforme ele se movimenta para ocupar o volume A, até que as pressões sejam equalizadas. (A figura é exagerada para se entender o mecanismo).
11 Figura 1 – Fluxo dentro de um tubo.
A pressão é constante através de qualquer seção transversal e o fluxo pode ser colocado como o produto da pressão p e a taxa de fluxo do volume nessa pressão e nesse ponto.
Isso está de acordo com a relação pV, proveniente da lei de Boyle-Mariotte. Estipulado a
taxa de fluxo do volume V numa pressão p, então podemos definir que o throughput Q
é: 1 .dV mbar ls Q p dt -= (1)
Como o fluxo Q é continuo através do tubo (o gás que entra nele, é o mesmo que sai),
podemos escrever a relação p V1. 1= p V2. 2. O troughtput Q é basicamente uma quantidade que especifica o fluxo de gás.
3.2 - Condutância, C
Todo corpo apresenta uma resistência ao fluxo de gases em seu interior, que faz com que ele se mova com mais dificuldade. Fazendo uma analogia com a eletrônica, se usarmos o inverso da resistência desse corpo, nós teremos a condutância do mesmo. Essa condutância é a grandeza que mede a facilidade com que o fluxo ocorre e é escrita como:
1 ls ( 1 2) Q C p p -= - (2)
12 Onde ( 1p - p2)é a diferença de pressão entre duas regiões, por exemplo, dentro e fora de um tubo, onde entre eles ocorre um throughput Q.
Essa é uma definição clara e sensível. Se caso a mesma queda de pressão ocorra em diversos tubos de diferentes tamanhos, então aquele que apresentar o maior fluxo Q tem
a maior condutância C.
Como diversos tubos são usado em sistemas de vácuo, diferentes composições de condutância ocorrem como, condutâncias em série, em paralelo e mistas.
A condutância total, quando temos diversas condutâncias em paralelo é dada pela expressão:
1 2 3... C=C +C +C (3)
Ela pode ser calculada através da analise da figura 2, na qual 2 condutâncias C1 e C2
conectam as regiões de pressão p1 e p2, onde p1> p2.
Figura 2 – Condutâncias em paralelo
Os fluxos Q separados são:
1 1.( 1 2)
Q =C p -p e Q2=C2.( 1p - p2) (4)
Desse modo o fluxo total vai ser:
1 2 ( 1 2).( 1 2) Q=Q +Q = C +C p - p (5)
13 A condutância efetiva é C=C1+C2, e claramente pode ser usada para qualquer número de condutâncias em paralelo.
Para condutâncias em série a condutância total C é dada pela expressão:
1 1 1 1
...
1 2 3
C =C +C +C (6)
Essa relação é provada pela figura 3, onde elementos conectados através das condutâncias
1
C , C2 e C3são separados por volumes que possibilitam um equilíbrio de pressões p2
e p3.
Figura 3 – Condutâncias em série
Como o fluxo tem que se manter constante entre a entrada e a saída temos que:
1 1.( 1 2) 2.( 2 3) 3.( 3 4) Q =C p -p =C p -p =C p -p (7)
Fazendo algumas manipulações:
( 1 2) 1 Q p p C = - , 2 ( 2 3) Q p p C = - , 3 ( 3 4) Q p p C = - (8)
Somando essas equações ficamos com:
1 1 1 1 4 .( ) 1 2 3 p p Q C C C - = + + (9)
A condutância total C entre as regiões p1 e p4 será Q=C p.( 1-p4). Então comparando as duas expressões, 2 e 9, C é dado pela equação 6.
14 No caso de somente duas condutâncias em série temos:
1. 2 1 2 C C C C C = + (10) 3.3 - Velocidade de bombeamento, S
Velocidade de bombeamento consiste no volume de gás que é retirado de um reservatório através de um orifício em um determinado tempo, sendo definida pela letra S e expresso por:
dV S
dt
= (11).
A quantidade de gás que sai por unidade de tempo, o fluxo Q, é proporcional a pressão
existente na câmara de vácuo, sendo expressa por:
.
Q=S p (12).
A unidade usada para se medir a velocidade de bombeamento é litros por segundo (ls-1). O fluxo Q é em geral um somatório de fluxos de diversas origens, sendo representado pela expressão:
P
V DEG PERM IC ROC BOMBA
Q=Q +Q +Q +Q +Q +Q
Onde:
V
Q = São os gases provenientes de vazamentos, que podem ser divididos em reais
e virtuais.. Vazamentos reais ocorrem através de fissuras ou aberturas, em que os gases da atmosfera entram no recipiente no qual esta sendo feito vácuo. O vazamento virtual é quando ocorre o aprisionamento de gases dentro do recipiente e esses gases vão saindo lentamente conforme ocorre o bombeamento, através de uma condutância baixa. Ambos influenciam o limite da pressão do vácuo final.
15
DEG
Q = São os gases provenientes da degaseificação do material. Esses gases são
adsorvidos ou absorvidos pelas paredes da câmara de vácuo ou dos tubos do sistema. Os gases adsorvidos fazem ligações de Van der Waals com os átomos da superfície do material, e vão se soltando conforme ocorre o bombeamento. Os gases absorvidos se difundem para o interior do material, porém ficam ainda perto da superfície, e são retirados conforme ocorre o bombeamento.
PERM
Q =São os gases provenientes da permeação pelo material, onde os gases da
atmosfera se difundem pelas paredes da câmara de vácuo até atingirem o interior dela. Como a difusão por todo o material é lenta, essa quantidade de gás tende a ser desprezível.
IC
Q =São os gases injetados controladamente, para que possa ser realizados
processos dentro da câmara de vácuo. P ROC
Q =São os gases gerados por processos que ocorrem dentro da câmara de
vácuo.
BOMBA
Q =Conforme o tipo de bomba usada, óleos lubrificantes ou, como a bomba
difusora, vapores de óleo tendem a entrar na câmara de vácuo. Para evitar esse efeito são usados filtros, que impedem o vapor de óleo de subir, porém diminuem a velocidade de bombeamento efetiva.
Agora vamos considerar um bombeamento de uma câmara de vácuo através de uma condutância C.
Consideremos o fluxo que sai da câmara como Q=C p.( 1-p2); lembrando da equação 12, temos que:
1. 1
Q=S p (13).
Como o fluxo tem que ser o mesmo ao longo do tubo, na entrada da bomba teremos que:
2. 2
Q=S p (14)
16 .( ) 1 2 Q Q Q C S S = - (15), portanto ( ) 1 2 Q Q Q
C = S -S (16), dividindo pelo fluxo.
1 1 1 1 2 C = S -S (17), implicando que 1 1 1 1 2 S = S +C (18)
Ou seja, a velocidade com que o gás é retirado da câmara é diretamente ligada à condutância que liga a bomba a mesma.
Se a condutância for baixa em relação à velocidade da bomba, a velocidade de bombeamento na câmara é praticamente a condutância. Enquanto que se a condutância for muito maior que a velocidade da bomba, a velocidade de bombeamento na câmara é praticamente a velocidade da bomba.
3.4 - Livre caminho médio, l
As moléculas de um gás sempre estão em movimento devido à energia que as mesmas possuem. Como o movimento é aleatório essas moléculas podem acabar se chocando com outras moléculas, ou com a própria parede da câmara de vácuo. A distância média que a partícula consegue percorrer sem que ocorra algum tipo de choque é denominado de livre caminho médio.
Considerando uma molécula em movimento, podemos descrever a expressão do livre caminho médio como:
2 1 2. .d n. l p = (19)
Sendo o livre caminho médio, um comprimento qualquer do tubo dividido pelo número de choques que ocorrem com uma molécula enquanto ela percorre esse comprimento.
17 O termo p.d2é a área desse tubo, o n é a densidade de moléculas do gás, e a 2 é devido
aos diversos tipos de choque que ocorrem, como choques frontais e tangenciais.
Para o Ar à temperatura ambiente (20°C) considerando o diâmetro médio das moléculas a seguinte relação pode ser escrita:
3 7.10 mbar cm P
l
@ - (20)3.5 - Tipos de Fluxos dos gases em tubos e orifícios.
O modo como o gás flui através de um tubo muda conforme a pressão no mesmo. Em geral pode ser dividido em 3 tipos, sendo que são definidos pelo livre caminho médio l e as características dimensionais do tubo. Essa relação é conhecida como número de Knudsen e é definida como:
Kn d
l
= (21), onde d é o diâmetro do tubo.
Conforme o resultado do número de Knudsen, o fluxo é determinado, pela tabela 1.
Tabela 1 - Fluxo de bombeamento conforme o número de Knudsen.
Regime Kn d l = Molecular Kn>0,5 Intermediário 0,5>Kn>0,01 Continuo Kn<0,01
Os três regimes que geralmente são encontrados apresentam as seguintes características:
1-Fluxo molecular: O livre caminho médio é da mesma ordem de grandeza, ou maior que
18 gás é dominado por colisões entre as moléculas e as paredes da câmara de vácuo ou as paredes do tubo.
2- Fluxo continuo: O livre caminho médio é pequeno quando comparado com as
características dimensionais (em geral números de Knudsen pequenos), choques entre moléculas são mais freqüentes que os choques que ocorrem com as paredes. Nesse regime as propriedades dos gases (temperatura, densidade, velocidade do fluxo) não variam significantemente entre os diversos caminhos livres médios, e o gás pode ser considerado como um meio continuo.
O comportamento do gás pode ser descrito hidrodinamicamente. O fluxo nesse regime é geralmente chamado de viscoso ou laminar.
Nesse fluxo existe uma variação que ocorre quando a velocidade e a pressão dos gases são altas. Ele passa a ser chamado de fluxo turbulento, o qual apresenta redemoinhos e oscilações, e a velocidade do gás varia irregularmente com o tempo. Em geral ocorre no inicio do bombeamento de sistemas que partem da pressão atmosférica.
3- Fluxo intermediário ou de Knudsen: A transição entre o fluxo continuo e o fluxo
molecular ocorre com valores intermediários do número de Knudsen. Nesse fluxo tanto as colisões entre moléculas e com as paredes são significativas para a determinação das características do fluxo.
3.6 - Condutância nos diferentes regimes.
Como as características do fluxo em cada regime são diferentes, a resistência, e por conseqüência, a condutância de um tubo nos diferentes regimes apresentam diferentes valores.
Fluxo viscoso:
a) Tubo longo (as unidade em centímetros), para o Ar a 20°C
4 1 1 2 ( ) 134 .( ) 2 d p p C ls l - = + (22)
19 b) Orifício 1 20 ( ) 2 1 1 A C ls p p - = - (23)
Essa expressão é valida quando p1> p2 e a razão 2 0,52 1
p
p £ .
Para valores onde 2 0,1 1 p
p £ a condutância é aproximadamente constante e igual a:
1
( ) 20
C ls- = A (24)
Fluxo molecular:
a) Tubo longo (as unidade em centímetros), para o Ar a 20°C 3 1 ( ) 12,1d C ls l - = (25) b) Orifício 1 ( ) 11, 6 C ls- = A (26) Fluxo intermediário:
a) Tubo longo (as unidade em centímetros), para o Ar a 20°C
4 3 1 1 2 ( ) 134 .( ) 12,1 2 d p p d C ls l l - = + + (27)
20 Para gases além do ar, podemos fazer a conversão da condutância através da tabela 2.
Tabela 2 – Fator de conversão para a condutância conforme o gás.
Gás (20°C) Fluxo Molecular Fluxo Continuo
Ar 1,00 1,00 Oxigênio 0,947 0,91 Neônio 1,013 1,05 Helio 2,64 0,92 Hidrogênio 3,77 2,07 Dióxido de carbono 0,808 1,26 Vapor D’água 1,263 1,7 4 – Experimento e Resultados
4.1 – Vazamento Virtual e Real
Ao se fazer modelagens em sistemas de vácuo, é necessário um amplo conhecimento em relação aos diversos fluxos de gases presentes nele. Além de determinar a fonte desses gases é preciso quantificá-los, tornando modelagens difíceis de se fazer. Existem algumas fontes de gases que são cruciais em um sistema de vácuo, e uma delas são os vazamentos. A presença de um vazamento, em qualquer área de estudo, é tido como algo ruim, isso não é diferente em um sistema de vácuo. Vazamentos são extremamente prejudiciais e podem condenar todo um projeto caso não seja identificado sua presença. Os vazamentos podem basicamente ser divididos em Reais e Virtuais.
Os vazamentos reais são extremamente danosos ao sistema de vácuo, pois ele vai fornecer um throughput constante para a câmara de vácuo. O vazamento real fisicamente é uma ligação entre o interior da câmara de vácuo e o ambiente ao redor dela. Isso pode se apresentar na forma de uma rachadura, algum defeito nas vedações, problemas na solda, entre outros motivos.
Além do fluxo constante que o vazamento vai apresentar; como a atmosfera tem um volume infinito, frente o volume da câmara de vácuo, o fluxo vai depender da extensão da conexão entre o interior e o ambiente. Desse modo o fluxo vai fazer com que a pressão
21 final que o sistema pode atingir seja afetada, caso o bombeamento seja cessado, a pressão começará a aumentar. Caso o vazamento ocorra em câmaras de processo, contaminantes podem acabar entrando e modificando o resultado final esperado. Se a câmara apresentar uma pressão maior que a atmosférica, pode ocorrer perda de material devido ao vazamento. Seus efeitos são tão prejudiciais que diversas técnicas foram desenvolvidas para se determinar a presença do vazamento e onde ele se encontra.
Sua modelagem é facilmente realizada, pois basta colocar um fluxo constante na equação fundamental de bombeamento.
No gráfico 1 é possível visualizar uma câmara de vácuo com e sem a presença de um vazamento real e seu efeito na pressão, junto com a configuração mais comum de um vazamento.
22 Figura 4 - Configuração do Vazamento Real
O outro tipo de vazamento existente é o vazamento virtual. Ele recebe esse nome, pois algumas características dele são semelhantes com o vazamento real, como o aumento da pressão ao se parar o bombeamento, possível contaminação ao se usar um determinado gás em um processo, ele ficar aprisionado e ser utilizado acidentalmente em outro processo e ele ser bombeado.
Porém ao contrário do vazamento real, que já existem diversos estudos sobre seus efeitos e como detectá-lo, isso não ocorre para o vazamento virtual. Quando se procura, existe pouca ou nenhuma teoria sobre esse fenômeno, sendo que as únicas coisas que se encontra são; como evitar o vazamento ou aprenda a conviver com ele. Praticamente o vazamento consiste em um volume de gás aprisionado dentro da câmara de vácuo sendo bombeado por uma condutância relativamente baixa. Assim, ao contrário do vazamento real, conforme o gás aprisionado é bombeado o fluxo relacionado ao vazamento virtual vai diminuindo até que todo o gás acabe. Diversos motivos levam a ocorrer o vazamento virtual, como a presença de parafusos dentro da câmara de vácuo, O-rings defeituosos, remendos mal feitos, soldas defeituosas, má qualidade na fabricação das câmaras e do seu polimento, entre outros motivos.
23 Outro inconveniente relacionado com o vazamento virtual, é que mesmo quando se consegue perceber sua presença, nem sempre tem como identificar onde ele se encontra. Basicamente o vazamento virtual pode ser visto como mostrado na figura 5, um volume de gás sendo conectado por uma condutância baixa até o interior da câmara principal.
Figura 5 - Esquemático do Vazamento Virtual
Para se fazer a modelagem de um vazamento virtual é um pouco mais complexo quando comparado com o vazamento real, pois o gás que é bombeado vai diminuindo gradativamente fazendo com que o fluxo diminuía também até se tornar praticamente desprezível.
O primeiro passo para fazer a modelagem do vazamento virtual é considerar que o gás aprisionado é uma câmara de vácuo, e a ligação com o interior da câmara é uma condutância relativamente baixa. Em seguida imaginemos que a câmara principal começa a ser bombeada.
Como conseqüência teremos o surgimento de um fluxo de gás da pressão maior , na câmara de vácuo do vazamento virtual, que é pCVV = pCVV( )t , para a pressão menor, na
câmara de vácuo principal, que é pCV = pCV(t). Isso faz com que a câmara do vazamento virtual seja bombeada também.
A segunda consideração é que a câmara de vácuo principal e a câmara que está fazendo a vez de vazamento virtual estão em pressão atmosférica. À terceira consideração nessa modelagem, foi dizer que a condutância se mantém constante conforme a pressão. Na
24 realidade isso não ocorre, porém fizemos essa consideração para podermos ter uma solução analítica das equações que serão mostradas mais a frente.
Então ao iniciarmos o bombeamento da câmara principal, a pressão começa a cair dentro da câmara, fazendo com que apareça uma diferença de pressão entre a câmara do vazamento virtual e a câmara de vácuo do vazamento virtual. A velocidade de bombeamento na região 2, bem junto a uma extremidade do tubo, será chamada de S2 e a
velocidade de bombeamento na região 1, na câmara de vácuo principal, na outra extremidade do tubo, será chamada de S1 , isso pode ser visualizado na figura 6.
Figura 6 - Fluxo de gás dentro do Vazamento Virtual
Podemos relacionar estas velocidades de bombeamento e a condutância do tubo CVV por
meio da expressão mostrada abaixo
1 2 2 1 1 1 1 1 CVV CVV CVV S C S S = S +C Þ = S +C . (28)
25 Para a existência de fato do vazamento virtual, devemos ter CCVV <<S1; assim, podemos simplificar a expressão acima e ficar com S2 @CCVV. Veja que se CCVV >>S1 teremos rapidamente o gás sendo bombeado da câmara de vácuo do vazamento virtual. Desta forma, a questão referente ao vazamento na prática nem se considera. Isto mostra que a remoção dos gases da câmara de vácuo do vazamento virtual é determinada pela condutância do tubo que liga a câmara de vácuo principal com a câmara de vácuo do vazamento virtual. Assim, apesar de a velocidade de bombeamento da bomba de vácuo Sb poder ser de alto valor, o que determinará a queda da pressão na câmara de vácuo do
vazamento virtual será a razão CVV CVV C V .
Prosseguindo, vamos escrever a equação diferencial fundamental para o processo de bombeamento em vácuo, para a câmara de vácuo principal e também para a câmara de vácuo do vazamento virtual.
å
= + × -= n i i CV efCV CV CV S p t Q dt t dp V 1 ) ( ) ( (29)Como existem diversas fontes de gases em um sistema de vácuo vamos considerar somente aquelas que possam realmente interferir no processo de bombeamento. Na câmara principal consideraremos a taxa de degaseificação do material e o vazamento virtual, pois são seus efeitos que queremos estudar. Na câmara do vazamento virtual, vamos considerar somente o efeito de degaseificação.
Adotaremos à degaseificação simplesmente um valor constante, isto deve ser imposto como uma das condições para que a pressão final do sistema de vácuo atinja um valor constante, pfinal. Assim as fontes de gases para a câmara de vácuo principal e a câmara
de vácuo do vazamento virtual ficarão como mostradas abaixo
1 n i CVV Deg i Q Q Q = = +
å
, 1 n i Deg i Q Q = =å
(30)Introduzindo a última função na equação de bombeamento fundamental para a câmara de vácuo principal temos
26 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n CV CV efCV CV i i CV CV efCV CV CVV Deg dp t V S p t Q dt dp t V S p t Q Q dt = = - × + Þ = - × + +
å
(31)Prosseguindo, podemos expressar o throughput devido à degaseificação, em termos da pressão final, da seguinte forma QDeg =SefCV × pfinal , com SefCV a velocidade efetiva de bombeamento na câmara de vácuo principal. Ainda, o throughput de origem no vazamento virtual pode ser escrito como QCVV( )t =CCVV
[
pCVV( )t -pCV( )t]
. Desta maneira, temos que a equação de bombeamento acima toma a seguinte forma[
]
( )
( ) ( ) ( )
CV
CV efCV CV CVV CVV CV efCV final
dp t
V S p t C p t p t S p
dt = - × + - + × . (32)
Reagrupando os termos da expressão acima, ficamos com uma forma adequada para a resolução desta equação diferencial, teremos a equação da seguinte maneira.
[
[
]
( ) ( ) ( ) ( ) CV CV efCV CV final CVV CVV CV dp t V S p t p C p t p t dt = - - ùû+ - (33)Vemos que, para resolver esta equação, precisamos conhecer a função pCVV = pCVV( )t , ou seja, precisamos saber como varia no tempo a pressão na câmara de vácuo do vazamento virtual. Assim, escrevendo a equação de bombeamento na câmara de vácuo do vazamento virtual, temos a expressão
1 ( ) ( ) n CVV CVV efCVV CVV i i dp t V S p t Q dt = = - × +
å
(34)onde, SefCVV é a velocidade efetiva de bombeamento na câmara de vácuo do vazamento
virtual e pode ser escrita como 1 1 CVV efCVV CVV S C S S C × = + .
Como já citado, consideraremos somente a degaseificação como fonte de gases na câmara de vazamento virtual. E como no caso da câmara de vácuo principal adotaremos
27 simplesmente uma degaseificação constante que fará com que nesta câmara de vácuo a pressão final atinja o valor pfinal. Mais uma vez, podemos expressar o throughput devido
à degaseificação, em termos da pressão final na câmara de vácuo do vazamento virtual, da seguinte forma QDeg =SefCVV.pfinal. Ficando com a equação de bombeamento da seguinte forma ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) CVV
CVV efCVV CVV efCVV final
CVV CVV efCVV CVV final efCVV CVV final CVV CVV dp t V S p t S p dt dp t V S p t p dt S p t p dp t dt V = - × + Þ = - × - Þ - × -= (35)
A solução da equação de bombeamento para a modelagem da câmara de vácuo do vazamento virtual é dada pela função
0 ( ) ( ) exp efCVV CVV CVV final final CVV S p t p p t p V æ ö = - ç- ÷+ è ø . (36)
Sendo que o termo pCVV0 , vem quando consideramos a pressão sem ter começado o
bombeamento, ou seja, pCVV(t=0)= pCVV0 .
Como obtivemos a equação do comportamento da câmara de vácuo do vazamento virtual podemos voltar na equação 33 da câmara de vácuo principal e escrevê-la do seguinte modo
0 ( )
( ) ( ) ( ) exp efCVV ( )
CV
CV efCV CVV CV CVV CVV final CVV efCV final
CVV S dp t V S C p t C p p t C S p dt V æ ö = - + + - ç- ÷+ + è ø 0 ( ) exp ( ) ( ) ( ) ( ) efCVV CVV CVV final
efCV CVV CV CVV CVV efCV final
CV CV CV CV S C p p t S C p t V C S p dp t dt V V V é æ öù - -ê ç ÷ú - + + é ù ê è øú é ù Þ =ê ú+ê ú+ê ú ë û ê ú ë û ê ú ë û (37)
A solução desta última equação diferencial ordinária de primeiro grau pode ser obtida sem muita dificuldade. Estaremos impondo como condição inicial que a pressão na
28 câmara de vácuo principal, em t =0, seja igual a 0
) 0
( cv
CV t p
p = = . Assim, a última equação diferencial tem como solução a seguinte função mostrada a seguir
(
)
(
)
(
)
0 0 0 ( ) exp exp CVV CVV final efCV CVV CV CV final efCVV CV CV efCV CVV CVV CVV CVV final efCVV fi efCVV CV CVV efCV CVV CVV C p p S C p t p p t S V V S C V C p p S t p S V V S C V é ù ê - ú é + ù ê ú = - - ê- ú+ × ê + - ú êë úû ê ú ë û é ù ê - ú æ ö ê ú ç- ÷+ × ê + - ú è ø ê ú ë û nal (38)Essa é a equação de bombeamento para a câmara de vácuo principal na presença de um vazamento virtual.
No caso real, a condutância não é invariável no tempo. Além de ocorrer à mudança do fluxo devido a variação do livre caminho médio, quando o bombeamento ocorre na região de pré-vácuo a condutância varia conforme a pressão.
Nesse trabalho vamos considerar que as condutâncias variam conforme a pressão, fazendo com que as equações diferenciais não tenham mais uma solução analítica, devido às duas equações começarem a ser dependentes das pressões em ambas as câmaras de vácuo, sendo necessário se lançar de meios numéricos para a solução das mesmas.
As equações diferenciais também serão modificadas para que a condutância varie com a pressão e ficarão da seguinte maneira:
[
]
( ) . ( ) . 1( ) 0( ) cv cv cv cv Deg cvv dp t V Sef p t Q C p t p t dt = - + + - , (39)para a câmara de vácuo principal, e:
( ) . ( ) cvv cvv cvv cvv Deg dp t V Sef p t Q dt = - + (40)
para a câmara de vazamento virtual.
Para verificar se os métodos numéricos estão funcionando de um jeito satisfatório para nossa necessidade fizemos uma comparação dos resultados obtidos com as fórmulas 39 e
29 40 com os resultados obtidos com o método analítico. Os métodos numéricos utilizados foram o de Runge-Kutta de 4ª ordem, o comando Ode Solve e Rkadapt do programa MathCad®.
As curvas teóricas obtidas foram as seguintes, sendo elas apresentadas nos gráficos 2 e 3:
Gráfico 2 - Curva obtida para a câmara de vácuo principal.
30 Ambas as curvas foram simuladas até o tempo de 1000 segundos, porém como a pressão se estabilizou antes desse tempo, só foram mostrados esses resultados.
4.2 – Arranjo experimental
Para podermos simular o efeito do vazamento virtual são necessários diversos itens. Primeiramente montamos um sistema de vácuo que consistia de uma câmara de vácuo grande, que será chamada de câmara de vácuo principal ou simplesmente CV, como na figura 7, ligada a uma bomba mecânica de palhetas. Foi utilizada essa bomba para que seja trabalhado na região de pré-vácuo.
Como o vazamento virtual é um gás aprisionado dentro da câmara de vácuo, para tal simulação utilizamos diversas câmaras de vácuo menores, como mostrado na figura 8, que serão chamadas de câmaras de vácuo do vazamento virtual ou CVV, e as ligamos na câmara de vácuo principal utilizando um Porta-Mostra que é apresentado na figura 9, com um tubo de diâmetro pequeno. Isso foi feito para que uma relação mínima entre a condutância e o volume de gás aprisionado seja mantida.
Para medidas de pressão utilizamos uma coluna de mercúrio com diâmetro interno pequeno para que a mesma influencie o mínimo possível. Na figura 10 podemos observar o arranjo experimental completo
31 Figura 8 – Câmaras de diversos volumes.
Figura 9 – Porta-Mostra e Tubo com diâmetro pequeno.
32
4.3 – Determinações dos Volumes
Para podermos construir uma curva teórica do comportamento da pressão no tempo da câmara CV e da câmara CVV, é preciso saber seu volume total.
A determinação do volume de uma maneira precisa é fundamental para se diminuir as diferenças entre o modelo e as curvas práticas.
Foram feitas medidas de três modos distintos para que o volume apresentasse o menor erro possível, e fosse determinado seu valor exato.
O primeiro método consistiu em fazer moldes das câmaras de vácuo usando parafina derretida. Um exemplo de molde é visto na figura 11.O interior da câmara era forrado com um plástico fino, para não alterar o molde e não permitir que a parafina grudasse no interior da câmara. Com o molde pronto, ele foi cortado ao meio, conforme a foto abaixo, e depois foi traçado seu perfil em folhas de papel milimetrado.
O perfil traçado foi transformado em diversas coordenadas x-y de um plano cartesiano, conforme ilustrado na figura 12.
33 Figura 12 – Molde da Câmara de vácuo em coordenadas x-y.
Com as diversas coordenadas, foi realizada a integração delas utilizando o método de Simpson, que será abordado melhor no apêndice A. Mas como a integração só nos fornece a área do molde, tivemos que fazer um sólido de revolução para determinar o volume da câmara.
Esses moldes foram realizados sem as câmaras terem sofrido o processo de soldagem. Então para completar o volume das conexões foi feito a conta do volume através da aproximação por um cilindro.
O segundo método foi utilizando uma proveta. Com ela fomos enchendo as câmaras de água e verificamos o volume total de água que coube dentro dela. Para dizer que a câmara estava totalmente cheia, foi colocado água até a formação de um menisco acima da conexão, conforme mostrado na figura 13.
34 Figura 13 - Menisco formado na conexão
O terceiro método consistiu em pesar as câmaras vazias em uma balança com precisão de duas casas decimais. Depois elas foram cheias com água e foram novamente medidas. A diferença entre seus pesos indicam o volume interno da câmara. A balança utilizada conseguia pesar até 2 kg. Desse modo algumas câmara não puderam ter seu volume medido dessa maneira.
35 As tabelas abaixo mostram os resultados obtidos com o três métodos.
Tabela 3 - Volumes obtidos com o molde de parafina
Câmara Lado Esquerdo (mL) Lado Direito (mL) Média (mL) 1 84,54 83,76 84,15 ±0,55 2 146,4 148,7 147,55 ±1,6 3 202,7 207,6 205,15 ±3,5 4 480,2 482,9 481,55 ±1,9 5 801,2 797 799,1 ±3,0 6 1730 1772 1751 ±30 7 2748 2716 2732 ±23
Tabela 4 - Volume encontrado usando a proveta Câmara Volume em mL 1 87 ± 1 2 140 ± 2 3 189 ± 2 4 420 ± 5 5 922 ± 10 6 1594 ± 16 7 2747 ± 28
Tabela 5 - Volume obtido através da pesagem Câmara Volume em mL 1 87,38 2 139,98 3 191,07 4 421,92 5 6 7
36
4.4 – Curvas Teóricas.
Alguns testes já foram realizados, e nos forneceram dados o suficiente para podermos esboçar algumas conclusões sobre o vazamento virtual.
Esses primeiros testes utilizarão as câmaras de vácuo 1,4 e 7 para simular os volumes de gás aprisionado.
Sempre que fazemos uma medida, verificamos o valor da pressão atmosférica, ou Patm, no dia, e se demora muito tempo entre uma medida e outra, a verificação da pressão atmosférica é refeita. Outro cuidado tomado é a verificação da temperatura no momento das medidas, pois ela afeta diretamente a pressão e o mercúrio.
As primeiras medidas realizadas utilizaram um tubo com diâmetro Ø=0,125 cm e comprimento L=5,346 cm.
A medida da câmara 1 teve os seguintes resultados: Patm=933,99 mbar
Temperaturas medidas= 19,5 / 17,3 / 19,5 °C
37 As medidas das câmaras 4 e 7 ocorreram no mesmo dia e tiveram os seguintes resultados: Patm=920,69 mbar
Temperaturas medidas= 20 / 17,5 / 17,3 / 20 °C
Gráfico 5 - PressãoxTempo para a câmara de vácuo 4
38 As medidas realizadas posteriormente utilizaram um tubo com diâmetro Ø=0,420 cm e comprimento L=3000 cm.
Como já havíamos realizado outras medidas, a segunda experiência teve seu término no mesmo dia.
Os resultados desses experimentos foram: Patm=927,34 mbar
Temperaturas medidas= 20,5 / 23,0 / 23,0 °C
39 Gráfico 8 - PressãoxTempo para a câmara de vácuo 4
Gráfico 9 - PressãoxTempo para a câmara de vácuo 7
As curvas teóricas foram obtidas conforme a equação da modelagem, porém o termo
. ( ) cvv cvv
40 estarem representando um fluxo de gás conforme explicado pelas fórmulas na introdução teórica. Alguns dados analisados mostraram pressões negativas. Isso não é possível, pois o vácuo absoluto teria uma pressão 0. A maior pressão apresentada foi por volta de -5 mbar. Ao transpor esse valor em uma coluna de mercúrio, ele irá apresentar alguns milímetros de altura. Ou seja, algum erro na analise ou na determinação da pressão atmosférica fez com que surgisse essa diferença de alguns milímetros.
5 - Conclusão e Perspectivas
Alguns resultados preliminares já foram obtidos, mostrando que quanto menor for a minha relação C/V mais pronunciado se tornará o efeito do vazamento virtual conforme observado nos gráficos.
Outro item observado foi que a presença de um vazamento virtual influencia o tempo em que a pressão final será atingida na câmara de vácuo principal, e não seu valor absoluto propriamente dito.
A modelagem se mostrou válida somente para algumas faixas de relação C/V, sendo que quando a mesma começa a aumentar a modelagem se torna inválida.
Os novo experimentos que esperamos executar consistem na utilização de uma condutância ainda menor. Para isso utilizaremos uma agulha de injeção para servir de ligação entre as câmaras de vácuo.
Desejamos fazer uma comparação para verificar se elas apresentarão curvas de pressão iguais caso a relação C/V seja igual para duas condutâncias distintas ou volumes distintos.
41
6 – Bibliografia
[1]Fundamentals of Vacuum Technology, Leybold 2001 [2]Tese de Doutorado do Prof° Francisco Tadeu Degasperi
[3]Foundations of Vacuum Science and Technology, J.M. Lafferty
[4]Tecnologia de Vacuo, Universidade de Nova de Lisboa,, Augusto M.C. moutinho, Maria Eugênia S. Fronteira e Silva, Maria Áurea C.M.Isidoro da Cunha.
42
Apêndice A
Dentro das varias técnicas de integração, escolhemos o método de Simpson devido a sua facilidade. Parecido com o método trapezoidal, ele utiliza polinomiais de ordem superior para ligar os pontos, e com isso garantir uma estimação mais precisa.
Por exemplo, se existe um ponto entre f a( ) e f b( ), os três pontos podem ser ligados por
uma parábola. Se existirem dois pontos equidistantes entre f a( ) e f b( ), os quatro
pontos podem ser ligados por um polinômio de terceira ordem. As fórmulas que surgem fazendo a integral desses polinômios são chamadas de Regras de Simpson.
Figura 1 Integração de 3 pontos usando uma parábola.
Figura 2 Integração de 4 ponto usando um polinômio de 3ª ordem
Regra 1/3 de Simpson.
Essa regra de Simpson surge quando se substitui um polinômio de interpolação de segunda ordem na equação abaixo
2
( ) ( )
b b
a a
43 Se a e b forem chamados de x0 e x2 e f x2( ) for representado pelo polinômio de
Lagrange de segunda ordem, a integral se torna:
2 0 0 2 0 1 1 2 0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1 ( ).( ) ( ).( ) ( ).( ) ( ) ( ) ( ) ( ).( ) ( ).( ) ( ).( ) x x x x x x x x x x x x x x I f x f x f x dx x x x x x x x x x x x x é - - - ù = ê + + ú - - - -ë û
ò
[2]Depois da integração e da manipulação algébrica, a formula a seguir aparece.
[
( )0 4 ( )1 ( 2)]
3 h
I ; f x + f x + f x [3]
Neste caso h= -(b a) / 2. Essa equação é conhecida como a regra 1/3 de Simpson. O nome “1/3” vem do fato do h ser dividido por 3.
Regra 1/3 de Simpson para múltiplos pontos.
A regra de Simpson pode ser melhorada dividindo o intervalo de integração por seguimentos de mesmo comprimento. Assim o termo h passsa a ser:
(b a) h
n
-= [4]
Assim a integração total pode se representada por
2 4 0 2 2 ( ) ( ) ... ( ) n n x x x x x x I f x dx f x dx f x dx -=
ò
+ò
+ +ò
[5]Substituindo a regra de Simpson para cada integral individual temos:
[
0 1 2]
[
2 3 4]
[
2 1]
2 ( ) 4 ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( ) ... 6 6 6 n n n h f x f x f x h f x f x f x h f x f x f x I; + + + + + + + - + - + [6]Fazendo a combinação dos termos acima temos a fórmula final da Regra de Simpson para integração numérica.
44 1 2 0 1,3... 2,4... ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( ) 3 n n i j n i j h I f x f x f x f x - -= = é ù + + + ê ú ë
å
å
û ; [7]Para poder usar esse método o número de pontos utilizados tem que ser impar, ou o número de seguimento em que se divide sua curva tem que ser par. Outro detalhe para sua utilização é que a distancia entre os pontos a serem integrados, tem que ser equidistantes.
