Teoremas Ergódicos

Noélia Sofia Rodrigues Soares

TEOREMAS ERGÓDICOS

M

Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Abril 2001

Noélia Sofia Rodrigues Soares

TEOREMAS ERGODICOS

Dissertação submetida à Faculdade de Ciências da Universidade do Porto para obtenção do grau de Mestre em Matemática - Fundamentos e Aplicações

Trabalho realizado sob Orientação do Prof. Doutor José Ferreira Alves

Faculdade de ciências da Universidade do Porto Abril 2001

Aos meus Pais A minha irmã

Ao terminar este trabalho gostaria de agradecer a todos os que, de alguma forma, contribuíram para a sua elaboração.

Em primeiro lugar, e particularmente, ao meu orientador, Prof. Doutor José Ferreira Alves, pela sua disponibilidade, paciência e motivação, demonstradas ao longo do tempo que decorreu a dissertação.

Agradeço aos meus Pais e à minha Irmã pelo seu suporte humano.

Gostaria também de agradecer ao Manuel Flores, pelo carinho, incentivo e apoio incondicionais mesmo nos momentos mais difíceis.

Introdução

Um dos grandes objectivos dos Sistemas Dinâmicos visa o estudo do comportamento das órbitas {Tn(x): n > 0} de uma transformação T: X —> X, onde T° = idx e

rpn+i _ rp Qrpn ^aia n > 0. Frequentemente esse estudo incide sobre a medição das quantidades f(Tn(x)) para alguma função / : X —»• E, pelo menos em termos da média

-. n—l

-J2foTH

n t—J

n

Uma questão básica da Teoria Ergódica é a existência do limite destas médias quando

n —> oo. E claro que a média existe sempre que z for um ponto periódico de T, isto

é, quando Tfc(x) = x para algum fc > 1. Em 1931 Birkhoff provou um resultado que assegura que se T tem alguma medida de probabilidade invariante /i, isto é,

li(T~l(A)) = /i(A) para todo o mensurável A, e f é integrável com respeito a fj,, então estas médias existem para quase todo o ponto i 6 l (isto é, eventualmente exceptuando um conjunto com medida [i nula). Este resultado é conhecido como o Teorema Ergódico de Birkhoff. Uma condição necessária e suficiente para que o valor do limite seja o mesmo em quase todo o ponto é que não exista nenhum mensurável

A com 0 < /J,(Á) < 1 e T~1(A) = A. Nestas condições, a média temporal

n - l """x\

lim - y / o T

j n—*r*~, Ti ^-—^ e a média espacial n—>oo n 3=0 fdfi

coincidem em quase todo o ponto x G X. A transformação T diz-se, neste caso, ergódica. De um ponto de vista de aplicações práticas, pode ser interessante saber se o recíproco deste resultado também vale: será que pelo facto de / ter um com-portamento assimptótico bem definido em termos médios ao longo das órbitas de T podemos concluir que / tem uma média bem definida em X? Buczolich [6] mostra que a resposta a esta questão é, em geral, negativa, dando um contra-exemplo para

ii

o recíproco do Teorema Ergódico de Birkhoff. No entanto, se T é ergódica e / é não negativa, então o recíproco vale neste caso.

Uma classe importante de transformações, não só pela sua riqueza dinâmica como também pelas aplicações a que se prestam, são as rotações do círculo. Neste contexto, definimos Tf, o conjunto de rotação de uma função / : R —> R de período 1, como o conjunto dos a G M tais que a média

.. n—l

3=0

converge, quando n —> oo, para quase todo o x € IR. Buczolich [5] mostra que se o conjunto de rotação tiver medida Lebesgue positiva, então a função é integrável

(Lebesgue). Assim, do ponto de vista da medida, um conjunto de rotação "grande" (medida de Lebesgue positiva) é suficiente para garantir a integrabilidade da função. Por outro lado, é fácil verificar que Q C Tf, qualquer que seja a função / de período 1, ficando claro que, de um ponto de vista topológico, um conjunto de rotação "grande" (denso) não é suficiente para garantir a integrabilidade da função / . Buczolich [5] vai mais longe, exibindo uma função / não integrável com um conjunto infinito de irracionais independentes (sobre o corpo Q) contidos em IV Ainda neste contexto, Svetic [23] prova que existe uma função não integrável definida no círculo, cujo conjunto de rotação é localmente não numerável, ficando assim demonstrado que, do ponto de vista de numerabilidade, um conjunto de rotação "grande" (localmente não numerável) não é suficiente para garantir a integrabilidade da função. Uma questão interessante que permanece em aberto é a de saber se um conjunto de rotação com dimensão de Hausdorff positiva implica a integrabilidade da função.

Este trabalho está estruturado da seguinte forma: no primeiro capítulo são re-vistos alguns conceitos fundamentais sobre medida e integração, séries de Fourier e fracções contínuas. Os resultados são apresentados sem demonstração, uma vez que estas podem ser facilmente encontradas nas referências bibliográficas, sendo a sua introdução feita neste trabalho apenas com o intuito de uniformizar notação e esclarecer algum tópico menos claro para o leitor. No capítulo seguinte apresenta-mos uma prova simples do Teorema Ergódico de Birkhoff proposta recentemente por Petersen [19] e demonstramos um recíproco desse teorema para funções não nega-tivas. Terminamos esse capítulo apresentando um contra-exemplo para o recíproco no caso geral. Finalmente, no terceiro capítulo é estudada a integrabilidade de uma função definida no círculo em função do "tamanho" do seu conjunto de rotação. São abordados os seguintes pontos de vista: conjunto de rotação com medida de Lebesgue positiva, conjunto de rotação contendo infinitos irracionais linearmente independentes (sobre Q) e conjunto de rotação localmente não numerável.

Conteúdo

1 Preliminares 1 1.1 Medida e integração 1 1.2 Medidas invariantes 6 1.3 Séries de Fourier 8 1.4 Fracções contínuas 9

2 O Teorema Ergódico de Birkhoff 13

2.1 Uma prova simples 13 2.2 Recíproco para funções não negativas 18

2.3 Contra-exemplo para o recíproco 20

3 Rotações do círculo 33

3.1 Conjunto de rotação com medida positiva 33 3.2 Conjunto de rotação com infinitos irracionais 40

3.3 Conjunto de rotação não numerável 54

Bibliografia 69

Capitulo 1

Preliminares

Neste capítulo apresentamos diversos resultados preliminares que serão necessários no desenvolvimento deste trabalho. Em particular, faremos uma breve introdução à Teoria da Medida e Integração com o objectivo de servir com referência para os enunciados e definições básicas. Como referência para este capítulo tomamos os trabalhos [3], [9] e [14].

1.1 Medida e integração

Sejam X um conjunto e A um subconjunto das partes de X. Dizemos que A é uma cr-álgebra se forem válidas as seguintes condições:

1.

X

eA;

2. se A£ A então X \ A € A;

3. se Ai 6 A para i = 1, 2 , . . . , então UÍ>IAÍ G A.

Se a condição 3 se verificar apenas para uniões finitas dizemos que A é uma

álgebra de subconjuntos de X. Denominamos de espaço mensurável um par (X, A), onde A é uma cr-álgebra de X, e chamamos mensuráveis aos elementos de

A. Uma medida em A é uma função [i : A —> [0, +oo] tal que

1. M0) = O;

2. Se Ai E A para i = 1,2,... e Ai f] Aj = 0 para i ^ j , então oo oo

M(U4) = I > W

i=l i=l

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 2

Se Ao é um subconjunto das partes de X, dizemos que A é gerada por Ao se

Ao C A e toda a c-álgebra A' de subconjuntos de X tal que Ao C A' satisfaz A C A'. Ou seja, A é a menor (no sentido da inclusão) a-álgebra que contém

,4o-Se X é um espaço topológico, denominamos de cr-álgebra de Borel a cr-álgebra gerada pelos abertos de X. Designamos os elementos desta cr-álgebra por

bore-lianos. Ainda neste contexto, definimos o suporte de uma função / : X —> R como

a aderência do conjunto dos pontos x G X tais que f(x) ^ 0.

No resultado que se segue definimos uma medida na a-álgebra dos borelianos de Rn, a qual chamamos medida de Lebesgue.

Teorema 1.1.1. Seja B a a-álgebra de Borel em Rn. Existe uma única medida A : B —* [0, +oo] tal que se I\,..., In são intervalos de R, então

n

\(l[l

i

) = \I

1

\...\I

n

\,

1=1

onde, para cada i, |7j| designa o comprimento de li.

Um espaço de medida é um terno (X, A, JJL) onde (X, A) é um espaço

men-surável e \i é uma medida definida em A. O espaço de medida (X, A, /i) diz-se finito se fi(X) < oo. Se fi(X) = 1 dizemos que \i é uma probabilidade e (X,A,/J,) é um espaço de probabilidade. Se A é um elemento de A, podemos considerar o espaço

de medida (A,A\A,^\A), onde A\A é a a-álgebra formada pelos subconjuntos de X

do tipo AC] B, com B £ A, e /J,\A(B) = /i(-B) para B G A\A- Um espaço de medida (X, A, li) diz-se não atómico se, para todo o conjunto A € A tal que fi(A) > 0,

existe um conjunto mensurável B C A tal que fi(B) > 0.

Proposição 1.1.2. Seja (X,A,fi) um espaço de medida.

1. Ac B e n(B) < oo ^ fi(B \ A) = n(B) - (i(A).

2. /i(Un>iAn)

<En>lMA0-5. Ai c A2 C • • • =>• //(Un>iAn) = lim/i(An).

^. A D A 2 D . . . e //(Ai) < oo => fJ.(nn>iAn) = \im fi(An).

Se (X,A,fi) é um espaço de medida e A um subconjunto de X, dizemos que A tem medida nula, se existe B G A tal que A C B e fJ,(B) = 0. Diz-se que uma propriedade sobre os elementos de X vale em quase todo o ponto (qtp simpli-ficadamente), se o conjunto dos pontos onde a propriedade não vale tem medida nula.

Seja (X, A) um espaço mensurável. Dizemos que uma função / : X —> R, onde R = RU {—oo, +oo}, é uma função mensurável, se para todo o boreliano A de R

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES ₃

tivermos f~l(A) G A. São exemplos imediatos de funções mensuráveis, as funções constantes e as funções características dos elementos de A. Se X for um espaço topológico e B for a a-álgebra de Borel, então as funções contínuas são mensuráveis.

Para as operações com os símbolos +00 e —00, além das convenções usuais, faremos as seguintes convenções: (±00).0 = 0 e O.(±oo) = 0. Não atribuiremos significado a 00 — 00.

Proposição 1.1.3. Se c eR e f,g: X -^> R são funções mensuráveis, então f + c,

cf> f + 9 (sempre que façam sentido) e fg são também mensuráveis.

Proposição 1.1.4. Se (fn)n é uma sucessão de funções mensuráveis, então são

mensuráveis:

1. supfn e inf/„;

n > l n^1

2. limsup fn e lim inf fn.

Seja (X, A, ji) um espaço de medida. Dizemos que uma sucessão de funções mensuráveis (fn)n converge em medida para a função mensurável / , se para todo o e > 0

\imfi({xeX: | /n( x ) - / ( x ) | > e } ) = 0. n—»oo

As convergências em medida e em qtp relacionam-se pelo resultado que se segue. Teorema 1.1.5. Toda a sucessão que converge em medida possui uma subsucessão

que converge em qtp. Se o espaço de medida for finito, a convergência em qtp implica a convergência em medida.

Seja (X, A,fi) um espaço de medida. Se A C X denotamos por XA a função característica de A. Dizemos que uma função mensurável não negativa ip é uma

função simples, se pudermos escrever

n

onde ai G M e Al G A, com os A^s disjuntos dois a dois. Definimos o integral de

uma função simples </? = Xw=i aiXAi como

/

n

ifdji = ^aifj,(Ai).

i = i

Este valor não depende da representação de ip como combinação linear de funções características. De facto, se

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 4

então terá que ser a^ = bj em Ai D Bj. Donde

n n l I n l

i=l i—l j—l j=l i=l j=\

Se f é uma função mensurável não negativa, definimos o integral de / como

/ fd/j, = sup < / cpdfj, : ip função simples e ip < f

Proposição 1.1.6. Seja f uma função mensurável não negativa. Então J fdji = 0 se e somente se f = 0 qtp.

O resultado que apresentamos a seguir dá uma condição suficiente para que o integral do limite de uma sucessão de funções coincida com o limite dos integrais dessas funções.

Teorema 1.1.7 (Convergência Monótona). Se(fn)n é uma sucessão de funções

mensuráveis não negativas tais que /i < fi < ..., então

lim fndfi = lim / fndfi.

n—>oo n—>oo /

Dada uma função mensurável / podemos escrevê-la como diferença de duas funções não negativas, mais precisamente, f — f+ — f~ com

f+(x) = max{f(x), 0} e f~(x) = max{-/(x), 0}.

E imediato verificar que |/| = f+ + f~. Dizemos que uma função mensurável / é

integrável se

/ f+dfi < oo e / f~dp, < oo, ou seja, f \f\dfx < oo. Dizemos que / é semi-integrável se

f+dp, < oo ou / f~dfi < oo. Em qualquer um dos casos acima, definimos o integral de /

fdp= / f+dfi - J f~dfi.

Sejam A um conjunto mensurável e / uma função mensurável. Dizemos que / é integrável em A, se f\A for integrável. Definimos o integral de / em A por

fdp. = / fXAdii. A J

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 5

Proposição 1.1.8. Sejam c 6 M. e f,g funções integráveis. 1. cf é integrável e f cfdji — cffd/J,.

2. f + g é integrável e J(f + g)d[i = J fd/j, + J gdfx. 3. f < g => / fd/j, < J gdfi.

4- Se A e B são conjuntos mensuráveis disjuntos, então l fdfj, = / fdfj, + / d\i.

JAUB J A JB

Proposição 1.1.9. .Se / é uma função integrável, então

I J fdn\ < J'\f\dfM,

e temos a igualdade se e só se f > 0 qtp ou f < 0 qtp.

O resultado abaixo dá uma condição suficiente para a integrabilidade do limite de uma sucessão de funções.

Teorema 1.1.10 (Convergência Dominada). Seja (/n)n uma sucessão de

fun-ções mensuráveis tais que \fn\ < g, onde g é integrável, e f = lim^oo fn qtp. Então

f é integrável e

lim / fndfj, = / fdfj,. n—>oo

O teorema seguinte dá a relação entre a noção de integral de uma função real de variável real segundo Lebesgue (em relação à medida de Lebesgue nos borelianos de R) com a noção de função integrável segundo Riemann.

Teorema 1.1.11. Se f é integrável segundo Riemann, então f é integrável segundo Lebesgue e os integrais coincidem.

Facilmente se prova que o recíproco deste teorema não é válido. De facto, basta considerarmos no intervalo [0,1] a função característica dos irracionais, que denota-mos por Xi- É claro que \i não é integrável segundo Riemann. Por outro lado, \i é uma função mensurável e \i — 1 Qtp, donde se conclui que f XidX = 1 (A denota a medida de Lebesgue). Deste modo, acabamos de ver que a integrabilidade segundo Riemann é mais exigente do que a integrabilidade segundo Lebesgue.

Seja (X,A,fi) um espaço de medida. Se 1 < p < oo, denotamos por Lp(fi) a classe de todas as funções mensuráveis / tais que \f\p é integrável, com a identificação de funções que coincidam em quase todo ponto. Definimos para / G Lp(fi)

I/P

l/pV

CAPITULO 1. PRELIMINARES G

(note-se que, pela definição dada, são iguais os integrais de duas funções que coin-cidam em qtp).

A Desigualdade de Minkowski estabelece que se /,g G Lp(fi), então ||/ + g\\p < II/HP + IMIpi donde resulta em particular que / + g G LP(/J,) se /,g G Lp(/j,) e ||.||p é uma norma. Note-se ainda que, se não identificarmos duas funções mensuráveis que coincidam qtp, ||.||p será apenas uma semi-norma em Lp(fj,).

Definimos L°°(fj,) como a classe das funções mensuráveis / tais que existe algum

M > 0 tal que \f(x)\ < M qtp, mais uma vez com a identificação de duas funções

que coincidam em quase todo ponto. Denotamos por ||/||oo ° ínfimo dos valores M com esta propriedade; mais precisamente,

||/||oo = i n f { M > 0 : \f(x)\<M}. É fácil verificar que || H^ define uma norma em L°°(/i).

Para 1 < p < oo, se / G Lp(/i), resulta do modo como definimos estes espaços que / está identificada com uma função mensurável que nunca toma os valores ±oo. Basta notar que, se ||/||p < oo para algum 1 < p < oo, então o conjunto dos pontos onde / toma os valores ±oo terá que ter medida nula. Assim, podemos identificar / com uma função mensurável que não toma nunca os valores ±oo. Deste modo, faz sentido falar de / ± g, com /, g G Lp(/j,), para algum 1 < p < oo, considerando se necessário representantes de / e g que não tomem os valores ±oo.

Terminamos esta secção com uma breve indicação de como a teoria apresentada anteriormente se estende a funções tomando valores complexos. Sejam (X, A, fJ.) um espaço de medida e / uma função definida em X e tomando valores em C. Sejam R e / e I m / , respectivamente, a parte real e a parte imaginária de / , isto é, / = Re / + % Im / com Re / e Im / tomando valores reais. Dizemos que / é mensurável se e só se Re / e Im / são mensuráveis e, similarmente, / é integrável se e só se R e / e I m / são integráveis. No caso da integrabilidade de / , definimos

/ fdfi = / Re fdjd + i / Im fd/j,.

Com estas definições, os resultados apresentados anteriormente aplicam-se (com algumas alterações óbvias) a funções tomando valores complexos.

1.2 Medidas invariantes

Nesta secção, faremos uma breve referência às medidas invariantes por uma trans-formação, que assumem um papel de primordial importância na Teoria Ergódica. Começamos com uma generalização da definição de função mensurável.

Sejam (X, A, y) e (Y, B, v) espaços de medida e T: X —> Y. Dizemos que T é uma transformação mensurável se T~1(B) e A para todo B G B. Dizemos que a

CAPITULO 1. PRELIMINARES 7

transformação mensurável T preserva as medidas /t e v se /i(T~1(B)) = u(B) para todo B G B. Estaremos particularmente interessados no caso em que T: X —> X é uma transformação mensurável do espaço (X, A, ji) em si mesmo. Neste caso, diremos que /i é T-invariante quando T preserva \x.

Um espaço de probabilidade (X,A,fL) diz-se um espaço de Lebesgue, se for isomorfo mod 0 ao espaço de probabilidade ([0,1],B, A), onde À é a medida de Lebesgue. Por isomorfo mod 0 entenda-se a existência de conjuntos X' C X e M C [0,1] com n{X') = l e A(M) = 1 e uma função bijectiva tp : X' —* M mensurável com

Lp~l mensurável preservando as medidas \L e A restritas a X' e M, respectivamente.

Teorema 1.2.1 (Rokhlin). Qualquer espaço de probabilidade na o-álgebra dos bore-lianos de um espaço métrico separável completo é um espaço de Lebesgue.

Sejam (X,A,fï) um espaço de medida e T: X —> X uma transformação que preserva \i. Se / : X —> M. é uma função mensurável, então / o T é também uma função mensurável. Dizemos que / é uma função T-invariante se / o T = f qtp.

Proposição 1.2.2. Sejam (X, A, fi) um espaço de medida e T: X —» X uma trans-formação que preserva /i. Se f G Ll(n), então f o T G Ll{ji) e

j foTd(i = J /d/x.

Sejam (X, A, /i) um espaço de probabilidade e T uma transformação que preserva

ji. Um conjunto A G A diz-se T-invariante se T_1(y4) = A. Dizemos que T é

ergódica (com respeito a /t) se todos os conjuntos T-invariantes de „4 têm medida

igual a 0 ou 1. A ergodicidade de uma transformação pode ser formulada em termos da constância das funções em Lp(fj,).

Proposição 1.2.3. Sejam (X,A,fi) um espaço de probabilidade, T: X —> X uma transformação que preserva ji e 1 < p < oo. São equivalentes:

1. T é ergódica.

2. Se f G Lp(/j,) é T-invariante, então f é constante qtp.

Sejam S1 — IR/Z o círculo unitário e A a medida de Lebesgue em S1. Dado a ê l , definimos a rotação de ângulo a

x i—> x + a (modi).

Temos que Ra preserva A, para todo a G M. e é ergódica com respeito à medida de Lebesgue A se e só se a G R \ Q . Temos ainda que S1 — [0,1]/ ~, onde ~ é a relação de equivalência que identifica 0 com 1. Assim, o integral de uma função / definida em S1 poderá ser indicado por

/ fdX ou / f(x)dx.

CAPITULO 1. PRELIMINARES 8

1.3 Séries de Fourier

0 objecto de estudo desta secção é o espaço das funções complexas definidas em [0,1], de quadrado integrável (Lebesgue). Veremos que estas funções podem ser representadas por uma série de Fourier, no sentido da convergência em I?.

Seja H um espaço vectorial sobre o corpo C. Um produto interno em H é uma função (.,.) definida em H x H e tomando valores em C, satisfazendo as seguintes condições para todos x,y,z£He\£C:

1. (x, x) > 0 e (x, x) — 0 se e só se x = 0 2. {x + y,z) = (x,z) + (y,z)

3. (Xx,y) = X(x,y) 4- (x,y) = (y,x)

Um espaço vectorial H munido de um produto interno diz-se um espaço

pré-hilbertiano. Facilmente se prova que a função x £ H i-> \\x\\ = (x, y)1^2 define uma norma em H. Se o espaço pré-hilbertiano H com a métrica dada por esta norma é completo, dizemos que H é um espaço de Hubert.

Dado um espaço de Hilbert H, dizemos que dois vectores x,y G H são

ortog-onais se (x,y) — 0. Um subconjunto S C H diz-se ortonormal se (x,x) = l e {x, y) = 0 para x ^ y. Se S é maximal para a inclusão, isto é, S não está

estrita-mente contido em nenhum outro conjunto ortonormal, dizemos ainda que S é uma

base ortonormal de H. Prova-se que:

Teorema 1.3.1. Todo o espaço de Hilbert tem alguma base ortonormal.

Teorema 1.3.2. Seja H um espaço de Hilbert e {ea}aej uma base ortonormal.

Então para cada x E H

x = ^2(x,ea) e \\x\\2 = ^ | ( x , eQ) |2.

ael ael

Seja (X,A,fi) um espaço de medida. O produto interno em L2(fi) dado por

(f,9) = jfgdfi (1.1)

produz a norma ||.||2 em L2(fi), donde se conclui que L2(/i) é um espaço de Hilbert. O produto interno (1.1) está bem definido pois, se g G L2(/J,) também g G L2{jj).

Daqui por diante, até ao final desta secção, concentrar-nos-emos no espaço de Hilbert L2(X), associado à medida de Lebesgue À no intervalo [0,1] que denotamos por L2[0,1]. De seguida iremos descrever uma base ortonormal de L2[0,1].

CAPITULO 1. PRELIMINARES 9

Seja {/n}nez uma colecção de funções em L2[0,1] definidas para cada n G Z por

fn(x) = e2*inx.

Facilmente se prova que {/n}nez é um conjunto ortonormal, basta notar que, para

m,n G Z se tem

— I 1 S e Til -— 7Z /m/ndA = | 0 g e m ^ n^ Prova-se ainda que:

Teorema 1.3.3. A família {fn}nez é uma base ortonormal de L2[0,1]. Seja / G L2[0,1]. Definimos, para cada Î Î G Z

/(") = </, In) = j iTndX.

Estes números são chamados de coeficientes de Fourier de / € L2[0,1]. Do Teorema 1.3.2 obtemos

\f\

2

dX= li/Hl = £ | / ( n ) |

a

.

raGZ

Corolário 1.3.4. Se f £ L2[0, l], então YLn^i í (n) fn converge para f na norma de L2[0,1], quando n —>• 00.

A série Xlnez f(n)fn é chamada série de Fourier de / . Pelo Corolário anterior, resulta que a série de Fourier de / representa a função / no sentido da convergência em L2[0,1].

1.4 Fracções contínuas

Nesta secção faremos uma breve referência às fracções contínuas, indispensável à apresentação da terceira secção do Capítulo 3. Estaremos particularmente interes-sados em fracções contínuas infinitas que representam, como veremos mais adiante, os números irracionais.

A uma expressão da forma

a0 -\ ;—, onde a0 G Z e Oj G N para todo i > 1

ai H y—

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 10

denominamos fracção contínua e representámo­la por [ao; ai, a2, ■ ■ ■ ]. Se o número de aj's for infinito diz­se fracção contínua infinita, caso contrário, diz­se fracção

contínua finita e escrevemos

ao H ; î = [ a0; a i , . . . , an] , (1.2) ai H ;

a2+

+

-±-A fracção contínua (1.2) também chamamos fracção contínua de ordem n. Toda a fracção contínua finita é o resultado de um número finito de operações racionais com os seus elementos a/s, e pode ser representada sob a forma de uma fracção p/q, que designamos de representação canónica. É claro que esta representação não é única. Vejamos, por indução, como definir uma tal representação canónica. Se tivermos uma fracção contínua de ordem 0, isto é,

[a0] = a0

consideramos a fracção ao/l. Suponhamos agora que a representação canónica está definida para fracções contínuas de ordem menor que n. Podemos escrever

[a0; ai, a2, . . . , an] = [a0; ri] = a0 H ,

n

onde ri = [a^ a2, . . . , a„] é uma fracção contínua de ordem n — 1, e portanto a sua representação canónica está definida, isto é,

pi

n =

- .

Q Assim, a o ; a i , . . . ,an] — ÜQ­\—■ p

Fazendo p = a^p' + q' e q = p', temos

[ao; a i , . . . ,an] ­

Deste modo, temos definidas representações canónicas de fracções contínuas de todas as ordens.

Vamos agora concentrar­nos nas fracções contínuas infinitas. Consideremos a fracção contínua infinita

_ a0p' + q' pi

p

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 11

Chamamos /c-ésima a p r o x i m a ç ã o da fracção contínua (1.3), à fracção contínua finita

[ao; c i i , a 2 , . . . , Ofe],

cuja representação canónica denotamos por Pk/qk­ Deste modo, à fracção contínua (1.3) corresponde u m a sequência de aproximações

Po Pi Pk

<7o 9i Qk

Se a sucessão acima converge para um número a, consideramos esse a como o "valor" da fracção contínua (1.3), e escrevemos

a = [a0;ai,a2,...].

T e o r e m a 1.4.1. Para k > 1,

1. pk+i = ak+xpk +Pk­i­

2­ qk+i — «fc+iÇfc + Qk­i­ 3. qkPk­i ­PkQk­i = ( ­ l )f c­

, r ! PkTk+l+Pk­l , r ! 4. [a0;a1,a2,. ■■ = ; , onde rk+x = [ak+ù af c + 2, . . . .

Ofcffc+i + Ofc­i

Vejamos agora como todo o irracional pode ser representado por uma fracção contínua infinita. Seja a G R \ Q. Denotemos por ao o maior inteiro não superior a. Temos

a = a0­\ . (1.4)

ri

E claro que r\ > 1, pois 1/Yi = a — CLQ < 1. Como a é irracional, também r i é irracional. Podemos assim aplicar o mesmo método a r\. Deste modo, denotando por ai o maior inteiro não superior r i , obtemos r2 pela relação

1 ri = ai H .

r2

Mais geralmente, para n > 1, como rn é irracional, denotando por an o maior inteiro

não superior a rn, obtemos rr a +i pela relação

1 rn+ l

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 12

(Note­se que o facto de a ser irracional implica que o processo descrito acima é infinito). Ora,

a = [ a o ; a i , o2, . . . , an_ i , rn] . (1.5) Seja

ao; Oi, 0 2 , . . . , on_i, an = —,

onde a fracção pn/ çn é irredutível e qn > 0. Por (1.5) e pelo Teorema 1.4.1 temos, para n > 2

a = . Qn­lT­n + Çn­2

Por outro lado, temos ainda

Qn Qn­l^n + Çn­2 Assim,

_ Pn _ ( P n ­ l g n ­ 2 ~ g n ­ l P n ­ 2 ) ( rn ­ aw)

çn (g„_irn + ç„­2)(gn­ian + çn_2) ' e portanto, resulta do Teorema 1.4.1 que

I Pn\ ^ 1 1 a < 7 77 7 < ^ 7 ­ Çn ( g n ­ i r „ + gn­ 2 ) ( Ç n ­ l ûn + gn­2) Qn Logo, Ü — —> a quando n —> oo, ou seja, a = [ao',ai,a,2, ■ ■ ■]■

E natural perguntar se esta representação de a por uma fracção contínua é única. Denotando por [a] o maior inteiro não superior a a e supondo que

a = [a0;oi,a2,...] = [aó;ai,a2,...],

temos ao = [a] e a0 = [a], e portanto ao = a0. Admitamos que a^ = a[, para todo i € {0, ...,n}. Então, para cada i G {0, ...,n}, temos pi = p[ e qi = q\. Pelo Teorema 1.4.1 vem

P n r ­ n + 1 + P n ­ l = P X + 1 + Pn­1 _ j W n + 1 + Pn­1

Çn^n+1 + 9 n ­ l 9nrn+l + 9 n ­ l Qn^+i + Çn­1

donde, rn +i = r^+1. Como a„+i = [rn+i] e a^+1 = [r^+1], obtemos que an+l = a'n+1. Deste modo, podemos concluir que dado um irracional a existe uma única fracção contínua com valor igual a a.

Capítulo 2

O Teorema Ergódico de Birkhoff

Neste capítulo apresentaremos uma prova simples do Teorema Ergódico de Birkhoff e mostraremos um recíproco desse teorema para funções não negativas. Apresentare-mos ainda um contra-exemplo para o recíproco no caso geral.

2.1 U m a prova simples

Sejam (X, A, LI) um espaço de probabilidade e T : X ^ X uma transformação que preserva \x. Se / G L1^), definimos para n > 1

1 n—X

M

n T

/ = - ^ / o T ^ /

n

=supM

f c r

/ e r = 8up/„.

n n Kk<n n>l

j = 0

A etapa fundamental na prova do Teorema Ergódico de Birkhoff é o lema seguinte.

Lema 2.1.1. Sejam f G LX{LI) e À: X —> M. uma função T-invariante tal que

X+ E Ll(n). Se A = {x € X : f*(x) > X(x)}, então

í (/ - A ) ^ > 0. JA

Prova. Para A ^ L1(H\A) temos naturalmente JAXdLi = — oo, como / e L1(LI)

resulta que JA(f — X)dpb — +oo > 0.

Se A G L1(H\A), então A G Ll(n). Como A+ G Ll{ji), é suficiente provar que

A- G L1(/i|/ic). Se a: G Ac, temos que supn fn(x) < X(x), em particular, fix) < X(x). Assim, em Ac verifica-se que / < A, ou seja, A~ < A+ — / . Resulta da integrabilidade de A+ e / que A~ G L1(/x|J4c).

CAPITULO 2. O TEOREMA ERGODICO DE BIRKHOFF 14

Se definirmos, para cada n G N

An = {x G X : fn(x) > X(x)} temos

( / - A ) X A „ > ( / - A ) . (2.1) Para a desigualdade acima, notar que, em Acn temos / < A, ou seja, / — A < 0.

Vejamos agora que se / G L°°(fi), então

/ (f-X)dfjL>0. (2.2)

Fixemos arbitrariamente n G N. Para m ^> n, consideremos

m—l

Y.U-^XAAT'x). (2.3)

3=0

Esta soma poderá eventualmente iniciar-se por uma soma de termos todos iguais a zero, ou seja, tais que TJx ^ An. Seja kç, = min{0 < j < m — 1 : T^x G An}. Temos

fe-i

sup Ty^f(T'+kox) > X(Tkox).

Kk<n K *-i ₃₌₀

Atendendo ao facto de A ser T-invariante, obtemos

1 fc-i

sup y(f-\)(T^x)>0.

Kk<n k /r~^ 3=0 Assim, por (2.1) fc-i Kk<r ,!_{' ' " " ' 3=0} UP E ( / - VXAn(Tj+kox) > 0.

Desta forma, o /c0-ésimo termo da soma (2.3) inicia uma soma positiva de não mais de n termos. Considerando o termo seguinte ao último termo desta soma, repetimos a análise anterior e voltamos a ter ou somas de termos iguais a zero ou somas positivas de não mais de n termos. Ora, a soma dos m termos de (2.3) pode terminar no meio de um destes dos tipos de somas. Em qualquer um dos casos, existe i G {m — n,..., m — 1} tal que

CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF ₁₅ m—l m—l

Y,U-^)XA

n

{T

j

x) > £(/-A)x

A n

(7%)

3=0 J=l > m—l > m—l

È-ai/iu+A+xr'*)

= m—l

E-(ll/IU + A

+

(x))

= ( - ^ + ^)(||/||oo + A+(x)) > _{-n(||/||oo + A+(^)).}

Para a quarta igualdade na sequência acima, notar que A é T-invariante. Integrando vem

m—l

3=0

uma vez que T preserva fj, temos

m—l

Ê / (/-A)oT''d/i>-n(||/||oo+ /Vd/x),

J2 / (/ - A)d>* > -r»(||/||oo + IIA+I

j=Q JAn

Assim,

m / ( / - A ) d / i > - n ( | | / | |0 0 + ||A+||1).

Dividindo ambos os membros desta desigualdade por m obtemos

/ ( / - A H u > — (||/||oo + ||A+||i).

JAU m

Como o segundo membro da desigualdade acima converge para 0 quando m —> oo, obtemos (2.2). Vejamos agora que (2.2) se estende a / G Ll(n). Consideremos, para

cada fc,n G N

 = fX{xex-.\f(x)\<k} e A£ = {x G X : (A)„(x) > A(x)}.

É claro que, para todo k, % G L°°(fj,). Por outro lado, fixado n temos, para quase todo ponto

CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF 16

A convergência acima também é em Ll{ji). Temos ainda

fi(An) —> n(An) quando k —> oo. (2.5) Como para todo k, fk G L°°(n), obtemos de (2.2), (2.4) e (2.5)

0 < / Uk-X)dn-* I {f-\)dn (fc->oo),

e portanto, para / G Ll(ii) temos ainda

/ (f-X)dfi>0. (2.6)

JAn

Provemos agora que (2.6) implica que J\ (/ — A)d/i > 0. De facto, aplicando o Teorema da Convergência Dominada a (f—X)XAn (n°tar que | ( / — X)XAn\ < \f —A| G

Lx{fi) e limn_oo(/ - X)xAn = (f - X)XA qtp) deduzimos que

0 < lim / ( / - X)XAJV = / ( / - A ) X A ^ = / (/ - A)d/x,

o que prova o resultado. D Se A é a função nula, o lema acima é conhecido como o Teorema Ergódico

Maxi-mal.

Teorema 2.1.2 (Ergódico de Birkhoff). Sejam (X,A,/J.) um espaço de proba-bilidade e T : X —» X uma transformação que preserva ji. Então, dada qualquer função integrável f : X —> R, o limite

1 n—l

/(*)= l i m - V / o l F

T7—>r*n T i ^ *

n—>oo 77,

exisíe para ç^ase iodo i £ l . Além disso, f é uma função integrável com J fd/j, =

J fdfi e f o T — f. Finalmente, se T é ergódica, então f — f fdfi. Prova. É suficiente provar que

/ lim sup Mj/d/x < / fdfi. (2.7)

J n—>oo J

De facto, suponhamos que (2.7) se verifica. Temos

limsupMj(-/)d/i < / - / d / i ,

CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF 17 ou seja, / ­ l i m sup M j ( ­ / ) d / x > [ fdii, J n—>oo J e portanto / l i m i n f M j / d / i > / / d / x . J n^°° J Assim,

lim sup M j / d / i < / /d/i < / lim inf M j / d / i < / limsupMj/d/í,

n—>oo 7 J n~*°° ■/ ri—too

donde

( lim sup M j / ­ lim inf M j / ) d/i = 0,

n—KX> n *°°

e portanto, em quase todo ponto

lim sup M„ / = lim inf M„ / ,

n—»oo n—>oo

o que prova o resultado.

Vejamos então que (2.7) se verifica. Consideremos, para cada k 6 N, a função T­invariante

Àfc = min < lim sup M j /+, fc

É claro que A^ e Ll{^) e {x e X : (f+)*(x) > Xk(x)} = X. Pelo Lema 2.1.1 temos ^ (/+ ­ \k)dy. > 0. Assim, / /+d / i > í Xkdfi^ />l i m s u p M j / + (fc ­♦ oo). J J J n—>oo Ora, como ( l i m s u p M j / )+ < lim sup M j / + , n—>oo n—>oo

temos que (limsupn_+00 M j / )+ é integrável. Analogamente se prova que também ( l i m s u p ^ ^ M j / ) ~ é integrável e, consequentemente, limsupn_ÍOO M j / é integrável.

Sejam e > 0 arbitrário e A = l i m s u p ^ ^ M j / — e. Pelo Lema 2.1.1 temos

fdfi > / A d/i,

como e > 0 é arbitrário,

CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF 18

o que prova o pretendido. Das observações acima resulta que / é uma função integrável e f fdfi = J fdfx. Por outro lado, é imediato verificar que se o limite existe para algum ponto x € X então também existe para T(x) e coincide com o limite para x, donde se deduz que / o T = / . A conclusão de que / coincide com o integral de / no caso da ergodicidade de T sai assim como consequência da

Proposição 1.2.3. D

2.2 Recíproco p a r a funções não negativas

Nesta secção demonstraremos que se T é ergódica e / é não negativa, então vale o recíproco do Teorema Ergódico de Birkhoff. Na secção seguinte provaremos que o recíproco não vale em geral.

Teorema 2.2.1. Sejam (X,A,/JL) um espaço de probabilidade, T : X —► X uma transformação ergódica que preserva \x e f : X —> IR uma função mensurável tal que, para quase todo x G X, existe

i " ;

lim ­ V / o T ^ i ) .

Se f é não negativa, então f é integrável.

Prova. Para cada c G l , consideremos o conjunto mensurável

1 n—l

Ac={xeX: lim ­ V / o Ti( i ) = c}.

L n—>oo 77, *■—J '

3=0

É claro que Ac é T­invariante. Como T é ergódica temos fJ,(Ac) = 0 ou /J.(AC) — 1, Assim, existe uma constante c* tal que (i(Ac*) = 1, e portanto, podemos assumir que

1 n—i

lim ­ V f oTHx) =

n—>oo n 3=0

em quase todo ponto x £ X. Se definirmos, para cada k > 0, a função mensurável

fk = min{/,/c},

é imediato verificar que fk é limitada, e portanto integrável. Pelo Teorema da Convergência Monótona

lim / fkd/i = / lim fkdii = / fd\x.

CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF 19

Assim, para provar a integrabilidade de / , basta provar que a sucessão ( f fkdfi), é limitada. Pelo Teorema Ergódico de Birkhoff, para todo k > 0, existe

1 n—l

lim ­ThoTH

m—>nn Tl *■ *

n—too Ti 3=0

para quase todo x E X. Por outro lado, como fk < f, para todo k, temos que

n—l ., n—l

lim ­ V /f co Tj(x) < lim ­ V / o TJ(x), (2.í

para quase todo x E X. Ora, como

1 n— 1

lim — } f o THX) = c*,

j = 0

para quase todo x 6 X, de (2.8) temos

n ­ l lim ­ V /f co P ( i ) < c * . (2.9) .).—too n ' « Seja n—>oo 77, i=o /fe = lim ­ V /f co TJ. n—>oo 77, *—»

Sendo T uma transformação ergódica, resulta do Teorema Ergódico de Birkhoff que

fk= fkdfi.

Assim, de (2.9) temos, para todo k > 0

fkdfi < c*,

o que prova o resultado. D Vamos agora ver que este resultado pode ser estendido a funções semi­integráveis.

Como toda a função mensurável / pode ser escrita como diferença de duas funções não negativas, isto é, / = /+ — / " temos, para todo x G X,

­. n—l 1 n—l _ n—l

£%.í'

lT

'H = £2.­

n

E/

+

«r>(*) ­£» ;E/"»

r I

<­). (2­10)

CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF 20

sempre que os limites existam.

Nas condições do teorema anterior, seja / uma função semi­integrável. Podemos supor, sem perda de generalidade, que /+ é integrável. Ora, se para quase todo

x G X, existe

­. 7 1 — 1

l i m ­ V / C F z ) ,

n—>oo Tl * — '

i=o

obtemos de (2.10) e da integrabilidade de /+ que, para quase todo x G X, existe lim ­ S" f­(Tjx).

n—>oo n * — '

Aplicando agora o teorema anterior à função não negativa / ~ , temos que /_ é integrável e, consequentemente / é integrável. Isto prova o seguinte corolário:

Corolário 2.2.2. Sejam (X,A,fi) um espaço de probabilidade, T : X —■> X uma transformação ergódica que preserva \i e f : X —>■ R m a função mensurável tal que, para quase todo x G X, existe o

­. n—l

lim ­ V / C F x ) .

n—>oo Ti * — '

Se f é semi­integrável, então f é integrável.

2.3 Contra­exemplo para o recíproco

Ao longo desta secção assumiremos que (X, A, ji) é um espaço de Lebesgue fini­ to não atómico e S, T: X —> X são transformações invertíveis ergódicas. Estas transformações geram, de maneira natural, uma acção de Z2 em X:

I? x X —► X «M),aO ■—> r ^ ' ( x )

Dizemos que esta acção é livre se, para quase todo i G l ,

TSj{x)^x para ( i , j ) ^ ( 0 , 0 ) .

Assumiremos doravante que a acção gerada por S e T é livre. Para N > 1, definimos fí^ = {(i, j) eZ2:l<i<Nel<j< 2N} c Z x Z .

Apresentamos a seguir um lema que desempenhará um papel importante na cons­ trução de uma função que sirva de contra­exemplo para o recíproco do Teorema de Birkhoff no caso geral. O lema é apresentado sem demonstração uma vez que as técnicas usadas na sua demonstração se afastam bastante do âmbito deste trabalho.

CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF 21

Lema 2.3.1 (Kakutani-Rohlin). Dados N G N e e > 0, existe A £ A tal que 1. os conjuntos {TlSjA : (i,j) G RN} são disjuntos;

%■ n{\j{i^RNTi&A)>l­e.

Prova. Ver [17]. □

Incidentalmente, é apenas na prova do Lema Kakutani­Rohlin que se usa o facto de (X, A, fi) ser um espaço de Lebesgue não atómico.

Lema 2.3.2. Se K e N são inteiros positivos e go é uma função mensurável e

limitada com suporte EQ, então existe uma função mensurável e limitada pi tal que 1. f gidfi = f g0dfj,;

2. /i(Uil­/v S~*E\) < 2/K, onde Ei denota o suporte de pi; 3­ supx e X \gi{x)\ < KsupxeX \g0(x)\;

4­ \ £?=o(0i ­ 9o)(Tjx)\ < 2Ksupx£X \g0(x)\, para todos x G X en>l;

\K

5. Di C (JJ= 0TJEQ, onde Di denota o suporte de pi — go.

Prova. Suponhamos, sem perda de generalidade, que fJ,(X) = 1. Sejam

1 AT 2N e

NQ = — e e0

K' u ' e u 2(2iV + l ) ' Pelo Lema de Kakutani­Rohlin, existe um conjunto A G A tal que

1. os conjuntos {TlSjA : (i,j) G RN0} são disjuntos; 2­ K{J{hj)eRNJlSJA)>l­eo. Sejam 2iV0 N0e A = ( J TS*A, Ci=\J TSjA e B = \J CjK. (hj)eRNQ J=l J'=i Definimos pi : X —► R por Po(x) se x £ A gi{x) =<( 0 se x e Â\B

CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF 22

A função gi está bem definida, é mensurável e limitada (notar que g0 é limitada). Resulta da definição de gi que

/ gid/j, = / godfi. (2.11)

Jx\Â Jx\Â

Atendendo a que T preserva \i e, para todo o % 6 {1, ...,NQ — 1}, C; = T_ 1Q+ 1, temos Pid/i = / gidfi A J B N0e „ K - 1

E / E ^o °

T_í

^

j = \ JCjK i =o J = N0e fC-1

= E E / gooT-'dfi

j=l i=o J°JK N0e K-\

=

Ë E / ^

j = l i=Q JCJK

= ^ E / 5°^

í/od/i. (2.12) De (2.11) e (2.12) obtemos a propriedade 1.

Seja B — X \ A. Resulta de 1 e 2 que

l-e0<íi(Â)= Y, KA)=2N$n(A)<l (2.13)

{i,j)eRNo

H{B) = fi(X\A) = l - n(A) <l-l + e0 = e0. (2.14) Ora,

N N N0e N N0e 2N0 N N0t2N0

U s>B= u s'(UCiff)= U l M U

T í /

^ ) = U U U

O T i i

^

j=~-N j=-N i=l j=-N i=l 1=1 j=-N i=l 1=1

CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF 23

N Noe N+2N0

U S

j

B = \J (J T

lK

S

j

A. (2.15)

j=-N i=l j=-N+l

Assim, de (2.13) e (2.15) vem que

N N0e N+2N0

/*( U

SJB

)

< E E vw

j=-N i=l j=-N+l

— _N0e(2N + 2N0)n(A) — _2A^02e(l + 6-MA) < _{e(l + | )}

< 3 2£ -Por outro lado, de (2.14) temos

JV

MU

J=-N

5

j

S)

< AT

Í>(5)

j=-JV < (2iV + l)/i(£) (2N + l)e0 e 2"

E claro que Ei Ç B U B, e portanto de (2.16) e (2.17) obtemos

N N

n( (J 5-^) = /z( (J 5^0

N N

< n( U S'£)+/x( (J #£)

j=-JV j=-JV 3e e

< ¥ + 2

= 2e 2 (2.16) (2.17)

CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF 24

ficando assim provada a propriedade 2.

Resulta facilmente da definição de gi que, para todo o x £ X,

e, consequentemente \gi(x)\ < Ksup\g0(x) xex sup|<7i(x)| < Ksup\go(x)\, xex xex o que prova 3.

Para provar a propriedade 4, comecemos por observar que, se x G X e n' > 0 são tais que TK'x G CÍK-(K-I), para algum i G {1,..., A^e}, ou seja, se

2N0

T

K

'x G (J r

K

~

{K

-

l)

S

j

A,

3=1 então donde 2N0

T

K

'

+K

-

l

x<é [JT

iK

S

j

A = C

iK

,

K'+K-1 K'+K-1 K'+K-1

Y, (gi-goWx) = Y, 9i(T

j

x)- Y 9o{T

J _x)

J=K' J=K' J=K' K'+K-\ gi

{T^^x)- Y 9o(T

j J=K' K-\ gi(T K'+K-1 X = 9i(T K'+K-1 X = gi(T = gi{T = 0. K,'+K-1 X K'+K-1 X X X) X)

-J29o(T

j+K

'

-Y,9°(

T

~

j+K

'

+K

~

l 3=0 K-\

-J29o(T-

j

(T

K

'

+K

-

l

x))

3=0

-

9l

(T^

K

-

l

x)

(2.18) Para a segunda igualdade na sequência acima, notar que para K' < j < K' + K — 1, TJx ^ CiKi para todo o i G { 1 , . . . , Aoe}. A sexta igualdade resulta facilmente da definição de g\ e do facto de TK +K~1x G CÍK, para algum i G {1,..., Nç,e\.

CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF 25

Fixemos arbitrariamente x G X. Seja /co o menor inteiro não negativo tal que

Tkox G A. E claro que se tal k0 não existe, então para todo o j > 0, TJ:r ^ A, e portanto (gi — go){T^x) = 0, para todo o j > 0, o que implica, neste caso, a propriedade 4. Supondo, então, que tal ko existe, seja kç, < k\ < k0 + K tal que ou

Tklx G CjiK-iK-i), Pa r a algum jx G { 1 , . . . , N0e}, ou Tklx £ A e Tfc'x e Á para

ko < k' < k\. Por construção obtemos uma sequência k\ < k,2 < ... tal que para

todo o n > 1, ou Tfcnx ^ A ou, se Tknx G Á, então existe um j n G {l,...,N0e} tal que Tknx G CjnK-(K-i)- Vejamos, mais precisamente, como obter tal sequência. Seja n > 1. Se Tfcnx G A, então existe j n G {1,..., N0e} tal que Tknx G Cjn^_(K-i). Se j n < Noe, então consideramos /cn+i = kn + K e jn +\ = jn + 1, temos neste caso

Tkn+1X = Tkn+KX G CjnK-(K-l)+K = C(jn+i)K-{K-l) = Cjn+lK

-(K-l)-Se j n = N0e, tomamos também neste caso kn+\ — kn + K. Ora, como Tknx G

CN0-(K-I)I temos claramente que

T "+ 1" x G CN0-(K-I)+{K-I) = CN0

-Logo, se Tkn+1x G A, como Cj = J H ^ C J + I , para j < N0, resulta que

Tk^x G d = CK-(K-I)

e, obviamente, consideramos neste caso, jn + í = 1.

Se Tknx ^ A, seja /cn+i = &„ + 1. Ora, se Tkn+1x <£ A repetimos o processo, caso contrário temos

T~l(Tkn+1x) = Tknx $ Â, e portanto

Tk^x G Cx = CKHK-X),

e, tal como anteriormente, fixamos jn+i = 1.

Para n > 1, se Tfcnx G A, resulta de (2.18), fazendo K' — kn, que

fcn+l-l fcn + K - l

^ ( S I - < ? O ) ( T V ) = X ] ( 5 i - 5 o ) ( T ^ ) = 0. (2.19) Se Tfcna; ^ A, então /cn+i — 1 = kn, e neste caso, por definição de g\, também se

verifica que

CAPITULO 2. O TEOREMA ERGODICO DE BIRKHOFF 26

Por outro lado, temos ainda

fci — 1 fci—1 fei —l

\J2(9i-9o)(T>x)\ = | j > ( T ^ ) - Y^9o(T

j

x)\

j=k0 j—ko j=k0 fci-1

= \

gi

(T^-

l

x)-J2g

Q

(T^)\

j=ko

= if^goiT-^T^x^-f^go^x)]

i—O j=ko K-\ ki-1 < ^|flb(T-i+fcl-1a:)| + J 3 | ( t o ( T ^ ) | i = 0 J=feo < 2Ksup\g0{x)\ (2.21)

Para a segunda igualdade na sequência acima, notar que, se Tklx G C^K-ÍK-I) c o m ji G {1, ...,N0e}, então Tkl~lx G C^-^K e, para todo k0 < j < ki — 1, TJx ^ 5 .

Por outro lado, se Tfclx ^ A, então para todo fco < j < fci — 1, T^x G A Em

particular, Tkl~lx G A Como d = T~1Ci+\ temos que Tkl~1x G CW„ = CW/r e

T^x £ B para todo ko < j < kx — 1.

Para kn < M < kn+i, atendendo ao facto de kn+\ — kn < K, temos

M M

I X > i - 0ô)(T'x)| - I J ] »o(TJx)| < i^sup |^o(x)|. (2.22)

J—Kn J—n>n

Para todo 0 < j < ko, TJx ^ A, e portanto

fco-i

j > i - < t o ) (2**01=0. (2.23)

De (2.19)-(2.23) deduzimos que, para todo o n > 1, n - l

| V ( 5 i - 5 o ) ( ^ x ) | < 2 ^ s u p |5 o( x ) ! .

Como x G X é arbitrário, temos a propriedade 4.

Finalmente, para provar 5, seja x G Dj.. Se g\{x) ^ 0, então

CAPITULO 2. O TEOREMA ERGODICO DE BIRKHOFF 27

e portanto, existe j G { 0 , . . . , K — 1} tal que g^iT'^x) ^ 0, ou seja, tal que T~jx G

E0, donde x G TJE0 para esse j . Assim, x G l)f=QT^EQ, e portanto Dx C U J ^ Q T ^ O

-Se gi(x) = 0, é claro que x E E0 Ç UJLQT^EO, e portanto a propriedade 5 verifica-se

também neste caso. D Sejam (A, A, JJ) um espaço de medida e T : X —> X mensurável. Dado e > 0,

dizemos que uma função mensurável / : X —> R é (T, e)-anulável se existe A ^ € ^4. tal que /z(A \ ATi£) < 2e e | M j / ( x ) | < e, para todos n > 1 e x G X ^ .

Lema 2.3.3. 5ej/a i? o suporte de uma função mensurável f : X —> R. 5e A > 0 é ia/ çue /w(Uj=o-^1~J^') < 2e e | ^ ? ro /(TJx)| < Ke, para todos n > 1 e x G X,

então f é (T,e)-anulável.

Prova. Seja AT>e = X \ [JJ^QT^E. Temos claramente que o conjunto AT>e é

men-surável e jj,(X \ XT,e) < 2e. Vejamos agora que se x G XTtf,, então \M%f(x)\ < e,

para todo n > 1. De facto, dado x G XT,£ temos que x G" UJLQT--7^, e portanto

para todo j € { 0 , . . . , K}, TJ(x) ^ £, ou seja, f(Tjx) = 0. Assim, para x G Ax,e,

se n < K temos \M^f(x)\ — 0; se n > K

n - l

\Mlf(x)\ = \

l

-Y

j

f{Tx)\<

I

^<e

j=0

o que prova o resultado. D Lema 2.3.4. Se (ej)j>o é uma sucessão estritamente decrescente tal que 1/CJ G N

para todo j e YlJLo ej < °°> en^o existem funções /j : X —> R tais que

1. n(Ej) < 2ej, onde Ej denota o suporte de ff, 2. ffidfM^l;

3. /2j+i - Í2j é (S,e2j)-anulável;

4- Í2j+2-f2j+i é (T,e2j+i)-anulável.

Prova. Seja f-i(x) — 1 para todo x G X. É claro que /_i é uma função mensurável e limitada. Se

1 1 2 1 2

X0 = — e N0 = 2 = 2 suPlZ-iWl» £o Co £i Co £i xex

pelo L e m a 2.3.2, fazendo K = Ao, N = N0 e g0 = / _1 ; existe u m a função mensurável

CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF 28

Admitamos que f2j está bem definida, para algum j > 0, e seja E2j o suporte de

f2j. Sejam

K _2j+l 1 e iY2j-+i = 2—1 2 SUP I hi ix) I • e2 j + l e2 j + l É2J+2 i t í

Aplicando o Lema 2.3.2, fazendo K = K2j+i, N = N2j+i, go = /2j e invertendo os papéis de 5 e T, existe uma função mensurável e limitada f2j+i, de suporte E2j+i, satisfazendo as seguintes propriedades

(hi+i) / hj+idfJL = / /ajd/i = 1;

/ #2.7 + 1 N

("2j+i) AM U T~lE2j+l J < 2e2j+i;

(m2j+i) SUP l/2j+i(^)| < sup |/2j(a;)|;

xGX É2j+1 I 6 X l™2j+l, 7 1 - 1 i = 0 < sup |/2j(a;)| Vx G X Vn > 1; Ê2j+i x e x ^ 2 j + l

(Ü2J+I) £>2j+i C [ J S ^ j , onde D2j+1 denota o suporte de f2j+1 - f2j.

i=0

Admitamos agora que f2j-i está bem definida, para algum j > 1. Seja -Ey-i o suporte de f2j-i e sejam

1 1 2 K2j = — e N2j = 2— sup | /2 i_i (x) |.

e2j % ' e2j+i XGX

Pelo Lema 2.3.2, fazendo K = K2j, N = N2j e gQ = f2j-i, existe uma função mensurável e limitada f2j, de suporte E2j, tal que

1*2.7 \%%2i, \lll2i [iv2j / hjdfi = / f2j-idfjL = 1; M U 5 ~ ^ <2e2 j; ^ i=-N2j ' sup |/2j(ar)| < — sup \f2j-i(x)

x&X É2j x<EX n - 1

E ( / « - ^-i)(T'

Jb , i=0 < — sup|/2 j_i(x)| £2j xex Vz 6 X Vn > 1:

CAPITULO 2. O TEOREMA ERGODICO DE BIRKHOFF 29

(v2j) D2j C M TlE2j~i, onde D2j denota o suporte de fy —

fij-i-i=0

Vejamos agora que as funções acima definidas satisfazem as propriedades 1-4. A propriedade 1 resulta facilmente de (iÍ2j) e (Ü2j+i)- Também de (i2j) e (i2j * obtemos a propriedade 2. Vejamos agora a propriedade 3. De f fzj-idfi = 1 v

í+ly

vem que sup^x |/2j_i(x)| > 1, e portanto

1 2 1 2 1

iV2j = 2— sup |/2j-_i(a:)| > -2— > = K2j+i,

e, consequentemente, de (t>2j+i) temos

K2j+1 N2j e portanto 1=0 1=0 N2j N2j N2j i = 0 i=0 1=0 N2j N2j

= uu^

+

%

i=0 /=0

= U

S

~

l

^r

Í=-N2] Donde, por (n2j , A T2J . . N:

J{JS-*D

2j+1

] <J U 5-%-

>

)<2e

2i

. (2.24)

^ i = 0 ' ^ i=-N2j '

Por outro lado, de (üz2j) e (ú^j+i) vem

l E ( / 2 i+l - / 2 i ) ( ^ ) l < ^ - S U p | /2 j( x ) |

< s u p | /2j _ i ( x ) | e2 j + l Ê2j xeX

= N2jt2j+1

CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF 30

Deste modo, de (2.24) e (2.25) temos pelo Lema 2.3.3, fazendo K = JVy, que /2j+i — f2j é (S, e2j)­anulável, o que prova 3. Por um raciocínio análogo ao usado

para provar 3, facilmente se prova a propriedade 4. D

Teorema 2.3.5 (Buczolich). Sejam (X,A,fi) um espaço de medida de Lebesgue, finito e não atómico, e S, T : X —> X transformações ergódicas que geram uma

acção livre de I? em X. Então, existe uma função mensurável f : X —> R tal que, para quase todo x G X,

M%f(x) —> 0 e M„f(x) —> 1 quando n —> oo.

Prova. Seja (/_,­)j>o a sucessão de funções mensuráveis e limitadas, definidas no lema anterior.

Seja / = ]Cílo(—­O^'/j­ Vejamos que a soma que define / converge em quase todo ponto. Tal verifica­se pois ^ ( H ^ Uj>j ­Ej) = 0. De facto, pela propriedade 1 do Lema 2.3.4 e pelo facto de Y^jLo ej s e r u m a série convergente, temos

n{ n ~ ! \Jj>iEj) = lim n( Uj>n Ej) < lim V n{EA < 2 lim Y^ e,­ = 0

n—>oo ' n—>oo ■'-—' ' n—>oo ■<-—' "

Vejamos agora que / satisfaz o que pretendemos. Para isso, comecemos por provar que, para quase todo x G X, M^f(x) —» 0 quando n —> oo. Assim, sejam e > 0 arbitrário e N > 0 tais que ^°^_2N ej < e/^­ Como, para todo j > 0,

hj+i — hj é (S1, e2j) — anulável, existe para cada j > 0 um conjunto Xji£2j tal que

^X\Xs^)<2e2je

\Msn{f2]+l ­ f2j){x)\ < e2v (2.26) para todos x 6 Xsi€!y e n > 1.

Seja ^ = E j f o "1!­ 1) ^1/ ; ­ É fácil verificar que ^w = Ejl^C/bj+i ­ hj), e portanto da propriedade 2 do Lema 2.3.4 resulta que J g^dn — 0. Pelo Teorema

Ergódico de Birkhoff temos, para quase todo x G X,

Mng^{x) —► 0 quando n —> oo.

Assim, pelo Teorema 1.1.5 existem um conjunto mensurável X^ e Ni > N tais que,

fi(X \ Xff) < e/2 e para todos x € X^ e n > Ni

rS. e

\MbngN{x)\ < ­ . (2.27)

CAPITULO 2. O TEOREMA ERGODICO DE BIRKHOFF 31

KX\X) < ^(X\X

N

) + Y;^X\Xs,

2j

.

j=N < oo

^ +

2

E ^

j=N oo <

i

_{+ 2}

5 >

j=2N < e e 2 + 2 = _e.

Por outro lado, para todos x E X e n > Ni, resulta de (2.26) e (2.27) que oo

\M

S

J(x)\ = |M

Bs

5Í(-l)Vi

i=o J V - 1 oo

= M ( E(/2i+l - /«)(*) + £ ( / W - fy)(x)) |

i = 0 j=Af i V - 1 oo

< \M

sn

E(/2i+i - /2i)W| + |M* £ t / W i - /2i)Or)

j V - 1 oo

< \M

sn

E(/2i

+

i - /«)(*)! + E l

M

- (/«+i - Aí)(s)

j = 0 j=jV oo

= |M

n

V(x)| + El

M

n(/2i

+

l-/2,)W|

i=7V oo

< | + E ^

oo

< ^+E

e

^'

j=2;V e e < 2 + 4 < e.

Como e > 0 é arbitrário temos, para quase todo x € X,

CAPÍTULO 2. O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF 32

Considerando agora gN = Ej=o(~1)'?/j, o u seJa> 9N = fo + Y,f=o(f2j+2 - fij+i), temos que J g^dfi — 1. Por um raciocínio análogo ao anterior obtemos, para quase todo x G X,

M^f(x) —> 1 quando n —> oo,

o que prova o pretendido. D Como consequência deste último teorema, temos que o recíproco do Teorema

Ergódico de Birkhoff não vale em geral. Note-se ainda que, pelo Corolário 2.2.2, a função / do teorema anterior não é semi-integrável.

Capítulo 3

Rotações do círculo

Neste capítulo denotaremos por A a medida de Lebesgue (em 5a ou E) e Ra a rotação de ângulo a em S1. Dada uma função mensurável / : S1 ­ > R e a G K definimos, para n > 1

1 n—l

j=0 e o conjunto de rotação da função / ,

r^ = { a G E : M"f(x) converge, quando n —> co, para quase todo x G S1 }.

Se f é integrável, resulta do Teorema Ergódico de Birkhoff que Tf = E. Mais

precisamente, se a G M\Q, então _Ra é ergódica e portanto, para quase todo I G S1,

M%f(x) —► / /dA (quando n —> oo).

A convergência acima não vale se « e Q. No entanto, nesse caso, todas as órbitas são periódicas e portanto M%f(x) converge para a média de / na órbita de x.

Se / não é integrável, a única garantia que temos é, pela observação acima, que Q C Tf. No entanto, resulta do Teorema 2.2.1 que se f é não negativa, então

3.1 Conjunto de rotação com medida positiva

Vamos mostrar que se o conjunto de rotação de / : S1 —> E tiver medida positiva, a sua integrabilidade fica garantida, e portanto Tf = E.

Teorema 3.1.1 (Buczolich). Seja f : S1 —> E uma função mensurável. SeVf tem

medida de Lebesgue positiva, então f é integrável.

CAPITULO 3. ROTAÇÕES DO CIRCULO 34

Prova. Dados a G S1 e N G N definimos Ga^ como o conjunto dos pontos x £ S1 tais que \f(x + na)\ < n para n > N e |/(x + /ca)| < iV para k — 0 , . . . , N. Observe­se que o conjunto Ga JV é mensurável, facto que resulta da mensurabilidade de / .

Para todo x E S1, temos

1 n 1 n—l \M:+J(x)­MZf(x)\ = | — ­ £ / ( * + j a ) ­ ­ £ / ( * +ja)| j=0 i=0 1 / 1 1\ n _ 1 = I fix + na) + y ^ / ( ^ + 7 'n + 1 V ; U +1 TI/ ^

> _ l _ |

/ ( x + n Q )

| _ _ l _ |

M ; / ( x ) e portanto — ­ ­ | / ( x + na)\ < \MZ+J(x) ­ M « / ( x ) | + ­ — | Mn« / ( x ) | . (3.1) n + 1 n + 1 Se a G Tj, resulta facilmente da definição de Tf que, para quase todo x E Sl,

1

| MnV ( i ) ­ Mn7 ( , ) h û e — | Mn" / ( * ) H 0 ,

quando n —> oo, donde pela desigualdade (3.1) 1

n e portanto,

—fix + na) —> 0 (n —> oo)

1 „ , n + 1 1 ., . n . ,

—j(x + na) — j[x + na) —► U (n —■» oo). n n n + 1

Assim, se a € F/, para quase todo x G S1 existe J V ' G N tal que \f(x + na)| < n para n > N' e, consequentemente existe iVx G N tal que x G Gaijv para N > Nx. Vejamos agora que existem N G N e e > 0, tais que o conjunto dos a G Tf que verificam À(GQiArn6'1) > e tem medida positiva. De facto, se definirmos para Í V G N

e a E S1

CAPITULO 3. ROTAÇÕES DO CIRCULO 35

é claro que, pelas observações acima, para cada a G Tf, U^^^Aa^ = S1 em quase todo ponto. Assim, para cada a G Tf existem N(a) e n(a) tais que

HGa,N(a) n S ) >

n{a)

Definindo agora, para íi,JVeN

Bn,N = {a€Tf. \{Ga>N n S1) > - } , n

temos UnijveN-Bn,Jv = T/. Ora, como A(r^) > 0 existem JV0 e n0 = 7 , tais que

\({a € r> : A(Gai7Vo n S1) > e0}) > 0, (3.2) o que prova o pretendido. Fixemos N e e de modo a verificarem (3.2), e seja

A = {aeTf: A(Ga,wn51) > e}.

Para cada a G S1, seja Ha — M\Ga^ (note-se que N é fixo). Consideremos a função mensurável definida para cada a G A por a(a) — X(Ha H S1). Resulta facilmente da definição de A que a(a) < 1 — e, para todo a G A. Consideremos ainda a função mensurável definida por

1 se a; G Ha e a G A,

h(x, a) = { TT se x é Ha e a G A, 1 1 — a(a)

0 se x e R e a £ A.

A função h é periódica em x de período 1. Por outro lado, tendo em atenção que

a(a) < 1 — e para todo a G A, é fácil verificar que, para todos a G S*1 e x G R

\h(x,a)\<-. (3.3)

Para cada a G A temos ainda que

h(x,a)dx = / h(x, a)dx + / h(x,a)dx

S1 JGa^nS1 JHCDS1

aia) -dx + / ldx GaNnsl l-a{ot) JHanSl

CAPITULO 3. ROTAÇÕES DO CIRCULO 36

" À(Ga,,v n S1) + A(tfa n s1)

1 — a(a

aia) _{1 — a(a)) + a(a)}

1 — a(a/

— —a(a) + a(a) = O,

se a ^ A é claro, pela definição da função h, que o resultado acima também se

verifica, e portanto, para todo a G S1

h{x,a)dx = 0. (3.4) Js1

Seja, para cada n > 0

B„ = { i e 51: |/(z)| > n } .

Observemos que se n > N e x — na <E Ga>N, então |/(x)| = \f({x — na) + na)\ < n. Assim, para n > N, se x € £?„, então ï - n a G i/Q, se a G A temos ainda que

h{x — na,a) = 1, e por conseguinte

; . - / h(x — na, a)da — 1. (3.5)

A(A)A

Fixado a G 51, denotemos o /c-ésimo coeficiente de Fourier da função h(. ,a) por

hk{a), ou seja,

fcfc(a) = [ h{x,a)e~27TÍkxdx.

Js1

Temos que h^ é uma função em a mensurável. Por outro lado,

\hk(a)\ = | / h{x,a)e~27Tlkxdx\ < \h(x, a)e~2mkx \dx Js' =

L

\h(x, a)\dx < sup xes1 \h(x ,a)\ < 1 e

CAPITULO 3. ROTAÇÕES DO CIRCULO 37

donde se conclui que hk é limitada. De (3.4) resulta que, para todo a 6 S1 ,

hü{oí) = Li h(x,a)dx = 0. De notar ainda que, se a £ A então hk{a) = 0, para todo k.

Consideremos agora, para cada n G N, a função mensurável e limitada Gn defini-da para cadefini-da x 6 IR por

Gn{x) = / h(x — na,a)da.

A\A) JA

A função Gn é limitada pelo facto da função h ser limitada. Denotando o /c-ésimo coeficiente de Fourier da função Gn por Gnik, temos

Gn,k = / Gn{x)e~^kxdx 'S

= / I T^TT / M^ - ™«, Oi)da ) e 2nikxdx

Jsi \X(A)JA )

= —— / h(x - na, a)e~2'nikxdadx

*{A) JSí JA

= —— / / h(x - na, a)e~2nikxdxda

KA)jAJSl

A veracidade da penúltima igualdade na sequência acima assenta no facto da função integranda ser limitada, e portanto podemos trocar a ordem de integração. Relati-vamente à última igualdade, observemos que, para cada a € S1, a série de Fourier de h(* , a) é dada por

J2h

k

(a)e

2mkx

e portanto, a série de Fourier de h(* — na, a) é dada por

J2M^)e2nik{x-na) = ^hlLk\Ui)t k(a)e~^—2-KÍkna Jlirikx 2mknae2 fcez fcez

donde se conclui que hk(a)e~2mkna é o /c-ésimo coeficiente de Fourier da função

h(* — na, a).