Matemática - Aritmética, 2ª edição, 1968

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6lfMAT

_DIGITALIZADO

Aritmética

• 2.0 _edição

MANOEL

JAIRO

BEZERRA

F E

N

a

M E

-

Fundação Nacional de Material Escolar

MINISTÉRIO DE EDUCAÇÃO E CULTURA

,

.

l

•

Esta edição de Cadernos MEC Matemática-Aritmética fo1 publicado pelo FENAME - Fundação Nocional de Material Escolar (Ex-Campanha Nocional de Mate ·

1 de Ensino), sendo Presidente do República o Excel ~~a si.mo Senhor Marechal Arthur da Costa e Sil en r~-n1stro de Estado do Educação e Cultura ~a e Mr

-Torso Outra. 0 _eputado

•

Neste Coderno MEC-Aritmético, o Professor Ma -noel Joiro Bezerro pôs em prático, com clareza e simplicidade, princípios da moderna pedagogia das ma -temáticos, para ensinar os aspectos mais elementares dos quatro operações fundomentais,_ajudando também a compreender melhor as outros operações elementa-res, como o potenciação, a radiciação e a logaritma -ção, que se integram num todo lógico sistemático.

Leva o aluno, através de exercícios variados e n u-me·rosos, do concreto paro o abstrato, pois. só o caso concreto lhe ministro os elementos básicos para pos-teriormente fundamentar as suas abstrações. Assim, a Aritmética é ensinada experimentalmente, porque ela é, em certa medida, ciência experimental.

Para tornar êsse estudo mais atrativo e despertar vocações matemáticas, o autor do presente Caderno teve a feliz idéia de, em função dos mencionados exer -cícios, oferecer notas biográficos de grandes matemáti-cos, como Leibniz, Gauss, Newton, Galois e o nosso Sousinha, Joaquim Gomes de Souza, um dos maiores matemáticos brasileiros, sôbre o qual escreveu Euclides do Cunho: "Um gigante !ntelectuol, o mais completa cerebração do século."

Tudo isso justifica a boa aceitação que o estu -dante brasileiro dispensou ao Caderno MEC-Aritmética do Professor Joiro Bezerra. A Fundação Nacional de Material Escolar está c~rta de que esta 2.a edição do referido Caderno alcançará idêntico sucesso.

Rio de Janeiro, junho de 1968.

Humberto Grande Diretor Execurivo

Meu caro aluno:

l:ste caderno foi fei .

com o objetivo d . , to especialmente para você, Aritmética. Atr

~

aiuda-lo

ª

compreender melhor 0

aves de e , .

sos, espero qu A xerc1c1os variados e

numero-e voce veja , .

portante para ₀ .d como a Matemático e 1rn-v1 a e corn • .

N- 0 _{e interessante e curiosa.}

b . ao pense, contudo A ,

su st1tuir 0 seu f ' que este caderno podera

. . Pro essor I

contrario, êle n- . ou o seu livro didático. Pe o

ra - ao os d1spe . .

Çao constante d nsa, ex191ndo uma colabo-t' 1 e arnb

a- o na solução d os poro esclarecê-lo e

orien-s- as pergu t ·

ao apresentados n os e problemas que aqui , Faça de seu "Ca

e o quo lhe dese·a 1 derno de Aritmética" um amigo; 0 _professor

Jairo Bezerro

A

e

vol

ução dos símbolo

s

parG!

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p

rese

ntaf os niumeros

Egípcios

1

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111

1111

111 111

li 111 Babilônios T TT TH TTH

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1\ntigos Romanos

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-Modernos 1 2

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8

9

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8

9

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5

Numeração

Exercício 1

Observe as gravuras anteriores, leia as seguintes perguntas, pense e responda a seguir.

1

Os algarismos que usamos atualmente eram os mesmos usados antigamente?

2

Notou que os antigos romanos sabiam escrever os números de 1 a 1 O m -conheciam _{o zerar} .... , as nao

3

Percebeu que

mos hoje - os algarismos que usa-. . , e que soa cham d d • . Ja eram conhe .d 0 os e arab1cos,

c1 os dos hindus? 6

4

'b" os sÓO Sabia que os algarismos aro 1c ,.,,

. d

tere

a_ss1~ chamados porque, apesar

e

divul· sido introduzidos pelos hindus, foram gados na Europa pelos árabes?

5

. • ehº'

Muitos matemáticos e professores 'bÍ' mam os algarismos arábicos de ind0 · 0 '0

e V • '

·

co

7

os. oce acha mais justo e mais logi ·

6

oi·

. Observou alguma modificação nos

re·

garismos indo-arábicos usados hoje,

eri;

00

7

lação aos usados pelos italianos em lst

7

Algum do 1 . 1os

hind s

ª

garismos usados pe , us no ano de

ªºº

d

e

.

do é er1' pregado em nossos dias? . ., am

Exercício 2

Você ~abio que ...

... 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 não é o sucessão dos números naturais e sim dos al-garismos arábicos significativos?

. .. a sucessão dos números naturais

1, 2, 3, .. . 9, 10, 11, 12 ... é ilimitada?

... a sucessão dos números inteiros é

· t ·s:>

constituída do zero e dos numeras na ura1 .

. .. o palavra algarismos é originado de Al-Karismi, cognome do ilustre mate-mático árabe Abuchofar Mohamed Aben Musam, que viveu em Bagdá, no primeira metade do século IX?

J

. .. numero e algarismo não são a mesmo coiso?

. .. zero é número?

. .. zero é por?

... os números consecutivos diferem de uma unidade?

. .. os números pares consecutivos, e também os impores consecutivos, diferem de duas unidades?

... os algarismos romanos são 1, V, X,

L, C, D e M?

Exercício 3

Coloque à direita de cada sentença no espaço indicado, um V ou F confo '

a · - rme

proposrçao seja verdadeira ou foi sa.

1

Zero é o único número inteiro que

n-é natural. .. ao

2

Nossos antepassados h

zero antes dos , con eceram o numeras naturais.

3

duz Número cardinal é o ,

quantos element numero que

tro-as tem .

um con1unto. 8

4

Quando um número é utilizado paro indicar a posição de certo elemento de un'IO coleção, chamo-se ordinal.

5

S _{e n representar um elemento q} uai·

d . .

seu

quer o coniunto dos números naturais, consecutivo superior será representado por n + l

6

D

_{ois números pares consecutivos} ~ dem ser representados por x e x

+

2.

7

S oi·

e x representar um elemento qu l.I

quer do con.

se

Junto dos números ímpares, consecut·

ivo superior será x

+ 3

.

8

Não existe · · rõO

além d . m sistemas de numero.,. o sistema d

1 e numeração decima ·

-

-

---

_-

_-

_--

_-

~

9

São dez os algarismos romanos.

10

São dez os algarismos arábicos.

11

i: possível determinar o maior número inteiro.

12

No nosso sis~ema de numeração, dez unidades de uma ordem formam uma uni-dade de ordem imediatamente superior.

13

Dez é a base de nosso sistema de numeração atual.

14

O valor absoluto de um algórismo de um número pode ser igual ao seu valor relativo.

15

A soma dos valôres relativos dos alga-rismos de um número é igual ao próprio número.

16

A soma dos valôres obsolutos dos alga-rismos de um número (maior do que 9) pode ser igual à soma dos seus valôres relativos.

17

Um algarismo . escrito imediatamente à esquerda de outro r~presenta unidades de ordem imediatamente superior à dêsse outro.

18

O sistema de base 2 é empregado nos cérebros eletrônicos.

19

No sistema de base 2, só são empre-gados os algarismos 1 e O.

20

No sistema de base 12, só emprega-mos dez algarisemprega-mos.

Exercício 4

i

·

₂

3

₄

-~

2

-3

4

-10 . 1

ue

os

Leia as perguntas abaixo e co oQ

respostas no quadrado ao lado.

1

os· Qual o menor número notural que

p

sui quatro algarismos iguais?

2

Como se escreve MDLXV em algori5' mos arábicos?

3

l

6.4o~?

0

ntas

dezenas há no número

4

Q

_{uantos algarismos são necesso ro}'ri05 _s

para escrever os 536 primeiros núrrie naturais?

Você b

0

qvo·

drado? oca ou de completar

l .₁ d _as Obser_{na h} ve que _{. as respostas po} d _e n'1 ser

orizontal ou na vertical.

Note qu

z

3

e 4 são re e ~s respostas dos itens f~'1·

dação da

~~e~ti

v

amente

,

as datas da

iziº

de Janeiro c1d a e de São Sebastião do o'1' talvão como

ª

pos~e do Marquês de

M

.

1

e

do descob . Primeiro Vice-Rei do Bras1 rimento do Brasil.

Exercício 5

No sistema de base 12 (duodecimal),

doze unidades de uma ordem formam uma unidade de ordem imediatamente superior.

Uma dúzia, nesse sistema, é uma uni-dade de 2.0

ordem, e escreve-se l 0₀2₁• Uma grosa (12 dúzias) é uma unidade de 3.0 ordem e escreve-se l 00_{0 21.} 30 = 261121 = 2 dúzias e 6 unidades ou 2 dúzias e meia. base 10 10 11 6 18 base 12 a b 6 16 base _{5 20} 21 11 base 2 1.01

o

1.011 110 No sistema de base 5, 15 = 30c5J. No sistema de base 2, 9 = 1.001 c2i pois tem uma unidade simples e l unidade de 4.0 _{ordem= 2}3 _{= 8. Então,}

1. 001 l2l

=

1 X 23

+ 0

_{X 2}2

+

+

0 X 21

₊

_{l = 9.}

Veja também o exemplo do primeiro gravura do Exercício 6.

Observando o que acabamos de mos

-trar, você é capaz de completar o quadro abaixo? 1 3 ₁₅ 1 20 1 3 31 1 1.100 11

12 Esta rn · re _{a 1zar} 1· aquina _e . _{u- ·}

_de

, em se _9Undos ''' cereb _{. 1} • 1 ro e etron ico capai ' ca c:ulo

O siste s complicadíssimos.

bas _{e . t}2 _{sse s}ma de _{is numeração .}

_de

algaris'"'"' terna foi nela empregado e o .

. "•Os, O escolhid .

do''

cu1t₀ si...

1 e l, 0 q o por so empregar

. "'P es ue pe . j('

rismos , represent , rm1te, . num duplo e

Por urn 1 ar focil 1 O'

a uz acesa ( l) mente êsses dois o

9

Assim n ou apagada (Q).

tura dos .' o exercício 6 . nurner ( , vem 1 I' e quatro exer . o_s no base 2) .

o~

um exemplo do e s

c1c1os Para s indicada pelas lômPººº

erern feitos.

Exercício

6

Coloque, à direito dos itens a, b, e ~ d do gravura abaixo, o número corresponden -te aos esquemas dos lâmpadas de um

cére-bro eletrônico, na base 2.

*

1

2

3

4

'

• •

_*

(o) • •

*

•

*

(b) * • * •

*

(e)*

* * • •

(

d

)* * * * *

2

3

•

4

Exercício 7 Números cruzados Horizontais 1

Ano do nascimento de Leibniz.

2

Menor número ímpar de 4 algarismos.

3

MDCCCXXI 1, em arábicos (ano da Independência do Brasil).

4

Ano da morte de Leibniz.

Verticais 1

l 5 no sistema de base 2.

2

Número de algarismos paro escrever de 3 a l .799.

3 51 l no sistema de base 5. 4 necessários Número de centenas de 612.645. 13

O retrato a . ...

m c1m ,

atemático 0 e de Got f ·

a nu"'"' _ alemão que t, ned Wilhelm Leibnis, ... eraçao b' , ' no se 1

de de inf· . 1naria (base

2) cu o XVII, introduziu 1n1tos _sistemas · _d e m _{ostrou a} possibilida-E _screva e numeração _·

dat 00 _{lado d}

as do nasc· o retrato

rnático d imento e da ' no lugar indicado as ' atas e rnorte d" ' no Exerc' . ssas que esse grande

mate-1c10 7 você

' certamente, descobriu 14

Operações Fundament

a

i

s

Exercício

8

As três gravuras seguintes concre ti-zam os propriedades do adição. Escrevo embaixo de cada uma delas, no lugar ind i-cado, o nome do propriedade corresp on-dente. Procure, também, compreender o significado de cada uma delas.

Propriedode _ _ _ _ __ _ __ da adição.

Propriedade - - -- - - ---do adição.

r

1o+18J

c1o+10+81

16 Propriedade - - - do adição.

Exercício

9

1 2 3

z

3 Números cruzados Horizontais 1

Minuendo de uma subtração, no qual

os três números figurantes somam 588.

2

Menor de dois números dos quais o maior é 900 e o diferença é 147.

3

Maior dos dois números cujo somo é

740 e dos quais o menor é 122.

Verticais

1

De quanto aumento o diferença entre

os quantias de duas pessoas, quando uma

dá à outro NCr$ 138,00.

Exercício

1 O

2

De quanto aumenta a diferença de dois números quando se soma 634 ao mi-nuendo e se subtrai 317 ao subtraendo.

3

O complemento aritmético de 562.

Observações

1

Você poderá conferir os problemas d1'JS

horizontais, fazendo também os dos

ver-ticais.

2

Quando completar o exercício, terá o

que se chama um quadrado mágico.

3

Observe que os algarismos dos vértices

são os pores significativos e os outros os

ímpares.

4

Note também que, somando os alga-rismos de uma mesma linha (horizontal), ou coluna (vertical), ou de uma mesmo

diagonal (inclinado), obterá sempre o

re-sultado 15.

s

Peça ao seu amigo, poro formar, como adivinhação, um quadrado dêsse tipo.

As três gravuras seguintes concretizam propriedades do

multiplicação. Escrevo embaixo de cada coluna, no lugar indi -cado, o nome do propriedade correspondente. Procure, também,

compreender o significado de cada uma delas.

4 X 3 X 1 00

=

1 2 X 1 00 Propriedade __ - - - -- da multiplicação. 17

3

x

a

~

~ ~Q

_?G

_~

;

~

' ~: ,"'-~ !..r ~

Pe

-

~

I ..

é'~

.

I .

'1

0

.

3 _{,'( 5}

+

~ 18 3 >< 3

₊

3 >< 2 8 X 3 Propriedade , - - - - -da multiplicaçó0· Propriedade - - - - -_{do multiplicação.} Exercicío 11 Números cruzadoSI Horizontais 1 Múltiplo de 3. 2

Número que multiplicado por meia de -zena aumenta de 2. 568 unidades.

3

Número de paginas de um livro em

cuja paginação foram utilizados 1.413

al-garismos.

1

2

3

2

3

Verticais 1

Número que, multiplicado por 7,

ter-mino à direita por 155.

2

Múltiplo comum dos 8 menores núme-ros naturais.

3

De quanto aumenta o produto 59.265 X 109 quando se somam 3 unida

-des ao maior fator.

Observações

1

Se você tiver feito certo, obterá um

quadrado mágico, em cujos vértices estão os quatro menores números ímpares; os outros são os cinco menores números pores.

2

Observe que somando os algarismos de uma mesmo linha em diagonal obtém-se sempre uma dúzia.

3

Apresente aos seus colegas, como que -bra-cabeça, o formação de um quadrado

dêsse tipo.

19

-Exercício 12

Números cruzados _ Losango

Horizontais 2

. - Menor valor d ..

v1sao cujo quo . o d1v1dendo de

ciente e resto - . urna

di-sco iguais a 7

4 .

. . Dividendo d

d1v1sor é

12

e urna divisão

maior PQss'' º1 quociente é 5 em que o

ive . e o resto é o

6 Ano ern

sentou os rn. que Leonardo d .

divisão cu· et~dos atuais e Pisa apre-. .' Ja onge . paro ef t

cuia d1vulg - rn e devid e uar o árabes. açao, na Europa af ~os hindus e ' 01 feito P _{e 1 os} 8

Ano ern

o sinal de . que William O h · Para ind· ug tred

20 •cor a d' . -_1v1sao. propôs

9

. . Maior número que podemos somar ao

~

1

_~

1

₁

_;ndo

_{de uma divisão na qual o divisor} e

1 e o resto 42, sem que 0 quociente se o tere.

10

_Menor número que dividido por 39 dá

quociente igual ao resto.

Verticais

1

Menor dos d · · d'f

renço ·

64 . ois numeras cuja 1 e-a 5 (

7

1 e CUJO quociente é exato e igual secu 0 _{do nascimento de OughtredL}

3 31

x

~uociente

da divisão de x 14 _{l x 17 por 14 l .} 4 Produto d d · . · 185·

0 d' . _e ois numeras cuja somo e

1 1v1sao do ·

1 dá

quociente 2 maior pe o menor e resto 23.

s

Maior

sor é 13. resto de uma divisão cujo

divi-7

Menor dos d . . ,

120; o quoc· ois numeras cuja somo

e

pelo menor IZ",i~ exato do divisão do maior 8

. Século em .

genial mote· , ~ue viveu Bicise Pascal, o

re_gras para :at1~0. ~rancês que propôs

as

numero. d1v1s1bilidode por qualquer

11

5 J • Menor d d' · - OS d O. IS n ' ' . ' 0 1v1s₀₀ d umeros cujo somo e ciente e resto ~ m<?ior pelo menor dó quo -rnento de Leona~o1sda 3. (século do nasci·

0 _{e Piso).}

Exercício 13

Respondo às seguintes perguntas

(al-gumas se pode responder com auxílio das gravuras):

1

Você sabia que os primeiros que apli-caram a elevação a uma potência foram sacerdotes mesopotâmicas?

Em 28, 2 é o base da potência e 8 é o

seu expoente?

3

Se o expoente é diferente de zero e de um, a potência de um número é um pro-duto de fotôres iguais a êsse número?

4

A segunda potência de um número

é

o quadrado dêsse número?

s

Como se chamo o terceira potência de um número?

6

Convenciono-se considerar as

potên-cias de expoente l iguais à base?

7

Tôda potência de l é igual a l?

8

Tôda potência de zero, de expoente

diferente de zero, é igual o zero?

9

As potências de l O são os unidades dos diversas ordens do nosso sistema de numeração?

10

.As. potências de

lo

-

.

vendo a direito d . soo obtidas

escre-- 0 unidade t

quantas soo os unid d ontos zeros

o es do expoente?

11

O _orçamento do B .

dpela e cru Primeiro · vez m arar do . rasd, em 1963 f , 01 .

zerros. Escrev que um

trilh-openas quatro

afgori~m

um trilhão

usan~~

os.

12

Cada ce t'

piramos co ~ rmetro cúbico

27

.

000

.

ooon~~~

cêrca de . de ar que

res-l~ões)

de

m~l

éc~

~00

.

000

.

00Q

.

·(

27

· ..

·: ..

numero gigant as. Você Pode e

qu1nti-e sob a forma 27screver êsse

X 1 QlB?

5 Urna gôta d

milhões de e. sangue cont'

rocê escreverá

~lobulos Verrne~h

cêrca de

ogo ao do

exer~~~~

número de

~sd

.

Como

'º

anterior? 0 o

anã-14

d A área da

l;

todos os cont~uperfície terr

s.000.000 ooo'nentes e ilh estre, isto .

o~roxirnada~ .OQO de m as, é de e,

numero d ente. Co etros quad .. ..

e modo . mo se rodos

mais sint. . escreve • '

etrco? esse

22

15

, . Ç?uais os resultados dos seguintes exer·

c1c1osr

2

3 _X

₂₂

₌

·

l 0

3 _X

₁₀₄

₌

53: 52 =

X

210 X 215 = 25 : 2s

=

10'=1000 X X 3 X

3

4:::. 3•: 3:;::.

Exercício 14

Números cruzados Horizontais 1

Menor de dois números inteiros

e

con-secutivos cuja soma.é 31 (dia do mês d.e

f~vereiro em que nasceu o grande

motema-tico brasileiro Joaquim Gomes de Sousa

-0 _Sousinho).

2

Menor de dois números pares

conse-cutivos cujo soma é 26.

4

Ano do nascimento do matemático

maranhense Sousinho.

8

Verticais

1

Menor de dois números cuja soma é

72; o quociente exato da divisão do maior

pelo menor é 3 (idade com que Sousinha

requereu exame de uma só vez, de tôdas

os matérias do Curso de Engenharia,

con-seguindo aprovação brilhante).

3

Número divisível por 6.

4

Menor número primo de dois algaris-mos.

5

Menor de dois números cuja diferença

é 88 e o maior é o dôbro do menor.

6

Número de notas de NCr$ 5,00 que possui uma pessoa que tem NCr$ 138,00

em 34 notas de NCr$ 5,00 e de NCr$ 1,00

(idade com que Sousinha apresentou no

Instituto de França uma série de memórias).

7

Maior de dois números cuja soma é

123 e a divisão do maior pelo menor dá

quociente e resto iguais a 3.

f Ano em que Joaquim Gomes de Sousa

9

aleceu, em Londres.

11

Número formado de dois algarismos,

cuja soma é 6 e cujo algarismo das

deze-nas excede de 2 o das unidades.

12

. Divisor de uma divisão em que o

quo-ciente é 4, o resto 41 e a somo do dividendo com o divisor é 30 l .

Menor número que dividido por 33 dó

quociente igual ao resto (número de anos

com que morreu Sousinha).

10

Total de anos que esperará uma pes

-soa que tem hoje 27 anos, para ter o triplo

da idade de seu filho, que possui atual-mente um ano apenas.

O Sousinha

t. •co bras1O retrato ·r . _e1ro ac1rna é _J . do _rnaio

conhecid ' oaquirn G r rnatern. o corno Sous1· _{n a} h ornes de S _ousa

a-Se Você t· . '

derá cornpleta•ver feito o exer . .

apresentarern r o resurno b' c1c1.o. 14,

po-os a seg . iograf1co

u1r. que

Joaquirn G

nos anais d . ornes de S rn · a 1nt 1 · • ousa "

ais típico rn ~ igencia bra ·r ~epresenta

sante d / ois p't s1 eira , ern

u~a

e

pre

co

cida~~resco

,

rnais

'i~

caso do lta . Propriedade d, na raça'' N teres. de p1curu, no M e seu Pai : asceu . . . . . aranhão '

ª

.

rnargern

... de ' no dia .. Assentou . . . . . . . catorze an Praça na E

de Medicinoas. Matricufousscola Militar c corn . - e na F ' orn

R quinze. acuidade

rias d equereu exarn

anos o curso de e Para tôda

o ' recebendo engenharia s as rnaté

. grau de b , a

lo

d . corn -t1cas e f' . acharei e e JUnho d . ·1 · ... o título

~!'c~s.

Três , : ciências

~at

848, a defesa d autor de besels depois berná.

e tese or a e ' o teve

capelo

A

_{os 19} ·~rn

Para anos ·

Escof~atedrático d~nscreveu-se n

fortes cNacionar de Acadernia

M~

.concurso da

discipo~correntes

e Engenharia l1tar, hoje

ina. ncanec·d , vencend

' os no o

A estudo

Present

no Instituto ou aos .. bolhas de Fra ... an

sôbre , entre os nç?, urna ~s. de idade o rnod quais serie d '

24 o de indo urna ''D· e tra-gar nov isse

rtaç-os ast _{ros sern}

ªº

auxílio das b -

"M

'

to·

dos ger . 0 _{servoçoes diretos"}

_e

_ef

OIS d · d'

e·

rencial d

ª

integração do equação 1 o problema do som".

Na mes •

Aco·

demia Real ma e_~oca, apareceu no

de

revolucion das C1encias de Londres, ori s su _{as me""'}ou os m _{. . e1os} . _{c1entif1cos co•} . , . ... _{• ·}

o

· ··•crias ·b rrio·

vimentos so re a propagação dos . 1 • nos m . f ·s1CY

0_{91a geral d eios elásticos sôbre o} 1 _·

f as · • · ' ri1· orrnização dos

C1~nc1as

matemáticas

~

t.J

de

outras ab metodos analíticos ale,,., H_i· _stória , _e rang _{F'I en o Astronomia Botan}d ' •

·

1

co

'

1 _{osofia. '}

L . Em l 855 r1'I

~'Pzig urn ' apresentou aos editôres, e

~

10

_UnÍvers~I

_{obra imprevista, uma Ant}

01

º:

tura arn nos pr/ _s. ºPrio

~m

_s francês _id· _ioma' _s na _catorze qual figtJ(O _r;te

ro

·

Fale

dia 1 o ceu na cid d

,,o

de .d· de iunho d a e de . . . '

s

1 ade _. e . . _{· · .. ,com . . . .} ano

livro Ern 1 aa2, foi . ,,.,

tégrelcorn o título

~d.'tado

em Leipzig

~

•

trab r' Onde esta elanges de Calc:ul

"s

rnat~

h?s dêsse h vam reunidos alguns

doí

nanc·rnatico, rnéd·omem formidável que

f

~

. •sta •co 0 t • '. f 1·

Jurist ' engenhe· ' s ronomo, geologo,

a c · . 1 ro h · t .

do

Plet ' rit1co r·t , '. is criador deputo '

o erud· _1to. ' erario _{/ em sumo}' _{, um co" ·} ....,.

. Dêle d'

gigante . isse Eucr·

braçõo dinte!ectuar,

~des

.. da Cunho:

0 _{seculo''. mais completa}

Curiosidades

1

O primeiro que utilizou o sinal de

=

(que se lê: igual a) foi o matemático inglês Robert Record, em sua obra The Ground of Arts, publicado em Londres, em 1542.

2

Os sinais

>

(maior do que) e

< (m

enor do que) foram estabelecidos no século XVI 1 pelo inglês Horriot e pelo francês Bouguer.

3

O sinal mais antigo para indicar o re-sultado da subtração encontra-se no .

fa-rnoso Papiro Rhind, tal como o escreviam os egípcios.

4

Os sinais de

+

(mais) e de -

(~nos

)

são devidos aos mercadores antigos que fa -ziorn marcas nos suas mercadorias. Foram

irnpressos pela primeira vez em 1489 por Johann Widmon em sua Aritmética C

o-rnercial. '

s

O sinal de multiplicar X é atribuído a W. Oughtred, que já o fazia em 1647.

6

O sinal : poro indicar o divisão foi Proposto por Oughtred, em 1647 ·

7

Probl

e

mas clássicos

-Problema

1

Problemas das idades

"Um pai tem 30 anos mais do que seu filho. Se êste tivesse nascido

2

anos mais tarde, suo idade seria, atualmente a têrça parte da idade do pai. A idade

at~al

do filho é .. ... anos". (Concurso de Admissão ao Curso Ginasial do Instituto de

Educação do Rio de Janeiro).

Antes de procurar resolver êste pro-blema, que parece difícil, responda às pe

r-guntas e aos problemas formulados o se

-guir, na ordem em que estão apresentados.

O sinal de fração (traço horizontal>

P~ro indicar 0 divisão foi introduzido no 1 s7culo XII 1 por Leonardo de Pisa (Fibona

c-ci) _{' que o aprendeu com os ora es}· b _{. Se hoje você tem 2 anos mais do que}

\ . . ( 8

Ll.

Joã?

zin~o

,

d?qui a 2

.ar~os

quantos anos

F · · 1 t 't' france·s Bicise voce tera mais do que ele.

p 01 o genia mo ema 1co

ascal quem propôs, no século XVII, as re -Qras para determinar a divisibilidade por qualquer número.

9

O sinal -7-, que apareceu no século XVI 1, é atribuído ao suíço John Rahn.

10

O sinal de parênteses dato do século XVI, quando apareceu numa das

o~ras

do matemático italiano Nicolo Tartagl10.

2

Quando um filho envelhece 1 O anos,

0 pai também envelhece 1 O anos?

3

Há 5 anos eu t· h

O _{meu f ilho?} rnos _{anos menos? E}

4

Quando nasce

entre suo idod uma pessoa o d.f idade do pa·:> e e o de seu po{ é i er;n~o

1. o propria

5

Se hoi·e d. duo 0 1feren

s pessoas é d 5 ço entre os idod permanece semp e anos, essa dºf es de

re o mesma:> i erenço

Quando

anos de idade meu. filho nasceu .

Quantos an . Hoie meu filh eu tinha 25

os eu tenh o tem 17 o mais do • anos.

que ele?

7

filh Um Pai tern 30

o. Se 0 flh anos .

antes, nessa

l

oc~st1.~vesse

n~~/~odod

<!ue seu

00 O • OIS

Po1 teria

28

_anoanos _s?

E se o flh

mais tord 1 _{o tivess}

ocasião d e, quo1 seria e n?scido do·

o nosciment :>o idade d is ~nos

o. o Pai no

-8

Urn p .

filho. Se o1 tem 30

antes o filho . anos rnai

' qual seria tivesse s do que a diferen nascido 2 seu

Ço de su . anos

26 os idades?

E se tivesse nascido dois anos mais tarde?

9

rença

E~

tenho o

~ôbro

dt;

suo

id~de

.

A dife· e nossas idades e igual o suo?

10

Jo- ·

A

difereniº ~em o triplo da idade de

Jodse.

de

José?

ª

e suas idades

é

o dôbro 0

Se um n , , tr01

a diferenç umero e o quádruplo do ou r?

0 _{entre êles é o triplo do rneno ·}

12

Se um n,

o

e'st · ume , do outf 1

e e 0 d ₀ ~b ro e a metade ro do primeiro?

13

d . Se a idad d te

~ 1_{dode de e e um filho é} o têrço P~r ₀ triplo da idod seu Pai, a idade do pai

e

e do filho?

14

Se o .d

ano 1 ode d 3Z

d 5 _{mais do e um pai que tern}

ree seu filho

;~e__~

filho, é o triplo do idade SPonde a '32

° ro

da idade do filho cor'

anos?

15 Um p .

Quand 01 tem 30

6

filh 0 0 _{Pai t· anos e seu filho ·} o, 0 _filho te1~er

24

°

dôbro _anos? do idade dO

Daqui a quantos anos o pai terá o

dôbro do idade do filho?

16

Um pai tem 37 anos e seu filho 7.

Daqui o quantos anos o idade do pai será o triplo do do filho?

Diferença dos idades: . . . · · ·

A diferenço dos idades corresponde ao · · · . . . do idade do filho.

A idade do filho será então .. .. anos.

Isto acontecerá daqui a . . . . anos.

17.

Resolvo, de modo análogo ao anterior,

0 _{seguinte problema:}

Eu tenho 37 anos e minha melhor alt.~­ no, 15 anos. Há quantos anos eu tive o

tri-plo de suo idade?

18

. Resolvo agora ₀ problema proposto

ini-c1alrnente.

Resposta: 18 anos.

19

Faço também êste problema, análogo ao _{anterior: "Tenho 25 anos mais o} · d que _. o meu filho Roberto. Se êle tivesse nascido 4 _{anos antes suo idade seria atualmente}

0 _{metade dà :.ninha. Qual o idade atual do}

meu filho?

Resposta: 17 anos.

- - - --- - - ---

-20

Um pai tem 50 anos e seus três filhos

5, 7 e l O anos, respectivamente. Daqui o

quantos anos o somo dos idades dos filhos será igual à do pai?

Resposta: Daqui a 14 anos.

Sugestão: Procure compreender de ini-cio que, a cada ano que posso, os três filhos

juntos fazem diminuir de 2 anos o diferen-ço entre a idade do pai e a somo de suas idades.

Problema

2

Problema d

moedas d . as galinhas .

, o atirador etc. e carneiros, das

Responda ,

problemas as perguntas

mente na oº~resentodos o se e_ resolvo os

r em ern que se gu1r, rigorosa-encontram· 1 d Quantos pés • e 2 Pés? tem, iuntos 2 A quanto . , 20 anim _ais .

Pondem 48 _Pes? , s animais d _{e 2 ,}

Pes

corres-, Qual a d'f

numero d 1 eren

gafinh "' _ar e Pés de ça que ex1'ste

um carneiro entre o e de urna 4 Se voe· onde e . e i nia . nh X1steni 2 91nar

as, o tot 1 _{a d} O anini _ais . que num _{, qu·} os Pés d _os ' so _ani ex_. · _istern intal _{. '}

28

mais é

4ofª''-5

S

·

·s

entre e

~um

quintal estão

20

an1m~;i;

~alinhas e coelhos, você pode goro

que ha mais de

40

_pes

,

:> _.

6

O , 'rtt

de

40 numero de pés que houver ale ,,.

, correspo d • , quº"

tos coelh n ~ ~ tontos vezes 2 pes, os ex1st1rem?

7

Num . 1110S1

num total dqu1ntal há galinhos e coe ntoS

animais h, e 8 cabeços e 22 pés.

Qu

0

R

ª

de cada espécie:>

s

esposta: Há 3

coelho~

e 5 galinhº .

Sugestão· 1

aue

todos os . · magine inicia/mente d'fe'

rença de ª~'mais são go1

1inhos· vejo 0 1_r11o essa difePes que existe nesse 1coso, e co

₀

e

também

~~~ç?

é proveniente do fato atol

de coelhos. stirern coelhos, calcule 0 _t

8

de 12ienho 9alinh tO

Poss cabeços e 3 a4s e, carneiros num

t~ros

uo? Pes. Quantos carne'

Resposta· p

· ossuo 5 carneiros.

9

Num depósito há 85 viaturas, sendo

urnas de 8 rodas e outras de 3.

Pergun-to-se quantos veículos existem de cada es-pécie, sabendo-se que o total de rodos é de 320. (Colégio Militar do Rio de Janeiro, 3-2-1949).

Resposta: Existem 13 veículos de 8

rodas e 72 de 3 rodos.

Sugestão: Raciocine de modo análogo

00 _{do problema anterior imaginando que}

t'd 1

0 _{as as viaturas sejam de 3 rodos.}

10

O Adernar fêz o seguinte troto com

seu Pai: ganharia NCr$ O 20 por item que

ÜC I •

N

ertasse numa provo e pagaria ao pai

a Cr$ O, 1 O por item que fizesse

errod~.

Se

A

Prova tivesse 13 itens, quantos destes

N

dernar precisaria acertar paro _{Cr$ 1, 1 O?} ganhar Resposta: Precisaria acertar 8 itens.

tas Sugestão: Imagine que Adernar

acer-de se todos, e preste atenção paro o foto

que, em cada problema que êle errasse,

Perderia NCr$ 0,30.

Problema 3

Problema dos correios

Resolva os seguintes problemas,

exata-mente na ordem em que se encontram.

1

Quem anda 20km em 4 horas, quan-tos quilômetros onda em cada hora?

Qual o suo velocidade?

2

Um carro, com o velocidade de .. .

SOkm/h, gastou 3 horas poro percorrer

certo distância. Qual é essa distância?

3

Quantos horas gosto um trem poro percorrer 90km, com a velocidade de 30 km/h?

4

Um trem está 60 k

Em cada hora êle diminmu·1 atrás de outro.

de 20 km. Em essa d"f

outro? quantas hor 1 1 erença

as a cançará o

5

Dois trens

e no mesm partem, no m

tontes 60 ko sentido, de du esn:o instante atrás tem :; uma. da

outr~s

cidades dis-outro 30

km/~eloc1dade

de

SO

~

que está trem Para ai . Quanto temp lm/h, e o Respost~·anlçar º,outro? o evará um

· evara 3 h oras.

-6 Duas p tro d essoas a outra

e

marcham

de.~ km/h.

E

ada urna co urna ao encon-qulfometros Prn duas horas rn a Velocidad

ercorridos P 1' qual o tot 1 e e as duas? a de

7 A d" •

de 30 k istancia ent

. m Du re do. 1

instante

d

as Pesso is acais A velocidad e A Para B as Partem n e B é e 24

krn;~

respectivarn: de. B Paraº rnesrno encontrare. Quanto tem nte IQUais

a

:k

corn acharão:> '1:1 e a que dP? levarão rn/h

· 1stônci Para se R

ª

de A rôo esposta· L se a 1 8 krn .d evarão 3 h e A oras e . se acha -30

Problema 4

Proble-_"''ª d _{as caixas} . E • 90

per

tões. sm tres caixas há 00 todo, 1 . eir" caixa e Passarmos

20

botões do, pril11

60

botões P:a.

ª

segunda, esta f icoro

'º

111pos· sarrnos

5

ais q_ue a primeira. Mas,

5_~

_te'

_'

Ceira

b~toes

da segundo paro . CjÚe a

seg~~~a

ficará com 40 botõe,s

rn°

15 ,0

dO

caixa?

ª·

Quantos botões ho

ern

. Antes d relO'

t1varnente d"~ ~esolver êste problem,..°1

_P'O'

Postas

0 _seg1..i" ificiJ, responda _. às questoes _or

det11

em que se ir, rigorosamente no

encontram. 1 S João e p e João d edro têm mais do er 3 a Pedro que João? ,

2

d vf11; 1 O bolas co 0

te'º

quantas Pedro a d. Quando e océ1

lferença U dou Uma quantia O v

ov'

menta ou

di~~tr:

as nossas quantias tiO?

nui do dôbró dessa quon

3

Se

i

enho NC $ cê·

Cor e.u lhe der

Ncl

,00 mais do que

"º

fi' ei mais do r$ 0,20, com quanto

que você?

4

João tem NCr$ 10,00 mais do que Pedro. Se Pedro der NCr$ 2 00 a João, êste ficará com NCr$ 14,00

mai~

do que Pedro?

5

Tenho duas cestos com laranjas. Pas-sei 3 laranjas da primeira para o segunda ce~ta e esta ficou com 16 laranjas mais do q.ue o primeira. No segundo cesto já exis-tia _rn 1 O _{laranjas mais do que no primeiro}· · _. ;>

6

100 O _{l:sse número} triplo de um número, mais 1 O, _{é 30?} é

7

2S. O triplo de um número, menos 5, é l:sse número é 1 O?

8

nia· João tem um pacote de dinheiro e Joãis NCr$ 20,00. Pedro tem o mesmo

d~

E

0

°

mais NCr$ 10,00. Quanto tem Pedro. s dois juntos?

9

Utti

1.João, Pedro e José, cada um com~rou com ivro do mesmo preço. João ficou ainda J₀s · NCr$ 2,00, Pedro com NCr$ 3,00 e

trê: ~om NCr$ 5,00. Antes de comprar os

Pre Juntos possuíam NCr$ 16,00. Qual 0 c;o de cada 1 ivro?

10

Reparto NCr$ 200,00 entre três pes-soas de modo que a segundo receba NCr$ 10,00 mais do que o primeiro, e a terceiro NCr$ 40,00 mais do que a pri-meiro.

Resposta: As três pessoas receberão respectivamente 50, 60 e 90 cruzeiros no-vos.

11

Em três caixas há, ao todo, 31 O bo-tões. Na segundo caixa há 1 O botões mais do que no primeiro, e na terceira há 20 botões mais do que no segunda. Quantos botões há em cada caixa?

Resposta: Há 90, 100 e 120 botões.

12

Resolvo agora, o problema proposto inicialmente, obs~rvondo bem os problemas 5 e 11, já resolvidos.

Resposta: Há respe~tivamente 40, 60 e ₉

o

botões em cada caixa.

Regras práticas

mental

ou

ab

~ara

o

cálculo

revia do

Multiplicarã

:r 0

Por

11

1

· Número d

e menor do e dois algar'

que dez ismos cu·

d o nú Bosta _{rnero dod} col ocar e t . _{n re os d .} Ja soma

o, a su OIS algo .

Exernplos· o sorna. rrsrnos

35 X 11 .

:::: 385

- Veja se v • e 27 X 11 == 297

çoo, efetu oce corri .

rnultiplica;õ~~~, rnental~=~tndeu

a explic

43 · e as

o-5

₄ >< _>< 11 ₁₁ ::: _- ' seguintes 62 >< 11

=

42 >< 11 :: 2 é

~úmero

d

"'ª'º'

do e dois 1

p que nove a 9Gris1t1os

84 X {fC::de-se co . cuja so111a

1 ) e -_screv 924 rno no exe... "•P 1 o a _segu·

2) e-se 4. ir: 4+a I querda do ::::: 12· 3) 8 4 (vai 1 ). escreve-se da do n •

+

1 ::::: 9. ' o 2 à es. urnero . . , escrev

Procu Ja forrnad e-se o 9 à

cações re efet o.

esquer-, obrev· Uor os 32 IOdornente seguintes , _corn0 f . rnultipli-01 feit ₀ no exernplo d

(11

~

corno ado, sem precisar escrever 0

dLJ'

"°

se obt_ern • _{os algarismos} d

_o

pro 38 X 11 -79 X 11

=

64 X 11

=

48 X 11 ;;: 3 Núrne d

~-~

cuja so- rdo e mais de dois

algot•

ti~º

· · '"ª e d • · '" e menor d ois algarismos conse

0 _que

₁₀

_·

_·

p . 1f· 2 7 rocede s segLJ · l 5

x

11 ..:_ e como no exemplo o 1) - 29.865 escrev 2) e-se o 5· f' da d 5

+

1 - 6 ' . esaLle o 5· - ; escreve-se o 6 o I da 3 l 1

+

7 - · save'' do número-: ,8; escreve-se o 8 o e 4) ₇ Ja formado· ef' da d ₀

+

2 - 9 ' · esav número-:. ; escreve-se 0 _{9 a} , 5) Ja formado·

₁

15

a escrev '

'2

esquerda do e~~e finalmente, o 2 de ·

d Se voe· 1 urnero já formado.

r.60

oda e eu e liCº"' •

guint Poderá ef t orn atenção a e><P

s

,e

es multiplie

u~r

abreviadamente 0

4 3 26 caçoes· . .327 X 11 ::: 12.345 X 1 l ::: 627 18 X 11 ::: . l x 11::: 4

Número de mais de dois algarismos, em que, pelo menos, dois algarismos con-secut' _{•vos têm sua soma maior do que nove.}

Procede-se como no exemplo o seguir:

2.943 X 11 = 32.373 1) escreve-se o número 3 ·

'

d ·d

2

>

3

+

4

=

7·

escreve-se o

7

à esquer

-0 o 3; '

q 3) 4

+

9 = 13 · escreve-se o 3 à es-uerda do número formado (vai 1 );

es 4) (9

+

1)

+

2

=

12; escreve-se o 2 à

querda do número já formado (vai 1);

3 , 5l 2

+

1 = 3; escreve-se finalmente o

0 _{esquerda do número já formado.}

çõ Procure fazer as seguintes multiplico-en e~ usando a regra de cálculo abreviado

si nado: 356 X 11

=

2.349 X 11

=

99.234 X 11

=

l23.582 X 11

=

Multiplicação

por

12

Prát· Esta rnultiplicaç. ão muito útil no vida

ICQ d '

Obre . ' Po e ser calculada mentalmente ou

V1ad ,

direit emente, acrescentando um zero 0 e em ªs do ':'úmero que se multiplica por

1_2

bro d· egu1da somando ao resultado o do·

esse _nurner· _{o .}

Exemplo: Poro multiplicar 12 por 25

você pode, mentalmente, acrescentar um zero à direita de 25 (250), e a seguir somar

ao resultado (250) o dôbro de 25 (50) · obt

e-rá (250 + 50) 300. '

Você entendeu essa regra de cálculo

mentol abreviado?

Será capaz de calcular, mentalmente o preço de uma dúzia de blusas a NCr$

15,00 cada uma?

Vejo se efetua, mentalmente ou abre

-viadamente, os seguintes multiplicações:

22 X 12

=

245 X 12

=

35 X 12.= 75 X 12

=

Você poderá justificar essa regra? Vejo anteriormente as propriedades distributivos da multiplicação, considere 12

como 1 O

+

2 e escreva essa justificativo.

Descubra uma regro análoga para

multiplicar um ~úmero por 13 e escreva, 0

seguir, o enunciado dessa regra:

Paro multiplicar um número por 99

basto acrescentar dois zeros à direita

dês

s~

número e depois subtrair do número for -mado o número considerado inicialmente?

Por quê?

Como multiplicar um número por 98

por meio de regra análoga à que foi

dad~

para 99?

Multiplicac-~

ªº

por

15

1 Núrnero _Par Basta s e acres ornar ao ,

todo centar um numero a

. zero à d' _{ire1ta d} . sua rnet d _{a e}

18 X l 5 - o resul-18

+

9 - 270 :::: 27 Acres mos 270 centando . um zero a' d' _ire't Calcule d 1 a, obte -22 >< l 5 essa forma 44 :::: os Prod 162 X 15 :::: Utos de: 98 X 15:::: X 15::::

2

· Basta numero co a~rescent

niero obtid ns1derado ar urn zero . . o sua · e _so111 a d1re·

Exe nietade ar ao n· ita do 111plo· . ovo n , 13 X 15 _ _{- 195} · U-. Cat Porque: 13 t1plicaçõ cufe os Pr O+ 65

-banias d es, enipr odutos da . - l 9 5

e ensin egando s seguint 121

><

l 5 : : a regra que: 11'1ul -2l )( 1 5 -- Ocq_ 45 ::::: 425 >< 15::::: 34

><

15 :::::

de

d~ultiplicação

de dois nú"''t<l

is

algarismos.

V

eia a

_.

se'

_'

cuia ab . gravura que mostro corri0 .

,,

ir

rev1ad

d

dois

meros d d . amente o produto e

0

v

o5

n:iultipli~a ~is

al_gorismos, complete

as

0

av

i'.

rir prát·1 _ca çoes indicados _{f '} e _'

para

_.

_1·

a o"'eS

·

aÇ

' aça as seguintes mult1p ic

41 21

3

2

J>+<t

-

1

67-

_.

₂

34 23 54

26

-Estrê~as

mág

icas

Eis oqu i uma t • 1 ' · · •

i""'a . es re o magico por nos

"' ginodo '

treze . / _com um 6 no centro e com os

ros d primeiros números inteiros. Os núme

-binaçi:_ssa estrêlo possibilitam curiosas com-·

oes.

12

o

1

As somas de duas parcelas -12 + o

lO

+

₂

8+ 4 5

+

7 3 + 9 1

+

11

--=-

_nunie SÕo t0 •d os igua. is a 12, que é o dôbro do

ro central 6.

2

Asso mos de três parcelas

-12+ 6 + 0 10 + 6 + 2 . 4 + 6 + 8 12+ 4 + 2 8+

o

+10 5 + 6 + 7 3+ 6 + 9 11 + 6 + 1 12 + 5 + 1 5 + 10 + 3 3 + 4 + 11 11 +

o

+ 7 7 + 2 + 9 9 + 8 + 1

- são tôdas iguais o 18, que é 0 triplo do número central 6.

3

As somas de quatro parcelas

-12+ 5 + 3 + 4 4 + 11+ 7 + 2 2 + 9 + 1 + 12 10+ 5+ 1+ 8 8+ 9+ 7 +

o

0+11 + 3 +10

- são tôdos iguais o 24, que é o quádruplo do número central 6. 4 As somos de cinco parcelas -3 +6 + 9 + 0 + 12 11 + 6 + 1+ 10 + 2 7 +6 +5 + 8 + 4 11 +6 + 1+ 5 + 7 7 +6+ 5 + 9 + 3 9 + 6+ 3 + 1+ 11

_ são tôdos iguais o 30, que é o quíntuplo do número central 6.

5

As somos de seis parcelas

-12 + 10+ 4 + 0 + 2 + 8

s + 3+ 11 + 7 + 9 + 1

12 + 5

+

l 3+4+ + 11 +0+7 10+3 + 151 ++ l +8+9 - 9+ 7 + 2 - soo tôd . do n, as iguais a 36

umero central 6. , que é o sêxtuplo

6 As somas d _{e sete} l O+ 5 ..1.. Parcelas _ 3+ 4+ 3+6+9+ 11+0 11 + 6+1 7 +2 + 7 +6 + 8+9 - são

tôda~

.

+

l

+

12

+

5 do núrnero iguais a 42 central 6 , que é . . o setuplo 7 As _{s omas d .} e oito 12

+

₅ Parcelas 8+ 9! 3+11+ -2+7+1;+11+

~!7

+

9

+

1

- são t"d + 3 + 1 O 3 + 5 + 1 do . 0 _{os ·}

+

₅

+

₁ nurnero '9Uois o 48

+

9 central 6 , que é . . o octuplo 8 As sorn _{as d} 1 e nov 120

+

5

+

3 e Parcelas + 3

+

4 -1+₈+11+ ₀+ 11 + ₇ 9+ 2+ 9+ 7+ 7 + 9+2+ 9 - - + 7 + o + a +1 do

s~o

tôdas . + l 1 + 4 + 1 1 + 3 + 1 + 5 nurnero 1_9Uois 0 ₅

+

3

+

5

+

l O+ 5 central 6 _. 4, que _{e o} , _•

+

12

+

1 nonuplo N trai é

ªs

estrêla ,

n _urnero· _{s' Procur} rno _9tco · _{e .} nove ' dois e sorno ~Jo nú ...

d ' conf a d . r rn . 'iero

e núm orme f ors, três entalm cen.

era cent 'Zernos o três ente os

V ocê rol 6. no estr_.1 e a . ., rn nove • . a t. · · · . . 9 º?terá 0 9rc0 ro n _{o cent} , Vez _{es o} ' _nre_, s _Pectiva 36 ro. umero 5 mente 2 que se' ' 3 encon: 9

Múitiplos

e

divisores

Exercício 15 Estudo dirigido

suita

~sponda

às seguintes perguntas, con-n o, se necessário, o seu livro didático:

1

Por

5~Ual

O quociente da divisão de 40

2

A divisão é exata?

Por quê?

4

q LJe 4Q Se a d. , 1v1sao . - é exata po emas 1ze d . d. r

e divisível por 5? '

s

t· _'lllo Pod _{d ernos dizer também que 40 e} · _{mu -}'I e 5?

6

Quando um número inteiro é divisível por outro, êle é múltiplo dêsse outro?

7

Você sabia que o produto de 5 por um número inteiro qualquer é um múltiplo de 5?

8

Como zero é um número inteiro, o pro-duto de um número inteiro por zero é um múltiplo dêsse número?

9

Você sabia que zero é divisível por qualquer número diferente de zero?

10

Zero é múltiplo de ·qualquer número natural?

11

Todo número inteiro é múltiplo de outro número igual a si mesmo?

12

Os três menores múltiplos de

5

são

O

,

5 e 10?

T

J

40 é m_u 'I _t· _{1plo de} 4

_,

₅

_e

_B?

14

---40 é múltiplo comum d 4 e ,

5

e 8? 15

5

e

8~

.

º

também é , multiplo comum de 4 _I 16 Qual é ₀ .

rente de zero menor múltiplo

' de

4,

5

e 8? comum, dif

e-Você sob·

n•11uri de d . ia que o

-de ois ou •uenor 'I

zero é mais n · rnu tiplo

Por m.m' c ;> representad umeros, dife co

-. .. o obreviad rente o mente 18 Qual 19

---o rr1.m.c d · os n · umeros

5

e 15? Voe· números ed Pode cole 1 nú _.m~ro, eterm· u ar 0 e 1nando ~·m.c. d .

mult1plos ~~m seguida os multiplos ~ Varias

muns quai' Procurand e cada

20

H·

o menor? o entre os de

for~o

Processos mais róp·edsPeciais 1 a ₀ Por0 38 m.m.c.? calcular

Exercício

16

Estudo dirigido

R

espond · ntas, ~ ·

sultand o os seguintes pergu

d·dóticO

·

o, se necessário _J o seu livro 1 1

Qual 0 _{quociente de 33 por 3?}

2

Essa diviso-o e' 3 Por qu·_e. :> 4 exato? Qual ₀ d . .

•visor dessa divisão?

s

33 é d' tVisível Por 3? 6 33 é múltiplo de 3? '7 3 é d· •Visor de 33?

8

. f Você sabia que também se diz que 3

e. dator de 33, ou submúltiplo de 33, ou

arn

ª

que 3 divide 33?

9

êsse Se um número é divisível por outro,

outro divide o primeiro?

10

êsse Se um número é múltiplo de outro, outro é divisor do primeiro?

11

A Unidade

é

divisor de qualquer

nú-mero?

12

tr₀

ri'.

0do número natural é divisor de ou

-Umero igual?

13

Visor?lJm número pode ter zero como

di-Qual o menor divisor de um número?

15

Qual o maior divisor de um número?

17

3 é divisor comum de 33 e 21?

18

33 e 21 também têm outro divisor comum?

19

3 é divisor comum de 33 e 66?

20

11 também é divisor comum de 33

e 66?

21

Qual é o maior divisor comum de 33

e 66?

22

Você sabia que o maior divisor comum

. esentado abreviadamente, por m.d.c.?

e repr 1

23

Qual 0 m.d.c. de 3 e 33?

24

V ê pode calcular o m.d.c. de vários

16

3 é d. . ....

, oc determinando os divisores de cada

num;:º:es números, e, a seguir, verificando

um es · ior dos divisores comuns?

qual o mo

1v1sor de 33 e de 21

r

25 .

H'

d f a processos

e orma mais ra· .despeciais para

P• a, o m.d.c.? calcular,

26

Vo ce • conh .

sucessivas, tom e~e o processo

de Euclides? bem chamado d das divisões e algoritmo

Exercício 17

Estud dº . o "•gido Respond sultando a às se . , se nec . Quintes

essa rio Pergunt

1 , o seu 1 •vro • did as, _at1co. . co n-_:

o

.

numero

um

•

so tem um divisor:> 2 Todo . Pelo me numero nos, dois d.~aior do 'Visores:> 3

H

·

êle a númer mesmo as qu . e a e so t• Unidade? em dois d' . 40 'Visores:

4

Todo ·

do

is

div· numero que possui apenas

1sores é d _enominodo . . _numero , _P""'º ·

7

5

. Você sab1·a que , r unt nÕO

é

Primo? o nume

o

6

O menor , , .., numero primo e

2r

7 Dois é qlJe

é

Par? 0 _{único número primo}

8

Primo~S

é divisível por l e por

25

.

25

é

9

. Um n, i.Jt(O

'Qual

e

pet~':er

_

od

que é divisível por

'?(fio?

ni ade é um número

P''

10

s

Primo? que é , , ,,,efO

multiplo de

5,

é riLJ

11

P _Ode Um _Ser n· _umero

Primo? que é múltiplo de olJt(O

é p . Um número, diferente de um, que não

rimo, chama-se número composto?

13

formX-~torar

um número composto é

trans-o num produto de fatôres primos?

14

tôres A

~ecomposição

de um número em fa-Pnmos é única?

15

Já ve 'f·

11úme n 1cou que se l fôsse primo, o ou 1₂ r~ 6, fatorado, poderia se'r 1 X 2 X 3

2 X 3 OU l3 X 2 X 3?

16

t' _º•ten Você _{con ece o}

h

_{chamado crivo de ra-}

E

mos? es Para determinar os números

pri-17

b

_{er se} Você _{conhece outro processo poro} sa-um número é primo?

18

Pr· _1íl"lo? Você _sa b _{e como verificar que} 887 _e '

19

rn

lodo .

el"los um n~'!'ero composto divisor primo?

admite pelo

Qual o resultado do decomposição de 120 em fatôres primos?

21

Quais os divisores de 40?

22

O número de divisores de um número pode ser obtido determinando os seus divi-sores e realizando depois o cont~gem dêsses divisores?

23

Pode ser obtido, também, decompondo 0 número em fatôres primos e calculando

0 produto dos expoentes de seus fatôres pri

-mos, aumentados de uma unidade?

24

Quantos divisores tem o número 80 := 24 _{X 5?}

25

Os números 16 e 25 têm algum divisor m diferente da unidade?

comu ,

26

Você sabia que 16 e 25 são chamados

printOS entre si?