Projeto 1: Participantes: Emerson Alves Mendonça de Abreu-UFMG e João Marcos do Ó - UFPB

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Projeto 1:

T´ıtulo:

Itera¸cão entre a geometria da fronteira e existência de solu¸cão positiva para uma classe de problemas com condi¸cão de fronteira não-linear. Participantes: Emerson Alves Mendon¸ca de Abreu-UFMG e João Marcos do

´

O - UFPB

Objetivo Geral:

Nosso objetivo é estabelecer a existência de melhores constantes da imersão de Sobolev H1_(Ω

²) ,→ Lp(∂Ω²), ou seja, estabelecer

constante ´otima para a desigualdade: ³

k∇uk2_L2_(Ω_²₎+ kuk2_L2_(Ω_²₎

´_1/2

≤ Cp(²)kukLp_(∂Ω_²₎,

onde Ω² = ²−1Ω e estudar o compotamento das fun¸c˜oes u² que realizam as

melhores constantes Cp(²). Desde que a existˆencia de melhor constante ´e

equivalente a existência de solu¸cão positiva não constante para o problema de Neumann não-linear: ½ −∆u = f (u) em Ω² ∂u ∂η = g(u) sobre ∂Ω², (0.1) nosso foco aqui, que iniciou no artigo [2] será usar a ground state do problema limite no semi-espa¸co Euclidiano

½ −∆w = f (w) em RN + ∂w ∂η = g(w) sobre Rn−1, (0.2) para estudar o compotamento de Cp(²).

Outra motiva¸c˜ao deste tipo de problema vem do estudo do problema parabolico, introduzido por Steklov em [1]

     ut− div ³ k(x, u)∇u ´ = 0, x ∈ Ω, t > 0, k(x, u)∂u ∂η + αu = g(t, x, u), x ∈ ∂Ω, t > 0. (0.3)

onde alguns experimentos mostraram que o calor concentra em um unico ponto do material e este ponto est´a localizado em um ponto da fronteira do material.

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Nos últimos anos, o estudo da melhor constante de imersões de Sobolev tem atra´ıdo a aten¸cão de muitos matemáticos, não somente porque estas desigualdades tem papel fundamental em muitos problemas que aparecem em vários problemas da geometria e f´ısica , mas também, estas desigualdades têm indicado alguns fenômenos de grande interesse matemático, por exemplo, como a topologia do dom´ınio interfere na existência de extremal.

Natureza do Projeto:

Trata-se de um projeto de pesquisa teórica em matemática, na área de análise, Equa¸cões El´ıpticas semilineares, fazendo uso da Teoria variacional e argumentos de Blow up.

Delimita¸c˜

ao do Tema da Pesquisa:

O recente progresso no estudo de problemas com condi¸cão de fronteira de Neumann, tem atra´ıdo a aten¸cão por parte dos pesquisadores em contrapartida com o problema de Dirichlet Semilinear. Uma explica¸cão para isto, talvez seja o fato de que qualquer solu¸cão para o problema de Neumann é instável quando vista como uma solu¸cão da equa¸cão parabólica correspondente.

In [9], Ni-Takagi observou um fenˆomeno conhecido como ponto de

condensa¸cão, isto é, a solu¸cão tende a zero quando ² → 0, exceto para um

número finito de pontos. Assim, torna-se importante conhecer não somente a existência de solu¸cão para (0.1) mas também o comportamento assintótico da solu¸cão.

Após este trabalho, despertou-se um grande interesse no estudo de problemas el´ıpticos com condi¸cão de Neumann. Com rela¸cão a este tipo de problema, existe uma extensa literatura da qual destacamos, [10, 13, 18, 19, 17, ?]. Em seus métodos, foi fundamental conhecer a existência e unicidade de uma

ground state para o problema limite, ou seja, uma solu¸c˜ao radial positiva w,

tal que w e suas derivadas de primeira ordem têm decaimento exponencial. Diante disto, é fundamental no estudo do problema (0.1), estudarmos o comportamento das fun¸cões extremais na desigualdade

Sp(Rn+)kukpLp_(Rn−1₎ ≤ k∇uk2_L2_(Rn

+)+ kuk

2

L2_(Rn−1₎. (0.4)

Uma grande dificuldade neste estudo, ´e o fato de que o termo do lado direito de (0.4) n˜ao define uma norma em H1_(Rn

+). Recentemente del Pino e Flores [13],

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cr´ıticas, ou seja, p = 2∗− 1 = (n − 1)/(n − 2). E este trabalho nos motivou a

estudarmos o caso subcritico que tornar-se mais complicado pelo fato de não podermos mais usar as fun¸cões que atingem a melhor constante de Sobolev, as instantons. Como em [14], usaremos o método variacional para estudarmos o problema (0.1) e para tanto é fundamental algumas estimativas a priori para obter o comportamento assintótico das solu¸cões, o qual faremos usando argumento de blow up.

Benef´ıcios Esperados:

Pretendemos com isto dar continuidade a projetos já existente neste tipo de problema, produzindo pelo menos um artigo de pesquisa e consolidando a nossa itera¸cão entre os grupos de pesquisa em EDP dos dois departamentos de matemática das universidades envolvidas.

Projeto 2

T´ıtulo:

Solu¸c˜oes de energia m´ınima para uma classe de problema el´ıptico com crescimento do tipo Trudinger-Moser.

Participantes:

João Marcos Bezerra do Ó - UFPB e João Marcos Bezerra do Ó - UFPB

Objetivos Gerais:

Nosso objetivo é estudar resultados de convergência de sequencias de Palais-Smale para algumas classes de funcionais envolvendo crescimento cr´ıtico do tipo Trundiger-Moser e com isto ampliar estes resultados para provar a existência de solu¸cões de energia m´ınima para esta classe de funcionais. As principais ferramentas consideradas em nossa análise são métodos variacionais, mais precisamente, técnicas do tipo minimax e técnicas de simetria.

Delimita¸c˜

ao do Tema da Pesquisa:

Neste projeto daremos continuidade a an´alise realizada em nossos artigos [4, 5] onde foram estudadas equa¸c˜oes de Schrodinger do tipo

−∆Nu + V |u|N −2u = f (x, u), RN.

Recentemente muitos trabalhos tˆem sido dedicados ao estudo de problemas el´ıpticos envolvendo crescimento cr´ıtico motivado pelo problema de Brezis-Nirenberg onde foi considerado o problema

   −∆u = λup_{+ f (x, u)} _em _Ω, u > 0 em Ω, u = 0 sobre ∂Ω, (0.5)

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onde p = (n + 2)/(N − 2), f (x, 0) = 0 e f (x, u) ´e uma perturba¸c˜ao de ordem inferior a up _{no sentido de que lim}

u→∞f (x, u)/|u|p = 0. A principal

motiva¸cão para investigar esta classe de problemas vem de alguns problemas em Geometria e F´ısica onde ocorre a perda de compacidade. O exemplo mais clássico é o problema de Yamabe, a saber, determinar a existência de

u satisfazendo

½

−4(n−1

n−2)∆u = R0u(n+2)/(n−2)− R(x)u em M,

u > 0 em M, (0.6)

para alguma constante R0 _{onde M ´e uma variedade Riemannian n-dimensional}

e R(x) é a curvatura escalar. Além disso, existem outras aplica¸cões tais como, existência de fun¸cões estremais para desigualdades isoperimetricas, Desigualdades do tra¸co, existência de solu¸cão não minimal para funcionais de Yang-Mills, entre outras.

No caso em questão, ou seja, crescimento cr´ıtico do tipo Trudinger- Moser a situa¸cão é bem mais delicada e os resultados existentes na literatura são incompletos. A dificuldade inicial é o fato de que não há um modelo natural de crescimento cr´ıtico. Em Adimurthi[3], Ruf-Figueiredo-Miyagaki[6], do Ó [7] foi estudado o problemas do tipo foi

  

−div(|∇u|N −2_{∇u) = f (u)} _em _Ω,

u > 0 em Ω,

u = 0 sobre ∂Ω,

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onde Ω ⊂ RN _{´e um dom´ınio limitado e f (u) se comporta como e}α|u|N/(N −1)

no infinito satisfazendo além disso, outras condi¸cões naturais para estas classes de problemas. Para provar a existência de solu¸cões em [] foi seguido basicamente a mesma idéia do argumento de Brezis-Nirenberg[8], isto é, determinou-se explicitamente o n´ıvel minimax, usou-determinou-se uma determinou-sequência de fun¸cões e as hipóteses sobre a não linearidade para provar que o n´ıvel minimax esta abaixo do n´ıvel de não compacidade e portanto a compacidade e recuperada e a existência de solu¸cão é obtida.

Benef´ıcios Esperados:

Pretendemos com isto dar continuidade a projetos j´a existente neste tipo de problema com os Professores Jo˜ao Marcos do

´

O e Uberlandio Batista Severo produzindo pelo menos um artigo de pesquisa no tema proposto.

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Bibliografia

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(6)

6

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Problems in a Degenerate Setting, Indiana Univ. Math. J. 48 (1999)

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