Epidemiologia Matemática e Computacional. Guilherme Galante

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Epidemiologia Matem´

atica e Computacional

Guilherme Galante

26 de fevereiro de 2008

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Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 2

2 Modelos Compartimentais 4

2.1 Modelos elementares . . . 5

3 O processo de transmissão 7 4 Abordagens Matemáticas e Computacionais na Modelagem de Epidemias 9 4.1 Baseado em Equa¸cões . . . 9

4.2 Autˆomatos Celulares . . . 10

4.3 Modelos Baseados em Agentes . . . 11

4.4 Redes Complexas . . . 12

4.4.1 Redes de Mundo Pequeno . . . 12

4.4.2 Redes de Escala Livre . . . 12

5 Redes de Escala Livre 14 5.1 Constru¸c˜ao de Redes de Escala Livre . . . 14 6 Implementa¸c˜ao e Resultados 16

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Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Epidemiologia é uma ciência que estuda quantativamente a distribui¸cão dos fenômenos de saúde-doen¸ca, e seus fatores condicionantes, nas popula¸cões humanas. Alguns autores também incluem na defini¸cão que a epidemiologia permite ainda a avalia¸cão da eficácia das interven¸cões realizadas no âmbito da saúde pública [15].

A pesquisa epidemiológica é responsável pela produ¸cão do conhecimento sobre o pro-cesso saúde-doen¸ca por meio de estudos de freqüência e distribui¸cão das doen¸cas na pop-ula¸cão humana com a identifica¸cão de seus fatores determinantes.Do ponto de vista indi-vidual, o percurso de uma doen¸ca é descrito pelo que se passa entre o momento em que o indiv´ıduo come¸ca a ter sintomas da doen¸ca e o momento em que estes acabam. Do ponto de vista epidemiológico, porém, é muito mais importante a distribui¸cão no tempo e no espa¸co dos contactos infecciosos tidos pelo indiv´ıduo infectado com outros indiv´ıduos e a forma como isso se repercute na propaga¸cão da infeçcão pela popula¸cão [6].

Embora ao nivel individual a sintomatologia, patologia e os mecanismos de transmis-são da maioria das doen¸cas infecciosas estejam razoávelmente compreendidos, existem um número muito grande de fatores supra-indiv´ıduo que complicam a investiga¸cão. Entre estes fatores incluem-se a biologia do agente infeccioso (ciclo de vida, taxas de reprodu¸cão e de mortalidade), as caracter´ısticas populacionais do hospedeiro (natalidade e mortalidade, taxas de contato entre indiv´ıduos, grau de imunidade dos indiv´ıduos, sex ratio, aspec-tos comportamentais etc.) e as caracter´ısticas da doen¸ca em si (forma de transmissão, dependência relativamente a factores climáticos, etc.).

Devido a relevância deste assunto, vários pesquisadores vêm desenvolvendo modelos matemáticos que possam contribuir para a compreensão e erradica¸cão de doen¸cas infec-ciosas. Esta área denominada epidemiologia matemática vem se fortalecendo nos últimos tempos e o interesse em modelar doen¸cas infecciosas tem sido objeto de estudos de inúmeros trabalhos em todo o mundo [7].

Os primeiros desenvolvimentos em Epidemiologia Matemática parecem ter sido realiza-dos por Daniel Bernoulli na última metade do século XVIII. No entanto, somente a partir da segunda metade do século XIX, com o avan¸co do conhecimento médico sobre as causas das doen¸cas infecciosas, ocorreu o desenvolvimento de teorias matemáticas para fenômenos

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Em uma publica¸cão de 1906, W. H. Hamer postulou que o desenvolvimento de uma epidemia depende da taxa de contato entre indiv´ıduos suscet´ıveis e infecciosos. Este pos-tulado, hoje conhecido como o princ´ıpio de a¸cão das massas, tornou-se o mais importante conceito da epidemiologia matemática. Este conceito é traduzido pela idéia de que a dis-semina¸cão da epidemia em uma popula¸cão é proporcional ao produto da densidade de indiv´ıduos suscet´ıveis pela densidade de indiv´ıduos infecciosos. O princ´ıpio de Hamer foi originalmente formulado através de um modelo de tempo discreto, mas, em 1908, Sir Ronald Ross (que descobriu que a malária é transmitida por mosquitos) o generalizou para tempo cont´ınuo, em seus trabalhos sobre a dinâmica da malária.

Em 1927, W. O. Kermack e A. G. McKendrick estenderam a teoria com o princ´ıpio do limiar, estabelecendo que a introdu¸cão de indiv´ıduos infecciosos em uma comunidade não pode levar a um surto epidêmico a menos que a densidade de indiv´ıduos suscet´ıveis esteja acima de um certo valor cr´ıtico. Este princ´ıpio, em conjunto com o princ´ıpio de a¸cão das massas, constitui a base da epidemiologia matemática moderna.

A partir destes estudos, uma grande variedade de modelos está sendo desenvolvido e aplicado a doen¸cas infecciosas. Os modelos atuais envolvem aspectos como imunidade passiva, imunidade parcial, estágios de infeçcão, vetores de doen¸cas, estrutura social e etária, esquemas de vacina¸cão entre outros. Exemplos de modelos desenvolvidos para doen¸cas como rubéola, gripe aviária, difteria, var´ıola, malária, dengue, herpes, s´ıfilis, AIDS entre outras são citados nas referências deste trabalho [7, 8, 11, 13, 3].

Sob este escopo, objetiva-se estudar e desenvolver modelos computacionais epidemi-ológicos que poderão servir como ferramentas auxiliares em estudos de transmissão e con-trole de doen¸cas infecciosas, podendo auxiliar, por exemplo, na compreensão de infeçcões com padrões complexos de transmissão e na melhora do processo de vacina¸cão.

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Cap´ıtulo 2

Modelos Compartimentais

Um dos fundamentos de alguns modelos determin´ısticos é dividir a popula¸cão em com-partimentos, que referem-se ao momento ou estado em que os indiv´ıduos se encontram no desenvolvimento da doen¸ca. De acordo com a literatura, compartimentos rotulados com as letras M, S, E, I e R são geralmente utilizados para as diferentes classes epidemiológicas [1].

A classe M refere-se aos individuos com imunidade passiva. Esse tipo de imunidade acontece quando alguns anticorpos são transferidos pela mãe através da placenta, dessa forma, o recém-nascido possui imunidade temporária a algum tipo de infeçcão. Após o desaparecimento destes anticorpos, o indiv´ıduo é movido para a classe dos suscet´ıveis (S). Crian¸cas que nascem sem a presen¸ca de anticorpos automaticamente pertencem à classe S. A classe S inclui todos os indiv´ıduos que podem contrair a infeçcão.

Um contato adequado1

entre um indiv´ıduo suscet´ıvel e um indiv´ıduo infectado faz com que o suscet´ıvel mova-se para a classe dos expostos (E). A classe E inclui os indiv´ıduos que estão na fase de latência, ou seja, já foram infectados pelo parasita mas que ainda não são capazes de o transmitir a outros indiv´ıduos. Após o per´ıodo de latência, o indiv´ıduo entra na classe dos infectados (I), na qual os indiv´ıduos são capazes de transmitir a doen¸ca a outros. Podem ter ou não sintomas de doen¸ca. Quando o per´ıodo infeccioso termina, o indiv´ıduo entra na classe dos recuperados (R). A classe R inclui todos os indiv´ıduos que se recuperaram da infeçcão e adquirem imunidade, mesmo que temporária, à doen¸ca. Pode-se modelar padrões distintos de comportamentos de doen¸cas, baseados nas diferentes maneiras em que um indiv´ıduo flutua entre tais compartimentos.

Os números absolutos de indiv´ıduos pertencentes a cada uma destas categorias, são simbolizadas por: M = imunes passivos, S = suscept´ıveis, E = latentes, I = infecciosos, R = removidos. Admitindo que as cinco categorias cobrem de forma exaustiva todos os indiv´ıduos da popula¸cão,

M+ S + E + I + R = N

1_{Designa-se por contato adequado um contacto em que a doen¸ca pode ser transmitida. O adjectivo}

“adequado” serve portanto para distinguir entre contactos em que não possa haver contágio e os que permitem contágio.

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sendo N o número total de indiv´ıduos na popula¸cão. As propor¸cões de indiv´ıduos em cada categoria são representadas por letras minúsculas: s= S/N, e = E/N, i=I/N, r = R/N. A sua soma iguala a unidade:

m+ s + e + i + r = 1

2.1 Modelos elementares

Doen¸cas infecciosas de causadas por microparasitas podem ser separadas em dois grupos: • Grupo das doen¸cas que conferem imunidade ao infectado uma vez recuperado. A maioria das doen¸cas pertencentes a este grupo s˜ao de origem viral, como por exemplo o sarampo, a varicela entre outras.

• Grupo das doen¸cas em que o indiv´ıduo uma vez recuperado volta a ser suscet´ıvel. Normalmente essas doen¸ca são causadas por agentes bacterianos, como é o caso da peste, ou por protozoários, como é o caso da malária.

Levando em conta os diversos estados relacionados com o processo infeccioso, os modelos epidemiol´ogicos se dividem em trˆes grandes grupos:

• SIS: Modelo Suscet´ıvel-Infectado-Suscet´ıvel, utilizado em casos em que a doen¸caa não confere imunidade, assim o indiv´ıduo pode passar de infectado para suscet´ıvel novamente. Um caso particular deste modelo é quando o indiv´ıduo infeccioso, uma vez infectado, nunca recupera-se da doen¸ca. Neste caso tem-se o modelo SI. Os mod-elos SIS são apropriados para várias doen¸cas causadas por agentes bacterianos, nas quais a recupera¸cão não protege contra uma reinfeçcão, como a meningite meningocó-cica, a peste, muitas doen¸cas venéreas, e também por protozoários, como a malária e a doen¸ca do sono.

• SIR: Modelo Suscet´ıvel-Infectado-Recuperado, relacionado com as doen¸cas em que os indiv´ıduos infecciosos podem recuperar-se e adquirir imunidade permanente. Doen¸cas infecciosas que ocorrem com maior freqüência na infância, como rubéola, varicela, sarampo e caxumba são exemplos de doen¸cas que costumam ser modeladas através de modelos SIR.

• SIRS: Modelo Suscet´ıvel-Infectado-Recuperado-Suscet´ıvel, idêntico ao anterior, porém aplicável a casos em que a imunidade adquirida pelo indiv´ıduo ao recuperar-se não é permanente, assim o indiv´ıduo volta a ser suscet´ıvel depois de um certo tempo(imunidade temporária) ou, no caso em que a imunidade obtida, desde o primeiro momento, não proporciona prote¸cão total (imunidade parcial). O v´ırus da gripe é talvez o exem-plo mais familiar. A gripe adquirida num inverno confere imunidade apenas parcial contra a gripe do inverno seguinte.

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A escolha por quais compartimentos incluir em um modelo depende das caracter´ısticas particulares da doen¸ca a ser modelada. As classes dos imunes passivos M e dos latentes E são normalmente omitidos, porque não são cruciais na intera¸cão suscet´ıvel-infeccioso. Dessa forma, pode-se obter uma série de modelos, tais como o MSEIR, MSEIRS, SEIR, SEIRS, SIR, SIRS, SEI, SEIS, SI, e SIS [7]. Segundo Gomes [6], o comportamento qualitativo dos modelos é essencialmente idêntico, quer se inclua o per´ıodo de latência e imunidades passivas quer não.

Na Figura 2.1 apresenta-se o modelo MSEIR, onde recém nascidos com imunidade passiva (M) tornam-se suscet´ıveis (S), e em caso de infeçcão passam por um per´ıodo de latência (E), infeçcão (I) e recupera¸cão (R), com imunidade permanente. Um modelo MSEIRS é similar, mas a imunidade na classe R é temporária, dessa forma o indiv´ıduo volta para a classe dos suscet´ıveis quando a imunidade acaba.

Figura 2.1: Diagrama para o modelo MSEIR (Adaptado de [7])

Outro fato que deve-se considerar é que freqüentemente, os modelos compartimentais levam em considera¸cão as taxas vitais da popula¸cão do hospedeiro, isto é, as taxas de natal-idade e mortalnatal-idade, respectivamente, b e d. Desconsiderando a possibilnatal-idade da ocorrência de transmissão vertical, ou seja, não havendo a possibilidade de nascerem crian¸cas já in-fectadas, a taxa de natalidade afeta somente a categoria dos suscet´ıveis. Já as taxas de mortalidade afetam todas as categorias e podem variar entre elas.

´

E muito frequente pressupôr que N, o efetivo populacional, é aproximadamente con-stante ou, pelo menos, que varia numa escala temporal muito longa, comparativamente à escala temporal em que decorre o processo epidemiológico em estudo. De um modo geral, este pressuposto é adequado a muitas popula¸cões de grandes dimensões, como é o caso da popula¸cão humana. Contudo, para o estudo de fenômenos epidemiológicos que decorrem numa escala temporal de muitos anos numa popula¸cão em crescimento, pode não ser ade-quado pressupôr N constante. No caso das popula¸cões humanas dos pa´ıses desenvolvidos, o pressuposto parece em geral apropriado. Para popula¸cões humanas em pa´ıses em vias de desenvolvimento raramente o pressuposto será apropriado [6].

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Cap´ıtulo 3

O processo de transmiss˜

ao

A capacidade de transmissão do agente patogênico é uma propriedade fundamental das doen¸cas transmiss´ıveis e desempenha um papel crucial na sua dinâmica. Durante um certo per´ıodo de tempo(dia por exemplo), um indiv´ıduo infeccioso estabelece contatos adequados com outros indiv´ıduos da popula¸cão, sejam eles da fra¸cão M, S, E, I ou R.

O primeiro fator a ser levado em conta é o numero médio de contatos β de um indiv´ıduo infeccioso em um dia com indiv´ıduos de todas as categorias (M, S, E, I, R) da popula¸cão. Dessa forma se os indiv´ıduos pertencentes a todas estas categorias estão homogeneamente misturados e que a populacao é muito grande. O número médio de contatos com indiv´ıduos suscetiveis por diaserá:

βs

Se um infectado origina em média βs s novos infectados por dia, para saber qual o número total de novos infectados por dia, isto é, a incidência diária da doen¸ca, basta multiplicar βs pelo número total de infectados, ou seja I. Assim, a incidência diária, será:

βsI

Até o presente momento utilizamos um dia como medida de tempo, mas na verdade pode-se utilizar qualquer outra unidade de tempo, desde que a popula¸cão fosse suficien-temente grande para que os parâmetros B, s e I não ase alterassem muito durante essa unidade de tempo. É mais natural exprimir o número de novos infectados numa unidade de tempo menos arbitrária, mais adaptada às caracter´ısticas de cada doen¸ca - o per´ıodo médio de infeçcão (pmi), que representa o tempo médio durante o qual um indiv´ıduo está na categoria dos infecciosos. O pmi depende do tempo que um indiv´ıduo leva para sair da classe dos infecciosos, por recupera¸cão ou morte. Se a taxa de mortalidade dos infecciosos (d) for muito forte, os indiv´ıduos não permanecerão muito tempo dentro desta categoria e o periodo médio de estadia no estado infeccioso será curto. Já se a taxa de recupera¸cão (c) for elevada, a tendência é que o pmi seja mais longo. Assim:

pmi= 1 (c + d)

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Para saber qual o número médio de contatos de um infeccioso, e necessário multiplicar β pelo pmi. O número médio de contatos, por infeccioso, é entao:

R0 = β

1 (c + d)

O valor R0 é fundamental em epidemiologia. R0 é o número médio de infeçcões

se-cundárias causadas pela infeçcão primária numa popula¸cão inteiramente suscet´ıvel. Se a popula¸cão for tão grande que se possa desprezar as infeçcões que vão sendo produzidas, R0 mede a velocidade inicial de crescimento da epidemia, pois cada ind´ıviduo infectado

ramifica-se em R0 novos infectados que, por sua vez, originam R0 infectados cada um,

e assim sucessivamente. Quando R0 ´e maior que 1, a doen¸ca tem capacidade para

in-vadir uma popula¸c˜ao totalmente suscept´ıvel, enquanto que, se R0 <1, a doen¸ca acaba por

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Cap´ıtulo 4

Abordagens Matem´

aticas e

Computacionais na Modelagem de

Epidemias

A modelagem matemática e computacional de fenômenos epidemiológicos consiste na efe-tiva constru¸cão de modelos computacionais. Ela inicia com a modelagem lógica ou matemática do fenômeno, onde o modelo matemático é constru´ıdo sob hipóteses e considera¸cões f´ısicas, fisiológicas e biológicas.

Ocorre que a intera¸cão entre a Matemática, a Computa¸cão e a Biologia não é um acontecimento novo. As áreas da Biomatemática ou Bioinformática já integram vários laboratórios ou departamentos de muitos centros de pesquisa, nacional e mundial.

Nas próximas se¸cões são apresentadas algumas das abordagens computacionais que podem ser empregadas na modelagem de fenômenos epidemiológicos. Destaca-se que a modelagem matemática e computacional agrega conhecimentos, procedimentos e técnicas que permitem construir um modelo computacional a partir do problema ou fenômeno real, e isso significa que um modelo computacional fornece uma aproxima¸cão da realidade.

4.1 Baseado em Equa¸

c˜

oes

Um dos grandes triunfos da epidemiologia matemática, desde as primeiras décadas do século 20, foi o desenvolvimento de modelos muito simples, capazes de reproduzir este tipo de dinâmica. Seguidamente apresenta-se a formula¸cão gráfica e matemática destes modelos para microparasitas.

O estudo da dinâmica de uma doen¸ca consiste essencialmente em esclarecer como é que a abundância dos indiv´ıduos pertencentes a cada um dos compartimentos varia à medida que o tempo passa. Numa grande popula¸cão, a varia¸cão do efetivo de cada um dos compartimentos ocorre a todo o instante. Matematicamente, a varia¸cão de uma variável Y em fun¸cão de outra, X, é medida pela derivada de Y em ordem a X. Se, por exemplo, o número de infecciosos (I) na popula¸cão for representado em fun¸cão do tempo, i.e. I = f (t),

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então a varia¸cão de I à medida que t varia é medida pela derivada de I em ordem a t, dI

dt

e o mesmo se poderia dizer da abundância dos indiv´ıduos em qualquer categoria da popu-la¸cão. Desta forma, os modelos epidemiológicos podem ser representados matematicamente por sistemas de equa¸cões diferenciais.

O procedimento geral consiste em construir as equa¸cões apropriadas para cada tipo de modelo epidemiológico, justificando em detalhe todos os termos das mesmas. Em seguida apresenta-se a solu¸cão das equa¸cões e a ênfase é colocado nas consequências epidemiológicas dessas solu¸cões.

A modelagem para as classes epidemiológicas que geram os modelos do tipo comparti-mental (Cap´ıtulo 2) podem ser representados por sistemas de equa¸cões diferenciais. Mode-los determin´ısticos podem ser resolvidos quando discretizados e solucionados por métodos numéricos apropriados como, por exemplo, os de Runge-Kutta, quando a abordagem é expl´ıcita. Para abordagens impl´ıcitas ou semi-impl´ıcitas empregam-se métodos iterativos estacionários ou não estacionários, como o SOR ou o gradiente conjugado ou GMRES, respectivamente. A análise das caracter´ısticas do esquema numérico obtido a partir das equa¸cões discretizadas conduz à adequada escolha por esta ou aquela estratégia de solu¸cão.

Alguns exemplos de modelos pode ser visto no trabalho de Pan [9].

4.2 Autˆ

omatos Celulares

Os Autômatos Celulares (AC) foram introduzidos nos anos 50 pelo matemático John von Neumann numa tentativa de modelar processos naturais de auto-reprodu¸cão.

Os AC consistem de simula¸cões discretas no tempo, espa¸co e no estado do sistema. A idéia básica destes modelos consiste em considerar cada posi¸cão (ou região) do dom´ınio espacial como sendo uma célula, à qual é atribu´ıdo um estado. O estado de cada célula é modificado de acordo com o seu estado e o de suas vizinhas na etapa de tempo anterior, através de uma série de regras simples que tentam imitar as leis f´ısicas ou biológicas que regem o sistema [10].

Nesta abordagem, as variáveis de estado do sistema, assim como o tempo, são discretos. O sistema é representado espacialmente através de um reticulado de células que interagem obedecendo a algumas regras de mudan¸ca de estado. A dinâmica do sistema como um todo depende desta intera¸cão local entre as células. Cada célula representa um indiv´ıduo, que pode estar em um compartimento M, S,E I ou R.

A chance de que um indiv´ıduo suscet´ıvel se torne infectado vai depender do número de contatos que ele estabelece com outros indiv´ıduos no intervalo de tempo adotado e também da probabilidade de que cada contato resulte em transmissão. A chance com que cada indiv´ıduo se recupere da doen¸ca é também levada em conta.

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Figura 4.1: Exemplo de Autômato Celular: transmissão de um estado entre células

4.3 Modelos Baseados em Agentes

Modelos baseados em agentes podem ser utilizados para simular fenômenos reais através da constru¸cão de agentes computacionais individuais com propriedades espec´ıficas e sim-ular intera¸cões entre eles. Um agente apresenta um comportamento que é conseqüência de suas percep¸cões sobre o ambiente e de suas intera¸cões com outros agentes. Das inter-a¸cões entre muitos agentes podem emergir fenômenos globais incluindo comportamentos coletivos. Assim, empregam-se agentes computacionais para compreender o impacto dos comportamentos individuais sobre os fenômenos coletivos nos casos em que não é poss´ıvel compreendê-los de maneira dedutiva ou anal´ıtica.

Basicamente existem três abordagens multiagente aos sistemas complexos: anal´ıtica quando a ênfase está em cada um dos elementos (economia neoclássica, propriedade, indi-v´ıduo, entre outras); hol´ıstica ou sistêmica quando a ênfase está no comportamento global do sistema (macro-economia, modelos com compartimentos, modelos estat´ısticos); constru-tivismo _{a ênfase está na articula¸cão entre os comportamentos individuais dos elementos e} o comportamento global do sistema [4].

Figura 4.2: Exemplo de intera¸c˜oes entre agentes

Apesar de os modelos baseados em agentes não serem recentes, é ainda recente sua utiliza¸cão na modelagem de sistemas complexos e simula¸cões. Nesses casos, a modelagem

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de um ambiente como um todo (macro) é feita definindo os n´ıveis mais detalhados (micro) das rela¸cões entre os agentes com propriedades espec´ıficas [14]. Com o uso de agentes computacionais pode-se buscar compreender as estruturas complexas das intera¸cões sociais.

4.4 Redes Complexas

Muitos modelos epidemiológicos assumem que os contatos entre os indiv´ıduos das diversas classes são homogêneos, sem levar em considera¸cão aspectos espaciais e que os contatos são feitos através de intera¸cões individuais. Dessa forma, estes modelos podem obter resultados que não condizem com a realidade.

Uma das formas utilizadas na literatura para a modelagem dos contatos é o uso de redes complexas. Tais redes podem ser representadas em grafos onde os vértices são as pessoas e as arestas representam os poss´ıveis contatos pelos quais as doen¸cas se propagam.

A utiliza¸c˜ao de redes complexas na dinˆamica de epidemias tem sido estudado recente-mente de maneira geral em diversos tipos de redes, tal como as redes de mundo pequeno e redes de escala livre.

4.4.1 Redes de Mundo Pequeno

O conceito de redes Small-World foi introduzido no contexto de redes sociais pelo sociólogo Stanley Milgram e baseia-se na observa¸cão de que existe na natureza uma variedade de sistemas cujos elementos estão relativamente próximos uns dos outros, apesar do tamanho significativamente grande destes sistemas (Koehler, 2004).

O objetivo do modelo de redes de Mundo Pequeno é descrever apropriadamente a pe-quena distância entre os elementos e ao mesmo tempo obter um alto ´ındice de aglomera¸cão. Estas duas caracter´ısticas, conhecidas como efeito Mundo Pequeno, são observadas em vários sistemas sociais e podem ser interpretadas como resultado dos padrões de intera¸cão entre os indiv´ıduos destes sistemas, independentemente das limita¸cões geográficas.

Em termo epidemiologicos, redes de pequeno mundo implicam que o nivel de infec-ciosidade requerido para a doen¸ca depedem da alta sensibilidade da conexão topologica da popula¸cão. A alta clusteriza¸cão nestas redes implica que a doen¸ca propaga-se localmente de maneira muito rápida enquanto que o curto caminho da rede permite que a doen¸ca atinja grandes distâncias no grafo.

4.4.2 Redes de Escala Livre

O modelo para redes de escala livre mais utilizado atualmente é o modelo de Barabási-Albert (BA). Neste modelo as redes apresentam uma ordem na dinâmica de estrutura¸cão, com caracter´ısticas bem espec´ıficas.

Uma das principais caracter´ısticas, denominada conexão preferencial, é a tendência de um novo vértice se conectar a um vértice da rede que tem um grau elevado de conexões.

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Essa caracter´ıstica implica em redes com poucos vértices altamente conectados, denomina-dos hubs, e muito vértices com poucas conexões. Desta maneira, não faz sentido falar de escala ou número médio de arestas [12].

Aborda-se mais detalhadamenta as Redes de Escala Livre no próximo cap´ıtulo, já que esta é a abordagem escolhida para a implementa¸cão dos modelos epidemiológicos propostos neste trabalho.

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Cap´ıtulo 5

Redes de Escala Livre

Como vimos anteriormente, grande parte dos modelos propostos para o estudo da dinâmica de epidemias são baseados em equa¸cões diferenciais. Tais modelos assumem que os contatos entre os indiv´ıduos das diversas classes são homogêneos, sem levar em considera¸cão aspectos espaciais e que os contatos são feitos através de intera¸cões individuais. Dessa forma, estes modelos podem obter resultados que não condizem com a realidade [5].

Uma das formas utilizadas na literatura para a modelagem dos contatos é o uso de redes de rela¸cões. Tais redes podem ser representadas em grafos onde os vértices são as pessoas e as arestas suas inter-rela¸cões. Tais inter-rela¸cões podem ser la¸cos de amizade, alian¸cas comerciais ou mesmo parentesco. Neste trabalho, utiliza-se um caso espec´ıfico de grafo chamado redes de escala livre [12].

O modelo para redes de escala livre mais utilizado atualmente é o modelo de Barabási-Albert (BA). Neste modelo as redes apresentam uma ordem na dinâmica de estrutura¸cão, com caracter´ısticas bem espec´ıficas.

Uma das principais caracter´ısticas, denominada conexão preferencial, é a tendência de um novo vértice se conectar a um vértice da rede que tem um grau elevado de conexões. Essa caracter´ıstica implica em redes com poucos vértices altamente conectados, denomina-dos hubs, e muito vértices com poucas conexões [2]. Desta maneira, não faz sentido falar de escala ou número médio de arestas.

5.1 Constru¸

c˜

ao de Redes de Escala Livre

Barabási e Albert [2] sugeriram um mecanismo dinâmico simples e plaus´ıvel para o aparec-imento de redes de escala livre com nodos altamente conectados. A ideia básica do modelo é a de que as redes não são constru´ıdas de uma só vez, mas sim ao longo do tempo, e que apesar do processo de constru¸cão ter ingredientes aleatórios, obedece também a certas re-gras. Mais precisamente, consideraram que à medida que a rede cresce e que novos nós são acrescentados, estes vão-se ligar preferencialmente aos nós com maior grau. Este cenário é plaus´ıvel para muitas redes grandes.

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A cada itera¸cão adiciona-se um novo vértice à rede, conectando-o a um número m, sendo que m ≤ m0.

A escolha dos vértices é feita obedecendo à caracter´ıstica da conexão preferencial. Em cada itera¸cão cada vértice possui uma probabilidade (p) de adquirir uma nova conexão. Esta probabilidade é calculada dinamicamente, e depende do número de conexões que o vértice possui em cada instante de tempo. A probabilidade de que um vértice receba uma nova conexão é expressa pela equa¸cão:

p(ci) =

ci

P

jcj

ou seja, a probabilidade de que um vértice i seja conectado ao novo vértice introduzido é expressa como a razão entre seu número atual de conexões (ci) e o número total de conexões

na rede. Assim, pode-se notar que os vértices com maior número de conexões têm maior probabilidade de receber novas conexões.

Ao final do processo de crescimento de uma rede de N + m0 v´ertices, obt´em-se um grafo

cuja distribui¸c˜ao de conectividades segue uma lei de potˆencias da forma P (k) = 2m2

c−γ,

com γ = 3 e conectividade m´edia hci = 2m.

Ao final do processo de constru¸cão da rede obtém-se o padrão de contatos entre os indiv´ıduos da popula¸cão que será utilizado na simula¸cão. Note que este padrão pode ser modificado ao longo das itera¸cões pela modifica¸cão da conectividade da rede que pode representar, por exemplo, uma altera¸cão do comportamento da popula¸cão, pela inser¸cão ou remo¸cão de vértices representando nascimentos, óbitos e/ou migra¸cão de indiv´ıduos.

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Cap´ıtulo 6

Implementa¸

c˜

ao e Resultados

O estudo da dinâmica de uma doen¸ca transmiss´ıvel consiste essencialmente em esclarecer como a quantidade de indiv´ıduos pertencentes a cada um dos compartimentos varia à medida que o tempo passa. Em uma popula¸cão grande, a variã¸cão do número de indiv´ıduos em cada um dos compartimentos ocorre a todo o instante.

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Referˆ

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