EST-55 AEROELASTICIDADE. Aeroelasticidade Estática

EST-55

AEROELASTICIDADE

Triângulo de Collar

A E I SSA L C D R F B Z DSA DS V

A: Força aerodinâmica Fenômenos Aeroelásticos

E: Força elástica F: “Flutter” I: Força inercial B: “Buffeting”

Z: Resposta dinâmica

Campos Relacionados L: Distribuição de carga V: Vibrações mecânicas D: Divergência

DS: Estabilidade dinâmica C: Eficiência de controle

R: Reversão do sistema de controle

DSA:Efeitos aeroelásticos na estabilidade dinâmica SSA: Efeitos aeroelásticos na estabilidade estática

Conceitos introdutórios – Parte I

• Análise matricial de estruturas

Os deslocamento devido a flexibilidade estão relacionados às forças como:

Supondo que a estrutura é linear

- matriz de rigidez, composta por coeficientes de

influência de rigidez. Cada coluna representa o conjunto de forças necessário para que o deslocamento ui seja unitário e uj sendo nulo quando i≠j.

{ }

F

i

=  



K

ij



{ }

u

j ij

K

   

Análise matricial de estruturas

• Trabalho virtual realizado por uma força:

Energia potencial elástica

2 1 2 1 1 2 2 W F du F u K u u K u = ⋅ = ⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅ →

∑

Análise matricial de estruturas

• Na forma matricial:

Note que diferenciando

refere-se a aplicação da equação de Lagrange:

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ }

1 1 2 2 1 2 T i i i i T i i j W F du F u u F W u F u U = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ = →

∑

Energia potencial elástica

i U x ∂ _⇒ ∂

(

)

i T U d dt x _{∂ −}    ∂ 
 T ∂ −

(

)

_{j i} i i U _U Q F x x − _∂ = = = ∂ ∂

Análise matricial de estruturas

• Consequentemente temos:

Note que:

Como a ordem de integração não altera o resultado, a matriz de rigidez deve ser simétrica

Os elementos diagonais devem ser positivos ou nulos, enquanto os demais não

ij j i i U K u F x ∂ = = ∂

∑

ij ji i j j i U U K K x x x x ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ ∂

Análise matricial de estruturas

• Exemplo: construção da matriz de rigidez do sistema ao lado:

Note que os termos diagonais são sempre positivos, e que existe o acoplamento elástico (termos fora da diagonal) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 0 0 T F P K h a K h b M M K a h a K b h b K K K b K a P h M K b K a K a K b θ θ θ θ θ = − − − + = = + − − + =  _{+ −}      =       − +     _{ } 

∑

∑

Análise matricial de estruturas

• Centro de cisalhamento e centro de torção – são exatamente a mesma coisa, é o ponto onde ao se aplicar uma força só existirá cisalhamento, ou seja não existirá nenhum momento aplicado. Se K1 = K2, e a = b, a origem O é o centro de torção;

• Este conceito é válido quando assume-se que a estrutura é linear;

• Em aeroelasticidade, a posição do centro de torção será determinante na caracterização da estabilidade estática e dinâmica do sistema

Conceitos introdutórios – Parte II

• Aerodinâmica básica

Definições básicas -> Geometria da um aerofólio

bidimensional, daqui por diante abreviado para 2D. c = corda b = ½ corda V = Velocidade de escoamento não perturbado. α α α α = ângulo de ataque

Parâmetros de similaridade

• Em aerodinâmica, define-se como parâmetros de similaridade:

• Em aeroelasticidade temos:

Frequência reduzida massa aparente Re V M a Vc ρ µ = → = → Número de Mach Número de Reynolds b k V ω = m₂ b S µ πρ = V = vel. Escoamento a = velocidade do som ρ ρ ρ ρ = densidade µ µ µ µ =visc. dinâmica ω ω ω ω = frequência circular S = área

Parâmetros de similaridade

• O uso de parâmetros de similaridade garante o

efeito de escala dinâmica para comparações teórico experimentais.

• Se Reynolds e Mach forem similares entre dois corpos imersos em um fluido, que sejam

geometricamente similares, porém em escala diferente os parâmetros aerodinâmicos serão idênticos.

Sustentação e Momento

• Para calcular o momento,

requer-se um comprimento de posição de referência; o o o o L L L M M M d L L L d d M M M d q S C q S C q S C q S cC q S cC q S cC α α α α α α α α = + = + = + = +

Coeficientes aerodinâmicos

• Coeficientes de sustentação e momento:

Nota: é usual definir os índices de coeficiente de seções 2D em minúsculas.

- ângulo de ataque para sustentação nula

2 1 2 l l C V S ρ = 2 1 2 m m C V Sc ρ =

(

)

0 0 l l l l l l L ift

d C

C

C

C

C

C

d

α α

α

α

α

α

α

=

⇒

=

+

=

−

0 Lift

α

Transporte do momento

• Pode-se medir ou calcular o momento aerodinâmico em um determinado ponto e transporta-lo para outro ponto de interesse:

• Onde a e b são dois pontos distintos situados a

distâncias h_a e h_b do bordo de ataque em frações da corda “c”.

(

)

ma ma l a b

Centro aerodinâmico

• Por definição o centro aerodinâmico é o ponto sobre o aerofólio onde o momento aerodinâmico não varia com o ângulo de ataque.

• Para obter o centro aerodinâmico (ac), empregas-se a fórmula de transporte de momentos

0 ac m dC d

α

=

(

)

ac m mb l ac b

C

=

C

+

C h

−

h

Centro aerodinâmico

• Diferenciando em relação a

α

α

α

α

: • Exemplo:

(

)

0

ac m _{mb l} ac b mb ac b l

dC

_dC

_dC

h

h

d

d

d

dC

h

h

dC

α

= =

α

+

α

−

⇒

=

−

0,04

0,02

0,00

-0,02

C

_m1/3

0,8

0,6

0,4

0,2

C

_l

Centro aerodinâmico

• Como os dados de túnel de vento acima comporta-se de forma linear,

• Para aerofólios finos em regime subsônico o centro aerodinâmico situa-se a uma posição a ¼ da corda aproximadamente.

(

)

1 3 1 3 1 3 0, 04 0, 02 0,10 0,8 0, 2 1 0,10 0, 2333 3 m l m ac l dC dC dC h h dC − − = = − = − = − =

Centro de pressão

• Posição onde o momento aerodinâmico é nulo pois é o ponto de aplicação da resultante do

carregamento aerodinâmico distribuído sobre a corda.

• A sua posição pode ser determinada de:

• Note que a posição do Cp depende de

α

α

α

α

.

1 3 1 3 1 3 1 0 3 1 1 0, 02 1 0, 4333 3 3 0, 2 3 xcp m m l xcp m m l xcp xcp l C C C h C C C h h C   = + _ − _ =     − = _ − _ ⇒ = + = + =  

Porque o CA ao invés do CP?

• Embora o centro de pressão CP seja o ponto de aplicação da

resultante aerodinâmica, a sua posição muda com a variação do ângulo de ataque.

• Por outro lado, o que não muda com o ângulo de ataque é a posição do centro aerodinâmico CA.

• Portanto, é razoável assumir como ponto de aplicação da resultante aerodinâmica a posição do centro aerodinâmico, uma vez que a

força aerodinâmica variará proporcionalmente ao ângulo de ataque ao mesmo tempo que momento aerodinâmico permanecerá

constante ou nulo (placa plana).

• Note que para o caso de um aerofólio fino, ou mesmo a

representação da seção de um aerofólio por uma placa plana a

posição do CA será aproximadamente e exatamente a ¼ da corda, respectivamente. e todo o momento atuante no aerofólio será

oriundo da sustentação multiplicada pela distancia do ponto de giro do aerofólio ao centro aerodinâmico a ¼ da corda.

• Note que para o caso da placa sem arqueamento, o momento aerodinâmico será nulo (Cmac₀ = 0)

Mais definições...

• Asa finita (3D) Λ ΛΛ Λ_e=enflechamento do bordo de ataque (LE) A = área da asa b/2 (s/2) = ½ envergadura Cr = corda na raiz Ct = corda na ponta 2 ct cr s AR A

λ

= = afilamento alongamento

Corda média aerodinâmica (MAC)

• Corda de uma asa retangular com a, com a mesma área A, cujas características aerodinâmicas

(sustentação e momento de arfagem) são iguais a asa original.

( )

2 2 0 2 2 1 3 1 s MAC c y dy MAC cr

λ λ

λ

= + + = → +

∫

Asa reta e afilada, e será

importante para adimensionalizar A frequência reduzida

Compressibilidade

• Os coeficientes aerodinâmicos bem como as suas derivadas dependem de efeitos de

compressibilidade;

• Este efeito é representado pela correção de compressibilidade conhecida também como correção de Prandtl-Glauert;

• Não só coeficientes, mas também a posição do centro aerodinâmico é alterada.

2

1

Inc l l l

dC

C

C

d

_M

α α

α

=

=

₋

Regime Transônico

“Transonic Dip” P re s s ã o d in â m ic a d e “ F lu tt e r” Número de Mach 1

baixo amortecimento ponto crítico para _{“Flutter” (regime}

transônico)

teoria linear

Introdução à

Aeroelasticidade Estática

Aeroelasticidade Estática

• Centro Elástico (CE): é o ponto para o qual uma força normal à corda é aplicada e a seção não

sofre torção, mas apenas flexão.

• Uma força aplicada fora do CE causa torção e flexão.

CE

AC - Centro Aerodinâmico

(Ponto onde o Momento Aerodinâmico não muda)

Eixo elástico Esforço aplicado

no eixo elástico (flexão)

Esforço aplicado fora do eixo elástico (torção e flexão)

Aeroelasticidade Estática

• Eixo Elástico: linha ao longo do

comprimento da semi-asa, formada pelos

pontos (CE) onde forças podem ser

aplicadas sem resultar em torção da

mesma.

L L C C α α ∂ = ∂ ( )x AC AC AC M = ⋅L x + M AC AC M M = C q S c⋅ ⋅ 0 = CP x M 4 AC c x ≅ 2 AC c x ≅

Escoamento subsônico (consegue-se o valor exato quando se aplica a teoria dos perfis finos).

Escoamento supersônico : L M c x_ac AC CP CE

Distribuição da sustentação

A resistência devido à rigidez torcional é a tendência de uma seção da asa em resistir à torção imposta pela seção adjacente. É representada pela

Mola Torcional (K_θ). K_θθθθ AC CE CP W L 75% Seção Típica Eixo Elástico

Seção mais representativa da asa. Em geral, é considerada a 75% da semi-envergadura da asa.

Esta seção depende da rigidez torcional ao longo da asa.

K_θθθθ AC CE L M_AC α α α α e V K_θθθθ AC L M_AC α α α α e V θ θθ θ M_θθθθ = K_θθθθ · θθθθ e - distância do CE ao AC α α α

α - ângulo de ataque inicial

θ θθ

θ - ângulo de torção elástica

Obs.: Geralmente o “Flutter”

ocorre antes que a

Divergência, exceto para asas com enflechamento negativo.

θ

θ K Le M _AC + =

(

α θ

)

θ α qSe Kθ C qSc C_M L AC + = ∂ ∂ + ₀

Em termos de coeficientes aerodinâmicos, tem-se:

Determina o quanto tem de torção, dependendo da velocidade. Então,             ∂ ∂ − + ∂ ∂ = α α α θ θ θ L M L C K Se q cC C e K qS AC 1 0

Obs.: θ aumenta quando diminui o denominador. Denominador

nulo corresponde a condição de divergência.

      ∂ ∂ = α θ L D C Se K q

Pressão Dinâmica de Divergência (q_D):

Que proporciona a divergência sobre um aerofólio.       ∂ ∂ = α ρ θ L D C Se K V 2

O carregamento é alterado pela flexibilidade

Velocidade de Divergência (V_D):

Velocidade em que ocorre a Divergência.

(

)

_{Total Rígida Elástica}

L Total L L L C qS L + ∴ = + ∂ ∂ = α θ α 0

Para aumentar a V_D: aumentar K_θ ; diminuir e; e reduzir o ρ (aumentar

o nível de vôo). Se e < 0, não existe a condição de Divergência.

Condição de divergência

• Note os termos que compõem a relação abaixo:

 0 _AC L M L qSeC qScC K qSeC α θ α α θ = + −  “Rigidez Aerodinâmica” “Rigidez Estrutural” “Rigidez Aeroelástica”

A divergência é uma instabilidade independente da magnitude dos esforços (momentos), mas sim dependente da rigidez aeroelástica

Condição de divergência

“Rigidez Aerodinâmica” “Rigidez Aeroelástica” “Rigidez Estrutural”

Condição de divergência

• Graficamente: 2 L

K

_θ

<

q SeC

_α 1 L

K

_θ

>

q SeC

_α

Influência do peso

• O peso W, cujo ponto de aplicação é o CG, também tem

influência sobre a torção elástica, devido o momento negativo gerado por ele, resultando em

AC M + Le −Wd = K_θθ

(

0

)

AC L M C C qSc α θ qSe Wd K_θθ α ∂ + + − = ∂ 0

1

AC L M L

W

C

e

cC

qS

C

Se

d

K

q

K

θ θ

α

α

θ

α



_∂



+

−





∂





=

∂



₋





_∂







Entretanto, note que a divergência independe desta “força externa”...

Acréscimo de sustentação

(

+

)

+ = ∴ ∂ ∂ ∴ = + α θ θ α θ _θ θ qScC K C Se K Le M AC M L AC 0 θ α θ α α C K_θ C C e c qSe L L M_AC = ∂ ∂             + ∂ ∂ + 0

= ângulo de ataque antes da torção elástica

0

α

Como       ∂ ∂ = ∴       ∂ ∂ = α α θ θ L D L D C Se q K C Se K q Então obtém-se :

(

)

D q q L D L

C

Se

q

C

qSe

−

=

+

⇒

∂

∂

=

∂

∂

+

1

1

0 0 0

α

θ

α

θ

α

α

θ

α

que é a expressão que indica o quanto de sustentação se tem em relação à asa rígida.

D q q 0 0 α θ α + 1 0 0 0 α θ α + ≅ + = Rígida Elástica Rígida Efetiva L L L L 0 0 0, 8 0, 64 0, 3 D D V q V q α θ α = ⇒ = + ∴ ≅

então

L

_Elástica

≅

2

L

_Rígida

Mas, com α₀ = 5° ⇒ θ = 10° _{, e} α₀ +θ =15°

que está fora da faixa linear (tomar cuidado).

Sustentação Efetiva

Considerações adicionais

• A eficiência da sustentação modifica o desempenho da aeronave, e deve ser considerada no projeto;

• A superfícies de sustentação devem ser

dimensionadas considerando a flexibilidade;

• A redistribuição da sustentação move o centro de pressão de uma asa na direção da raiz, e para a frente (direção do BA);

• O estudo da estabilidade e controle da aeronave deve levar em conta os efeitos da flexibilidade.

K_θθθθ AC CE L M_AC α α α α e V K_θθθθ AC L M_AC α α α α e V θ θθ θ M_θθθθ = K_θθθθ · θθθθ e - distância do CE ao AC α α α

α - ângulo de ataque inicial θ - ângulo de torção elástica h - deslocamento vertical

Divergência Aeroelástica-2 GDL

+h K_{h K} h K_{h = rigidez em translação}

AC h M L e K L K h θ

θ

+ ⋅ = ⋅ = ⋅

Sistema de duas equações a duas incógnitas:

Agrupando:

Equilíbrio de Momentos e Forças

(ref. CE)

(

0

)

L h C qS

α

θ

K h

α

∂   + = ⋅  _∂   

(

0

)

AC L M C qScC qSe

α

θ

K_θ

θ

α

∂   + _ + _ = ⋅ ∂  

0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 AC AC h L L M h L L M L h L K h h qSC qSC qScC K e e K h h qSC qSC qScC K e e qSC K K K h qSeC K α α α α α α θ θ θ θ θ α θ θ α θ θ θ − −             = + +                         − −             − = +                                _{  }  _{  } −       0 1 0 1 AC L M qSC qScC e K K α θ θ α  −   =  +       Na forma matricial:

Equilíbrio de Momentos e Forças

(ref. CE)

0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 AC L L h h h L h L L L L M qSC qSC K K K K K K qSC qSeC qScC qSeC K K qSeC qSeC K K h e K K α α α α α α α θ θ θ θ θ θ θ θ α θ  ₋   ₋                  ₋             = +                                 − − − − Na forma matricial:

Equilíbrio de Momentos e Forças

(ref. CE)

0 0 1 1 1 1 1 AC AC L L h M h L L L L M L qSC qSC qSe K _qScC K h K qSC K _qScC K C qSeC K K qSeC qSeC K K α α α α α α α θ θ θ θ θ θ θ α α θ _{− } _{− }               = −      −   − − −      _{ } _{ }   _{ }     = −     _{ }   _{ }  

Os deslocamentos são dados por:

Equilíbrio de Momentos e Forças

(ref. CE)

Moral da história_{: A pressão dinâmica de divergência é a mesma} que o caso com 1 GDL.

Outros efeitos...

• A condição (pressão dinâmica, por exemplo) em que o aerofólio perde a sua resistência em torção é conhecida como divergência;

• Não apenas o efeito da compressibilidade, mas também um eventual aquecimento aerodinâmico pode mudar as características estruturais da

estrutura, diminuindo a sua rigidez.

(Aerotermoelasticidade). Ex. vôos em regime hipersônico.

• Uma falha estrutural pode alterar a característica aeroelástica e levar a divergência

O mais importante - efeito da

compressibilidade

• Correção de Prandtl-Glauert: 2 1 D inc L K q C Se M θ α = − A velocidade de divergência aumenta com a altitude, porém diminui com o efeito da compressibilidade.

0 T D L T Do L

K

q

SeC

K

q

SeC

α α

=

⇒

=

⇒

2

1

0

M

C

C

_L L

−

=

α α 2 2

1

1

0

M

q

SeC

M

K

q

_Do L T D

=

−

−

=

α

O efeito da compressibilidade

Mais sobre compressibilidade...

• Todavia, o número de Mach muda a pressão dinâmica de divergência (Prandtl-Glauert);

• Porém não podemos trata-lo como um parâmetro independente; note a relação para a velocidade de divergência:

• A velocidade de divergência depende do par

ρ

ρ

ρ

ρ

e

M, uma vez que o número de Mach depende da

altitude . 2 2 1 D inc L K V C M Se θ α

ρ

= −

Mach de divergência

• Pergunta: se operarmos em uma determinada altitude, qual será o Mach de divergência? A condição de vôo calculada a partir da equação:

deve corresponder (match) à condição calculada pela análise de divergência.

• Em outras palavras, a densidade e o número de Mach devem corresponder à velocidade calculada para uma determinada condição de vôo (altitude).

V M a =

1

2

1

2 2

2

2

q

=

ρ

⋅

V

=

ρ

⋅

M a

e

Mach de divergência

• Para tal, vamos calcular a pressão dinâmica incluindo o efeito da compressibilidade:

• Combinando a equação acima com:

• Tem-se : 2 2 2 0

1

1

inc

1

D _inc D L

K

M

q

q

M

q

M

S e C

θ α

−

=

=

−

=

−

⋅ ⋅

2 2 2

1

1

2

2

q

=

ρ

⋅

V

=

ρ

⋅

M a

Mach de divergência

• Continuação...

• Onde a pressão dinâmica q_s é a pressão correspondente a um escoamento à velocidade do som.

• Ou seja, podemos usar a relação acima que é função exclusivamente do número de Mach e da pressão dinâmica de divergência em regime incompressível. Também é necessário identificar a altitude

correspondente à análise para se calcular a velocidade do som e se obter a pressão dinâmica de referência para aquela altitude;

• O resultado é uma equação quártica para o número de Mach apenas, a nossa incógnita. Este valor correspondente a uma dada altitude será o número de Mach de divergência:

2 2 2 2

2

1

1

_in S c D

M

a

q

M

q

M

ρ

⋅

=

−

=

Mach de divergência

2 2 4 2 2 4 2

0

4

2

Do Do D D s s Do Do Do s s s D

q

q

M

M

q

q

q

q

q

q

q

q

M









+

_

_

−

_

_

= ⇒





















−

_

_

+

_

_

+

_

_













= +

O conceito de “Match Point”

• O conceito de “Match Point”, ou “ponto correspondente” é

muito utilizado para a correlação de resultados de análises aeroelástica com experimentos em vôo.

• A idéia é obter uma velocidade de divergência que

corresponda ao número de Mach a uma determinada altitude de vôo.

• Ou seja, plota-se a pressão dinâmica corrigida para os efeitos de compressibilidade e a pressão dinâmica do escoamento a velocidade do som (a) correspondente a uma determinada altitude de vôo.

• A interseção entre as duas curvas fornecerá o Mach de diverg6encia, ou seja e deste valor pode-se obter a

velocidade de divergência fisicamente correta para a condição investigada.

O conceito de “Match Point”

• O número de Mach de

divergência é a interseção de duas curvas, resultado de plotar

respectivamente como função do número de Mach. Este ponto é conhecido como “Match Point” 2 2 1 2 S q =

ρ

⋅M a 2 1 inc D D q = q − M e

Efeito da Altitude no Mach de

divergência

• Do gráfico anterior,

observa-se que o número de Mach de divergência

aumenta com o aumento da altitude que implica na

mudança da velocidade do som. Na figura ao lado

pode-se também notar que o M_D aumenta

Evitando a divergência...

• Analisando a expressão:

• Se diminuirmos “e”, a pressão dinâmica de divergência aumenta;

• Se aumentarmos a rigidez da K_θθθθ a pressão dinâmica de divergência aumenta.

• Eventuais restrições no envelope de operação também são uma forma de evitar a divergência

      ∂ ∂ = α θ L D C Se K q

Hipóteses restritivas

• Contexto linear, a pequenas deformações, o que implica em comportamento linear do material e da aerodinâmica;

• Deformações ocorrem em um período de tempo suficientemente grande, podendo-se classificar o fenômeno como quasi-estático.

Sumário

• A divergência aeroelástica é uma instabilidade prevista por uma análise de rigidez estática;

• Próximo da condição de divergência, pequenas deformações em torção (incidência da asa)

implicam em grande deformações que podem levar a carregamentos aerodinâmicos ainda maiores –

pode-se atingir regimes não lineares quanto ao comportamento aerodinâmico;

• Perto da condição de pressão dinâmica de

divergência, o efeito da flexibilidade promove um incremento significativo na sustentação.

Eficiência e Reversão de

Comandos

Fenômenos que também estão associados à Aeroelasticidade Estática.

Será usado o aileron para exemplificar estes fenômenos.

Seu objetivo é criar um

momento de rolamento P. x y_a P ∆ ∆ ∆ ∆L_a = diferença de sustentação M_x = 2∆L_a · y_a

Eficiência e reversão de comandos

• Supõem-se que a superfície de comando rotacione fazendo um ângulo

δδδδ

com a linha da corda da

seção;

• Com a deflexão da superfície de comando, a

geometria do perfil muda (camber efetivo), então o C_MAC também muda;

• Esta variação angular da superfícies de comando gera um momento picador que tende a deformar a asa da aeronave, que é flexível;

• Tal deformação pode ser suficientemente grande de forma que a ação do aileron pode gerar um torque em rolamento em sentido contrário do que o

δ

δ

∂

∂

+

=

AC AC AC M M M

C

C

C

0 sem deflexão deflexão do aileron total coeficiente de momento da deflexão do aileron articulação AC L M_AC δ K_θ CE

Reversão de comandos

Articulação

Devido os esforços aerodinâmicos que tendem a introduzir uma nova deflexão da superfície de comando, a deflexão total é diferente da imposta pelo piloto. A deflexão pode ser maior ou menor que a deflexão inicial.

δ₀ deflexão comandada pelo

piloto δ deflexão total Κ_δ rigidez da articulação AC L M_AC δ δ₀ K_θ K_δ CE Articulação elástica

Reversão de comandos

Então, relativo a seção típica com superfície de controle, tem-se:

(

)

_   ∂ ∂ + + ∂ ∂ = ∴ =

δ

δ

θ

α

α

L L L C C qS L qSC L ₀         ∂ ∂ + = ∴ =

δ

δ

AC AC AC M M AC M AC C C qSc M qScC M 0

Reversão de comandos

Devido à articulação, o momento aerodinâmico da superfície de controle (H), em relação ao eixo da

articulação, é dado por:

( ) ( )

( ) ( )

(

)

















∂

∂

+

+

∂

∂

+

=

∴

=

δ

δ

θ

α

α

) ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 H H H H M M M H H M H H

C

C

C

c

qS

H

C

c

qS

H

Nota: com δ +, H +

Reversão de comandos

1) Equilíbrio de momentos em relação ao CE da seção:

(

)

δ

θ

δ

δ

δ

θ

α

α

Kθ C C qSc C C qSe AC AC M M L L ₌       ∂ ∂ + +     ∂ ∂ + + ∂ ∂ 0 0

(

δ

δ

₀

)

δ − = K H

2) Equilíbrio de momentos em relação ao eixo de articulação:

, com (δ – δ₀) sendo a torção elástica da

superfície de controle, em relação ao eixo de articulação. ( ) ( )

(

0

)

(

0

)

) ( ) ( ) ( 0

_α

α

θ

_δ

δ

= δ

δ

−

δ

        ∂ ∂ + + ∂ ∂ + K C C C c qS H H H M M M H H

O que resulta em um sistema cuja equação matricial é dada por:

[ ] [ ]

A

B

b

b

a

a

a

a

⋅

=













∴













=













⋅













₋₁ 2 1 22 21 12 11

δ

θ

δ

θ

Reversão de comandos

11 12 21 22 , , AC H H M L L M M H H C K C C a e a e qS C C _K a a qS c θ δ α δ δ α δ ∂ ∂ ∂ = − = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = − ∂ ∂

(

)

δ θ δ δ δ θ α α Kθ C C qSc C C qSe AC AC M M L L ₌       ∂ ∂ + +     ∂ ∂ + + ∂ ∂ 0 0 θ δ δ δ δ θ α α α Kθ C qSc qScC C qSe C qSe C qSe AC AC M M L L L = ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 0

Equilíbrio de momentos em relação ao CE da seção:

      + ∂ ∂ − =         ∂ ∂ + ∂ ∂ +       − ∂ ∂ 0 0 _AC AC M L M L L cC C e qS C c C e qS K C qSe α α δ δ δ θ α θ       + ∂ ∂ − =         ∂ ∂ + ∂ ∂ +       − ∂ ∂ 0 0 _AC AC M L M L L cC C e C c C e qS K C e α α δ δ δ θ α θ

Demonstração do desenvolvimento

da matriz

( ) ( )

(

0

)

(

0

)

) ( ) ( ) ( 0 _α α θ _δ δ = δ δ −δ         ∂ ∂ + + ∂ ∂ + K C C C c qS H H H M M M H H 0 0 0 α α α θ δ δ Kδδ Kδδ C c qS C c qS C c qS C c qS H H H H M H H M H H M H H M H H = − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +       +       ∂ ∂ + − =       − ∂ ∂ +       ∂ ∂ 0 0 0 α α δ δ δ δ θ α δ Kδ C C c qS K C c qS C c qS H H H H M M H H M H H M H H       +       ∂ ∂ + − =       − ∂ ∂ +       ∂ ∂ H H M M H H M M c qS K C C c qS K C C H H H H 0 0 0 δ α α δ δ δ θ α δ δ

Equilíbrio de momentos em relação

ao eixo de articulação

      +       ∂ ∂ + − =       − ∂ ∂ +       ∂ ∂ H H M M H H M M c qS K C C c qS K C C H H H H 0 0 0 δ α α δ δ δ θ α δ δ       + ∂ ∂ − =       ∂ ∂ + ∂ ∂ +       − ∂ ∂ 0 0 _AC AC M L M L L cC C e C c C e qS K C e α α δ δ δ θ α θ                     + ∂ ∂ + −       + ∂ ∂ − =       ⋅                   − ∂ ∂       ∂ ∂       ∂ ∂ + ∂ ∂       − ∂ ∂ H H M M M L H H M M M L L c qS K C C cC C e c qS K C C C C e qS K C e H H AC H H AC 0 0 0 0 0 δ α α α α δ θ δ α δ δ α δ δ θ

{ }

A

{ }

B

{ } { }

A B b b a a a a ⋅ =       ∴ =       ⋅ ∴       =       ⋅       ₋₁ 12 11 22 21 12 11 δ θ δ θ δ θ

Divergência

• A divergência aeroelástica vai ocorrer quando o det[A] = 0, o que é real para um determinado valor da pressão dinâmica, exceto se o CE estiver à

frente do AC, caso onde nunca ocorre a divergência aeroelástica.

• Este critério de estabilidade é conhecido como

critério de estabilidade de Euler, e será apresentado formalmente quando tratarmos do problemas de

onde ∂∂∂∂C_L/∂∂∂∂δδδδ é a derivada de controle, que depende do perfil e da superfície de controle.

Quando se tem deflexão do aileron, surge uma torção elástica, causada pela variação do momento aerodinâmico.

∆L_∆θ

δ é devido o momento picador que surge com a deflexão positiva _{do aileron, tendendo a diminuir a sustentação adicional}

gerada, ou o momento de cabragem que surge com a deflexão negativa do aileron, tendendo a adicionar sustentação.

∆L_δ sustentação gerada pela deflexão do aileron se a asa fosse rígida. δ δ δ ∂ ∂ = ∆L qS CL ∆L_δ δ CE ∆L_∆θ δ ∆θ_δ

Reversão de comandos

onde ∂M_AC/∂δ é uma

derivada tipicamente negativa. A deflexão do aileron também gera uma mudança

no momento aerodinâmico, representado por:

δ

δ

δ _∂ ∂ = ∆M _AC qSc M AC

Voltando à equação de equilíbrio _{Le M Kθ}

_θ

AC =

+

as variações em L e M_AC produzirão uma torção elástica

adicional ∆θ_δresultando em ∆L_ae + ∆M _AC = K_θ ∆

θ

_δ δ θ δ + ∆ ∆ ∆ = ∆L_a L L .

ou seja, saindo de uma condição de equilíbrio para outra condição de equilíbrio, onde:

. E escrevendo-se na forma de coeficientes, tem-se:

δ θ δ

θ

θ

α

δ

δ

δ

δ





=

∆









∆

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

K

C

C

eqS

C

qSc

M AC L L

A partir desta expressão, obtém-se a mudança na torção elástica correspondente, ou seja, a Torção Elástica Adicional causada pela deflexão do aileron.

Reversão de comandos

Assumindo-se que δ seja conhecido,

a expressão para a Torção Elástica

Adicional é dada por: δ

α δ δ θ θ δ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ L M L C e qS K C c C e AC

Com isso, pode-se calcular as mudanças adicionais no carregamento aerodinâmico do perfil devido à deflexão do aileron: ∴             ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ ∴ ∆ + ∆ = ∆ _∆ δ α δ δ α δ δ θ θ δ _δ L M L L L a a C e qS K C c C e C qS C qS L L L L AC             ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ α δ α δ δ θ θ L M L L a _C e qS K C C c qS K C qS L AC

A uma determinada pressão dinâmica (q) não muito

pequena, pode ocorrer do termo no numerador zerar, ou seja ∆∆∆∆L_a será nulo, o que será um bom critério para adotar a

condição de reversão do comando

            ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ α δ α δ δ θ θ L M L L a _C e qS K C C c qS K C qS L AC devido à deflexão do aileron devido à torção na asa, por causa da deflexão do aileron

Limite da reversão

0

0

AC AC AC M L L L L M L R L M

C

K

C

C

c

qS

qS

C K

cC C

qS

C K

q

ScC C

θ δ θ α δ δ θ α δ

δ

δ

α

δ

∂



_∂

_∂



=

_

+

_

=

∂

∂

∂





=

+

=

⇒

= −

Esta pressão é denominada Pressão Dinâmica de Reversão de Controle (q_R).

δ

α

δ

θ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

−

=

AC M L L R

_C

C

C

Sc

K

q

Velocidade adimensional 0 _{0,2 0,4 0,6 0,8 1,0} 4 8 12 T o rq u e e m r o la m e n to Velocidade de Reversão do aileron

Efeito da velocidade na eficiência do aileron