PARTE
1
Capítulo
1
ÁLGEBRA VETORIAL
Em uma vida longa, uma coisa eu aprendi: que toda a nossa ciência, comparada com a realidade, é primitiva e infantil e, mesmo assim, é o que temos de mais precioso.
⎯ ALBERT EINSTEIN
1.1 INTRODUÇÃO
O Eletromagnetismo (EM) pode ser considerado como o estudo da interação entre cargas elétricas em repouso e em movimento. Envolve a análise, a síntese, a interpretação física e a aplicação de cam-pos elétricos e magnéticos.
O Eletromagnetismo (EM) é um ramo da Física, ou da Engenharia Elétrica, no qual os fenô-menos elétricos e magnéticos são estudados.
Os princípios do EM se aplicam em várias disciplinas afins, tais como: microondas, antenas, má-quinas elétricas, comunicações por satélites, bioeletromagnetismo, plasmas, pesquisa nuclear, fibra ótica, interferência e compatibilidade eletromagnética, conversão eletromecânica de energia, meteo-rologia por radar e sensoreamento remoto1,2. Em Física Médica, por exemplo, a energia eletromag-nética, seja na forma de ondas curtas ou de microondas, é utilizada para aquecer tecidos mais profun-dos e para estimular certas respostas fisiológicas, afim de aliviar a dor em determinadas patologias. Os campos eletromagnéticos são utilizados em aquecedores indutivos para fundir, forjar, recozer, temperar superfícies e para operações de soldagem. Equipamentos para aquecimento de dielétricos utilizam ondas curtas para unir e selar lâminas finas de materiais plásticos. A energia eletromagnéti-ca possibilita muitas aplieletromagnéti-cações novas e interessantes em agricultura. É utilizada, por exemplo, para alterar o sabor de vegetais, reduzindo sua acidez.
Os dispositivos do EM incluem: transformadores, relés elétricos, rádio/TV, telefone, motores elé-tricos, linhas de transmissão, guias de onda, antenas, fibras óticas, radares e lasers. O projeto desses dispositivos requer um profundo conhecimento das leis e dos princípios do eletromagnetismo.
†
1.2 UMA VISÃO PRÉVIA DO LIVRO
O estudo dos fenômenos do eletromagnetismo, feito neste livro, pode ser resumido nas Equações de Maxwell: (1.1) (1.2) § B 0 § D rv 1
Para numerosas aplicações de eletrostática, consulte J. H. Crowley, Fundamentals of Applied Electrostatics. New York: John Wiley & Sons, 1986.
2 Para outras áreas de aplicações de EM, consulte, por exemplo, D. Teplitz, ed., Electromagnetism: Paths To Rescarch. New York: Plenum Press, 1982.
†
Este símbolo indica seções que podem ser suprimidas, expostas brevemente ou propostas como atividades extraclasse, caso se pretenda cobrir todo o texto em um só semestre.
onde o vetor operador diferencial;
D a densidade de fluxo elétrico; B a densidade de fluxo magnético; E a intensidade de campo elétrico; H a intensidade de campo magnético;
a densidade volumétrica de carga;
e J a densidade de corrente.
Maxwell embasou essas equações em resultados já conhecidos, experimentais e teóricos. Uma olha-da rápiolha-da nessas equações mostra que devemos operar com grandezas vetoriais. Conseqüentemente, é lógico que dediquemos algum tempo na Parte I para examinar as ferramentas matemáticas reque-ridas para esse curso. As derivações das equações (1.1) a (1.4), para condições invariantes no tempo, e o significado físico das grandezas D, B, E, H, J e serão objeto de nosso estudo nas partes II e III. Na parte IV reexaminaremos as equações para o regime de variação temporal e as aplicaremos em nosso estudo de dispositivos do EM encontrados na prática.
1.3 ESCALARES E VETORES
A análise vetorial é uma ferramenta matemática pela qual os conceitos do eletromagnetismo (EM) são mais convenientemente expressos e melhor compreendidos. Precisamos, primeiramente, apren-der suas regras e técnicas antes de aplicá-las com segurança. Já que muitos estudantes fazem esse curso tendo pequena familiaridade com os conceitos de análise vetorial, uma considerável atenção é dada a essa análise neste e nos próximos dois capítulos.3Este capítulo introduz os conceitos básicos de álgebra vetorial, considerando apenas coordenadas cartesianas. O capítulo seguinte parte daí e es-tende esse estudo para outros sistemas de coordenadas.
Uma grandeza pode ser um escalar ou um vetor. Um escalar é uma grandeza que só tem magnitude.
Grandezas como tempo, massa, distância, temperatura, entropia, potencial elétrico e população são escalares.
Um vetor é uma grandeza que tem magnitude e orientação.
Grandezas vetoriais incluem velocidade, força, deslocamento e intensidade de campo elétrico. Uma outra categoria de grandezas físicas é denominada de tensores, dos quais os escalares e os vetores são casos particulares. Na maior parte do tempo, estaremos trabalhando com escalares e vetores.4
Para fazer distinção entre um escalar e um vetor, convenciona-se representar um vetor por uma letra com uma flecha sobre ela, tais como A e S SB, ou por uma letra em negrito, tais como A e B. Um escalar é simplesmente representado por uma letra, por exemplo: A, B, U e V.
A teoria do EM é essencialmente um estudo de campos particulares.
Um campo é uma função que especifica uma grandeza particular em qualquer ponto de uma região. (1.3) (1.4) § H J D t § E B t 3
O leitor que não sinta necessidade de revisão de álgebra vetorial pode seguir para o próximo capítulo.
4
Para um estudo inicial sobre tensores, consulte, por exemplo, A. I. Borisenko e I. E. Tarapor, Vector and Tensor Analysis with Application. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1968.
Se a grandeza é um escalar (ou um vetor), o campo é dito um campo escalar (ou vetorial). Exemplos de campos escalares são: a distribuição de temperatura em um edifício, a intensidade de som em um teatro, o potencial elétrico em uma região e o índice de refração em um meio estratificado. A força gravitacional sobre um corpo no espaço e a velocidade das gotas de chuva na atmosfera são exem-plos de campos vetoriais.
1.4 VETOR UNITÁRIO
Um vetor A tem magnitude e orientação. A magnitude de A é um escalar escrito como A ou
0
A0
. Umvetor unitário aAao longo de A é definido como um vetor cuja magnitude é a unidade (isto é, 1) e a
orientação é ao longo de A, isto é:
Observe que | aA| 1. Dessa forma, podemos escrever A como
o que especifica completamente A em termos de sua magnitude A e sua orientação aA.
Um vetor A, em coordenadas cartesianas (ou retangulares), pode ser representado como
onde Ax, Aye Az são denominadas as componentes de A, respectivamente nas direções x, y e z; ax, ay
e azsão, respectivamente, os vetores unitários nas direções x, y e z. Por exemplo, axé um vetor
adi-mensional de magnitude um na direção e sentido positivo do eixo dos x. Os vetores unitários ax, aye
azestão representados na Figura 1.1(a), e as componentes de A, ao longo dos eixos coordenados,
es-tão mostradas na Figura 1.1(b). A magnitude do vetor A é dada por:
e o vetor unitário ao longo de A é dado por:
Figura 1.1 (a) Vetores unitários ax, aye az; (b) componentes de A ao longo de ax, aye az.
g (1.9) aA Axax Ayay Azaz 2Ax2 Ay2 Az2 (1.8) A 2Ax 2 A y 2 A z 2 (1.7) Axax Ayay Azaz (Ax, Ay, Az) ou (1.6) A AaA (1.5) aA A 0A 0 A A
†
1.5 SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES
Dois vetores A e B podem ser somados para resultar em um outro vetor C, isto é:
A soma de vetores é feita componente a componente. Dessa forma, se A (Ax, Ay, Az) e B (Bx, By, Bz),
A subtração de vetores é feita de modo similar:
Graficamente, a soma e a subtração de vetores são obtidas tanto pela regra do paralelogramo quanto pela regra do “início de um – final de outro”, como ilustrado nas Figuras 1.2 e 1.3, respectivamente. As três propriedades básicas da álgebra que são satisfeitas por quaisquer vetores dados A, B e C, estão resumidas na tabela a seguir:
onde k e l são escalares. A multiplicação de um vetor por outro vetor será discutida na Seção 1.7.
Figura 1.2 Soma de vetores C A + B: (a) regra do paralelogramo; (b) regra do “início de um-final de outro”.
Figura 1.3 Subtração de vetores D A – B: (a) regra do paralelogramo; (b) regra do “início de um-final de outro”. Multiplicação Comutativa Associativa Distributiva k(A B) kA kB k(ᐉA) (kᐉ)A A (B C) (A B) C kA Ak A B B A Propriedade Soma (1.12) (Ax Bx)ax (Ay By)ay (Az Bz)az D A B A (B) (1.11) C (Ax Bx)ax (Ay By)ay (Az Bz)az (1.10) C A B
1.6 VETOR POSIÇÃO E VETOR DISTÂNCIA
Um ponto P, em um sistema de coordenadas cartesiano, pode ser representado por (x, y, z). O vetor posição rP(ou raio vetor) de um ponto P é um vetor que começa na origem O do
sis-tema de coordenadas e termina no ponto P, isto é:
O vetor posição do ponto P é útil para definir sua posição no espaço. O ponto (3, 4, 5), por exemplo, e seu vetor posição 3ax+ 4ay+ 5azsão mostrados na Figura 1.4.
O vetor distância é o deslocamento de um ponto a outro.
Se dois pontos, P e Q, são dados por (xP, yP, zP) e (xQ, yQ, zQ), o vetor distância (ou o vetor sepa-ração) é o deslocamento de P a Q, como mostrado na Figura 1.5, isto é:
A diferença entre um ponto P e um vetor A deve ser ressaltada. Embora tanto P quanto A possam ser representados da mesma maneira como (x, y, z) e (Ax, Ay, Az), respectivamente, o ponto P não é
um vetor; somente seu vetor posição rPé um vetor. Entretanto, o vetor A pode depender do ponto P.
Por exemplo, se A 2xyax+ y
2
ay– xz
2
aze P é (2, – 1, 4), então A em P deveria ser – 4ax+ ay– 32az.
Um campo vetorial é dito constante ou uniforme se não depende das variáveis de espaço x, y e z. Por exemplo, o vetor B 3ax– 2ay+ 10azé um vetor uniforme, enquanto que o vetor A 2xyax+ y
2
ay
– xz2azé não uniforme, porque B é o mesmo em qualquer ponto, enquanto A varia ponto a ponto.
Figura 1.4 Representação gráfica do vetor posição rp 3ax+ 4ay+ 5az.
Figura 1.5 Vetor distância rPQ.
(1.14) (xQ xP)ax (yQ yP)ay (zQ zP)az
rPQ rQ rP
(1.13)
Se A 10ax– 4ay+ 6aze B 2ax+ ay, determine: (a) a componente de A ao longo de ay; (b) a
mag-nitude de 3A – B; (c) um vetor unitário ao longo de A + 2B.
Solução:
Os pontos P e Q estão localizados em (0, 2, 4) e ( – 3, 1, 5). Calcule: (a) o vetor posição P;
(b) o vetor distância de P até Q; (c) a distância entre P e Q;
(d) um vetor paralelo a PQ com magnitude 10.
Solução:
(a) rp 0ax+ 2ay+ 4az 2ay+ 4az
(b) rPQ rQ– rP (– 3, 1, 5) – (0, 2, 4) (– 3, – 1, 1) ou rPQ –3ax– ay+ az
(c) já que rPQé o vetor distância de P até Q, a distância entre P e Q é a magnitude desse vetor, isto é:
EXEMPLO 1.2
(c)
Um vetor unitário ao longo de C é
ou
ac 0,9113ax 0,1302ay 0,3906az
ac C 0C 0 (14, 2, 6) 2142 ( 2)2 62 Seja C A 2B (10, 4, 6) (4, 2, 0) (14, 2, 6).
Observe que 0a 0 c 1, como esperado.
EXERCÍCIO PRÁTICO 1.1 (a) (b) (c) (d) Resposta: 5A B 0A B 0
Dados os vetores A ax 3aze B 5ax 2ay 6a , determine:z
um vetor unitário paralelo a3A B a componente de A ao longo de ay (a) 7, (b) (0, 2, 21), (c) 0, (d) (0,9117, 0,2279, 0,3419). ; ; ; . (a) a componente de A ao longo de ay é Ay 4. (b) 35,74 03A B 0 2282 (13)2 (18)2 21277 (28, 13, 18) (30, 12, 18) (2, 1, 0) 3A B 3(10, 4, 6) (2, 1, 0) Portanto, EXEMPLO 1.1
(d) Seja o vetor requerido A, então:
A AaA,
onde A 10 é a magnitude de A. Já que A é paralelo a PQ, o vetor unitário deve ser o mesmo de rPQ
ou rQP. Portanto,
Um rio, no qual um barco navega com sua proa apontada na direção do fluxo da água, corre com orientação sudeste a 10 km/h. Um homem caminha sobre o convés a 2 km/h, do lado esquerdo para o lado direito do barco, em direção perpendicular ao seu movimento. Determine a velocidade do ho-mem em relação à terra.
Figura 1.6 Referente ao Exemplo 1.3.
EXEMPLO 1.3
e
EXERCÍCIO PRÁTICO 1.2
Dados os pontos P(1, – 3, 5), Q(2, 4, 6) e R(0, 3, 8), determine: (a) os vetores posição de P e R, (b) o vetor distância rQR, (c) a distância entre Q e R.
(a) , ax 3ay 5az 3ax y x ay 2az.
A 10(3, 1, 1)
3,317 (9,045ax 3,015ay 3,015az)
Resposta: 3a , (b) 2a aA rPQ 0rPQ0 (3, 1, 1) 3,317 Alternativamente: 29 1 1 3,317 d 2(xQ xP) 2 (yQ yP) 2 (zQ zP) 2 d 0rPQ0 29 1 1 3,317
Solução:
Considere a Figura 1.6 como ilustração do problema. A velocidade do barco é:
A velocidade do homem em relação ao barco (velocidade relativa) é:
Dessa forma, a velocidade absoluta do homem é:
isto é, 10,2 km/h a 56,3odo leste para o sul.
1.7 MULTIPLICAÇÃO VETORIAL
Quando dois vetores, A e B, são multiplicados entre si, o resultado tanto pode ser um escalar quanto um vetor, dependendo de como eles são multiplicados. Dessa forma, existem dois tipos de multipli-cação vetorial:
1. produto escalar (ou ponto): A B
2. produto vetorial (ou cruzado): A B
A multiplicação de três vetores A, B e C, entre si, pode resultar em:
3. um produto escalar triplo: A (B C) ou
4. um produto vetorial triplo: A (B C)
A. Produto ponto
O produto ponto de dois vetores A e B, escrito como A B, é definido, geometricamente, co-mo o produto das magnitudes de A e B e do cosseno do ângulo entre eles.
Assim,
(1.15)
A B AB cos vAB
EXERCÍCIO PRÁTICO 1.3
Um avião tem uma velocidade em relação ao solo de 350 km/h exatamente na dire-ção oeste. Se houver vento soprando na diredire-ção nordeste com velocidade de 40 km/h, calcule a velocidade real do avião no ar e a orientação em que ele se desloca.
Resposta: 379,3 km/h; 4,275° do oeste para o norte.
0uab 0 10,2l56,3° uab um ub 5,657ax 8,485ay 1,414ax 1,414ay km/h um 2(cos 45° ax sen 45° ay) 7,071ax 7,071ay km/h ub 10(cos 45° ax sen 45° ay)
onde vABé o menor ângulo entre A e B. O resultado de A B é denominado de produto escalar,
por-que é um escalar, ou de produto ponto, devido ao ponto – sinal por-que identifica a operação. Se A (Ax, Ay, Az) e B (Bx, By, Bz), então
que é obtido multiplicando-se A e B, componente a componente. Dois vetores, A e B, são ditos
or-togonais (ou perpendiculares), um em relação ao outro, se A B 0.
Observe que o produto ponto satisfaz as seguintes propriedades:
É fácil provar as identidades nas equações (1.17) a (1.20) aplicando a equação (1.15) ou (1.16).
B. Produto cruzado
O produto cruzado de dois vetores, A e B, escrito como A B, é uma quantidade vetorial cuja magnitude é a área do paralelogramo formado por A e B (ver Figura 1.7) e cuja orienta-ção é dada pelo avanço de um parafuso de rosca direita à medida que A gira em direorienta-ção a B. Assim,
onde ané um vetor unitário normal ao plano que contém A e B. A orientação de ané tomada como a
orientação do polegar da mão direita quando os dedos da mão direita giram de A até B, como mostra-do na Figura 1.8(a). Alternativamente, a orientação de ané tomada como a orientação do avanço de um
parafuso de rosca direita à medida que A gira em direção a B, como mostrado na Figura 1.8(b). A multiplicação vetorial da equação (1.21) é denominada produto cruzado devido à cruz – sinal que identifica a operação. É também denominada produto vetorial porque o resultado é um vetor. Se
A (Ax, Ay, Az) e B (Bx, By, Bz), então
a qual é obtida “cruzando” os termos em permutação cíclica. Daí o nome de produto cruzado. (1.22a) (1.22b) (AyBz AzBy)ax (AzBx AxBz)ay (AxBy AyBx)az A B 3 ax ay az Ax Ay Az Bx By Bz 3 (1.21) A B AB sen vABan (iii)
Observe também que:
(1.20a) (1.20b)
ax ax ay ay az az 1
ax ay ay az az ax 0
(i) Propriedade comutativa:
(1.17) (ii) Propriedade distributiva:
(1.18) (1.19) A A 0A 02 A2 A (B C) A B A C A B B A (1.16) A B AxBx AyBy AzBz
Figura 1.8 Orientação de A B e anusando: (a) regra da mão direita; (b) regra do parafuso de rosca direita.
Observe que o produto cruzado tem as seguintes propriedades básicas: (i) Não é comutativo:
(1.23a) É anticomutativo:
(1.23b) (ii) Não é associativo:
(1.24) (iii) É distributivo:
(1.25) (iv)
(1.26) Também observe que
(1.27) az ax ay ay az ax ax ay az A A 0 A (B C) A B A C A (B C) (A B) C A B B A A B B A A A B B
Figura 1.7 O produto de A por B é um vetor com magnitude igual à área de um paralelogramo e cuja orienta-ção é a indicada.
que são obtidas por permutação cíclica e estão representadas na Figura 1.9. As identidades nas equa-ções (1.25) a (1.27) são facilmente verificadas aplicando a equação (1.21) ou (1.22). Deve ser obser-vado que, ao obter an, usamos a regra da mão direita, ou do parafuso de rosca direita, porque
quere-mos ser consistentes com nosso sistema de coordenadas representado na Figura 1.1 que é dextrógi-ro. Um sistema de coordenadas dextrógiro é aquele em que a regra da mão direita é satisfeita. Isto é,
ax ay azé obedecida. Em um sistema levógiro, seguimos a regra da mão esquerda, ou a regra do
parafuso de rosca esquerda, e ax ay – azé satisfeita. Ao longo desse livro, consideraremos
siste-mas de coordenadas dextrógiros.
Da mesma forma que a multiplicação de dois vetores nos dá um resultado escalar ou vetorial, a multiplicação de três vetores, A, B e C, nos dá um resultado escalar ou vetorial, dependendo de co-mo os vetores são multiplicados. Dessa forma, teco-mos um produto escalar ou vetorial triplo.
C. Produto escalar triplo
Dados três vetores, A, B e C, definimos o produto escalar triplo como
obtido em permutação cíclica. Se A (Ax, Ay, Az), B (Bx, By, Bz) e C (Cx, Cy, Cz), então A (B
C) é o volume de um paralelepípedo tendo A, B e C como arestas. Esse volume é facilmente ob-tido encontrando o determinante de uma matriz 3 3, formada por A, B e C, isto é:
Já que o resultado dessa multiplicação vetorial é um escalar, a equação (1.28) ou (1.29) é denomina-da de produto escalar triplo.
D. Produto vetorial triplo
Para os vetores A, B e C, definimos produto vetorial triplo como
obtido usando a regra “bac – cab”. Deve ser observado que:
(1.31) mas (1.32) (A B)C C(A B). (A B)C A(B C) (1.30) A (B C) B(A C) C(A B) (1.29) A (B C) 3 Ax Ay Az Bx By Bz Cx Cy Cz 3 (1.28) A (B C) B (C A) C (A B)
Figura 1.9 Produto cruzado utilizando permutação cíclica: (a) no sentido horário, para resultados positivos; (b) no sentido anti-horário, para resultados negativos.
1.8 COMPONENTES DE UM VETOR
Uma aplicação direta do produto vetorial é seu uso para determinar a projeção (ou a componente) de um vetor em uma dada direção. A projeção pode ser escalar ou vetorial. Dado um vetor A, definimos a componente escalar ABde A ao longo do vetor B como [veja Figura 1.10(a)]
ou
A componente vetorial ABde A ao longo de B é simplesmente a componente escalar na equação
(1.33) multiplicada por um vetor unitário ao longo de B, isto é:
Tanto a componente escalar quanto a vetorial de A estão representadas na Figura 1.10. Observe, na Figura 1.10(b), que o vetor pode ser decomposto em duas componentes ortogonais: uma componen-te ABparalela a B e a outra (A – AB) perpendicular a B. De fato, nossa representação cartesiana de
um vetor consiste, essencialmente, em decompô-lo em suas três componentes mutuamente ortogo-nais, como mostrado na Figura 1.10(b).
Consideramos até aqui a soma, a subtração e a multiplicação de vetores. Entretanto, a divisão de vetores A/B não foi considerada porque é indefinida, exceto quando os vetores são paralelos entre si, tal que A kB, onde k é uma constante. A diferenciação e a integração de vetores será tratada no Ca-pítulo 3.
Figura 1.10 Componentes de A ao longo de B: (a) componente escalar AB; (b) componente vetorial AB.
Dados os vetores A 3ax+ 4ay+ aze B 2ay– 5az, determine o ângulo entre A e B.
Solução:
O ângulo vABpode ser determinado usando ou o produto ponto ou o produto cruzado.
vAB cos1 0,1092 83,73° cos vAB A B 0A 0 0B 0 3 2(26)(29) 0,1092 0B 0 202 22 (5)2 229 0A 0 232 42 12 226 0 8 5 3 A B (3, 4, 1) (0, 2, 5) EXEMPLO 1.4 (1.34) AB ABaB (A aB)aB (1.33) AB A aB AB A cos vAB 0A 0 0aB0 cos vAB
Três campos vetoriais são dados por: Determine: (a) (P + Q) (P – Q); (b) Q R P; (c) P Q R; (d) sen vQR; (e) P (Q R);
(f) um vetor unitário perpendicular a Q e a R, simultaneamente; (g) a componente de P ao longo de Q. Solução: (a) 2ax 12ay 4az 2(1 0) ax 2(4 2) ay 2(0 2) az 2 3a2x 1ay a2z 2 0 1 3 2Q P 0 Q P Q P 0 P P P Q Q P Q Q (P Q) (P Q) P (P Q) Q (P Q) R 2ax 3ay az Q 2ax ay 2az P 2ax az EXEMPLO 1.5 EXERCÍCIO PRÁTICO 1.4 Resposta: 120,6°. vAB cos1 0,994 83,73° sen vAB 0A B 0 0A 0 0B 0 2745 2(26)(29) 0,994 Se A = ax + 3az e B = 5ax + 2ay – 6az , determine vAB. Alternativamente: 0A B 0 2(22)2 152 62 2745 (22, 15, 6)
(20 2)ax (0 15)ay (6 0)az
A B 3
ax ay az
3 4 1
0 2 5
Para encontrar o determinante da matriz 3 3, repetimos as duas primeiras linhas e multiplicamos cruzadamente. Quando a multiplicação cruzada for da direita para a esquerda, o resultado deve ser multiplicado por – 1, como mostrado abaixo. Essa técnica de encontrar o determinante se aplica so-mente em matrizes 3 3. Dessa maneira,
(c) Da equação (1.28) ou (d) (e) (0,745, 0,298, 0,596) a Q R 0 Q R 0 (5, 2, 4) 245 (2, 3, 4) (2, 1, 2)(4 0 1) (2, 3, 1)(4 0 2) P (Q R) Q(P R) R(P Q) (2, 3, 4) P (Q R) (2, 0, 1) (5, 2, 4) 245 3214 25 214 0,5976 sen vQR 0Q R 0 0Q 0 0R 0 0(5, 2, 4) 0 0(2, 1, 2) 0 0(2, 3, 1) 0 14 10 0 4 P (Q R) (2, 0, 1) (5, 2, 4) P (Q R) Q (R P) 14
(f) Um vetor unitário perpendicular a Q e a R, simult neamente, é dado por: Alternativamente, usando a regra “bac – cab”:
a como obtido anteriormente.
14 6 0 2 12 0 2 Q (R P)
5 2 1 2 2 3 1 2 0 1 2 1 2 2 3 1 5
(b) O único modo em que faz sentido é:
Alternativamente: Q (R P) 3 2 1 2 2 3 1 2 0 1 3 6 4 12 14. (2, 1, 2) (3, 4, 6) Q (R P) (2, 1, 2) 3 ax ay az 2 3 1 2 0 1 3 Q R P
Obtenha a fórmula dos cossenos,
Solução:
Considere um triângulo, como mostrado na Figura 1.11. Da figura, observamos que
isto é,
Portanto,
onde A é o ângulo entre b e c.
A área de um triângulo é metade do produto entre sua altura e sua base. Portanto:
Dividindo por abc, obtém-se:
sen A a sen B b sen C c ab sen C bc sen A ca sen B
01 2a b 0 0 1 2b c 0 0 1 2c a 0 a2 b2 c2 2bc cos A b b c c 2b c a2 a a (b c) (b c) b c a a b c 0
e a fórmula dos senos,
usando, respectivamente, o produto ponto e o produto cruzado. sen A a sen B b sen C c a2 b2 c2 2bc cos A EXEMPLO 1.6 EXERCÍCIO PRÁTICO 1.5 Sejam e . Determine:
(a) a componente de E ao longo de F;
(b) o vetor unitário ortogonal a E e F, simultaneamente.
F 4ax 10ay 5az
E 3ay 4az
Resposta: (a) (0,2837, 0,7092, 0,3546), (b) (0,9398, 0,2734, 0,205). (g) A componente de P ao longo de Q é:
0,4444ax 0,2222ay 0,4444az.
(4 0 2)(2, 1, 2) (4 1 4) 2 9(2, 1, 2) (P aQ)aQ (P Q)Q 0Q 02 PQ 0P 0 cos vPQaQ conferir o valor de a.
Demonstre que os pontos P1(5, 2, – 4), P2(1, 1, 2) e P3(– 3, 0, 8) estão todos sobre uma linha reta.
De-termine qual a menor distância entre essa linha e o ponto P4(3, – 1, 0).
Solução:
O vetor distância é dado por:
mostrando que o ângulo entre e é zero (sen v 0). Isso implica que P1, P2e P3estão sobre
a mesma linha reta.
Alternativamente, a equação vetorial da linha reta é facilmente determinada a partir da Figura 1.12(a). Para qualquer ponto P sobre a linha que une P1e P2,
onde l é uma constante. Portanto, o vetor posição rPdo ponto P deve satisfazer
Essa é a equação vetorial da linha reta que une P1 e P2. Se P3está sobre essa linha, o vetor posição de
P3deve satisfazer essa equação; r3satisfaz essa equação quando l 2.
isto é, rP (5 4l, 2 l, 4 6l) (5, 2, 4) l(4, 1, 6) rP rP1 l(rP2 rP1) rP rP1 l(rP2 rP1) rP1P lrP1P2 rP1P3 rP1P2 De maneira similar, (0, 0, 0) rP1P2 rP1P3 3 ax ay az 4 1 6 8 2 123 (2, 3, 4) rP1P4 rP4 rP1 (3, 1, 0) (5, 2, 4) (8, 2, 12) rP1P3 rP3 rP1 (3, 0, 8) (5, 2, 4) (4, 1, 6) rP1P2 rP2 rP1 (1, 1, 2) (5, 2, 4) rP1P2 EXEMPLO 1.7 EXERCÍCIO PRÁTICO 1.6 Resposta: Sim; 10,5.
Demonstre que os vetores a (4, 0, 1), b (1, 3, 4) e c ( 5, 3, 3) formam os lados de um triângulo. Esse é um triângulo retângulo? Calcule a área desse triângulo.
A menor distância entre a linha e o ponto P4 (3, – 1, 0) é a distância perpendicular do ponto até a
linha. Da Figura 1.12(b) é evidente que:
Qualquer ponto sobre a linha pode ser usado como ponto de referência. Dessa forma, em vez de usar
P1como ponto de referência, poderíamos usar P3tal que:
1. Um campo é uma função que especifica uma quantidade no espaço. Por exemplo, A(x, y, z) é um
campo vetorial, enquanto que V(x, y, z) é um campo escalar.
2. Um vetor A é univocamente especificado pela sua magnitude e por um vetor unitário ao longo
de sua orientação, isto é, A AaA.
3. A multiplicação entre dois vetores A e B resulta em um escalar A B AB cos vABou em um
vetor A B AB sen vABan. A multiplicação entre três vetores A, B e C resulta em um escalar
A (B C) ou em um vetor A (B C).
4. A projeção escalar (ou componente) de um vetor A sobre B é AB A aB, enquanto que a
pro-jeção vetorial de A sobre B é AB ABaB.
RESUMO
EXERCÍCIO PRÁTICO 1.7
(b) a equação vetorial da linha P1 P2 ;
(c) a menor distância entre a linha P1 P2 e o ponto P3 (7, 1, 2);
(a) 9,644; (b) (1 5l)ax 2(1 l) ay (8l 3) az; (c) 8,2. d 0rP3P40 sen v 0rP3P4 aP3P10 Resposta: Se P1 é (1, 2, – 3) e P2 é (– 4, 0, 5), determine: (a) a distância P1P2; 2312 253 2,426 0(2, 3, 4) (4, 1, 6) 0 0(4, 1, 6) 0 d rP1P4 sen v 0rP1P4 aP1P20
1.1 Identifique qual das seguintes grandezas não é um vetor: (a) força, (b) momentum, (c) aceleração,
(d) trabalho, (e) peso.
1.2 Qual das seguintes situações não representa um campo escalar?
(a) Deslocamento de um mosquito no espaço. (b) A luminosidade em uma sala de estar.
(c) A distribuição de temperatura em uma sala de aula. (d) A pressão atmosférica em uma dada região. (e) A umidade do ar em uma cidade.
1.3 Os sistemas de coordenadas retangulares, representados na Figura 1.13, são dextrógiros, com
ex-ceção de:
1.4 Qual das expressões abaixo não está correta?
1.5 Qual das seguintes identidades não é válida?
1.6 Quais das seguintes afirmações não têm significado?
(a) (b) A B 5 2A A B 2A 0 (a) (b) (c) (d) (e) aA aB cos vAB c (a b) b (a c) a b b a a (b c) a b a c a(b c) ab bc (a) (b) (c) (d) (e)
onde ak é um vetor unitário.
ak ax ay
ax ay az
A B C B C A A B B A 0 A A 0A 02
Figura 1.13 Referente à questão de revisão 1.3.
1.7 Sejam F 2ax– 6ay+ 10aze G ax+ Gyay+ 5az. Se F e G tem o mesmo vetor unitário, Gyé:
1.8 Dado que A ax+ aay+ aze B aax+ ay+ az, se A e B são perpendiculares entre si, a é igual a:
1.9 A componente de 6ax+ 2ay– 3azao longo de 3ax– 4ayé:
1.10 Dado A – 6ax+ 3ay+ 2az, a projeção de A ao longo de ay é igual a:
1.1 Determine o vetor unitário ao longo da linha que une o ponto (2, 4, 4) ao ponto (– 3, 2, 2).
1.2 Sejam A 2ax+ 5ay– 3az, B 3ax– 4aye C ax+ ay+ az. (a) Determine A + 2B. (b) Calcule
0 A – 5C 0. (c) Para quais valores de k é 0 kB 0 2? (d) Determine (A B)/(A B).
1.3 Se determine: (a) (b) (c) (d) (e) 12B
1
1 3A 1 4C2
A C 0B 02 2A 3B 0C 0 C 4(A B) A 2B C C 3ax 5ay 7az B ay az A 2ax ay 3az PROBLEMAS (a) (b) (c) 3 (d) 7 (e) 12Respostas: 1.1d; 1.2a; 1.3b,e; 1.4b; 1.5a; 1.6b,c; 1.7b; 1.8b; 1.9d; 1.10c.
4 12 (c) 10/7 (d) 2 (e) 10 (a) (b) 30ax 40ay 12ax 9ay 3az (a) (d) 1 (b) (e) 2 (c) 0 1/2 2 (a) 6 (c) 0 (b) (d) – 63 (c) (d) A A B B 0 A(A B) 2 0
1.4 Se os vetores posição dos pontos T e S são 3ax– 2ay+ aze 4ax+ 6ay+ 2az, respectivamente, deter-mine: (a) as coordenadas de T e S; (b) o vetor distância de T até S; (c) a distância entre T e S.
1.5 Se
1.6 Dados os vetores
1.9 Dados os vetores T 2ax– 6ay+ 3aze S ax+ 2ay+ az, determine: (a) a projeção escalar de T so-bre S; (b) o vetor projeção de S soso-bre T; (c) o menor ângulo entre T e S.
1.10 Se A – ax+ 6ay+ 5aze B ax+ 2ay+ 3ax, determine: (a) a projeção escalar de A sobre B; (b) o vetor projeção de B sobre A; (c) o vetor unitário perpendicular ao plano contendo A e B.
1.11 Calcule os ângulos que o vetor H 3ax+ 5ay– 8azfaz com os eixos x, y e z.
1.12 Determine o produto escalar triplo de P, Q e R dado que
e R 2ax 3az Q ax ay az P 2ax ay az 1.8 Dado que (a) ; (b) ; (c) ; (d) ;
(e) (P Q) (Q R) ; (f) cos vPR; (g) sen vPQ.
(P Q) (Q R) Q P R P Q R 0P Q R 0 C ax ay 2az Q 4ax 3ay 2az P 2ax ay 2az determine: (b) Demonstre que ax ay az ax ay az ,
ay az ax ax ay az ,
az ax ay ax ay az
1.7 (a) Demonstre que
(A B)2 (A B)2 (AB)2
determine a, b e g, tais que os vetores sejam mutuamente ortogonais.
C 5ax 2ay gaz B 3ax bay 6az A aax ay 4az C 8ax 2ay B ax 4ay 6az A 5ax 3ay 2az
1.13 Simplifique as seguintes expressões:
1.14 Demonstre que os sinais de ponto e de vezes podem ser intercambiados no produto escalar triplo,
isto é, A (B C) (A B) C.
1.15 Os pontos P1(1, 2, 3), P2(– 5, 2, 0) e P3(2, 7, – 3) formam, no espaço, um triângulo. Calcule a área do triângulo.
1.16 Os vértices de um triângulo estão localizados em (4, 1, – 3), (– 2, 5, 4) e (0, 1, 6). Determine os três
ângulos desse triângulo.
1.17 Os pontos P, Q e R estão localizados em (– 1, 4, 8), (2, – 1, 3) e (– 1, 2, 3), respectivamente.
De-termine: (a) a distância entre P e Q; (b) o vetor distância de P até R; (c) o ângulo entre QP e QR; (d) a área do triângulo PQR; (e) o perímetro do triângulo PQR.
∗1.18 Se r é o vetor posição do ponto (x, y, z) e A é um vetor constante, demonstre que:
(a) (r – A) A 0 é a equação de um plano constante. (b) (r – A) r 0 é a equação de uma esfera.
(c) Demonstre, também, que o resultado da parte (a) é da forma Ax + By + Cz + D 0, onde
D – (A2+ B2+ C2), e que o resultado da parte (b) é da forma x 2
+ y2+ z2 r2.
∗1.19 (a) Prove que P cos v1ax+ sen v1aye Q cos v2ax+ sen v2aysão vetores unitários no plano xy fazendo, respectivamente, ângulos v1e v2com o eixo dos x.
(b) Usando o produto ponto, obtenha a fórmula para cos(v2– v1). De maneira similar, obtenha a fórmula para cos(v2+ v1).
(c) Se v é o ângulo entre P e Q, determine em função de v.
1.20 Considere um corpo rígido girando, com uma velocidade angular constante de q radianos por
se-gundo, em torno de um eixo fixo que passa pela origem, como mostrado na Figura 1.14. Seja r o vetor distância de O até P (ponto no interior do corpo). A velocidade u do corpo em P é dada por
0u0 dq 0r0 sen v 00 ou u r. Se o corpo rígido gira a uma velocidade de 3 radianos por
segundo em torno de um eixo paralelo a ax– 2ay+ 2az, passando pelo ponto (2, – 3, 1), determine a velocidade do corpo em (1, 3, 4).
Figura 1.14 Referente ao Problema 1.20.
1 20P Q 0 (a)
(b) A [A (A B)]
A (A B)
1.21 Dado A x2yax– yzay+ yz2az, determine: (a) a magnitude de A no ponto T(2, –1, 3);
(b) o vetor distância de T até S, caso S esteja a 5,6 unidades de distância afastado de T e com a mesma orientação de A em T;
(c) o vetor posição de S.
1.22 E e F são campos vetoriais dados por E 2xax+ ay+ yzaze F xyax – y2ay+ xyzaz. Determine: (a) 0E0 em (1, 2, 3);
(b) a componente de E ao longo de F em (1, 2, 3);
