Gráficos de ligação energética (Bond Graphs)

Instituto Superior de Engenharia do Porto

Departamento de Engenharia Electrotécnica

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

SISEL - Sistemas Electromecânicos

Exercícios de

Gráficos de ligação energética (Bond Graphs)

R1 L C1 + V − R2 C2

1. Considere o circuito eléctrico representado na figura e o

correspondente gráfico de ligação energética (bond graph) onde os símbolos α, β e γ representam elementos do sistema. Então, vem: 1.a) A) α = R2 B) β = R2 C) γ = R2 D) Outro resultado 1.b) A) α = L B) β = L C) γ = L D) Outro resultado

2. Considere o circuito eléctrico representado na figura e o correspondente gráfico de ligação energética onde os

símbolos α, β e γ representam elementos do sistema. Então, vem:

A) α = V2 B) β = V2 C) γ = V2 D) Outro resultado

3. Considere o circuito eléctrico representado na figura e o correspondente gráfico de ligação energética (bond

graph) onde os símbolos {α, β, γ} representam elementos do sistema. Então, vem: A) α = R2, β = C1, γ = C2 B) α = C1, β = R2, γ = C2 C) α = C2, β = R2, γ = C1 D) α = C2, β = C1, γ = R2 SE: V γ α C2 1 β 1 0 ₀ R1 SE: V1 γ α R2 1 β 1 0 ₀ R1 R1 L C1 + V1 − R2 − V2 + SF: I γ α 1 β 1 0 R1 R1 C1 I R2 C2

4. Considere o sistema mecânico e o correspondente gráfico de ligação energética

representados nas figuras. Então, vem: Α) α representa uma junção tipo 0 Β) α representa uma junção tipo 1 C) α representa um transformador TF D) α representa um girador GY

5. Considere o sistema mecânico e o correspondente gráfico de ligação

energética representados nas figuras. Então, vem: Α) α representa uma junção tipo 0

Β) α representa uma junção tipo 1 C) α representa um transformador TF D) α representa um girador GY

6. Considere o sistema mecânico representado na figura seguinte, onde f(t) é a

força aplicada, x1(t) e x2(t) são deslocamentos e K e B as constantes de rigidez

das molas e de atrito viscoso. Este sistema foi proposto para compensação de sistemas mecânicos. O gráfico de ligação energética (bond graph) do sistema vem:

A) α = 2K B) β = 2K C) γ = 2K

D) Outro resultado

7. Considere o sistema mecânico e o respectivo gráfico de ligação energética (bond graph) representados nas

figuras. Então, vem:

A) α = M1 B) α = K C) α = M2 D) Outro resultado f(t) 2K x2(t) K x1(t) 2K B f(t) B1 B2 M1 M2 x2 x1 K f(t) B M v3 K v v3 SE v M α K B v SE vi M α K B1 β B2 f(t) B1 M v2 K vi B2 v1 v2 v1 f v1 SF f β 1 α 0 B1 M2 0 B2 v2 v1 f v1 SF f γ α β 1 2K 0 0 Causalidade diferencial forçada

8. Considere o sistema mecânico envolvendo uma engrenagem com razão de transformação n = N1/N2 e o

respectivo gráfico de ligação energética (Bond Graph) representados nas figuras. Então:

A) O elemento T1 é uma fonte de esforço B) O elemento T1 é uma fonte de fluxo

C) O elemento T1 é um elemento dissipador D) Outro resultado

9. Considere o sistema mecânico da figura e o correspondente gráfico de ligação energética (bond graph) onde os

símbolos {α, β, γ} representam elementos do sistema. Então, vem: A) α = K1, β = M1, γ = M2

B) α = M1, β = K1, γ = M2

C) α = K1, β = M2, γ = M1

D) α = M1, β = M2, γ = K1

10. Considere o sistema mecânico representado na

figura, com uma carga, constituída por uma massa ML,

uma mola KL e um atrito BL, accionada através de um

motor, com inércia Jm e atrito Bm. O motor desenvolve

um binário Tm, um deslocamento angular θ e encontra-se

acoplado a um parafuso com passo h. A massa da carga desloca-se da distância (linear) xL. Considere o gráfico

de ligação energética (bond graph) onde os símbolos α, β e γ representam elementos do sistema. Então, vem: A) α = K B) α = B C) α = ML D) Outro resultado T1, ω1 N2 N1 J1 B2 T2, ω2 B1 ω2 ω1 T1 ω1 T1 _TF n M1 0 B1 SF: T2 0 B2 SF: f β γ 0 1 0 B1 α Κ2 K1 M1 x2 f, x1 B1 K2 M2 SF: Tm α γ 0 0 θ& Bm TF 0 Jm 1 β BL x& L x& h/(2π) carga Tm, θ _h Jm x motor B K ML Bm xL BL

v1 f(t) l1 B M l2 v2 K 11. Considere o sistema mecânico da figura onde v1 e v2 e l1

e l2 representam, respectivamente, as velocidades de

deslocamento e os comprimentos dos braços dos dois lados da alavanca. Então, sendo m = l2/l1, o respectivo gráfico de

ligação energética (Bond Graph) vem:

A) B)

C) D) Outro resultado

12. Considere o sistema mecânico representado na figura, de uma carga (constituída por uma massa ML, um

atrito BL e uma força resistente FL) accionada através de um motor (com atrito Bm) e um parafuso com passo h. O

motor desenvolve um binário Tm a velocidade angular ω e a carga desloca-se da distância (linear) x. O respectivo

gráfico de ligação energética (com n = h/(2π)) está também representado. Então, vem: A) β = ML B) α = ML C) Outro resultado v2 v1 f v1 SF f Μ 0 K 0 B TF m v2 v1 f v1 SE f Μ 1 K 1 B TF m v2 v1 f v1 SF f Μ 1 K 0 B TF m Tm, ω BL h motor ML Bm carga x, FL x_& ω SF Tm 0 0 TF n SF TL

K θm _θ L JL Jm Bm _BL B Tm

motor transmissão carga

13. Considere a transmissão mecânica representada na figura onde: B e K são os coeficientes de atrito e de rigidez da transmissão, Jm e JL são as inércias do motor e da carga,

Bm e BL são os coeficientes de atrito do motor e da carga,

Tm é o binário motor,

θm e θL são os deslocamentos angulares do motor e da carga,

ωm e ωL são as velocidades angulares do motor e da carga;

e o correspondente gráfico de ligação energética, onde os símbolos α, β e γ representam elementos do sistema. Então, vem:

A) α = BL B) α = B

C) α = Bm D) Outro resultado

14. Considere o sistema mecânico e o correspondente gráfico de

ligação energética (bond graph).

14.a) Indique a que tipos de junções correspondem os parâmetros α, β, γ.

14.b) Discuta e atribua as causalidades ao gráfico de ligação energética apresentado.

15. Considere o sistema mecânico da figura e o correspondente gráfico de ligação energética (bond graph) onde

os símbolos α, β, χ, δ e γ representam elementos do sistema. Então, vem:

A) γ = B1 B) γ = K1 C) γ = K2 D) γ = J1 m L SF Tm K Jm 0 0 JL 1 0 B₁ K₂ B₂ K₁ SF: F₁ M SF: F₂ 0 α 1 0 β γ x₃(t) f₂(t) B₁ K₂ x₁(t) M B₂ K₁ x₂(t) f₁(t) J1 θ2 T, θ1 B2 K2 B1 K1 SF: T χ α 0 γ 0 1 δ 0 β

16. Considere o agitador

electromecânico representado na figura. Considere, para simplificar o tratamento matemático, que a força f(t) produzida pelo solenóide e a força contra-electromotriz eb(t) induzida pelo núcleo

ferro-magnético têm relações aproximadamente lineares, respectivamente com as expressões

f(t) = Ki i(t) e e_b

( )

( )

uma constante de proporcionalidade, i(t) a corrente eléctrica no enrolamento e

( )

x& a velocidade de deslocamento do

núcleo com massa M. O gráfico de ligação energética (bond graph) do sistema vem:

A) B) C) D) Outro resultado TF 1/Ki x_& f vi i eb i SE: vi B K M 0 L R 1 TF 1/Ki x& f vi i eb i SF: i B K M 1 L R 0 GY Ki x_& f vi i eb i SF: i B K M 1 L R 1 M B K x(t) i(t) + − f(t) solenóide núcleo ferro-magnético eb(t) + − L R vi

J1 θ0 Tm, θ1 K2 B1 J3 B3 θ2, T2 TL, θ3 NA NB T1

17. Considere o sistema mecânico da figura e o correspondente gráfico de ligação energética (bond graph) onde

os símbolos α, β, η, δ, χ e γ representam elementos do sistema. Então, vem:

A) γ = K1 B) γ = K2 C) γ = K3 D) γ = B2

18. Considere o sistema mecânico (onde Tm e TL são, respectivamente, os binários aplicado pelo motor e

solicitados pela carga) e o correspondente gráfico de ligação energética (bond graph) onde os símbolos α, β e γ representam elementos do sistema. Então, vem:

A) α = J1

B) α = B1

C) α = J3

D) Outro resultado

19. Considere o sistema mecânico representado na figura e o correspondente gráfico de ligação energética (bond

graph) onde os símbolos α, β e γ representam elementos do sistema. Então, vem: A) α = K1 B) α = B1 C) α = J3 D) Outro resultado J1 θ2 T, θ1 B2 K2 B1 K1 K3 SF: T η α 0 γ 0 1 0 β δ χ SF: Tm B3 α 0 γ 0 1 TF SF: _TL β K2 J1 θ0 Tm, θ1 B2 K2 B1 K1 J3 B3 θ2, T2 TL, θ3 NA NB T1 SF: Tm B3 α 0 γ 0 1 0 β TF SF: _TL J1 0 K2 B2

20. Considere o circuito eléctrico representado na figura. Esboce o

correspondente gráfico de ligação energética (bond graph) sem esquecer de indicar a causalidade nos elementos.

21. Construa o gráfico de ligação energética (“Bond Graph”) (incluindo a causalidade) do seguinte sistema

eléctrico: + -E I R₁ L₁ C₁ C2 R₂ C₃ N₁ N₂ n=N₂/N₁

22. Considere um sistema electromecânico representado pelo seguinte “Bond Graph”:

R L _J 1 B1 TF 0 1 TF 0 J₂ B₂ S_e w2 :w₁ :U :1/n1 :n2

22.a) Atribua a causalidade e complete o gráfico colocando as variáveis de esforço e fluxo em cada uma das

ligações (bonds).

22.b) Retire as equações constitutivas relativas aos elementos TF e à junção tipo 1.

23. Considere o circuito em ponte de Wheatstone representado na figura seguinte, onde R1, R2, R3 e R4 são as

resistências de cada um dos braços da ponte e V a tensão aplicada. Desenhe o gráfico de ligação energética (bond

graph) do circuito e atribua-lhe a respectiva causalidade.

R₁ R3 R₄ R₂ + -V V_AB A B R1 + V − R2 C1 C2

24. Desenhe um sistema eléctrico que possa ser modelizado pelo seguinte gráfico de ligação energética (“Bond Graph”): R₁ C₁ L R₂ 0 1 S_f 0 C₂ R₃

25. Considere o sistema mecânico representado na figura, onde f(t) é a força

aplicada, x1(t) e x2(t) são deslocamentos e Ki e Bi (i = 1,2) são,

respectivamente, as constantes de rigidez das molas e de atrito viscoso. Esboce o gráfico de ligação energética (bond graph) do sistema.

26. Considere o sistema mecânico representado na

figura, de uma carga (constituída por uma mola KL e

um atrito BL) accionada através de um motor (com

inércia Jm) e um parafuso com passo h. O motor

desenvolve um binário Tm, uma velocidade angular ω

e a carga desloca-se da distância (linear) x. Esboce o gráfico de ligação energética (bond graph) do sistema (faça n = h/(2π)).

27. Considere o sistema mecânico da figura onde x1 e x2 e

l1 e l2 representam, respectivamente, os deslocamentos e os

comprimentos dos braços dos dois lados da alavanca. Esboce o gráfico de ligação energética para o sistema mecânico do problema.

28. Considere o sistema mecânico da figura onde {x1,

x2} e {l1, l2} representam, respectivamente, os

deslocamentos e os comprimentos dos braços dos dois lados da alavanca e f é a força aplicada. Esboce o gráfico de ligação energética (bond graph) do sistema (faça n = l2/l1).

29. Considere o sistema mecânico representado

na figura, de uma carga (constituída por uma massa ML, um atrito BL e uma força resistente FL)

accionada através de um motor (com atrito Bm) e

um parafuso com passo h. O motor desenvolve um binário Tm a velocidade angular ω e a carga

desloca-se da distância (linear) x. Esboce o respectivo gráfico de ligação energética com n = h/(2π).

f(t) l1 M l2 x2 B2 x1 B1 K f(t) K2 x2(t) K1 x1(t) B1 B2 carga Tm, ω _h Jm x motor BL KL Tm, ω BL h motor ML Bm carga x, FL f(t) l1 l2 B K x1 M x2

B f(t) K2 x2(t) K1 x1(t) M x3(t) B f(t) K2 x2(t) K1 x1(t) M x3(t) f(t) l1 B M l2 x2 K x1

30. Considere o sistema mecânico representado na figura. Esboce o

gráfico de ligação energética do sistema indicando as causalidades. Para evitar conflitos de causalidade seleccione na entrada ou uma fonte de esforço ou uma fonte de fluxo, conforme achar mais adequado.

31. Considere o sistema mecânico representado na figura.

Esboce o gráfico de ligação energética do sistema indicando as causalidades. Para evitar conflitos de causalidade seleccione na entrada ou uma fonte de esforço ou uma fonte de fluxo, conforme achar mais adequado.

32. Considere o sistema mecânico da figura onde {x1,

x2}, {f1, f2} e {l1, l2} representam, respectivamente, os

deslocamentos, as forças e os comprimentos dos braços dos dois lados da alavanca. Se n = l2/l1, esboçe o

gráfico de ligação energética do sistema mecânico e discuta a causalidade.

33. Considere o sistema mecânico representado na figura

constituido por uma carga com massa M e uma mola de rigidez K accionada através de um motor e um parafuso com passo h. Existe um atrito angular B no parafuso conforme indicado. O motor desenvolve um binário T para um deslocamento angular θ e a carga desloca-se da distância linear x. Esboçe o gráfico de ligação energética do sistema mecânico e discuta a causalidade.

34. Considere o sistema mecânico representado na figura.

Esboce o correspondente gráfico de ligação energética.

35. Considere o sistema da figura onde x1 e x2 e l1 e l2

representam, respectivamente, os deslocamentos e os comprimentos dos braços dos dois lados da alavanca. Esboce o correspondente gráfico de ligação energética.

f1(t) l1 l2 M1 B1 K1 x1 M2 B2 K2 x2 f2(t) B x(t) h Motor M T, θ K f(t) B1 M x2 K1 xi B2 x1 K2

f2(t) f1(t) l1 B M1 l2 x2 K x1 M2 x3

36. Considere o sistema mecânico representado na figura,

onde x1, x2 e x3 são deslocamentos e l1 e l2 representam os

comprimentos dos braços dos dois lados da alavanca. Esboce o respectivo gráfico de ligação energética considerando as causalidades.

37. A figura representa um sistema de posicionamento de peças a maquinar. A peça é posicionada através de um

sistema de parafuso, de passo h, actuado por um motor DC. Seja B1 o atrito linear entre a carga e o solo e B2 e B3

os atritos rotacionais entre o parafuso e os suportes.

Construa o gráfico de ligação energética do sistema e indique a causalidade dos elementos.

38. Considere o sistema mecânico representado na figura, constituído por uma carga (com inércia JL e atrito BL)

accionada através de um motor DC (com inductância La, resistência Ra, f.c.e.m eb = Kb ωm, inércia Jm e atrito Bm)

controlado pela armadura (tensão e corrente da armadura ua e ia, respectivamente). A transmissão é efectuada por

um parafuso (com passo h). O parafuso é não-ideal apresentando, respectivamente, coeficientes de atrito e de rigidez rotacionais B e K. O motor DC desenvolve um binário Tm = KT ia, (considere KT = Kb) para um

deslocamento angular θm e a carga desloca-se da distância linear x. Esboce o respectivo gráfico de ligação

energética indicando as causalidades.

B1 B3 B2 Motor DC M V T, θL ia ML + ua − Bm BL transmissão _carga Tm, θm h Jm f, x motor DC B K Ra La + eb − fL

39. A figura A representa um sistema de tracção de um leitor de fitas magnéticas utilizando um motor DC de

íman permanente controlado pela armadura. O modelo do sistema é apresentado na figura B. A constante K representa a constante de elasticidade da fita magnética e B o coeficiente de atrito resultante da passagem da fita pelo mecanismo de tracção. Os valores dos parâmetros do sistema são os seguintes:

Ki = 0,07 Nm/A Kb = 0,07 Vs/rad La ≅ 0 H Ra = 0,25 Ω Un = 3V B = 0,07 Ns/rad K = 20 N/rad JL = 0,04 Ns2/rad Jm = 0,0004 Ns2/rad Figura A Bm = 0,02 Ns/rad Figura B

O motor é alimentado por um conversor DC-DC com operação num único quadrante (U, I) e com tensão de saída

ea controlável. Apresente o bond graph do sistema.

40. A figura representa um agitador electromecânico. Considere, para simplificar o tratamento matemático, que a

força f produzida pelo solenóide e a força contra-electromotriz eb induzida pelo núcleo ferro-magnético têm

relações aproximadamente lineares, respectivamente com as expressões f = Ki i e eb = Ki dx1/dt, onde Ki é uma

constante de proporcionalidade, i a corrente eléctrica no enrolamento e dx1/dt a velocidade de deslocamento do

núcleo com massa M1. Seja x2 o deslocamento de uma carga com massa M2. Determine o gráfico de ligação

energética (bond graph) do sistema.

K θm θ L JL Jm Bm B Tm transmissão Motor Ea Ki, Kb, Ra, La Ki, Kb, Ra, La M1 B K f, x1 i vi + − L R solenóide núcleo ferro-magnético eb + − M2 B2 B1 x2

41. Na figura seguinte é apresentado o modelo linearizado de um braço de um robô, actuado por um motor DC

controlado pela armadura por intermédio de uma engrenagem com razão de transformação n = N1/N2.

B₂, J₂ Braço do robô i B₁, J₁ N₁ v N₂ R L e + -ω₁, T₁ Motor DC ω₂, T₂ T_L

41.a) Construa o gráfico de ligação energética (bond graph) do sistema, considerando que:

Tm - binário motor

Ki - constante de binário do motor

Kt - constante da f.c.e.m. do motor

V - tensão de alimentação da armadura do motor DC i - corrente na armadura do motor DC

J1 - inércia do motor

B1 - coeficiente de atrito viscoso do motor

ω1 - velocidade angular do veio do motor

e- força contra-electromotriz (f.c.e.m.) do motor R - resistência da armadura do motor

L- inductância da armadura do motor J2 - inércia do braço do robô

TL - binário resistente a actuar sobre o braço do robô

ω2 - velocidade angular do braço do robô

B2 - coeficiente de atrito viscoso do braço do robô

N1 - número de dentes da roda da engrenagem do

lado do motor

N2 - número de dentes da roda da engrenagem do

lado do braço

T1 – binário aplicado à engrenagem do lado do motor

T2 – binário transmitido à engrenagem do lado do

braço

41.b) Analise a causalidade e justifique os resultados.

42. A figura seguinte representa um veículo (tractor) puxando um reboque através de um mecanismo de engate

modelizado por um sistema mola-amortecedor. Os parâmetros e variáveis definidos são: M é a massa do reboque, K1 e B1 é o coeficiente, respectivamente, da constante da mola e do amortecedor do mecanismo de

engate. B2 representa o coeficiente de atrito do reboque, x1(t) e x2(t) é o deslocamento, respectivamente, do

veículo e do reboque e f1(t) é a força do veículo (tractor). Determine o gráfico de ligação energética do sistema

mecânico e discuta a causalidade.

B₁ x₁(t) M B₂ K₁ x₂(t) f₁(t), Reboque

}

43. A figura apresenta o esquema de um automóvel eléctrico actuado através de um motor DC controlado através

da tensão da armadura Ua. A tensão de alimentação do motor é fornecida por um conversor DC-DC que permite

converter a tensão das baterias numa tensão variável de 0 a 240V, controlada através do acelerador. O motor DC está acoplado por uma engrenagem n1=1:3,8 à caixa de velocidades que, por sua vez, apresenta uma relação

variável n2 ∈ {1:4; 1:2,4; 1:1.7; 1:1}. O veículo tem massa M=1400kg e o raio das rodas é r=0,25m. Considere

que a força devido à resistência do ar Fa pode ser modelizada como um atrito viscoso com coeficiente B=25

Ns/m. Os dados do motor DC são os seguintes: Ki = 0,35 Nm/A Kb = 0,35 V/rad/s La ≅ 0 H Ra = 0,22 Ω Bm = 0,027 N/rad/s Jm = 0,25 N/rad/s2 Pn = 41 kW Tn = 75 Nm Tmax = 350 Nm

Apresente o gráfico de ligação energética deste sistema (considere Ua como a entrada do sistema).

44. O sistema representa uma suspensão de automóvel onde x0 (variável

de saída) representa o deslocamento verificado pelos passageiros e x3

(variável de entrada) o deslocamento da parte do pneu em contacto com a estrada. A força f(t) representa a perturbação introduzida pelos efeitos aerodinâmicos. Determine o gráfico de ligação energética do sistema mecânico representado na figura e discuta a causalidade.

45. Determine o gráfico de ligação energética do sistema mecânico representado na figura e discuta a

causalidade.

P – pressão de alimentação, q – caudal,

R – resistência hidráulica,

Pc – pressão na câmara do cilindro, A – área k – rigidez da mola, m – massa, x – deslocamento Caixa de Velocidades n2 Conversor DC-DC Ua ωm, T1 Acelerador 0-100% Motor DC Bm Jm n1=1:3,8 Baterias ω2, T2 ω3, T3 velocidade v r Fa

46. Determine o gráfico de ligação energética do sistema mecânico representado na figura e discuta a

causalidade. Considere que a haste do cilindro é:

46.a) Perfeitamente rígida.

46.b) Flexível ao longo do seu eixo

longitudinal com parâmetros de rigidez e atrito viscoso K e B, respectivamente.

P – pressão de alimentação q1 e q2 – caudal

Rf – resistência hidráulica Cf – capacidade hidráulica Lf – inertãncia hidráulica A – área do embolo do cilindro ML – massa da carga

BL – atrito da carga x – deslocamento da carga

Soluções

4. Β) α representa uma junção tipo 1 5. Β) α representa uma junção tipo 1

6. A) α = 2K

γ = B β = K

7. A) α = M1

β = Κ

8. B) O elemento T1 é uma fonte de fluxo

9. D) α = M1, β = M2, γ = K1 10. C) α = ML 11. B) 12. B) α = ML 13. C) α = Bm SF Tm Bm K Tm Jm B 0 0 JL 1 BL m m 0 L SE: V γ C C2 1 β 1 0 ₀ R1 C1 L R2

14. B₁ K₂ B₂ K₁ SF: F₁ M SF: F₂ 0 α 1 0 β γ 1 0 1 15. A) γ = B1 16. A) 17. D) γ = B2 18. B) α = B1 19. A) α = K1 20. SE V 1 0 C2 1 C1 R1 R2 21. Se:E 1 0 1 0 TF:n 1 0 Sf:I R1 C1 L1 C2 C3 R2

22. 22.a) R L _J 1 B1 TF 0 1 TF 0 J2 B2 Se w2 :w1 :U :1/n1 :n2 u i uL uR i i i u1 :i w1 T1 TI1 TB1 w1 w₁ w1 T2 T3 TB2 w2 w2 T_I2 Causalidade diferencial 22.b)

⎩

⎨

⎧

+

−

=

⎯→

⎯

)

(

1

u

u

u

u

i

junção

⎩

⎨

⎧

=

=

⎯→

⎯

i

n

T

w

n

u

⎩

⎨

⎧

=

=

⎯→

⎯

T

n

T

w

n

w

24. R1 C1 L R2 0 1 Sf 0 C2 R3 : v1 : i : v2 I C1 R1 R2 R3 C2 L i v1 v2 25. SF f K1 f x1 0 B1 x2 1 0 B2 K2 26. SF Tm KL BL 0 Jm 0 θ& TF n

x

_&

28. SF f TF n=l2/l1 K f x1 M 0 B x1 x2 f1 f2 29. SF Tm x 0 Bm 0 TF n SF FL ML BL

ω

32. SF f1 TF n K1 K2 f1 x1 M1 B2 0 B1 x1 x2 0 SF f2 x2 f2 M2 Problema de causalidade Uma solução: SF f1 TF n K1 K2 f1 x1 M1 B2 0 B1 x1 x3 _{0 SF} f2 x2 f2 M2 1 K3 x2 33. SF :Tm 0 K Tm B M θ&

x

_&

34. SE :xi 1 0 K1 K2 f xi B1 M B2 35. TF n K f x1 M 0 B x2 n=l2/l1 SF f 36. TF n K f x1 M1 0 B x2 n=l2/l1 SF f 1 M2 0 x3 37. SE 1 0 Ra B2 TF La B3 TF h/2.pi 0 B1 M

38. 39. SE ea 1 0 Ra Jm TF : 1/Ki Tm La ea i Bm ₀ JL K eb i 1 B 40. SE vi TF 1/Ki L i R K 1 M1 x1 x2 f vi i eb 0 B1 x1 1 0 0 B2 M2 B SE ua TF 1/Kb La ia Ra K 1 Jm Tm ua eb 0 1 BL B ia m m L T _h/2.piTF x f 1 JL SE fL Bm

41. SE V 1 0 R J1 TF : 1/K Tm L e i B1 TF : n 0 J2 Causalidade diferencial forçada >>>

ω

ω

ω

Causalidade diferencial forçada >>>

44. x3 SF f 0 0 M0 1 0 M1 0 1 0 M2 1 0 SE

45. SE P 1 0 R q K M GY m=1/A

x

&

x

&

haste não rígida

x

&