Aula 00 Curso: Estatística para Receita Federal Auditor Fiscal Professor: Fábio Amorim. Prof. Fábio Amorim 1 de 75

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Aula 00

Curso: Estatística para Receita Federal –

Auditor Fiscal

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Prof. Fábio Amorim - Aula 00

Olá pessoal!

Sejam bem-vindos ao Exponencial Concursos!

Oferecemos a vocês o curso de Estatística, direcionado para o concurso público de Auditor Fiscal da Receita Federal do Brasil. Este curso abordará todo o conteúdo exigido pelo edital, incluindo teoria e questões comentadas.

O objetivo é proporcionar um curso bastante objetivo e didático, trazendo o conhecimento necessário para que vocês tenham condições de fazer todas as questões serão cobradas nesse concurso da RFB sobre estatística.

Seguindo os editais anteriores para o mesmo cargo, a matéria de Estatística está contida na Disciplina de Raciocínio Lógico-Quantitativo. A quantidade de questões ainda é incerta, pois tem variado bastante a cada concurso para Auditor Fiscal.

Professor, mas eu nunca estudei Estatística, terei muita dificuldade em acompanhar o curso?

Pelo contrário, o curso foi elaborado em uma linguagem clara, de modo que todos os alunos possam compreendê-lo, inclusive aqueles que possuem menos afinidade com a disciplina, ou nunca a tenham estudado.

Entendo que uma parte fundamental do aprendizado pelo aluno é a resolução de questões de concursos anteriores. Por isso, no presente curso, a teoria está acompanhada de diversas questões comentadas, de concursos anteriores da ESAF.

Como diferencial do nosso curso, ainda, iremos trazer questões comentadas, de concursos aplicados pelas bancas FCC e CESPE, que estão no mesmo nível das questões da ESAF.

O curso será composto por sete aulas, cujos assuntos e datas em que serão disponibilizadas são:

Aula Assunto Data

Aula 0 Análise Combinatória (Combinações, Arranjos e

Permutação)

disponível

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Aula Assunto Data

Aula 2 Estatística Descritiva 18/04/2015

Aula 3 Variáveis Aleatórias, Principais Distribuições de

Probabilidade

25/04/2015

Aula 4 Amostragem 02/05/2015

Aula 5 Testes de hipóteses 09/05/2015

Aula 6 Análise de regressão 16/05/2015

Agora que já apresentamos o curso, peço licença para me apresentar!

Meu nome é Fábio Amorim, sou formado em Engenharia Civil pelo Instituto Militar de Engenharia (2003), pós-graduado em Docência do Ensino Superior pela Universidade Castelo Branco (2007) e em Direito Administrativo pela Universidade Estácio de Sá (2014).

Durante a minha trajetória profissional, depois de formado, trabalhei por cinco anos no Exército Brasileiro, na minha área de formação. Já em 2009, tomei posse no cargo de Especialista em Regulação de Serviços de Transportes Terrestres, na Agência Nacional de Transportes Terrestres - ANTT. Exerci minhas funções até o final de 2009, quando tomei posse no cargo de

Auditor Federal de Controle Externo, no Tribunal de Contas da União - TCU, onde estou até hoje.

Em termos de concursos públicos, obtive aprovação nos seguintes: ANTT (2008) – Especialista em Regulação;

MPOG (2008) – Analista de Infraestrutura;

TCU (2009) – Auditor Federal de Controle Externo.

Feitas as devidas apresentações, vale destacar que, ao longo deste curso transmitirei a vocês diversas dicas de estudo para ajudá-los a conseguir a tão sonhada aprovação.

Nesta aula, vamos trazer um Raio-X completo das provas de Estatística aplicadas nos concursos da ESAF para Auditor Fiscal da Receita Federal, destacando, assim, aqueles assuntos que são mais importantes para a prova!

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O gráfico a seguir mostra a quantidade de questões por assunto, em quatro concursos anteriores para Auditor Fiscal, aplicados pela ESAF. Por esse gráfico vocês podem visualizar os assuntos mais importantes da nossa disciplina.

Agora, vamos a nossa Aula 0, para que vocês possam conhecer a metodologia que iremos aplicar neste curso.

Boa sorte a todos e vamos lá!

Assunto Página

1- Introdução 05

2- Princípio Fundamental da Contagem 06

3- Permutações 10 4- Arranjo 15 5- Combinação 17 6- Questões comentadas 18 7- Resumo da aula 63 8- Lista de exercícios 64 9- Gabarito 75 0 2 4 6 8 10 12 estatística descritiva variáveis aleatórias análise de regressão análise combinatória teste de hipóteses probabilidade

Questões de Estatística - Auditor Fiscal - RFB

Aula 00 – Técnicas de Contagem e Análise Combinatória Histórico e análise das provas

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A Análise Combinatória é um ramo da Matemática que tem como objetivo estabelecer métodos que permitam contar o número de elementos

que fazem parte de um conjunto. Esses métodos são as chamadas técnicas

de contagem.

Para que a contagem seja viável, é necessário que o conjunto possua:

Número limitado de elementos; Característica específica.

Vejam alguns exemplos de aplicação:

De quantas maneiras podem ser confeccionadas as placas de identificação dos veículos, que contém três letras e quatro números? Quantos números telefônicos com oito dígitos podem ser formados, utilizando-se os números de 0 a 9?

Um homem possui 4 ternos, 8 gravatas, 10 camisas e 4 pares de sapatos. De quantas formas ele poderá se vestir?

Uma corrida de carros possui 20 pilotos. Quantos resultados diferentes pode ter essa corrida para o 1º, 2º e 3º lugares?

Quando o número de elementos desse conjunto é pequeno, intuitivamente, ou a partir de contas simples, nós conseguimos facilmente obter a resposta. Entretanto, essa tarefa se torna mais difícil se tivermos um conjunto mais “populoso” de elementos. A partir dessa dificuldade é que surgiram, na matemática, as técnicas de contagem.

Nesta aula, iremos aprender as seguintes técnicas:

Princípio Fundamental da Contagem Diagrama de Árvore

Permutação

Permutação com repetição de elementos Permutação Circular

Arranjo Combinação

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Esse princípio, também chamado de princípio multiplicativo, é uma técnica de contagem que serve como base de toda a análise combinatória. Por isso, precisamos compreendê-lo bem.

Suponhamos que existam:

- “N” resultados possíveis ao se realizar uma tarefa T1 e, - “M” resultados possíveis ao se realizar uma tarefa T2. Então,

- o número de resultados possíveis ao se realizar a tarefa T1 seguida da tarefa T2 é obtido pela multiplicação N × M.

Vamos aos exemplos:

Um dado comum é lançado duas vezes em sequência. O conjunto dos resultados possíveis desses lançamentos é formado por quantos elementos?

Resolução:

Ao lançarmos o dado na primeira vez (tarefa T1), quantos “N” resultados são possíveis? Logicamente, 6 resultados.

Ao lançarmos o dado pela segunda vez (tarefa T2), o número “M” de resultados possíveis também será 6, correto?

Assim, segundo o princípio fundamental da contagem, o número de resultados possíveis ao fazermos os dois lançamentos em sequência será obtido pela multiplicação N × M, ou seja, 6 × 6 = 36.

Portanto, o número de resultados possíveis será 36. São eles: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5) e (6,6).

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Um restaurante possui em seu cardápio 4 tipos de pratos principais e 3 tipos de sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja almoçar nesse restaurante e, para isso, pedirá um prato principal e uma sobremesa. De quantas maneiras diferentes esse pedido poderá ser feito?

Resolução:

O pedido será composto por um prato principal (tarefa T1) e uma sobremesa (tarefa T2).

O número de resultados possíveis “N” do prato principal é 4. E o número de resultados possíveis “M” para a sobremesa é 3.

Segundo o princípio fundamental da contagem, o pedido poderá ser feito de N × M maneiras diferentes, ou seja, 4 × 3 = 12 maneiras.

Uma das formas de visualizarmos isso é por meio do chamado diagrama sequencial ou diagrama de árvore:

Tarefa T1 'N' resultados possíveis Tarefa T2 'M' resultados possíveis

Executando

T1 e depois T2

'N x M' resultados

possíveis

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*Diagrama de Árvore

Fácil, não é pessoal? Agora, se o número de tarefas for superior a 2?

Se uma tarefa T1 pode ter N1 resultados diferentes, uma tarefa T2 pode ter N2 resultados diferentes, e assim sucessivamente, então:

- Ao se realizar em sequência as tarefas T1, T2, ..., até Tk, o número de resultados possíveis será N1 x N2 x ... x Nk.

Para esclarecer esse conceito, vamos retomar o exemplo do início da aula.

De quantas maneiras podem ser confeccionadas as placas de identificação dos veículos, que contém três letras e quatro números? Prato Principal 1 Sobremesa 1 Sobremesa 2 Sobremesa 3 Prato Principal 2 Sobremesa 1 Sobremesa 2 Sobremesa 3 Prato Principal 3 Sobremesa 1 Sobremesa 2 Sobremesa 3 Prato Principal 4 Sobremesa 1 Sobremesa 2 Sobremesa 3 12 possibilidades

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Prof. Fábio Amorim - Aula 00 Resolução:

Vamos convencionar que:

Escolher a primeira letra é a tarefa T1, Escolher a segunda letra é a T2,

Escolher a terceira letra é a T3, Escolher o primeiro dígito é a T4, Escolher o segundo dígito é a T5, Escolher o terceiro dígito é a T6, Escolher o quarto dígito é a T7.

O número de letras possíveis de serem colocadas na tarefa T1 é igual a 26 (chamamos de N1).

O mesmo número se aplica a “N2” e a “N3”, correto?

No caso de N4, temos dez possibilidades (0, 1, 2, ..., 9), o mesmo número se aplica a N5, N6, e N7.

Dessa forma temos:

Tarefa (T1) Letra (T2) letra (T3) letra (T4) número (T5) número (T6) número (T7) número Número de resultados possíveis (N1) 26 (N2) 26 (N3) 26 (N4) 10 (N5) 10 (N6) 10 (N7) 10

Segundo o princípio fundamental da contagem, o número de resultados possíveis é:

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = . . . Dessa forma, podemos confeccionar as placas de veículos de 175.760.000 maneiras diferentes!

Pessoal, como dissemos inicialmente, o princípio fundamental da contagem é uma técnica de contagem que serve como base para as demais técnicas. A partir de agora, vamos explorar outras três técnicas derivadas desta: a permutação, o arranjo e a combinação.

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Suponhamos que um determinado conjunto possua “n” elementos. A permutação permite contar o número de maneiras diferentes que esses

elementos podem estar ordenados dentro desse conjunto.

Vamos trazer um exemplo para esclarecer melhor.

João, Pedro e Marcos são três amigos que resolvem andar de kart. De quantas maneiras diferentes o resultado dessa corrida pode acontecer?

Resolução:

Neste caso, temos um conjunto composto por três elementos (João, Pedro, Marcos), ou seja, = 3.

Podemos resolver esse problema utilizando o diagrama de árvore. Nesse caso, temos:

Assim, de acordo com o diagrama de árvore, temos 6 resultados possíveis.

Podemos, também, resolver esse problema a partir do princípio fundamental da contagem, vamos ver como?

3 - Permutação 1º Lugar ________ _ 2º Lugar ________ _ 3º Lugar ________ _

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Inicialmente, precisamos pensar quantos corredores podem ocupar a posição de 1º lugar.

Pelo nosso exemplo, se temos três corredores, João, Pedro e Marcos, então, qualquer um dos três pode ocupar essa posição. Assim, temos três possibilidades.

Considerando que um dos corredores ocupou o 1º lugar, quantos corredores podem ocupar o 2º lugar? Já que restaram dois corredores, o número de possibilidades é igual a dois.

Dado que um corredor ocupou o 1º lugar, outro ocupou o 2º lugar, quantos corredores podem ocupar o 3º lugar? Já que restou apenas um corredor, temos apenas uma possibilidade de que isso ocorra.

Sendo assim, o número de resultados possíveis para essa corrida é obtido, de acordo com o princípio fundamental da contagem, pela multiplicação das possibilidades:

Outra forma de resolvermos esse problema é por meio da técnica de contagem chamada de permutação, que representa o número de maneiras

diferentes de ordenar um conjunto.

Para calcularmos o número de permutações no nosso problema, utilizamos a seguinte fórmula:

Permutação de 3 elementos:

(Fatorial do número 3)

= 3! = 3 × 2 × 1 = 6 çõ .

Portanto, o número de permutações possíveis em um conjunto de 3 elementos é representado pelo fatorial do número 3, o que resulta um total de 6 permutações.

Agora, se nosso conjunto for formado por um número maior de elementos? Nesse caso, resolver o problema pelo princípio fundamental da contagem ou por meio do diagrama de árvore torna-se bastante trabalhoso. Nesses casos, podemos obter o resultado facilmente aplicando a fórmula da permutação.

1º Lugar 2º lugar 3º lugar

3 x 2 x 1 = 6 possibilidades _________ _________ _________

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Dado um conjunto com “n” elementos, o número de permutações possíveis nesse conjunto é representado pela expressão:

!

"

= "!

Onde

!

é o fatorial do número “n”, representado pela expressão:

! = × # − 1% × # − 2% × # − 3% × … × 1

Vamos acompanhar mais alguns exemplos para fixar bem o conteúdo?

De quantas formas 6 pessoas podem ser ordenadas em fila indiana?

Resolução:

Neste caso, temos um conjunto com 6 elementos e desejamos saber de quantas formas esses 6 elementos podem ficar ordenados.

Como o número de elementos coincide com o número de posições, temos uma permutação.

Assim, precisamos calcular quantas permutações podem ser feitas com 6 elementos. Aplicando a fórmula _' = !, temos:

( = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 )* +,) .

Agora, suponha que dentre essas 6 pessoas do exemplo anterior, tenhamos três homens e três mulheres. Considerando que a primeira posição seja ocupada por uma mulher, de quantas formas essas 6 pessoas podem se ordenar em fila indiana?

Resolução:

Neste problema, temos uma condicionante: que a primeira posição da fila indiana seja ocupada por uma mulher. Sendo assim, para ocuparmos esse lugar, temos três possibilidades, concordam? Para as cinco demais posições, temos que permutar as cinco pessoas restantes.

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Assim, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades é dado por pela multiplicação:

= 3 × 5! = 3 × #5 × 4 × 3 × 2 × 1% = 360 * ,-,.,+ +

3.1 – Permutações com elementos repetidos

Pessoal, agora vamos estudar um tipo específico de permutação, onde existem elementos repetidos no conjunto que queremos permutar.

Suponhamos um conjunto com os seguintes elementos {1, 2, 3, 3, 4, 5}. Se quisermos calcular o número de permutações que são possíveis, teremos um problema, já que o número “3” repete-se duas vezes nesse conjunto.

Para esses problemas com repetição de elementos, o número de permutações deve ser calculado pela expressão:

!

_"#/,1,… %

=

_{/! 1! …}

"!

Onde:

- “n” é o número total de elementos,

- “a” representa o número de repetições que possui um determinado elemento, e

- “b” representa o número de repetições de outro elemento, e, assim, sucessivamente.

Para praticar, vamos resolver o problema inicialmente proposto.

Dado o conjunto {1, 2, 3, 3, 4, 5}, de quantas formas podemos ordená-los de maneira diferente?

Resolução:

O número de elementos do conjunto é 6. Então = 6. Existe apenas um elemento repetido, o elemento “3”, o qual se repete duas vezes, então

= 2.

Aplicando-se a fórmula da permutação com repetição: '#3%= (#4% =6!_{2! =}6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1_{2 × 1} = 360 * ,-,.,+ + Agora, o mesmo problema, com um conjunto maior:

Dado o conjunto {X, P, P, R, R, R, W, W, W, G}, de quantas formas podemos ordená-los de maneira diferente?

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Prof. Fábio Amorim - Aula 00 Resolução:

Neste problema, o número de elementos do conjunto é igual a 10. Então, = 10. Existem três elementos que se repetem: as letras “P”, “R” e “W”. Assim, o número de repetições (a, b, c) de cada um desses elementos é representado por:

5- 32 6 3

Conhecidos os valores de “n”, e do número de repetições, podemos aplicar a fórmula:

'#3,7,8% 9:#4, , % _{2! 3! 3!}10! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

#2 1% #3 2 1% #3 2 1% 50.400

Portanto, podemos ordenar esse conjunto de 50.400 maneiras diferentes.

3.2 – Permutação Circular

Outro tipo específico de permutação é a chamada permutação circular. O objetivo dessa técnica de contagem é calcular o número de maneiras

diferentes de dispor “n” elementos de um conjunto de forma circular,

sem que haja repetição entre as posições.

A fórmula para calcular a permutação circular de “n” elementos é igual a:

!

=

#"% #" $ %!

Quatro amigos João, Pedro, Marcos e Carlos irão sentar em quatro cadeiras em uma mesa circular. De quantas maneiras esses amigos podem se sentar, de modo que não haja repetição entre as posições?

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Resolução:

Aplicando diretamente a fórmula da permutação circular, o número de maneiras diferentes de os amigos sentarem nas cadeiras é igual a:

8# % = # − 1%! 8#4% #4 $ 1%! 8#4% 3! 3 2 1 6 ,

Esse tipo de permutação, considera que as possibilidades abaixo são equivalentes:

Ou seja, com a permutação circular, considera-se que a posição relativa entre os amigos é a mesma, e, portanto, não é contabilizada mais de uma vez.

O Arranjo é outra técnica de contagem, por meio da qual conseguimos

contar o número de maneiras diferentes de selecionar “>” elementos, em uma determinada ordem, pertencentes a um conjunto com “"_”

elementos. Neste caso ? (“ ” representa todo o conjunto e “ ” uma parte dele).

Vamos trazer uma situação prática para poder esclarecer essa definição.

Suponhamos que os moradores de um condomínio devam eleger um síndico e um subsíndico. Há 6 candidatos para esses cargos. Quantos são os resultados possíveis dessa eleição?

Resolução: Podemos resolver esse problema pelo princípio fundamental da

contagem. 4 - Arranjo Pedro João Marcos Carlos João Pedro Marcos Carlos

=

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Se há 6 candidatos, estes seis podem ser eleitos para o cargo de síndico, correto? Então, para a nossa tarefa T1, temos 6 possibilidades.

Considerando que um dos candidatos ocupará o cargo de síndico, quantos candidatos podem ocupar o cargo de subsíndico? Já que restaram cinco candidatos, o número possibilidades é igual a 5 (tarefa T2).

Desse modo, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades pode ser obtido pela multiplicação das duas tarefas:

Podemos resolver esse problema também pela técnica de contagem chamada arranjo. Por essa técnica, ao selecionarmos “r” elementos em uma determinada ordem, pertencentes a um conjunto com “n” elementos, o número de possibilidades, ou, arranjos possíveis, é dado pela fórmula:

@

", >

=

_{#" − >%!}

"!

Em que a expressão A_{', B} significa: arranjo de “n” elementos, tomados “r” a “r”.

Aplicando essa fórmula para o nosso problema, temos:

A', B= A(, 4= _{#6 − 2%! =}6! 6!_{4! =}6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1_{4 × 3 × 2 × 1} = 30 * ,-,.,+ + Pessoal, é importante destacar que, para utilizar a fórmula do arranjo, é necessário que a ordem dos elementos faça diferença para a contagem.

Em outras palavras, a situação em que o candidato “A” seja eleito síndico, e o candidato “B”, subsíndico, é diferente da situação em que o candidato “B” seja eleito síndico, e o candidato “A”, o subsíndico. Assim, a

ordem dos elementos altera o resultado!

Síndico (T1) _________ Subsíndico (T2) _________ Síndico Subsíndico 6 x 5 = 30 possibilidades _________ _________

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A combinação é outra técnica de contagem, por meio da qual é possível

contar o número de maneiras diferentes de selecionar “>” elementos, pertencentes a um conjunto com “"” elementos ( ≤ %.

Percebam que esta definição é semelhante a do Arranjo, no entanto, a diferença é que, para a combinação, não importa a ordem de retirada dos

elementos, haja vista que não interfere na contagem.

Vamos a um exemplo para ajudar no entendimento:

Deseja-se formar uma comissão com três pessoas e dispõe-se de cinco funcionários. Quantas comissões podem ser formadas?

R.

Pretende-se formar uma comissão, escolhendo três pessoas ( = 3) dentro de um conjunto de cinco pessoas ( = 5). Para essa situação, a ordem de escolha não interfere na contagem que se pretende fazer. Interessa, apenas, quais funcionários serão escolhidos para a comissão, e não a ordem de escolha.

Para essas situações, a técnica da combinação é a ideal.

A combinação de “r” elementos a partir de um conjunto com “n” elementos é dado pela expressão:

D', B= E F = _{# − %! !}!

Em que a expressão D', B significa: combinação de “n” elementos, tomados “r” a “r”.

Aplicando a fórmula, encontramos a resposta para o problema proposto:

D', B= DG, = _{#5 − 3%! × 3! =}5! _{2! × 3! =}5! _{#2 × 1% × #3 × 2 × 1% = 10 * ,-,.,+ +}5 × 4 × 3 × 2 × 1 Desse modo, podem ser formadas 10 comissões diferentes.

Supondo-se um conjunto com os cinco funcionários {A, B, C, D, E}, as combinações possíveis são:

{A, B, C}, {A, B, D}, {A, B, E}, {A, C, D}, {A, C, E}, {A, D, E}, {B, C, D}, {B, C, E}, {B, D, E}, {C, D, E}.

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1. (ESAF – RFB – Auditor Fiscal – 2012) Na prateleira de uma estante,

encontram-se 3 obras de 2 volumes e 2 obras de 2 volumes, dispondo-se, portanto, de um total de 10 volumes. Assim, o número de diferentes maneiras que os volumes podem ser organizados na prateleira, de modo que os volumes de uma mesma obra nunca fiquem separados, é igual a.

(A) 3.260. (B) 3.840. (C) 2.896. (D) 1.986. (E) 1.842. R.

Vamos denominar as obras de (A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1, D2, E1, E2). Uma das organizações que atendem o enunciado é:

A1 A2 B1 B2 C1 C2 D1 D2 E1 E2

Assim, os volumes de todas as obras estão dispostos lado a lado. 1ª Etapa:

Para calcularmos o número de maneiras diferentes de dispormos os livros, inicialmente devemos pensar nos volumes como uma peça só. Nesse caso, as obras ficariam assim dispostas:

A B C D E

Partindo-se desse princípio, precisamos calcular o número de maneiras diferentes de ordenar as obras A, B, C, D e E na prateleira.

Para calcularmos esse número, devemos utilizar a permutação, com a seguinte fórmula:

' = !

G = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 * ,-,.,+ +

Portanto, existem 120 possibilidades de ordenar as obras, sem considerarmos seus volumes.

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2ª Etapa

Essa ainda não é a resposta do nosso problema, porque os volumes de cada obra podem variar de lugar entre si, de modo a atender, também, as condições do enunciado. Ou seja, a disposição a seguir:

A1 A2 B1 B2 C1 C2 D1 D2 E1 E2

É diferente de:

A2 A1 B1 B2 C1 C2 D1 D2 E1 E2

Precisamos contabilizar essas situações!

Observem que essa troca pode ocorrer não só com A, mas também com as demais obras (B, C, D, E), de forma independente uma das outras.

Para cada troca em cada uma dessas obras, o número de organizações possíveis é igual à 2:

Permutação de 2 elementos: ₄= 2! = 2 × 1 = 2 * ,-,.,+ + .

Como as trocas são independentes, devemos aplicar o princípio fundamental da contagem (multiplicativo), para calcularmos o número total de trocas possíveis para os volumes que compõem as obras:

Permutação dos Volumes A1 e A2 Permutação dos Volumes B1 e B2 Permutação dos Volumes C1 e C2 Permutação dos Volumes D1 e D2 Permutação dos Volumes E1 e E2 Total 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 ________ ________ ________ ________ ________ ____ 3ª Etapa

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Por fim, basta contabilizarmos todas essas hipóteses, utilizando o princípio fundamental da contagem (multiplicativo), haja vista que todas são situações independentes:

Resposta, letra B.

2. (ESAF – RFB – Auditor Fiscal – 2009) Sabe-se que os pontos A, B,

C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a:

(A) 16. (B) 28. (C) 15. (D) 24. (E) 32. R.

Para visualizarmos o que diz o enunciado, os pontos são os seguintes, supondo que os pontos A, B, C e D são os pontos colineares:

Para obtermos uma reta, precisamos de dois pontos: AB, EG, FC, e assim sucessivamente. 1ª Etapa 2ª Etapa 120 x 32 = 3840 possibilidades _________ _________ A E C D B F G

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Assim, para obtermos o número total de retas, precisamos calcular o número de maneiras diferentes de selecionarmos 2 pontos entre um conjunto de 7 existentes.

Como a reta formada pelos pontos AB é a mesma reta formada pelos pontos BA, a ordem de escolha dos pontos não interfere na contagem.

Portanto, a técnica de contagem adequada para esta situação é a combinação, de 7 elementos, tomados 2 a 2:

DH, 4= _{#7 − 2%! × 2! =}7! 7 × 6 × 5!_{5! × 2! =} 7 × 6_{2 = 21 * ,-,.,+ +}

Porém, nem todas as combinações servem para o nosso problema. Percebam que a reta formada pelos pontos AB é a mesma reta formada pelos pontos CD (lembrando que, por definição, toda reta é infinita).

Desse modo, o número de retas formadas pela combinação dos 4 elementos (A, B, C, D) tomados dois a dois deve contar apenas como uma reta.

DI, 4= _{#4 − 2%! 2! =}4! 4 × 3 × 2!_{2! 2!} = 4 × 3_{2 = 6 * ,-,.,+ +}

Portanto, as seis possibilidades de combinação de A, B, C, D tomados dois a dois devem ser contadas como uma possibilidade.

Com essas considerações, o número total de retas que podem ser formadas, pelas condições do problema é:

# º * . + 6* -, çõ %– # º + 6* -, çõ +* * * 6*., % + 1 = 21 − 6 + 1 = 16 * ,-,.,+ + Eis as 16 retas: Resposta, letra A. A E C D B F G

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Prof. Fábio Amorim - Aula 00 3. (ESAF – RFB – Auditor Fiscal – 2009) De quantas maneiras podem

sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens?

(A) 72 (B) 36 (C) 216 (D) 720 (E) 360 R.

Na mesa circular, podemos dispor as seis cadeiras da seguinte forma:

Para visualizarmos como esses três homens (H1, H2 e H3) e essas três mulheres (M1, M2 e M3) podem estar dispostos alternadamente, vamos escolher a primeira mulher para ocupar uma das cadeiras.

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Na próxima cadeira, temos que colocar um homem qualquer (H1, H2 ou H3). Assim, temos três possibilidades.

Para a próxima cadeira, temos que colocar outra mulher (M2 ou M3). Para essa cadeira, temos duas possibilidades.

Para a próxima cadeira, temos que colocar outro homem (H2 ou H3). Também, duas possibilidades.

Para a cadeira seguinte, temos que colocar outra mulher (M3), ou seja, uma possibilidade.

Para a última cadeira, temos que colocar o homem restante (H3), uma possibilidade.

O número de maneiras diferentes pode ser calculado a partir do princípio multiplicativo.

= 3 × 2 × 2 × 1 × 1 = 12 * ,-,.,+ +

Para escolher a cadeira para M1, como a mesa é circular, devemos considerar que não há referência qualquer. Desse modo, independente de onde M1 estiver sentada, o número de maneiras diferentes de dispor as seis pessoas sempre será 12.

Questão sem resposta Gabarito: Anulada.

4. (ESAF – DNIT – Analista Administrativo – 2012) Os pintores

Antônio e Batista farão uma exposição de seus quadros. Antônio vai expor 3 quadros distintos e Batista 2 quadros distintos. Os quadros serão expostos em uma mesma parede e em linha reta, sendo que os quadros de um mesmo

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pintor devem ficar juntos. Então, o número de possibilidades distintas de montar essa exposição é igual a:

(A) 5. (B) 12. (C) 24. (D) 6. (E) 15. R.

Vamos denominar os quadros de (A1, A2, A3, B1, B2), onde os A são os quadros pintados por Antônio e B os pintados por Batista.

Uma das organizações que atendem o enunciado é:

A1 A2 A3 B1 B2

Assim, os quadros de Antônio e Batista estão dispostos lado a lado.

1ª Etapa:

Para calcularmos o número de maneiras diferentes de dispormos os quadros, inicialmente devemos pensar nos quadros como uma peça só. Nesse caso, os quadros ficariam assim dispostos:

A B

As condições do enunciado ficariam atendidas também para:

B A

Dessa forma, essas são as duas únicas possibilidades de ordenar as obras de Antônio e Batista:

(25)

çã* + 2 . * : 4 = 2! = 2 × 1 = 2 * ,-,.,+ + . 2ª Etapa

Essa ainda não é a resposta do nosso problema, porque os quadros de cada artista podem variar de lugar entre si, de modo a atender, também, as condições do enunciado. Ou seja, a disposição a seguir:

A1 A2 A3 B1 B2

É diferente de:

A2 A3 A1 B1 B2

Precisamos contabilizar essas situações!

Observem que essa troca pode ocorrer não só com Antônio (A), mas também com Batista (B).

Para Antônio, o número de trocas possíveis é igual à permutação de três elementos:

= 3! = 3 × 2 × 1 = 6 * ,-,.,+ +

Para Batista, o número de trocas possíveis é igual à permutação de dois elementos:

4 = 2! = 2 × 1 = 2 * ,-,.,+ +

Como as trocas são independentes, devemos aplicar o princípio fundamental da contagem (multiplicativo), para calcularmos o número total de trocas possíveis para os quadros dos artistas:

Permutação dos Quadros de Antônio A1,A2,A3 Permutação dos Quadros de Batista B1,B2 Total 6 x 2 = 12 ________ ________

(26)

3ª Etapa

Por fim, basta contabilizarmos todas essas hipóteses, utilizando o princípio fundamental da contagem (multiplicativo), haja vista que todas são situações independentes:

Resposta, letra C.

5. (ESAF – Ministério do Turismo - Analista Técnico Administrativo – 2014) Com as letras M, N, O, P, Q, S, T e X, formam-se códigos de quatro

letras, sendo que repetições das letras não são permitidas. O número de códigos possíveis é igual a:

(A) 1.680 (B) 1.560 (C) 1.590 (D) 1.670 (E) 1.650 R.

Precisamos calcular o número de maneiras distintas de escolher 4 letras entre 8 existentes para formar uma senha.

Vimos na aula que uma parte fundamental da compreensão do problema é definir se a ordem de escolha dos elementos interfere na contagem (arranjo) ou não (combinação).

Nesta situação apresentada pelo problema, o objetivo é selecionar 4 letras que irão compor uma senha.

Supondo que sejam escolhidas as letras MNOP, percebam que a escolha dessas letras nessa sequência implica uma senha diferente do que escolhermos essas mesmas letras em uma ordem diferente, por exemplo, OPNM.

Nesse sentido, a ordem de escolha interfere na contagem. Por isso, devemos utilizar a técnica do Arranjo, de “n” elementos, tomados “r” a “r”.

Como devemos escolher 4 letras entre 8 existentes: n=8 e r=4. 1ª Etapa 2ª Etapa

2 x 12 = 24 possibilidades _________ _________

(27)

A

', B

= A

O, I

=

_{#8 − 4%! =}

8!

_{4! =}

8 × 7 × 6 × 5 × 4!

_4!

= 1680 * ,-,.,+ +

Resposta, letra A.

6. (ESAF - Ministério da Fazenda - Assistente Técnico

Administrativo – 2012) O número de centenas ímpares e maiores do que

trezentos, com algarismos distintos, formadas pelos algarismos 1, 2, 3, 4 e 6, é igual a (A) 15. (B) 9. (C) 18. (D) 6. (E) 12. R.

Precisamos ficar atentos às restrições do enunciado: - os números devem estar na classe das centenas; - os números devem ser ímpares;

- os números devem ser maiores do que 300; - os números devem ter algarismos distintos;

- os números devem ser formados pelos algarismos 1, 2, 3, 4 e 6.

De acordo com essas restrições, cada algarismo deve ter a seguinte característica:

1º algarismo: pode ser 3, 4 ou 6;

3º algarismo: pode ser 1 ou 3 (ímpares), desde que diferente do 1º algarismo;

2º algarismo: pode ser 1, 2, 3, 4 ou 6, desde que diferente do 1º e 3º algarismos.

Assim, podemos efetuar essa contagem pelo diagrama de árvore, dispondo, na sequência, o 1º, 3º e 2º algarismos:

(28)

Administrativo – 2012) Dos aprovados em um concurso público, os seis

primeiros foram Ana, Bianca, Carlos, Danilo, Emerson e Fabiano. Esses seis aprovados serão alocados nas salas numeradas de 1 a 6, sendo um em cada sala e obedecendo a determinação de que na sala 1 será alocado um homem. Então, o número de possibilidades distintas de alocação desses seis aprovados é igual a (A) 720. (B) 480. (C) 610. (D) 360. (E) 540. R. 3 1 2 4 6 4 1 2 3 6 3 1 2 6 6 1 2 3 4 3 1 2 4 15 possibilidades

(29)

Dentre os aprovados, tem-se 4 homens e 2 mulheres. Na primeira sala deve estar um homem, portanto, para essa sala, temos apenas 4 possibilidades de alocação.

Para as demais salas, não temos restrições. Assim, para elas, devemos calcular o número de maneiras diferentes de ordenar os 5 aprovados restantes. Para isso, utilizamos a permutação (técnica de contagem que permite calcular o número de maneiras diferentes de ordenarmos os elementos de um conjunto).

Para ordenar os 5 outros aprovados no concurso, a permutação de 5 elementos é igual a:

G= 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 * ,-,.,+ +

Portanto, para a escolha da Sala 1 temos 4 possibilidades e, para a escolha dos demais, 120 possibilidades distintas.

Para encontrar a resposta do problema, devemos avaliar o número de possibilidades de selecionar o aprovado da Sala 1, seguido dos aprovados nas demais salas.

Conforme vimos nesta aula, para calcular o número de possibilidade de uma tarefa, seguida de outra, devemos utilizar o princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo.

Assim, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades é dado por pela multiplicação:

= 4 × 5! = 4 × #120% = 480 * ,-,.,+ + Resposta, letra B.

Sala 1

4 possibilidades

5! possibilidades

(30)

Administrativo – 2012) Uma reunião no Ministério da Fazenda será

composta por seis pessoas, a Presidenta, o Vice-Presidente e quatro Ministros. De quantas formas distintas essas seis pessoas podem se sentar em torno de uma mesa redonda, de modo que a Presidenta e o Vice-Presidente fiquem juntos? (A) 96 (B) 360 (C) 120 (D) 48 (E) 24 R.

Uma condição essencial dada pelo enunciado é que a “Presidenta” e o Vice-Presidente estejam lado a lado.

Sendo assim, um método prático para resolver esse tipo de problema, é supor que as cadeiras ocupadas por essas duas pessoas sejam uma só, da seguinte forma:

Partindo dessa premissa, podemos calcular o número de maneiras distintas a partir da fórmula da permutação circular, de 5 pessoas, em vez de 6:

Utilizando a fórmula da permutação circular:

#8%_{= # − 1%! = 4! = 24 * ,-,.,+ +}

Além disso, devemos considerar que a “Presidenta” pode estar à direita ou à esquerda da Vice-Presidente. Ou seja, são duas situações que devem ser levadas em conta. M M M M P VP P+VP M M M M

(31)

Desse modo, temos duas “tarefas” neste problema: a primeira é colocar o Vice-Presidente à esquerda ou à direita da “Presidenta”. Para isso temos 2 possibilidades. A segunda “tarefa” é distribuir todos os “5” membros da mesa de forma distinta. Para isso temos 24 possibilidades.

Para calcular o número de maneiras diferentes de realizar uma tarefa seguida da outra, utilizamos o princípio fundamental da contagem:

= 2 × 24 = 48 * ,-,.,+ + Resposta, letra D.

9. (ESAF – CGU - Técnico - Área Finanças e Controle – 2008) Ana

precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões?

(A) 3003 (B) 2980 (C) 2800 (D) 3006 (E) 3005 R.

Aplicação prática e direta de técnica de contagem!

Ana precisa escolher 10 questões entre 15 existentes. Percebam que neste caso não importa a ordem de escolha das questões, pois não implica possibilidades distintas de contagem.

Desse modo, a técnica de contagem adequada para o problema é a combinação (contar o número de maneiras diferentes de selecionar “ ” elementos, independentemente da ordem, pertencentes a um conjunto com “ ” elementos).

Neste problema, n=15 e r=10.

D9G,9:= _{#15 − 10%! × 10! =}15! _{5! × 10! =}15! 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10!_{5! × 10!} = 15 × 14 × 13 × 12 × 11_{5 × 4 × 3 × 2} = 3003 * ,-,.,+ +

(32)

Portanto, Ana terá 3003 possibilidades diferentes de selecionar 10 questões na prova, dentre as 15 existentes.

10. (ESAF – CGU - Técnico - Área Finanças e Controle – 2008) Ágata é

decoradora e precisa atender o pedido de um excêntrico cliente. Ele - o cliente - exige que uma das paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma sequência de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8 cores disponíveis, então o número de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada é igual a:

(A) 56 (B) 5760 (C) 6720 (D) 3600 (E) 4320 R.

Ágata necessita escolher 5 cores diferentes entre as 8 existentes.

A partir dessas oito cores, o número de maneiras diferentes de pintar essa parede poderá ser obtido pela técnica de contagem adequada para a situação. Percebam que a contagem relativa à escolha de “r” elementos a partir de “n” existentes é feita ou pelo arranjo ou pela combinação desses elementos. A diferença, como vimos na aula, está na interferência, ou não, da ordem de escolha dos elementos do conjunto.

Se interferir, a técnica adequada é o arranjo, se não, a combinação.

Neste problema, a ordem de escolha interfere na contagem. Por exemplo, escolher as cores (Amarelo, Cinza, Azul, Verde, Rosa) é diferente de escolher as mesmas cores em outra ordem. [Supondo a ordem de escolha de cima para baixo].

(33)

Nesse sentido, como a ordem de escolha das cores interfere na contagem, devemos utilizar o arranjo como técnica de contagem para resolver o problema, onde n=8 e r=5:

A

O, G

=

_{#8 − 5%! =}

8!

_{3! =}

8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3!

_3!

= 6720 * ,-,.,+ +

Resposta, letra C.

11. (ESAF – STN - Analista de Finanças e Controle – 2008) Ana possui

em seu closed 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closed quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a:

(A) 681384 (B) 382426 (C) 43262 (D) 7488 (E) 2120 R.

Inicialmente, vamos avaliar as restrições para cada caixa:

Terceira Caixa: deverá ser a de número 20 Para essa caixa, só existe uma possibilidade.

Primeira Caixa, Segunda e Quarta Caixas: quaisquer números, com exceção do 20.

Como a terceira caixa existe apenas uma possibilidade, para resolvermos o problema basta calcularmos o número de possibilidades de escolher os pares de sapatos para as três caixas restantes.

Assim, precisamos escolher três caixas numeradas, sendo que no total restaram 89 pares de sapatos (um par está reservado para a terceira caixa). Nesta situação, a ordem de escolha interfere na contagem. Basta imaginarmos uma sequência qualquer, por exemplo (caixa 1, caixa 2, caixa 3, caixa 4)=(15,

(34)

30, 20, 76), e avaliarmos se outra sequência, com os mesmos pares de sapatos, são diferentes para efeitos de contagem.

Desse modo, como a ordem de escolha interfere na contagem, devemos utilizar a técnica do arranjo, onde n=89 e r=3.

AOP, = _{#89 − 3%! =}89! 89!_{86! =}89 × 88 × 87 × 86!_86! = 681.384 * ,-,.,+ +

12. (ESAF – SUSEP - Agente Executivo – 2006) Indique quantos são os

subconjuntos do conjunto {1,2,3,4}. (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 (E) 16 R.

Dizemos que um conjunto B é subconjunto de A quando todos os elementos de B pertencem a A.

No caso do conjunto A={1,2,3,4}, os subconjuntos são todos aqueles conjuntos em que seus elementos pertencem a A.

Os subconjuntos de A, nesse caso, podem possuir 4 elementos, 3 elementos, 2 elementos, 1 elemento ou nenhum elemento. O subconjunto com quatro elementos é o próprio conjunto A. O subconjunto com nenhum elemento é o conjunto vazio.

Assim, vamos contabilizar as possibilidades: 3 elementos:

Para calcularmos o número de subconjuntos de três elementos, devemos calcular o número de maneiras diferentes de selecionarmos três elementos entre os quatro existentes. Como a ordem de escolha não interfere na contagem, utilizamos a técnica da combinação:

DI, = _{#4 − 3%! 3! =}4! _{1! 3! =}4! 4 × 3!_{3! = 4 * ,-,.,+ +} 2 elementos:

(35)

Prof. Fábio Amorim - Aula 00 DI,4 =_{#4 − 2%! 2! =}4! 4 × 3 × 2!_{2! 2!} = 4 × 3_{2 = 6 * ,-,.,+ +} 1 elemento: DI,9 =_{#4 − 1%! 1! =}4! _{3! 1! = 4 * ,-,.,+ +}4! Nenhum elemento: DI,: =_{#4 − 0%! 0! =}4! _{4! 0! = 1 * ,-,.,+ +}4! 4 elementos: DI,I =_{#4 − 4%! 4! =}4! _{0! 4! = 1 * ,-,.,+ +}4! Assim, o número de subconjuntos de {1,2,3,4} é:

= DI,:+ DI,9+ DI,4 + DI, + DI,I = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 * ,-,.,+ +

Professor, se o conjunto fosse {1,2,3,4,5,6,7,8,9}? Nessa situação, calcular cada uma das combinações iria levar um tempo considerável. Por isso, vamos lembrar da seguinte propriedade ensinada no 2º grau:

Para qualquer n>0: Q D'B = ' BR: D':+ D'9+ D'4+ D' + D'I+ ⋯ + D'' = 2' Ou seja, caso n=9: Q DPB = 2P= 512 P BR:

Para resolver nosso problema, como n=4, basta calcularmos 2I = 16. Resposta, letra D.

13. (ESAF – ANEEL - Analista Administrativo – 2006) Um grupo de

amigos formado por três meninos - entre eles Caio e Beto - e seis meninas - entre elas Ana e Beatriz -, compram ingressos para nove lugares localizados

(36)

lado a lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-sentar-sentar-se juntos. Com essas informações, o número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a: (A) 1920 (B) 1152 (C) 960 (D) 540 (E) 860 R.

As condições de contorno do problema são: 1 - Grupo de 3 meninos e 6 meninas; 2 - Ana e Beatriz devem se sentar juntas; 3 - Caio e Beto devem se sentar juntos;

4 - Todas as meninas devem se sentar juntas; 5 - Todos os meninos devem se sentar juntos.

Condições 4 e 5:

Para atender as condições 4 e 5, os meninos e meninas podem se distribuir de duas formas diferentes: meninos à esquerda e meninas à direita, ou vice-versa. Portanto, para atender apenas as condições 4 e 5, temos 2 possibilidades.

Condição 3:

Para atender a condição 3, podemos imaginar que as poltronas de Caio e Beto são grudadas, de modo que, em vez de 3 lugares, existem apenas 2:

________ ________ Caio e

Beto

Menino 3

(37)

Nesse sentido, temos que calcular o número de maneiras diferentes de ordenar essas “2” poltronas. Obviamente, são duas possibilidades, pela permutação:

4 = 2! = 2 × 1 = 2 * ,-,.,+ +

Para cada uma dessas possibilidades, Caio pode estar à direita ou à esquerda de Beto, portanto, existem 4 possibilidades no total: N = 2 x 2 = 4.

(Caio, Beto, Menino 3); (Beto, Caio, Menino 3); (Menino 3, Caio, Beto); (Menino 3, Beto, Caio)

Condição 2:

Para atender a condição 2, podemos imaginar que as poltronas de Ana e Beatriz são grudadas, de modo que, em vez de 6 lugares, existem apenas 5:

________ ________ ________ ________ ________

Nesse sentido, temos que calcular o número de maneiras diferentes de ordenar essas “cinco” poltronas. Para isso, utilizamos a técnica de contagem da permutação:

G = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 * ,-,.,+ +

Para cada uma dessas possibilidades, Ana pode estar à direita ou à esquerda de Beatriz, portanto, existem 240 possibilidades no total: N = 2 x 120 = 240.

Todas as condições são independentes entre si, por isso, podemos considerar o princípio fundamental da contagem para o cálculo final:

14. (ESAF – MPOG - Especialista em Políticas Públicas – 2005) Um

grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para escolher aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao Simpósio de Matemática

Condição 4 e 5 Condição 3 Condição 2

2 x 4 x 240 = 1920 possibilidades _____ _____ ______ Ana e Beatriz Menina 3 Menina 4 Menina 5 Menina 6

(38)

do próximo ano. O grupo é composto de 15 rapazes e de um certo número de moças. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma única vez; as moças cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma única vez. Há um total de 150 cumprimentos. O número de moças é, portanto, igual a: (A) 10 (B) 14 (C) 20 (D) 25 (E) 45 R.

Para calcular o número de moças, partiremos da seguinte expressão: # º D , * + T % + # º D , * + *ç % = 150 Nº de Cumprimentos de rapazes:

Para obter o número de cumprimentos entre os rapazes, precisamos escolher o número de maneiras diferentes de escolher 2 rapazes entre os 15 existentes. A ordem de escolha desses dois rapazes não interfere na contagem, pois será contabilizado apenas um cumprimento para cada 2 escolhidos. Por isso, utilizamos a técnica da combinação:

D9G,4= _{#15 − 2%! × 2! =}15! 15 × 14 × 13!_{13! × 2!} = 15 × 14₂ = 105 6 , * Assim, utilizando a primeira expressão:

# º D , * + T % + # º D , * + *ç % = 150 105 + # º D , * + *ç % = 150

# º D , * + *ç % = 45 Nº de moças:

Para obter o número de moças, precisamos calcular o número de elementos que, tomados dois a dois, resultam em 45 cumprimentos:

D',4= _{# − 2%! × 2! =}! × # − 1% × # − 2%!_{# − 2%! × 2!} = # − 1%₂ = 45 6 , * ⇒ # − 1% = 90

(39)

15. (ESAF - SEFAZ/MG - Auditor Fiscal da Receita Estadual – 2005)

Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:

(A) 420 (B) 480 (C) 360 (D) 240 (E) 60 R.

As condições de contorno do problema são:

1 – A última de cada fila deverá ser Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise; 2 – A primeira de cada fila não poderá ser Denise;

Sendo assim, convencionando as modelos como A, B, C, D, E, F e G, onde A=Ana, B=Beatriz, C=Carla e D=Denise, vamos analisar o problema da seguinte forma.

Supondo que D ocupe a 4ª posição temos:

D _________ _________ _________ _________

1ª 2ª 3ª 4ª

Nessa situação, não haverá restrições quanto à 1ª posição, concordam? Já que D ocupou a 4ª posição, não terá como ocupar a 1ª. Desse modo, teremos 6 modelos restantes para preencher as 3 demais posições.

Para contarmos de quantas maneiras diferentes essas modelos podem ocupar essas posições, devemos utilizar a técnica do arranjo, haja vista que a ordem de escolha das modelos interfere na contagem (uma fila A, B, C, D é diferente de B, A, C, D).

(40)

A(, =_{#6 − 3%! =}6! 6!_{3! =}6 × 5 × 4 × 3!_3! = 120 * ,-,.,+ + Vocês podem também raciocinar da seguinte forma:

1ª posição: 6 possibilidades (A,B,C,E,F,G)

2ª posição: 5 possibilidades (todas exceto as que ocuparem a 1ª e a 4ª posição);

3ª posição: 4 possibilidades (todas exceto as que ocuparem a 1ª, 2ª e a 4ª posição).

Utilizando o princípio multiplicativo:

= 6 × 5 × 4 = 120 * ,-,.,+ + Supondo que A ocupe a 4ª posição temos:

A _________ _________ _________ _________

1ª 2ª 3ª 4ª

Nessa situação, D não poderá ocupar a 1ª posição. Então: 1ª posição: 5 possibilidades (B,C,E,F,G)

2ª posição: 5 possibilidades (todas exceto as que ocuparem a 1ª e a 4ª posição);

3ª posição: 4 possibilidades (todas exceto as que ocuparem a 1ª, 2ª e a 4ª posição).

Utilizando o princípio multiplicativo:

= 5 × 5 × 4 = 100 * ,-,.,+ +

Esse mesmo cálculo é feito quando B ou C ocupam a última posição. Portanto, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:

= 120 + 100 + 100 + 100 = 420 Resposta, letra A.

16. (ESAF – MPOG - Especialista em Políticas Públicas – 2005) Pedro

e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a:

(41)

Prof. Fábio Amorim - Aula 00 (A) 80 (B) 72 (C) 90 (D) 18 (E) 59 R.

Calcular o número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é o mesmo que: calcular o número total de maneiras de Pedro e Paulo escolherem seus lugares, exceto quando eles escolhem cadeiras vizinhas. Portanto:

= # ú * * .%– # ú * + 6*.ℎ + 6 + , X,T, ℎ %

Cálculo do número total de maneiras de Pedro e Paulo escolherem seus lugares

Nessa situação, Pedro e Paulo devem escolher duas cadeiras entre as 10 existentes. A contagem dessas possibilidades deve ser feita pela técnica do arranjo, pois a ordem de escolha das cadeiras interfere no resultado. Por exemplo (Pedro, Paulo)=(Cadeira 4, Cadeira 7) é diferente de (Pedro, Paulo)=(Cadeira 7, Cadeira 4).

A9:, 4 =_{#10 − 2%! =}10! 10!_{8! =}10 × 9 × 8!_8! = 90 * ,-,.,+ +

Cálculo do número total de maneiras de Pedro e Paulo escolherem cadeiras vizinhas

Para esse cálculo, vamos supor que a cadeira escolhida por Pedro, e a escolhida por Paulo são uma só, de modo que:

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 Pedro Paulo

Seja equivalente a:

C1 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10

(42)

Ou seja, o número de maneiras possíveis de Pedro e Paulo ocuparem uma cadeira, nessa hipótese, é igual a 9. Considerando que Pedro pode ficar à direita ou a esquerda de Paulo, o número de possibilidades dobra para 18 (2 x 9 = 18).

Portanto:

= #90%– #18% = 72 * ,-,.,+ + Resposta, letra B.

17. (ESAF – SEFAZ/MG - Gestor Fazendário – 2005) Marcela e Mário

fazem parte de uma turma de quinze formandos, onde dez são rapazes e cinco são moças. A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura composta por seis formandos. O número de diferentes comissões que podem ser formadas de modo que Marcela participe e que Mário não participe é igual a: (A) 504 (B) 252 (C) 284 (D) 90 (E) 84 R.

As informações relevantes do enunciado são:

- a turma é formada por dez rapazes e cinco moças; - a comissão é formada por 6 formandos;

- a comissão deve ter Marcela; - a comissão não deve ter Mário.

O enunciado questiona o número de diferentes comissões que podem ser formadas de modo que Marcela participe e que Mário não participe.

Para isso, vamos dividir os cálculos em duas partes. Primeiro, o número de maneiras diferentes de escolher a comissão, de modo que Marcela participe. Depois, desse número, vamos subtrair o número de maneiras possíveis de formar a comissão com Mário incluído.

(43)

Para essa comissão, Marcela deve estar incluída, restando 5 vagas que devem ser preenchidas por 14 formandos. Como a ordem de escolha não importa para essa contagem, vamos utilizar a técnica da combinação.

D9I,G =_{#14 − 5%! × 5! =}14! 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9!_{#9%! × 5!} = 2002 * ,-,.,+ + Comissão com Mário

Dessas 2002 comissões possíveis em que Marcela está presente, algumas delas incluem Mário, que nós devemos retirar.

Pressupondo, então, a presença de Marcela e Mário, os demais 13 formandos devem ser escolhidos para preencher as 4 vagas restantes. Do mesmo modo, vamos calcular a combinação desses elementos:

D9 ,I =_{#13 − 4%! × 4! =}13! 13 × 12 × 11 × 10 × 9!_{#9%! × 4!} = 715 * ,-,.,+ +

Sendo assim, o número de comissões formadas que contam com a presença de Marcela é 2002, tirando aquelas em que Marcela e Mário estão presentes, sobram 2002-715=1287 possibilidades.

Percebam que não existe alternativa com essa resposta. Na verdade, foi uma “pisada de bola” da ESAF que não informou que a comissão deveria ser composta por 3 homens e 3 mulheres. Considerando essa assertiva, aí sim, chegaríamos ao gabarito, que é a alternativa (A).

Vamos ver como fazer a questão nessas condições? Comissão com Marcela:

Para essa comissão, Marcela deve estar incluída, restando 2 vagas para as moças (entre as 4 que restaram) e 3 vagas para os rapazes (entre os 10 que restaram). Utilizando a combinação e o princípio multiplicativo:

= DI,4× D9:, =_{#2%! × 2! ×}4! _{#7%! × 3! = 6 × 120 = 720 * ,-,.,+ +}10! Comissão com Mário:

Dessas 720 comissões possíveis em que Marcela está presente, algumas delas incluem Mário, que nós devemos retirar.

Pressupondo, então, a presença de Marcela e Mário, os demais 13 formandos devem ser escolhidos para preencher as 4 vagas restantes, de modo que 9

(44)

rapazes devem preencher 2 vagas, e 4 moças devem preencher 2 outras vagas. Utilizando a combinação e o princípio multiplicativo:

= DI,4× DP,4 = _{#2%! 2! ×}4! _{#7%! 2! = 6 × 36 = 216 * ,-,.,+ +}9!

Portanto, o número de comissões formadas que contam com a presença de Marcela é 720, tirando aquelas em que Marcela e Mário estão presentes, sobram 720-216=504 possibilidades.

Questão sem resposta. Gabarito Oficial: letra A.

18. (ESAF – STN - Analista de Finanças e Controle – 2005) Um grupo

de dança folclórica formado por sete meninos e quatro meninas foi convidado a realizar apresentações de dança no exterior. Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear as passagens de apenas seis dessas crianças. Sabendo-se que nas apreSabendo-sentações do programa de danças devem participar pelo menos duas meninas, o número de diferentes maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas é igual a:

(A) 286 (B) 756 (C) 468 (D) 371 (E) 752 R.

Percebam que as questões se repetem, sendo bastante semelhante à anterior. As condições do enunciado são:

- o grupo de dança é formado por 7 meninos e 4 meninas; - apenas 6 crianças serão escolhidas;

- a escolha deverá ter, pelo menos, 2 meninas.

Por essas condições, o grupo poderá ter as seguintes características: - 2 meninas e 4 meninos;

- 3 meninas e 3 meninos; - 4 meninas e 2 meninos.

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Vamos calcular o número de maneiras diferentes de formar os grupos com cada uma dessas características.

2 meninas e 4 meninos:

Nesta situação, teremos que escolher 2 meninas entre 4 existentes, e, 4 meninos entre os 7 existentes. Para cada uma dessas escolhas, devemos utilizar a técnica da combinação, já que a ordem de escolha não interfere na contagem. Além disso, como as escolhas são independentes, utilizamos o princípio multiplicativo para calcular o número total de possibilidades:

= DI,4× DH,I = _{#2%! × 2! ×}4! _{#3%! × 4! = 6 × 35 = 210 * ,-,.,+ +}7! 3 meninas e 3 meninos:

Nesta situação, teremos que escolher 3 meninas entre 4 existentes, e, 3 meninos entre os 7 existentes:

= DI, × DH, = _{#1%! × 3! ×}4! _{#4%! × 3! = 4 × 35 = 140 * ,-,.,+ +}7! 4 meninas e 2 meninos:

Nesta situação, teremos que escolher 4 meninas entre 4 existentes, e, 2 meninos entre os 7 existentes:

= DI,I× DH,4 = _{#0%! × 4! ×}4! _{#5%! × 2! = 1 × 21 = 21 * ,-,.,+ +}7!

Portanto, o número de diferentes maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas é igual a:

210 + 140 + 21 = 371 * ,-,.,+ + Resposta, letra D.

19. (ESAF - TRF 4ª REGIÃO - Analista Judiciário - Área Informática – 2004) Pretende-se formar uma equipe de 5 analistas judiciários para que seja

feita a avaliação de exames médicos laboratoriais. Se os membros da equipe devem ser escolhidos aleatoriamente entre 4 médicos e 6 médicas, o número de equipes distintas que podem ser compostas, contendo exatamente 2 médicos, é

(A) 1.440 (B) 720 (C) 480

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(D) 360 (E) 120 R.

Nesta situação, temos que escolher 2 médicos entre os 4 existentes, e, 3 médicas entre as 6 existentes. A ordem de escolha não interfere na formação da equipe e, portanto, não interfere na ordem da contagem. Isso faz com que nós devamos utilizar a técnica da combinação para efetuar os cálculos.

Calculado o número de possibilidades para médicos e médicas, basta utilizarmos o princípio multiplicativo para calcular o número de equipes distintas que são compostas por 2 médicos e 3 médicas.

Escolha dos médicos:

DI,4 = _{#4 − 2%! × 2! = 6 * ,-,.,+ +}4! Escolha das médicas:

D(, = _{#6 − 3%! × 3! = 20 * ,-,.,+ +}6!

Utilizando o princípio multiplicativo, já que as escolhas são independentes:

= DI,4× D(, = 6 × 20 = 120 * ,-,.,+ + Resposta, letra E.

20. (ESAF – MPU - Analista Técnico - Área Engenharia Mecânica – 2004) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma

mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente,

(A) 1152 e 1152. (B) 1152 e 1100. (C) 1112 e 1152. (D) 384 e 1112. (E) 112 e 384.