ESTRUTURAS DE BETÃO I

(1)

ESTRUTURAS DE BETÃO I

FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS

DEFORMAÇÃO DE ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO

Coordenação: Júlio Appleton

(2)

1. Estado Limite de Deformação

1.1. CÁLCULO DA DEFORMAÇÃO

1.1.1. Deformação em fase não fendilhada (Estado I)

a p M 1/r EII curvatura: _r1 = _EIM I deslocamento: a = _⌡⌠ L 1 r – M dx a = _EI1 I ⌡⌠_L M M dx (P.T.V.) – –

M − diagrama de momentos para uma carga virtual unitária aplicada na direcção de a.

1.1.2. Deformação em fase fendilhada (estado II)

Problemas:

Determinação das relações momentos-curvatura

Consideração da variação de rigidez ao longo dos elementos Definição das condições de fronteira da estrutura

1/r EII EIII Mcr M Estado II Estado I M DMF p (+)

Nota: Cada zona da viga tem uma rigidez diferente, consoante o nível de momento actuante.

(3)

Por forma a ter em conta a fendilhação da viga, é necessário considerar uma curvatura média para cada zona do elemento.

M M II EIII 1/r M Mcr EII M I (1/r)I (1/r)m (1/r)II

Conforme se pode observar pelo gráfico momento-curvatura acima, esta curvatura média pode ser calculada através de uma média ponderada entre as curvaturas em estado I e II, considerando para isso um coeficiente de repartição (τ):

1 rm = (1 −−−−ττττ) 1 rI + ττττ 1 rII      a = _⌡⌠ 0 L ₁ rm – M dx

Ο coeficiente de repartição, para o caso da flexão simples pode ser obtido através de:

τ = 1 – β1β2_    σsr σs 2 = 1 – ββββ1ββββ2    Mcr M 2 para M > Mcr onde,

β1 – coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões

(β1 = 1.0 para varões de alta aderência; β1 = 0.5 para varões aderência normal);

β2 – coeficiente que tem em conta a duração ou repetição das cargas (β2 = 1.0

para uma única carga de curta duração; β2 = 0.5 para cargas actuando com

permanência ou para vários ciclos de cargas);

σsr – tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado) resultante

da actuação das cargas que provocam o início da fendilhação;

σs – tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado) resultante

da actuação do valor da carga para a qual se pretende calcular a flecha.

Nota: Se M < Mcr⇒τ = 0 ⇒

1 rm =

1 rI

(4)

1.1.2.1. Cálculo da curvatura em estado I

A curvatura em estado não fendilhado pode ser calculada através da expressão 1 rI = ks1× 1 rc + ks1 kϕ1ϕ× 1 rc + 1 rcs1 , onde,

ks1 – coeficiente que entra em linha de conta com a acção das armaduras

1 rc – curvatura de base     1 rc = M Ec Ic

k_ϕ1 – coeficiente que entra em linha de conta com o efeito da fluência

ϕ – coeficiente de fluência 1 rcs1 – acção da retracção     1 rcs1 = kcs1 εcs d 1.1.2.2. Cálculo da curvatura em estado II

1 rII = ks2× 1 rc + ks2 kϕ2ϕ× 1 rc + 1 rcs2 ,     1 rcs2 = kcs2 εcs d

1.1.2.3. Método Bilinear (τ constante)

i) Cálculo dos parâmetros

ks1, kϕ1, kcs1, ϕ e ks2, kϕ2, kcs2

ii) Cálculo do coeficiente de repartição τ

M = MD Mcr ⇒ τ = 1 – β1β2

Mcr

MD

= constante

(5)

Secções determinantes (secções de momentos máximos) - Exemplos

τ = τvão

τ = τapoio

τ = 2 τvão + ₃τapoio

τ = τapoio 1 + 2 τvão + τapoio 2 4

iii) Cálculo de flechas τ = constante ⇒ a = _⌡⌠ 0 L ₁ rm – M dx = _⌡⌠ 0 L     (1 - τ) _r1 I + τ_r1 II – M dx = ⇔ ⇔ a = (1 – τ) _⌡⌠ 0 L₁ rI – M dx + τ_⌡⌠ 0 L ₁ rII – M dx ⇔ a = (1 – ττττ) aI+ ττττ aII com aI = _⌡⌠ 0 L     ks1 (1 + kϕ1ϕ) × 1 rc + kcs1 εcs d – M dx aII = _⌡⌠ 0 L     ks2 (1 + kϕ2ϕ) × 1 rc + kcs2 εcs d – M dx

1.1.2.4. Método dos Coeficientes Globais

(coeficientes constantes definidos para a secção determinante)

coeficientes constantes ⇒ aI = _⌡ ⌠ 0 L     ks1 (1 + kϕ1ϕ) × 1 rc + kcs1 εcs d – M dx ⇔ ⇔ aI= ks1 (1 + kϕ1ϕ) _⌡⌠ 0 L ₁ rc – M dx + kcs1 εcs d ⌡⌠₀L – M dx

Desprezando a parcela da retracção, aI= ks1 (1 + kϕ1ϕ) ac

Da mesma forma, aII= ks2 (1 + kϕ2ϕ) ac

Deste modo, a expressão do deslocamento vem igual a

a = (1 – τ) aI+ τ aII = (1 – τ) ks1 (1 + kϕ1ϕ) ac + τ ks2 (1 + kϕ2ϕ) ac ⇔

(6)

Aplicação do Método dos Coeficientes Globais

a) Cálculo do deslocamento ac considerando um modelo elástico linear e rigidez de

flexão dada pelas secções não armadas e não fissuradas.

b) Correcção do deslocamento para ter em conta as armaduras, a fendilhação e a fluência.

Deslocamento instantâneo (t = 0): a0 = k0 ac (h/d)3 (tabelas pág. 97) Deslocamento a longo prazo (t = ∞): at = η kt ac (h/d)3 (tabelas págs. 98 e 99)

ac – flecha base (tabelas páginas 154 e 155)

k0 – coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras e da

fendilhação

(

função de d/h, αρ, Mcr / MD

)

kt – coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras, da

fendilhação e da fluência

(

função de ϕ, d/h, αρ, Mcr / MD

)

η – coeficiente que entra em consideração com a influência da armadura de compressão (função de ρ’/ρ, αρ, ϕ)

(7)

E

XERCÍCIO

3.4

Considere a viga representada na figura seguinte (viga do exercício 2.1)

0.55 _0.60 5.00 0.30

p

3φ20 Materiais: C25/30 A400 NR

Calcule a flecha para a combinação frequente de acções (pfreq = 20 kN/m)

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3.4

1. Cálculo da flecha elástica

a) Pelo P.T.V., DMF [kNm] (+) pfr D 1/R 62.5 Mmax = p L2 8 = 20 × 52 8 = 62.5 kNm 1 R = M EI 1.25m (+) 1 DMF [m] Mmax = P L 4 = 5 4 = 1.25 m

(8)

a = _⌡⌠ L 1 r – M dx = _⌡ ⌠ L M – M EI dx = 1 EI× 5 3 × 62.5 × 1.25 ×    1 + 2.5 2 52 = 9.88 × 10 -4_m (tabelas pág. 153)     E = 30.5 × 106 kN/m2 I = 0.3 × 0.6 3 12 = 0.0054 m 4 ⇒ EI = 164700 kNm 2 b) Por tabelas (pág. 154) δ = ₃₈₄5 ×pL 4 EI = 5 384 × 20 × 54 164700 = 9.88 × 10 -4 m ⇒ ac = 9.9 × 10-4 m

2. Cálculo da flecha a longo prazo (método dos coeficientes globais)

(Considera-se ϕ = 2.5)



α = _EEs c = 200 30.5 = 6.6 ρ = _bdAs = 9.42 × 10 -4 0.3 × 0.55 = 0.0057 ⇒_αρ = 0.038     Mcr = W × fctm = bh2 6 × fctm = 0.30 × 0.602 6 × 2.5 × 10 3_{= 45kNm} Mfr = 62.5kNm > Mcr ⇒ Mcr Mfr = 0.72 (ϕ = 2.5) ⇒ kt = 3.75 ρ’ = _bdAs' = 0 ⇒ρ’/ρ = 0 ⇒η = 1 at =     h d 3 η kt ac =     0.60 0.55 3 × 3.75 × 9.9 ×10-4 = 0.0048 m = 4.8 mm

3. Cálculo da flecha instântanea

    αρ = 0.038 Mcr Mfr = 0.72 (Acções repetidas) ⇒ k0 = 2.3 a0 =     h d 3 k0 ac =     0.60 0.55 3 × 2.3 × 9.99×10-4 = 0.003 m = 3 mm

(9)

1.2. LIMITE DE DEFORMAÇÃO

De acordo com o EC 2 (parágrafo 7.4.1)

δmáx =

L

250 para a combinação de acções quase-permanentes

Caso a deformação afecte paredes divisórias, δmáx =

L 500

1.3. CONTROLO INDIRECTO DA DEFORMAÇÃO

p L ac ac = K pL4 EI

Para uma secção rectangular: I = bh

3 12 ⇒ ac L = K 12 p b E     L h 3

∴ A deformação pode ser controlada de forma indirecta pela esbelteza (L/h)

De acordo com o EC2, a deformação pode ser controlada indirectamente caso sejam respeitados os limites de esbelteza indicados na Tabela 7.4N.

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)