Análise geomecânica da injeção de fluidos em subsuperfície

i

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

ANÁLISE GEOMECÂNICA DA INJEÇÃO DE

FLUIDOS EM SUBSUPERFÍCIE

LUIS CARLOS DE SOUSA JUNIOR

ORIENTADOR: MANOEL PORFÍRIO CORDÃO NETO, DSc.

TESE DE DOUTORADO EM GEOTECNIA

PUBLICAÇÃO: G.TD-147/18

ii

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

ANÁLISE GEOMECÂNICA DA INJEÇÃO DE FLUIDOS

EM SUBSUPERFÍCIE

LUIS CARLOS DE SOUSA JUNIOR

TESE DE DOUTORADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM

GEOTECNIA.

APROVADA POR:

_________________________________________

Prof. Manoel Porfírio Cordão Neto, DSc (UnB)

(ORIENTADOR)

_________________________________________

Prof. Igor Fernandes Gomes, DSc (UFPE)

(EXAMINADOR EXTERNO)

_________________________________________

Prof. André Pacheco de Assis, PhD (UnB)

(EXAMINADOR INTERNO)

BRASÍLIA/DF, 27 de stembro de 2018.

_________________________________________

Prof. Eder Lima de Albuquerque, DSc (UnB)

(EXAMINADOR EXTERNO)

iii FICHA CATALOGRÁFICA

SOUSA JUNIOR, LUIS CARLOS DE

Análise Geomecânica da Injeção de Fluidos em Subsuperfície [Distrito Federal] 2018 xxii, 111 p., 210x297 mm (ENC/FT/UnB, Doutor, Geotecnia, 2018).

Tese de Doutorado - Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental.

1. Petróleo 2. Geomecânica I. ENC/FT/UnB

3. Métodos Numéricos 4. Fraturamento Hidráulico II. Título (série)

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

SOUSA JUNIOR, L. C. DE, 2018. Análise Geomecânica da Injeção de Fluidos em Subsuperfície. Tese de Doutorado, Publicação G.TD-147/18, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 111 p.

CESSÃO DE DIREITOS

NOME DO AUTOR: Luis Carlos de Sousa Junior.

TÍTULO DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO: Análise Geomecânica da Injeção de Fluidos em Subsuperfície.

GRAU / ANO: Doutor / 2018.

É concedida à Universidade de Brasília a permissão para reproduzir cópias desta tese de doutorado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta tese de doutorado pode ser reproduzida sem a autorização por escrito do autor.

_____________________________ Eng. Luis Carlos de Sousa Junior Rua Riachuelo, 92, Apto. 1046, Centro 20230-014 – Rio de Janeiro/RJ - Brasil

iv

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho à minha família pelo incentivo ao trabalho e persistência nos estudos. Um agradecimento especial aos meus pais Luis e Maria e a Aline, Luis Gabriel e Arthur

v AGRADECIMENTO

Agraço a instituição Universidade de Brasília pela educação de qualidade que me foi oferecida desde a graduação em Engenharia Civil e o mestrado em Estruturas até o doutorado em Geotecnia. Fico com a imagem de uma instituição que prima pela excelência acadêmica e que propicia aos seus estudantes um desenvolvimento intelectual de alto nível.

Estendo esse agradecimento ao qualificado corpo de professores da UnB, em especial àqueles do Departamento de Engenharia Civil e Ambiental. Esses professores caracterizam-se por sólida formação acadêmica e grande dedicação ao ensino que permitem a transformação de estudantes em profissionais qualificados para a sociedade. O meu muito obrigado aos docentes da UnB.

Agradecimento ao professor orientador Manoel Neto pelos ensinamentos e por acreditar que poderíamos fazer um trabalho de pesquisa de ponta durante o doutorado. Destaco também sua habilidade em conduzir os estudos da tese considerando que eu dispunha de limitado tempo em função da minha atividade profissional.

Por fim, um agradecimento à PETROBRAS, empresa que trabalho a 14 anos. O curso de formação em Engenharia de Petróleo e a oportunidade de atuação como Engenheiro de Reservatórios ao lado de brilhantes profissionais foram fatores fundamentais para a minha formação técnica e para a condução do presente trabalho.

vi RESUMO

A injeção de água é comprovadamente um mecanismo eficiente para o aumento da produtividade de reservatórios de petróleo. A eficiência desse mecanismo de recuperação depende, dentre outros fatores, da injetividade dos poços e das questões de integridade mecânica das formações rochosas.

A injeção de água sob pressão pode induzir mecanismo de fraturamento das formações rochosas, podendo aumentar a permeabilidade do meio por um lado, mas pode também comprometer o selo da rocha capeadora. Para avaliar esse problema, o presente trabalho apresentou uma estratégia de modelagem computacional do escoamento monofásico no meio poroso, transporte de calor e equilíbrio estrutural em torno de um poço injetor de água. Os estudos foram feitos considerando formações rochosas inconsolidadas e, portanto, com alta permeabilidade, baixa rigidez e resistência ao cisalhamento.

Dois modelos numéricos estruturais foram empregados, um baseado na solução estrutural dinâmica com integração explícita das relações constitutivas e um segundo modelo quase estático baseado no modelo viscoplástico de Perzyna. O modelo dinâmico é robusto no tratamento de não linearidades de material e condições de contorno, já o modelo quase estático se mostrou muito superior no desempenho computacional.

A principal contribuição do trabalho foi permitir avaliar o papel de um modelo viscoplástico de resistência ao cisalhamento no fraturamento das formações rochosas sob injeção de água considerando o efeito térmico. Os resultados obtidos permitiram concluir que a plastificação por cisalhamento é o mecanismo dominante no desenvolvimento de zonas de alta permeabilidade em torno de poços injetores de água.

Os efeitos poromecânicos também se mostraram importantes na plastificação e fraturamento das rochas inconsolidadas. A elevada permeabilidade associada ao alto Coeficiente de Biot promovem a elevação das tensões in situ, dificultando o fraturamento da rocha por tração.

vii ABSTRACT

Water injection is a proven method to increase oil production in reservoirs. The efficiency of water injection as recovery method depends, among other factors, on well injectivity and rock integrity.

The injection of water under high pressure can induce rock failure that can increase the medium permeability, but can produce damage to cap rock on the other hand. In order to evaluate this problem, the present work presented strategies for computational modeling of monophase flow in porous media, heat transport and structural equilibrium near injection well. The studies performed were done considering unconsolidated formations with high permeability, low stiffness and low shear strength.

Two numerical algorithms were employed for structural analysis, one based on a dynamic structural equilibrium with explicit integration of stress-strain constitutive models and other quasi-static model based on Perzyna’s viscoplastic model. The dynamic model is more robust to consider non-linearities in material and boundary conditions, but the quasi-static mode seems to be computationally more efficient.

The main contribution of this work is evaluating the role of shear strength on rock fracturing under water injection. Results obtained allow us to conclude that shear plasticity is the main mechanism of rock failure and responsible to induce high permeability around injection wells.

Poromechanics effects also seem to be important for plasticity and failure of unconsolidated rock formations. High permeability associated to high Biot Coefficient of these formations promotes increase of in situ stress and avoid traction failure.

viii SUMÁRIO

1. Introdução 1

1.1. Just ificat iva 3

1.2. Hipótese 3

1.3. Objet ivo s 4

1.4. Escopo da Tese 4

2. Revisão Bibliográfica 6

2.1. Contexto Geral: Reservatórios de Petróleo 6

2.2. Mecanismo s de Recuperação de Petróleo 9

2.3. Recuperação de Petróleo com Injeção de Água 10

2.4. Injeção de Água co m Propagação d e Fraturas 11

2.5. Escoamento Mult ifásico e m Me ios Porosos 15

2.5.1. Co mportamento de Hidrocarbonetos 16

2.5.2. Modelos de Baseados em Vo lumes Finitos e Diferenças Finit as

17

2.5.3. Modelos Baseados no Método dos Elementos Finitos 18

2.6. Co mportamento Mecânico 19

2.7. Acoplamento Hidro mecânico 21

2.8. Fraturas 23

2.8.1. Deformabilidade de Fraturas 23

2.8.2. Hidráulica de Fraturas 25

2.8.3. Critério de Fraturamento Em Modo I 25

2.8.4. Zonas de Cisalhamento e Fraturamento Hidráulico 31

2.9. Efeito Térmico 34

3. Conceitos Básicos e Formulação Teórica 37

3.1. Equações Fundamentais 37

3.2. Relações Const itutivas do Fluido 38

3.2.1. Co mpressibilidade do Fluido 38

3.2.2. Deformação do Espaço Poroso 39

3.2.3. Velocidade de Escoamento no Meio Poroso 39

3.2.4. Velocidade de Escoamento na Fratura 40

3.3. Relações Constitutivas do Sólido Poroso Deformável 40

ix

3.3.2. Relações Tensão -Deformação 41

3.3.3. Deformações Viscoplást icas 43

3.3.4. Deformações Térmicas 44

3.3.5. Fratura 45

3.3.6. Propagação de Fraturas 46

3.4. Dano Mecânico e Evolução da Permeabilidade 48

4. Formulação Numérica e Validação 51

4.1. Escoamento de Fluido e Transporte de Calor 51

4.2. Discretização da Equação de Equilíbrio 53

4.3. Equilíbrio Quase-Estático 55

4.4. Acoplamento entre Modelos 57

4.5. Modelo Computacional 58

4.6. Modelo Computacional de Propagação de Fraturas 59

4.7. Esforços Devido a Escavação 60

4.8. Validações 60

4.8.1. Estrutural 61

4.8.2. Fluxo no Meio Poroso 73

5. Estudos de Caso 77

5.1. Propagação Vertical de Fratura em um Meio Permeável 77

5.2. Injeção de Água em Arenito com Poço Vertical 80

5.2.1. Dados Gerais 81

5.2.2. Poropressão e Tensões Iniciais 83

5.2.3. Injeção de Água no Poço 85

5.2.4. Resposta Hidro mecânica co m Modelo Elást ico 86

5.2.5. Resposta Hidro mecânica co m Modelo Viscoplást ico 88

5.2.6. Análise de Deslocamentos, Deformações e Tensões 90

5.2.7. Efeito da Temperatura 94

5.2.8. Efeito da Pressão de Injeção 95

5.2.9. Vazão de Injeção 96

5.3. Injeção de Água em Arenito com Poço Horizontal 97

6. Conclusões 102

6.1. Aspectos Numéricos e Computacionais 102

x

6.3. Sugestões de Pesquisas Futuras 103

Anexo - Relações Constitutivas Tensão-Deformação 105

xi LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Bacias Sedimentares brasileiras segundo Milani et al. (2007). 1

Figura 2.1– Acumulação de petróleo em uma estrutura anticlinal. Fonte:

Enciclopédia Britânica (traduzida). 6

Figura 2.2- Processos de desenvolvimento da produção de um campo de petróleo. 7

Figura 2.3 – Figura ilustrativa de um sistema de produção offshore de petróleo.

Fonte: Orlowski (2007) modificada. 8

Figura 2.4 – Modelo de deslocamento de óleo por água no meio poroso. (a) modelo de deslocamento imiscível 1D de Buckley & Leverett; (b) perfil do fluxo fracionário de água produzida em função da saturação

média de água no meio poroso. 11

Figura 2.5 – Incremento de injetividade do poço devido ao fraturamento

hidráulico. 12

Figura 2.6 – Alguns modelos utilizados na indústria para estudos de fraturamento

hidráulico. (Adachia et al., 2007). 13

Figura 2.7 - Modelo de fraturamento com injeção de água acoplado ao

escoamento multifásico no meio poroso e modelo estrutural

(tensão-deformação) (Modificado de Ji et al., 2006). 14

Figura 2.8 - Mecanismos indesejados de propagação de fraturas. (a) propagação por longas distâncias horizontais, (b) propagação para fora do

horizonte de interesse. 15

Figura 2.9 - Gráfico conceitual ilustrando o processo de convergência plástica de um algoritmo (a) elastoplástico baseado em Newton-Raphson ou initial stress – baseado em Smith & Griffiths (2007) - e (b)

viscoplástico ou initial strain. 20

Figura 2.10 – Modelos estruturais para fraturas em rochas: (a) rocha fraturada em modo compressivo (𝜎_𝑛 > 𝑝); (b) rocha fraturada em modo de tração

(𝑝 > 𝜎𝑛). 24

Figura 2.11 – Concentração de tensões na ponta de uma fratura hidráulica

pressurizada. (a) Modelo estrutural referente a uma fratura hidráulica pressurizada, (b) perfis de tensão horizontal ao longo do plano no

xii

dois níveis de resistência ao cisalhamento (20 e 30 graus de ângulo de atrito).

Figura 2.12 – Fratura observada em experimentos de injeção de silicone fluido em um material particulado de quartzo: (a) 100 ml de silicone, (b) 200 ml, (c) 400 ml. As escalas na figura correspondem a 2,54 cm.

Fonte: Germanovich et al. (2012). 32

Figura 2.13 – (a) Seção de uma fratura induzida em um arenito pela injeção de

um fluido viscoso (silicone) e (b) modelo conceitual. 32

Figura 2.14 – Mecanismos de fratura hidráulico das formações rochosas em função da difusividade hidráulica e tipo de rocha, segundo Pak

(1997). Extraído de Taghipoor et al. (2015). 34

Figura 2.15 – Envoltória de resistência ao cisalhamento de Mohr-Coulomb para a

situação de atrito original/estático e residual. 34

Figura 2.16 – Figura esquemática que ilustra como a temperatura do fluido injetado evolui da plataforma até o fundo do poço em um ambiente offshore de águas profundas. A temperatura ambiente refere-se a

temperatura da água do mar e das formações rochosas. 35

Figura 2.17– Efeitos termomecânicos da injeção de fluido frio em torno de um poço. O resfriamento induzido pela água injetada reduz as tensões horizontais podendo até facilitar o fraturamento hidráulico da

formação rochosa. 36

Figura 3.1 – Equilíbrio de forças na parede da fratura hidráulica. 45

Figura 3.2 – Integral J na ponta da fratura. 46

Figura 3.3 – Integral J em um elemento fraturado. 47

Figura 3.4 – Modelo de dano bilinear do sólido fraturado. A Integral J equivale

ao produto da área sob a curva pela espessura da zona fraturada. 48

Figura 3.5 – (a) Variação da tensão cisalhante durante um teste de cisalhamento direto de uma areia mostrando o comportamento de hardening seguido de softening (Shibuya et al. (1997), (b) modelo conceitual de dano a rigidez e resistência ao cisalhamento com a deformação

plástica cisalhante empregado no presente trabalho. 49

Figura 4.1– Modelo de discretização escoamento de um meio poroso por

xiii

Figura 4.2 – Algoritmo de equilíbrio estrutural viscoplástico. 56

Figura 4.3 – Fluxograma de solução acoplada iterativa do problema

termo-hidromecânico-dinâmico. 58

Figura 4.4 – Modelo de propagação de fratura em modo de tração. Visão no

plano de propagação da fratura indicada como superfície livre 59

Figura 4.5 – Algoritmo de propagação de fraturas integrado ao equilíbrio

estrutural. 60

Figura 4.6 - Modelo estrutural da sapata e malha de elementos finitos. Geometria

e propriedade propostos por Smith & Griffiths (2004). 62

Figura 4.7 – Deslocamento vertical máximo em função da carga na sapata. 63

Figura 4.8 – Malha deformada (10x de exagero) mostrando o (a) deslocamento

vertical e (b) a deformação plástica cisalhante. 64

Figura 4.9 – Modelo uniaxial para o caso elástico isotrópico drenado. 65

Figura 4.10 – Resposta mecânica do modelo uniaxial a uma variação uniforme de poropressão. (a) evolução das tensões vertical e horizontal

(principais) com a poropressão, (b) trajetória de tensões dos modelos elástico e elastoplástico e (c) comparativo da evolução das tensões

principais entre os modelos viscoplástico e dinâmico. 67

Figura 4.11 – Modelo de teste de tração na direção Y para validação do modelo constitutivo de tração. (a) Malha de elementos finitos e condições de contorno, (b) evolução da tensão normal da direção Y com a

respectiva deformação normal. 70

Figura 4.12 – Placa parcialmente fraturada submetida à tração. (a) problema e condições de contorno, (b) campo de deslocamento Y (metro) elásticos da placa sob tração, (c) Tensão Desviadora, Tensão

Mínima. Deslocamentos exagerados em 50x. 71

Figura 4.13 – Solução analítica para o coeficiente de concentração de tensões. 72

Figura 4.14 - Deslocamento máximo na direção do carregamento de tração na placa para modelos elásticos, elástico com propagação de fratura (Elástico_CDM) e viscoplástico-Tresca com modelo de propagação de fratura (Viscoplástico_CDM). Para o Tresca foi utilizada coesão

xiv

Figura 4.15 – Evolução da posição da ponta da fratura a partir da sua posição inicial (5m) para os modelos elástico, elástico com propagação de fratura (Elástico_CDM) e viscoplástico-Tresca com modelo de propagação de fratura (Viscoplástico_CDM). Para o Tresca foi

utilizada coesão de 1,0E6 Pa. 74

Figura 4.16 – Malha deformada em 50x mostrando a evolução da tensão mínima e da posição da ponta da fratura em função da carga de tração para o

modelo elástico. 75

Figura 4.17 – Poropressão no meio poroso nos instantes de tempo: 6, 18, 42 e 60

minutos. 76

Figura 4.18 – Modelo radial de fluxo. (a) Vista em mapa de topo mostrando malha e condições de contorno hidráulicas e (b) visão 3D do modelo

com zoom próximo à parede do poço. 78

Figura 4.19 – Distribuição de poropressão com o raio de distância à parede do poço para regime estabilizado de fluxo. Previsão analítica e numérica

com Volumes Finito baseado em Diferenças Finitas. 79

Figura 5.1 – Modelo de injeção de água em um meio poroso por meio de uma

fratura aberta. 81

Figura 5.2 – Malha deformada (50x) em três instantes de propagação da fratura com (a) magnitude do deslocamento para fluido não penetrante e (b) poropressão para fluido penetrante. Os passos de tempo

correspondem a 159, 718 e 1440 minutos, respectivamente. 82

Figura 5.3 – Tensão mínima ao final da simulação com indicação da posição da ponta da fratura para os casos com e sem infiltração do fluido da

fratura ao final de 1440 minutos de injeção. 83

Figura 5.4 – Propriedades elásticas das rochas do modelo: (a) Coeficiente de Poisson, (b) Módulo de Elasticidade e (c) é o Coeficiente de Biot

(0,56 a 0,97). Dimensões em metros. 85

Figura 5.5 – Malha de elementos finitos da região em torno do poço. Malha com

523.500 elementos finitos hexaédricos lineares e 555.100 nós. 87

Figura 5.6 – Deformação plástica cisalhante com detalhe na zona de deformação plástica cisalhante alinhada com a tensão mínima (máxima

xv

Figura 5.7 – Condições de contorno em plano horizontal que corta o modelo. (a) condições de contorno mecânicas e (b) condições de contorno

hidráulicas. 89

Figura 5.8 – Resultado da simulação no modelo elástico após 9.504E05 segundos (11 dias) de injeção de água. (a) poropressão, (b) deslocamentos (m),

(c) tensão mínima. 91

Figura 5.9 – Poropressão em diferentes instantes de tempo para (a) o fluxo desacoplado e (b) – (d) fluxo acoplado com modelo estrutural

viscoplástico. 92

Figura 5.10 – Deslocamentos calculados no modelo viscoplástico após 9.504E05

segundos (11 dias) de injeção de água. 93

Figura 5.11 - Coeficiente de Poisson e zona de fraturamento hidráulico (ZFH) formada pelo volume de rocha que sofre deformação plástica cisalhante para os seguintes períodos de injeção de água: (a) inicial, (b) 1,037E05 segundos (1,2 dia), (c) 3,024E05 segundos (3,5 dias), (d) 5,184E+05 segundos (6 dias) e (e)/(f) 9,504E05 segundos (11

dias). 95

Figura 5.12 – Diagrama tensão média efetiva versus tensão desviadora no estado inicial no reservatório superior após 9,504E05 segundos (11 dias) de injeção de água. O diagrama também traz envoltórias de Resistência ao cisalhamento de Mohr-Coulomb para ângulo de Lode (theta) de 0

e 30 graus. 96

Figura 5.13 – Tensões calculadas nas formações rochosas após 9,504E05 segundos (11 dias) de injeção de água. (a) Tensão desviadora em

escala log e (b) Tensão Média Efetiva. 96

Figura 5.14 – Resultado do modelo elástico considerando deformações térmicas em 5 anos de injeção de água fria. Região com propagação de fratura em modo I (tração) no arenito friável. A região da fratura foi filtrada pela tensão desviadora e a variável impressa na fratura é o

deslocamento em Y. 97

Figura 5.15 – Zona de Fratura Hidráulico de acordo com modelo viscoplástico considerando deformações térmicas em 5 anos de injeção de água

xvi

Figura 5.16 – Evolução da injeção de água com o tempo. 99

Figura 5.17 – Modelo geológico com Coeficiente de Poisson e malha de

elementos finitos com 645.000 elementos hexaédricos de 8 nós. 101

Figura 5.18 – Visão do arenito superior friável e condições de contorno

hidráulicas e posição do poço horizontal com pressão constante. 101

Figura 5.19 – (a) Poropressão final no arenito friável superior e (b) magnitude de deslocamento na malha deformada (1000x) após 9,504E05 segundos

(11 dias) de injeção. 102

Figura 5.20 – Volume composto mostrando a distribuição de poropressão, a tensão mínima e a Zona de Fraturamento Hidráulico (ZFH) formada pelo volume de rocha plastificada em torno do poço horizontal após 9,504E05 segundos (11 dias) de injeção de água. Geometria

xvii LISTA DE TABELAS

Tabela 1.1 - Distribuição da produção de petróleo e gás natural por bacia (Fonte:

Boletim de Produção da ANP de janeiro de 2018). 2

Tabela 2.1 – Alguns procedimentos numéricos para análise de propagação de

fraturas. 28

Tabela 4.1 – Interdependência de variáveis entre os problemas físicos modelados. 57 Tabela 5.1 – Parâmetros de resistência ao cisalhamento típicos das rochas,

estimados a partir de perfis de poços de águas profundas (Sousa Jr et

xviii LISTA DE SÍMBOLOS a Abertura da fratura (m) A Área (m²) Af Área da fratura (m²) b Força de corpo (N/m³) B(𝑝,𝑇)_{, B}

f Fator volume formação da fase fluida

B Relações deslocamento-deformação do elemento finito

c Coesão (envoltória de Mohr-Coulomb) (Pa)

Velocidade de propagação da onda de compressão (m/s) Calor específico (J/(kg.K))

C Amortecimento estrutural (N.s/m4)

Cc Amortecimento estrutural crítico (N.s/m4)

cf Compressibilidade do fluido (1/Pa)

CTOD Crack opening displacement

CDM Continuous Damage Mechanics

d Variável de dano

D Profundidade (m)

Relações tensão-deformação (elásticas) (Pa)

DEP Relações tensão-deformação elastoplásticas (Pa)

Dort Relações tensão-deformação elásticas-ortotrópicas (Pa)

E Módulo de Elasticidade (Pa)

EPT Estado plano de tensão

EPD Estado plano de deformação

F Função de escoamento da rocha (Pa)

Fext Força externa (N)

fint Força interna (N)

fw Fluxo fracionário de agua (=vazão de agua / vazão total)

G Função potencial plástico da rocha (Pa)

Energia desprendida de Griffith na propagação da fratura (J/m²)

Gc Energia desprendida crítica na propagação da fratura (J/m²)

g Aceleração da gravidade (m/s²)

h Espessura (m)

xix

H Módulo de endurecimento isotrópico da rocha (Pa)

HFZ Hyadrulic Fracture Zone

II Índice de Injetividade do poço (m³/s/Pa)

J Integral-J (J/m²)

k Permeabilidade efetiva do meio poroso (m²)

Condutividade térmica (W/(m⋅K))

Parâmetro de endurecimento isotrópico da rocha

kr Permeabilidade relativa da fase fluida

kini Permeabilidade inicial do meio poroso (m²)

Kb módulo de deformação volumétrica seco da rocha (Pa)

Kf módulo de deformação volumétrica do fluido (Pa)

KI coeficiente de concentração de tensões (N/m1,5)

KIC coeficiente de concentração de tensões crítico (N/m1,5)

KGD Modelo de fraturamento hidráulico Kristianovich-Geertsma-de Klerk

KS módulo de deformação volumétrica da estrutura mineral da rocha (Pa)

LEFM Mecânica Fratura Linear Elástica

Lmin Comprimento mínimo no elemento finito (m)

M Massa (kg)

N Função de forma do elemento finito

NLFM Mecânica Fratura Não-Linear Elástica

p Pressão do fluido (Pa)

Poropressão (Pa)

Tensão média (invariante tensorial) (Pa)

Pint Pressão na face interna do modelo (Pa)

Pext Pressão na face externa do modelo (Pa)

pfra Pressão do fluido na fratura (Pa)

PKN Modelo analítico de fratura Perkins-Kern-Nordgren

q Tensão desviadora (invariante tensorial) (Pa)

Vazão (m³/s)

𝑞_𝜀𝑝𝑙𝑎𝑠𝑡 Deformação plástica desviadora

r Raio (m)

re raio externo do reservatório (radial) (m)

xx

Sf Saturação da fase fluida no meio poroso

So Saturação de óleo no meio poroso

Sor Saturação de óleo residual no meio poroso

Sw Saturação de água no meio poroso

Swi Saturação de água irredutível no meio poroso

𝑡 Tempo (s)

T Temperatura (K ou 0_C)

{𝑡} Vetor de forças de tração na superfície da fratura (N)

u Deslocamento (m)

𝑢̇ Velocidade (m/s)

𝑢̈ Aceleração (m/s²)

V Volume (m³)

Vb Volume de rocha (m³)

𝑣_𝑓 Velocidade de escoamento da fase fluida (m/s)

XFEM Extended Finite Element Method

WS Trabalho de deformação (J)

Wi Volume de água injetado (m³)

 Coeficiente de Biot Willis

αT _{Coeficiente de dilatação térmica (1/}0_C)

 Parâmetro de fluidificação (1/Pa)

Γ Contorno

 Deformação

∆p Variação da poropressão (Pa)

∆𝑡_{𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜} Passo de tempo crítico (s)

∆T Variação de temperatura (0_C)

∆ Carga distribuída de tração em uma superfície livre (N/m²)

T

Deformação térmica vp

Deformação viscoplástica

ε̇vp_{ Taxa de deformação viscoplástica (1/s)}

e

Deformação elástica

t Deformação prescrita

xxi

𝜀_𝑦𝑦 Deformação normal na direção y

 Ângulo de Lode (invariante tensorial)

 Multiplicador plástico

 Viscosidade do fluido (Pa.s)

 Coeficiente de Poisson

 Massa específica (kg/m³)

sat Massa específica saturada da rocha (kg/m³)

 Tensão (Pa)

Tensão normal (Pa)

' Tensão normal efetiva (Pa)

𝜎_𝑛 Tensão normal a uma superfície (Pa)

𝜎′_𝑦𝑦 Tensão normal efetiva na direção y (Pa)

𝜎′𝑧𝑧 Tensão normal efetiva na direção z (Pa)

𝜎_𝑧𝑧 Tensão normal na direção z (Pa)

𝜎𝑦𝑙𝑑 Tensão de escoamento (Von Mises) (Pa)

𝜎′𝑚 Tensão média efetiva (invariante tensorial) (Pa)

 Porosidade

Ângulo de dilatação (rad)

1 1. INTRODUÇÃO

A produção brasileira de petróleo alcançou a marca de 528,202 m3 _{(3,322,294 barris) de}

óleo equivalente por dia, segundo o boletim de produção de janeiro de 2018 emitido pela Agência Nacional de Petróleo (ANP). Também segundo a ANP, as reservas estimadas brasileiras em 2017 são da ordem de 2,03 bilhões de m³ (12,8 bilhões de barris) de óleo. De acordo com o anuário estatístico de 2017 da ANP, o Brasil é nono maior produtor de petróleo do mundo.

As reservas e a produção mencionada anteriormente evidenciam o alto potencial produtivo de petróleo das bacias sedimentares brasileiras, que estão presentes em grande parte do território nacional. O mapa da Figura 1.1, apresentado por Milani et al. (2007) mostra a distribuição dessas bacias, tanto na parte continental quanto marítima.

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O mesmo boletim da ANP divulga a produção nacional de petróleo e gás natural por bacia sedimentar, os números estão na Tabela 1.1. É possível perceber que a maior parte da produção advém de duas bacias principais, a de Santos e a de Campos, ambas offshore.

Tabela 1.1 - Distribuição da produção de petróleo e gás natural por bacia (Fonte: Boletim de Produção da ANP de janeiro de 2018).

Bacia Petróleo (bbl/d) Gás Natural (Mm³/d) Produção Total (boe/d) Nº Campos Produtores Santos 1.204.592 57.444 1.565.907 10 Campos 1.251.616 23.483 1.399.318 41 Solimões 19.430 11.530 91.949 7 Espírito Santo 35.005 2.597 51.340 42 Potiguar 44.145 971 50.255 80 Recôncavo 31.051 2.132 44.463 78 Parnaíba 50 6.134 38.629 5 Sergipe 22.164 2.487 37.806 21 Camamu 422 4.441 28.353 1 Alagoas 2.821 1.097 9.718 12 Ceará 3.896 71 4.341 4 Tucano Sul 1 34 215 4 Total Geral 2.615.193 112.420 3.322.294 305 Obs: bbl: barril (1 bbl = 0,159 m³)

boe: barril de óleo equivalente por dia. 1 bbl de óleo equivale a 1000 boe de gás. Mm³: mil m³

Elevadas produtividades de hidrocarboneto são alcançadas e mantidas com o emprego de método suplementar de recuperação de petróleo. A injeção de água nos reservatórios é um método muito utilizado no mundo, e consiste em injetar um fluido não miscível para promover o deslocamento do óleo no meio poroso. Além do efeito de deslocamento, a injeção de água também ajuda a manter os níveis de poropressão do reservatório. Comprovadamente, o emprego dessa técnica eleva a produção de petróleo e maximiza a recuperação final.

Dependendo da composição dos fluidos produzidos, também se faz necessário reinjetar no reservatório outros fluidos além de água. No caso de reservatórios do pré-sal da Bacia de Santos, boa parte dos reservatórios são portadores de contaminantes, como, por exemplo, o CO2

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(Formigli Filho et al., 2009). Esses contaminantes são separados do óleo e do gás e podem ser reinjetados no reservatório.

Portanto, a concepção e operação de um sistema de produção de petróleo requer o conhecimento de algumas questões relativas à operação do sistema de injeção de fluidos, dentre as quais cabe destacar:

 Qual é a vazão máxima de injeção nos poços?

 Qual é a pressão máxima de fundo dos poços injetores de modo a manter a injeção contida na formação rochosa de interesse e também evitar a irrupção (breakthrough) do fluido injetado?

1.1. JUSTIFICATIVA

As respostas a essas questões ajudam a dimensionar e otimizar a injeção de fluidos nos reservatórios (água e gás) e maximizar a produção de petróleo. Para atender a demanda de volume de injeção de fluidos no reservatório, os poços injetores devem operar sob elevada pressão, podendo, a depender das condições geomecânicas, induzir fraturas na formação.

Há na literatura modelos clássicos de propagação de fraturas, como o PKN ou KGD, que apesar da sua robustez analítica, simplificam consideravelmente o comportamento mecânico das formações das rochas, empregando relações elásticas homogêneas e isotrópicas que nem sempre são válidas. Além disso, esses modelos assumem formas simplificadas para a geometria da fratura, sem levar em conta as heterogeneidades do meio rochoso no qual a fratura hidráulica se propaga.

O presente trabalho também investigará o efeito da temperatura do fluido injetado no fraturamento das formações rochosas, uma vez que a tensão térmica pode reduzir significativamente as tensões nas formações rochosas e, portanto, facilitar o fraturamento.

1.2. HIPÓTESE

O modelo constitutivo elastoplástico com superfície de plastificação do tipo Mohr-Coulomb, em conjunto com um modelo de propagação de fraturas em modo de tração, é capaz de reproduzir de maneira adequada a plastificação da rocha e o desenvolvimento de fraturas durante a injeção de água fria em formações rochosas.

4 1.3. OBJETIVOS

A presente tese propõe estudar o problema de injeção de água sob alta pressão em reservatórios de formações rochosas inconsolidados, considerando aspectos hidráulicos, poromecânicos e térmicos.

Pretende-se avaliar numericamente a evolução das tensões e deformações nas formações rochosas durante a injeção de água fria sob alta pressão no meio poroso, empregando também algoritmos de propagação de fraturas de tração. Ao final, é possível quantificar a deformação plástica e o fraturamento das formações rochosas.

1.4. ESCOPO DA TESE

A tese pretende estudar problemas de propagação de fraturas hidráulicas induzidas pela injeção de água fria em formações rochosas permeáveis, pouco rígidas e de baixa resistência ao cisalhamento e tração. A formação rochosa de interesse será um típico arenito inconsolidado a cerca de1500 m de soterramento capeado por folhelhos com comportamento elastoplástico dúctil.

A propagação de fraturas será avaliada por meio de modelo de dano contínuo baseado no conceito da Integral J. Esse modelo emprega um contorno de integração específico para a solução da Integral J que simplifica a sua solução. Considerando que os problemas que serão aqui abordados possuem geometria e condições de contorno bem definidas, foi empregado um caminho pré-definido para a propagação de fraturas.

Para tanto, emprega-se modelos numéricos que irão abranger a região em torno do poço, podendo chegar a poucas centenas de metros. O propósito é modelar os processos mecânicos que surgem nas formações rochosas na medida em que se injeta água sob diferentes pressões.

No Capítulo 2 será apresentada uma contextualização geral de um sistema de produção de petróleo e o papel da injeção de água nos reservatórios. Será feita uma revisão bibliográfica de alguns aspectos relativos à injeção de água em reservatórios de petróleo, a modelagem do escoamento em reservatórios, a modelagem tensão-deformação e a mecânica do fraturamento. No Capítulo 3 são apresentados os fundamentos teóricos relativos à injeção de água fria em reservatórios com propagação de fraturas hidráulicas. Equações de escoamento em meios porosos, transporte de calor e equilíbrio estrutural são apresentadas em conjunto com as relações constitutivas que regem os fenômenos.

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O Capítulo 4 trata dos métodos de solução adotados na tese. Descreve-se a formulação em volumes finitos e diferenças finitas adotada para o escoamento em meios porosos e o modelo em elementos finitos para o equilíbrio estrutural. Duas abordagens para o equilíbrio estrutural são apresentadas, uma dinâmica explícita e outra quase estática com formulação viscoplástica. Alguns aspectos computacionais são descritos nesse capítulo e também são apresentados alguns casos de validação para as soluções numéricas implementadas.

O Capítulo 5 apresenta três estudos de caso no qual foram empregadas as soluções numéricas-computacionais descritas no Capítulo 4. O primeiro caso trata de um problema de propagação vertical de uma fratura hidráulica em um meio poroso. O segundo e terceiro casos referem-se a modelagem do problema de injeção de água sob alta pressão em poços vertical e horizontal, respectivamente.

6 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1. CONTEXTO GERAL: RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO

Os reservatórios de petróleo são rochas porosas e permeáveis preenchidas com hidrocarbonetos que podem estar na fase oleica ou gasosa, dependendo de suas características químicas e das condições de temperatura e pressão. Na natureza, a estrutura anticlinal, ilustrada na Figura 2.1, é um ambiente típico de trapeamento do petróleo, no qual o gás preenche a porção mais superior da estrutura e a coluna de óleo vem em seguida antes do aquífero, obedecendo às densidades dos fluidos. A rocha capeadora (cap rock) se localiza imediatamente acima do reservatório, provendo o selo hidráulico responsável por manter o petróleo dentro da estrutura do reservatório. Suas principais características são: a maleabilidade para evitar fissuras durante eventos tectônicos, a baixa permeabilidade e a capacidade de prover selo capilar ao petróleo.

Figura 2.1– Acumulação de petróleo em uma estrutura anticlinal. Fonte: Enciclopédia Britânica (traduzida).

Uma vez formada a estrutura de acumulação de petróleo, é necessário haver a migração de petróleo da rocha geradora para o reservatório, que pode se dar por falhas geológicas ou camadas permeáveis. Todo esse processo de formação de um reservatório de petróleo requer sincronismo temporal entre a deposição das camadas geológicas, geração, migração e trapeamento de hidrocarbonetos (Thomas, 2004). Esses requisitos ajudam a explicar porque a formação de um reservatório de petróleo é rara e limitada a algumas poucas áreas do planeta.

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As rochas capeadoras (cap rock) são comumente os folhelhos ou as rochas salinas (reservatórios sub-sal). Essa última tem maior eficiência de selo do reservatório, devido: i - a característica de fluência que permite absorver deformações tectônicas sem fraturar, e; ii - ao elevado nível de tensões confinantes horizontais (próximo a vertical), que inibe processos de fraturamento hidráulico.

Os tipos de rocha reservatório mais comuns são os arenitos e os carbonatos, porém, existem os reservatórios não convencionais, dentre os quais cabe destacar os folhelhos (shale) e os basaltos, no qual o óleo se acumula nas fraturas naturais existentes no maciço rochoso.

Entre a descoberta e a produção final de um reservatório de petróleo, ocorrem diversas atividades que vão da investigação do volume poroso e qualidade do reservatório até a implantação de um sistema de drenagem e escoamento. A Figura 2.2 ilustra os principais processos.

Figura 2.2- Processos de desenvolvimento da produção de um campo de petróleo.

Para drenar o petróleo de um reservatório offshore é necessário instalar um sistema de produção que consiste em uma infraestrutura de tubulações que levam os fluidos drenados para

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uma Unidade Estacionária de Produção - UEP, ou simplesmente plataforma de produção. A Figura 2.3 ilustra um sistema de produção offshore.

A: Unidade Estacionária de Produção. B: Riser e ancoragem. C: Dutos de escoamento. D: Manifold. E: Sonda de perfuração. F: Árvore de Natal. G: Poço.

H: Sistema de Completação de Fundo de Poço.

I: Fundo Marinho. J: Rocha Capeadora. K: Rocha Reservatório.

Figura 2.3 – Figura ilustrativa de um sistema de produção offshore de petróleo. Fontes: Petrobras (2006) e Orlowski (2007) modificadas.

A drenagem do petróleo passa, em linhas gerais, pelas seguintes etapas:

1) Escoamento no reservatório. Os fluidos escoam no meio poroso em direção ao fundo do poço, onde o potencial hidráulico é menor. Ao chegar lá, os fluidos passam pelos equipamentos de completação de fundo do poço, que constituem a interface do poço com o reservatório.

2) Os fluidos escoam pela coluna de produção até o sistema de “cabeça de poço”, onde está a Árvore de Natal Molhada – ANM, que é um equipamento localizado no fundo marinho cuja função é controlar o poço. Durante o escoamento, o fluido despressuriza em decorrência do seu deslocamento vertical e da perda de carga na tubulação, promovendo a expansão dos fluidos e dissolução de gás.

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3) Após passar pela ANM, o fluido escoa por uma tubulação no fundo marinho até alcançar a posição da plataforma. Nesse momento, ele entra no trecho vertical da tubulação, conhecido como riser.

Ao chegar na plataforma de produção, o petróleo entra em um tanque separador e as fases óleo, água e gás seguem para diferentes destinos. A água produzida é, em geral, tratada e descartada no mar dentro de especificações técnicas definidas por órgãos reguladores (CONAMA, 2007), ou reinjetada no reservatório. O óleo pode ser exportado via oleoduto ou armazenado na UEP para posterior descarregamento em navio aliviador, mas em ambos os casos, o objetivo é transportar o óleo para uma refinaria. O gás é utilizado para gerar energia para a UEP e o restante é exportado via gasoduto ou queimado dependendo do escopo do sistema de produção.

2.2. MECANISMOS DE RECUPERAÇÃO DE PETRÓLEO

Para conceber um plano de drenagem que maximize a recuperação do petróleo de forma financeiramente atrativa, é necessário conhecer os mecanismos de produção do reservatório. Rosa et al. (2006) agrupa esses mecanismos em:

 Recuperação primária. O princípio básico desse método é drenar o petróleo a partir da energia natural do reservatório (Ahmed, 2000). Para que os mecanismos naturais de produção funcionem, é necessário promover a queda da poropressão (depleção) de forma a permitir que a expansão dos fluidos (óleo, gás e água) e contração do espaço poroso expulsem o petróleo do reservatório.

 Recuperação secundária. Método de recuperação suplementar à recuperação primária baseado na injeção de água ou gás imiscível (Ahmed, 2000). Esse método preconiza que, além de manter a pressão do reservatório em níveis elevados, os fluidos injetados desloquem o óleo em direção aos poços produtores, acelerando a recuperação do petróleo.

 EOR – enhanced oil recovery (EOR). Esse grupo de métodos especiais de recuperação inclui a injeção miscível de gás,injeção química e os métodos térmicos (US Department of Energy). Usualmente, emprega-se esses métodos quando já foi alcançada uma parte significativa da recuperação secundária ou quando existe grande volume de gás disponível para injeção. Já os métodos térmicos são empregados, em geral, nos casos no qual o óleo é altamente viscoso e há a necessidade de incrementar a sua mobilidade por meio do aquecimento pela injeção de um fluido aquecido (vapor).

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O emprego de métodos EOR pode se dar desde o princípio da vida produtiva do reservatório, seja por necessidade de viabilização da produção ou pela disponibilidade de recursos naturais (gás, CO2) e infra-estrutura de processamento e escoamento de fluidos. O

emprego antecipado desses métodos pode acelerar a recuperação do petróleo e maximizar o retorno econômico dos sistemas de produção.

2.3. RECUPERAÇÃO DE PETRÓLEO COM INJEÇÃO DE ÁGUA

Dois aspectos principais justificam a injeção de água em reservatórios para recuperação suplementar de petróleo: evitar queda da poropressão no meio poroso de modo a manter o potencial de produção dos poços; e garantir o deslocamento do óleo em direção aos poços produtores para aumentar a recuperação final do petróleo.

Segundo Rosa et al. (2006), Buckley & Leverett (1942) apresentaram um modelo matemático capaz de representar o deslocamento de óleo por um fluido imiscível (água). Os autores consideraram fluidos viscosos incompressíveis cuja velocidade de escoamento é regida pela permeabilidade relativa de cada um dos fluidos no meio poroso. O modelo permite entender como a injeção de água reduz a saturação de óleo no meio poroso até a saturação residual, com o progressivo aumento da produção de água. A Figura 2.4 ilustra o processo de deslocamento do óleo pela água injetada e a evolução da saturação de óleo no meio poroso conforme esse modelo.

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(b) Sw: saturação de água.

Swi: saturação de água irredutível. So: saturação de óleo.

Sor: saturação de óleo residual.

fw: fluxo fracionário de agua (=vazão de agua / vazão total).

Figura 2. 4 – Modelo de deslocamento de óleo por água no meio poroso. (a) modelo de deslocamaneto imiscível 1D de Buckley & Leverett; (b) perfil do fluxo fracionário de água

produzida em função da saturação média de água no meio poroso.

2.4. INJEÇÃO DE ÁGUA COM PROPAGAÇÃO DE FRATURAS

Baseado nesse modelo de Buckley & Leverett (1942), pode-se supor que a injeção de água com propagação de fraturas traz benefícios para a recuperação de petróleo, uma vez que a fratura pode elevar a vazão de injeção de água, promovendo, por conseguinte, uma drenagem mais rápida do petróleo.

O gráfico da Figura 2.5 ilustra o comportamento usual da pressão de fundo de um poço injetor em função da sua vazão. A relação entre essas variáveis tem uma tendência linear para baixas pressões, sendo que o coeficiente angular dessa reta é conhecido na literatura como Índice de Injetividade (II). Rosa et al. (2006) define essa relação como:

q_wi=2πkh 𝐵_𝑓μ (ln ( re rw) -3 4) (pi-p0) q_wi=II (p_i-p₀) (2.1)

onde k é a permeabilidade efetiva do meio poroso à água, h é a espessura do meio poroso, 𝐵_𝑓 é o fator volume formação da água,  é a viscosidade da água, re é o raio externo do reservatório

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(radial), rw é o raio do poço, pi é a pressão de injeção do poço (fluxo) e p0 é a pressão estática

do reservatório.

Acima de um certo valor de pressão de injeção, espera-se que a razão entre vazão e a pressão de injeção se altere devido surgimento de fraturas hidráulicas no meio poroso, conforme representado no gráfico esquemático da Figura 2.5. O fraturamento hidráulico se inicia quando a pressão de fundo do poço alcança a chamada pressão de quebra ou breakdown pressure (Zobak, 2007). Nesse momento, inicia-se o processo de propagação de fraturas hidráulcias, que pode progredir na medida em que se aumenta a pressão de injeção ou a temperatura da formação rochosa cai em decorrencia do seu resfriamento pelo fluido frio injetado.

Figura 2. 5– Incremento de injetividade do poço devido ao fraturamento hidráulico.

Adachia et al. (2007) descrevem alguns aspectos considerados na modelagem do fraturamento hidráulico em poços injetores, a saber:

 Elasticidade para estimar a resposta mecânica à propagação da fratura;  Escoamento do fluido injetado na fratura;

 Leak-off, ou filtração do fluido da fratura para o meio poroso;

 O transporte de sólidos no interior da fratura e a possível obstrução da fratura e/ou do meio poroso;

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Adachia et al. (2007) apresentam um histórico dos modelos matemáticos mais empregados na modelagem do fraturamento hidráulico, dentre os quais cabe destacar o PKN e KGD. Ambos são basicamente modelos elásticos de altura de fratura especificada e com representação da infiltração do fluido da fratura para um meio poroso homogêneo.

Adachia et al. (2007) também relatam os modelos Pseudo-3D, que consistem em combinações de modelos 2D (PKN ou KGD, por exemplo). Esses modelos representaram ganho de representatividade com o mínimo de custo computacional em relação aos modelos clássicos. Nesses modelos são empregadas soluções numéricas para o escoamento na fratura e para o problema linear elástico de abertura da fratura.

A Figura 2.6 ilustra os principais modelos destacados por Adachia et al. (2007).

Geometria Especificada

PKN KGD

Numéricos elásticos

Pseudo-3D Planar 3D com malha móvel.

Figura 2. 6 – Alguns modelos utilizados na indústria para estudos de fraturamento hidráulico. (Adachia et al., 2007, traduzida).

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Yew (1997) apresentou o desenvolvimento de um modelo 3D planar para modelar a propagação de fraturas, no qual, o problema elástico de deformação da fratura é resolvido por meio da solução em elementos finitos da equação integral 3D de contorno do problema.

Ji et al. (2006) propuseram um modelo numérico iterativo para solução do problema de propagação de fratura acoplado ao escoamento multifásico no reservatório e ao equilíbrio estrutural. Nesse trabalho, foi possível quantificar o leak-off do fluido da fratura para a formação, os deslocamentos na fratura e também os efeitos poromecânicos associados. A Figura 2.7 mostra os diferentes modelos físicos empregados no problema.

Figura 2. 7 - Modelo de fraturamento com injeção de água acoplado ao escoamento multifásico no meio poroso e ao modelo estrutural (tensão-deformação) (traduzido de Ji et al.,

2006).

O emprego de modelos para prever a propagação de fraturas hidráulicas procura, dentre outros objetivos, avaliar fenômenos indesejados que possam prejudicar a eficiência da injeção de água. As Figuras 2.8 (a) e (b) ilustram dois aspectos relativos ao controle de propagação de fraturas, a primeira refere-se à propagação horizontal excessiva das fraturas que pode promover a ineficiência na recuperação do petróleo, caso essas fraturas se aproximem excessivamente dos

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poços produtores. Já a Figura 2. 7 (b) ilustra o problema da contenção vertical das fraturas induzidas, no qual, a fratura pode se propagar para fora do horizonte geológico de interesse, injetando parte da água fora do reservatório.

Propagação de fraturas por longas

distâncias horizontais, podendo

resultar em produção prematura de água no poço produtor.

(a)

Propagação de fraturas

para fora da zona

geológica de interesse.

(b)

Figura 2. 8- Aspectos indesejados relativos à propagação de fraturas. (a) propagação por longas distâncias horizontais, (b) propagação para fora do horizonte de interesse.

A seguir serão abordados alguns fenômenos físicos inerentes ao processo de propagação de fraturas em meios poroso devido a injeção de água, a saber: escoamento no meio poroso; balanço de energia; comportamento estrutural do meio poroso; hidromecânica de fraturas; e mecânica do fraturamento.

2.5. ESCOAMENTO MULTIFÁSICO EM MEIOS POROSOS

O item 2.5.1 procurará descrever alguns aspectos gerais sobre os modelos black oil e composicional de comportamento do petróleo. Em seguida, nos tópicos 2.5.2 e 2.5.3, serão apresentadas revisões de literatura referente a duas técnicas de discretização do escoamento multifásico no meio poroso, uma mais largamente utilizada na indústria baseada no Método dos Volumes Finitos e outra baseada no Método dos Elementos Finitos.

16 2.5.1. COMPORTAMENTO DE HIDROCARBONETOS

O modelo mais tradicionalmente utilizado para representar o comportamento de hidrocarbonetos é o black oil ou -model (Aziz & Settari, 1979, Mattax & Dalton, 1989). Este modelo baseia-se fundamentalmente em dois parâmetros, o Fator Volume Formação (Bf) e a

Razão de Solubilidade (Rs). O primeiro relaciona o volume do óleo ou gás em condição (pressão

e temperatura) de reservatório e o volume em condição de superfície. No processo de escoamento do petróleo do reservatório até a superfície, o óleo expande devido a descompressão, mas também libera gás dissolvido, resultando em redução no seu volume total. Já a Razão de Solubilidade é uma medida do volume de gás dissolvido no óleo, sendo matematicamente definido como a razão entre o volume de gás dissolvido e o volume de óleo, ambos em condição de pressão e temperatura de superfície. A partir desses parâmetros, é possível escrever as equações de conservação de massa para o óleo e o gás no meio poroso, com consideração da compressibilidade dos fluidos e dissolução da fase gasosa.

O modelo black oil também prevê que as propriedades do hidrocarboneto, tais como os parâmetros B e Rs, viscosidade e densidade, variam em função da pressão. Dessa forma, o

equacionamento do escoamento de óleo e gás se torna não linear com a pressão.

Nessa formulação, é possível construir equações de escoamento para cada uma das fases fluidas do sistema (óleo e gás), além da equação da fase aquosa. O balanço de massa do gás inclui o gás livre no reservatório e também o gás dissolvido no óleo. O modelo de representação do hidrocarboneto abrange uma grande quantidade de tipos de petróleo, sendo, portanto, o método mais utilizado na simulação de reservatórios.

Já em casos no qual se pretende modelar o escoamento de óleo volátil ou de fluidos condensados, recomenda-se o emprego de um modelo do comportamento do hidrocarboneto conhecido como composicional (Fanchi, 2005). De acordo com esse modelo, o hidrocarboneto é descrito por componentes químicos (etano, metano, butano, etc.) ou pseudo-componentes (agrupamentos de componentes químicos) e o cálculo de equilíbrio vapor-líquido de cada componente permite estimar as composições das fases oleica e gasosa. A partir daí, as propriedades das fases (óleo e gás), como viscosidade e densidade são obtidas a partir da proporção dos componentes.

O equilíbrio vapor-líquido baseia-se na igualdade da fugacidade de cada componente químico nas fases fluidas presentes no sistema. A formulação do problema de equilíbrio vapor-líquido ainda requer a adoção de uma equação de estado (EOS) que correlaciona variáveis

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termodinâmicas. Dentre as EOS mais utilizadas em estudos de reservatórios, cabe destacar a equação de Peng-Robinson (1976).

O emprego de uma formulação composicional implica na solução de (𝑛_𝑝− 1)𝑛_𝑐+ 𝑛_𝑝 equações para a completa solução do problema de escoamento, onde np é o número de fases

presentes e nc é o número de componentes ou pseudo-componentes utilizados na representação

do hidrocarboneto. Logo, uma descrição composicional completa de um hidrocarboneto pode agregar um número considerável de variáveis ao problema de escoamento.

Mais recentemente, Pourafshary et al. (2009) estendeu o modelo composicional de escoamento do reservatório para o fluxo nas tubulações do poço. Equações únicas de conservação dos componentes químicos para ambos os meios físicos foram empregadas e resolvidas em um mesmo sistema de equações (acoplado), formando um modelo único de escoamento do meio poroso até a superfície.

2.5.2. MODELOS DE BASEADOS EM VOLUMES FINITOS E DIFERENÇAS FINITAS

Os principais simuladores comerciais de escoamento em reservatórios que se estabeleceram na prática de Engenharia de Reservatórios resolvem as equações de conservação de massa utilizando o método dos Volumes de Finitos e o Método das Diferenças Finitas para a aproximação de derivadas. Além disso, o escoamento é definido pela Lei de Darcy para a definição da velocidade de escoamento. Algumas publicações formaram a base conceitual da aplicação desses conceitos na área de reservatórios, dentre as quais cabe destacar Aziz & Settari (1979), Ertekin et al. (2001) e Mattax & Dalton (1990). Ertekin et al. (2001) denominaram a discretização comumente empregada na simulação de reservatórios como CVFD – Control Volume Basead on Finite Differences.

Devido ao carater não linear da equação de fluxo multifásico no meio poroso, utiliza-se o Método de Newton-Raphson (MNR) para resolver o resíduo da equação de balanço de massa nos volumes discretos (Aziz & Settari ,1979, Mattax & Dalton, 1990 e Ertekin et al., 2001). A solução transiente eficiente da equação de fluxo também requer o uso de versões modificadas do MNR, e dentre essa classe de métodos pode-se citar o IMPES (Implicit Pressure and Explicity Saturation) (Aziz & Settari, 1979, Ertekin et al., 2001, Chen et al., 2006). Nele, as pressões são resolvidas implicitamente e a saturação é resolvida a posteriori de forma explícita. A grande vantagem do método IMPES é a rapidez e duas grandes desvantagens são o tratamento explícito da mobilidade e da pressão capilar (Aziz & Settari, 1979), que podem resultar em

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instabilidades numéricas. Esses métodos clássicos de modelagem de escoamento, além de serem conservativos em massa, se mostraram robustos para as não linearidades presentes em um problema típico de escoamento em reservatórios, no qual as propriedades do fluido e do escoamento variam com a pressão e saturação das fases fluidas.

Cordazzo (2006) apresentou uma formulação para o problema de escoamento bifásico em reservatórios baseado em malhas não estruturadas. O método utiliza uma malha de elementos finitos composta por volumes finitos em torno dos nós, onde são calculadas as variáveis primárias (pressão e saturação). Os gradientes de pressão, requeridas pelo Método dos Volumes Finitos nas interfaces entre volumes, são calculadas com o uso das funções de forma polinomiais dos elementos finitos. Esse método contém os princípios conservativos do Método dos Volumes Finitos e as funções de forma do Método dos Elementos Finitos, e por essa razão foi denominado EbFVM – Método dos Volumes Finitos Baseado em Elementos.

Cordazzo (2006) apresentou resultados que vão de casos simples de poucos elementos até casos 2D de geometria complexa. Os primeiros tiveram como objetivo validar a formulação proposta com soluções analíticas e simuladores comerciais, e os casos mais complexos procuram explorar as potencialidades do método, no que se refere ao uso de malhas não estruturadas e refinamento local da malha. O autor também conseguiu demonstrar vantagens do método proposto nos casos de deslocamento imiscível com acentuada diferença de mobilidades.

2.5.3. MODELOS BASEADOS NO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Wang (2002) resume uma formulação estabilizada em elementos finitos para o problema de escoamento multifásico no reservatório, baseado nos trabalhos de Douglas (1980), Darlow et al. (1984) e Masud & Hughes (2002). Os métodos estabilizados procuram suprir deficiências de precisão e estabilidade do método clássico de elementos finitos. Além disso, o autor também destaca aspectos intrínsecos dos modelos de reservatórios que podem contribuir consideravelmente para a oscilação da pressão em soluções numéricas transientes, como a combinação de fluidos de baixa e alta compressibilidade no reservatório com regiões de permeabilidade relativamente muito baixas. O autor apresenta soluções acopladas com a equação de equilíbrio estrutural.

Murad et al. (2013) destaca as complexidades do problema de modelagem do escoamento bifásico imiscível em meios poroso deformáveis, dentre as quais cabe destacar a forte heterogeneidade das propriedades da rocha entre elementos adjacentes da malha e grandes

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contrastes de viscosidade entre os fluidos (água e óleo). Essas características demandam a implementação de metodologias especiais para manter a conservação de massa no Método de Galerkin clássico. Os autores propuseram um método baseado em elementos finitos mistos (mixed finite element), método dos volumes finitos e Galerkin descontínuo para contornar o problema. A formulação proposta baseada no espaço de Raviart-Thomas força a interpolação do fluxo normal nas faces do elemento finito para garantir a continuidade. Os autores ainda propuseram técnicas de pós-processamento do campo de velocidades para melhorar a conservação de massa entre os elementos da malha.

Conforme exposto nesses trabalhos, o emprego da técnica de elementos finitos para escoamento multifásico em meios poroso ainda é um tema de pesquisa, visto que é necessário empregar técnicas especiais para contornar os problemas de conservação de massa detectados no emprego do método de Galerkin tradicional.

2.6. COMPORTAMENTO MECÂNICO

A deformação e as tensões no meio poroso são variáveis fundamentais para a propagação de fraturas hidráulicas. Sobre o meio poroso atuam cargas estruturais decorrentes da variação de poropressão, da pressão exercida pelo fluido da fratura e da redução de temperatura devido a injeção de agua fria.

Zienkiewicz & Taylor (1989) e Bathe (2014) apresentaram as bases para a modelagem não-linear de sólidos em condição estática e dinâmica com o Método dos Elementos Finitos. A partir da forma fraca do equilíbrio estrutural discretizada pelo Método dos Elementos Finitos, são apresentados os problemas de não linearidade geométrica (grandes deslocamentos) e de material (relação constitutiva).

No que se refere às relações tensão-deformação, o modelo de Mohr-Coulomb ainda é largamente utilizado na prática de Geomecânica tanto para o estudo do comportamento de rochas quanto de fraturas naturais. Contudo, estudos do comportamento tensão-deformação em solos e rochas revelaram a necessidade de novos modelos constitutivos capazes de representar comportamentos complexos observados em problemas de campo.

Pedroso (2002) estudou esquemas implícito e explícitos de integração da relação constitutiva tensão-deformação. Foram analisados os modelos CAM-CLAY modificado e TIJ-CLAY. Os esquemas explícitos testados pelo autor foram baseados nos trabalhos de Sloan (1987 e 1992) e Sloan et al. (2001), e são eles: Forward-Euler, Modified-Euler, Runge-Kuta-England e Runge-Kuta-Dormand-Price. Em todos os testes, o Método Forward-Euler foi o

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computacionalmente mais eficiente. O Método Implícito, apesar de ser a referência por conta da estabilidade incondicional, foi o de pior desempenho computacional. No caso do modelo TIJ-CLAY, o autor não empregou um esquema implícito devido à complexidade de obtenção das derivadas necessárias para a aplicação do método.

Alternativamente aos métodos descritos anteriormente, Zienkiewicz e Cormeau (1974) apresentaram um método de solução do problema elastoplástico conhecido como viscoplástico, com o propósito de unificar as análises de viscoplasticidade e plasticidade. O trabalho é fundamentado nos conceitos de viscoplasticidade desenvolvidos por Perzyna (1966). Trata-se de um método de integração explícito no tempo que produz incrementos de deformação que geram sucessivos cálculos de equilíbrios estruturais com deformações viscoplásticas prescritas. Esse método admite que o estado de tensões fique inicialmente fora da superfície de plastificação e naturalmente retorne para a região de admissibilidade de tensões com a sucessiva aplicação dos incrementos de deformação viscoplástica no equilíbrio estrutural. A Figura 2.9 ilustra o processo de convergência do método viscoplástico de Perzyna e o método elastoplástico baseado em Newton-Raphson, conforme descrito por Smith & Griffiths (2007) e Stolle (1991).

(a) (b)

Figura 2. 9- Gráfico conceitual ilustrando o processo de convergência plástica de um algoritmo (a) elastoplástico baseado em Newton-Raphson ou initial stress – baseado em

Smith & Griffiths (2007) - e (b) viscoplástico ou initial strain.

Cormeau (1975), Stolle (1991) e Smith & Griffiths (2007) exploraram o método obtendo passos de tempo crítico para diversos materiais elastoplásticos comumente utilizados em

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Geotecnia. Stolle (1991) comparou o método viscoplástico, denominado initial strain com o método initial stress (baseados em Newton Raphson) e demonstrou que eles são equivalentes.

Gomes (2006) comparou diferentes métodos de integração elastoplásticos convencionais com o método viscoplástico ou elasto-viscoplástico. O autor aplicou os métodos em um caso clássico de cavidade cilíndrica onde foi possível comparar a qualidade dos resultados e aos tempos computacionais. Sobre esse último aspecto, o Método Explícito foi o de melhor desempenho computacional. Os métodos chegaram a resultados iguais (deslocamentos e tensões) para o problema da cavidade com o critério de Von Mises, porém, utilizando-se o critério de Mohr Coulomb para o mesmo problema, foi obtido maior resistência (patamar de ruptura) e maiores deslocamentos na análise viscoplástica em relação a elastoplástica convencional. O resultado comparativo similar foi obtido para um problema de estabilidade de taludes. O autor atribui as diferenças às considerações de propriedades viscosas do material e conclui que o método viscoplástico apresenta menor custo computacional.

Apesar de Gomes (2006) ter implementado uma versão do método viscoplástico com atualização da matriz de rigidez, pode-se aplicar o método sem a necessidade de reformulá-la. Essa característica pode representar um ganho computacional considerável no caso de modelos geomecânico em escala de reservatórios, ou seja, com milhões de elementos finitos, no qual o custo computacional de reforma da matriz de rigidez tangente pode ser elevado.

2.7. ACOPLAMENTO HIDROMECÂNICO

A variação de poropressão no reservatório decorrente da produção ou injeção de fluidos induz esforços no meio poroso que resultarão em deslocamentos, deformações e tensões. Wang (2000) revisa os conceitos que fundamentam o comportamento poroelástico dos meios porosos, dentre os quais cabe destacar o princípio das tensões efetivas, o significado das principais constantes poroelásticas, as equações diferenciais que descrevem o equilíbrio estrutural e o escoamento monofásico em meios porosos. O autor apresenta soluções analíticas para alguns problemas clássicos de consolidação com diversas condições de contorno, como sedimentação, erosão e carregamento periódico.

Wang (2000) também apresentou soluções analíticas para problemas poroelásticos em coordenadas cilíndricas, aplicáveis a análise de tensões em poços com pressurização interna da parede do poço. Por último, o autor também estudou o problema de produtividade de poços e os deslocamentos elásticos induzidos pela queda de poropressão em torno do poço. Dessa