AULA 5 –VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E SUAS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADEPARTE 1

AULA 5 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E SUAS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

PARTE 1

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

ESTATÍSTICA I

É uma variável x cujo valor é determinado pelo resultado de um experimento aleatório. Se esta variável aleatória x assume valores contáveis, então, é dita variável aleatória discreta. Se assume valores contidos em um ou mais intervalos, então, é dita variável aleatória contínua.

VARIÁVEL ALEATÓRIA

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

Número de caras após 3 lançamentos

Número de carros vendidos no mês

Número de clientes na cantina 1 hora

Altura de uma pessoa

Quantidade de azeite uma garrafa

Preço de uma casa

Apresenta todos os valores possíveis que uma variável aleatória pode assumir, bem como suas probabilidades correspondentes.

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

EXEMPLO 1:

Seja a tabela de frequências e frequências relativas do número de carros possuídos pelas famílias e x o número de veículos de uma família aleatoriamente selecionada.

Apresentar a distribuição de x.

Número de veículos Frequência Frequência Relativa

0 30 0,015

1 470 0,235

2 850 0,425

3 490 0,245

4 160 0,080

Total 2000 1,000

PROBABILIDADE

PROBABILIDADE VIA FREQUÊNCIA RELATIVA

Se um experimento é repetivo n vezes e um evento A é observado f vezes, então, a frequência relativa da probabilidade é calculada da seguinte forma.

n A f P ( ) = Eventos

de Total Número

A a Favoráveis Eventos

de Número )

( A = P

1000 200 Repetições de

Total Número

3 Face da Frequência )

( A = =

P

PROBABILIDADE

LEI DOS GRANDES NÚMEROS

As frequência relativas não representam probabilidades, mas sim probabilidades aproximadas. A frequência relativa se aproxima da probabilidade verdadeira conforme aumenta o número n de experimentos.

0 2 4 6 8 10 12 14

Face 1 Face 2 Face 3 Face 4 Face 5 Face 6

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

Portanto, a distribuição de probabilidades do número de veículos x é dado por:

Número de veículos (x) Frequência Frequência Relativa Probabilidade P(x)

0 30 0,015 0,015

1 470 0,235 0,235

2 850 0,425 0,425

3 490 0,245 0,245

4 160 0,080 0,080

Total 2000 1,000 1,000

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE !!!

Quando as frequências relativas representam a

população, como no exemplo 1, elas fornecem as

probabilidades efetivas dos resultados, e, portanto, a

distribuição das probabilidades da variável x.

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

A distribuição de probabilidades também pode ser apresentada graficamente pelo gráfico de barras.

0 0,10 0,20

GRÁFICO DE BARRAS

0,15 0,23

0,42

0,24

0 1 2 3 x

P(x)

0,30 0,40

0,08

4

0,50 ^{Número de} veículos (x)

Probabilidade P(x)

0 0,015

1 0,235

2 0,425

3 0,245

4 0,080

Total 1,000

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

A partir dos valores de distribuição de probabilidade é possível, também, determinar a probabilidade de uma família possua dois ou mais veículos.

Número de veículos (x)

Probabilidade P(x)

0 0,015

1 0,235

2 0,425

3 0,245

4 0,080

Total 1,000

P(x ≥≥≥≥ 2) = P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4) =

0,425 + 0,245 + 0,08 =

0,75

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

EXERCÍCIO 1

A tabela a seguir apresenta a distribuição de probabilidades do número de defeitos em uma máquina em uma semana.

Defeitos 0 1 2 3

Probabilidade 0,15 0,20 0,35 0,30

(A)Aprensente graficamente essa distribuição de probabilidades.

(B) Encontre a probabilidade de que o número de defeitos para esta máquina durante uma determinada semana seja:

(i)Exatamente 2, (ii) de 0 a 2, (iii) maior do que 1, (iv) no máximo 1.

PROBABILIDADE

Em uma faculdade 20% dos alunos são alérgicos à penicilina. Suponha que esse medicamento seja administrado em 3 pacientes. Sejam três pacientes selecionados aleatoriamente e o número x de pacientes com alergia. Encontrar a distribuição de probabilidade de x.

EXEMPLO 2:

Penicilina

PROBABILIDADE

A probabilidade de que um paciente seja alérgico a penicilina é 0,20. Suponha que esse medicamento seja administrado em 3 pacientes. Então, define-se:

EXEMPLO 2:

Sejam os eventos:

A = paciente 1 alérgico B = paciente 2 alérgico

1 Informações dadas:

P(A) = 0,2 P(B) = 0,2

2

C = paciente 3 alérgico P(C) = 0,2

Paciente 1

0,20 A

O diagrama de árvore correspondente ao problema proposto é dado a seguir.

PROBABILIDADE

EXEMPLO 2:

A

0,80

0,20

0,80 B

B

0,20

0,80 B

B

Paciente 2

C

C

C

C

C

C

C

C

Paciente 3 Resultado Final 008 , 0 ) ( A ∩ B ∩ C = P

032 , 0 ) ( A ∩ B ∩ C = P

032 , 0 ) ( A ∩ B ∩ C = P

128 , 0 ) ( A ∩ B ∩ C = P

032 , 0 ) ( A ∩ B ∩ C = P

128 , 0 ) ( A ∩ B ∩ C = P

128 , 0 ) ( A ∩ B ∩ C = P

512

,

0

)

( A ∩ B ∩ C =

P

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

A partir dos valores anteriores é possível determinar a distribuição de probabilidade de x.

Número de alérgicos (x)

Probabilidade P(x)

0 0,512

1 0,096

2 0,384

3 0,008

Total 1,000

008 , 0 ) ( A ∩ B ∩ C = P

032 , 0 ) ( A ∩ B ∩ C = P

032 , 0 ) ( A ∩ B ∩ C = P

128 , 0 ) ( A ∩ B ∩ C = P

032 , 0 ) ( A ∩ B ∩ C = P

128 , 0 ) ( A ∩ B ∩ C = P

128 , 0 ) ( A ∩ B ∩ C = P

512 , 0 ) ( A ∩ B ∩ C = P

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

EXERCÍCIO 2

De acordo com uma pesquisa, 60% dos alunos de uma

faculdade preferem acordar cedo. Dois alunos são

aleatoriamente selecionados. Seja x o número de alunos

dessa amostra, obter a distribuição de probabilidades

de x.

Primeiro aluno Segundo aluno

0,60

0,40 A favor

Contra

0,6*0,6 = 0,36

0,6*0,4 = 0,24

0,4*0,6 = 0,24

0,4*0,4 = 0,16 Mulher | Contra Homem| Contra Contra | A favor A favor| A favor

A probabilidade condicional pode ser vista através do diagrama de árvore.

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

EXERCÍCIO 2

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

A partir dos valores anteriores é possível determinar a distribuição de probabilidade de x.

Número de a favor (x)

Probabilidade P(x)

0 0,512

1 0,096

2 0,384

Total 1,000

0,6*0,6 = 0,36

0,6*0,4 = 0,24

0,4*0,6 = 0,24

0,4*0,4 = 0,16

PROPRIEDADE 1

A probabilidade de um evento simples E

ou composto A posiciona-se no intervalo entre 0 e 1. Isto é:

PROBABILIDADE

0 ≤ P(E _i ) ≤ 1 ou 0 ≤ P(A) ≤ 1

PROPRIEDADE 2

A soma das probabilidades de todos os eventos simples E

é igual a 1.

1 ) ( )

( ) ( ) ( )

(

1

= +

+ +

+

∑ =

− n

n

i

i

P E P E P E P E

E

P L

PROPRIEDADE 1

A probabilidade de uma variável aleatória discreta x é tal que para todo valor que x

pode assumir é dado por:

0 ≤ P(x _i ) ≤ 1

PROPRIEDADE 2

A soma das probabilidades de todos os valores possíveis x

é igual a 1.

1 ) ( )

( ) ( ) ( )

(

1

= +

+ +

+

∑ =

− n

n

i

i

P x P x P x P x

x

P L

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

Representa o valor que se espera que ocorra por repetição, em média, caso um experimento seja repetido um grande número de vezes e é representada por µ e dada por:

MÉDIA ARITMÉTICA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA X

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

∑

=

=

i

i i

p x x

1

) µ (

A média aritmética de uma variável aleatória discreta, x, também é chamada de valor esperado e é representada por E(x), ou seja:

∑

=

=

i

i i

p x x x E

1

) ( )

(

O desvio-padrão de uma variável aleatória x mede a dispersão de sua distribuição de probabilidades e é calculado como:

DESVIO-PADRÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA X

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

Alternativamente, os cálculos podem ser facilitados com a seguinte equação:

( )

[ ]

∑

=

−

=

i

i

i

p x

x

1

2

( )

µ σ

∑

−

=

i

i i

p x x

1

2

2

( ) µ

σ

EXEMPLO 3:

Usar os dados do Exemplo 2 para calcular a média e a variância da distribuição de probabilidade da variável x.

Número de alérgicos (x

)

Probabilidade P(x)

0 0,512

1 0,096

2 0,384

3 0,008

Total 1,000

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

EXEMPLO 3:

Usar os dados do Exemplo 2 para calcular a média e a variância da distribuição de probabilidade da variável x.

Número de alérgicos (x

)

Probabilidade P(x)

x

*p(x

) x

x

*p(x

)

0 0,512 0 0 0

1 0,096 0,096 1 0,096

2 0,384 0,768 4 1,536

3 0,008 0,024 9 0,072

Total 1,000 0,888 14 1,704

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

EXEMPLO 3:

Usar os dados do Exemplo 2 para calcular a média e a variância da distribuição de probabilidade da variável x.

Número de alérgicos (x

)

Probabilidade P(x)

x

*p(x

) x

x

*p(x

)

0 0,512 0 0 0

1 0,096 0,096 1 0,096

2 0,384 0,768 4 1,536

3 0,008 0,024 9 0,072

Total 1,000 0,888 14 1,704

888 , 0 ) (

1

=

= ∑

= N

i

i i

p x

µ x ( ) 1 , 704 ( 0 , 888 )

0 , 95

1

2

2

− = − =

= ∑

= N

i

i i

p x

x µ

σ

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

EXERCÍCIO 3:

Usar os dados do Exercício 2 para calcular a média e a variância da distribuição de probabilidade da variável x.

Número de a favor (x)

Probabilidade P(x)

0 0,512

1 0,096

2 0,384

Total 1,000

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

Número de a favor (x

)

Probabilidade P(x)

x

*p(x

) x

x

*p(x

)

0 0,512 0 0 0

1 0,096 0,096 1 0,096

2 0,384 0,384 4 1,536

Total 1,000 0,480 5 1,704

888 , 0 ) (

1

=

= ∑

= N

i

i i

p x

µ x ( ) 1 , 704 ( 0 , 888 )

0 , 95

1

2

2

− = − =

= ∑

= N

i

i i

p x

x µ

σ

EXERCÍCIO 3:

Usar os dados do Exercício 2 para calcular a média e a variância da distribuição de probabilidade da variável x.

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

EXERCÍCIO 4:

Usar os dados da tabela dada a seguir para calcular a média e a variância da distribuição de probabilidade da variável x.

x P(x)

0 0,15

1 0,20

2 0,35

3 0,30

Total 1,000

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

EXERCÍCIO 4:

Usar os dados da tabela dada a seguir para calcular a média e a variância da distribuição de probabilidade da variável x.

x p(x) x*p(x) x

x

*p(x)

0 0,15 0 0 0

1 0,20 0,20 1 0,20

2 0,35 0,70 4 1,40

3 0,30 0,90 9 2,70

Total 1,000 1,80 14 4,30

80 , 1 30 , 0

* 3 35 , 0

* 2 20 , 0

* 1 15 , 0

* 0 ) (

1

= +

+ +

=

= ∑

= N

i

i i

p x µ x

06 , 1 24 , 3 30 , 4 ) 80 , 1 ( 30 , 4 )

(

1

2

2

− = − = − =

= ∑

= N

i

i i

p x

x µ

σ

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

OBRIGADO !!!