AULA 5 –VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E SUAS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADEPARTE 2

(1)

AULA 5 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E SUAS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

PARTE 2

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

ESTATÍSTICA I

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

FATORIAL

O símbolo n!, n fatorial, representa o produto de todos os números inteiros de 1 até n. Isto é:

1

* 2

* ...

* ) 1 (

*

!=n n−

n e 0!=1

Além disso:

)!

1 (

*

!=n n− n

EXEMPLO 4: 5!=5*4*3*2*1=120

EXEMPLO 5: (5−5)!=0!=1

EXEMPLO 6: 6!=6*5!=6*120=720

(2)

COMBINAÇÕES

Fornece o número de maneiras que um conjunto de n elementos podem ser combinados para formar subconjuntos contendo x elementos.

)!

(

!

, x n x

n x

C n C

C_x _n _x _xⁿ

n = −







=

=

EXEMPLO 7:

Três opções de cápsulas de café serão escolhidas a partir de um total de cinco. Quantas são as possíveis combinações?

A B C D E

A B C A B D A B E A C D A C E

A D E B C D B C E B D E C D E

)! 10 3 5 (

! 3

! 5

3

5 =

= − C

(3)

EXEMPLO 8:

Quantas são as possíveis combinações da Megasena se 6 números são escolhidos a partir de 60 números possíveis?

! 54

! 6

! 54

* 55

* 56

* 57

* 58

* 59

* 60 )!

6 60 (

! 6

! 60

6

60 =

= − C

3

* 4

55

* 56

* 57

* 58

* 59 1

* 2

* 3

* 4

* 5

* 6

55

* 56

* 57

* 58

* 59

*

60 =

=

55

* ) 7

* 2 (

* 57

* ) 19 (

* 3 59

* 4

55

* ) 7

* 8 (

* 57

* ) 3

* 19 (

*

59 =

=

860 . 063 .

=50

Ocorre quando 4 condições são satisfeitas:

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES BINOMIAIS

(1) Um teste (prova de Bernoulli) é repetido n vezes em condições idênticas.

(2) Só existem 2 resultados: sucesso ou insucesso.

(3) A probabilidade de sucesso é p e insucesso q=1-p e constantes durante todos os testes.

(4) Os testes são independentes.

(4)

X₀

A ruína do apostador

X₁ X₁

Perde (1-p) Ganha (p)

•••

••• ••••••••••••

X_t Fim de jogo X_t

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES p

p -1 +1

-1

Neste livro o protagonista resolve tomar decisões empregando o resultado da jogada de um dado !

(5)

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES BINOMIAIS

Seja x variável aleatória que fornece o número de sucesso em n testes de um experimento binomial. A distribuição de probabilidades de x é denominada de distribuição de probabilidades binomiais. A probabilidade de ocorrer exatamente x sucessos em n testes é dada por:

x n x x

n C p q

x

P( ) = ⁻

Onde:

n – número de testes,

p – probabilidade de sucesso, q – probabilidade de insucesso, x – número de sucessos em n testes e n-x – número de insucesso em n testes.

EXEMPLO 9:

Foi verificado que 5% dos produtos de uma empresa são defeituosos. Um inspetor de controle de qualidade seleciona aleatoriamente 2 produtos. Qual a probabilidade de 1 deles ser defeituoso? E pelo menos 1?

(6)

Primeiro Produto Segundo Produto

0,95

0,05

P

D _DD

DP PD PP

P(P∩∩∩∩P)=0,9025

P(P∩∩∩∩D)=0,0475

P(D∩∩∩P)=0,0475 ∩

P(D∩∩∩∩D)=0,0025 EXEMPLO 9:

Qual a probabilidade de 1 deles ser defeituoso? E pelo menos 1?

0,95

0,05

0,05 0,95

EXEMPLO 9:

Qual a probabilidade de 1 deles ser defeituoso? E pelo menos 1?

1 2 1

1

2 (0,05) (0,95) )

1

(x = = C p q ⁻ = C ⁻

P _n _x ^x ⁿ ^x

Onde:

n – número de testes = 2,

p – probabilidade de sucesso (defeito)= 0,05, q – probabilidade de insucesso = 0,95,

x – número de sucessos em n testes = 1 e

n-x – número de insucesso em n testes = (2-1) = 1.

) 0475 ,

0 (

* 2 05 , 0

* 95 , 0

* 2 ) 1

(x = = =

P

(7)

Primeiro Produto Segundo Produto

0,95

0,05

P

D _DD

DP PD PP

P(P∩∩∩∩P)=0,9025

P(P∩∩∩∩D)=0,0475

P(D∩∩∩P)=0,0475 ∩

P(D∩∩∩∩D)=0,0025 EXEMPLO 9:

Qual a probabilidade de 1 deles ser defeituoso? E pelo menos 1?

0,95

0,05

0,05 0,95

EXEMPLO 9:

) 2 (

) 1 (

) 1

(x ≥ = P x = + P x = P

Qual a probabilidade de 1 deles ser defeituoso? E pelo menos 1?

2 2 2

2

2 (0,05) (0,95) )

2

(x = = C p q ⁻ = C ⁻

P _n _x ^x ⁿ ^x

Onde:

n – número de testes = 2,

p – probabilidade de sucesso (defeito)= 0,05, q – probabilidade de insucesso = 0,95,

x – número de sucessos em n testes = 2 e

n-x – número de insucesso em n testes = (2-2) = 0.

0025 ,

0 05 , 0

* 05 , 0

* 1 ) 2

(x = = =

P

0025 , 0 0475 , 0

* 2 ) 2 (

) 1 ( ) 1

(x ≥ = P x = +P x = = +

P

(8)

FORMATO DA BINOMIAL

Para qualquer número de testes n, a distribuição de probabilidades binomial é:

•Simétrica se p = 0,5;

•Assimétrica à direita se p < 0,5;

•Assimétrica à esquerda se p > 0,5.

EXEMPLO 10:

Para n = 4:

p=0,5 p=0,3 p=0,8

x p(x) p(x) p(x)

0 0,0625 0,2401 0,0016

1 0,2500 0,4116 0,0256

2 0,3750 0,2646 0,1536

3 0,2500 0,0756 0,4096

4 0,0625 0,0081 0,4096

EXEMPLO 10:

Para n = 4:

0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500

p=0,50 p=0,30 p=0,80

(9)

EXEMPLO 10:

Para n = 4:

MÉDIA ARITMÉTICA E DESVIO=PADRÃO DA BINOMIAL

A média e o desvio-padrão da distribuição de probabilidade binominal são dados por:

= np µ

= npq δ

µµµµ- média aritmética n – número de testes p – probabilidade de sucesso

δδδδ- desvio-padrão n – número de testes

p – probabilidade de sucesso, q = 1-p.

(10)

As mesmas condições das binomiais, exceto pelo fato de que os experimentos não são independentes. Neste caso, a probabilidade de ocorrer exatamente x sucessos é dada por:

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES HIPERGEOMÉTRICAS

n N

x r n xN r

C C x C

P( ) = ⁻ ⁻

Onde:

N – número total de elementos da população,

r – sucessos na população (N-r = insucessos na pop.), n – número de testes (tamanho da amostra),

x – sucessos em n testes (n-x = insucessos na amostra).

Sucessos na pop. e na amostra

Insucessos na pop. e na amostra Total na pop. e na amostra

EXEMPLO 10:

Uma empresa remeteu 25 peças para uma loja, mas 5 destas tinham defeito. Quando isto foi descoberto, 4 peças das 25 tinham sido vendidas. Qual a probabilidade de que 3 das 4 vendidas serem perfeitas e 1 ter defeito?

(11)

EXEMPLO 10:

4 25

1 5 3

20 *

) 3

( C

C C

C C x C

P

n N

x r n xN

r =

=

= ⁻ ⁻

Onde:

N – número total de elementos da população = 25, r – sucessos (perfeitas) na população = 20 (N-r = 5), n – número de testes = 4,

x – sucessos (perfeitas) em n testes = 1 (n-x = 3).

)!

4 25 (

! 4

! 25

)!

1 5 (

! 1

!

* 5 )!

3 20 (

! 3

! 20

−

= −

4506 , 12650 0

5

* 1140 =

=

EXEMPLO 10 – FORMA ALTERNATIVA:

4 25

3 20 1

5 *

) 1

( C

C C

C C x C

P

n N

x r n xN

r =

=

= ⁻ ⁻

Onde:

N – número total de elementos da população = 25, r – sucessos (defeitos) na população = 5 (N-r = 20), n – número de testes = 4,

x – sucessos (defeitos) em n testes = 1 (n-x = 3).

)!

4 25 (

! 4

! 25

)!

3 20 (

! 3

!

* 20 )!

1 5 (

! 1

! 5

−

= −

4506 , 12650 0

1140

*

5 =

=

(12)

Ocorre quando 3 condições são satisfeitas:

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DE POISSON

(1) X deve ser variável aleatória discreta.

(2) As ocorrências devem ser aleatórias.

(3) As ocorrências devem ser independentes.

Exemplos que seguem distribuição de Poisson:

(A)Número de acidentes em uma rodovia em 1 semana;

(B)Número de clientes que entram em um supermercado em 1 hora;

(C)Número de aparelhos de televisão vendidos em 1 semana.

Número de passageiros que chegam em um aeroporto

Número de pacientes que chegam em um consultório

A chegada de pacientes em um consultório ou em um aeroporto não são aleatórias, pois os horários de chegadas são agendados e a distribuição de Poisson não pode ser aplicada. A fórmula de distribuição de probabilidade de Poisson é:

) !

( x

x e P

x λ

λ ⁻

=

Onde: λλλλ é a média aritmética do

(13)

EXEMPLO 11:

Uma empresa oferece exame gratuito de seus produtos por 7 dias. Foi observado que em média 2 de 10 produtos vendidos são devolvidos. Usando Poisson, encontrar a probabilidade de exatamente 6 produtos de 40 vendidos serem devolvidos.

1221 , 720 0

) 00033546 ,

0 (

* ) 14 , 262 (

! 6 8 ) !

6 (

8

6 = =

=

= ⁻ e⁻

x x e

P

x λ

λ

Observar que se 2 em 10 são devolvidos, então:

2 em 10 são devolvidos λ em 40 são devolvidos

Logo, λ = 8 produtos devolvidos.

EXEMPLO 12:

O Exemplo 11 pode ser resolvido utilizando-se uma binomial. Para tanto, observar que a probabilidade de sucesso (probabilidade produto devolvido) é p = 2/10 = 0,20, o número de testes é n = 40 (produtos vendidos) e o número de sucessos é x = 6 (produtos devolvidos).

6 40 6 6

) 40

6

(x = = C p q ⁻ = C p q ⁻ P _n _x ^x ⁿ ^x

34 6(0,8) )

2 , 0 ( )!* 6 40 (

! 6

! 40

= −

1246 , 0 00050706 ,

0

* 000064 ,

0

* 380 . 838 .

3 =

=

Na verdade, para n grande, isto é n > 25 e µµµµ ≤≤≤≤ 25, é mais fácil usar a Poisson do que a binomial. Se n > 25 e µµµµ > 25 é melhor usar a distribuição Normal (próximo capítulo).

(14)

EXEMPLO 13:

Uma loja consegue vender 0,9 carros em média por dia.

Calcular e desenhar o gráfico da distribuição de Poisson associada para valores do número de vendas de 0 até 6 carros.

x P(x)

0 0,4066 1 0,3659 2 0,1647 3 0,0494 4 0,0111 5 0,0020 6 0,0003

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

1 2 3 4 5 6 7

MÉDIA ARITMÉTICA E DESVIO-PADRÃO DA POISSON

A média e o desvio-padrão da distribuição de probabilidade de Poisson são dados por:

λ µ =

λ δ =

µµµµ- média aritmética λλλλ– média de ocorrências

δδδδ- desvio-padrão λλλλ– média de ocorrências

(15)

AULA 5 –VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E SUAS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADEPARTE 2

= np µ

= npq δ

λ µ =

λ δ =

OBRIGADO !!!