META-HEURÍSTICAS AULA 1

(1)

1

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 26 de Fevereiro 2014

META-HEURÍSTICAS AULA 1

2

Matemática: Modo de usar

Para que serve a modelagem matemática ?

O Pensador, A. Rodin

A modelagem matemática pode ser útil na tomada de decisões fornecendo uma linguagem formal através da qual pode-se

resolver ou pelo menos encontrar boas soluções para problemas!

(2)

3

4

(3)

5

Diagnóstico de Câncer de Mama

6

Problemas de Programação Linear

Max c^tx s.a: Ax ≤≤≤≤b

x ≥≥≥≥0

∇

∇∇

∇f

Ponto Ótimo

Problema PL

(4)

7

4

Diagnóstico de Câncer de Mama com PL

8

5

(5)

9

10

P1

,

:

, 0

t t

y z

e y e z Min m k

Sa A y e e

B z e e

y z

ω γ

+

+ ≥ +

− ≤ −

≥

P3 z⁽¹⁾>0

Z⁽¹⁾>0 Benignos classificados erroneamente por P1.

y⁽¹⁾>0 Malignos classificados erroneamente por P1.

P2 y⁽¹⁾=0 P1 P3

Modelo de Programação Linear

(6)

11

P1

P3 P2

z > 0

Bω− ≤ −z eγ e

Benignos classificados incorretamente !

Usar P3 para separar corretamente !

Usar P2 para separar corretamente ! y > 0

Malignos classificados incorretamente !

Aω+ ≥ +y eγ e

Modelo de Programação Linear

12

Problemas de Programação Não-Linear

Max f(x) s.a: g(x)=0

x ≥≥≥≥0

∇

∇∇

∇f

Ponto Ótimo

Problema PNL

(7)

13

1 Vertedor

θθθθ(u) h_b

Casa de q máquinas Adução

φφφφ(x)

x v

Vertedor 1

4 2

3

2 Reservatório

3 Adução e casa de máquinas

4 Canal de fuga u

Modelo de Otimização para Hidrelétricas

14

Sistema Interligado Nacional (SIN)

Reservatório Fio d’água 11

12

14 15 16 17 18 19 20 13

21 22 23

24 25 2 3 1

7

9 10 8

27 28 29 30 31 26 32

33 34 45

35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

46 47 48 49 51 50

Legenda:

Oceano Atlântico 4

5 6

52 53 54

55 56

57 58

59 60

61

62 63

64 69 68 67 66

65 70

74 72 71

73

O c e a n o A t l â n t i c o

Furnas

(8)

15

Fluxo de Potência no SIN

Barras

Geração: Carga:

Ramos

Linhas de Transmissão

Transformadores

Rede

16

LIMITES DE INTERCÂMBIO DO BRASIL

(9)

17

18

(10)

19

Os parâmetros do modelo são conhecidos com certeza: Os valores dos coeficientes da função objetivo (lucro ou custo), coeficientes das restrições e disponibilidade de material são conhecidos e sem incerteza.

PROPRIEDADES para os PARÂMETROS

PLANEJANDO COM INCERTEZA

20

EXISTE RISCO ZERO?

Vídeo sobre energia elétrica

PLANEJANDO COM INCERTEZA

(11)

21

G1.COM, 31/07/2012 – Edição do dia 31/07/2012

CASO REAL

22

Problemas de Programação Inteira

Max f(x) s.a: Ax ≤≤≤≤b

x ≥≥≥≥0 x inteiro

∇

∇∇

∇f

Ponto Ótimo

Problema PI

(12)

23

Quais itens acima devem ser colocados na mochila ? Problema da Mochila

24

Para trabalho:

Para praia:

Criar lista:

Utilidade Volume

Fornecer uma nota para cada item (subjetivo !)

Medir para cada item (objetivo, mas dá muito trabalho !)

Problema da Mochila

(13)

25

A mesma estratégia pode ser utilizada para determinar a composição de um portfólio de

projetos:

Gestão de um Portfólio de Projetos

26

Projetos Portfólio

P1

P2

P3

P4

(14)

27

Projetos Portfólio

P1

P2

P3

P4

Máximo de projetos do portfólio.

M

28

A Gryphon Investimentos S.A. gerencia recursos de terceiros para decidir a composição de uma ou mais

carteira de investimentos:

Carteira de Investimentos

(15)

29

A Tabela 1 mostra os dados dos títulos existentes.

Determine qual o percentual do total deve ser aplicado em cada tipo título.

Título Retorno anual Anos para vencimento

Risco

1 8,7% 15 1 - Muito baixo

2 9,5% 12 2 - Regular

3 12,0% 8 4 - Alto

4 9,0% 7 2 - Baixo

5 13,0% 11 4 - Alto

6 20,0% 5 5 - Muito Alto

30

Variáveis de Decisão:

33% 34% 33%

Percentagem do total investido Dinheiro

(16)

31

Deve ser considerado que:

(A)Todo dinheiro deve ser alocado em alguma das opções disponíveis;

+

+ =

P₁+ P₂ + P₃ = 100

P1% P2% P3% 100%

32

(B)Não mais que 25% do total aplicado deve ser investido em uma única aplicação;

≤ ≤ ≤

(17)

33

(C)O total aplicado em títulos de alto risco deve ser, no máximo, de 50% do total investido;

P₂+ P₃ + P₄ ≤ 50

34

(D)Um valor superior a 50% do total aplicado deve ser investido em títulos de maturidade maior que

10 anos.

P₁+ P₃ ≥ 50

(18)

35

Problema do Caixeiro Viajante

(1) Percorrer todas as cidades.

(3) Minimizar a distância

percorrida !

(2) Passar por todas apenas uma única vez.

Problema do Caixeiro Viajante 36

4

3 2 1

1 4 2 3 4 2 3 1 2 3 1 4 3 1 4 2

4

3 2 1

1 4 2 3 4 2 3 1 2 3 1 4 3 1 4 2 4

3 2 1

1 3 2 4 3 2 4 1 2 4 1 3 4 1 3 2

4

3 2 1

1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

Para o Problema do Caixeiro Viajante Simétrico existem (n-1)!/2 soluções distintas em termos de

distância !

(19)

37

Problema do Caixeiro Viajante

4

3 2

1 NP-Difícil

Variáveis inteiras

38

Problemas NP-difícil

Cidades (n-1)!/2 Tempo

5 12 Insignif.

10 181440 0.001 s

15 43 bilhões 10 min 20 6.0 x 10¹⁶ 36 anos 25 3.1 x 10²³ 235 milhões

de anos Quanto tempo

para resolver usando 1 computador capaz de fazer

1 bilhão de adições por segundo ?

E para valores acima de 26 ?

(20)

39

Perfuração de Placas de Circuitos

40

1 2

3 4 5

6 7

8 9

10 11

12

13 14

Qual Trajeto Percorrer ?

(21)

41

1 2

3 4 5

6 7

8 9

10 11

12

13 14

Qual Trajeto Percorrer ?

42

EXAME.COM, 23/07/2012 – Consumidores – Punições da Anatel elevam pedidos de portabilidade

Redes de Telefonia Celular em ação

(22)

43

1

Uso do celular 1

Capta ligação 2

2

Rede de Telefonia Celular em ação

Central 3

3

Rede Telefone 4

4

Formulação do problema 44

8 9 10

5 6 7

4

1 2 3

3 4

1 2

1 1 2 2

Célula Central

1 2 3 4

2

1

(23)

45

Formulação do problema

(1) Custo de Cabeamento

3 4

1 2

Custo c₁₂: Custo de cabeamento entre a células 2 e Central 1.

Custo c₃₄: Custo de cabeamento entre a célula 3 e a Central 2 localizada na Célula 4.

2

1

46

(2) Custo de Handoff

3 4

1 2

h₁₂= 0

Custo h₂₄: Custo de se mover uma ligação para uma célula adjacente alocada para uma antena diferente. No caso, de se mover da célula 2 (Central 1)

para a célula 4 (Central 2).

2

1

h₃₄= 0

(24)

47

(3) Capacidade das Centrais

3 4

1 Demanda λ λ λ λ₂ 2

1

Demanda λ λ λ λ₃ Demanda λ λ λ λ₄

+ +

≤≤≤≤ Capacidade M₂

Demanda λ λ λ λ₁

≤≤≤≤ Capacidade M₁ 2

48

(4) Uma única central para cada célula

3 4

1 2

1 1e2 2 2

Célula Central

1 2 3 4

(25)

49















=

≤

=

− +

∑

∑ ∑ ∑∑∑

=

= = = = =

, , 1 e , , 1 para 1 ou 0

m , 1, k para

, 1 para 1 a

sujeito

) 1 (

Minimizar

1 1

1 1 1 1 1

m k

n i

x

M x

n i

x

y h

x C

ik n

i

k ik i m

k ik n

i

n

i n

j

ij m

k ij ik

m

k ik

L L

L L λ

onde: se existe alocação da célula i para a central k x_ik= 1, c_iké o custo de cabeamento da célula i para a central k,

hijé o custo de handoff entre as células i e j,

λλλλié a demanda da célula i, M_ké a capacidade da central k e y_ijé igual a 1, se células i e j estão alocadas na mesma central k.

∑

=

= ^m

k

jk ik

ij x x

y

1

(2) Handoff (1) Cabeamento

(3) Capac.

(4) Única.

50

Representação da Solução

1 1 2 2

Célula 1 2 3 4

Central

3 4

1 2 2

1

Número de possíveis soluções = centrais^células Em um problema médio: 5⁶⁵≈≈≈≈10⁴⁵!

(26)

51

Comparando Soluções

52

Outro Problema Real

FOLHA ON-LINE, 03/11/2011 – 08H30 – Oi bloqueia DDD via Embratel e Anatel intervém

(27)

53

PESQUISA OPERACIONAL

Consiste em utilizar modelos matemáticos, estatística e algoritmos de modo a gerar métodos para cujos resultados podem ser utilizados para melhor interpretar dados e tomar decisões.

O filme é baseado no livro Moneyball:

The Art of Winning an Unfair Game de Michael Lewis, que por sua vez é baseado na história verdadeira de Billy Beane, gerente geral do time de basebol do Oakland Athletics.

Moneyball se foca nas tentativas de Beane de criar um time competitivo para a temporada de 2002 de Oakland, apesar da situação financeira desfavorável da equipe, usando uma sofisticada modelagem matemática dos jogadores.

O que é Pesquisa Operacional?

54

Habilidades a serem usadas neste curso

Modelagem Matemática

Lógica e Linguagem de Programação (Matlab, Scilab, Python, C, Java)

Estatística

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55

Bibliografia

56

Bibliografia

(29)

57

Bibliografia

58

OBRIGADO !!!

FIM !!!