Carl B. Boyer

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^RADUÇÃO ^DE

HELENA CASTRO

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^REFÁCIO ^DE

ISAAC ASIMOV

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www.blucher.com.br

“Boyer e Merzbach destilaram milhares de anos de matemática nesta crônica fascinante. Dos gregos a Gödel, a matemática é brilhante; o elenco de personagens é notável; o vaivém das ideias é evidente em toda parte... Sem dúvida, esta é – e continuará sendo por muito tempo – uma história clássica em um volume da matemática e dos matemáticos que a criaram.”

William Dunham, autor de Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics

“Ao mesmo tempo de leitura fácil e erudito... uma excelente introdução ao assunto.”

J. David Bolter, autor de Turing’s Man

“Quando lemos um livro como História da Matemática, temos a fi gura de uma estrutura crescente, sempre mais alta e mais larga e mais bela e magnífi ca e com uma base que é tão imaculada e tão funcional agora como era quando Tales elaborou os primeiros teoremas geométricos, há quase vinte e seis séculos.”

Isaac Asimov (do prefácio)

Por mais de vinte anos, História da Matemática tem sido texto de referência para aqueles que querem aprender sobre a fascinante história da relação da humanidade com números, formas e padrões. Esta edição revisada apresenta uma cobertura atualizada de tópicos como o último teorema de Fermat e a conjectura de Poincaré, além de avanços recentes em áreas como teoria dos grupos fi nitos e demonstrações com o auxílio do computador.

Quer você esteja interessado na idade de Platão e Aristóteles ou de Poincaré e Hilbert, quer você queira saber mais sobre o teorema de Pitágoras ou sobre a razão áurea, História da Matemática é uma referência essencial que o ajudará a explorar a incrível história da matemática e dos homens e mulheres que a criaram.

Uta C. Merzbach é Curadora Emérita de Matemática no Smithsonian Institution e diretora do LHM Institute.

O falecido Carl B. Boyer foi professor de matemática no Brooklyn College e autor de diversas obras clássicas sobre história da matemática.

Carl B. Boyer

Uta C. Merzbach

ISBN 978-85-212-0641-5

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Uta C. Merzbach

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Rua Pedroso Alvarenga, 1245, 4º andar 04531-012 – São Paulo – SP – Brasil Tel 55 11 3078-5366

[email protected] www.blucher.com.br

Segundo Novo Acordo Ortográfico, conforme 5. ed.

do Vocabulário Ortográfico da Língua Portuguesa, Academia Brasileira de Letras, março de 2009.

É proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meios, sem autorização escrita da Editora.

FICHA CATALOGRÁFICA B. Boyer, Carl

História da matemática / Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach; [tradução de Helena Castro].

São Paulo: Blucher, 2012.

Título original: A history of mathematics.

3. ed. norte-americana.

Bibliografia

ISBN 978-85-212-0641-5

1. Matemática – História I. Boyer, Carl. B.

II. Título.

11-11882 CDD-510.9

Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática: História 510.9 História da Matemática

Editora Edgard Blücher Ltda.

Tradução da 3.ª edição americana 2012 1ª reimpressão – 2013

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Em memória de Carl B. Boyer (1906-1976)

– U.C.M.

Em memória de meus pais, Howard Franklin Boyer e

Rebecca Catherine (Eisenhart) Boyer

– C.B.B.

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Durante as duas décadas desde o aparecimen- to da segunda edição desta obra, ocorreram mu- danças substanciais no curso da matemática e do tratamento de sua história. Dentro da matemáti- ca, resultados notáveis foram alcançados por uma mistura de técnicas e conceitos de áreas de espe- cialização anteriormente distintas. História da ma- temática continuou a crescer quantitativamente, como observado no prefácio da segunda edição;

mas aqui, também, houve estudos substanciais que superaram a polêmica da história “interna”

versus “externa” e combinaram uma abordagem nova da matemática dos textos originais com as ferramentas linguísticas, sociológicas e econômi- cas adequadas do historiador.

Nesta terceira edição eu tentei novamente aderir à abordagem de Boyer da história da matemáti- ca. Embora desta vez a revisão tenha incluído toda a obra, as mudanças tem a ver mais com ênfase do que com conteúdo original, as exceções obvias sendo a inclusão de novas descobertas desde o aparecimento da primeira edição. Por exemplo, o leitor encontrará maior ênfase no fato de que li- damos com um número tão pequeno de fontes da antiguidade; esta é uma das razões para conden- sar três capítulos prévios tratando do período he- lênico em um. Por outro lado, o capítulo tratando da ìndia e da China foram divididos, como o con- teúdo pede. Há uma ênfase maior na recorrente infl uência mútua entre a matemática pura e aplicada, como exemplifi cado no capítulo 14. Alguma reorganização é devida à tentativa de salientar o impacto da transmissão institucional e pessoal de idéias; isto afetou a maior parte dos capítulos referentes a épocas anteriores ao século dezenove.

Os capítulos que tratam do século dezenove foram

os que menos foram alterados, já que eu tinha fei- to mudanças substanciais em parte deste material na segunda edição. O material do século vinte foi dobrado, e um novo capítulo fi nal trata das ten- dências recentes, inclusive soluções de problemas de longa data e o efeito dos computadores na natureza das demonstrações.

É sempre um prazer reconhecer aqueles que sabemos ter tido impacto em nosso trabalho. Es- tou muito agradecida a Shirley Surrete Duffy por ter respondido judiciosamente a diversos pedidos de conselhos referentes a estilo, mesmo nas vezes em que existiam prioridades mais imediatas.

Peggy Aldrich Kidwell respondeu com precisão infalível minhas questões referentes a certas fo- tografi as no National Museum of American His- tory. Jeanne LaDuke imediatamente e de maneira animada atendeu meus pedidos de auxílio, espe- cialmente na confi rmação de fontes. Judy e Paul Green podem não perceber que uma conversação casual no ano passado me levou a reavaliar algum do material recente. Eu obtive prazer e conhecimento especiais de diversas publicações recentes, entre elas Klopfer 2009 e, de maneira mais relaxa- da, Szpiro 2007. Muitos agradecimentos são devi- dos aos editores e à equipe de produção da Jhon Wiley & Sons que trabalharam comigo para tornar esta edição possível: Stephan Power, o editor chefe, foi infalivelmente generoso e diplomático em seus conselhos; o editor assistente, Ellen Wright, facilitou meu progresso pelos principais degraus da criação do manuscrito; a gerente de produção chefe, Marcia Samuels, me deu instruções claras e concisas, advertências e exemplos; Os editores chefes de produção Kimberly Monroe-Hill e John Simko e a editora de texto, Patricia Waldygo, sub-

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meteram o manuscrito a um exame detalhado meticuloso. O profissionalismo de todo os envolvidos forneceu um tipo especial de encorajamento em tempos de crise.

Eu gostaria de fazer uma homenagem a dois acadêmicos cuja influência em outros não deveria ser esquecida. A historiadora do renascimento Marjorie N. Boyer (Mrs. Carl B. Boyer) com bon- dade e sabedoria cumprimentou uma jovem pes- quisadora no início de sua carreira por uma pa- lestra proferida em uma conferência sobre Leibniz

em 1966. A breve conversa com uma completa estranha teve muita influência sobre mim ao pon- derar a escolha entre matemática e sua história.

Mais recentemente, o falecido historiador de matemática, Wilbor Knorr, deu um exemplo signi- ficativo a uma geração de acadêmicos mais novos ao se recusar a aceitar a noção de que os autores antigos já foram definitivamente estudados por outros. Deixando de lado o “magister dixit”, ele nos mostrou a riqueza de conhecimento ao se pro- curar os textos.

Uta C. Merzbach, Março de 2010

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Esta edição trás a uma nova geração e a um espectro mais amplo de leitores um livro que se tornou um padrão em seu assunto, após seu aparecimento inicial em 1968. Os anos desde então têm sido anos de interesse renovado e atividade vigorosa na história da matemática. Isto tem sido demonstrado pelo aparecimento de numerosas publicações novas tratando de tópicos na área, por um aumento no número de cursos sobre his- tória da matemática, e por um crescimento cons- tante, em todos estes anos, do número de livros populares dedicados ao tema. Ultimamente, o interesse crescente na história da matemática se refl etiu em outros ramos da imprensa popular e nos meios eletrônicos. A contribuição de Boyer à história da matemática deixou marcas em todas essas atividades.

Quando um dos editores da John Wiley & Sons me procurou, propondo uma revisão desta obra padrão, concordamos logo que as modifi cações do texto deveriam ser as menores possíveis e que as alterações e adições a serem feitas deveriam, tanto quanto possível, acompanhar a orientação original de Boyer. Assim, os vinte e dois primeiros capítulos foram deixados praticamente sem alte- ração. Os capítulos relativos ao século XIX foram revistos; o último capítulo foi aumentado e dividi- do em dois. Em toda parte tentou-se manter uma abordagem consistente dentro do volume e que estivesse de acordo com o objetivo declarado de Boyer de dar ênfase maior a elementos históricos do que é usual em obras similares.

As referências e a bibliografi a geral foram subs- tancialmente revistas. Como esta obra foi destinada a leitores da língua inglesa, muitos dos quais eram incapazes de usar as referências de Boyer a obras em outras línguas, estas foram substituídas por obras recentes em inglês. Recomenda-se po- rém aos leitores que consultem também a Biblio- grafi a Geral. Vindo imediatamente após as refe- rências por capítulo no fi m do livro, contém obras adicionais e outras referências bibliográfi cas, com menos restrições à língua. A introdução à bibliografi a fornece orientação geral para outras leituras agradáveis e para a resolução de problemas.

A revisão inicial, que apareceu dois anos atrás, foi destinada a uso em classe. Os exercícios en- contrados lá e na edição original foram abandona- dos nesta edição, dirigida a leitores fora de salas de aula. Os usuários deste livro interessados em exercícios suplementares podem consultar as su- gestões na Bibliografi a Geral.

Exprimo minha gratidão a Judith V. Grabiner e Albert Lewis por numerosas críticas e sugestões úteis. Tenho o prazer de reconhecer a excelente cooperação e ajuda de vários profi ssionais da Wi- ley. Devo agradecimentos sem medida a Virginia Berts por emprestar sua visão num momento crí- tico da preparação deste texto. Finalmente, devo agradecer a numerosos colegas e estudantes que me comunicaram suas opiniões sobre a primeira edição. Espero que encontrem resultados benéfi - cos nesta revisão.

Uta C. Merzbach Georgetown, Texas Março de 1991

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Numerosas histórias da Matemática aparece- ram durante este século, muitas delas em inglês.

Algumas são muito recentes como A History of Mathematics, de J.F.Scott¹ ; uma nova produção neste campo deveria, portanto, ter características não existentes nos livros disponíveis. Na verdade, poucas das histórias publicadas são livros didáti- cos, ao menos não no sentido que tem essa ex- pressão nos Estados Unidos, e a History de Scott não é um desses. Pareceu-me, pois, que havia lu- gar para um livro novo, um que satisfi zesse melhor às minhas preferências e talvez às de outros.

A History of Mathematics, em dois volumes, de David Eugene Smith² , foi de fato escrita “a fi m de fornecer um texto de história da matemática elementar que pudesse ser usado por professores e estudantes”, mas cobre uma área ampla demais em um nível matemático demasiado elementar para a maior parte dos cursos superiores modernos, e faltam-lhe problemas de tipos variados. A History of Mathematics, de Florian Cajori ³ , é até hoje um livro de referência muito útil, mas que não se adapta a uso em aulas, nem tampouco o ad- mirável The Development of Mathematics de E.T.

Bell⁴ . Atualmente o mais bem-sucedido e apro- priado livro didático parece ser An Introduction to Mathematics de Howard Eves⁵ , que utilizei, com grande satisfação, com pelo menos uma dúzia de cursos desde que apareceu, em 1953. Ocasio- nalmente eu modifi quei a ordem dos tópicos no

1 Londres: Taylor and Francis, 1958 2 Boston: Ginn and Company, 1923-1925 3 Nova York: Macmillan, 1931, 2^a ediçã

o

4 Nova York: MacGraw-Hill, 1945, 2^a edição

5 Nova York: Holt, Rinehart and Winston, 1964, edição revisada

livro, procurando alcançar uma maior intensidade de sentimento histórico, e suplementei o material com mais referências às contribuições dos séculos XVIII e XIX, usando para isso principalmente A Concise History of Mathematics de D.J. Struik⁶ .

O leitor deste livro, seja ele leigo, estudante ou professor de um curso de história da matemática, verifi cará que o nível de conhecimento matemáti- co pressuposto é aproximadamente o de um estudante de curso superior de segundo ou terceiro ano, mas o material pode também ser visto com proveito por leitores que tenham preparo matemá- tico superior ou inferior a esse. Cada capítulo ter- mina com um conjunto de exercícios que podem ser classifi cados em linhas gerais em três catego- rias. Questões de redação, cuja intenção é indicar a habilidade do leitor em organizar e por em suas próprias palavras o material discutido no capítulo, são listados primeiro. Então, seguem exercícios relativamente fáceis que pedem as demonstrações de alguns dos teoremas mencionados no capítulo ou sua aplicação a situações variadas. Finalmente, há alguns exercícios marcados com estrela, que ou são mais difíceis ou exigem métodos especia- lizados que podem não ser familiares a todos os estudantes ou todos os leitores. Os exercícios não formam, de modo algum, parte da exposição geral e podem ser desconsiderados pelo leitor sem per- da de continuidade.

Aqui e ali no texto há referências a notas de rodapé, em geral de natureza bibliográfi ca, e no fi m de cada capítulo há uma lista de leituras suge- ridas. Incluídas aí, há algumas referências à vas- ta literatura em periódicos do campo, pois não é

6 Nova York: Dover Publications, 1967, 3^a edição

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cedo demais para que estudantes desse nível co- mecem a conhecer o rico material que se encontra em boas bibliotecas. Bibliotecas menores podem não dispor de todas essas fontes de referências, mas convém que um estudante saiba da existência de domínios mais amplos de conhecimento fora de sua universidade. Há também referências a obras em outras línguas que não o inglês, apesar do fato de que alguns estudantes, esperamos que não muitos, possam não ser capazes de ler nenhuma delas. Além de fornecer importantes fontes adicionais para os que conhecem tais línguas, essas referências podem ajudar a pôr fim ao provincia- nismo linguístico que, como um avestruz, se refu- gia na falsa impressão de que tudo que merece ser lido apareceu ou foi traduzido em inglês.

Esta obra difere do texto mais bem-sucedido disponível até agora por aderir mais estritamente a um arranjo cronológico e por dar mais ênfase a elementos históricos. Há sempre a tentação, numa aula de história da matemática, de supor que a fi- nalidade principal do curso é ensinar matemática.

Uma quebra dos padrões de rigor matemático é então um pecado mortal, ao passo que um erro histórico é venial. Tentei evitar essa atitude, e o objetivo do livro é apresentar História da Matemá- tica com fidelidade não só para com a estrutura e exatidão matemáticas, mas também para com a perspectiva e o detalhe histórico. Seria absurdo, em um livro deste escopo, esperar que todas as datas, bem como todas as casas decimais, estejam corretas. Espera-se, porém, que as inadvertên- cias que possam ter restado depois do estágio de correção de provas não farão violência ao senso histórico, entendido de modo amplo, ou a uma vi- são correta dos conceitos matemáticos. É preciso dar forte ênfase ao fato de que esta obra, em um único volume, de modo algum pretende apresentar o assunto comple tamente. Tal empreendimen- to exigiria o esforço coordenado de uma equipe, como a que produziu, em 1908, o quarto volume da Vorlesungen über Geschichte der Mathema- tik, de Cantor, e levou a história até 1799. Em uma obra de proporções modestas, o autor deve usar critério na seleção do material a ser incluído, con-

trolando relutantemente a tentação de citar a obra de todo matemático produtivo; raros leitores dei- xarão de notar aqui algo que considerarão como injustificável omissão. Em particular, o último ca- pítulo busca apenas indicar algumas poucas das características salientes do século XX. No campo da história da matemática, talvez o que mais se deva desejar é que apareça um novo Felix Klein para completar, para o nosso século, o tipo de pro- jeto que Klein tentou para o século XIX, mas não viveu o suficiente para concluir.

Uma obra publicada é até certo ponto como um iceberg, pois o que se vê é apenas uma pequena fração do todo. Nenhum livro aparece sem que o autor nele esbanje tempo e sem que receba encorajamento e apoio de outros, demasiado numerosos para serem citados individualmente. No meu caso, o débito começa com os muitos estudantes interessados a quem ensinei história da matemática, principalmente no Brooklyn College, mas também na Yeshiva University, Universidade de Michigan, Universidade da Califórnia (Berkeley) e Univer- sidade do Kansas. Na Universidade de Michigan, principalmente graças ao estímulo do Professor Phillips S.Jones, e no Brooklyn College com o au- xílio do Diretor Walter H. Mais e dos Professores Samuel Borofsky e James Singer, eu às vezes tive minha carga didática reduzida para poder trabalhar nos manuscritos deste livro. Amigos e colegas no campo da história da matemática, tais como o Professor Dirk J. Struik do Massachusetts Insti- tute of Technology, Professor Kenneth O. May da Universidade de Toronto, Professor Howard Eves da Universidade do Maine e Professor Morris Kli- ne da New York University, fizeram muitas suges- tões valiosas para a preparação do livro, e essas foram grandemente apreciadas. Material em livros e artigos de outros foi livremente usado, com in- suficiente reconhecimento, além de uma fria refe- rência bibliográfica, e aproveito esta oportunidade para exprimir a esses autores minha calorosa gra- tidão. Bibliotecas e editores ajudaram muito, for- necendo informações e ilustrações necessárias ao texto; em particular, foi um prazer trabalhar com a John Wiley and Sons. A datilografia da cópia final,

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preliminar, foi feita, com entusiasmo e cuidado meticuloso, por Mrs. Hazel Stanley de Lawrence, no Kansas. Finalmente, devo exprimir profunda

Marjorie N. Boyer, por sua paciência em tolerar os problemas ocasionados pelo desenvolvimento de mais um livro dentro da família.

Carl B. Boyer Brooklyn, Nova York Janeiro de 1968

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A matemática é um aspecto único do pensa- mento humano, e sua história difere na essência de todas as outras histórias.

Com o passar do tempo, quase todo campo de esforço humano é marcado por mudanças que podem ser consideradas como correção e/

ou extensão. Assim, as mudanças na história de aconteci mentos políticos e militares são sempre caóticas; não há como prever o surgimento de um Gêngis Khan, por exemplo, ou as consequências do pouco duradouro Império Mongol. Outras mu- danças são questão de moda e opinião subjetiva.

As pinturas nas cavernas de 25.000 anos atrás são geralmente consideradas como grande arte, e, embora a arte tenha mudado continuamente – até caoticamente – nos milênios subsequentes, há elementos de grandeza em todas as modas.

De maneira semelhante, cada sociedade conside- ra seus próprios costumes naturais e racionais, e acha os de outras sociedades estranhos, ridículos ou repulsivos.

Mas somente entre as ciências existe verdadei- ro progresso; só aí existe o registro de contínuos avanços a alturas sempre maiores.

E, no entanto, em quase todos os ramos da ci- ência o processo de avanço é tanto de correção quanto de extensão. Aristóteles, uma das maiores mentes que já contemplaram as leis físicas, estava completamente errado em suas ideias sobre corpos em queda e teve que ser corrigido por Galileu por volta de 1590. Galeno, o maior dos médicos da antiguidade, não foi autorizado a estudar cadáve- res humanos e estava completamente errado em

PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO PREFÁCIO

Isaac Asimov

suas conclusões anatômicas e fi siológicas. Teve que ser corrigido por Vesalius em 1543 e Harvey em 1628. Até Newton, o maior de todos os cientis- tas, estava errado em sua visão sobre a natureza da luz, a acromaticidade das lentes, e não perce- beu a existên cia de linhas espectrais. Sua obra máxima as leis de movimento e a teoria da gravi- tação universal, tiveram que ser modifi cadas por Einstein em 1916.

Agora vemos o que torna a matemática úni- ca. Apenas na matemática não há correção signi- fi cativa, só extensão. Uma vez que os gregos de- senvolveram o método dedutivo, o que fi zeram estava correto, correto para todo o sempre. Eu- clides foi incompleto e sua obra foi enormemente estendida, mas não teve que ser corrigida. Seus teoremas, todos eles, são válidos até hoje. Pto- lomeu pode ter desenvolvido uma representação errônea do sistema planetário, mas o sistema de trigonometria que ele criou para ajudá-lo em seus cálculos permanece correto para sempre.

Cada grande matemático acrescenta algo ao que veio antes, mas nada tem que ser removido.

Consequentemente, quando lemos um livro como História da Matemática temos a fi gura de uma estrutura crescente, sempre mais alta e mais larga e mais bela e magnífi ca e com uma base que é tão sem mancha e tão funcional agora como era quando Tales elaborou os primeiros teoremas geomé- tricos, há quase 26 séculos.

Nada que se refere à humanidade nos cai tão bem quanto a matemática. Aí, e só aí, tocamos a mente humana em seu ápice.

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Uma boa História da Matemática é sempre importante. São muitas as Histórias, não muitas as que são boas. A de Boyer já provou seus méritos.

Alguns comuns a todas as boas histórias, outros que não o são, como a abrangência e a adaptabili- dade ao ensino.

Cabe ressaltar a importância que este texto já teve e deverá continuar a ter entre nós. Critica- se frequentemente a cultura limitada de muitos matemáticos e estudantes de matemática, restri- ta a aspectos da disciplina e de alguma aplicação.

Uma primeira extensão cultural a recomendar seria certamente pela via da História. A história das difi culdades, esforço, tempo envolvidos em toda a evolução da matemática dá a medida da grandeza desta realização humana. Não deixa persistir a im- pressão, que o ensino pode dar, de algo que caiu do céu pronto e perfeito. Tudo, inclusive o que já nos parece trivial, agora que sabemos alguma coi- sa, tudo custou esforço, erros, tentativas até que um resultado fosse construído. E é a história desse esforço permanente que se procura retratar.

Elza F. Gomide São Paulo, 1996

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CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO CONTEÚDO

1 Vestígios, 23

Conceitos e relações, 23 Primeiras bases numéricas, 25 Linguagem numérica e contagem, 25 Relações espaciais, 26

2 Egito antigo, 29

A era e as fontes, 29 Número e frações, 30 Operações aritméticas, 31 Problemas de “pilhas”, 32 Problemas geométricos, 33 Problemas de inclinação, 36 Pragmatismo aritmético, 36

3 Mesopotâmia, 39

A era e as fontes, 39 Escritura cuneiforme, 40

Números e frações: sexagesimais, 40 Numeração posicional, 41

Frações sexagesimais, 41 Aproximações, 42 Tabelas, 42 Equações, 43

Medições: ternas Pitagóricas, 46 Áreas poligonais, 48

A geometria como aritmética aplicada, 49

4 Tradicões Helênicas, 53

A era e as fontes, 53 Tales e Pitágoras, 54 Numeração, 61

Aritmética e logística, 63 Atenas do quinto século, 64 Três problemas clássicos, 64 Quadratura de lunas, 65 Hípias de Elis, 67

Filolau e Arquitas de Tarento, 68 Incomensurabilidade, 70

Paradoxos de Zeno, 71

Raciocínio dedutivo, 73 Demócrito de Abdera, 75

Matemática e as Artes liberais, 76 A Academia, 76

Aristóteles, 85

5 Euclides de Alexandria, 87

Alexandria, 87 Obras perdidas, 87 Outras preservadas, 88 Os elementos, 89

6 Arquimedes de Siracusa, 99

O cerco de Siracusa, 99

Sobre os equilíbrios dos planos, 99 Sobre corpos fl utuantes, 100 O contador de areia, 101 Medida do círculo, 101 Sobre espirais, 102

Quadratura da parábola, 103 Sobre conoides e esferoides, 104 Sobre a esfera e o cilindro, 105 O livro de lemas, 106

Sólidos semirregulares e trigonometria, 107 O método, 107

7 Apolônio de Perga, 111

Trabalhos e tradição, 111 Obras perdidas, 112 Ciclos e epiciclos, 113 As cônicas, 113

8 Correntes secundárias, 121

Mudança de direção, 121 Eratótenes, 122

Ângulos e cordas, 122

O Almagesto de Ptolomeu, 126 Heron de Alexandria, 130

Declínio da matemática grega, 132 Nicômaco de Gerasa, 132

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Diofante de Alexandria, 133 Papus de Alexandria, 135

O fim do domínio de Alexandria, 140 Proclo de Alexandria, 140

Boécio, 140

Fragmentos atenienses, 141 Matemáticos bizantinos, 141

9 China antiga e medieval, 143

Os mais antigos documentos, 143 Os nove capítulos, 144

Numerais em barras, 144

O ábaco e as frações decimais, 145 Valores de pi, 146

A matemática do Século Treze, 148

10 Índia antiga e medieval, 151

O início da matemática na Índia, 151 Os Sulbasutras, 152

Os Siddhantas, 152 Aryabhata, 153 Numerais, 154 Trigonometria, 156 Multiplicação, 156 Divisão, 157 Brahmagupta, 158

Equações indeterminadas, 160 Bhaskara, 160

Madhava e a Escola keralesa, 161

11 A hegemonia Islâmica, 163

Conquistas árabes, 163 A Casa da Sabedoria, 164 Al-Khwarizmi, 165

‘Abd Al-Hamid Ibn-Turk, 169 Thabit Ibn-Qurra, 169 Numerais, 170 Trigonometria, 171

Destaques dos séculos onze e doze, 171 Omar Khayyam, 173

O postulado das paralelas, 174 Nasir al-Din al-Tusi, 174 Al-Kashi, 175

12 O ocidente latino, 177

Introdução, 177

Compêndio da Idade das Trevas, 177 Gerbert, 178

O século da tradução, 179

Abacistas e algoristas, 180 Fibonacci, 181

Jordanus Nemorarius, 183 Campanus de Novara, 184 O saber no Século XIII, 185

O restabelecimento de Arquimedes, 185 Cinemática Medieval, 185

Thomas Bradwardine, 186 Nicole Oresme, 187 A latitude das formas, 187 Séries infinitas, 189 Levi ben Gerson, 189 Nicholas de Cusa, 190

Declínio do saber medieval, 190

13 O renascimento Europeu, 193

Panorama geral, 193 Regiomontanus, 194

O Triparty de Nicolas Chuquet, 196 A Summa de Lucca Pacioli, 197 Álgebras e aritméticas alemãs, 198 A Ars magna de Cardano, 200

Rafael Bombelli, 203 Robert Recorde, 204 Trigonometria, 205 Geometria, 206

Tendências do Ranascimento, 210 François Viète, 211

14 Primeiros matemáticos modernos dedicados à resolução

de problemas, 219

Acessibilidade de cálculos, 219 Frações decimais, 219

Notações, 221 Logaritmos, 221

Instrumentos matemáticos, 224 Métodos infinitesimais: Stevin, 228 Johannes Kepler, 228

15 Análise, síntese, o infinito e números, 231

As duas novas ciências de Galileu, 231 Boaventura Cavalieri, 233

Evangelista Torricelli, 235

Os interlocutores de Mersenne, 236 René Descartes, 237

Lugares geométricos de Fermat, 244 Gregório de St. Vincent, 248

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Girard Desargues e a geometria projetiva, 251 Blaise Pascal, 253

Philippe de Lahire, 256 George Mohr, 257 Pietro Mengoli, 257 Frans van Schooten, 257 Jan De Witt, 258

Johann Hudde, 258

René François de Sluse, 259 Christiaan Huygens, 260

16 Técnicas britânicas e métodos continentais, 265

John Walis, 265 James Gregory, 268

Nicolaus Mercator e William Brouncker, 269 Método de Barrow das tangentes, 270 Newton, 271

Abraham De Moivre, 280 Roger Cotes, 282 James Stirling, 283 Colin Maclaurin, 283 Livros didáticos, 285 Rigor e progresso, 286 Leibniz, 286

A família Bernoulli, 291

Transformações de Tschirnhaus, 297 Geometria analítica do espaço, 298 Michel Rolle e Pierre Varignon, 298 Os Clairaut, 299

Matemática na Itália, 300 O postulado das paralelas, 301 Séries divergentes, 301

17 Euler, 303

Vida de Euler, 303 Notação, 304

Fundamentos da análise, 305

Logaritmos e identidades de Euler, 307 Equações diferenciais, 308

Probabilidade, 309 Teoria dos números, 310 Livros didáticos, 311 Geometria analítica, 311

Postulado das paralelas: Lambert, 312

pós-revolucionária, 315

Homens e instituições, 315 O comitê de Pesos e Medidas, 316 D’Alembert, 316

Bézout, 318 Condorcet, 319 Lagrange, 320 Monge, 322 Carnot, 325 Laplace, 328 Legendre, 330

Aspectos da abstração, 332 Paris da década de 1820, 332 Fourier, 333

Cauchy, 334 Difusão, 340

19 Gauss, 343

Panorama do século dezenove, 343 Primeiras obras de Gauss, 343 Teoria dos números, 344

Recepção das disquisitiones arithmeticae, 346 Contribuições de Gauss à astronomia, 347 A meia-idade de Gauss, 347

O início da geometria diferencial, 348 Últimos trabalhos de Gauss, 349 Influência de Gauss, 350

20 Geometria, 357

A escola de Monge, 357

A geometria projetiva: Poncelet e Chasles, 358 Geometria sintética métrica: Steiner, 360 Geometrica sintética não métrica:

von Staudt, 361 Geometria analítica, 361 Geometria não euclidiana, 364 Geometria riemanniana, 366 Espaços de dimensão superior, 367 Felix Klein, 368

A geometria algébrica pós-riemanniana, 370

21 Álgebra, 371

Introdução, 371

A álgebra na Inglaterra e o cálculo operacional de funções, 371

Boole e a álgebra da lógica, 372 De Morgan, 375

William Rowan Hamilton, 375