• os dois primeiros cartões recebidos não geram multas;

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III

2ª CERT – MATEMÁTICA II- 2014 - 2ª SÉRIE –MA 214- IN 216 COORDENADORA: MARIA HELENA

Aluno: GABARITO Turma:_________ Nº_____

1) Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as advertências recebidas pelos atletas são representadas apenas por cartões amarelos. Esses cartões são convertidos em multas, de acordo com os seguintes critérios:

• os dois primeiros cartões recebidos não geram multas;

• o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00;

• os cartões seguintes geram multas cujos valores são sempre acrescidos de R$ 500,00 em relação ao valor da multa anterior. Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões aplicados a um atleta.

Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o campeonato. Determine o valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões. (valor:0,5)

Solução. O atleta recebeu 13 cartões amarelos, mas só pagará (13 – 2) = 11 multas. Essas multas formam uma progressão aritmética de razão 500: (500,1000, 1500, 2000, ...a

).

Calculando o valor da última multa, temos:

00 , 5500

$ R 5000 500

a

500 ).

10 ( 500 500 ).

1 11 ( 500 a

11 11















 .

O total gerado será a soma da PA de 11 turmas:

   

00 , 33000

$ R ) 11 ).(

3000 ( S

2 11 . 6000 2

11 . 5500 S 500

11 11





 

 .

2) Uma bola é abandonada de uma altura de 27 m em relação ao solo e, cada vez que ela toca no solo, sobe até a terça parte da altura anterior. Se a bola continuar quicando assim indefinidamente até parar, qual será a distância total percorrida por ela, desde o momento que foi abandonada até parar? (valor:1,0)

Solução. A partir do primeiro toque no solo, a bola percorre duas distâncias iguais (subida e

descida). Essas distâncias estão em PG infinita de razão q = 1/3.

 

 

 

m 54 27 2 27

2 27 27 ) Total ( Distância

2 27 2 .9 3 3 2 9 3

1 3

9 3 1 1 ... 9 3 1 1 3 9 )ii

3 ...

1 1 3 9 2 27 ) Total ( Distância

...

1 3 3 , : 1 distância ª4

3 9 3 , : 1 distância ª3

9 3 27 : 1 distância ª2

27 : distância ª1

)i





 



 



 







 















 

 



    







 

 







 













.

3) O pai de Joãozinho lhe fez a seguinte proposta: lhe daria R$ 1,00 no dia 1/12, R$ 2,00 no dia 2/12, R$

4,00 no dia 3/12, e assim sucessivamente, sempre dobrando o valor do dia anterior, até o dia 24/12, quando, então, Joãozinho compraria um presente para si. Porém, Joãozinho fez uma contraproposta ao seu pai. Gostaria de receber, apenas, o dobro do valor que receberia no dia 24/12. Se seu pai concordou com a contraproposta, determine se Joãozinho saiu ganhando ou perdendo em relação à proposta anterior e quanto ele ganhou ou perdeu. (valor: 1,0)

Solução. Os valores propostos pelo pai de Joãozinho do dia 1/12 até o dia 24/12 crescem em progressão geométrica de razão q = 2.

Calculando o valor do dia 24/12 temos: a

 1 .( 2 )

 2

.

Joãozinho propôs receber o dobro desse valor. Logo pediu ^{2 . a}

 ^{2 .}   ²

 ²

^reais .

O total recebido na proposta do pai seria a soma dos pagamentos em todos os dias. Isto é, a soma

da progressão geométrica de 24 termos:   _{2 1}

1 2

1 ) 2 ( . S 1 :

Total

24

24

 



  .

Joãozinho saiu ganhando ²

^  ²

^{ 1}  ^{ 2}

^{ 2}

^{ 1  1 real .}

OBS: O valor pedido por Joãozinho seria de: R$16777216,00.

O pai teria pago no total: R$16777215,00.

4) Uma pedra, em queda livre, percorre 1m no primeiro segundo, 4m no segundo seguinte, 7m no terceiro segundo e assim sucessivamente. Determine quantos segundos são necessários, desde que a pedra foi abandonada, para que ela percorra um total de 651m. (valor: 1,0)

Solução. As distâncias percorridas em cada segundo correspondem a uma progressão aritmética de razão 3. Supondo que sejam necessários n segundos, temos:

i) a

 1  ( n  1 ). 3  1  3 n  3  3 n  2 . Corresponde à distância no enésimo segundo.

ii) Calculando a soma das distâncias e igualando a 651m, temos:

   

 



 





 









 



 

 





 

 











 



















 

 

 





 

 



 

6 21 126 6

125 n 1

convém não

6 0 124 6

125 n 1

6 125 1 6

15625 n 1

6 15624 1

1 )3

.(

2

) 1302 ).(

3 .(

4 )1 ( )1 n (

0 1302 n

n 3

1302 n

n 3 2 651

n n 3 651

S

2 n n 3 2

n.

1 n 3 2

n.

2 n 3 S 1

2 1

2 2

2 2

n

2 n

.

São necessários 21 segundos.