RESUMO PARA A 2ª CERTIFICAÇÃO - 2009
1) Uma esfera está inscrita em um cubo de aresta 4dm. Calcule a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo.
Solução. Calculamos os volumes e encontramos a razão. O diâmetro da esfera possui a mesma medida da aresta do cubo.
3 3
3 (4) 64
4 )
cm a
V
cm a i
cubo
3 3 3
3 8 32 3 ) 4 2 3 ( 4 3
4 2 )
cm R
V
cm R ii
esfera
6. 64 . 1 3 32 64
3
32
cubo esfera
V V
2) Um fabricante de sorvetes resolveu fazer a embalagem para um de seus produtos na forma de um cone reto, com 10cm de diâmetro e 12 cm de altura. Qual será a quantidade mínima de papel utilizada para cobrir toda a superfície dessa embalagem, incluindo a base?
(Use = 3,14 ) Solução.
O raio da base vale metade do diâmetro.
13 169 )
12 ( 5 2 5
10
2 2 2
2
2
g r h g
cm r
A quantidade mínima de papel será a área total.
60 2
, 282 ) 14 , 3 ( 90 90
) 18 ( 5
) 13 5 )(
5 (
) (
cm A
A
g r r A
t t t
3) Uma professora produziu com seus alunos da pré-escola enfeites de natal, na forma de esferas, com 10cm de diâmetro cada. Para pintar a superfície dessas esferas, ela dispõe de uma latinha de tinta, em que o fabricante afirma ser possível pintar até 6,28m2 de superfície com esse conteúdo. Nessas condições, qual o número máximo de enfeites que essa professora poderá pintar? (Use = 3,14.)
Solução.
i) área de 1 enfeite = área da esfera de raio 5cm = A4r2 4(3,14)(5)2 314cm2. ii) número de enfeites pintados com a lata: 200.
314 62800 314
28 , 6
2 2 2
2
cm cm cm
m
4) Um ourives banhou em ouro 40 peças esféricas de 5 mm de raio. O custo de cada mm2 desse banho foi R$ 0,05. Qual foi o custo total? (Use = 3,14).
Solução. i) Área da esfera: A 4(3,14)(5)2 4(3,14)(25)314mm2.
ii) Custo de uma esfera: (0,05).(314) R$15,70 iii) Custo de 40 peças: (40)(15,70)628 Logo, o custo total foi de R$628,00.
5) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões mostradas no desenho.
a) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e que eles beberam todo o milk shake, calcule qual foi o volume, em mL, ingerido pelo casal. (Use = 3.)
Solução. O volume do cone é : r h cm ml
Vcone 500 500
3 ) 20 ( ) 5 )(
3 ( 3
) 20 ( ) 5 ( 3
2 3 2
2
b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do copo, quanto do volume total, em porcentagem, terá bebido?
Solução. Observe que a situação se resume a calcular a relação entre dois volumes, utilizando
a propriedade de razão entre as alturas: 3
2 3 1 2 1
h h V V
, onde V1 e h1 são respectivamente o volume e a altura do cone de altura 20 e V2 e h2, o volume e a altura do cone de altura 10. Temos:
1 1
1 3 2
3
2 1 3 2 3 1 2
1 0,125 12,5%
8 8 1000 8000 10
20 V V V
V V V h h V
V . Concluímos que consumindo a
metade da taça sobraram 12,5% do total. Logo foi bebido 100% - 12,5% = 87,5%.
6) A altura de uma pirâmide quadrangular regular é o triplo do lado da base. Se o volume dessa pirâmide é 27cm3, qual é a sua área total?
Solução. A pirâmide regular quadrangular possui a base quadrada. Se o lado (aresta) da base vale “x”, pelas informações h = 3x. Utilizando a fórmula de volume e os dados, temos:
cm x
x V
x x x h x
V Ab
3 27 27
27
3 3 3
) 3 .(
) ( 3
3 3
3 3 2
. A área total é a soma da área da base com a área lateral.
Sendo “g” o apótema da pirâmide e “m” o da base (metade da aresta), temos:
2 2
2 2 2
2
) 37 1 ( 9 37 9 2 3
2 / 37 3 . . 3 4
2 37 3 4 81 333 4 9 9 2 3 2
cm S
A
cm m h
g
b
t
