CAPITULO 03 TÉCNICAS UTILIZADAS NA ANÁLISE DE CIRCUITOS. Prof. SILVIO LOBO RODRIGUES

(1)

Prof. SILVIO LOBO RODRIGUES

TÉCNICAS UTILIZADAS

NA ANÁLISE DE CIRCUITOS

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3.1 INTRODUÇÃO

Um dos objetivos principais do presente capítulo é o de apresentar métodos de simplificação na análise de circuitos mais elaborados.

Entre os métodos que serão estudados está a análise nodal, das malhas, dos laços e da superposição. Procuramos também desenvolver a habilidade de escolher o melhor método para cada situação particular.

Estuda-se ainda os teoremas de Thevenin e Norton na simplificação de circuitos.

3.2 ANÁLISE NODAL

No capítulo anterior consideramos apenas circuitos simples contendo apenas dois nós.

Estudaremos agora circuitos com maior número de nós, de modo que teremos uma incógnita eu uma equação adicional para cada nó apresentado.

Assim, um circuito com três nós terá duas voltagens incógnitas e duas equações; um circuito com dez nós terá nove voltagens desconhecidas e nove equações; um circuito com N nós terá N-1 voltagens incógnitas e N-1 equações.

A mecânica de solução utilizando análise nodal segue uma seqüência que procuraremos desenvolver no exemplo da figura 3.1.

Figura 3.1 - Circuito com 4 nós e 8 ramos.

Para facilitar a solução vamos redesenhar o circuito na figura 3.2.

-3A

-25A -8A

3

1 4

2

5

(3)

Figura 3.2 - Circuito com 4 nós e 8 ramos redesenhado.

Para a solução adotamos o seguinte procedimento:

a) Escolhe-se o nó de referência e define-se a voltagem entre cada um dos nós e o de referência. Escolhe-se para referência o nó para o qual converge o maior número de ramos, para simplificar as equações resultantes;

b) Deve-se notar que um circuito com N nós terá (N-1) voltagens, as quais devem ser identificadas como v1, para o nó 1, v2 para o nó 2 e assim por diante;

c) Arbitra-se um sentido para as correntes nas condutâncias, que não deve ser alterado para a obtenção das equações, de nó;

d) Escreve-se as equações de nó utilizando-se a lei de OHM, ^{i t}(((( ))))⁼⁼⁼⁼^{G.v t}(((( ))))^ou (((( )))) (((( ))))

v t i t

R ==== . Considera-se com sinal + as correntes que saem do nó e com sinal – as correntes que chegam no nó.

e) Simplifica-se as equações e resolve-se o sistema.

Vamos então à solução:

Para o nó 1: ^{8 3}^{+ +}^{+ +}^{+ +}^{+ +}((((^v¹⁻⁻⁻⁻^{v 3}²)))) ((((⁺⁺⁺⁺ ^v¹⁻⁻⁻⁻^{v 4 0}³)))) ⁼⁼⁼⁼ ^.

Para o nó 2: ^1v²⁻⁻⁻⁻^{3 v}(((( ¹⁻⁻⁻⁻^v²)))) ((((⁺⁺⁺⁺^{2 v}²⁻⁻⁻⁻^v³))))^{− =}^{− =}^{− =}^{− =}^{3 0}^.

Para o nó 3: ^{− −}^{− −}^{− −}^{− −}^{25 2 v}(((( ²⁻⁻⁻⁻^v³)))) ((((⁻⁻⁻⁻^{4 v}¹⁻⁻⁻⁻^v³))))⁺⁺⁺⁺^5v³ ⁼⁼⁼⁼⁰^.

Simplificando as equações:

3 2

4

1

5 8A

3A

25A

v1 v2 v3

Ref.

. . .

.

(4)

1 2 3

7v 3v 4v 11

3v 6v 2v 3

4v 2v 11v 25

− − = −

− + − =

− − + =

Utilizando a regra de Cramer:

1

2

3

11 3 4

3 6 2

25 2 11 191

v 1V

7 3 4 191

3 6 2

4 2 11

7 11 4

3 3 2

4 25 11 382

v 2V

191 191

7 3 11

3 6 3

4 2 25 573

v 3V

191 191

− − −

−−−−

= −−−− = =

== == ==

= = =

− −

= −−−− = =

== == ==

= = =

− −

−−−−

− −

= = =

== == ==

= = =

O determinante do denominador é comum a todos os cálculos anteriores. Para circuitos que não tenham fontes de tensão ou fontes dependentes, ou seja, circuitos contendo apenas fontes independentes de corrente, o determinante do denominador pode ser escrito como matriz de condutância do circuito:

7 3 4

G 3 6 2

4 2 11

− −

−− −−

− −

= − −

− −

−− −−

− −

Precisamos, ainda, ver como fontes de voltagem e fontes dependentes afetam a estratégia da análise nodal. Consideremos o exemplo da figura 3.3.

(5)

Figura 3.3 - Exemplo com fonte independente entre 2 nós.

A condutância de 2 entre nós 2 e 3 foi substituída por uma fonte de voltagem de 22V.

A aplicação da lei de Kirchoff nos nós 2 e 3 esbarra em uma dificuldade, pois a corrente sobre a fonte de 22V é desconhecida. Não há a possibilidade de exprimir a corrente como função da voltagem.

Há duas saídas para essas dificuldades. A mais difícil é associar uma corrente desconhecida ao ramo com a fonte de tensão, prosseguir com a lei das correntes de Kirchoff e, então, aplicar a lei das voltagens de Kirchoff entre os nós 2 e 3; resulta um sistema de 4 equações e 4 incógnitas.

O método mais simples utiliza o fato de que estamos primariamente interessados nas voltagens dos nós e podemos, portanto evitar o uso do ramo com a fonte de tensão, todos juntos, como uma espécie de super nó, e aplicamos KCL, a ambos os nós simultaneamente. Isto é possível, pois a corrente total que sai do nó 2 é zero, assim como a do nó 3 também é zero; então a corrente que sai dos dois nós também é zero.

No super nó:

(((( )))) (((( ))))

2 1 2 1 3 3

1v −−−−3 v −−−−v − −− −− −− −3 4 v −−−−v ++++5v −−−−25 0==== No nó 1:

(((( ¹ ³)))) (((( ¹ ²))))

4 v −−−−v + ++ ++ ++ +3 3 v −−−−v + =+ =+ =+ =8 0

A terceira equação é fornecida pela própria fonte.

3 2

v −−−−v ====22

3

4

1

5 8A

3A

25A v1

Super Nó v3

Ref.

. .

.

- + 22V

. ^v²

(6)

Simplificando:

1 2 3

2 3

1

7v 4v 9v 28

7v 3v 4v 11

v v = 22

28 4 9

11 3 4

22 1 1 189

v 4,5V

7 4 9 42

7 3 4

0 1 1

− + + =

− − = −

− +

− − −

−−−− −−−−

= = = −

== == = −= −

= = = −

−−−−

− −

−− −−

− −

−−−−

Como um terceiro caso de aplicação de análise nodal vamos substituir a fonte de 22V do exemplo anterior por uma fonte dependente de tensão de valor i^x

8 sendo ix a corrente no ramo de 4 .

Figura 3.4 - Aplicação de análise nodal p/ circuito c/ fonte dependente.

No super nó:

(((( )))) (((( ))))

2 3 3 1 1 2

1v ++++5v −−−−25 4 v++++ −−−−v − −− −− −− −3 3 v −−−−v ====0 No nó 1:

(((( ¹ ²)))) (((( ³ ¹))))

8 3 v++++ −−−−v + −+ −+ −+ −3 4 v −−−−v ====0 Da fonte controlada:

(((( ³ ¹))))

x

3 2

4 v v v v i

8 8

− = = −−−−

− = =

3

4

1

5 8A

3A

25A

v1 v3

Ref.

. .

.

- + ix/8

. ^v²

ix

SUPERNÓ

(7)

Simplificando:

1 2 3

7v 4v 9v 28

7v 3v 4v 11

-0,5v + v 0,5v = 0

28 4 9

11 3 4

0 1 0,5 33

v 1V; v 2V; v 3V

7 4 9 33

7 3 4

0,5 1 0,5

− + + =

− − = −

−−−−

− − −

−− −− −−

− − −

−−−− −−−−

= = = = =

== == == == ==

= = = = =

−−−− −−−−

− −

−− −−

− −

3.3 ANÁLISE DAS MALHAS

O método de análise das malhas só é aplicado às redes planares. Se for possível desenhar o diagrama de um circuito numa superfície plana, sem que haja cruzamento dos ramos, então o circuito é dito planar. Na figura 3.5 temos um exemplo de rede planar e não planar.

Figura 3.5 - a) Rede planar b) Rede não planar.

Um circuito é uma rede que contém pelo menos um caminho fechado por onde possa fluir corrente. O nome oficial para esse caminho é laço. Assim, se iniciarmos por um determinado nó e traçarmos pela rede uma linha fechada contínua, passando uma vez em cada nó e terminando no nó de partida, este caminho é um laço. A malha é uma propriedade de circuitos planares e é definida como sendo um laço que não contém nenhum outro por dentro.

. . .

. .

. . .

. .

a) b)

(8)

A técnica de análise de malhas envolve o conceito de corrente de malha que definiremos como sendo a corrente que flui apenas no perímetro de uma malha.

Vamos utilizar o exemplo da figura 3.6 para melhor entendimento do método.

Figura 3.6 - Exemplo de aplicação de análise das malhas.

Para a solução adotamos o seguinte procedimento:

a) Arbitramos as correntes de malhas dando a designação de i1 para a malha 1, i2 para a malha 2 e assim por diante;

b) O sentido arbitrado para as correntes de malha pode ser qualquer um, mas para facilitar a obtenção das equações adotamos sempre o sentido horário;

c) Escreve-se as equações de malha em termos das tensões utilizando a lei de OHM, v R i= ×= ×= ×= × ;

d) Simplifica-se as equações e resolve-se o sistema obtido.

MALHA 1: ^{− +}^{− +}^{− +}^{− +}^{6 2 i}((((¹⁻⁻⁻⁻ⁱ²)))) ((((⁺⁺⁺⁺^{1 i}¹⁻⁻⁻⁻ⁱ³))))⁼⁼⁼⁼⁰^.

MALHA 2: ⁴ⁱ²⁺⁺⁺⁺^{3 i}(((( ²⁻⁻⁻⁻ⁱ³)))) ((((⁺⁺⁺⁺^{2 i}²⁻⁻⁻⁻ⁱ¹))))⁼⁼⁼⁼⁰^.

MALHA 3: ^{− +}^{− +}^{− +}^{− +}^{12 2i}³⁺⁺⁺⁺^{1 i}(((( ³⁻⁻⁻⁻ⁱ¹)))) ((((⁺⁺⁺⁺^{3 i}³⁻⁻⁻⁻ⁱ²))))⁼⁼⁼⁼⁰^.

1 2 3

3i 2i i 6

2i 9i 3i 0 i 3i 6i 12

− − =

− + − =

− − + =

4ΩΩΩΩ

2ΩΩΩΩ 3ΩΩΩΩ 2ΩΩΩΩ

1ΩΩΩΩ 12V

6V i1

i2

i3

(9)

1

2

3

6 2 1

0 9 3

12 3 6 450

i 5A

3 2 1 90

2 9 3

1 3 6

3 6 1

2 0 3

1 12 6 222

i 2,47A

90 90

3 2 6

2 9 0

1 3 12 366

i 4,066A

90 90

− −

−−−−

= −−−− = =

= = =

− −

−− −−

− −

−−−−

− −

−− −−

− −

= −−−− = =

== == ==

= = =

−−−−

− −

−− −−

− −

= = =

== == ==

= = =

Observação: Notemos que, temos um denominador que é simétrico em relação à diagonal principal. Isto ocorre para circuitos que contém apenas fontes de voltagem independentes e quando as correntes de malha são admitidas no sentido horário e os elementos que aparecem na 1° linha do determinante são, ordenadamente, os coeficientes de i1, i2, ... iM. Essa matriz simétrica que aparece no elemento denominador é chamada matriz resistência da rede.

3 2 1

R 2 9 3

1 3 6

− −

−− −−

− −

= − −

= −= − −−

= − −

− −

(10)

3.4 CIRCUITOS COM FONTES DE CORRENTE Consideramos o exemplo da figura 3.7.

Figura 3.7 - Aplicação da análise por malhas a um circuito com fonte de corrente independente.

Escrevemos as equações de malha observando apenas que a corrente na malha 3 deve ser obrigatoriamente igual a 6A.

(((( )))) (((( ))))

1 2 1 3

2 2 3 2 1

3

1 2

6 2 i i 1 i i 0

4i 3 i i 2 i i 0

i 6A

3i 2i 12 2i 9i 18

− + − + − =

− +− + −− ++ −− ==

− + − + − =

+ − + − =

====

− =

− + =

−− ++ ==

− + =

Resolvendo o sistema :

1 2

i 6, 26A i 3, 391A

====

3ΩΩΩΩ

12V 6A

4ΩΩΩΩ

2ΩΩΩΩ

1ΩΩΩΩ

6V i1

i2

i3

(11)

Vamos Considerar agora o exemplo da figura 3.8.

Figura 3.8 - Aplicação da análise por malhas a um circuito com fonte de corrente dependente.

MALHA A: ^{− +}^{− +}^{− +}^{− +}^{6 2 i}(((( ^a⁻⁻⁻⁻ⁱ^b)))) ((((⁺⁺⁺⁺^{1 i}^a ⁻⁻⁻⁻ⁱ^c))))⁼⁼⁼⁼⁰^.

MALHA B: ⁴ⁱ^b⁺⁺⁺⁺^{3 i}(((( ^b⁻⁻⁻⁻ⁱ^c)))) ((((⁺⁺⁺⁺^{2 i}^b⁻⁻⁻⁻ⁱ^a))))⁼⁼⁼⁼⁰^.

MALHA C: _c i¹

i ==== 3 .

Porém na malha A verificamos que:

i1 = ia

Logo, _c i^a i ==== 3

Levando nas equações das malhas A e B:

(((( ))))

a

a b a

b b a b a

a b

2 i i 1 i i 6

3

4i 3 i i 2 i i 0

3 8i 6i 18

3i 9i 0

 

− + − =

− +  − =

 

+ − + − =

+  − + − =

− =

− + =

12V 6V

4ΩΩΩΩ

2ΩΩΩΩ 3ΩΩΩΩ

1ΩΩΩΩ ia

i1

ib

ic

i1/3

(12)

Resolvendo o sistema:

a b

i 3A i 1A

====

A corrente da malha C:

ic ====1A

3.5 ÁRVORES E ANÁLISE NODAL GENERALIZADA

Começamos definindo topologia como uma ramo da geometria que trata das propriedades de figuras geométricas, propriedades que não se alteram se a figura for girada, torcida, dobrada, esticada ou comprimida e assegurando que nenhuma parte da figura, será cortada ou juntada a alguma parte.

Uma esfera e um tetraedro são topologicamente idênticos, assim como o são um quadrado e uma circunferência.

Em termos de circuitos elétricos, não estamos preocupados com tipos particulares de elementos que possam aparecer no circuito, mas apenas com o modo como os ramos e nós são arranjados.

Podemos representar um circuito por um desenho simplificado chamado grafo linear, ou simplesmente grafo.

Vamos redefinir alguns termos topológicos que já são conhecidos.

nó : ponto no qual dois ou mais elementos têm uma conexão comum.

ramo : um caminho elementar, contendo um único elemento, que conecta um nó a qualquer outro.

laço : conjunto de ramos formando um caminho fechado e que passa apenas uma vez em cada nó.

malha : um laço que não contém nenhum outro na parte interna.

Figura 3.9 - Um circuito planar e seu grafo.

. . .

. .

5V 2A

(13)

O grafo da figura 3.9 possui 8 ramos e 5 nós.

Uma árvore e um elo são dois novos termos referentes a um grafo linear, que precisam ser definidos.

Árvore é um conjunto de ramos que não contém nenhum laço e que conecta, não necessariamente de modo direto, cada nó a qualquer outro.

Um elo é qualquer ramo num grafo linear que não é ramo de uma árvore.

Um número de elos num grafo pode, muito simplesmente, ser relacionado ao número de ramos e nós. Se o grafo tem N nós, então, são necessários exatamente (N-1) ramos para se construir uma árvore, pois, o primeiro ramo escolhido conecta dois nós e cada ramo adicional inclui mais um nó.

Assim, dados B ramos, o número L de elos deve ser:

(((( ))))

L B N 1

L B N 1

= − −

= − +

Na figura 3.10 temos um grafo linear, duas árvores possíveis e um conjunto de ramos que não constituem uma árvore.

Figura 3.10 - a) grafo linear b) e c) árvores d) não é uma árvore

. .

. . . .

. . . . . .

. .

. . .

c) .

a) b)

d)

(14)

Vamos aplicar agora os conceitos anteriores na solução do circuito da figura 3.11.

Figura 3.11 - Um circuito planar e seu grafo.

Vamos estabelecer algumas premissas que poderão ser aplicadas a qualquer outro circuito.

Assim, sendo, dado um circuito, procede-se da seguinte maneira:

a) Traça-se o grafo do circuito;

b) Constrói uma árvore;

c) A cada ramo associa-se uma das (N-1) tensões pois tem-se (N-1) ramos;

d) Havendo fontes de tensão na rede elas serão colocadas nas árvores e o valor da fonte deve ser tomado para a tensão do respectivo ramo;

e) Qualquer fonte dependente que seja controlada por tensão deve ter essa tensão colocada, se possível, num dos ramos da árvore;

f) Fontes de corrente devem ser colocadas em elos e correntes que controlam fontes dependentes também se possível aparecer em elos;

g) As fontes de tensão devem ser colocadas em curto e formam um super nó.

Para o exemplo dado a árvore adequada para o circuito é mostrada na figura que segue.

Figura 3.12 - Árvore adequada ao circuito dado.

. . .

. .

- + . .

. . .

1 2

2 1

vx

vy

vx

vy 4vy

1V 1V

4vy

2vx

+ +

+

+ -

-

- - +

- -

. .

. . .

- 1V +

vx

+

-

4vy

+

+ - -

vy

2A 1A

Super nó 1

(15)

No nó 1 temos:

(((( ))))

x x y y

2v ++++1 v −−−−v −−−−4v ====2 No super nó temos:

(((( )))) (((( ))))

y y x x y y

v ++++2 v − −− −− −− −1 2v ++++1 v −−−−v −−−−4v ====0 O sistema fica então:

x y

3v 5v 2

3v 8v 2

− =

− + =

Donde encontramos : _x 26

v V

==== 9 e _y 4

v V

====3 .

De posse das tensões vx e vy todas as tensões dos ramo estão definidas sendo portanto informações suficientes para permitir uma solução completa do circuito.

3.6 ANÁLISE DE LAÇOS E ELOS

O uso de árvores será agora considerado na obtenção de um conjunto de equações de laços.

Vamos utilizar o método no circuito da figura 3.13.

Figura 3.13 - Aplicação do método da análise de laços e elos.

7A

7V

(a) (b).

.

. ⁱ^A .

iB

7A 3ΩΩΩΩ

(16)

Vamos estabelecer agora algumas premissas que poderão ser aplicadas à qualquer outro circuito.

a) Constrói-se uma árvore qualquer para uma dada rede, toma-se um elo arbitrário e junta-se à árvore. Verifica-se que um laço é formado. A esse laço associa-se uma corrente de laço.

Abre-se o elo e repete-se o processo para outro elo, obtendo-se outra corrente de laço.Repete-se o processo para cada elo e obtém-se B-(N-1) correntes de laço. (mesmo número de elos)

b) Aplica-se a lei de Kirchoff de voltagem às diversas correntes de laço.

Para o grafo da figura 3.13b temos 3 correntes de laço, sendo uma delas já determinada pela fonte de corrente existente num dos elos da árvore.

Para a corrente iA temos: ^{1 i}(((( Â^{− +}^{− +}^{− +}^{− +}⁷)))) ((((^{2 i}Â⁺⁺⁺⁺ⁱ^B))))⁺⁺⁺⁺³ⁱÂ ⁼⁼⁼⁼⁰

Para a corrente iB temos: ^{− +}^{− +}^{− +}^{− +}^{7 2 i}(((( ^A⁺⁺⁺⁺ⁱ^B))))⁺⁺⁺⁺¹ⁱ^B ⁼⁼⁼⁼⁰

Resolvendo o sistema:

A B

i ====0,5A i ====2A

Assim sendo a tensão no resistor de 2Ω localizado na parte externa do circuito é:

(((( ))))

2 A B

v ====2 i ++++i ====5V

A potência fornecida pela fonte de 7V:

(((( ))))

f 7V B

P ====7 i ++++7 = × == × == × == × =7 9 63W

3.7 TEOREMAS DA LINEARIDADE E SUPERPOSIÇÃO

O principio da superposição estabelece que a resposta (uma corrente ou tensão desejada) em qualquer ponto de um “circuito linear” que tenha mais de uma fonte independente pode ser obtida com a soma das respostas originadas pela ação de cada fonte independente agindo sozinha. Vamos examinar mais detidamente o termo linear. O conceito de linearidade de uma função está condicionado à verificação das propriedades da aditividade e da homogeneidade.

Como exemplo prático vamos examinar a relação voltagem e a corrente para o resistor linear.

(17)

(((( )))) (((( ))))

v t ====R.i t

Para v = 2V temos uma corrente de 1A. Logo, o resistor é de 2Ω. Se a tensão for aumentada para 10V, a corrente resultante será aumentada para 5A, mantendo-se constante o valor da relação v/i, satisfazendo assim a propriedade da homogeneidade.

Para o mesmo resistor de 2Ω, se aplicarmos uma tensão de 12V resultante da soma das tensões de 2V e 10V, teremos uma corrente resultante de 6A, equivalente à soma das correntes de 1A e 5A.

Logo a propriedade da aditividade é satisfeita.

Podemos então definir elemento linear como sendo um elemento passivo que apresenta uma relação voltagem-corrente linear.

Se v(t) for traçada como função de i(t) o resultado é uma linha reta.

Figura 3.14 - Elemento linear e sua resposta v x i.

Uma fonte dependente linear é uma fonte dependente de corrente ou de tensão cuja corrente ou tensão de saída é proporcional apenas à primeira potência de uma corrente ou tensão variável no circuito ou à soma de tais grandezas. Ou seja, uma fonte dependente, v_s ====0,6i₁−−−−14v₂, é linear, mas

2

s 1

v ====0,6i ou v_s ====0,6i v_{1 1} não são lineares.

Agora podemos definir um circuito linear como sendo um circuito composto inteiramente de fontes independentes, fontes dependentes lineares e elementos lineares.

A mais importante conseqüência da linearidade é a superposição.

O teorema da superposição aparece, usualmente, numa forma similar à seguinte:

“ Em qualquer rede resistiva linear que contenha várias fontes, a tensão ou corrente, em qualquer resistor ou fonte, pode ser obtida somando-se algebricamente todas as tensões ou

correntes, causadas pela ação individual de cada fonte independente que exista no circuito, sendo todas as outras fontes de tensão independentes substituídas por curto-circuitos, e as fontes de corrente independentes substituídas por circuitos abertos.”

Elemento

. .

Linear i(t)

i(t) v(t)

v(t) +

-

(18)

Figura 3.15 - Exemplos de aplicação do teorema da superposição.

Para a figura 3.15a vamos considerar o efeito da fonte do ramo da direita em termos da tensão v e corrente i.

Figura 3.16

(((( ))))

6 4 2 i 0 i 1A

v 4i 4V

− + + ′′′′=

− + +− + + ==

− + + =

′′′′ ====

′ ′

′==== ′====

4ΩΩΩΩ

2ΩΩΩΩ 4ΩΩΩΩ 6V 6V

v

ix

i

vx

+

-

- ^x

v 2

4ΩΩΩΩ

6V

+ - v' +

i' 6V

5A

(19)

Consideremos o efeito da fonte do ramo central:

Figura 3.17

Logo, a tensão v e a corrente i totais resultantes das duas fontes são:

v v v 4 2 6V

i i i 1 0,5 1,5A

′ ′′

= + = + =

′ ′′′ ′′′ ′′

= + = +′ ′′ =

= + = + =

Para o circuito da figura 3.15b:

Consideramos a fonte de tensão de 6V.

Figura 3.18

(((( )))) ¹ ¹

1

6 4 2 i 0; i =1A i 4

i 0,5A

8

v 4 i 4 0,5 2V

− + + =

− + +− + + ==

− + + =

′′′′′′′′ ==== ×××× ====

′′ ′′

′′= × = ×= × = ×= × = ×= × = ×′′ ==== 4ΩΩΩΩ

4ΩΩΩΩ

6V

4ΩΩΩΩ v”

+ - i"

i1

6V

2ΩΩΩΩ vx′′′′ 4ΩΩΩΩ +

-

i’

ix′′′′

vx

2

′′′′