MM442 - Introdução aos Sistemas

MM442 - Introdu¸c˜

ao aos Sistemas

Dinˆ

amicos

O α e o ω

Seja f : M → M um difeomorfismo e p ∈ M. Vamos estudar o comportamento das trajet´orias

. . . , f−2(p), f−1(p), p, f (p), f2(p), . . .

Existe um ponto inicial da trajet´oria? E um ponto final? Pense um pouco no que pode acontecer no caso de fluxos em variedades compactas.

O α e o ω

Um ponto y ∈ M ´e chamado de α-limite da trajet´oria de f por x se existe uma sequˆencia mi → −∞ tal que fmi(x ) → y quando i → ∞.

Um ponto y ∈ M ´e chamado de ω-limite da trajet´oria de f por x se existe uma sequˆencia mi → ∞ tal que fmi(x ) → y quando i → ∞. As defini¸c˜oes para fluxos s˜ao muito parecidas, s´o que ao inv´es de uma sequˆencia de iterados, teremos uma sequˆencia de tempos.

O α e o ω

Lα(x ): conjunto dos pontos que s˜ao α-limite de x por f Lω(x ): conjunto dos pontos que s˜ao ω-limite de x por f Estes conjuntos s˜ao invariantes (Prove!).

Lα(x ) e Lω(x ) est˜ao contidos em Ω(f ) (Prove!)

Exemplo

Calcule Lα(x ) e Lω(x ) para alguns pontos, usando o fluxo de

O Teorema de Poincar´

e-Bendixson

Teorema (Teorema de Poincar´e-Bendixson (1892 e 1901))

Um conjunto limite n˜ao-vazio e compacto de um fluxo no plano que n˜ao tem pontos fixos ´e uma ´orbita fechada.

Op¸c˜oes para conjuntos-limite n˜ao-vazios e compactos: ´orbitas fechadas, pontos fixos, conex˜oes.

O Teorema de Poincar´

e-Bendixson

Um ciclo limite ´e uma ´orbita que ´e uma curva fechada γ de modo que γ ⊂ Lα(x ) ou γ ⊂ Lγ(x ) para algum x que n˜ao est´a em γ.

Teorema

Se K ´e um conjunto compacto invariante positivamente ou nega-tivamente, ent˜ao K cont´em um ponto fixo ou um ciclo limite.

Equivalˆ

encias

1 Dois difeomorfismos f , g : M → M s˜ao topologicamente conjugados se existe um homeomorfismo h : M → M tal que hf = gh.

A defini¸c˜ao para fluxos ´e an´aloga: hXt = Yth.

Se h conjuga f e g , ent˜ao h leva ´orbitas em ´orbitas, preservando o tempo. Em particular, por quest˜oes topol´ogicas, ´orbitas fechadas precisam ser levadas em ´orbitas fechadas, e pontos fixos em pontos fixos.

Equivalˆ

encias

A fun¸c˜ao h pode ser mais que um homeomorfismo. Se ela for um difeo Ck, diremos que os difeos s˜ao Ck-conjugados.

Exemplo

f (x ) = 2x e g (x ) = 5x s˜ao topologicamente equivalentes, mas n˜ao s˜ao conjugados.

Equivalˆ

encias

Para fluxos, existe um conceito mais fraco: o de equivalencia topol´ogica.

Dois fluxos Xt, Yt s˜ao topologicamente equivalentes se existe um homeomorfismo que leva ´orbitas de Xt em ´orbitas de Yt sem precisar preservar o tempo.

Exemplo

Os fluxos de x0 = 2x , y0 = −3y e x0 = x , y0 = −y , s˜ao topologi-camente equivalentes, mas n˜ao s˜ao topologicamente conjugados.

Equivalˆ

encias

Exemplo

Os fluxos de r0 = (1/2)r (1 − r ), θ0 = 1 e r0 = r (1 − r ), θ0 = 2, s˜ao topologicamente equivalentes, mas n˜ao s˜ao topologicamente conjugados.

Efeito das conjuga¸c˜

oes nos campos vetoriais

Se os fluxos de ˙x = X (x ) e ˙y = Y (y ), denotamos por Xt e Yt, s˜ao Ck-conjugados, ent˜ao existe uma fun¸c˜ao Ck com

h(Xt(x )) = Yt(h(x )).

Derivando em t obtemos

Dh(x )X (x ) = Y (h(x )).

Esta ´e uma condi¸c˜ao necess´aria para a conjuga¸c˜ao e mostra explicitamente o papel de Dh(x ) (uma mudan¸ca de coordenadas).

No caso de equivalˆencia topol´ogica, a equa¸c˜ao acima fica

Efeito das conjuga¸c˜

oes nos campos vetoriais

Um resultado bastante importante para campos vetoriais ´e o seguinte.

Seja ˙x = X (x ) um campo vetorial, com fluxo Xt(x ).

Seja x0 um ponto com X (x0) 6= 0 (ou seja, x0 n˜ao ´e ponto fixo de Xt).

Teorema (Fluxo tubular)

Nas condi¸c˜oes acima, se U ´e uma vizinhan¸ca pequena de x0 (sem

N´

umero de rota¸c˜

ao

Para terminar, veremos um resultado importante sobre conjuga¸c˜oes de difeomorfismos S1 → S1_.

Se f : S1 → S1 _{´e homeomorfismo, definimos o n´umero de rota¸c˜ao} de f , ρ(f ), por ρ(f ) = lim n→∞ ˜ fn(x ) − x n mod 1, onde ˜f ´e um levantamento de f .

N´

umero de rota¸c˜

ao

Teorema

Um difeomorfismo f : S1 → S1 _{tem pontos peri´odicos se, e s´o se,}

ρ(f ) ´e racional.

Prova: Seja x ∈ S1 um ponto peri´odico. Ent˜ao existe x∗ ∈ R tal que ˜fq(x∗) = x∗+ p, para inteiros p, q.

Portanto ˜fnq(x∗) = x∗+ np e ˜ fnq(x∗) − x∗ nq = np nq = p q ∈ Q.

N´

umero de rota¸c˜

ao

Teorema

Um difeomorfismo f : S1 → S1 _{tem pontos peri´odicos se, e s´o se,}

ρ(f ) ´e racional.

N´

umero de rota¸c˜

ao

Teorema (Denjoy)

Se f : S1 → S1 _{´e um difeomorfismo C}2 _{que preserva orienta¸c˜ao}

e ρ(f ) ´e irracional, ent˜ao f ´e topologicamente conjugado a uma rota¸c˜ao por ˆangulo irracional.

Pr´oxima aula: Aplica¸c˜oes de Poincar´e, suspens˜oes, fluxos Hamiltonianos.

Se cuidem: usem m´ascaras, limpem as m˜aos com ´alcool em gel. Fique em casa.