Junior FINITAS

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS POR DIFERENÇAS FINITAS

Pauio Seleghim Junior

SÃO CARLOS - 1992 PUBLICAÇÃO 015/92

•'

-~ I .

I

l

SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS POR DIFERENÇAS FINITAS

1. RESOLVENDO UM PROBLEMA DE CONDUÇÃO DE CALOR

Para introduzir o método das diferenças finitas de uma forma prática, vamos considerar um problema de condução estacionária de calor em uma barra delgada - Figura 1.

Suas extremidades são mantidas a temperaturas constantes e seu corpo troca calor convectivamente com o meio. Neste caso o conjunto de equações que descrevem o problema é o seguinte :

d²T(x)

- Ph· (

)

AK· T(x)

-

T

=

^o P/ o ^{~ X ~}

e

dx2 ^CXl

T(O)

=

^T _A P/ ^X

=

^o

T ^(t)

=

^T P/ X

= e

B

c....,~c.~'4o

ê ( ~ ~ ⁽ ~ ~ ~ (?i~

L---~~

---

FIGURA 1

Os parâmetros são a áreq da seção transversal A, a condutividade do material K, o perímetro P, o coeficiente de transferência convectiva h e a temperatura ambiente T .

00

Neste ponto temos a opção de escolher entre dois caminhos para encontrar a solução do problema. o

primeiro deles consiste em utilizar métodos analíticos de solução.

Este procedimento produz resultados de excelente precisão, porém é limitado ao pequeno número de casos em que pode ser aplicado. A segunda opção refere-se ao emprego de métodos numéricos que são de aplicação bastante ampla e produzem resultados satisfatórios.

Dentre estes podem ser citados o método das diferenças finitas, elementos finitos, elementos de contorno e muitos outros.

Para obtermos a solução por diferenças finitas vamos inicialmente realizar uma partição regular na região em que estamos estudando a condução de calor - Figura 2. Desta forma trabalharemos com um intervalo

~

.., () .( ~ 3 ., ~1. At-t "'

~--

.... --e--__.._-·---·-- .. -

-"11~>---

, I \ X.

I I

I '

----.

I A .

FIGURA 2

formado por um conjunto oiscreto de pontos ou nós x e não com um intervalo contínuo. A cada nó x podemos associar os valores T

=

T(x.) da função T(x), que representa a distribuição de temperatura

1

ao longo da barra. Se os parâmetros do problema variarem ao longo da barra, da mesma forma poderemos associar os valores nodais A. =

1

A (X. ) ,

1 K

=

^{K (X i), P}

=

^P (x i) e h

=

^h (x i). o próximo passo consiste em reescrever todas as equações do problema em termos dos parâmetros nodais. Este procedimento consiste em linhas gerais no que se denomina discretização do problema e pode ser feito de diversas formas.

Uma das maneiras de se realizar a discretização, no caso de problemas de 2a ordem, correspondente ao método das diferenças finitas, consiste em tomar três pontos consecutivos da função incognita, neste caso da temperatura T(x).

Sejam então estes pontos (x. ,T. ). (x. ^T.) e (x. ,T_ )

1-1 1-1 1 1 1+1 1+1

Figura 3. Passemos por eles a parábola

P(x-x.) = a·(x-x_) 2 + b·(x-x.) + c

1 1 1

T

1>(x)

X

FIGURA 3

Para determinar seus coeticientes devemos impor que P(x) interpele os pontos escolhidos~ ou seja

P(x -x )

í - 1 i

P(x_ -x.)

1 + 1 l

= a· (x. -x.) 2 + b· (x. -x.) + c = T

1 - 1 1 1 - 1 1 i - 1

=

^{a· (x. -x.)} 2 ^{+ b· (x.} -x. ) + c

=

^T

1+1 1 1+1 1 i + 1

P (X. - X. ) = a· (X. - X.) 2

+ b· (X. - X.) + C = T

1 1 1 1 1 1

Considerando porém a malha regular, simplificação conveniente mas não obrigatória, as equações podem ser reescritas

P(-!J.)

=

^{a·(-L\) 2 +} b·(-!J.) ⁺ c

=

T _{i - 1} P(+L\)

=

^{a·(+L\) 2 +} b· (+L\) ^{+ c}

=

^T _{i + 1}

P( O)

=

^{a. ( 0)2 + b· ( O) + c}

=

^T

A solução deste sistema de equações fornece os seguintes valores para os coeficientes da parábola :

T - 2·T + T

i-1 i i+1

a

=

T - T b =

c

=

T

i

i+ 1 i -1

2·/J.

A essência do método das diferenças finitas consiste em aproximar as derivadas de T(x) pelas derivadas de P(x), o que será tanto melhor quanto menor for o incremento~­

Assim sendo

dT dx

- P' (O) e - P" (O)

dx²

i i

Efetuando as derivações necessárias e substituindo os coeficientes determinados anteriormente, resultam expressões que aproximam as derivadas de T(x) em função dos valores nodais desta mesma função.

Estas expressões podem ser também vistas como operadores uma vez que transformam o problema do cálculo no domínio contínuo para um domínio discretizado. Tais operadores para o presente caso são :

dT T - T

i + 1 i - 1

dx i

T - 2·T + T

i - 1 i + 1

dx² i

Voltemos à equação diferencial que agora desejamos satisfazer de forma aproximada somente nos nós

A K · - - - - dx²

Pihi ·( T(x) - T₀₀ ⁾ =O

i i

i 1, 2, . . . .

Substituindo os operadores deduzidos acima, obtemos a equação em diferenças correspondente à equação diferencial do problema

A K

T - 2·T + T

(---i-_1 ___

~

__ 2 _____ i_+1_) -

P_ h_ ( T

l 1 - T ₀₀

o

^{i=O, 1 . . .}

Reagrupando convenientemente os termos, para cada valor de i temos a seguinte equação

A K 2A K A K

(

i i

- -

+ P_h.J·T. +

i i

- - - - ·T - - - · T ^{i i}

= -

P h T

/::,_2 ^{i - 1} ~2 ^{l 1 1} ~2 ^{i + 1 i 00}

Como A_, K_, P_, h

1

_ , ~e T

00 são parâmetros conhecidos a expressão

l l 1

acima representa um conjunto de equações. Portanto

i=O ex ·T

-

^{(3 ·T} + ex ·T = - ^p h T o ^{- 1} o o o 1 o o ⁰⁰

i=l ex ·T

-

^{(3 ·T} + ex ·T ⁼ - ^p h T

1 o 1 1 1 2 1 1 ⁰⁰

i=2 ex ·T

-

₍₃₂ ^·T + ex ·T =

-

^p h T

2 1 2 2 3 2 2 ⁰⁰

i=n ex ·T _{n n-1} - (3 _n ·T _n + ex ·T _{n n+1}

= -

^{P h T} _{n n oo}

Onde os coeficientes a

1 e (3i são calculados por

a

=

AK i i

~2 e {3i

=

2A K

i i

~2 + p h

...

. Conforme podemos observar entre as

incógnitas aparecem T e T Estes termos representam valores

- 1 n + 1

de T(x) em pontos situados fora do intervalo considerado. Temos portanto n+l equações (i=OJ 1J . . . n) e n+3 incógnitas (T , T ,

-1 o

• • • T ) • As equações que faltam para completar o ·si tema são

n+l

justamente as condições de contorno que, expressas em função das temperaturas nodais, são T = T e T = T Assim o sistema de

O A n B

equações completo, escrito matricialmente, tem a forma abaixo

o o

o

o

o

a _o o

at -{31 a

1

o

o

o o

1 o o

o

o o

o o

a 2

o

o

o

o o

o

o o o o o o

a -{3 a

n n n

o o o o

¹ o

T - 1

T o T 1

T n-1

T n

T n+1

=

-P h T _{o o}

co

-P h T

1 1 co

-P h T

2 2 co

-P h T

n n co

T A

T B

Este pode ser resolvido numericamente uma vez que tanto a matriz dos coeficientes como o vetor de termos independentes são conhecidos. Um algorítmo de solução baseado no método de Crout é fornecido no Apendice I.

Neste ponto é conveniente fazer algumas observações. A primeira delas refere-se à formulação intrínseca desta primeira abordagem. o aluno deve lembrar que haviamos tomado três pontos consecutivos e centrados em (x. ^J T.) para interpelar

1 1

a parábola. Esse procedimento gera operadores de formulação central. Caso houvessemos tomado pontos a esquerda ou a direita de (x. T. ) obteriamos operadores de formulações esquerda e direita

1 1

respectivamente. A segunda observação refere-se à ordem do polinômio interpolador. Escolhemos uma parábola porque necessitavamos de derivadas de segunda ordem no máximo. Poderiamos ter tomado cinco pontos centrados em (x.

1

T. ) por exemplo, os

1

quais gerariam um polinômio interpolador de grau 4 produzindo melhores aproximações para derivadas de la e 2a ordem bem como de 3a e 4a ordem. Por fim, obtidos os valores de T., após a solução

l

do sistema de equações, podemos calcular as derivadas de T(x) nos nós (fluxos de calor nesse caso) usando novamente os operadores em diferenças já conhecidos. Por exemplo para calcular o fluxo em x=~

fazemos

dT -K

= - - · ( T

~ 211 ^n+l

- T ) q (f) -K n-1

dx

2. EXEMPLO PRÁTICO DE APLICAÇÃO

Um soldador elétrico - Figura 4 - possui uma resistência de 25W para aquecer a haste de cobre de tal forma que a temperatura na ponta seja suficiente para fundir o estanho (T = 240°C). O calor é conduzido de uma extremidade à outra e

FUSAO

parte é dissipado convectivamente para o ambiente a T = 25°C e

co

segundo coeficiente de convecção de h = 150 Wjm² f°C. ^A condutividade térmica do cobre pode ser fixada em K = 380 Wfm/°C.

A equação diferencial que rege o problema é a mesma considerada no exemplo anterior

d²T(x)

AK· - Ph·[ T(x) - T₀₀ ⁾ =O

dx²

p/ O ~ x ~ 2,5 em

Porém as condições de contorno são diferentes

2 2

q(O) = 25/(rrr ) = 127,324 Wjcm dT

- K · - -

dx

lx=O =

^{h· (T - T ) co}

FIGURA 4

Dividindo a haste em cinco partes

(~ = 0,5 em) após aplicarmos os operadores a equação em diferenças e as condições de contorno resultam

2 985·T - 5,993·T. + 2,985·T

, i - 1 1 i+1 - 0,589 i = 0 , 1 . .. 5

T - T = 33,506 °C

- 1 1

3 B·T _{, 6} +O 015·T _{, 5} - 3 B·T _{' 4}

=

0.375

Desta forma podemos montar o sistema de equações

r

2,98 -5,99 2_,98

o o o o o

^T _-1 ^-0,589

o

2,98 -5,99 2, 98.

o o o o

T -0,589

o

o o

2,98 -5,99 2,98

o o o

T -0,589

1

o o o

2,98 -5,99 2,98

o o

T -0,589

2 =

o o o o

2,98 -5,99 2,98

o

^T -0,589

3

o o o o o

2,98 -5,99 2,98 T -0,589

4

1

o

^-1

o o o o o

T 33,506

5

o o o o o

-3,8 0,015 3,8 j T 0,375

6

Cuja solução fornece os seguintes valores nodais

T = ^{493,8 o}

c

_{T = 439,9} ^o

c

- 1 3

T = ^{475,3 o}

c

_{T = 434,5} o

c

o ⁴

T = ^{460,3 o}

c

_{T = 432,1} ^o

c

1 5

T = ^{448,5 o}

c

_{T = 432,8} o

c

2 6

Repare que as temperaturas nos nós externos, nós -1 e 6, não tem significado físico e, portanto, devem ser desconsideradas. Estas temperaturas foram introduzidas devido ao uso de operadores em diferenças de formulação central.

Exitem diversas formas de se evitar isto. Podemos utilizar operadores de formulação esquerda e direita quando estivermos operando a equação diferencial e as condições de contorno respectivamente nas extremidades direita e esquerda da haste.

Outra forma, mais comumente empregada, requer um pouco de manipulação analítica e consiste em deduzir operadores especiais para o contorno, considerando conjuntamente a equação diferencial e a condição específica de contorno. Este procedimento será melhor explorado em seguida.

3. PROBLEMAS BIDIM~NSIONAIS

A introdução do método das diferenças finitas foi feita através de um problema de condução estacionária de calor em uma barra delgada. Veremos agora como o método pode ser aplicado à problemas bidimensionais em particular, uma vez que sua extenção para problemas n-dimensionais é muito simples.

Consideremos então o problema de condução estacionária de calor em uma placa plana - Figura 5. As equações que descrevem este caso são

+

= o

^{(X,y) E [0,1) X [0,1)}

T(x,O)

=

T(O,y)

=

T(l,y)

=

O T(x,l)

=

lOO·sen(rrx)

y

T=o

T-=0 ^X

FIGURA 5

Procuramos agora tempereturas T(x,y)

por. uma distribuição que torne verdadeiras as

bidimensional relações acima.

de Da mesma forma como vimos no caso unidimensional, o primeiro passo é realizar uma partição no domínio. A solução obtida deverá satisfazer de forma aproximada as equações do problema somente nos nós da malha de discretização. Seja então a malha indicada na Figura 6. Os nós são definidos por pares de pontos (x , y )

n m

n = 0,1,2 Nem= 0>1,2 ... M - e a temperatura nestes pontos

y

f

T'l.,o

To .o

ou nós é identificada por dependente da posição pode

l?.z.

•

• T. 1,?.

FIGURA 6

n, m

=

^T (x , y ) •

n m

T

ser indicada da

Qualquer variavel.

mesma forma. Para expressar as derivadas parciais em função dos parâmetros nodais, procedemos de forma análoga ao exemplo unidimensional. Tomamos alguns nós centrados em (x ₁ y ) por exemplo 1 e interpelamos um

n m

polinômio bidimensional P(x,y) conveniente de forma que é possível obter

8T ap

=

T - T

n+l,m n-l,m

ax

^m,n

ax

^m,n

âT ap _T - T

-

^{= n, m + 1 n, m- 1}

ay m,n ay m,n 2·/}

a2

T a2P _{T - 2·T + T}

- ^{= n + 1 , m n,m n- 1 , m}

ax ^{2 m, n} ax ^{2 m,n /}2}

T - 2·T + T

n,m+l n,m n,m-1

m,n m,n

De posse dos operadores em diferenças, o segundo passo consiste em voltar à equação diferencial do problema e obter a sua versão em diferenças. Assim para este caso

[

⁺

= T

n + 1 , m + T

n-l,m + T

n, m + 1 + T

n,m-1 - 4·T ) n,m

As condições de contorno são igualmente expressas em diferenças, de acordo com nossa notação :

T(x ,0)

=

T =O

n n,O n =

o,

1, 2 ••. N

T(O,y ) = T = O

m O,m m

=

0,1,2 . . . M

T(l~Y ) = T =.0

m N ,m ^{m = O, 1, 2 •.. M}

T(x ,1)

=

T

=

100·sen(rrx)

n n,M n

=

0,1,2 . . . N

O terceiro passo se resume em montar e resolver o sistema de equações algébricas. No exemplo anterior o operador em diferenças foi aplicado em todos os nós da malha, inclusive àqueles em que ja conheciamos a temperetura. Pelo fato de estarmos utilizando operadores em diferenças de formulação central isso redundou na inclusão de parâmetros nodais fictícios ou externos à malha original e, consequentemente, num aumento da ordem do sistema de equações. Em problemas unidimensionais esse aumento não é significativo mas em problemas bi e tridimensionais podem surgir sérias dificuldades computacionais devido a esse fato. Por exemplo, no caso em estudo temos uma malha com 16 nós dos quais desconhecemos a temperatura em apenas 4 deles (Figura 6). Aplicando o operador em diferenças em todos os 16 nós teríamos, pela inclusão dos nós externos, um sistema com 32 incógnitas e 32 equações. É muito mais simples aplicar o operador em diferenças apenas nos 4 nós em que desconhecemos a temperatura e aplicar as condições de contorno diretamente nas 4 equações resultantes.

nos nós (x _{1 f} y ) _{1 I} equações :

T

T

Assim, aplicando o operador em diferenças

(X2 ,Y

1) , (x

1,y

2) e (x

2 ,y

2) , obtemos as seguintes

2' 1 + T

o' 1 + T

1 ' 2 + T

1' o - 4·T

1 ' 1 ) = o

2,2 + T

o ' 2 + T

2,3 + T

2 , 1 - 4·T

1, 2 ) = o

T

3 ' 1 + ^T'

1 ' 1 + T

2 ' 2

T + T + T

3,2 _{1 ' 2} 2 ' 3

Conhecemos as temperaturas nodais

T =

o

o ' 1

T =

o

o' 2

T = ^{86,603 o}

c

3 ' 1

T =

o

3' 2

+ T

2,0

+ T

2 ' 1

T

1 ' o

T

1 ' 3

T

2' o

T

2' 3

- 4·T

2' 1 ) = o

- 4·T )

2 , 2 o

=

o

=

o

=

o

= ^{86,603 o}

c

Substituindo estes valores nas equações anteriores obtemos o seguinte sistema, já escrito em forma matricial

-4 1 1

o

^T

1

o

^{-4 1 T}

1 -4

o

^{1 T}

o

¹ 1 -4 T

Sua solução nos fornece os valores

T

=

10,822 °C

1 ' 1

T

=

^32,476 °C

2 ' 1

1 ' 1

2' 1 1 ' 2 2' 2

o o

= -86,603

-86,603

T = 10,822 °C

1 ' 2

T _2,2

=

^{32,476 °C}

16

A solução analítica para esse caso é conhecida

100

---·sen(rrx) ·Senh(rry) Senh(rr)

Donde podemos calcular os seguintes valores para as temperaturas nodais

T

=

29,986 °C

2, 1

T

=

9,368 °C

1 ' 2

T

=

29,986 °C

2' 2

Comparando estes com os valores obtidos pelo método das diferenças finitas podemos perceber uma concordância razoavel tendo em vista a discretização em poucos nós. Considerando uma malha com 49 nós, o que corresponde a dividir cada lado da placa em 6 partes Figura 7 - obtemos as seguintes aproximações para os mesmos pontos considerados anteriormente

y

• •

•

• •

•

• •

•

• • • •

i X

FIGURA 7

Até este ponto tratamos de exemplos de geometria bastante simplificada. Geometrias mais complexas produzem dificuldades, especialmente quanto a discretização do contorno (em geral com uma malha regular não conseguimos obter nós sobre o contorno). Para exemplificar uma forma de se contornar esse tipo de dificuldade vamos resolver o problema de condução estacionária de calor em uma placa retangular com um furo circular - Figura 8. A equação diferencial e as condições de contorno neste caso são

a²T a²T

+

=

^{o (X, y) E Q}

ax ² ay ²

T(x,y)

=

^{100 o}

c

_{(x, y) E}

_r

1

T(x,l)

= o

°C (x, y) E

r

2

y

FIGURA 8

18

Aproveitando a simetria QO problema podemos analisar apenas 1/4 da placa (poderíamos mesmo analisar 1/8 do domínio). Desta forma a discretização é feita sobre esta porção e a malha obtida é

indicada na Figura 9. Podemos observar entretanto que os nós do contorno correspondente ao furo circular não coincidem com os nós da malha regular e, então, não será possível aplicar nesta região os operadores em diferenças deduzidos até aqui .

•

..

• •

T=ioo

.. ..

_•

• • • • •

• • ^o • •

T=ioo

FIGURA 9

A solução consiste em deduzir operadores especiais com base em discretizações não regulares. Assim consideremos novamente três pontos (x .. T ) , (x T )

n-l,m n-l,m n,m , n,m

e (x , T }

n+l,m n+l,m espaçados conforme indicado na Figura 10.

Seguindo o mesmo procedimento anterior podemos deduzir para esta situação especial os seguintes operadores em diferenças

aT aP T - T

=

=

^{n+l,m n-l,m}

ax ^m,n ax ^m,n (l+o:.) ·D.

a2T a2P

= =

T - T - o:.· (T - T )

n+l,m n,m n,m n-l,m

ax ² m,n ax ² m,n --:2 ^0:. (1+0:.). D. ²

I

l ^l

^{I I} I

r

I

I

I

^(b

(x~,v~)

I

_I

I

I

I

^!l

J

6 ^o(ó

I

FIGURA 10

De forma análoga podemos deduzir os operadores em diferenças para as derivadas em relação a y :

aT aP T - T

= = ^{n,m+l n,m-1}

ay ^m,n ay ^m,n (1+(3) ·11

a2T a2P T

-

T

-

^{(3. (T}

-

T )

= = ^{n,m+l n,m n, m n, m-1}

ay ² ay ^{2 (3} (1+(3) ·112

m,n m,n

--:2

devemos equação

agora obter diferencial

o do

Deduzidos operador

problema

estes operadores especiais em diferenças correspondente à

e às condições de contorno.

Substituindo as expressõoes acima bidimensional de calor obtemos

na equação de condução

 2

----:;-· (1+cx) (1+(3) (cx·(3) · [

cx{3(1+{3) ·T + (3(1+(3) ·T + a(3(1+a) ·T + a(1+a) ·T +

n-l,m n+l,m n,m-1 n,m+1

-(cx+(3) (1+cx) (1+(3) ·T

n,m

Assim, utilizando este novo operador podemos montar o sistema de equações algébricas (a matriz correspondente é transcrita no Apêndice II) cuja solução fonece as seguintes temperaturas

T

=

^{96_,3°C T}

=

^{92_,7°C T}

=

^{89~1°C T}

=

^85,9°C

1 ' 1 1 ' 2 1 ' 3 1 ' 4

T _{1 , 5}

=

^{83,6°C T}

=

^{82_,7°C T}

=

^{97_,2°C T}

=

^85,3°C

1 ' 6 2' 1 2' 2

T

=

^{77,9°C T}

=

^{71_,0°C T}

=

^{65_,8°C T} = ^63,8°C

2' 3 2' 4 2 , 5 2 ' 6

T _{3 ' 1} = ^{89,1°C T} _{3 , 2}

=

^{77,9°C T} _{3 , 3} = ^{66,2°C T}

=

^54,5°C

3 ' 4

T _{3 , 5}

=

^{44_,7°C T}

=

^{40_,8°C T}

=

^{85_,9°C T} = ^71,0°C

3 ' 6 4 ' 1 4 , 2

T _{4 , 3} = ^{54,5°C T}

=

^{36_,0°C T}

=

^{17_,6°C T}

=

^10,0°C

4' 4 4 ' 5 4 ' 6

T

=

^{83_,6°C T}

=

^{65_,8°C T}

=

^{44_,7°C T}

=

^17,6°C

5 ' 1 5 ' 2 5 ' 3 5 , 4

T

=

^{82,7°C T}

=

^{63_,8°C T}

=

^{40, 8°C T}

=

^10,0°C

6 ' 1 6,2 6 , 3 6 ' 4

4. SISTEMATIZAÇÃO D.O MÉTODO

Introduzimos o método das diferenças finitas e apresentamos alguns dos operadores mais importantes através de exemplos. Essa abordagem inicial é bastante conveniente pois não coloca o aluno diante de expressões matemáticas aparentemente estéreis. No entanto, esconde alguns detalhes que, embora não sejam releventes no aprendizado, muitas vezes são de importância capital no momento de se aplicar o método à problemas reais. Um destes, por exemplo, é a relação entre o refinamento da malha de discretização e precisãos dos valores obtidos. Outro problema relacionado à abordagem refere-se a especificidade dos exemplos. Obviamente o método das diferenças finitas não é somente aplicável à condução de estacionária de calor. Em princípio pode ser aplicado à qualquer problema que possa ser expresso por uma ou um sistema de equações diferenciais. Para eliminar esta deficiência devemos neste ponto reapresentar o método das diferenças finitas de forma mais genérica e sistemática.

Em primeiro lugar os operadores para diferenciação ordinária segundo formulações direita, esquerda e central sobre uma malha regular, são representados esquematicamente na nas Tabelas 1,2 e 3 (a última coluna fornece o primeiro termo da expressão do erro). Obviamente o cálculo de derivadas parciais simples pode ser feito diretamente segundo estes operadores. Para derivadas parciais mistas é possível obter expressões de cálculo a partir dos operadores ordinários. Estas são listadas na Tabela 4 somente para formulação central.

22

TABELA 1

Operadores em diferenças - formulação direita

Derivada Coeficientes (direita) Erro

dT/dx 1

EJ----EJ

-llT"/2

!::. ^d

d2

Tjdx2 1

EJ---EJ---E]

-!::.T"' 1::.2

d3

Tjdx3 1 -3/::.TIV/2

1::.3

d⁴Tjdx ⁴ 1 -2/::.Tv

/::,.4

nó n-4 n-3 n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 n+4

TABELA 2

Operadores em diferenças - formulação esquerda

Derivada Coeficientes (esquerda) Erro

dTjdx

EJ----EJ - -

¹ +!::.T"/2

!::.

d2

Tjdx2

EJ---EJ---EJ

¹ +llT"'

!12 d3

Tjdx3 1 +3!1T¹Vj2

1::.3

d⁴Tjdx⁴ 1 +2b,Tv

f:,4

nó n-4 n-3 n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 n+4

TABELA 3

Operadores em diferenças - formulação central

Derivada Coeficientes (central) Erro

dTjdx ¹

~

^-/::,.2T"' /6

2·/::,

d²Tjdx^{2 1}

E}---E}---E]

-ô 2TIV/12

t' ~::,2

d3

Tjdx3 1 -ô²Tv/4

2·/::,3

d⁴Tjdx⁴ 1 -ô2TVI/6

/::,4

nó n-4 n-3 n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 n+4

TABELA 4

Operadores em diferenças - formulação central

Coeficientes (central)

a

²T

a

⁴T

ax ay ax

²

ay

²

m+1

1

m m-1

nós n-1 n n+1 n-1 n n+1

d de f

Der

A Tabela 5 apresenta os centrais para uma malha não regular. O como o quociente entre o incremento a

indicado esquematicamente na Figura 10.

TABELA 5

FORMULAÇÃO CENTRAL - M~LHA IRREGULP~

Coeficientes (central)

, - - - ;

! I

2

1 i-TI ___ I+oL J+Tl

--:-( -=-1-+-a-,-) -=-fl ~--=-=--~~

2 a(1+a)fl 2

1.2

I i

~---~

n-4 n-3 n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 n+4

Os operadores centrais de ordem superior são apresentados na Tabela 6. Podem ser deduzidos partindo-se de um polinômio interpolador de grau 4 e seguindo o mesmo procedimento do i tem 1, quando deduzimos os operadores para o problema de condução unidimensional de calor.

TABELA 6

FORMULAÇÃO CENTRAL - ORDEM SUPERIOR

Derivada Coeficientes (central) Erro

dTfdx 1 +!::.⁴Tvf30

12·1::.

d²Tfdx² 1 +!::.4TVI/90

12!1²

d3Tjdx³ 1 +7/::. 4TVII/120

8 ·!13

d⁴Tfdx ⁴ 1 +7/14TVIII/240

6!14

nó n-4 n-3 n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 n+4

Tendo em mãos os operadores básicos podemos agora utiliza-los para deduzir operadores particulares que representem determinadas equações diferenciais associadas ou não à condições de contorno. Por exemplo o problema de condução bidimensional estacionária de calor tem a seguinte equação diferencial (meio isotrópico) :

=

o ^{(X, y) E Q}

Sua representação em diferenças pode ser obtida combinando-se os operadores para derivação dupla nas direções x e y, do que se obtém para as coordenadas cartesianas

1

=

o

A aplicação deste operador sobre nós do contorno implica na inclusão de variáveis nodais externas ao

""

^~

.

uOmlnlO, conforme vimos nos exemplos analisados anteriormente.

Diversos procedimentos podem ser adotados para contornar este problema. Tendo como objetivo o desenvolvimento de rotinas computacionais de cálculo, o ideal é combinar a equação diferencial com as condições de contorno no sentido de eliminar os nós externos. Para exemplificar este procedimento consideremos as condições de contorno indicadas na Figura 11, referentes ao problema de condução. Nas bordas em que temos impostos o fluxo de

y

i

q _{l ( -}^{~ -~} _-^oT

ÕJ(

i

FIGURA 11

,,

calor (x=1) e convecção ,(y=1), a aplicação do operador da equação diferencial criaria variaveis nodais externas. Devemos portanto combinar os operadores de íl²T e das condições de contorno, ou seja

- K --ay'

aT

h · ( T - T )

co

(x=1)

(y=l)

Obtemos assim operadores de cotorno especiais que, se aplicados sobre a borda, não apresentam o inconveniente já mencionado. Representados esquematicamente são

1

= o

(x=1)

1 2hT

+ ^co

=

o (y=1) Kfl

O problema volta a aparecer sobre o éanto da placa (x=y=1). Neste caso o mesmo procedimento pode ser aplicado, combinando a equação diferencial e as condições relativas as duas bordas (deixamos para o aluno deduzir este operador).

5. ANÁLISE DE CASOS

5.1 CONDUÇÃO ESTACIONÁRIA DE CALOR EM PLACA CIRCULAR

Para exemplificar a solução de problemas em outros sistemas de coordenadas que não o cartesiano, vamos resolver o problema de condução de calor esquematizado na Figura 12. Por conveniência a malha é gerada em coordenadas polares desta forma podemos trabalhar com uma malha regular sem problemas na discretização do contorno. A equação diferencial bem como as condições de contorno para coordenadas polares são

1 8T + - - · - - +

r

ae

T

=

100·sen(8) T

=

O

1

•

•

• ^•

(3

. . .

•

.

•

•

p:

FIGURA 12

=

o

r

=

¹⁰

r

=

⁵

•

•

Recorrendo aos operadores fundamentais para expressar as derivadas, podemos deduzir o operador em diferenças de 'iJ²T para coordenadas polares. Assim, sendo !J. e a respectivamente os incrementos radial e angular, resulta

1 + !J.

2r _n

(

2r ^{!J. ) 2} -2 -2(r!J.a)2

(

2r ^{!J. ) 2}

n n n

= o

1 - !J.

2r n

Temperatura

120r---~---~

I

100 I

^~

... , ..

80

~-

^---- -- -- -- --- - - - - . ----·- ---- - 50~-··

I

I

I

40

r

_I

I

20 ~-···-··--

0~---~---~---L---~

!

1.500 2.625 3.750

Raio

4.875 5.000

5.2 SISTEMA LINEAR 1GL

Para introduzir a análise não estacionária, vamos considerar o problema do movimento do corpo esquematizado na Figura 13. As equações que descrevem este problema são as seguintes

M · - - -

x(O)

=

O

dx

+ B·---- + K·x

=

F(t) dt

dx dt (O) =O

-

F

FIGURA 13

Neste caso vamos voltar ao procedimento inicial onde substituiamos as derivadas pelas correspondentes expressões em diferenças. Fazendo isso obtemos a seguinte equação em diferenças

X - 2·X + X

i-1 i i+l

M·---

^{+ B·}

X - X

i+ 1 i-1

+ K·x =F = F(t.)

l

Reagrupando de forma conveniente podemos obter uma relação de recorrência

isolar o termo x

i + 1

21::.2 {

X i + 1

=

^2M + ^{Bl::. F} + X i ( 2M _{!::. 2} - K ) + X _{i - 1} (

~!::.

^{- M/!::. 2 ) }}

Ou ainda, se definirmos a, ^~ e ã como anteriormente

X = a·F + ~·x + a·X

i+1 i i - 1

e

A expressão acima é na verdade uma fórmula recorrência pois, se conhecemos os valores de ^x nos instantes i e i -1 , podemos determinar o próximo valor de x, ou seja no instante i+l. Desta forma precisamos apenas garantir o início do processo iterativo de cálculo fornecendo uma "semente"

que, neste caso, são justamente as condições iniciais. Aplicando então a fórmula recorrência ao instante inicial (i=O) obtemos

Aqui como nos decorrência de

x ₁

=

^a·F _o ^{+ ~-x} _o ^{+ a·x} _-1

exemplos anteriores, o surgimento do termo x é

- 1

estarmos utilizando operadores de formulação central. A Imposição das condições iniciais fornece

X(O)

=

^X _o

x(O)

=

^V _o

=

^{(X - X )/21::.}

1 -1

Da últ expressão podemos calcular x

- 1 em função substituir na fórmula de recorrência. Assim

X = a·F + {3·x + õ· (x

-

^2~v _o)

1 o o ¹

isolando X 1

X ¹ = l=õ. ( ^cx.·F o ⁺ {3·x o

-

^2õ~V o

)

de x

1 e

Desta forma podemos calcular x em função dos dados iniciais e

1

através de uma expressão especial válida somente para i=O. Em seguida o cálculo prossegue iterativamente com a fórmula de recorrência.

Como exemplo consideremos um sistema inicialmente em repouso (posição e velocidade nulas) excitado por uma força cujo histórico bem como demais parâmetros são dados na Figura 14.

i= orca

15

o

r - - - ,

1Q

o

50f- /

I /

i /

I / /

,/

/ /

Yl = ~,0

ô:.O.>

I(.,

to

6.,o,o":/S

o.or---~---~

I I

-1

o. o

-15.0~---~---~---~---~----~

o

¹⁰

20

30

40

50

FIGURA 14

Neste caso a solução analítica, ainda possível embora trabalhosa, pode ser usada para verificar a precisão dos cálculos. A

Figura 15 mostra a resposta no tempo.

11.0

10.0

l

^{\\ \.._..,. .,---...,}

I

^{' )}

9.0

J

_\

::: ^~ _I

^{1 I I I}

_I

5.0 -f /

I I I

5.0 i 1

I

I

I

4.0

i

^I I

3.0 -: I

\

r

2 .. 0 /

!

1.0 i o .. o ^j

-1.0 ~ _I

-2.0 --t

-3.0 -4.0 -5.0 -E>. O -7.0

o ²⁰ 80

FIGURA 15

5.3 SISTEMA LINEAR 2GL

Para demonstrar como um sistema com dois graus de liberdade pode ser tratado, vamos considerar o sistema da Figura 16. Sobre· a massa A é aplicada uma força do tipo degrau, simulando a colocação de uma pedra por exemplo. As equações que descrevem este problema são

H~~B(x-y)+K(x-y)=F

1 1 1

jF

H a = 1. 50

~

Ba = 0.65 ^I li Ka = 1.00

ó,

Hb = 2.0

-r

Bb = 2.0 ^b Kb = 2.0

~ ^l::>t

FIGURA 16

O procedimento para a obtenção de uma relação de recorrência (matricial neste caso) é anãlogo ao

executa~o ~o exemplo anterior. Em primeiro lugar as derivadas são subst por seus correspondentes operadores em diferenças e os termos reagrupados convenientemente

[ ~ ~ J ·{

X i ... 1

a ⁼ M /11²

1

c = M /11²

2

d = -2M /11²

1

f = -2M /11²

2

+

+ d e e f

B /211

1

(B +

1

+ K

1

+ K +

1

B 2 )/211

K 2

g h h i

]·{

b

e

X i - 1

=

-

=

B /211

1

K 1

i

=

De forma simplificada

1 1

+ [C]·{X}. = {F}.

1 - 1 1

Podemos agora isolar o vetor {X} uma vez

i + 1

que tanto as matrizes [A], [B} e [C} e o vetor de forças {F}. são

1

conhecidos. Assim obtemos

{X}. =[A] - 1 ·({F}.- [B]·{X}. - [C]·{X} )

1+1 1 1 1 - 1

A expressão acima é a relação de recorrência do problema em questão. Como no exemplo anterior (lGL) neste caso também o uso de operadores centrais introduz variáveis adicionais, fora do intervalo de tempo considerado. A maneira de se contornar este problema é também análoga ao exemplo anterior, ou seja, através das condições de contorno. Abaixo, Figura 17 o deslocamento das duas massas é plotado contra o tempo.

12.0 : - - - ,

11 .o -!

10.0

J ;'\ _I

::j I \

I

^~,

7.oj'{ \ I ^~

ELO

I

^J

5.0

4.0

~I /~

3.0

i} / \\ ~---

^y

~:~

^{- /}

o.o~JL~---:---,---,---.---.---~ _o

20 40 80

Te.t-tpo

5.4 SISTEMA DINÂMICO NÃO LINEAR

Neste exemplo mostraremos como o método das diferenças finitas pode ser aplicado para estudar um problema dinâmico não linear. Consideraremos o problema de um pêndulo plano, sujeito a atrito viscoso e excitado por um torque aplicado sobre seu eixo de rotação Figura 18. Nesse caso a equação diferencial que descreve o problema é a seguinte :

M·~ + B·e + Mg·síne

=

LT

FIGURA 18

Substituindo as derivadas pelos seus respectivos operadores em diferenças e reagrupando conveniente- mente os termos da expressão, obtemos a relação de recorrência