MAC5775 - Métodos Probabil´ısticos em Combinatória e em Teoria da Computa¸cão I Notas de Aula

(1)

MAC5775 - M´etodos Probabil´ısticos em Combinat´ oria e em Teoria da Computa¸c˜ ao I

Notas de Aula

Prof. Yoshiharu Kohayakawa [email protected]

Aluno: Marcel Kenji de Carli Silva [email protected]

29/6/2005

Sum´ ario

1 Teoria de Ramsey 3

2 Grafos aleat´orios 5

3 Números cromático e de independência 5

4 Teorema de Tur´an 7

5 Teoria extremal dos conjuntos 9

5.1 Um teorema de Bollob´as . . . 9

5.2 Pares disjuntos . . . 12

6 O método da altera¸cão 15 6.1 Grafos com cintura e número cromático grandes . . . 16

7 O método do segundo momento 18 7.1 Distribui¸cão do número de divisores de um inteiro . . . 19

7.2 Grafos aleat´orios e fun¸c˜ao limiar . . . 24

8 A distribui¸c˜ao binomial e algumas cotas 29 8.1 Um problema geom´etrico extremal . . . 29

8.2 A distribui¸c˜ao binomial . . . 30

8.3 Cotas para a distribui¸c˜ao binomial . . . 31

8.4 Uma modifica¸c˜ao da distribui¸c˜ao binomial . . . 37

(2)

9 Uniformidade na distribui¸c˜ao de

arestas de grafos aleat´orios 38

9.1 Mais formaliza¸c˜oes do conceito de uniformidade . . . 42

9.2 (n, d, λ)-grafos. . . 50

9.3 Um lema de Lindsey . . . 52

9.4 Uniformidade em (n, d, λ)-grafos . . . 53

9.5 Conexidade, aresta-conexidade e emparelhamentos . . . 56

10 O método das diferen¸cas limitadas 59 10.1 O número cromático de quase todoG(n, p) . . . 60

10.2 Desigualdades isoperim´etricas discretas. . . 62

10.3 Martingais. . . 65

11 Desigualdade de Janson 66 12 O lema local 72 12.1 Hipergrafos e a propriedade B . . . 73

12.2 Demonstra¸c˜ao do lema . . . 74

12.3 Dimens˜ao de ordens parciais. . . 77

12.4 Fam´ılias misturadoras de permuta¸c˜oes . . . 79

13 Entropia 82 13.1 Uma generaliza¸c˜ao de subaditividade . . . 88

13.2 Entropia e programa¸c˜ao linear . . . 92

14 Conjuntos livres de somas 92

Referˆencias 93

(3)

1 Teoria de Ramsey

Nota¸cão: n→(s, t) indica que todo grafo comnvértices contém ou umK_s ou um K_t.

DefinaR(s, t) := min{n:n→(s, t)}.

Ramsey provou queR(s, t) ´e finito para quaisquers, t.

Teorema 1.1 (Ramsey [17]). Sejams, t≥1. Ent˜ao R(s, t)´e finito. Ademais, R(s, t)≤

s+t−2 s−1

(1.1) Demonstra¸cão. A prova é por indu¸cão em s+t. Come¸camos notando que R(s,1) =R(1, t) = 1 para todos, t≥1.

Sejams >1 et >1. Vamos mostrar que

R(s, t)≤R(s−1, t) +R(s, t−1). (1.2) Sejan:=R(s−1, t) +R(s, t−1) e sejaGum grafo qualquer sobrenv´ertices.

Sejavum vértice deG. ParticioneVG\ {v}em{A, N}, ondeAé formado pelos vértices deGadjacentes av eN é formado pelos vértices deGnão-adjacentes a v.

Suponha que|A|< R(s−1, t) e que |N|< R(s, t−1). Ent˜ao|VG\ {v}|=

|A|+|N| ≤R(s−1, t)−1 +R(s, t−1)−1 < n−1, um absurdo. Segue que

|A| ≥R(s−1, t) ou|N| ≥R(s, t−1).

Se |A| ≥ R(s−1, t), então o subgrafo G[A] contém um K_s−1 ou um K_t. Se G[A] contiver um Kt, estamos feitos. Senão, o conjunto de vértices de um K_s−1 deG[A], junto comv, é um Ks emG.

Se |N| ≥R(s, t−1), então o subgrafo G[N] contém um Ks ou um K_t−1. Se G[N] contiver um Ks, estamos feitos. Senão, o conjunto de vértices de um K_t−1 deG[N], junto comv, é umKtemG.

Resta provarmos (1.1). Note que (1.1) é justo para s = t = 1. Suponha então ques >1 ou t >1. Então, por indu¸cão ems+te por (1.2), temos

R(s, t)≤R(s−1, t) +R(s, t−1)

≤

s+t−2−1 s−2

+

s+t−2−1 s−1

nn=

s+t−2 s−1

,

onde utilizamos a famosa identidade binomial a

b

= a−1

b−1

+ a−1

b

. (1.3)

(4)

Podemos utilizar a cota superior (1.1) para limitar superiormente os n´umeros diagonaisR(s) :=R(s, s):

R(s)≤

2s−2 s−1

≤2^2s−2

√s ≤2^2s−2. (1.4)

Para provarmos uma cota inferior para os n´umeros diagonais R(s), vamos utilizar o m´etodo probabil´ıstico:

Teorema 1.2 (Erd˝os [5]). Sejas≥3. Ent˜ao

R(s)≥ b2^s/2c. (1.5)

Demonstra¸c˜ao. Sejan:=b2^s/2ce considere o grafoGcomnv´ertices constru´ıdo da seguinte maneira. Comece com E_G := ∅. Para cada e ∈ ^V₂^G

, coloque e emE_Gcom probabilidade 1/2. Note que, dado qualquer grafoG₀comnv´ertices, temos P[G= G0] = 2⁻(ⁿ2), ou seja, o grafo G pode ser visto como um grafo sorteado aleatoriamente e uniformemente dentre todos os grafos comnv´ertices.

SejaW ∈ ^V_s^G

um conjunto desvértices de G. Defina a variável aleatória X_W :=

(1 seG[W] ´e umKsou um Ks,

0 caso contr´ario. (1.6)

Defina tamb´emX:=P

XW :W ∈ ^V_s como o n´umero de cliques e conjuntos independentes de cardinalidades.

Utilizando a linearidade da esperan¸ca, temos E[X] =E

"

X

W∈(^Vs) XW

#

= X

W∈(^Vs)

E[XW] = X

W∈(^Vs)

P[XW = 1]. (1.7)

E f´´ acil ver que a probabilidade deG[W] ser um clique ´e 2⁻(^s₂). E essa tamb´em

´

e a probabilidade deG[W] ser um conjunto independente. Assim,

P[XW = 1] = 2¹⁻(^s₂). (1.8) Juntando (1.7) e (1.8), obtemos

E[X] = X

W∈(^V_s)

2¹⁻(^s₂) =n s

2^1−s²^/2+s/2≤n^s s!

2^1+s/2 2^s²^/2 . Como n≤2^s/2, ent˜ao

E[X]≤ 2^s²^/2 s!

2^1+s/2

2^s²^/2 = 2^1+s/2

s! . (1.9)

(5)

E f´´ acil ver, atrav´es de (1.9), queE[X]<1 ses≥3.

Mas isso significa que, dentre todos os grafos com n vértices, ao menos um deles tem X < 1, isto é, ao menos um deles não tem nem um clique de cardinalidade s nem um conjunto independente de cardinalidade s. Segue queR(s)>b2^s/2cparas≥3, como quer´ıamos.

Na verdade, na prova do teorema1.2, pode-se ver em (1.9) queE[X] é muito menor que 1 para sgrande. Isso significa que, parasgrande, quase todo grafo comb2^s/2cvértices satisfaz a propriedade desejada, isto é, não contém nem um clique de cardinalidade se nem um conjunto independente de cardinalidade s.

Assim, um grafo sorteado como Gprova queR(s)>b2^s/2ccom alta probabilidade.

2 Grafos aleat´ orios

O grafoG constru´ıdo na prova do teorema (1.2) é um grafo aleatório. Po- demos generalizar essa defini¸cão. Seja 0 ≤p≤1 um real. Denote porG(n, p) o grafo com VG := [n] constru´ıdo da seguinte maneira. Comece comEG =∅.

Para cada e∈ ^V₂^G

, coloqueeemEG com probabilidadep.

Podemos definir tamb´em G(n, M), onde 0 ≤M ≤ ⁿ₂

´

e um inteiro. Neste caso, o conjunto de arestas ´e sorteado uniformemente do conjunto

E(K_n) M

.

Ou seja, nesse caso o número de arestas é pré-determinado.

Seguem alguns exemplos de resultados sobre grafos aleat´orios.

Pode-se estudar vários aspectos de grafos aleatórios, como conexidade, ha- miltonicidade, etc. É poss´ıvel provar o seguinte fenômeno curioso. Seja (1 + ε) logn o grau médio de um grafo aleatório. Se ε >0, então o grafo é tipicamente conexo. Mais formalmente, a probabilidade de um grafo aleatório comn vértices ser conexo tende a 1, quando n → ∞. Já se ε < 0, então o grafo é tipicamente desconexo. A formaliza¸cão é semelhante.

Outro resultado que pode ser provado é o número de grafos não-isomorfos comnvértices. Dado um grafo comnvértices, há no máximon! grafos isomorfos a ele. Assim, o número de grafos não-isomorfos com n vértices é pelo menos 2(ⁿ²)/n!. Na verdade, é poss´ıvel provar, utilizando argumentos probabil´ısticos, que o número de grafos não-isomorfos comnvértices é, assintoticamente, igual a esse valor.

3 N´ umeros crom´ atico e de independˆ encia

Evidentemente temos

χ(G)≤∆(G) + 1 (3.1)

(6)

para qualquer grafo G. Esse fato nos permite obter uma cota inferior para o n´umero de independˆencia deG.

Lembrando que uma colora¸cão dos vértices de um grafo G pode ser vista como uma parti¸cão de VG em conjuntos independentes, seja {X1, . . . , Xχ(G)} uma colora¸cão m´ınima de G. Suponha, que |Xi| < n/χ(G) para todo i, onde n := |VG|. Então |VG| = Pχ(G)

i=1 |Xi| < n, o que ´e um absurdo. Logo, temos

|Xi| ≥n/χ(G) para algumi. Segue que

α(G)≥n/χ(G). (3.2)

Juntando (3.1) e (3.2), obtemos

α(G)≥ n

∆(G) + 1. (3.3)

Essa cota pode ser generalizada utilizando o m´etodo probabil´ıstico:

Teorema 3.1 (Caro e Wei). Seja G= (V, E)um grafo. Ent˜ao α(G)≥X

v∈V

1

d(v) + 1. (3.4)

Note que essa cota de fato generaliza (3.3), pois α(G)≥X

v∈V

1

d(v) + 1 ≥X

v∈V

1

∆(G) + 1= n

∆(G) + 1.

Demonstra¸cão. Seja<uma ordem total aleatória sobreV. Considere o conjunto I:={v∈V :vw∈E⇒v < w}. EvidentementeIé um conjunto independente.

Sejav∈V e defina a seguinte vari´avel aleat´oria:

Xv:=

(1 sev∈I, 0 caso contr´ario.

Defina também a variável aleatóriaX :=P

v∈V Xv, de modo queX =|I|.

Evidentementeα(G)≥ |I|. Temos ent˜ao α(G)≥E[X] =X

v∈V

E[Xv] =X

v∈V

P[Xv= 1].

E f´´ acil ver queX_v= 1 se, e somente se,v´e o menor elemento de{v} ∪Γ(v), segundo a ordem total<. Assim, a probabilidade de queX_v = 1 ´e 1/(d(v) + 1).

Mas ent˜ao

α(G)≥X

v∈V

1 d(v) + 1,

como quer´ıamos.

Essa cota ´e justa se o grafo for uma uni˜ao de cliques.

(7)

4 Teorema de Tur´ an

Qual o número máximo de arestas que um grafo pode ter sem que contenha necessariamente um triângulo, isto é, umK₃?

Considere a seguinte constru¸cão para um grafo denvértices. BiparticioneV_G em {A, B}, com |A| =dn/2e e|B| =bn/2c. Agora crie arestas ligando todo vértice deAa todo vértice deB. Em outras palavras, tomeG:=Kdn/2e,bn/2c. Tal grafo tem dn/2ebn/2c ≤ n²/4 arestas. Como Gé bipartido, ele não tem circuitos ´ımpares, de modo que não contémK3. Além disso,Gé maximal, pois a adi¸cão de qualquer aresta a G cria um triângulo. Pode-se provar que essa constru¸cão é ótima, isto é, que se |EG|> n²/4, entãoGcontém um triângulo.

Esse ´e o teorema de Tur´an.

Essa constru¸c˜ao pode ser generalizada da seguinte maneira. Queremos proi- bir queGcontenha umKk+1. ParticionamosVG em{I1, . . . , Ik}, de modo que

|Ii| = dn/ke para 1 ≤ i ≤ nmodk e |Ii| = bn/kc para nmodk < i ≤ k.

Cada Ii será um conjunto independente. Criamos então arestas ligando cada vértice de Ii a cada vértice de Ij, para todo i 6=j. É fácil ver que não existe nenhum K_k+1 neste grafo, e que a adi¸cão de qualquer aresta forma um K_k+1. Essa constru¸cão é ótima, no sentido de que, se um grafoH comnvértices possui mais que|EG|arestas, entãoH contém umK_k+1.

Para enunciar o teorema de Turán, vamos inverter a constru¸cão acima. Os conjuntos independentes serão cliques e não existirá arestas entre os cliques.

Seja n ek ≤n. Sejam q e r tais que n =kq+r e 0 ≤ r < k. Considere o grafoTn,t dado porSr

i=1Kq+1∪Sk

i=r+1Kq, onde t:=r

q+ 1 2

+ (k−r) q

2

(4.1)

´

e o n´umero de arestas deTn,t.

Teorema 4.1 (Tur´an [22]). Sejam n > 0 e k ≤ n e seja t dado por (4.1).

Seja H um grafo com n(H) = n e |EH| =t. Ent˜ao α(H) ≥k. Ademais, se α(H) =k, ent˜aoH ∼=T_n,t.

Demonstra¸cão. Come¸camos observando queα(T_n,t) =k, poisT_n,t é uma união dek cliques. Assim, a cota (3.4) é justa paraT_n,t.

Seja ent˜ao H um grafo com n v´ertices e t arestas. Pelo teorema (3.1) de Caro e Wei, temos

α(H)≥ X

v∈VH

1 d(v) + 1.

Se minimizarmosP

v∈VH1/(d(v) + 1) sujeito aP

v∈VHd(v) = 2t, a solu¸c˜ao que obtivermos dever´a satisfazer

|d(v)−d(w)| ≤1 (4.2)

para todos v, w ∈ VH. De fato, suponha que d(v)−d(w) ≥ 2. Construa agora uma solu¸cãod⁰, idêntica adem todos os vértices, exceto pelo fato de que d⁰(v) =d(v)−1 ed⁰(w) =d(w) + 1.

(8)

Note que

1

d(v) + 1+ 1

d(w) + 1 = d(v) +d(w) + 2

(d(v) + 1)(d(w) + 1) (4.3) e que

1

d⁰(v) + 1+ 1

d⁰(w) + 1= 1

d(v)+ 1

d(w) + 2= d(v) +d(w) + 2

d(v)(d(w) + 2). (4.4) Suponha, por contradi¸cão, que (4.3) é menor ou igual a (4.4). Como elas têm o mesmo numerador, então (d(v) + 1)(d(w) + 1)≥d(v)(d(w) + 2). Disso segue qued(v)−d(w)≤1, o que é um absurdo. Segue a validade de (4.2).

Ent˜ao odque minimizaP

v∈VH1/(d(v) + 1) sujeito a P

v∈VHd(v) = 2t´e a fun¸c˜ao grau deT_n,t. Segue que

α(H)≥ X

v∈VH

1

dH(v) + 1 ≥ X

v∈V_Tn,t

1

dT_n,t(v) + 1 =k.

Resta mostrar que, se α(H) = k, então H ∼= Tn,t. Suponha então que α(H) = k. Então todas as desigualdades que apareceram até agora devem ser igualdades, incluindo as da prova do teorema3.1de Caro e Wei. Em particular, a variável aleatóriaXdeve ser constante, isto é, ela independe da ordem total<.

Suponha queH não é uma união de cliques. Então existem vérticesx, y, z comxy, xz∈E_H eyz6∈E_H. Considere as seguintes ordens<e<⁰. Considere x o menor elemento de V_H segundo < e tome x < y < z < · · ·, onde · · · é uma ordem total no restante dos vértices. Considereyo menor elemento deV_H segundo <⁰ e tome y <⁰ z <⁰ x <⁰ · · ·, onde · · · é a mesma ordem no restante dos vértices definida para<.

SejaI< o conjuntoI referente à ordem <e seja I_<⁰ o referente à ordem<⁰. Então x∈I<, masy, z 6∈I<, enquanto quex6∈I_<⁰ , mas y, z ∈I_<⁰ . Mas então

|I<| 6=|I_<⁰ |, de modo queX n˜ao ´e constante.

Segue queH ´e uma uni˜ao de cliques da mesma forma comoTn,t.

Exerc´ıcio 1 (Shearer [19]). Definadi(x) como o número de vértices à distân- cia i de x. Por exemplo, d1(x) = d(x). Seja G um grafo livre de triângulos.

Prove que

α(G)≥ X

v∈VG

d₁(v)

1 +d1(v) +d2(v). (4.5) Exerc´ıcio 2 (Shearer [19]). Seja Gum grafo livre deC3 eC5. Prove que

α(G)≥ q

nd/2 =p

|EG|, (4.6)

onded:= 2|EG|/n(G)´e o grau m´edio deG.

(9)

5 Teoria extremal dos conjuntos

Um exemplo de resultado da teoria extremal dos conjuntos ´e o seguinte.

Teorema 5.1. Seja F ∈ P([n]) uma fam´ılia de conjuntos intersectantes, isto

´

e, F∩F⁰6=∅ para quaisquer F, F⁰∈ F. Ent˜ao|F | ≤2ⁿ⁻¹.

Demonstra¸cão. ParticioneP([n]) em 2ⁿ⁻¹pares de conjuntos complementares, isto é, cada parte dessa parti¸cão é da forma{F,[n]\F}para algumF ∈ P([n]).

E claro que toda fam´ılia intersectante´ F pode ter no m´aximo um dos elementos de cada parte. Mas ent˜ao|F | ≤2ⁿ⁻¹.

Al´em disso, essa cota ´e justa. Basta tomar a fam´ılia F^∗:={F∪ {n}:F ∈ P([n−1])}.

5.1 Um teorema de Bollob´ as

Teorema 5.2(Bollob´as [2]). Sejam(A1, B1), . . . ,(Am, Bm)pares de conjuntos finitos satisfazendoAi∩Bj =∅se, e somente se, i=j. Ent˜ao

m

X

i=1

|Ai|+|Bi|

|Ai| ⁻¹

≤1. (5.1)

Em particular, se|Ai| ≤ae|Bi| ≤bpara todo i, ent˜ao m≤

a+b a

. (5.2)

Demonstra¸c˜ao. Suponha, sem perda de generalidade, queSm

i=1(Ai∪Bi)⊆[n].

Considere uma permuta¸cão aleatóriaσde [n], isto é,σ=σ1· · ·σn. Dizemos que σ é compat´ıvel com o par (A_i, B_i) se todos os elementos de A_i aparecem antes de todos os elementos deB_i.

Seja X a variável aleatória que denota o número de pares (A_i, B_i) compat´ıveis com σ. Suponha que σ é compat´ıvel com os pares distintos (A_i, B_i) e (A_j, B_j). Seja k a posi¸cão máxima de um elemento de A_i em σ, isto é, k := max{p:σ_p ∈A_i}. Seja l a posi¸cão m´ınima de um elemento deB_i em σ, isto é,l := min{p:σp∈B}. Comoσé compat´ıvel com (Ai, Bi), temosk < l.

Por outro lado, (Aj, Bj) também é compat´ıvel com σ. Como Aj ∩Bi 6= ∅, então a posi¸cão máxima de um elemento de Aj em σé, no m´ınimo,l. Como Ai∩Bj6=∅, então a posi¸cão m´ınima de um elemento deBj emσé, no máximo, k. Mas então existe um elemento de Bj que aparece antes de um elemento deAj emσ, contradizendo com a hipótese de compatibilidade. Conclu´ımos que X ≤1.

SejaXi a vari´avel aleat´oria definida da seguinte forma:

Xi:=

(1 seσ´e compat´ıvel com (A_i, B_i), 0 caso contr´ario.

(10)

E claro que´ X =Pm

i=1Xi. Ent˜ao 1≥E[X] =

m

X

i=1

E[Xi] =

m

X

i=1

P[Xi= 1].

Precisamos então calcular a probabilidade de que a permuta¸cão sorteada seja compat´ıvel com (A_i, B_i). Dentre todas asn! permuta¸cões, temos _|A ⁿ

i|+|Bi|

formas de escolher as posi¸c˜oes ocupadas por Ai eBi, lembrando que Ai e Bi

s˜ao disjuntos. Podemos ordenar os elementos deAi de|Ai|! formas, e os de Bi

de |Bi|! formas. Finalmente, há (n− |Ai| − |Bi|)! formas de se ordenar os elementos de [n] que não estão emAi ou emBi. Segue que

P[X_i= 1] =

n

|Ai|+|Bi|

|A_i|!|B_i|!(n− |A_i| − |B_i|)!/n!. (5.3) Assim, temos

1≥E[X] =

m

X

i=1

n

|Ai|+|Bi|

|Ai|!|Bi|!(n− |Ai| − |Bi|)!/n!

=

m

X

i=1

n!

(|Ai|+|Bi|)!(n− |Ai| − |Bi|)!|Ai|!|Bi|!(n− |Ai| − |Bi|)!/n!

=

m

X

i=1

|Ai|!|Bi|!

(|Ai|+|Bi|)! =

m

X

i=1

|Ai|+|Bi|

|Ai| −1

,

como quer´ıamos.

Para (5.2), come¸camos notando que |Ai|+|Bi|

|Ai|

≤

|Ai|+b

|Ai|

,

j´a que|Bi| ≤bpara todo i. Ademais, ao passarmos de |A_i|+b

|Ai|

para

a+b a

,

estamos percorrendo uma diagonal do triângulo de Pascal, cujas entradas são não-decrescentes. Segue que

|A_i|+|B_i|

|Ai|

≤

|A_i|+b

|Ai|

≤ a+b

a

, (5.4)

de modo que m/

a+b a

=

m

X

i=1

a+b a

−1

≤

m

X

i=1

|Ai|+|Bi|

|Ai| −1

≤1.

(11)

E f´´ acil ver que as cotas (5.1) e (5.2) são justas através da seguinte constru¸cão.

Sejan:=a+b e tome como seusAi todos os subconjuntos de [n] de cardinalidade a. Para cada i, tome Bi := [n]\Ai. Com isso temos ^a+b_a

pares de conjuntos (Ai, Bi). Resta verificarmos queAi∩Bj6=∅ sempre quei6=j.

Sejam i 6= j. Como |Ai| = |Aj|, ent˜ao existe algum k ∈ Ai \Aj. Mas ent˜aok∈B_j, de modo queA_i∩B_j6=∅.

Corolário 5.2.1 (Sperner). Seja A ⊆ P([n]) uma fam´ılia de Sperner, isto é, para quaisquer A, A⁰∈ A comA6=A⁰, temosA6⊆A⁰ e A6⊇A⁰. Então

X

A∈A

n

|A|

−1

≤1. (5.5)

Em particular,

|A| ≤ n

bn/2c

. (5.6)

Demonstra¸c˜ao. SejaAuma fam´ılia de Sperner.

Vamos construir|A|pares (Ai, Bi) de conjuntos que satisfazem as hipóteses do teorema5.2de Bollobás. OsAi’s serão os elementos deA. Para cadai, tome B_i := [n]\A_i. Evidentemente temos A_i∩B_i = ∅ para todo i. Sejam i 6= j.

ComoAé de Sperner, então existe umk∈A_i\A_j. Mas entãok∈B_j= [n]\A_j, de modo queA_i∩B_j 6=∅.

Aplicando o teorema5.2 de Bollob´as aos pares constru´ıdos, obtemos

m

X

i=1

n

|Ai| −1

≤1.

Ademais, como _bn/2cⁿ

≥ ⁿ_k

para todo k, temos

|A|/

n bn/2c

= X

A∈A

n bn/2c

−1

≤ X

A∈A

n

|A|

−1

≤1, de onde (5.6) segue imediatamente.

E f´´ acil ver que a cota (5.6) ´e justa: basta tomarA:= _bn/2c^[n]

.

Suponha que as hipóteses do teorema 5.2 de Bollobás sejam enfraquecidas para: Ai∩Bi =∅para todoieAi∩Bj 6=∅para todoi < j. Neste caso, não se conhecem demonstra¸cões puramente combinatórias para cotas. Todas utilizam métodos de álgebra linear.

Exerc´ıcio 3 (Tuza [23]). Sejam (A1, B1), . . . ,(Am, Bm)pares de conjuntos finitos satisfazendoAi∩Bi =∅ para todoie, para todo i6=j, temosAi∩Bj 6=∅ ouAj∩Bi6=∅. Se|Ai| ≤ae|Bi| ≤bpara todo i, prove que

m≤ (a+b)^a+b

a^ab^b . (5.7)

(12)

[Dica: Prove que, para qualquer 0< p <1, tem-se

m

X

i=1

p^|Aⁱ^|(1−p)^|Bⁱ^|≤1. (5.8) Utilize essa cota para derivar o resultado.]

5.2 Pares disjuntos

SejaF ⊆ P([n]). Defina d(F) :=

{F, F⁰}:F, F⁰∈ F eF∩F⁰=∅ . (5.9) Podemos considerar um grafo que temF como conjunto de vértices, onde existe uma aresta entre dois vértices F e F⁰ seF ∩F⁰ = ∅. Então d(F) é o número de arestas desse grafo.

Daykin e Erd˝os conjecturam o seguinte. Sem:=|F | ≥2⁽¹^/2+δ)n para algum δ >0, ent˜aod(F) =o(m²).

A relevância da conjectura pode ser melhor compreendida através da seguinte constru¸cão. Seja npar e particione [n] em{U, W} de modo que |U|=

|W|. TomeF:=P(U)∪ P(W). Observe que

|F |=m= 2·2^n/2= 2⁽¹^/2+1^/n)n= 2⁽¹^/2+o(1))n e que d(F)≥(m/2)²= Ω(m²).

Essa constru¸cão, porém, não é um contra-exemplo para a conjectura. De fato, fixe δ > 0. Existe n₀ tal que 1/n < δ para todo n ≥ n₀. Assim, para todo n≥n₀, essa constru¸cão gera uma fam´ıliaF de cardinalidade menor que a da hipótese da conjectura.

Sejaf(x) uma fun¸cão sobre os reais. A fun¸cãof(x) é ditaconvexa se f(λx+ (1−λ)y)≤λf(x) + (1−λ)f(y) (5.10) para qualquer 0 ≤ λ≤ 1. Utilizando o seguinte lema poderemos provar uma cota.

Lema 5.3 (Jensen). Seja f uma fun¸c˜ao convexa. Ent˜ao f

r

X

i=1

λixi

!

≤

r

X

i=1

λif(xi), (5.11)

sempre que Pr

i=1λi= 1 e0≤λi≤1 para todoi.

Demonstra¸cão. A prova é por indu¸cão emr. Parar= 2, basta usar a defini¸cão de fun¸cão convexa. Suponha então quer >2. Podemos supor queλi>0 para todo i, pois podemos remover osλi’s que são nulos. Temos

λ1x1+λ2x2+· · ·+λrxr= (λ1+λ2)

λ₁ λ1+λ2

x1+ λ₂ λ1+λ2

x2

+· · ·+λrxr.

(13)

Observe que o lado direito temr−1 termos. Aplicando a hip´otese de indu¸c˜ao, obtemos

f

(λ1+λ2) λ1

λ1+λ2

x1+ λ2

λ1+λ2

x2

+· · ·+λrxr

≤

(λ₁+λ₂)f λ₁

λ1+λ2

x₁+ λ₂ λ1+λ2

x₂

+· · ·+λ_rf(x_r).

Por´em, pela convexidade def(x), temos f

λ1

λ1+λ2

x1+ λ2

λ1+λ2

x2

≤ λ1

λ1+λ2

f(x1) + λ2

λ1+λ2

f(x2), e estamos feitos.

Agora vamos provar uma cota.

Teorema 5.4 (Alon e Frankl [1]). SejaF ⊆ P([n]), comm:=|F |= 2⁽¹^/2+δ)n, onde0< δ < δ₀ para um certo δ₀>0. Ent˜aod(F)< m^2−δ²^/2.

Demonstra¸cão. A prova é por contradi¸cão. Suponha então qued(F)≥m^2−δ²^/2. Come¸camos fazendo alguns cálculos. Tome

t:=d1 + 1/δe. (5.12)

Temos

1−tδ= 1− d1 + 1/δeδ≤1−(1 + 1/δ)δ=−δ, de modo que

2^(1−tδ)n≤2^−δn. (5.13)

Ademais, pode-se provar que, tomandoδ0:= 1/2, ent˜ao 0< δ < δ0implica que

1−tδ² 2

1 2+δ

>1 2.

Se tomarmos cada um dos lados como expoente de 2ⁿ, obtemos

m^1−tδ²^/2>2^n/2, (5.14) de onde conclu´ımos que

m^−tδ²^/2>2^n/2/m= 2^−δn. (5.15) Sejam A1, . . . , At∈ F sorteados uniforme e independentemente, com reposi¸c˜ao.

Primeiro queremos calcular a probabilidade de que|St

i=1Ai| ≤n/2. Pode- mos limitar superiormente essa probabilidade da seguinte forma. Se esse evento ocorre, ent˜ao existe um conjuntoS∈ _bn/2c^[n]

tal queAi⊆S para todoi. Ent˜ao P

h

St i=1Ai

≤n/2i

≤ X

S∈(_bn/2c^[n] )

P[Ai⊆S,∀i].

(14)

Dado S ∈ _bn/2c^[n]

, é fácil calcular P[Ai ⊆S,∀i]. Dentre osm elementos de F, no máximo 2^bn/2c ≤ 2^n/2 são subconjuntos de S. Ademais, todos os Ai são sorteados independentemente e com reposi¸cão, de modo que

P h

St

i=1Ai

≤n/2i

≤2ⁿ 2^n/2

m ^t

= 2^(1−tδ)n≤2^−δn, (5.16) onde utilizamos (5.13) na ´ultima inequa¸c˜ao.

Considere agora o grafo relativo aF, como descrevemos no in´ıcio da subse-

¸

c˜ao. DadoB ∈ F, seu grau no grafo ´e

v(B) =|{A∈ F :A∩B=∅}|. (5.17) Lembrando que d(F) ´e o n´umero de arestas do grafo, temos

X

F∈F

v(F) = 2d(F)≥2m^2−δ²^/2, (5.18) onde utilizamos a hip´otese de contradi¸c˜ao.

Seja Y a variável aleatória que denota o número de conjuntosB ∈ F tais que B∩A_i =∅ para todoi. Ou seja,Y é o número de vizinhos deA₁, . . . , A_t que estão fora desse conjunto. Para cadaB ∈ F, considere a variável aleatória YB como valendo 1 seB∩Ai =∅ para todo ie 0 caso contrário. Obviamente temos Y =P

B∈FYB. Temos

E[Y] = X

B∈F

E[YB] = X

B∈F

P[B∩Ai=∅,∀i].

FixadoB, queremos que todos ostconjuntosAiescolhidos sejam vizinhos deB.

Ent˜ao existem v(B) escolhas dessa maneira, dentre asmescolhas poss´ıveis:

E[Y] = X

B∈F

v(B) m

t

=m X

B∈F

1 m

v(B) m

t

. (5.19)

Note que a fun¸cão f(x) := (x/m)^té convexa para x≥0. Podemos então aplicar a desigualdade (5.11) de Jensen a (5.19), obtendo

E[Y]≥m X

B∈F

v(B) m²

!^t

. (5.20)

Mas ent˜ao, por (5.18), E[Y]≥m

2d(F) m²

t

≥m 2m^−δ²^/2^t

≥2m^1−tδ²^/2. (5.21) ComoY ≤m, temos

E[Y]≤mP[Y ≥m^1−tδ²^/2] +m^1−tδ²^/2P[Y < m^1−tδ²^/2]

≤mP[Y ≥m^1−tδ²^/2] +m^1−tδ²^/2.

(5.22)

(15)

Segue de (5.21), (5.22) e (5.15) que

P[Y ≥m^1−tδ²^/2]≥m^−tδ²^/2>2^−δn. (5.23) Evidentemente temos

P h

Y ≤2^n/2 ou St

i=1A_i

≤n/2i

≤P[Y ≤2^n/2] +P h

St i=1A_i

≤n/2i .

Ent˜ao, por (5.14), (5.23) e (5.16), temos P

h

Y ≤2^n/2 ou

St i=1Ai

≤n/2i

<(1−2^−δn) + 2^−δn = 1, (5.24) ou seja, existem conjuntosA1, . . . , Attais queY >2^n/2 e|St

i=1Ai|> n/2.

Como |St

i=1Ai| > n/2, ent˜ao cadaB ∈ F disjunto de todos os Ai’s deve ser subconjunto de [n]\ St

i=1Ai

, que temk < n/2 elementos. Assim, o total de conjuntos B ∈ F disjuntos de todos osAi’s ´e no m´aximo 2^k <2^n/2, o que contradiz comY >2^n/2.

6 O m´ etodo da altera¸ c˜ ao

O uso mais simples do método probabil´ıstico consiste em mostrar que um dado evento desejado ocorre com probabilidade positiva num certo espa¸co de probabilidade. Porém, algumas vezes não se consegue mostrar diretamente que o evento desejado ocorre com probabilidade positiva, mas pode-se alterar um objeto, constru´ıdo probabilisticamente, de modo a garantir que ele satisfa¸ca certas propriedades. Esse é o método da altera¸cão, que exemplificamos nesta se¸cão.

Antes vamos provar a desigualdade de Markov.

Teorema 6.1 (Markov). Seja X uma variável aleatória não-negativa. Para qualquer λ∈R^>0, temos

P[X≥λ]≤ E[X]

λ . (6.1)

Demonstra¸c˜ao. Pela defini¸c˜ao de esperan¸ca, E[X] =X

x

xP[X =x]≥X

x≥λ

xP[X=x]

≥X

x≥λ

λP[X =x] =λX

x≥λ

P[X =x]

=λP[X ≥λ], como quer´ıamos.

(16)

6.1 Grafos com cintura e n´ umero crom´ atico grandes

SejaGum grafo. Evidentemente temosχ(G)≥ω(G). Uma questão interes- sante é a seguinte: existeGcomχ(G)≥2005 eω(G) = 2? Em outras palavras, existem grafos com número cromático arbitrariamente maiores que o tamanho de um clique máximo? Essa questão foi inicialmente proposta por B. Descartes, Zykov e Mycielski. Resolvê-la é um bom exerc´ıcio.

Outro parˆametro sobre um grafoG´eg(G), a cintura (= girth) deG, definida como

g(G) := min{l:l≥3 eCl⊆G}, (6.2) ou seja, a cintura deG´e o comprimento do menor circuito deG.

Suponha que um grafo Gtenha cintura grande. Sejak :=bg(G)/2c −1 e, dado v ∈ V_G, denote por D_≤k(v) o conjunto de vértices de G cuja distância atév é no máximo k. EntãoG[D_≤k(v)] é um árvore para todo vérticev. Em outras palavras, o grafoGé localmente uma árvore. Assim, o grafoGpode ser bicolorido localmente. Isso torna o seguinte teorema surpreendente.

Teorema 6.2(Erd˝os [6]).Sejamk, linteiros positivos. Ent˜ao existe um grafoG com χ(G)> keg(G)> l.

Demonstra¸c˜ao. Fixe θ < 1/l e tome p := n^θ−1. Vamos considerar o grafo aleat´orioG(n, p), parangrande.

Seja 3≤j ≤l. SejaC^j o conjunto de todos os circuitos de comprimentoj em G(n,1) = Kn. Para cada C ∈ C^j, defina XC como a probabilidade de queC⊆G(n, p). Evidentemente temosE[XC] =P[XC= 1] =p^j.

Para 3≤j≤l, defina uma variável aleatóriaXj como o número de circuitos de comprimentoj emG(n, p). Note que

X_j= X

C∈C^j

X_C,

de modo que

E[Xj] = X

C∈C^j

E[XC] =p^j X

C∈C^j

1.

Existemn(n−1)· · ·(n−j+ 1) seqüências de vértices distintos de comprimento j, ou seja, seqüências da forma v₁v₂· · ·v_jv₁. Dessas, 2j representam o mesmo circuito, se considerarmos ambas as dire¸cões e o vértice inicial da seqüência. Assim,|C^j|=n(n−1)· · ·(n−j+ 1)/2j. Logo,

E[X_j] =n(n−1)· · ·(n−j+ 1)p^j/2j≤(np)^j/2j ≤(np)^j =n^jθ. (6.3) SejaX uma variável aleatória que denota o número de circuitos “pequenos”

emG(n, p), isto é, o números de circuitos de comprimento no máximol. Temos X =Pl

j=3Xj. Assim, E[X] =

l

X

j=3

E[Xj]≤

l

X

j=3

n^jθ ≤ln^lθ=o(n), (6.4)

(17)

pois lθ <1.

Pela desigualdade (6.1) de Markov, temos

P[X≥n/2]≤2E[X]/n=o(1). (6.5) Tome

a:=

&

3 plnn

'

. (6.6)

Para cada A∈ ^[n]_a , defina YA:=

(1, se o subgrafo deG(n, p) induzido porA´e independente, 0, caso contr´ario.

SejaY :=P

A∈(^[n]_a)YAo n´umero de conjuntos independentes de cardinalidadea emG(n, p). Temos

E[Y] = X

A∈(^[n]_a)

E[YA] = X

A∈(^[n]_a)

P[YA= 1] = n

a

(1−p)(^a²). (6.7)

Utilizando o fato de que, para todox∈R, temos

1 +x≤e^x, (6.8)

obtemos

E[Y]≤n^aexp{−pa(a−1)/2}= nexp{−p(a−1)/2}a

. (6.9)

Pode-se provar que, paran≥exp{2p}, temos−p(a−1)/2≤ −5/4 lnn, de modo que

E[Y]≤ nexp{−5 lnn/4}a

=n^−a/4=o(1), (6.10) pois a >0 para todon.

Segue de (6.10) e da desigualdade (6.1) de Markov que

P[Y ≥1] =o(1). (6.11)

Utilizando (6.5) e (6.10), comn suficientemente grande, sejaGumG(n, p) satisfazendoX < n/2 eY = 0. Isto é, o número de circuitos “pequenos” deGé estritamente menor que n/2 eα(G)< a, ou seja,

α(G)≤3n^1−θlnn. (6.12)

Remova de Gum vértice de cada um dos circuitos “pequenos”, obtendo o grafo G⁰. Temos g(G⁰) > l e o número de vértices de G⁰ é ao menos n/2.

Como apenas deletamos alguns vértices, o número de independência não pode ter aumentado, de modo queα(G⁰)≤α(G). Utilizando (3.2), temos

χ(G⁰)≥ n(G⁰)

α(G⁰) ≥ n/2

3n^1−θlnn = n^θ

6 lnn. (6.13)

Tomandonsuficientemente grande, teremos χ(G⁰)> k, como quer´ıamos.

(18)

Exerc´ıcio 4. Sejaml, k, n inteiros satisfazendo1≤l < k ≤n. SejaF ⊆ ^[n]_k . A fam´ılia F ´e dita uma cobertura de ^[n]_l

se, para todo L ∈ ^[n]_l

, existe um F ∈ F tal que L⊆F.

Prove que, seF ´e uma cobertura de ^[n]_l , ent˜ao

|F | ≥ n

l k

l −1

. (6.14)

Prove que existe uma coberturaF ⊆ ^[n]_k

de ^[n]_l com

|F | ≤

1 + ln ^k_l n

l k

l −1

. (6.15)

[Dica: Defina uma fam´ıliaF colocando cadaF ∈ ^[n]_k

emF com probabilidade x/ ^n−l_k−l

, ondex deve ser escolhido apropriadamente. Sejam X :=|F |e Y :=

|{L∈ ^[n]_l

:Ln˜ao ´e coberto porF }|. ConsidereX+Y e otimize a escolha dex.]

7 O m´ etodo do segundo momento

A variância de uma variável aleatóriaX é definida como Var(X) :=E

h

X−E[X]2i

. (7.1)

Em geral, utilizamos as abreviaturasµ:=E[X] eσ²:= Var(X).

Vamos provar a desigualdade de Chebyshev:

Teorema 7.1 (Chebyshev). Para todo λ >0, temos P

|X−E[X]| ≥λ

≤Var(X)

λ² . (7.2)

Demonstra¸cão. Defina a variável aleatóriaY := (X−E[X])² e aplique a desigualdade (6.1) de Markov, obtendo

P[|X−E[X]| ≥λ]≤P[Y ≥λ²]≤E[Y]/λ²= Var(X)/λ².

Outra forma de escrever a desigualdade de Chebyshev é, para todoλ >0, P[|X−E[X]| ≥λσ]≤1/λ², (7.3) onde a distância deX à sua média é feita em termos do desvio padrãoσ.

Não é poss´ıvel melhorar significativamente a cota da desigualdade (7.2) sem fortalecer a hipótese. De fato, sejam µ, σ, λ reais, comλ >0. Considere uma variável aleatória X que vale µcom probabilidade 1−1/λ², vale µ−σλcom

(19)

probabilidade 1/(2λ²) e valeµ+σλcom essa mesma probabilidade. Essa distribui¸c˜ao mostra que a cota ´e justa.

Uma situa¸cão comum é definir uma variável aleatória como a soma de outras.

Suponha queX =Pm

i=1Xi. TemosE[X] =Pm

i=1E[Xi]. No caso da variˆancia, temos

Var(X) =

m

X

i=1

Var(Xi) +X

i6=j

Cov(Xi, Xj), (7.4) onde

Cov(X, Y) :=E[XY]−E[X]E[Y]. (7.5)

7.1 Distribui¸ c˜ ao do n´ umero de divisores de um inteiro

Antes de usarmos o método do segundo momento para provarmos alguns resultados sobre a distribui¸cão do número de divisores de um inteiro, vamos enunciar dois fatos sem prova.

Lema 7.2 (Mertens). Seja n >0 um inteiro. Ent˜ao X

p≤n pprimo

1

p= ln lnn+O(1). (7.6)

Teorema 7.3 (dos N´umeros Primos).

π(n) = (1 +o(1)) n

lnn, (7.7)

isto ´e,

n→∞lim π(n)

n/lnn = 1. (7.8)

Dado m inteiro, seja ν(m) o n´umero de divisores primos distintos de m, ignorando as multiplicidades.

Sejam≤num inteiro, e suponha que a fatora¸cão dem em primos ém= pâ₁¹· · ·pâ_k^k. Entãoν(m) =k. Pode-se mostrar que,

1≤ν(m)≤ 1 +o(1) lnn

ln lnn. (7.9)

Teorema 7.4 (Hardy e Ramanujan, Tur´an [21]). Sejaψ(n)uma fun¸c˜ao tal que

n→∞lim ψ(n) =∞.

Ent˜ao o n´umero de inteirosm∈[n]tais que

|ν(m)−ln lnn|> ψ(n)√

ln lnn (7.10)

´ e o(n).

(20)

A prova que apresentamos ´e devida a Tur´an.

Demonstra¸cão. Considere [n] um espa¸co de probabilidade uniforme e sorteie umm∈[n]. Defina a variável aleatóriaX comoX :=ν(m). Para cada primo p≤n, defina a variável aleatóriaX_p como

X_p:=

(1, sepdividem

0, caso contr´ario. (7.11)

Evidentemente temosX =P

p≤nXp. Ent˜ao E[X] =X

p≤n

E[Xp] =X

p≤n

P[Xp= 1] =X

p≤n

bn/pc n .

Temos

E[X]≤X

p≤n

n/p n =X

p≤n

1/p e

E[X]≥X

p≤n

n/p−1

n =X

p≤n

(1/p−1/n)≥h X

p≤n

1/pi

−1, de modo que, pelo lema7.2,

E[X] = ln lnn+O(1). (7.12)

Agora vamos calcular a variˆancia deX. Temos Var(X) =X

p≤n

Var(Xp) +X

p6=q

Cov(Xp, Xq).

Primeiro calcularemos Var(Xp). Note que, comoXpé uma variável aleatória booleana, entãoX_p²=Xp.

Var(X_p) =E X_p²

− E[X_p]2

=E[X_p]−

bn/pc n

2

≤1 p−

n/p−1 n

2

= 1 p−

1 p−1

n 2

=1 p− 1

p² + 2 pn− 1

n² =1 p

1−1

p

+O(1/n).

(7.13)

Portanto, pelo lema 7.2, X

p≤n

Var(X_p) =X

p≤n

1 p

1−1

p

+O(1/n)

≤X

p≤n

h

1/p+O(1/n)i

= ln lnn+O(1).

(7.14)

(21)

Agora fixe p 6=q primos. Temos Cov(Xp, Xq) = E[XpXq]−E[Xp]E[Xq].

A variável aleatória XpXq é booleana e vale 1 se, e somente se, ambos p e q dividemm. Comopeq são primos, isso só ocorre sepq dividem.

Cov(Xp, Xq) =E[XpXq]−E[Xp]E[Xq]

=bn/(pq)c

n −bn/pc n

bn/qc n .

≤ 1

pq −(n/p−1) n

(n/q−1) n

= 1 pq −

1 p− 1

n 1 q −1

n

= 1 pq −

1 pq −1

n 1

p+1 q

+ 1

n²

≤ 1 n

1 p+1

q

.

(7.15)

Utilizando repetidas vezes o lema7.2, obtemos X

p,q≤n p6=q

1 p+1

q

≤X

p≤n

X

q≤n

1 p+1

q

=X

p≤n



 1 p

X

q≤n

1 +X

q≤n

1 q





=X

p≤n

1

pπ(n) + ln lnn+O(1)

=h

π(n)X

p≤n

1/pi

+ ln lnn+O(1) X

p≤n

1

= 2π(n) ln lnn+O(1) .

(7.16)

Juntando (7.15), (7.16) e utilizando o teorema7.3dos n´umeros primos, obtemos

X

p,q≤n p6=q

Cov(X_p, X_q)≤2π(n)

n ln lnn+O(1)

=o(1). (7.17)

Isso pode ser interpretado informalmente como uma baix´ıssima dependˆencia entre as vari´aveisX_p.

Combinando esse ´ultimo resultado com (7.14), obtemos

Var(X)≤ln lnn+O(1). (7.18)

(22)

Estamos prontos para utilizar a desigualdade (7.2) de Chebyshev.

P

h|X−ln lnn| ≥ψ(n)√ ln lnni

≤P

h|X−E[X]| ≥ψ(n)

√

ln lnn+O(1)i

≤ ln lnn+O(1)

ψ²(n) ln lnn+O(1) =o(1). (7.19) (Note que, da primeira para segunda linha, deslocamos o centro do intervalo por uma constante e expandimos o comprimento do intervalo pela mesma constante.) Na verdade, Erd˝os e Kac provaram em 1940 que, sem´e escolhido uniformemente em [n], ent˜ao para qualquerλ∈R,

n→∞lim P

hν(m)≥ln lnn+λ√ ln lnni

= 1 2π

Z ∞ λ

exp{−t²/2}dt, isto ´e,ν(m) tem a mesma distribui¸c˜ao de probabilidade de uma normal.

Podemos evitar a referência a um n ≥m pré-fixado, como fazemos na seguinte defini¸cão. Seja ψ(n) uma fun¸cão tal que lim_n→∞ψ(n) = ∞. Dizemos que um inteiro mé (ν, ψ)-t´ıpico se

|ν(m)−ln lnm| ≤ψ(m)√

ln lnm. (7.20)

Porém, isso não faz muita diferen¸ca. Para diminuir ln lnnde uma unidade, devemos tomar a raiz e-ésima de n, isto é, para que ln lnn⁰ ≤ ln lnn−1, é preciso quen⁰ ≤n^1/e. Assim, ln lnné próximo ou igual a ln lnmpara a grande maioria dos inteiros m∈[n]. Segue, do teorema7.4que, para qualquer fun¸cão ψ(n) que tenda ao infinito,

P[m´e (ν, ψ)-t´ıpico ] = 1−o(1). (7.21) Exerc´ıcio 5. Evite o uso do teorema 7.3 dos n´umeros primos na prova do teorema 7.4.

[Dica: ConsidereX⁰=P

p≤√

nX_p e note queX⁰≤X ≤X⁰+ 1.]

Sejaν⁰(m) o número de divisores primos demcontando multiplicidades. Por exemplo,ν(12) = 2, masν⁰(12) = 3. É fácil ver que

1≤ν⁰(m)≤lgn. (7.22)

De fato, suponha quem=pâ₁¹· · ·pâ_k^k. Tomem⁰ := 2â¹^+···+a^ke note que lgm⁰= ν⁰(m⁰) =ν⁰(m) e m⁰≤m≤n. Mas entãoν⁰(m) = lgm⁰≤lgn.

Exerc´ıcio 6. Sejaψ(n) uma fun¸c˜ao tal quelim_n→∞ψ(n) =∞. Prove que

n→∞lim 1 n n

m∈[n] :|ν⁰(m)−ln lnn| ≥ψ(n)√

ln lnno

= 0. (7.23)

(23)

[Dica: DefinaX_pkvalendo 1 sep^k divideme 0 caso contr´ario, para todo primop e inteiro positivok. Note queν⁰(m) =P

p,kX_pk. Prove que X

k≥2 pprimo

1

p^k = X

pprimo

1

p(p−1) <∞.

Sorteie m uniformemente em [n]. Observe que E

ν⁰(m)−ν(m)

= O(1) e conclua queP

ν⁰(m)−ν(m)≥ω(n)

=o(1).]

Definad(m) como o número de divisores dem. Sem=pâ₁¹· · ·pâ_k^k, então ν(m) =k,

ν⁰(m) =a1+· · ·ak,

d(m) = (1 +a₁)· · ·(1 +a_k).

Podemos utilizar ν(m) e ν⁰(m) para limitar d(m). Considere o conjunto P :={p1, . . . , pk}. Para qualquer subconjuntoS ⊆P, o produto de todos os elementos de S é um divisor de m. Então 2^ν(m) ≤d(m). Considere agora o multiconjunto P⁰ formado por a1 cópias de p1, . . ., ak cópias de pk. Qualquer divisor demequivale a pelo menos um subconjunto deP⁰. Logo,d(m)≤2^ν⁰^(m). Temos assim

2^ν(m)≤d(m)≤2^ν⁰^(m). (7.24) Pelo teorema7.4, temos, tipicamente,

(1−ε) ln lnm≤ν(m), ν⁰(m)≤(1 +ε) ln lnm. (7.25) Mais formalmente, para qualquerε >0,

n→∞lim 1 n

m∈[n] :msatisfaz (7.25)

= 1. (7.26)

Para taism, utilizando (7.24),

2(1−ε) ln lnm≤d(m)≤2(1+ε) ln lnm, isto ´e,

(lnm)^{(1−ε) ln 2}≤d(m)≤(lnm)^{(1+ε) ln 2}. (7.27) Assim,d(m) concentra-se tipicamente em torno de (lnm)^{ln 2}.

Agora calculemos o valor médio ded(m). Considere a variável aleatóriaX_d definida como

Xd:=

(1, seddividem,

e seja X:=P

d≤nXd, de modo queX =d(m). Temos E[X] =X

d≤n

E[Xd] =X

d≤n

bn/dc

n =h X

d≤n

1/di

+O(1) = lnn+O(1). (7.29) Assim, a variável aleatóriaX não é concentrada em torno de sua média.

(24)

7.2 Grafos aleat´ orios e fun¸ c˜ ao limiar

De acordo com a desigualdade (6.1) de Markov, seXé uma variável aleatória não-negativa eλ >0 é um real, entãoP[X≥λ]≤E[X]/λ.

Para nós, freqüentemente temosX uma variável aleatória inteira, como por exemplo em casos em queX é uma variável de contagem. Então

P[X >0] =P[X ≥1]≤E[X]. (7.30) Um exemplo t´ıpico do uso dessa desigualdade ´e no estudo de grafos aleat´orios, como vemos a seguir.

Sejam A, B conjuntos e f : A → B uma fun¸cão. Utilizamos a nota¸cão f :A ,→B para indicar quef é uma inje¸cão, isto é, uma fun¸cão injetora.

SejamG, H grafos. Defina

#{H ,→G}:=

{f |f :V_H,→V_G exy∈E_H=⇒f(x)f(y)∈E_G}

. (7.31) Isto é, #{H ,→G} é o número de inje¸cões deVH em VG que preservam arestas. O número #{H ,→G} também pode ser visto como o número de “cópias rotuladas” de H emG.

Por exemplo, vamos calcular #{P2,→C4}, ondeP2 é um caminho de comprimento 2 e C4 é um circuito de comprimento 4. Suponha que P2 = abc e C4 = uvwx. Seja f : {a, b, c} ,→ {u, v, w, x} uma inje¸cão que preserve arestas. Existem 4 possibilidades para f(b): podemos escolher qualquer um dos vértices de C₄. Fixado f(b), existem duas possibilidades para f(a): qualquer um dos dois vizinhos de f(b). Depois disso, a escolha de f(c) é fixa. Assim,

#{P₂,→C₄}= 8.

No que se segue, vamos utilizar a nota¸cãoh:=|V_H|el:=|E_H|. Definimos a densidade de H como d(H) :=l/h. Note qued(H) é metade do grau médio deH.

Seja p(n) uma fun¸cão positiva satisfazendo p(n) = o(n^−1/d(H)), ou seja, temosp(n) =o(n^−h/l). Tomep:=p(n) e considere o grafoG:=G(n, p), isto é, Gé um grafo aleatório.

Defina a variável aleatória X := #{H ,→G}. Para cada f : VH ,→ VG, defina a variável aleatória

Xf :=

(1, sexy∈EH=⇒f(x)f(y)∈EG,

Assim,Xfé uma variável aleatória booleana que vale 1 se, e somente se,f“pre- serva arestas”. Evidentemente temos

X =X

{Xf |f :V_H ,→V_G}. (7.33) Pela linearidade da esperan¸ca, temos E[X] =P

fE[Xf] =P

fP[Xf = 1].

Sejaf :VH ,→VG. A probabilidade de queGtenha todas asl arestasf(x)f(y) para todoxy∈EH ´ep^l, lembrando que cada aresta deG=G(n, p) ´e sorteada independentemente de todas as outras.

(25)

O n´umero de inje¸c˜oes de VH em VG pode ser calculado da seguinte maneira. Suponha que VH ={x1, . . . , xl}. Existem n possibilidades para f(x1).

Fixado f(x1), existem n−1 possibilidades para f(x2), pois f é uma inje¸cão, de modo que não pode ocorrer f(x1) = f(x2). Prosseguindo dessa maneira, existemn−ipossibilidades paraxi+1. Então há (n)_h=n(n−1)· · ·(n−h+ 1) poss´ıveis inje¸cões f, sendo que esse produto tem h termos. Lembramos que (m)_k :=m!/(m−k)! =m(m−1)· · ·(m−k+ 1).

Mas ent˜ao E[X] =X

f

P[X_f = 1] = (n)_hp^l∼n^hp^l=o(n^hn^−h) =o(1), (7.34) onde a nota¸c˜aoa∼babrevia o fato de quea= (1 +o(1))b. Segue de (7.30) que P[X >0]≤E[X] =o(1). Assim, a probabilidade de que “exista um H em G”

tende a zero.

Dizemos que “quase todoG(n, p) não contémH.” Alternativamente, dizemos que “quase sempre G(n, p) não contém H.” Como isso vale para n grande, dizemos ainda que “assintoticamente quase sempre G(n, p) não contémH.” Na literatura em inglês, a expressão “assintoticamente quase sempre” em geral vem abreviada comoa.a.s. (= asymptotically almost surely).

Se pfosse qualquer coisa maior, então E[X] tenderia ao infinito. Então é natural ver p=o(n^−1/d(H)) como um “ponto de corte”. É natural desejar que, sep= Ω(n^−1/d(H)) (que ocorre se, e somente se,E[X]→ ∞), entãoP[X >0]

tenda a 1. Porém, isso não é bem verdade. É necessário fazer alguns ajustes e utilizar a variância deX para provar a afirma¸cão ajustada. É o que fazemos a seguir.

Considere umK₄ com conjunto de v´ertices {1,2,3,4}. Tome como H um grafo comV_H :={1,2,3,4,5}dado porK₄mais uma aresta 15. Note queh= 5 el= 7, de modo qued(H) = 7/5, e tomep₀(n) :=n^−5/7.

Seja ψ(n) uma fun¸c˜ao tal que lim_n→∞ψ(n) = ∞ e tome p := p(n) :=

ψ(n)p₀(n). Observe quep(n) =ω(n^−5/7).

Defina a vari´avel aleat´oriaX como acima e note que

E[X] = (n)₅p⁷∼n⁵p⁷= (ψ(n))⁷→ ∞. (7.35) Defina agora a variável aleatóriaY comoY := #{K4,→G}e observe que E[Y] = (n)₄p⁶∼n⁴p⁶=n⁴(ψ(n)(n^−5/7))⁶= (ψ(n))⁶n^−2/7=o(1), (7.36) se (ψ(n))⁶=o(n^2/7), isto é, seψ(n) =o(n^1/21).

Portanto, por (7.30), temos P[Y > 0]≤E[Y] =o(1), de onde conclu´ımos queP[X >0] =o(1), j´a que K₄⊂H.

Essa anomalia ocorre porque o grafo H tem regiões com alta varia¸cão na densidade: o cliqueK4⊂H tem densidade alta, mas nem todo subgrafo deH tem densidade tão alta assim: basta considerar subgrafos contendo o vértice 5.

Prosseguimos agora para fazer um ajuste.

(26)

SejaH um grafo com pelo menos uma aresta. Defina

m(H) := max{d(H⁰) :H⁰ ⊆H eV(H⁰)6=∅}. (7.37) Chamamos o valor m(H) de 0-densidade de H. Como m(H) leva em conta a densidade de subgrafos, ´e razo´avel pensar quep0(n) :=n^−1/m(H)seja um “ponto de corte”.

Claramente temosm(H)≥d(H). Ent˜ao 1/m(H)≤1/d(H), de modo que

−1/m(H)≥ −1/d(H). Assim,

n^−1/m(H)≥n^−1/d(H). (7.38)

Observe que quase todo G(n, p) com p := p(n) := o(n^−1/m(H)) não con- témH. De fato, SejaH^∗⊆H comV(H^∗)6=∅ tal quem(H) =d(H^∗). Defina a variável aleatóriaZcomo #{H^∗,→G}. Provamos acima queP[Z >0] =o(1).

Mas então quase todoG(n, p) não contémH^∗. Mas se um grafo não contémH^∗, não pode conterH. Então quase todoG(n, p), compdefinido dessa forma, não contémH.

Agora consideramos o caso em que p = ψ(n)n^−1/m(H), onde ψ(n) ´e uma fun¸c˜ao tal que lim_n→∞ψ(n) =∞.

Defina a variável aleatória X := #{H ,→G} e as variáveis Xf, para cada f :VH ,→VG, como em (7.32). Lembre-se queG=G(n, p).

Seja µ := E[X]. Se tivéssemos tomado p como ψ(n)n^−1/d(H), ter´ıamos µ=E[X]→ ∞, como já provamos acima. Então, por (7.38), temos

µ=E[X]→ ∞. (7.39)

Sejaσ²:= Var(X). Pela desigualdade (7.2) de Chebyshev, temos P[X= 0]≤P

|X−µ| ≥µ

≤σ²

µ². (7.40)

Se mostrarmos que σ² = o(µ²), teremos então P[X = 0] = o(1), de modo que X > 0 quase sempre, isto é, quase sempre G(n, p) tem uma cópia de H. Prosseguimos então para provar que Var(X) =o(E[X]²).

Temos

Var(X) =X

f

Var(Xf) +X

f6=g

Cov(Xf, Xg).

ComoXfé uma variável booleana, entãoX_f²=Xf, de modo que Var(Xf) = E[X_f²]−(E[Xf])²≤E[Xf]. Mas então

Var(X)≤X

f

E[X_f] +X

f6=g

Cov(X_f, X_g)≤E[X] +X

f6=g

Cov(X_f, X_g). (7.41) Precisamos calcular ent˜ao P

f6=gCov(Xf, Xg). Fixe f 6=g inje¸c˜oes de VH

emVG. Temos

Cov(Xf, Xg) =E[XfXg]−E[Xf]E[Xg] =P[XfXg= 1]−p^2l. (7.42)