Minicurso: Algumas generalizaçoes do Teorema: A soma dos ângulos internos de um triângulo no plano é π - (Versão preliminar e incompleta)

Minicurso: Algumas generaliza¸coes do Teorema:

“A soma dos ˆangulos internos de um triˆangulo no

plano ´e π” -

Ryuichi Fukuoka: DMA-UEM

18 de outubro de 2006

1

Introdu¸c˜

ao

Comecemos com um exemplo para ilustrar o tema do nosso mini-curso. Mais tarde formalizaremos as id´eias expostas nesta se¸c˜ao.

Imagine que vocˆe est´a em um bal˜ao, sobrevoando um parque que possui um lago em seu centro (Vide figura 1). Sua margem ´e uma curva fechada e simples. L´a embaixo vocˆe nota um sujeito com um enorme sombrero mexicano, caminhando pela pista que circunda o lago. Existe uma enorme seta desenhada no sombrero, que est´a apontando para a frente. Ele sempre anda para a frente, no sentido anti-hor´ario. O tempo passa e vocˆe se d´a conta que o sujeito acaba de dar uma volta no parque. Com isso demonstramos que a soma dos ˆangulos internos de um triˆangulo ´e π...

O que uma coisa tem a ver com a outra? O entendimento deste fato nos levar´a `a nossa primeira generaliza¸c˜ao a respeito do teorema sobre a soma interna dos ˆangulos de um triˆangulo no plano.

Suponha, por simplicidade, que a pista tenha formato de uma circunferˆencia. Por conveniˆencia, coloque a pista em um plano cartesiano, com o centro na origem e raio r. Suponha que o nosso mexicano comece a sua caminhada no ponto (r, 0). Podemos identificar a seta no sombrero mexicano com o vetor (0, 1). A medida que o mexicano vai caminhando no sentido anti-hor´ario, a seta vai se inclinando e apontando para a esquerda, at´e que o nosso amigo chega no ponto (0, r). Nesse ponto, a seta no chap´eu do mexicano pode ser identificado com o vetor (−1, 0). A viagem prossegue no sentido anti-hor´ario, at´e que no ponto (−r, 0), a seta do sombrero pode ser identificada com o vetor (0, −1). Observe

Figura 1:

que depois de dar uma volta completa, a seta no sombrero do mexicano pode ser novamente identificado com o vetor (1, 0), mas durante a viagem, a seta deu uma volta no sentido anti-hor´ario. Em outras palavras, se identificarmos a seta a um vetor unit´ario e o colocarmos no ciclo trigonom´etrico, esse vetor ter´a completado uma volta de 2π radianos.

Afirma¸c˜ao: Se o mexicano anda no sentido anti-hor´ario de uma curva fe-chada e simples C que possui uma reta tangente em todos os seus pontos, ent˜ao a rota¸c˜ao total da seta ser´a de 2π radianos: De fato, podemos deformar C gradualmente, atrav´es de uma fam´ılia de curvas fechadas e simples com uma reta tangente em todos os pontos, at´e C virar uma circunferˆencia (vide figura ???). Pe¸ca para o mexicano dar uma volta em cada uma dessas curvas, sempre no sentido anti-hor´ario e com a seta voltada para frente (como no exemplo do lago). J´a notamos que na circunferˆencia, a seta completar´a uma rota¸c˜ao de 2π radianos. Al´em disso, em cada uma das curvas, a seta completar´a uma rota¸c˜ao que ´e m´ultiplo de 2π (omitiremos o termo radianos daqui em diante). Mas a deforma¸c˜ao das curvas se d´a de modo gradual. Portanto, em todas as curvas da fam´ılia, a seta completar´a uma rota¸c˜ao de 2π.

disso, definamos pol´ıgono: Um pol´ıgono ´e uma seq¨uˆencia finita de segmentos de reta tal que as extremidades est˜ao identificadas, formando uma curva fechada e simples (vide figura ???). Nos pontos onde as extremidades dos segmentos se identificam, podemos definir um ˆangulo externo, conforme mostra a figura ???. Parametrize o pol´ıgono de modo “anti-hor´ario”. O ˆangulo externo de um v´ertice ´e o ˆangulo formado entre vetor que “incide no v´ertice” e o vetor que “sai do v´ertice”.

Tome uma circunferˆencia C e um triˆangulo T . Chame os v´etices do triˆangulo de V1, V2 e V3. Vocˆe pode imaginar uma circunferˆencia se deformando at´e se

transformar em um triˆangulo (vide figura ???). Se o mexicano caminha no sentido anti-hor´ario de cada curva da deforma¸c˜ao, observamos que a varia¸c˜ao angular total da seta do sombrero ´e sempre 2π. Pela figura ??? podemos perceber que a soma dos ˆangulos externos α1, α2 e α3 coincide com a varia¸c˜ao

angular da seta do sombrero, que ´e 2π. Com isso, mostramos que a soma dos ˆangulos externos de um triˆangulo ´e 2π. Mas observe que o a soma do ˆangulo interno βide um v´ertice Vi com o respectivo ˆangulo externo αi ´e igual a π para

i = 1, 2, 3. Da´ı temos que

2π = 3 X i=1 βi= 3 X i=1 (π − αi) = 3π − 3 X i=1 αi ⇒ 3 X i=1 αi= π

que ´e o teorema cl´assico da soma dos ˆangulos internos de um triˆangulo. Seja P um pol´ıgono qualquer, cujos v´ertices ser˜ao indicados por V1, . . . , Vk e

os respectivos ˆangulos externos por α1, . . . , αk. Podemos deformar uma

circun-ferˆencia at´e obtermos P , de maneira an´aloga ao que foi feito com o triˆangulo. Al´em disso, podemos mostrar, do mesmo modo, que a soma dos ˆangulos ex-ternos de um pol´ıgono ´e igual a 2π. Se β1, . . . , βk s˜ao os ˆangulos internos dos

v´ertices, temos que

k X i=1 βi= k X i=1 π − αi= (k − 2)π,

que ´e a f´ormula da soma dos ˆangulos internos de um pol´ıgono de k lados. Com isso conclu´ımos que o teorema sobre a soma dos ˆangulos internos de um pol´ıgono se expressa mais naturalmente como um teorema sobre a soma dos ˆangulos externos de um pol´ıgono.

Na pr´oxima se¸c˜ao, formalizaremos aquilo que foi feito intuitivamente nesta se¸c˜ao.

2

Formaliza¸c˜

ao das id´

eias da Se¸c˜

ao 1.

Nesta se¸c˜ao, formalizaremos as id´eias expostas na se¸c˜ao anterior.

Defini¸c˜ao 2.1 Uma curva planar ´e uma fun¸c˜ao f : I → R2_{, onde I ´e um}

intervalo (aberto, fechado, semi-fechado ou inclusive o pr´oprio R). Dizemos que f ´e regular, se f for diferenci´avel e se f0_{(t) 6= (0, 0) para todo t ∈ I.}

Observa¸c˜ao 2.2 Recordamos que a no¸c˜ao de diferenciabilidade de f na

fron-teira a de um intervalo [a, b) ´e dado pela existˆencia de uma extens˜ao diferenci´avel

˜

f : (a−ε, b) → R2_{de f , ou seja, ˜f ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel tal que ˜f (t) = f (t)}

para todo t ∈ [a, b). A no¸c˜ao de regularidade em a se define da mesma maneira.

Observa¸c˜ao 2.3 Dada uma curva planar f : I → R2_{, ela pode ser vista como}

a trajet´oria de uma part´ıcula ao longo do intervalo de tempo I. Neste contexto, f0_{(t) pode ser vista como o vetor velocidade `a curva no ponto f (t). Em particular}

f0_{(t) ´e paralelo `a reta tangente da curva no ponto f (t) (vide figura).}

Defini¸c˜ao 2.4 A imagem de uma curva f ´e denominada o tra¸co de f . Exemplo 2.5 Considere a curva f : R → R2 _{definida por f (t) = (cos t, sen t).}

Primeiramente observe que a curva ´e regular, pois kf0_{(t)k ≡ 1, onde k · k ´e a}

norma do vetor. Al´em disso, note que o seu tra¸co ´e a circunferˆencia de raio unit´ario no plano centrado na origem (Exerc´ıcio).

Teorema 2.6 Seja f : I → R uma curva regular. Ent˜ao existe um intervalo

J ∈ R e uma fun¸c˜ao diferenci´avel h : J → I tal que k(f ◦ h)0_{(s)k = 1 para todo}

s ∈ J.

Defini¸c˜ao 2.7 Dizemos que uma curva f : J → R est´a parametrizada por

comprimento de arco se kf0_{(s)k = 1 para todo s ∈ J.}

Observa¸c˜ao 2.8 Lembre-se que se considerarmos I como a vari´avel tempo e f

como a fun¸c˜ao trajet´oria, o teorema 2.6 diz simplesmente que podemos percorrer o tra¸co de f com velocidade 1.

Daqui em diante, sempre que utilizarmos o intervalo J, estar´a impl´ıcito que estaremos utilizando a parametriza¸c˜ao por comprimento de arco.

Considere uma curva f = (f1, f2) : J → R2, onde (f1, f2) ´e a decomposi¸c˜ao

de f em coordenadas. (f0

1, f20) ´e o campo de vetores tangente ao longo de f .

Temos duas escolhas para o vetor normal unit´ario a f : (f0

2, −f10) e (−f20, f10).

Defini¸c˜ao 2.9 Dizemos que uma curva f : [a, b] → R2_{´e fechada e simples se} f (x) = f (y) se e somente se      x = y ou {x, y} = {a, b}     .

Al´em disso, dizemos que uma curva fechada e simples f : I → R2 _{´e regular se}

f ´e regular e f0_{(a) = f}0_{(b). Uma curva fechada e simples e regular ´e k vezes}

diferenci´avel (ou deriv´avel) se f ´e k vezes diferenci´avel e al´em disso f(i)_{(a) =}

f(i)_{(b) para 1 ≤ i ≤ k.}

Estaremos estudando freq¨uentemente curvas regulares simples e fechadas, e neste caso, escolheremos f de modo escolheremos .

Defini¸c˜ao 2.10

Observe que mudamos um pouco a linguagem em rela¸c˜ao `a Se¸c˜ao 1. O que cham´avamos de curva na Se¸c˜ao 1 ´e o tra¸co de uma curva, sendo que uma curva ´e uma fun¸c˜ao de I em R2_{por defini¸c˜ao. Isso n˜ao trar´a confus˜ao, pois os objetos}

matem´aticos que definiremos para uma curva ser˜ao corresponder˜ao `a objetos an´alogos definidos no tra¸co de uma curva.

Considere uma curva

??? curvatura de uma curva ???

??? curvatura como medida de varia¸c˜ao angular ???

??? Teorema de Gauss-Bonnet para curvas fechadas simples ???

3

Poliedros bidimensionais

Comecemos pela defini¸c˜ao de pol´ıgono:

Defini¸c˜ao 3.1 Uma linha poligonal ´e uma seq¨uˆencia de segmentos de reta no

plano, com a extremidade de um segmento ligado a uma extremidade do seg-mento posterior, de modo que a uni˜ao dos segseg-mentos formam uma linha que-brada no plano. Um pol´ıgono ´e a regi˜ao limitada por uma linha poligonal fechada que n˜ao se auto intercepta (o pol´ıgono inclui a linha poligonal). Os pontos da linha poligonal que formam ˆangulos s˜ao chamados de v´ertices do pol´ıgono. Cada segmento da linha poligonal ´e chamada de aresta do pol´ıgono.

Defini¸c˜ao 3.2 Um poliedro Π ´e um subconjunto de R3 _{tal que:}

1. Π pode ser escrito como uma uni˜ao ∪n

i=1Pi de pol´ıgonos.

2. Dois pol´ıgonos Pj e Pks˜ao disjuntos ou eles se interceptam em uma aresta

4

Uma no¸c˜

ao do Teorema de Gauss Bonnet para

superf´ıcies fechadas