MAP0125 - C´ alculo Num´erico para Geociˆencias 1 o semestre de 2016
Lista 1
Quest˜ao 1: Considere a fun¸c˜aof(x) = arctan(x) +32arctan(x2).
a) Mostre quef(x)possui uma ´unica ra´ız em[−1,−0.5].
Sugest˜ao. Siga os seguintes passos:
• Mostre que a equa¸c˜aof0(x) = 0´e equivalente a uma equa¸c˜ao polinomial do tipo p(x) =ax4+bx3+cx2+dx+e= 0.
• Sep(−1)p(0.5)>0 ent˜ao o n´umero de ra´ızes de p(x)no intervalo[−1,−0.5]deve ser par. Se h´a mais de uma ra´ız dep(x)no intervalo[−1,−0.5], o que podemos afirmar sobre o n´umero de ra´ızes dep0 (derivada dep) em[−1,−0.5]?
• Aplique o mesmo tipo de argumento parap0.
b) Aplique 5 passos do m´etodo da dicotomia paraf(x) = 0(exiba os valores calculados).
c) Sejaαa ra´ız def(x) = 0em[−1,−0.5]e sejamx1, x2, ..., xk, ...os valores gerados pelo m´etodo da dicotomia para a equa¸c˜aof(x) = 0. Encontrende modo que|xk−α|<10−13parak≥n.
Quest˜ao 2: Considere a fun¸c˜aoh(x) =x+ ln(x), x >0.
a) Mostre que a equa¸c˜aoh(x) = 0possui apenas uma solu¸c˜ao positiva.
b) Deseja-se calcular α > 0 tal que h(α) = 0 por um m´etodo do ponto fixo xk+1 = Φ(xk), k = 0,1,2, . . .. Qual das fun¸c˜oes
Φ1(x) =−ln(x), Φ2(x) =e−x, Φ3(x) =x+e−x 2 ,
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e a mais adequada para esse fim? Justifique com base na an´alise de convergˆencia para cada caso.
c) Para a fun¸c˜ao escolhida, calcule 5 itera¸c˜oes partindo-se do pontox0= 0.1.
d) Parax0= 0.1 e para a fun¸c˜ao escolhida, determine o n´umero de itera¸c˜oes necess´arias para calcular αcom precis˜ao de10−7.
Quest˜ao 3: Encontre o zero da fun¸c˜ao f(x) = ex−x2+ 4 com precis˜ao de = 10−6, utilizando um m´etodo de ponto fixo.
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Quest˜ao 4: Um tanque tem a forma de um cilindro reto, com raio igual a 1 e comprimento l. Sua lateral circular ´e transparente e atrav´es dela podemos observar o n´ıvel do l´ıquido no cilindro (deitado). A porcentagem de l´ıquido no cilindro pode ser obtida em fun¸c˜ao do ˆanguloθ(veja a figura). Por exemplo, o cilindro est´a cheio paraθ=πe pela metade paraθ= π2. Calcule com um erro menor que10−3o valor deθ para o qual o cilindro tem um quarto de seu volume cheio, atrav´es do m´etodo das aproxima¸c˜oes sucessivas.
Justifique todos os passos de forma a garantir a convergˆencia.
Quest˜ao 5: A fun¸c˜aof(x) =x3−5x+ 3 possui3ra´ızes reais no intervalo[−3,3].
a) Enuncie o Teorema da Convexidade.
b) Identifique os maiores intervalos reais que contˆem cada raiz isolada e para os quais s˜ao v´alidas as hip´oteses do Teorema da Convexidade para garantia de convergˆencia pelo m´etodo de Newton.
c) Calcule a maior raiz pelo m´etodo de Newton, com precis˜ao pr´e-fixada de 0.001.
d) Calcule a menor raiz pelo m´etodo de Newton, com precis˜ao pr´e-fixada de 0.001.
Obs: Se atente para os crit´erios para acelera¸c˜ao de convergˆencia.
Quest˜ao 6: Considere a fun¸c˜aog(x) =x3+e−x.
a) Mostre queg tem um ´unico ponto de m´ınimo positivo.
b) Calcule uma aproxima¸c˜ao para este ponto utilizando o m´etodo de Newton. (Calcule 3 itera¸c˜oes a partir dex0= 1. Mostre que o m´etodo de Newton ´e convergente para esta escolha dex0.)
c) Sem determinar o valor da solu¸c˜ao, verifique se o valor determinado no itemb)dista menos que10−3 do ponto de m´ınimo. Justifique.
