MAT0164 - N´umeros Inteiros: Uma Introdu¸c˜ao `a Matem´atica 07/03/2018
LISTA 1 1. Prove, usando induc¸˜ao finita, que
(a) 12+22+· · ·+n2= n(2n+1)(n+1)
6 ,
(b) 13+23+33+· · ·+n3=
n(n+1) 2
2
, para todo inteiron≥1.
2. Sejanum inteiro positivo. Mostre que
∑
n k=0(−1)k n
k
=0.
3. Prove, por induc¸˜ao finita, que
1·1!+2·2!+· · ·+n·n!= (n+1)!−1, para todo inteiro positivon.
4. Prove que, para todo inteiro positivon, tem-se 1
1·2+ 1
2·3+· · ·+ 1
n(n+1) = n n+1. 5. (a) Calcule a soma dosnprimeiros inteiros pares positivos.
(b) Calcule a soma dosnprimeiros inteiros ´ımpares positivos.
(c) Prove que a soma dosnprimeiros termos de uma progress˜ao geom´etrica de termo inicialae raz˜aor6=1 ´e dada por
Sn= r
na−a r−1 . 6. Prove, por induc¸˜ao finita, que
(a) n<2n, para todon≥0;
(b) sex ´e um n ´umero real positivo fixado, ent˜ao(1+x)n >1+nx, para todon≥2.
7. Mostre que
∑
n i=0n i
2
= 2n
n
,
para todo inteiro positivo n. (Sugest˜ao: ´E mais f´acil demonstrar a igualdade usando a definic¸˜ao combinat ´oria do n ´umero(2nn)e o fato(ni) = (n−in )do que usando o princ´ıpio de induc¸˜ao finita.) 8. Sejamaebinteiros distintos. Mostre que, para todo inteiro positivon, a−bdividean−bn, e a+b
dividean+ (−1)n−1bn.
9. Prove que 32n−1 ´e divis´ıvel por 8, para todo inteiro positivon.
10. Para todo inteiron≥1, prove que (a) 1
1−x =1+x+x2+· · ·+xn−1+ x
n
1−x;
(b) 1+2+22+· · ·+2n−1=2n−1. (Sugest˜ao:Use o item anterior) 11. Use o algoritmo da divis˜ao para provar que
(a) todo inteiro ´ımpar ´e da forma 4k+1 ou 4k+3;
(b) o cubo de um inteiro ´e da forma 9k, 9k+1 ou 9k+8.
12. Prove que todo inteiro da forma 6k+5 ´e tamb´em da forma 3k+2, mas n˜ao vale a rec´ıproca.
13. Mostre que um inteiroa´e par se, e somente se,a2for par.
14. Mostre que 4-a2+2, para qualquer inteiroa.
15. Mostre que sea´e um inteiro ´ımpar, ent˜aoa2−1 ´e divis´ıvel por 8.
16. Mostre que o produto de trˆes inteiros consecutivos ´e divis´ıvel por 6 e que o produto de quatro inteiros consecutivos ´e divis´ıvel por 24.
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17. Sejaaum inteiro. Mostre que (a) a2−a´e divis´ıvel por 2;
(b) a3−a´e divis´ıvel por 6;
(c) a5−a´e divis´ıvel por 30.
18. Prove que sea∈Z, ent˜ao 360|a2(a2−1)(a2−4).
19. Seja a um inteiro. Mostre que 4 | a se, e somente se, a for uma soma de dois inteiros ´ımpares consecutivos.
20. Mostre que se um inteiro ´e um quadrado e tamb´em um cubo, ent˜ao ele ´e da forma 7kou 7k+1.
21. Determine o menor inteiro positivontal que 935n´e m ´ultiplo de 43.
22. Sejanum inteiro n˜ao-negativo. Mostre de duas maneiras diferentes que 24n−1 ´e m ´ultiplo de 15.
(Sugest˜ao:Fac¸a uma demonstrac¸˜ao direta e outra por induc¸˜ao emn.)
23. Sejama,binteiros. Mostre que seaebforem ´ımpares, ent˜aoa2+b2´e par, mas n˜ao ´e divis´ıvel por 4.
24. Nos itens abaixo, em quea,b ec s˜ao inteiros, responda “verdadeiro” ou “falso”, justificando sua resposta.
(a) Sea|b e a|c, ent˜aoa|b+c.
(b) Sea|b+c, ent˜aoa|b e a|c.
(c) Sea|b+c, ent˜aoa|b ou a|c.
(d) Suponha quea|b. Ent˜aoa|cse, e somente se,a|b+c.
25. Mostre que o quadrado de um n ´umero inteiro ´e da forma 9kou 3k+1, parak∈Z.
26. Sejama,binteiros n˜ao nulos. Mostre que mdc(na,nb) =nmdc(a,b)senfor um inteiro positivo.
27. Sejamaebdois inteiros primos entre si. Sejacum inteiro que ´e divis´ıvel porae porb. Mostre quec
´e divis´ıvel porab.
28. Refac¸a os problemas 16, 17 e 18 usando o que vocˆe demonstrou no problema 27.
29. Usando o algoritmo de Euclides, encontre o m´aximo divisor comum de (i) 7469 e 2464; (ii) 2689 e 4001; (iii) 2947 e 3997; (iv) 1109 e 4999.
30. Encontre o m´aximo divisor comumdde 1819 e 3587 e determine inteirosr,stais que 1819r+3587s= d.
31. Sejamaebinteiros positivos. Mostre que se mdc(a,b) =mmc(a,b), ent˜aoa=b.
32. Sejama,b,cinteiros n˜ao-nulos, sejad=mdc(a,b)e sejaa0tal quea=da0. Mostre queadividebcse, e somente se,a0dividirc.
33. Sejama,b,c∈Z. Prove que
(a) sea|be mdc(b,c) =1, ent˜ao mdc(a,c) =1;
(b) mdc(a,c) =mdc(b,c) =1 se, e somente se, mdc(ab,c) =1.
34. Decida se cada uma das afirmac¸ ˜oes abaixo ´e verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) Sejama,b,d∈Z. Se existiremr,s∈Ztais qued=ar+bs, ent˜aod=mdc(a,b). (b) Sejama,b∈Z. Se existiremr,s∈Ztais que 1=ar+bs, ent˜ao mdc(a,b) =1.
35. Sejama,b∈Ztais que mdc(a,b) =1. Prove que (a) mdc(a+b,a2−ab+b2) =1 ou 3;
(b) mdc(a+b,a2+b2) =1 ou 2.
36. Sejama,b∈Ztais que mdc(a, 4) =mdc(b, 4) =2. Prove que mdc(a+b, 4) =4.
37. Encontre todos os inteiros positivosatais que
(mmc(120,a) =360 mdc(450,a) =90 38. Resolva, emZ, o sistema
(mdc(x,y) =20 mmc(x,y) =420
39. Decida se cada uma das afirmac¸ ˜oes abaixo ´e verdadeira ou falsa, em queaebs˜ao inteiros positivos ep´e um primo positivo. Em cada caso, dˆe uma demonstrac¸˜ao ou um contra-exemplo.
(a) Se mdc(a,p2) =p, ent˜ao mdc(a2,p2) =p2.
(b) Se mdc(a,p2) =pe mdc(b,p2) =p2, ent˜ao mdc(ab,p4) =p3. (c) Se mdc(a,p2) =pe mdc(b,p2) =p, ent˜ao mdc(ab,p4) =p2. (d) Se mdc(a,p2) =p, ent˜ao mdc(a+p,p2) =p.
40. Sejama,b∈Ztais que mdc(a,b) =p, um primo. O que se pode dizer sobre mdc(a2,b)e mdc(a2,b2)?
2
41. Mostre que trˆes inteiros positivos ´ımpares consecutivos n˜ao podem ser todos primos, com excec¸˜ao de 3, 5 e 7.
42. Sejamp,qprimos tais quep≥q≥5. Prove que 24|p2−q2. 43. Sejanum inteiro positivo. Prove que
(a) n4+4 ´e composto, para todon>1;
(b) todo inteiro positivo da forma 3n+2 tem um fator primo dessa forma;
(c) sen3−1 ´e primo, ent˜aon=2;
(d) sen´e primo e 3n+1 ´e um quadrado, ent˜aon=5.
44. (a) Determine a maior potˆencia de 14 que divide 100!.
(b) Determine todos os primos que dividem 50!.
45. Mostre que existem infinitos primos da forma 3n+2, comn∈Z.
46. Mostre que se 2m+1 ´e primo para algumm>0, ent˜aom´e uma potˆencia de 2.
47. Prove que um inteiro ´e divis´ıvel por 3 se, e somente se, a soma de seus algarismos for divis´ıvel por 3.
Prove que um inteiro ´e divis´ıvel por 9 se, e somente se, a soma de seus algarismos for divis´ıvel por 9.
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