Mostre que a igualdade: |k(v1

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MAT0311 – C´alculo Diferencial e Integral V Prof. Daniel Victor Tausk

10/08/2013

Exerc´ıcio 1. Sejam V₁,V₂, . . . , V_n espa¸cos vetoriais (todos reais ou todos complexos), munidos de normas k · k_i :Vi → R, i= 1,2, . . . , n. Seja dada também uma norma k · kem Rⁿ que seja monotônica, isto é:

|x_i| ≤ |y_i|, i= 1,2, . . . , n=⇒ kxk ≤ kyk, para quaisquer x, y∈Rⁿ. Mostre que a igualdade:

|k(v₁, . . . , vn)|k=

kv₁k₁,kv₂k₂, . . . ,kv_nk_n

, vi∈Vi, i= 1,2, . . . , n, define uma norma |k · |kno espa¸co produto V₁×V₂× · · · ×V_n.

Exerc´ıcio 2. Uma forma bilinear num espa¸co vetorial real V é uma aplica¸cão h·,·i:V ×V →R que é linear em cada variável, i.e., tal que:

hx+x⁰, yi=hx, yi+hx⁰, yi, hx, y+y⁰i=hx, yi+hx, y⁰i, hλx, yi=hx, λyi=λhx, yi,

para todos x, y, x⁰, y⁰ ∈V,λ∈R.

(a) Dada uma matrizA= (aij)n×n∈Mn(R), mostre que a igualdade:

(1) hx, yi=x^tAy, x, y∈Rⁿ,

define uma forma bilinear emRⁿ, onde em (1) vetores de Rⁿ est˜ao sendo identificados com matrizes coluna n×1 e x^t denota a trans- posta da matrizx. Verifique tamb´em que:

hx, yi=

n

X

i=1 n

X

j=1

aijxiyj,

para todos x, y∈Rⁿ e que a_ij =he_i, e_ji, para todos i, j= 1, . . . , n, ondee_i denota oi-´esimo vetor da base canˆonica de Rⁿ.

(b) Dada uma forma bilinearh·,·iemRⁿ, tomandoa_ij =he_i, e_ji, mostre queh·,·ié dada por (1) se a matriz Aé definida porA= (aij)n×n. (c) Uma forma bilinear h·,·inum espa¸co vetorial V é dita simétrica se

hx, yi = hy, xi, para todos x, y ∈ V. Mostre que a forma bilinear h·,·iem Rⁿ definida em (1) ´e sim´etrica se e somente se a matriz A

´e sim´etrica.

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(2)

(d) Seja A ∈ Mn(R) uma matriz simétrica. Sabemos então que existe uma baseB = (v₁, . . . , v_n) de Rⁿ, ortonormal com respeito ao produto interno canônico, de modo que cada vi ∈ Rⁿ é um autovetor de Aassociado a um autovalor λi ∈R. Seh·,·ié definida como em (1), mostre quehv_i, v_ji= 0 para i6=j e quehv_i, v_ii=λ_i, para todo i= 1, . . . , n. Conclua que:

hx, yi=

n

X

i=1

λix⁰_iy⁰_i,

para todosx, y∈Rⁿ, onde (x⁰₁, . . . , x⁰_n), (y⁰₁, . . . , y_n⁰) s˜ao, respectiva- mente, as coordenadas dex e dey na base B.

(e) Uma forma bilinear simétrica h·,·inum espa¸co vetorial V é ditade- finida positiva sehx, xi>0, para todox∈V não nulo. Recorde que um produto interno é precisamente uma forma bilinear simétrica definida positiva. Dada uma matriz A ∈M_n(R), mostre que a forma bilinearh·,·i definida em (1) é um produto interno em Rⁿ se e somente seAé simétrica e possui todos os autovalores positivos.

Exerc´ıcio 3. Sejak · k:V →Ruma semi-norma num espa¸co vetorial (real ou complexo)V.

(a) Mostre que:

N =

x∈V :kxk= 0

´e um subespa¸co deV.

(b*) Considere o espa¸co vetorial quocienteV /N; para x∈V, denote por x+N ∈V /N a classe de equivalˆencia dex. Mostre que a igualdade:

|kx+N|k=kxk, x∈V, define uma norma emV /N.

Exerc´ıcio 4. Seja h·,·i : V ×V → R uma forma bilinear sim´etrica num espa¸co vetorial real V. Assuma que h·,·i seja semi-definida positiva, i.e., que:

hx, xi ≥0, para todox∈V.

(a) Mostre que vale a desigualdade de Cauchy–Schwarz:

(2) |hx, yi| ≤ kxkkyk,

para todosx, y∈V, ondekxk=p

hx, xi. Conclua que, dadox∈V, temoskxk= 0 se e somente sehx, yi= 0, para todoy ∈V.

(b) Mostre que k · k´e uma semi-norma em V.

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(c*) DefinaN como no Exerc´ıcio 3. Mostre que a igualdade:

hhx+N, y+Nii=hx, yi, x, y∈V,

define um produto interno no espa¸co quociente V /N. Recorde que, na desigualdade de Cauchy–Schwarz para produtos internos, a igualdade vale se e somente se os vetores s˜ao linearmente dependentes.

Conclua que vale a igualdade em (2) se e somente sex+N ey+N s˜ao linearmente dependentes (i.e., se e somente se existem a, b∈R, n˜ao ambos nulos, comkax+byk= 0).

Exerc´ıcio 5. Dadop∈]0,+∞[, defina:

kxk_p =Xⁿ

i=1

|x_i|^p¹_p

, x∈Rⁿ.

No Exerc´ıcio 6 apresentaremos um roteiro para você mostrar o fato (não trivial) de que a desigualdade triangular vale para k · k_p se p ≥ 1. Para n≥2,p∈]0,1[, dê exemplo de vetoresx, y∈Rⁿ tais que:

kx+yk_p >kxk_p+kyk_p.

Assim k · k_p não é uma norma, para 0 < p < 1 (exceto se n= 1, em que k · k_p coincide com o valor absoluto de números reais, para todop).

Exerc´ıcio* 6. O objetivo deste exerc´ıcio é mostrar que a desigualdade triangular vale para k · k_p se p ≥ 1 (assim, k · k_p é de fato uma norma em Rⁿ — levando em conta que é muito fácil verificar que valem as outras propriedades que aparecem na defini¸cão de norma).

(a) Sejaf :I →Ruma fun¸cão derivável num intervaloI ⊂R. Suponha que a derivadaf⁰ seja crescente (i.e., quef⁰(x)≤f⁰(y), parax, y∈I comx≤y). Mostre que a fun¸cão f éconvexa, isto é, que:

f (1−t)x+ty

≤(1−t)f(x) +tf(y),

para todos x, y ∈ I, t ∈ [0,1]. (Sugest˜ao: fixe x, y ∈ I e defina g: [0,1]→Rfazendo:

g(t) =f (1−t)x+ty

− (1−t)f(x) +tf(y) .

Mostre que existec∈]0,1[ com g⁰(c) = 0 e queg⁰ ´e crescente.) (b) Usando o resultado do item (a), obtemos que a fun¸c˜ao exponencial

f(x) =e^x é convexa. Usando esse fato, mostre que vale a desigualdade entre as médias (ponderadas) aritmética e geométrica, isto é, mostre que dadosa, b≥0 e dados “pesos” α, β >0 com α+β = 1 então:

a^αb^β ≤αa+βb.

(4)

(c) Dado p∈]1,+∞[, defina q∈]1,+∞[ de modo que:

1 p+ 1

q = 1.

O n´umeroq ´e chamado o expoente conjugado de p. Usando o resultado do item (b), mostre que vale adesigualdade de Young:

ab≤ a^p p +b^q

q , para quaisquera, b≥0.

(d) Mostre que vale a desigualdade de H¨older:

n

X

i=1

|x_i||y_i| ≤ kxk_pkyk_q,

para todosx, y∈Rⁿ, ondep, q∈]1,+∞[ s˜ao expoentes conjugados.

(Sugest˜ao: comece reduzindo o caso geral ao caso que kxk_p = 1 e kyk_q = 1. Use a desigualdade de Young.)

(e) Mostre que vale a desigualdade de Minkowski:

kx+yk_p ≤ kxk_p+kyk_p,

para todosx, y ∈ Rⁿ, p ∈ [1,+∞[. (Sugest˜ao: para p >1, comece notando que:

kx+yk^p_p =

n

X

i=1

|x_i+y_i||x_i+y_i|^p−1≤

n

X

i=1

|x_i||x_i+y_i|^p−1+

n

X

i=1

|y_i||x_i+y_i|^p−1,

e depois use a desigualdade de Hölder em ambos os somatórios.) Exerc´ıcio* 7. Considere uma aplica¸cão γ : [a, b]→ Rⁿ (isto é, umacurva em Rⁿ). Dada uma parti¸cão P : a = t0 < t1 < · · · < tk = b do intervalo [a, b], definimos:

L(γ;P) =

k−1

X

i=0

kγ(t_i+1)−γ(t_i)k,

onde k · k=k · k₂ denota a norma Euclideana de Rⁿ. O comprimento (ou varia¸c˜ao total) de γ ´e definido por:

L(γ) = sup

P

L(γ;P)∈[0,+∞],

onde o supremo é tomado com respeito a todas as parti¸cões P do intervalo [a, b]. A curva γ é ditaretificável (ou de varia¸cão limitada) seL(γ)<+∞.

(a) Dada γ : [a, b]→Rⁿ, verifique que:

kγ(a)−γ(b)k ≤L(γ).

(Sugest˜ao: tomeP ={a, b}.)

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(b) Seja σ : [a⁰, b⁰] → [a, b] uma fun¸cão monótona (isto é, crescente ou decrescente) e bijetora¹. Mostre que, paraγ : [a, b]→Rⁿ, vale que:

L(γ) =L(γ◦σ).

(c) Dada γ : [a, b]→Rⁿ e dado c∈]a, b[, mostre que:

L(γ) =L(γ|_[a,c]) +L(γ|_[c,b]).

(Sugestão: note que L(γ;P∪ {c})≥L(γ;P), para toda parti¸cão P de [a, b]. Conclua que, na defini¸cão de L(γ), é suficiente considerar parti¸cões P com c∈P.)

(d) SejaM ⊂Rⁿ um subconjunto e, parax, y∈M, denote por Ωxy(M) o conjunto de todas as curvas cont´ınuas e retific´aveisγ : [0,1]→Rⁿ tais que γ [0,1]

⊂ M, γ(0) = x e γ(1) = y. Assuma que M seja conexo por arcos retificáveis, isto é, que para todosx, y∈M vale que Ω_xy(M) não é vazio. Definimos adistância geodésicad:M×M →R fazendo:

d(x, y) = inf

L(γ) :γ∈Ωxy(M) ,

para todosx, y∈M. Mostre qued´e uma m´etrica em M.

Observa¸cão: é poss´ıvel mostrar que, se γ : [a, b] → Rⁿ é de classe C¹ por partes (isto é, se existe uma parti¸cão P :a=t₀< t₁ <· · ·< t_k=bde [a, b]

tal queγ|_[t_i_,t_i+1_]é de classe C¹, parai= 0,1, . . . , k−1) então γ é retificável e seu comprimento é dado por:

L(γ) = Z b

a

kγ⁰(t)kdt.

Veja, por exemplo, Cap´ıtulo II do curso de An´alise vol. 2, de Elon Lages Lima (Teorema 6,§4, pg. 100, na segunda edi¸c˜ao).

1Na verdade, o resultado também vale seσfor apenas monótona e sobrejetora, mas a demonstra¸cão é um pouco mais chata.