Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería

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Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería

w w w . e l s e v i e r . e s / r i m n i

A inﬂuência do peso próprio na otimizac¸ ão topológica de estruturas elásticas 2D – via técnica numérica Smooth Evolutionary Structural Optimization (SESO)

H.L. Simonetti

^a^,∗

, V.S. Almeida

^b

e L. Oliveira Neto

^c

aDepartamentodeEngenhariaCivil,UniversidadeFederaldeOuroPreto(UFOP),OuroPreto,MinasGerais,Brasil

bDepartamentodeEngenhariadeEstruturaseGeotécnica,EscolaPolitécnicadaUniversidadedeSãoPaulo(EPUSP),SãoPaulo,Brasil

cDepartamentodeEngenhariaCivileAmbiental,FaculdadedeEngenharia(FE),(UNESP),Bauru,SãoPaulo,Brasil

informaçãosobre o artigo

Historialdoartigo:

Recebidoa23denovembrode2012 Aceitea1deoutubrode2013 On-linea9desetembrode2014

Palavras-chave:

Modelosdebiela-tirante

Otimizac¸ãoevolucionáriatopológica Estruturasdeconcretoarmado Pesopróprio

re s um o

Opresenteartigoabordaaotimizaçãotopológicaemproblemasdeelasticidadeplanalinearconsiderando ainfluênciadopesopróprionosesforçosemelementosestruturais.Utiliza-separaestefimumatécnica numéricadenominadaSmoothESO(SESO)quesebaseianoprocedimentodediminuiçãoprogressiva dacontribuiçãoderigidezdeelementosineficientescommenorestensõesatéqueelenãotenhamais influência.AsaplicaçõesdoSESOsãofeitascomométododoselementosfinitoseconsidera-seum elementofinitotriangularedealtaordem.Nestetrabalhoestende-seatécnicaSESOparaaaplicação dopesopróprioondeoprograma,nocômputodeseuvolumeepesoespecífico,geraautomaticamente umaforçaconcentradaequivalenteparacadanódoelemento.Aavaliaçãoéfinalizadacomadefinição deummodelodebielasetirantesresultantedasregiõesdeconcentraçãodetensões.Nosexemplosde aplicaçãosãoapresentadastopologiasótimasdeumaestruturasuspensa,devigabaixaedevigaparede considerandoopesopróprioeobtendo-seótimasconfiguraçõesedemonstrandoqueaconsideraçãodo pesoprópriolevaamaiorrobustezaoprocessodeotimização.

Theinﬂuenceofself-weightofelastic2Dstructuresintopologyoptimization vianumericaltechniqueSmoothEvolutionaryStructuralOptimization(SESO)

Keywords:

Strutandtiemodels Topologyoptimization Reinforcedconcretestructures Selfweight

a b s t r a c t

Thispaperdealswithtopologyoptimizationinplaneelastic-linearproblemsconsideringtheinfluence oftheselfweightineffortsinstructuralelements.Forthispurposeitisusedanumericaltechnique calledSESO(SmoothESO),whichisbasedontheprocedureforprogressivedecreaseoftheinefficient stiffnesselementcontributionatlowerstressesuntilhehasnomoreinfluence.TheSESOisappliedwith thefiniteelementmethodandisutilizedatriangularfiniteelementandhighorder.Thispaperextends thetechniqueSESOforapplicationitsselfweightwheretheprogram,incomputingthevolumeand specificweight,automaticallygeneratesaconcentratedequivalentforcetoeachnodeoftheelement.

Theevaluationisﬁnalizedwiththedeﬁnitionofamodelofstrut-and-tieresultinginregionsofstress concentration.Examplesarepresentedwithoptimumtopologystructuresobtainingoptimalsettings.

∗ Autorparacorrespondência:CampusMorrodoCruzeiro,Bauxita,35400-000, OuroPreto-MG–Brasil.

Correioseletrónicos:heliosimonetti@ig.com.br(H.L.Simonetti), valerio.almeida@usp.br(V.S.Almeida),lutt@feb.unesp.br(L.OliveiraNeto).

1. Introduc¸ão

Atualmente na engenharia estruturalosmétodos numéricos deaplicaçãosãoferramentasimprescindíveisejánas2últimas décadasastécnicasdeotimizaçãovêmsendoempregadasnoauxí- liodamodelagem estrutural.Dentreosmétodostradicionaisde otimização,aotimizaçãodeformaeaparamétricanãosãocapazes 0213-1315/$–seefrontmatter©2012CIMNE(UniversitatPolitècnicadeCatalunya).PublicadoporElsevierEspaña,S.L.U.Todososdireitosreservados.

http://dx.doi.org/10.1016/j.rimni.2013.10.001

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dealterara configuraçãodaestruturaoriginale,destamaneira, nãosãopossíveisdedeterminarosfluxosdetensões. Agrande vantagemdaotimizaçãotopológica(OT)étornarpossíveisestas alterações.

OsconceitosbásicosdatécnicaOTforamestabelecidoshámais deumséculo,conformedescrevemRozvanyetal.[1].Naanálise topológica,2metodologiasvêmsedestacando,aabordagemmicro eabordagemmacro.Afilosofiadatécnicabaseia-senaremoção dapartedoelementoquenãoforrealmentenecessárioàestru- tura.Estaremoçãopodeserrealizadadeformasuave,atenuando osvaloresdamatrizconstitutivadoelemento.

Naabordagemmicroestrutural,oprocessodeotimizaçãotopo- lógicabaseadonoestabelecimentodeumrelaçãoentrearigidez e a densidade associada ao domínio, que pode assumir qual- quervalorentre0(vazio)e1(materialsólido),sendoosvalores intermediários correspondentes a um material poroso. A par- tir daí os algoritmos baseados em microestruturas propõem encontrar a melhor disposição do material, de modo a mini- mizaroumaximizara funçãocusto,Stump[2]. Comoexemplo pode-se citar: o método Simple Isotropic Material with Pena- lization (SIMP), utilizado por Bendsøe [3], Rozvany et al. [4] e [1].

Naabordagemmacro, a topologiadaestruturaémodificada mediantea inserçãodefurosnodomínio.Comoexemplodeste grupodeOTpode-secitaroEvolutionaryStructuralOptimization (ESO),baseadonocálculodafunçãoobjetivoquandoumelemento éremovidodamalhadeelementosfinitos,eTopologicalSensitivity Analysis(TSA),queavaliaasensibilidadedeumafunçãoquandoum furoécriadonocorpoanalisado,Labanowskietal.[5].

Naanáliseestruturaldeelementosemconcretoarmadoaana- logiaapresentadaporRittereMorschnoiníciodoséculoXX,que associauma vigaa umaestruturatreliçadaequivalente,aindaé utilizadapararepresentarocomportamentoestruturaldesteele- mentofletido.Adenominadateoriadetreliçaclássicadefinebarras representandoosfluxosdetensãoprocurandocriaromenoreo maislógicocaminhodascargas.Oselementosdiscretos(barras) representamoscamposdetensãodetração(denominadostirantes) edecompressão(denominadosbielascomprimidas)quesurgem internamenteaoelementoestruturalnoefeitodeflexão.Esteana- logiafoimelhoradaeéaindautilizadapelasnormastécnicasno dimensionamentodevigasemconcretoarmadoàflexãoeàforça cortanteequeestabelecemcritériosdiversosparaadeterminação doslimitesdesegurançanosseusprocedimentos.

OtrabalhodeSchlaichetal.[6]descreveomodelodebielase tirantesdemaneiramaisgeneralizada,abrangendoomodelode treliçadeflexãoeenglobandoregiõescomdescontinuidadeseele- mentosestruturaisespeciais.Estasregiões,denominadas«Regiões deDescontinuidadeD»,ondeastensõesdecisalhamentosãosigni- ficativaseadistribuiçãodasdeformaçõesnaseçãotransversalnão élinear.Mesmotratandodeummodelodeidealizaçãosimples,é bastanteutilizadonapráticaeeficienteparaoconhecimentodas regiõesdeconcentraçãodetensões.

Autilizaçãodeferramentascomputacionaispodetrazermaior confiabilidadeerapideznadefiniçãodeconfiguraçõesgeométri- casedofluxodetensõesdoselementosdiscretosnointeriordo elementoestrutural,demodoque a aplicaçãoda OTnocampo daanáliseestruturalemconcretoarmadonosmodelosdebielase tirantesvemsendoamplamentedesenvolvido,destacandoostra- balhosdeAli[7],Liangetal.[8],Liangetal.[9],Liangetal.[10], LiangeSteven[11],Liang[12]eBrugge[13].

Visandoodesenvolvimentodosmodelosdebielasetirantes, faz-seumaaplicaçãodatécnicadeotimizaçãotopológicaSmooth ESO(SESO),seguindoostrabalhosdeSimonettietal.[14],Simo- nettietal.[15]naanálisedeelementosestruturaisemconcreto armado, realizando uma comparação das configurações ótimas considerando-seainfluênciadopesopróprio,oquemuitasvezes

podelevaraumaconfiguraçãofinalbemdistintaquandodasua nãoconsideração.

Trata-sedeumavariantedométodoESO,cujafilosofiabaseia-se naobservaçãodequeseoelementonãoforrealmentenecessário àestrutura,naturalmente sua contribuiçãoderigidez vai dimi- nuindoprogressivamente,atéqueelenãotenhamaisinfluência.

Istoé,suaheurísticaderemoçãoéfeitadeformasuave,atenuando osvaloresdamatrizconstitutivadoelemento,comoseesteesti- vesseemprocessodedanificação,sendocapazdegerarosmembros ideaisdebielasetirantesdeformamaisnatural.Sãoapresenta- dos3exemplosclássicosobtidosnaliteratura,quedemonstram que o procedimento desenvolvido para o peso próprio é eficiente.

2. Otimizac¸ãoestruturalevolucionária

XieeSteven[16]desenvolveram uma maneira bemsimples deimpormodificaçõesnatopologiadaestrutura,feitamediante heurísticaderemoçãogradualesistemáticadeelementosfinitos damalha,correspondentesaregiõesquenãocontribuemefetiva- menteparaobomdesempenhodaestrutura.

Define-seinicialmenteumamalhadeelementosfinitosquecir- cunscrevatodaaestrutura,oudomínioestendidodoprojeto,de forma a incluir as condições decontorno em forças edesloca- mentos,cavidadesedemaiscondiçõesiniciais.Emumprocesso iterativo,avaliam-se osparâmetros deinteresse deotimização, nesteartigoemespecialéadiminuiçãodamassamedianteumcri- tériodetensãomáximadaestrutura.Assim,avaliam-seastensões decadaelemento,conformeousodainequação:

␴^vme <RR_k.

␴^vm_i,max

(1)

RRk+1=RRk+RE (2)

come^vme_i,max^vm sendo,respectivamente,astensõesprincipaisde VonMisesdoelemento«e»emáximasdaestruturanaiterac¸ãoefe- tiva«k»,RR_kéraioderejeic¸ão(RR)dok-ésimoestadodeequilíbrio.

Emcadaiteraçãooselementosquesatisfazemainequação(1) sãoretiradosdaestrutura,figura1.OfatorRRéaplicadoparacon- trolaroprocessodaremoçãodaestrutura(0,0≤RR≤1,0).Omesmo cicloderemoçãodoselementosusados peladesigualdade(1) é repetidoatéquenãohajamaiselementosquesatisfaçammaisesta desigualdade(1).Quandoestasituaçãoocorre,umestadodeequi- líbrioéalcançado.Oprocessoevolucionárioédefinidoadicionando aRRumarazãodeevolução(RE).Assim,umnovociclodeevolução inicia-se,atéquenãoexistammaiselementosaseremeliminados comestanovaRR.ARRseráatualizadaconformeaequação(2), atéàobtençãodeumaconfiguraçãootimizada,alcançadapelocon- troledeumparâmetrodedesempenho,denominadodeíndicede

Retirada do e-ésimo

Figura1. Algoritmoevolucionário:baseadonoelementoremovidodamalha.

(3)

performance(IP).Esteprocedimento,tambéméconhecidocomo ummétodohard-killepodeserinterpretadocomosegue:

D(j)=

D0ifj∈ 0ifj∈¯

(3)

ondeDi(j)éamatrizconstitutiva do elementoj∈˝na i-ésima iteração,D₀éamatrizconstitutivainicialdoprojeto,aqualédefi- nidapracadaelementofinito,˝=i+¯iéodomíniodaestrutura, tal que i={˝/(e/^MAX_VM (˝))≥RRi} é o conjunto dos elemen- tosquenãoserãoremovidos,e ¯i=˝−i={˝/(e/_VM^MAX(˝))<

RRi}éoconjuntodoselementosqueserãoremovidosdaestrutura (criac¸ãodovazio),todosnai-ésimaiterac¸ão.

NaheurísticaderemoçãoviaESO,quandooelementoéremo- vidododomíniodeprojetoduranteoprocessoevolucionário,os elementosquepermanecemnaestruturarepresentamumasolução básica,conformeforademonstradomatematicamenteporTanska- nen[17].Eledemonstraquea funçãodiscretaaserminimizada comrestriçãopormenorpesoconvergeiterativamente,conforme aretiradadeumelemento,quesignificaoencontrodeumponto deminimo.

3. Suavizac¸ãodaotimizac¸ãoestruturalevolucionária

Poroutrolado,Tanskanem[17]destacaquearetiradadeumele- mentopodeafetaraconvergênciadoprocedimentodeotimização, poisocritérioderetiradanoESOéindicadopeloatendimentoda inequação(1),quemuitasvezespodeserradical,hard-kill,umavez queexistemelementosqueestãonavizinhançadaesquerdadessa condiçãoquenumericamentesãoexcluídosoumantidos,masque deveriamaindacomporouserretiradosdaestrutura,oqueafetao processoevolutivo.

Nesse sentido,éadequado aplicarsobre ométodo ESO uma condiçãoderelaxaçãooudesuavizaçãodoESO,apresentandoem Simonettietal.[15]umprocedimentosoft-kill,demodoqueomate- rial,ouseja,oselementosquedeveriamserremovidospelocritério ESO–seguindoainequação(1)–sãoorganizadosemngruposealo- cadosemordemcrescentedetensõessendoponderadossegundo umafunção0≤(j)≤1.

Assim,p%destesngrupossãoremovidos,osgruposquecon- témoselementoscommenorestensões(domínioLS),eosgrupos (1-p%)sãodevolvidosaestrutura,domínioGS.Esteprocessode remoçãoedevoluçãodeelementosàestrutura podeser orien- tadoporumafunção,linearouhiperbólica,queponderaarazão ^VMe /_VM^MAXdentrododomínio ¯,istoé,permitequeelementosque tenhamsuastensõespróximaseabaixodatensãomáxima,^MAX_VM sejamreintegradosaestruturaacadaiteração.Aminimizaçãoda funçãoobjetivoéatingidamedianteoencontrodeumpontoótimo estacionário,conforme[17].

Umaformaalternativa,maiscaracomputacionalmente,decor- rigiressedesvioseriaapossibilidadedeinserc¸ãodoelementona estruturanovamente,destacandoquenessesentidotem-seuma variantedoESO,oBidirectionalESO(BESO),Querin[18],quepos- sibilitaaentradaeremoc¸ãodeelementosnodomíniodeprojeto.

OSESOvemdessafilosofia,deformaconsistentematematicamente emaiseficiente,queponderaamatrizconstitutiva,fazendocom queoelementoqueaprioriseriaeliminadonoESOémantidoe recebeumarelaxação,aplicandoumafraçãodesuarigidezinicial, permanecendonoprojetoenaturalmentesuainfluênciacontribui parasuapermanênciaoufortaleceasuaretiradapordefinitivoda malhainicial.

Oselementosqueestãopróximosaolimitepelaesquerdadesta tensãomáximasão mantidosnaestrutura, deﬁnindoassimum

procedimentoderetirada«nãoradical»esim,deformasuave.O procedimentosoft-killusadonoSESOpodeserinterpretadoassim:

Di(j)=

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

D0sej∈i

D0·j( ¯)sej∈GS

0sej∈LS

⎫ ⎪

⎬

⎪ ⎭

⁽⁴⁾

onde ¯=LS+GS éodomíniodoselementosque atendema inequac¸ão(1),LS_iéodomíniodoselementosquedevemserexcluí- dosefetivamente,GS_iodomíniodoselementosquesãodevolvidos aestrutura,0≤( ¯)≤1éumafunc¸ãoreguladoraqueponderao valordarazão_e^VM/^MAX_VM dentrododomínio ¯.

A proposta dasuavizaçãopode ser desempenhadapor uma funçãolineardotipo( ¯)=˛j+ˇouumafunçãotrigonométrica dotipo( ¯)=sen(˛j).Porqueas2funçõessãocontínuasepodem serdiferenciadasemtodoodomínio ¯etemsuaimagemvariando de0-1,figura2.

4. Índicedeperformanceparaaformulac¸ãoSmooth EvolutionaryStructuralOptimization

Oíndicedeperformance(IP)éumparâmetroadimensionalque medeaeficiênciadaperformancedaestrutura.Oproblemaconsiste naminimizaçãodafunçãoobjetivoemtermosdopeso,sujeitoa umarestriçãodetensãoadmissível(␴^projeto),queédefinidacomo:

minimizeW=

NE e=1

we(te) sujeitoa_j,max^v^m −^project≤0

(5)

ondeNEéonúmerototaldeelementosﬁnitos.

OIPfoipropostoporLiangetal.[5]como:

IP=

^v_0,max^m _i,max^v^m

·W0

Wi =

_0,max^v^m _i,max^v^m

·0·V0

i·Vi =

·V0

Vi

(6)

ondeV0eV_isãoovolumeinicialeovolumedai-ésimaiterac¸ão,

␴^vm_0,max e␴^vm_i,maxsãoa tensãoinicialeatensãomáximadeMises nai-ésimaiteração,0 eisãoopesoespecíficoinicialeopeso específiconai-ésimaiteração,comosãoiguaisparaummaterial incompressível.Asuavizaçãogeradadevidoàequação(4)emter- mosdamatrizconstitutivapodeserescritaemtermosdeespessura, devidoàrelaçãodedependêncialinearentreelas.Nestecontexto,

D

D=0 D₀

D₀.η(j)

Ω

Γ ΓGS ΓLS

Figura2.Ilustraçãodasuavizaçãodovolumedoselementosremovidosnaiteração i.

(4)

oIPéaequac¸ão(7),quelevaemcontaaexpressão(4)emtermos deespessuraecadafunc¸ãoreguladoradoprocedimentoSESO:

IP=

_0,max^v^m ^v_i,max^m

· A0·t0

NE j=1

Aj·tj

=

· A0·t0

NE j=1

Aj·tj·(j)

(7)

ondet₀ éa espessurainicialet_j éa espessurado elementona iteração j. O controle do ótimo é feito por este IP, pois ele é umfatorde«monitoramento»daregiãoótimadeprojeto.Ocon- troledamaximizaçãodesteparâmetro refere-seao controlede minimizaçãodovolume,assim,casoesteíndicecaiadeformaacen- tuadaéumaforteindicaçãoquesepassouporumaconfiguração deótimaouumótimoestacionárioéalcançado,noentanto,não sepodegarantirqueesteótimoéumótimoglobal,massimuma configuraçãoótimadeprojetodeengenharia.

5. Pesopróprio

Opesoprópriodeelementosestruturaiscorrespondenteàação dagravidadesobreoscorposeconstitui-se emumdoscarrega- mentosque devem ser considerados emseu dimensionamento estrutural.Pode-seobservarnafigura3comosedáaaçãodopeso próprio.

Pode-se notar que nos elementos estruturais dispostos na posiçãohorizontalopesopróprioconstitui-se emcarregamento transversalaoeixo(fig.3),desenvolvendoosesforçosdeflexão, momentofletoreesforçocortante.

Nocasodoselementosdispostosnavertical,opesopróprio(G) atuanadireçãodoeixolongitudinaldapeçaeprovocaesforçoaxial, quepodeterumefeitodiferenciadodependendodasuavinculação.

Noselementossuspensos(tirantes,fig.4a)oefeitodopesoéde traçãoenasapoiadas(pilares,fig.4b)esteefeitoédecompressão.

Opesoprópriodeumapeça(G)podesercalculadomultiplicando- -seovolumedamesmapelopesoespecíficodomaterial,conforme indicaaequação8:

G=AL (8)

-A-áreadasec¸ãotransversaldapec¸a -L-comprimento

--pesoespecíﬁcodomaterial

Natrac¸ãooucompressãoaxialanãoconsiderac¸ãodopesopró- priopodesereventualeéocasomaissimples.

6. Formulac¸ãodoelementoﬁnitodealtaordem

Oelementofinitoempregadoéadvindodaformulaçãolivre, destacando-se que toda a formulação foi baseada no trabalho

Peças Horizontais

P. Próprio

Figura3.Ac¸ãodopesopróprio[19].

CG CG

Estruturtas suspensas Estruturas apoiadas

G(+) G(–)

Figura4. Ac¸ãodopesopróprio[19].

de Bergan e Felippa [20]. Ele é de geometria triangular com 3grausdeliberdadeporvértice:2deslocamentostranslacionais eumaderotaçãoazimutal,vetorrotacionalortogonalaoplanodo elemento.Inicialmentedivide-seocampodedeslocamentosem 2modos:U_beUs,respectivamentemodosdedeslocamentosbásico esuperior.Omodobásicodedeslocamentotemoobjetivodeaten- derascondiçõesdemovimentodecorporígidoededeformação constantecomsuasfunções interpoladoraslineares.Omodode deslocamentosuperior,oudealtaordem,sãopolinômiosquadrá- ticosemtermosdexey,levandoacamposdetensõesdevariação lineares.Destarte,amatrizderigidezfinalestabelecidacomo:

K=Kb+Ks (9)

Amatrizdosmodosbásicos,K_b,paraocasobidimensional,é dadapor:

Kb=1

A.L.Dm.L^T (10)

ondeL_jédenominadamatriz«amontoadora»(lumped),expressa por:

Lj=1 2

⎡

⎢ ⎢

⎣

yki 0 xik

0 xik yki

˛ 6

y²_ji−y²_kj

_˛

6

x²_ij−x²_jk

_˛

3

xij.yji−xjk.ykj

⎤

⎥ ⎥

⎦

⁽¹¹⁾

ondex_ij=x_i−x_j,x_ij=x_i−x_jei,jekdenotamapermutac¸ãocíclica de1,2e3.Dméamatrizconstitutivadoelemento.Éfundamental- menteamatrizconstitutivadaelasticidade,C,integradaaolongo daespessuradoelemento.Estaintegrac¸ãoreduzovolumeVpara A,áreadoelemento.

Paraumelementodeespessurat,materialcommódulodeelas- ticidadelongitudinalEecoeﬁcientedePoisson,amatrizD_m é dadapor:

Dm= E.t 1−²

⎡

⎢ ⎣

1 0

1 0 0 0 1−

2

⎤

⎥ ⎦

⁽¹²⁾

ondeC=¹_t ·Dm.

Oparâmetro˛≥0introduzidonaformulac¸ãodamatrizLapa- rececomoumfatordeescalanasfunc¸õesdeforma,multiplicando os termos relacionados com osgraus de liberdade rotacionais.

Ovalor de˛ afeta a matrizdosmodosbásicoseo cálculo das deformac¸ões.

Naequação11,se˛=0,tem-seamatrizLparaoelementofinito triangularcomdeformaçãoconstante(CST).Paraesteelementoas forçasnodaissãorelacionadasapenascomtranslações.

(5)

Amatrizdosmodosdealtaordemédadapor:

Ks=H^T.Kqs.Hs (13) aquiH=G⁻¹,ondeGéamatrizquerelacionaoscoeficientesassoci- adoscomosdeslocamentosnodaiseosparâmetrosgeneralizados q,fazendo-seasdevidassubstituiçõesdascoordenadasnodaisnas funçõesdeforma.

Paraumelementobidimensional,amatrizgeneralizadadealta ordemé:

Kqs=

A

B^Ts.Dm.BsdA (14)

ondeBSéamatrizdedeformac¸ãoparaosmodosdealtaordem, deﬁnidacomo:

Bs=Ns

=.

⎡

⎢ ⎣

2a11 +a21 2a12 +a22 2a13 +a23 b21 +2b31 b22 +2b32 b23 +2b33

−4b31 −4a11 −4b32 −4a12 −4b33 −4a13

⎤

⎥ ⎦

(15)

ondeéooperadordiferencialparadeformac¸õesdemembrana, expressopor:

=

⎡

⎢ ⎢

⎢ ⎣

∂

∂x 0

0 ∂

∂y

∂

∂y

∂

∂x

⎤

⎥ ⎥

⎥ ⎦

(16)

eéumfatordeescalacomdimensõesiguaisaoinversodocom- primento,dadapelaequac¸ão:

= 1

√A (17)

comA,aáreadotriângulo:

A=1

2·(xjyk) (18)

Osoutros elementosdamatrizBssão expressosdaseguinte maneira:

Nsi=

usi

v_si

=

a1i a2i a3i

b1i b1i b1i

.

⎧ ⎨

⎩

2

²

⎫ ⎬

⎭

^,ⁱ⁼¹^,²^,³^.

(19)

a1i=−1

2sic²_i b1i=−s²_ici−1 2c³_i a2i=c_i³ b2i=−s³_i

a3i=1

2s³_i +sic_i² b3i=1 2s²_ici

(20)

si=senϕi=(m−i) i =−3i

2i

ci=senϕi= (_m− i) i =−3 _i

2i

(21)

ondeoíndicemindicaopontomédioentrejekcom m,meisão ascoordenadasadimensionaisdesseponto,deﬁnidaspelasexpres- sões:

m=1 2( _j+ k) m=1

2(j+k) i=

(_m− i)²+(m−i)²= 3 2

2 i +²_i

(22)

ondei,jekrepresentamapermutac¸ãocíclicaentre1,2e3.

Amatrizdealtaordempodesermultiplicadaporumescalar positivoˇ,logoamatrizderigideztotaldoelementoédadapor:

K=Kb+ˇ.Ks (23)

quesatisfazaopatch-testeacondiçãodeserpositivadefinidapara aconvergência,conformeprovadopor[20].Oparâmetroˇ≥0para amatrizdealtaordeméutilizadoparacalibraramatrizderigidez total,K,ecomissoaperfeiçoaaconvergência.Osvaloresótimos sugeridospor[20]para˛eˇsão,respectivamente,1,5e0,5.

7. Exemplosnuméricos

De posse da formulação descrita nos itens anteriores, desenvolveu-seumsistemacomputacionalaplicandooSESOem conjuntocomométododoselementosfinitos,usandoaformulação livredescritanoitem6baseadaem[20].Introduziu-seumalgo- ritmodediscretizaçãoautomáticaparamalhasnãoestruturadas baseadanatriangularizaçãodeDelaunayparaagilizaroprocesso epermitirgeometriamaiscomplexas,comoaformaçãodepoligo- naisfechadasnãoconvexasemultiplamenteconexas.Alémdisso, devido ànecessidade deresolver o sistema linear centenasde vezesnoprocessoiterativo,programou-seumconjuntodesub- -rotinasemlinguagemFortranotimizadaspararesolversistemas linearesesparsosesimétricos,indicadoporDuffeReid[21].Adici- onalmente,conjugou-seametodologiadecálculodopesopróprio gerandoautomaticamenteumaforçaconcentradaequivalentepara cadanódoelemento,jácomputandoseuvolumeepesoespecí- fico.Assim,apresentam-seresultadosnuméricosparaaavaliação ecomparaçãodasconfiguraçõesobtidaspelosmodelosclássicos debielasetirantes.OsparâmetrosdeotimizaçãoRReRE,quando nãocitados,sãoiguaisa1%,eafunçãoreguladoraédefinidacomo ()=10⁻⁴.

7.1. Exemplo1

Umadasquestõesmaisintrigantesnanaturezaouemestru- turasnaturaisé:«Porqueelassãodojeitoquesão?».Pararevelar arespostadestapergunta,atécnicadeotimizaçãopodeserapli- cadaaoprojetodeumafruta.Especificamente,aintençãoéverificar seoalgoritmoSESOpoderiaproduziramesmaformacriadapela naturezadeumamaçã,verificandoassimseseuformatofoideter- minadoporumaperspectivagenéticaouestrutural.

Ageometriaeascondiçõesdecontornosãoindicadasnafigura5, aespessuraconsideradaparachapafoide0,44mm.Omódulode YoungéE=70×10³MPaecoeficientedePoissoné=0,3.Utilizou- -seumarazãoderejeiçãoiguala0%,umarazãoevolucionáriade 0,5%,eovolumefinalobtido,comocontrolepeloIP,foraiguala 78%dovolumeinicialeovolumeretiradoporiteraçãoiguala5%.

Umamalharefinadade(44x44)totalizando3.828elementos finitostriangularesfoiutilizadanoprocessoevolucionário.Aestru- turaestásuspensaporumtaloemcujosnósextremospermite-se deslocamentohorizontaleonócentralestáfixo.Afigura6ilustraa topologiaótimaobtidacomapresenteformulação,destacando-se

(6)

11 mm

44 mm

y

x 20 mm 2 mm

22 mm

0,044 mm

Figura5.Domíniodeprojeto.

Figura6.Formasemelhanteàdeumamac¸ã–topologiaótima.

emazulastensõespositivascomodevidasàtrac¸ãoqueseupeso própriosobreaestrutura.

Esteexemplofoi proposto porQuerin [18] eXieet al. [22], usandoESO.Suaformaótimaestáilustradanafigura7.Adiferença básicaentreasformulaçõesutilizadasporestesautoresparaotimi- zaraformadestaestruturaestánocritérioderejeição,oprimeiro usatensãodeVonMiseseosegundousaatensãoprincipaloua somadastensõesprincipaiscomocritério,obtendoaformacoma uniformidadedastensõesnasuperfíciedaestrutura.

Oresultadoobtidocomapresenteformulaçãomostraqueaação dopesoprópriotracionaaestruturafazendocomoselementospró- ximosaoseucentrodegravidadesejammaistensionadosqueos elementosmaispróximosaocontornodaestrutura.Nota-seque ocomportamentoestruturaléassimétrico,devidoadiscretização realizada de forma automática por um algoritmo baseado na triangularizaçãodeDelaunay,quelevouapequenasassimetrias, masquenão foram significativaspara a configuraçãoótimado problema.Nainterfaceentreoscomprimidosetracionados,respectivamente,vermelhoeazulédentadaedescontínuaemalguns pontos,característicasdaheurísticaderemoçãodoselementosda malhanoprocedimentodeotimizaçãotopológicaviaSESO.

7.2. Exemplo2

Esteexemplotratadeumavigabaixabiapoiadailustradana ﬁgura8a.Osdadosutilizadossãoespessurade0,50m,módulode YoungE=20820MPaecoeﬁcientedePoisson=0,3.Aplica-sea

Figura7.Topologiasemelhanteaumamac¸ã–propostadeQuerin[18].

0,8m

4m

a

b

c

Figura8.a)Vigaparedebaixa–domíniodeprojeto;b)Topologiaótimanãoconsi- derandoopesopróprio;c)Topologiaótimaconsiderandoopesopróprio.

técnicaSESOeocritériodeparadaérealizadoemtermosdoIPda estruturaouquandoovolumedesejadoéalcançado.Consideraram- se2tiposdecarregamento,oseupesopróprioeoutrode200kN uniformementedistribuídosem0,5m,atuandosimetricamenteno topodaviga,comoesquematicamenteindicadonafigura8a.Nessa vigabaixautilizou-seumarazãoderejeiçãoiguala1%,umarazão evolucionáriade2%.Ovolumedesejadofoideigual40%dovolume inicialeovolumeretiradoporiteraçãoiguala1,75%.Duranteo procedimentoevolucionárioodomíniofixoestendidofoidefinido porumamalharefinadade(160x60)totalizando19.200elementos finitostriangulares.

Asconfiguraçõesótimasobtidasnesteproblemaforamsimula- dascomas2cargassimultaneamenteaplicadasduranteoprocesso deotimização.Assim,oalgoritmoécapazdesimularmelhoropro- blemafísicoreal.Asfiguras8becmostramainfluênciadopeso próprioparaomodelodebielasetirantes,nesteproblemaviga baixa.

Porsetratardeumproblemadeotimizaçãonãoconvexo,istoé, comváriosmínimoslocais,optou-seporumaconfiguraçãoótima deprojetocomvolumede 46,1%,queéumótimocomumàs2 funçõesobjetivodoproblema,destacando-sequeoprocessoótimo comopesoprópriochegouaumvolumefinaldesejadode33,4%.

O esquema indicado pela ﬁgura 9 mostra os elementos do modelobiela-tiranteelaboradossegundoastopologiasótimasde

(7)

T4

C1 C3

T1

T2 T3

C5 T5

C2

Figura9. Propostademodelodebiela-tiranteviaOT(seminﬂuênciadopesopró- prio).

maneira direta. Observa-se que na proposta esquematizada as semirretasemvermelhoeazulindicam,respectivamente,osmem- broscomprimidos,bielas,eostracionados,tirantes.

Como o peso próprio é pequeno quando comparado com acargatotaldistribuída,istoé,oseupesopróprioequivalea5%da cargatotaldistribuída,então,apropostaparaomodelodebielae tirantescomaaçãodopesopróprionãotemdiferençasperceptíveis domodeloindicadonafigura9.

Considerandoateoriadetrelic¸aclássicaaplicadaaoconcreto, o modelo demonstra-seconsistente, com oarco superior com- primido(C1,C2eC5)ebielasinclinadas(C3eC4)compondoa trelic¸acomostirantes(T1eT3)inclinadosnaordemde30graus comahorizontaleobanzoinferiortracionado(T2).Estestiran- teseramrepresentadosporarmaduraslongitudinaisdenominadas

«cavaletes»mas,hojeemdia,elessãorepresentadospeloconjunto dearmaduraslongitudinaiseestribosverticais.

Indicando-seosmembrosondeosfluxosdetensõessedesta- cam,podem-secalcularosesforçosresultantesemcadaumpor meiodastensõesmédiascalculadasnoprocesso.Aforçaresultante emcadamembroéobtidapelamultiplicaçãodatensãomédiapela respectivaáreatransversal decada membro.Jáa áreadaseção domembroéobtidapeloprodutodaespessuradaviga(dadodo problema)coma larguramédiadaregiãodofluxo,medidasna direçãotransversalàdireçãodastensõesprincipaisecalculadas automaticamentepeloprogramacomputacional.

Calculam-seassimasáreasdasarmadurasnecessáriasnaregião detirantes(tabela1).

Natabela2apresentam-seastensõesatuantesnoconcretodos membrosdebielas. Nota-seumacréscimomais significativode esforçosnoarcocomprimido(banzosuperior)de10-20%,porém semalteraçõesimportantesnostirantes.

Aﬁgura10mostraoprocessoevolucionárioedesempenhoda estruturaduranteesteprocesso.Destaca-sequeoIPmáximoobtido comaconsiderac¸ãodopesopróprioéde1,81esemopesopróprio

Tabela1

Dimensionamentodasarmadurasdostirantes

Semconsideraçãodopesopróprio Comconsideraçãodopesopróprio Tirante Força(kN) AS,rec(cm²) Tirante Força(kN) AS,rec(cm²)

T1 28,18 0,645 T1 28,47 0,655

T2 58,52 1,346 T2 57,26 1,317

T3 26,78 0,616 T3 29,57 0,650

Tabela2

Comparac¸ãodastensõesatuantesnasbielas

Semconsiderac¸ãodopesopróprio Comconsiderac¸ãodopesopróprio

Biela Forc¸a(kN) Biela Forc¸a(kN)

C1 231,01 C1 252,9

C2 231,01 C2 252,9

C3 25,55 C3 15,1

C4 25,55 C4 15,1

C5 231,42 C5 285,5

1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8

0 20 40 60 80

Número de iterações

índice de performance

100 120 140 160 180 200 Sem peso próprio

Considerando o peso próprio

Figura10.IPpornúmerodeiterac¸ões.

éde1,70.Mostrandoqueoaumentodastensõesmédiasnoscen- troidesdoselementosﬁnitosproporcionaumaumentononúmero deelementosretiradosdaestruturadeterminandoummenorcusto computacional.

Noprocedimentoevolucionárioconsiderandoopesopróprioé relevantedestacarque,mesmosendoa suaordemdegrandeza menorqueocarregamentoaplicadoàviga,asconfiguraçõesdos esforçosnoselementosdo modelonão sofreramalteraçõessig- nificativas,noentanto,asuaconsideraçãoproporcionarammaior estabilidadeerapidezaoprocessoevolucionário.

Oprocedimentodeotimizac¸ãoconsiderandoopesopróprioteve ocritérioporvolumedesejadoenquantooIPfoiocritériodeparada paraavigasemconsiderac¸ãodomesmo.Destaca-sequeovolume desejadonoprocesso evolucionáriopara ambososcasosfoide 46,6%.

7.3. Exemplo3

Esteexemplofoiapresentadopor[13]queéumavigabiapoiada comumaabertura,ondeageometriaeacargadecálculo(F_d)são apresentadasnafigura11,aqualéusadacomodomínioestendido paraoprocessodeotimização.Osparâmetrosdosmateriaisutili- zadossãoomódulodeYoungE=20820MPa,coeficientedePoisson v=0,15eespessuraiguala0,4m.

Asresistênciasdecálculo doac¸oedo concretosãotomadas comvalores,respectivamente,def_yd=434MPaef_cd=25MPa.Essa estruturapossuiuma região«D» emvirtudedadescontinuidade geométricadevidoàpresenc¸adeumaaberturaimpostaporpro- jeto.Nessecaso,essaregiãodeveseravaliadausandoummodelo debielasetirantes.

P = 3MN

2700 2300 7000 500

27001500

4700 500

1500 500

Figura11.Domínioestendidodoprojeto(mm),[11].

(8)

a b

c d

e

Figura12.Topologiaótimaobtida:a)sempesopróprio,b)pesopróprioaplicadonotopo,c)pesopróprioaplicadoemtodocorpodaviga(presentemodelo),d)[11],e)[13].

Paraamodelagemcomapresenteformulação,utilizou-seuma malhade elementosfinitos com13.200 elementostriangulares (150x47)enafigura12sãomostradososprojetosótimosobti- dospelapresenteformulaçãoSESOecomparadoscomosdescritos nostrabalhosde[11]e[13].Atopologiaótimadoprojeto,indicada nafigura12a,nãoconsideraopesoprópriodaestrutura.

Asfiguras12becmostramasconfiguraçõesótimasconside- randoopesoprópriodaestruturaem2casosdiferentes:oprimeiro consideraumaF_R=3,33MNqueéobtidaporF_R=F_d+PPaplicadano topodaviga,comoumaforçaconcentrada,naposiçãoindicadana figura11,eosegundo,queconsideraopesoprópriodistribuído automaticamenteparatodososelementosdaestruturaaplicados conjuntamentecomaforçaconcentradaF_d.

Neste problema de viga-parede alta os parâmetros de otimizaçãopermaneceramosmesmosparaos3casosavaliadose aconfiguraçãoótimaobtidacomvolumeiguala45,6%semopeso próprioe,quandoseconsiderapesopróprionotopoedistribuído novolumedaviga,iguaisa35,1e29,9%,respectivamente.Nestas figurasasregiõesemvermelhoindicamasregiõescomprimidas, bielaseastracionadas,tirantes,emazul.Observa-seque,mesmoo pesoprópriosendoinsignificanteemrelaçãoaocarregamentoapli- cadoàviga,háumamelhordefiniçãodoselementoscomponentes domodeloesuaconfiguração.

Ográficodafigura13mostraastensõesdeVonMisesmáxima emcadaiteraçãoparaos3casosestudadosnesteartigo.Asten- sõesmédiasquandoseconsideraopesoprópriodistribuídonaviga foramatenuadasrepresentandomelhoromodelorealdestepro- blemaumavezqueafunçãoobjetivoficamaisbemrepresentada nestecaso.

1800 1600 1400 1200 1000 800

000

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Número de iteraçóes

TVM Máxima

SEM peso próprio

Peso próprio dis trib uido na viga Peso próprio no topo da viga

Figura13.TensãodeVonMisespornúmerodeiterac¸õesparaopresenteprocedi- mentodeotimizac¸ão.

OIPatingeummáximomaisrapidamentequandoseconsidera opesopróprioporque éinversamente proporcionalao número deelementosquepermanecemnaestrutura.Assim,quantomais elementossãoretiradosdaestruturapelocritériodeotimalidade impostonoprocessodeotimizac¸ãomaiorseráoIP.

Schlaichetal.[6]apresentamumapropostadereforçoparaessa estrutura,denominadade«DeepBeamwithalargehole»,obtida comoemprego deum modelo debielas etirantes advindoda combinaçãodo métododoselementosfinitos comumprocedi- mentodeseobterosfluxosdeforças,usandoométododenominado de«loadpath».Deformaquenafigura17éapresentadaadisposição dasarmaduraspropostaspelosautoresparareforçodavigacom cavidade,entretantoelesnãoconsideramoseupesopróprio.

Comaindicaçãodatopologiaobtidapelapresenteformulação épossível definir uma proposta de modelo de biela-tirante de maneiradiretaeavaliarainfluênciadeseupesopróprio.Observe- -seapropostaesquematizadanafigura14ondeassemirretasem vermelhoeazulindicam,respectivamente,osmembroscompri- midos,bielas,eostracionados,tirantes.Indicando-seosmembros ondeosfluxosdetensõessedestacam,obtendoassimosvaloresdas tensõesmédiasdecadamembroecomsuarespectivaárea,dada peloprodutodaespessuradavigacomalarguramédiadaregião dofluxo.

Destemodosecalculamasáreasdasarmadurasnecessáriasna regiãodetiranteseveriﬁca-searesistênciadoconcretoemcada biela.

Natabela3sãoapresentadososvaloresdasforc¸asmédiasobti- dasnostirantes.OstirantesT2eT4estãoinclinadosa15e45graus, respectivamente,dahorizontal.

C5

C8 C6

T4

C3

45 T3

C2

T1 T2

15 70*

Figura14.Propostademodelodebiela-tiranteviaOT.

(9)

Tabela3

Dimensionamentodasarmadurasdostirantessemconsiderac¸ãodopesopróprio

Tirante Forc¸a(MN) AS,rec(cm²) Forc¸anaarmadura(MN) Armaduraproposta Númerodebarras

T1 1,50 1,50 A=34,60 2×5∅20

T2 51,53 0,966T2 Ac=49,75 2×7∅20

T4 0,01 A 2×2∅20

T4 2,20 50,70 0,707T4 Ac=35,85 2×5∅20

0,707T4 Ad=35,85 2×5∅20

C5

C6

C7

T2 T1 T3

T4

C2 C3

C8 45

T5

Figura15.Representac¸ãoesquemáticadaarmaduraedomodelodebiela-tirante advindodaOT.

As4 (2 x 2 Ø 20)

As3 (2 x 8 Ø 20) As3 (2 x 8 Ø 20)

(2 x 7 Ø 20) (2 x 5 Ø 20) As2 As1

Figura16.Propostadedisposic¸ãodearmaduraspelopresentemodelo.

OtiranteT2érepresentadopelaparceladeforc¸adecomposta paraasbarraslongitudinais,obtendo-seassimaáreanecessáriade armaduraAs₂.

OtiranteT4temsuarepresentac¸ãonamalhaortogonal,As3,que cobreotrechojuntoàbordadacavidadeeosencontrosdebielas C3eC8naextremidadeesquerda,enaarmaduracomplementar As₄,a45graus,cobrindoosencontrosdebielasC2,C5eC8.

Conformeosprocedimentosdecálculoadmitidosparaasarma- durasrepresentativasdostirantes(tabela3eﬁg.15)apresenta-seo detalhamentodestasarmadurasnaﬁgura16,ondenota-seaexten- sãodasarmadurasAs3procurandoabrangeráreasdeencontrosde bielassobreaabertura.

Natabela4apresenta-seaveriﬁcac¸ãodastensõesatuantesno concretodosmembrosdebielasondenota-seanãoobservância doestadoúltimodecompressãodoconcretonasbielasC3eC8 (tabelas5e6.).

Aproposta para omodelo debielas etirantes considerando o peso próprio (de pequena grandeza) da estrutura apresenta conﬁgurac¸ãosemelhanteaquenãoseconsideraopesopróprio.

Noscálculosparaodimensionamentodasarmaduras,nãohouve

Tabela4

Veriﬁcac¸ãodastensõesatuantesnasbielas

Biela Forc¸a(MN) ␴(MPa) 0,8fcd=20(MPa)

C3 3,3 –28 Reforc¸o

C5 –1,4 –20 Ok

C6 –1,7 –18,5 Ok

C7 –5,5 –18,5 Ok

C5 –2,6 –22 Reforc¸o

Tabela5

Dimensionamentodasarmadurasdostirantes,considerandoopesoprópriodistri- buídoelementoaelementonaviga

Tirante Forc¸a(MN) AS,rec(cm²)

T1 1,889 80,3943

T2 1,904 59,0522

T4 1,980 61,3555

Tabela6

Veriﬁcac¸ãodastensõesatuantesnasbielas,considerandoopesoprópriodistribuído elementoaelementonaviga

Biela Forc¸a(MN) AS,rec(cm²)

C1 –2,640 26,6640

C –1,190 95,9525

C –1,394 82,6417

C –4,485 397,5992

C –2,080

2 x 6ø12 2 x 7ø16

2 x 7ø16

2 x 6ø12

2 x 2 ø 20 2 x 2 ø 20

Figura17.Propostadedisposic¸ãodearmadurasdeparaavigacomabertura[6].

resultados diferentesdas forc¸as resultantesobtidasdas tensões médiasdoselementostracionados.

8. Conclusão

O objetivodo artigo éa verificaçãode um sistemarobusto, confiáveleautomatizadoparaaobtençãodemodelosdebielase tirantesconsiderandoainfluênciadopesoprópriodaestrutura.

Assim,empregou-seumprocedimentodeotimizac¸ãotopoló- gica denominadoSESO para este ﬁm. Ele, emsíntese, emprega

(10)

ométododos elementosfinitospara efetuara presenteanálise elástica,demodoasedefinirumdomínioinicialestendidoe,ite- rativamente,ométodobuscaumaconfiguraçãotopológicaótima emque,naturalmente,ficamdefinidososmembroscomponentes domodelo,bielasetirantes.Dessaforma,osesforçosnosmem- brospodemseravaliadosparapossibilitarodimensionamentoe osreforçosestruturaisnecessáriosparacadatrecho.

Os3exemplosapresentadosdemonstraramboaacuráciacom asteoriasclássicaseosvaloresdescritosporoutrosautores.Foram propostastambémaquantificaçãoeadisposiçãodearmaduraspara umexemploclássicodescritonaliteraturainternacionalsobreo assuntoeummodelodebielasetirantesparaumavigaparede baixacomvárioscasosdecarregamento.

Constatou-sequepesoprópriodaestruturainfluenciapositi- vamenteoprocessoevolucionárioeaconfiguraçãoótimaobtida, mesmocomvaloresdepequenaordemdegrandezacomparados aoscarregamentosaplicadosaoselementosestruturais.Istosedeve aofatodequeoelementoestruturalpassaaterumadistribuição dopesopróprioemcada céluladeseuvolumeproporcionando umaalteraçãonastensõesinternas enoprocesso suavizadode eliminaçãoque,noentanto,proporcionamaiorestabilidadeerapi- dezaoprocessoevolucionário.

Agradecimentos

OsautoresagradecemaoDepartamentodeEngenhariadeEstru- turaseGeotécnicadaEscolaPolitécnicadaUniversidadedeSão Paulo(EPUSP),àUniversidadeFederaldeOuroPreto(UFOP)eàUni- versidadeEstadualPaulista(UNESP)pelosuporteﬁnanceirodesta pesquisa.

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