Funções em Perspectiva

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Fun¸c˜ oes em Perspectiva

2010 Vinicius Cif´ c u Lopes

UFABC, Maio de 2010

Intui¸c˜ao versus defini¸c˜ao

Pensamos em f: X → Y como uma “regra” que associa a cada elemento de X um elemento de Y.

Mas isso é problemático: O que é essa “regra”? Que tipos de regras podemos usar para descrever fun¸cões?

Ent˜ao vamos trabalhar com uma defini¸c˜ao precisa:

Umafun¸cão f: X →Y é qualquer rela¸cão entre pontos de X e pontos deY tal que todo x∈X relaciona-se com um único y∈Y.

Escrevemos f(x) =y.

Portanto, a associa¸cão f(x) = y não precisa ser descrita com fórmulas ou palavras!

(“Ponto” ´e sinˆonimo de “elemento”.)

Dadox, o correspondenteyé único. Nem todoy precisa ser relacionado a umxe, também, não é preciso ser o mesmo y para todos os x’s. Mas é preciso que não haja nenhum x sem um y correspondente.

Reescreva o par´agrafo anterior indicando que oycorrespondente axdepende dessex; afinal, y=f(x). Use esta nota¸c˜ao: y_x.

Por´em, continuaremos a utilizar “regras” para definir fun¸c˜oes.

Basta que sempre, dado um ponto no dom´ınio (ou seja, um valor espec´ıfico para a vari´avel independente), possamos computar um unico´ valor no contradom´ınio (a vari´avel dependente, assim chamada porque depende da outra).

Para este exerc´ıcio, use a nota¸cão |Z| para o número de elementos de Z, número esse chamado a cardinalidade de Z. (Não confundir com o valor absoluto de um número!) Por exemplo, coloque p=|X| e q=|Y|.

Exerc´ıcio: Considere o conjunto Y^X de todas as fun¸cões X → Y. Suponha que X e Y são finitos: quantos elementos temY^X ? (Pense também: Você listará “regras” ou contarátodas as fun¸cões?)

Para o próximo, lembre que fun¸cões são todas as rela¸cões com a propriedade indicada.

E preciso estar claro (se n˜´ ao estiver, pergunte!) o que é uma rela¸cão entre X e Y — é um subconjunto do produto X×Y ={(x, y)|x∈X e y∈Y } — e que existe a rela¸cão vazia.

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Exerc´ıcio: Descreva as fun¸c˜oes X →Y (ou seja, determine o conjuntoY^X) para cada X, Y abaixo:

(a) X =∅;

(b) Y =∅— como deve ser X para existir uma fun¸c˜ao?

(c) X unit´ario;

(d) Y unit´ario.

Primeiros exemplos

Estudaremos principalmente fun¸cões lR → lR, ditas fun¸cões reais de uma variável, ou, mais precisamente, fun¸cões de uma variável real com valores reais.

De fato, estudaremos X →lRpara alguns X ⊆lR bem comportados.

Também estudaremos fun¸cõeslN→lR. Não se usa a terminologia anterior. Essas fun¸cões chamam-se sequências (reais).

Dada s: lN→lR, escrevemos s_n em vez de s(n).

Fun¸c˜oes polinomiais:

Dados a0, . . . , an∈lR, pomos

p: lR→lR, p(x) =

n

X

i=0

a_ixⁱ.

Vocˆe pode estar acostumado com ´ındices em outra ordem!

Aqui, convém você revisar (ou, se não conhecer o assunto, procurar estudá-lo) como se deduz o sinal de um polinômio p(x) dado um valor espec´ıfico para x, assumindo que pjá foi fatorado, isto é, conhecem-se suas ra´ızes a₁, . . . , a_n e p(x) = Qn

i=1(x−a_i). Basta colocar as ra´ızes em ordem crescente e montar uma tabela com todos os intervalos entre elas. Então determina-se o sinal de cada monômio (x−a_i) em cada intervalo e obtém-se o sinal de ppor multiplica¸cão. A mesma técnica funciona para as fun¸cões racionais que definiremos abaixo.

Quando p(x) = a₀, diz-se que p ´e constante.

Quando p(x) = a₁x, diz-se que p ´e linear.

Quando p(x) = a₀+a₁x, diz-se que p ´e afim.

Muitas vezes, usa-se o adjetivo “linear” em vez de “afim”. Al´em disso, em estudos mais avan¸cados, “afim” adquire outro significado.

Fun¸c˜ao m´odulo:

f: lR→lR, f(x) =|x|=

( x sex>0;

−x sex <0.

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Fun¸c˜oes caracter´ısticas:

Dado E ⊆X, temos

χ_E: X → {0,1}, χ_E(x) =

(1 sex∈E;

0 sex /∈E.

Exerc´ıcio: Assuma D, E ⊆X. Descreva χ_D∩E eχ_D∪E em termos de somente χ_D eχ_E. O que precisamos sobre D e E para considerar χ_D×E? Descreva-a em termos de χ_D e χ_E.

Vocˆe pode tamb´em pensar sobreχ_D

rE eχ_DME. Fun¸c˜oes escada ou de patamares:

Se X = E₁∪. . .∪E_n onde os E_i’s s˜ao dois a dois disjuntos e a₁, . . . , a_n ∈ lR, podemos tomar f: X →lR, f(x) = ai quando x∈Ei.

Por que f se chama escada, ou tamb´em, de patamares?

O que acontece se os E_i’s não são disjuntos? E se não cobrirem todo o X?

A primeira pergunta terá uma resposta clara quando estudarmos representa¸cões gráficas:

volte a ela nesse ponto!

Quanto à segunda pergunta, essa é uma defini¸cão de fun¸cão usando uma “regra” e precisamos sempre que tal “regra” produza um único valor da fun¸cão para cada valor do argumento. Aqui, portanto, temos que verificar o que dá certo e o que dá errado.

Quando estudarmos opera¸cões entre fun¸cões, poderemos propor uma solu¸cão: tomamos f = a₁χ_E

1 +. . .+a_nχ_E

n. Note que esse é um modo de generalizar a defini¸cão original, que assume que X está particionado em E₁, . . . , E_n. Essa fun¸cão também é uma fun¸cão escada?

(Verifique que sim.)

Nomenclatura e propriedades

Quando falamos de uma fun¸c˜aof: X →Y,especificamos o dom´ınioXe o contradom´ınio Y.

Em várias situa¸cões do dia-a-dia, incluindo este curso e os próximos, pode-se deixar um ou outro ou ambos dom´ınio e contradom´ınio subentendidos. Contudo, é sempre salutar inquirir quais são eles. Veja:

Fun¸c˜oes racionais:

Suponha que p, q s˜ao fun¸c˜oes polinomiais. Podemos definir f: lR→lR, f(x) = p(x)/q(x) ?

Podemos definir f: X →lR como acima, sendo X ={x∈lR|q(x)6= 0}.

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A fun¸c˜ao f: X →Y determina sua imagem f[X] ={f(x)|x∈X}.

Generaliza¸c˜ao: dados A⊆ X e B ⊆Y, definimos a imagem f[A] ={f(x)| x∈A} e a pr´e-imagem f⁻¹[B] ={x∈X |f(x)∈B}.

Costuma-se indicar a imagem de f (para todo o dom´ınio X) como Imf.

Exerc´ıcio: Mostre que sempre f⁻¹[f[A]] ⊇ A e f[f⁻¹[B]] ⊆ B. Construa exemplos em que as inclusões sãopróprias, isto é, não são igualdades.

Ao longo deste cap´ıtulo, vamos revisar ou aprender muitos novos conceitos. A quantidade de informa¸cão a ser absorvida é realmente grande, mas necessária para ser bem usada. Do mesmo modo, o vocabulário de uma l´ıngua que aprendemos (inglês, espanhol. . . ) consiste de diversas pequenas defini¸cões separadas, sendo impraticável formar frases com apenas uma ou duas palavras.

A fun¸c˜ao f: X →Y pode ser:

• injetora se cada f(x) ´e exclusivo para essex;

• sobrejetora se caday relaciona-se a algum x;

• bijetora se ´e injetora e tamb´em sobrejetora.

Em outras palavras: f ´e injetora quando (∀a ∈ X)(∀x ∈ X) [x 6= a ⇒ f(x) 6= f(a)]. Veja que podemos substituir essa proposi¸c˜ao por (∀a∈X)(∀x∈X) [f(x) =f(a)⇒x=a].

f ´e sobrejetora quando (∀y∈Y)(∃x∈X) [f(x) =y], ou seja,f[X] =Y.

f é bijetora quando a correspondência entre X e Y pode ser invertida, isto é, dado um y encontraremos sempre algum x (por sobreje¸cão) que se relacione com y e, além disso, esse x é

´

unico (inje¸c˜ao).

Quando f ´e bijetora, podemos definir sua inversa f⁻¹: Y →X assim:

f⁻¹(y) = xtal que f(x) =y

Tudo isso se aplica tamb´em a qualquer restri¸c˜ao de f induzida por um A⊆X:

f|_A: A→Y, f|_A(x) =f(x)

Representa¸cão gráfica (Gráfico na lousa.)

O eixo horizontal das chamadas abscissas representa o dom´ınio X. O eixo vertical das ordenadas representa o contradom´ınio Y.

Quando ambos os eixos s˜ao lR, chamamos o ponto (0,0) de origem.

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Para estudar fun¸cões como rela¸cões, já utilizamos uma representa¸cão conjuntista em que X eY são “bolsas” de elementos e f: X →Y é uma cole¸cão de flechas de X a Y.

Agora, revisaremos a representa¸cão cartesiana tradicional. Ela identifica pontos do plano com elementos do produto cartesiano X×Y = {(x, y) | x ∈ X e y ∈ Y }, assim: um ponto com abscissa x e ordenada y é identificado com o par ordenado (x, y). Nessa representa¸cão, usualmente, cada eixo representa uma cópia da reta real lR, embora mais geralmente nem X nem Y precisem ser um eixo completo.

Os eixos podem intersectar-se em qualquer ponto, conforme a conveniˆencia visual do desenho.

Isso é comum em gráficos de valores financeiros, por exemplo, onde informa¸cões sobre bilhões de reais são mostradas bem próximas da interseçcão dos eixos, embora as quantias não sejam próximas de zero. Contudo, a origem é sempre o ponto (0,0).

Uma região do plano (por exemplo, a figura de uma ameba, ou um emaranhado de tra¸cos e pontos) corresponde a um subconjunto deX×Y que, por sua vez, é uma rela¸cão entreX eY.

Se f: X →Y é uma fun¸cão, então{(x, f(x))|x∈X} é o seu gráfico.

(Gr´afico na lousa.)

(Desse modo, estudar uma fun¸cão como sendo uma rela¸cão com caracter´ısticas especiais é o mesmo que a equiparar ao seu próprio gráfico, que é uma rela¸cão.)

A bola aberta ou vazada no gráfico indica que a fun¸cãonãoassume tal valor naquela abscissa.

Ou a abscissa não pertence efetivamente ao dom´ınio, ou o valor da fun¸cão deverá ser marcado com uma bola fechada ou cheia na mesma vertical.

Aten¸cão: Se o eixo das abscissas representa todo o conjunto lR, então o gráfico de uma sequência lN → lR consiste de pontos equidistantes 1 no semiplano direito e não é uma linha cont´ınua!

Teste das retas verticais:

(Gr´aficos na lousa.)

Na representa¸cão gráfica usando abscissas e ordenadas, o gráfico corresponde a uma fun¸cão se toda reta vertical passando por um ponto de X encontra o gráfico em um e somente um ponto que tenha ordenada emY.

Teste das retas horizontais para injetividade:

Precisa ser gráfico de fun¸cão! (Gráficos na lousa.) Teste das retas horizontais para sobrejetividade:

Precisa ser gráfico de fun¸cão! (Gráficos na lousa.)

Também nessa representa¸cão, assuma já termos constatado que o gráfico corresponde a uma fun¸cão. Essa fun¸cão é injetora se toda retahorizontal passando por um ponto de Y encontra o gráfico em no máximo um ponto que tenha abscissa em X. A fun¸cão é sobrejetora se toda reta horizontal encontra o gráfico em algum ponto.

Comportamento dos gr´aficos de bijetora e sua inversa:

(Gr´aficos na lousa.)

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Portanto, a fun¸cão é bijetora se toda reta horizontal passando por um ponto de Y encontra o gráfico em um e somente um ponto que tenha abscissa em X. Conclu´ımos que, nesse caso, podemos obter o gráfico da fun¸cão inversa refletindo o gráfico original ao redor da diagonal principal. Detalharemos isso adiante.

Transla¸c˜oes e dilata¸c˜oes

Suponha fixados f: lR→lR ek ∈lR, para construirmos g: lR→lR.

As f´ormulas espec´ıficas das transforma¸c˜oes a seguir variam entre textos.

Transla¸c˜ao horizontal:

(Gr´afico na lousa.) g(x) =f(x+k).

Veja queké somadodentro da fun¸cão. Cuidado com o sinal dek! O que acontece sek = 0 ? E importante confirmar se o gr´´ afico de g que desenharmos corresponde à fun¸cão que definimos. Isso pode ser feito calculando explicitamente o valor de g(x) para algum x, por exemplo x= 0 para o qualg(0) =f(k), e confer´ı-lo no gráfico.

Transla¸c˜ao vertical:

(Gr´afico na lousa.) g(x) =f(x) +k.

As mesmas observa¸c˜oes aplicam-se a este caso, mask ´e somado fora.

Dilata¸c˜ao horizonal:

(Gr´aficos na lousa.) g(x) =f(kx).

Aqui, para verificar o gráfico, não podemos tomar x = 0, para o qual sempre g(0) = f(0) independentemente do valor de k. Porém, podemos utilizar um valor não-nulo como x = 1.

Observe que k est´a dentro da fun¸c˜ao.

Note que, quando k = 0, a fun¸cão g torna-se constante; por quê, e com qual valor? Note também que, se k < 0, há uma rota¸cão do gráfico ao redor do eixo das ordenadas. Finalmente, dependendo da magnitude dek, ou seja, se 0<|k|<1 ou|k|= 1 ou |k|>1, podemos ter uma dilata¸cão no sentido próprio da palavra ou uma contra¸cão. De qualquer modo, o comportamento

´e aquele de uma sanfona, sendo que o eixo das ordenadas mant´em-se inalterado.

Dilata¸c˜ao vertical:

(Gr´aficos na lousa.) g(x) =kf(x).

Agora k está fora da fun¸cão. Novamente, as observa¸cões acima têm validade aqui, embora seja o eixo das abscissas que se matenha inalterado e talvez funcione como eixo de rota¸cão. O teste do desenho pode ser feito com valores de x tais que f(x)6= 0.

Exerc´ıcio: Monte uma tabela descrevendo em palavras o comportamento do gr´afico de g em termos do sinal de k (ou zero) e (no caso de dilata¸c˜oes) da magnitude de k.

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Exerc´ıcio: Pense no que acontece quando essas opera¸cões são repetidas, por exemplo, uma transla¸cão horizontal seguida de uma dilata¸cão vertical, depois uma transla¸cão vertical.

• Observe que o total de combina¸c˜oes se resume a umas poucas possibilidades.

• Qual é o comportamento geral dos pontos do gráfico submetidos a essas transforma¸cões?

(Não é preciso formalizar nada; somente jogue um pouco com as transforma¸cões.)

Simetrias

Continuamos com f: lR→lR.

Fun¸c˜ao par: (Gr´afico na lousa.)

Gr´afico sim´etrico em torno do eixo das ordenadas.

(∀x∈lR) [f(−x) = f(x)].

Por exemplo, f(x) = x² ou f(x) = x¹4 definem fun¸c˜oes pares. Use esses exemplos para associar o nome `a propriedade.

Fun¸cão ´ımpar: (Gráfico na lousa.) Gráfico simétrico em torno da origem.

(∀x∈lR) [f(−x) = −f(x)].

Exerc´ıcio: Mostre que, ent˜ao, f(0) = 0.

Aten¸cão: A simetria é em torno da origem (um ponto), não em torno de uma reta; portanto, não é uma reflexão especular. Exemplos sãof(x) = x⁵ e f(x) =x⁹.

Fun¸cão periódica: (Gráfico na lousa.) (∃T ∈lR)(∀x∈lR) [f(x+T) =f(x)].

O menor T >0, se existir, ´e chamado per´ıodo.

Note que toda fun¸cão constante é periódica, mas não tem um per´ıodo! Nossos exemplos mais importantes, porém, têm per´ıodo 2π: estudaremos em breve as fun¸cões trigonométricas.

Observe que a propriedade vale para qualquer x. Portanto, pondo x+T no lugar de x, obtemos

f(x+ 2T) = f((x+T) +T) = f(x+T) =f(x) e, do mesmo modo,

f(x+ 3T) = f((x+ 2T) +T) = f(x+ 2T) = . . .=f(x).

Agora, coloquemos x−T no lugar de x. Ent˜ao f((x−T) +T) = f(x−T) pela propriedade;

logo, f(x) =f(x−T). Iterando esse processo, conclu´ımos que (∀x∈lR)(∀n ∈ZZ) [f(x+nT) =f(x)]. Monotonias

Suponha X ⊆lR e f: X →lR.

Fun¸c˜ao crescente: (∀a, x ∈X) [x>a⇒f(x)>f(a)].

Fun¸c˜ao decrescente: (∀a, x∈X) [x>a⇒f(x)6f(a)].

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Note que fun¸cões constantes são crescentes e decrescentes; aliás, uma fun¸cão (de)crescente pode ser constante em todo de um ou mais patamares de seu dom´ınio e, portanto, não precisa ser injetora.

Fun¸c˜ao estritamente crescente: (∀a, x∈X) [x > a⇒f(x)> f(a)].

Fun¸c˜ao estrit. decrescente: (∀a, x∈X) [x < a⇒f(x)< f(a)].

Agora, em cada caso, os dois sinais de igualdade devem ser estritos: o segundo, porque queremos a defini¸cão “estrita”; o primeiro é for¸cado pelo segundo (se x = a, sabemos que a fun¸cão f deve satisfazer f(x) = f(a)).

Uma fun¸c˜ao estritamente crescente ou decrescente ´e sempre injetora.

Em qualquer desses casos, diz-se que a fun¸cão é “monótona” ou “monotônica” (pelo sentido do primeiro adjetivo).

Desenhe gr´aficos representativos de cada um desses quatro casos.

Limita¸c˜oes

Suponha f:X →lR.

Fun¸c˜ao limitada: (∃K, M ∈lR)(∀x∈X) [K 6f(x)6M].

O que ´e ser limitada superiormente? Inferiormente?

Então K 6 M. O objetivo é detectar um “piso” e um “teto” para o gráfico da fun¸cão, sendo que as “laterais” são delimitadas pelo próprio dom´ınio X. Tanto faz se o piso ou o teto são “tocados” pelo gráfico da fun¸cão: se você precisar trabalhar com desigualdades estritas, substitua K, M por K−1, M + 1 respectivamente.

No caso de limita¸cões superior (M) ou inferior (K), só nos preocupamos com o teto ou o piso, respectivamente, podendo o outro existir ou não.

Experimente exemplificar essas situa¸c˜oes com gr´aficos!

Opera¸cões e compara¸cões entre fun¸cões

Suponha f, g:X →lR. Definem-se ponto a ponto:

• f +g: X →lR, (f+g)(x) = f(x) +g(x);

• f.g: X →lR, (f.g)(x) =f(x).g(x).

Recorde como é feita a soma de vetores: somamos a primeira coordenada de cada vetor e o resultado é a primeira coordenada do novo vetor; depois somamos as segundas coordenadas; as terceiras. . . Tal soma é feita, portanto, “coordenada a coordenada”.

De modo análogo, as opera¸cões acima foram definidas “ponto a ponto”, como é muito comum em Matemática. Fixa-se x∈X e faz-se a opera¸cão correspondente com os valores das fun¸cões calculadas em x. (Valores em outros pontos não importam.)

Mais três exemplos: A diferen¸ca f −g é definida como acima, substituindo-se + por −. Se também k ∈ lR, então a fun¸cão k.f é definida como (k.f)(x) = k.f(x). Se g(x) 6= 0 para qualquer x∈X, então podemos definir f /g.

Operamos com sequˆencias, cujo dom´ınio ´e X =lN, exatamente do mesmo modo.

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f =g ⇔f e g são a mesma rela¸cão (por defini¸cão)

⇔(∀x∈X) [f(x) = g(x)] (ponto a ponto!) O que é f 6=g? (∃x∈X) [f(x)6=g(x)] nãoé ponto a ponto!

f 6g ⇔(∀x∈X) [f(x)6g(x)]

f < g⇔(∀x∈X) [f(x)< g(x)]

Comparar fun¸cões será importante em diversos teoremas sobre convergência e limites, tanto inicialmente como depois, em integra¸cão.

A compara¸cão é feita ponto a ponto; para duas fun¸cõesdiferirem, basta que tenham valores distintos em um algum ponto do dom´ınio.

Quando se trata de comparar números reais, a ordem é total/linear, ou seja, um número vem antes ou depois do outro. Porém, é poss´ıvel duas fun¸cões não serem uma maior ou menor que a outra. (Gráfico na lousa.)

Composi¸c˜ao de fun¸c˜oes

Suponha f:X →Y e g: Y →Z. Define-se:

g◦f: X →Z, (g◦f)(x) =g(f(x)). Note que X →^f Y →^g Z (cuidado com a ordem!).

O objetivo da composi¸cão é substituir por uma única fun¸cão o trabalho feito primeiro por f e depois por g. Isso é poss´ıvel porque o contradom´ınio de f é o dom´ınio deg, ou seja, f tem valores nos quais g está definida.

Não confunda o s´ımbolo ◦(lê-se “bola”) com a multiplica¸cão de fun¸cões. Note também que a ordem é extremamente importante: Podemos definirf◦g, acima, somente seZ ⊆X; a fun¸cão que vem primeiro f aparece à direita da outra g para que as nota¸cões g ◦f e g(f(x)) sejam compat´ıveis.

Por exemplo, pode-se mostrar que a composi¸cão de fun¸cões polinomiais é novamente poli- nomial. O mesmo vale para fun¸cões racionais, com a devida restri¸cão de dom´ınios: a composta estará definida em todo olR exceto em um número finito de pontos.

Estes dois exerc´ıcios s˜ao muito importantes, tanto por seus enunciados como pela pr´atica que oferecem:

Exerc´ıcio: Suponha quef: X →Y ´e bijetora. Podemos formarf◦f⁻¹ ef⁻¹◦f? Determine- as.

Exerc´ıcio: Suponha dadas f: X → Y e g: Y → X e assuma que (g ◦f)(x) = x para todo x ∈ X, que (f ◦g)(y) = y para todo y ∈ Y. Mostre que f ´e injetora e sobrejetora; prove que g =f⁻¹.

No caso desse exerc´ıcio, diz-se queg◦f ef◦g são fun¸cõesidentidade. Existem exemplos de g◦f ou f ◦g identidade, mas f não sobrejetora ou injetora, respectivamente. Você consegue constru´ı-los?

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Mais exemplos

Temos vocabul´ario para estudar mais exemplos.

Inclu´ımos duas fun¸c˜oes patol´ogicas.

Caracter´ıstica dos racionais:

χ_Q: lR→lR, χ_Q(x) =

(1 se x∈Q(racional, quociente);

0 se x /∈Q.

Gr´afico dif´ıcil. (Tentativa na lousa.)

Veremos que ´e descont´ınua em todo ponto.

f: ]0,1]→lR, f(x) =

(1/n se x=m/n reduzido;

0 se x /∈Q.

Gr´afico dif´ıcil. (Tentativa na lousa.)

Veremos que ´e cont´ınua somente nos irracionais.

(Por uma fra¸cão m/n ser reduzida, queremos dizer n > 0 e mdc{m, n} = 1, isto é, m e n são relativamente primos.)

Fun¸c˜oes exponenciais: (Gr´aficos na lousa.) Dado real a >0, temos

f: lR→lR, f(x) =a^x.

• a >1⇒estritamente crescente;

• a= 1 ⇒constante;

• a <1⇒estritamente decrescente.

Se a6= 1 então f é limitada inferiormente e o “melhor” limitante inferior (piso) é 0: 0 é piso, mas nenhum positivo é.

Tamb´em ´e ilimitada superiormente.

E uma bije¸c˜´ ao entre lR elR^>0.

Como se define a^x? Isto ´e, dados a e x, como calculamos a^x? Responder essa pergunta

é uma motiva¸cão do rigor matemático no Cálculo. Quando x é um número natural positivo, colocamos

a^x =a×. . .×a

| {z }

xvezes

,

ou mais formalmente, procedemos a uma defini¸c˜ao recursiva: a^x = a×a^x−1. Isso requer um

“passo inicial” ou “base da recursão”: escolhemos a⁰ = 1 para que então a¹ =a; note que 1 é o elemento neutro da multiplica¸cão e que

a^x= 1×a×. . .×a

| {z }

xvezes

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para todo natural x, incluindo o zero. E importante verificar que essa defini¸c˜´ ao satisfaz as

“regrinhas” da exponencia¸cão, mas também importante notar que tal verifica¸cão, seja fácil ou não, deve existir por conta própria porque não faz parte da defini¸cão.

Parax∈ZZ, sex>0 já temosa^x; sex <0 então−x∈lNe pomosa^x = (a^−x)⁻¹. Novamente, devemos verificar as propriedades da exponencia¸cão.

Para x∈Q, digamos x=p/q com p∈ZZ e q∈lN^>0, queremos dizer que a^p/q =b⇔a^p =b^q e precisamos aprender a tirar ra´ızes (calculamos a^p e pedimos sua raiz q-´esima). Para que a^p tenha uma raiz, vemos que precisamos supor esse n´umero positivo, ou seja, precisamos a > 0.

Quanto à existência da raiz, é algo garantido pela completude de lR, que estudaremos ainda neste curso. Mais uma vez, feito esse trabalho, resta demonstrar as propriedades dessa opera¸cão.

Finalmente, para x ∈ lR, podemos tomar números racionais x_n, n ∈ lN, arbitrariamente próximos de x e tomar a^x como o limite das potências a^xⁿ. O que é esse limite, se ele existe, se ele é sempre o mesmo, quais são suas propriedades e como elas garantem as propriedades da opera¸cão, são todos assuntos que aprenderemos em Cálculo.

Outra possibilidade (que se generaliza melhor) é definir a^x como uma “série de potências”, por exemplo, a^x = P∞

n=0

(xlna)ⁿ

n! . Como fazer uma soma infinita e quais contas podemos fazer com ela é um assunto t´ıpico de Cálculo e Análise. Claramente, precisamos antes definir ln, o que pode ser feito com uma integral.

Lembre:

a^x+u =a^xaû. a^x−u =a^x/aû. a^xû 6= (a^x)û =a^xu.

Padrão é tomara=e= 2,718. . . , número especial do Cálculo. (Veremos motivos.) Indica-se também exp(x) =e^x, muito útil:

exp(“termo grande”) =e“termo grande”

Usando logaritmos (adiante),a^x = exp(xlna) (quem sabe uma, sabe todas!).

Fun¸c˜oes logar´ıtmicas: (Gr´aficos na lousa.) Dado real a∈]0,1[∪]1,∞[, temos

g: lR^>0 →lR, g(x) = log_ax .

• a >1⇒estritamente crescente;

• a <1⇒estritamente decrescente.

g é uma bije¸cão entrelR^>0 e lR, portanto, não é limitada (nem inf. nem sup.) E inversa da´ f(x) = a^x, dondez = log_ay⇔a^z =y.

Lembre:

log_a(xu) = log_a(x) + log_a(u).

log_a(x/u) = log_a(x)−log_a(u).

log_a(x^u) = ulog_ax.

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Na escola, log = log₁₀. Em Computa¸c˜ao, log = log₂. Em An´alise, log = log_e= ln.

H´a quem use lg para uma base de seu interesse.

Lembre:

log_ax= log_bx log_ba

Fun¸cões trigonométricas: (Gráficos na lousa.)

Argumentos sempre em radianos: π = 180^◦; cuidado com calculadora!

sen,cos : lR→[−1,1] e tg :

x∈lR

x6= ^π₂ +nπ, n∈ZZ →lR, tgx= ^sen_cos^x_x.

Tais contradom´ınios já são as imagens correspondentes; sen e cos são limitadas e tg é ilimitada.

sen e cos tˆem per´ıodo 2π; tg tem per´ıodo π.

sen e tg s˜ao ´ımpares; cos ´e par.

Lembre:

sen²x+ cos²x= 1.

sen(x±u) = senxcosu±cosxsenu.

cos(x±u) = cosxcosu∓senxsenu.

Dica: Outras fun¸c˜oes trigonom´etricas: escreva-as usando sen e cos para fazer contas.

Assim, você não precisa decorar muitas fórmulas extras, exceto se essas fun¸cões especiais (cotangente, secante, cossecante) aparecerem muito em seu trabalho!

Conhe¸ca as abrevia¸cões dessas fun¸cões em inglês, para ler textos técnicos estrangeiros: sin

é seno, tan é tangente, cot é cotangente, sec é secante e csc é cossecante.

Fun¸c˜oes trigonom´etricas inversas ou “arco”:

A escolha dos dom´ınios depende do texto.

Notamos que

• sen ´e injetora sobre

−^π₂,^π₂

;

• cos ´e injetora sobre [0, π];

• tg ´e injetora sobre

−^π₂,^π₂ . (Ou seja, cos|_[0,π] ´e injetora, etc.)

(13)

Ent˜ao estudamos:

• sen⁻¹: [−1,1]→

−^π₂,^π₂

;

• cos⁻¹: [−1,1]→[0, π];

• tg⁻¹: lR→

−^π₂,^π₂ . (Gr´aficos na lousa.)

Tamb´em se usa o prefixo “arc” em vez do sinal ⁻¹, por exemplo, arccos = cos⁻¹. Observe que sen⁻¹x 6= (senx)⁻¹; por outro lado, costuma-se usar sen²x = (senx)², de modo que sen² 6= sen◦sen.

Aten¸cão: cos⁻¹x é o ângulo entre 0 e π cujo cosseno é x.

Veja: cos⁻¹ cos^3π₂

= cos⁻¹0 = ^π₂.

(Cuidado com dom´ınio e contradom´ınio!)

Essas três inversas são fun¸cões limitadas, não-periódicas.

sen⁻¹ e tg⁻¹ são ´ımpares; cos⁻¹ não é nem par nem ´ımpar!