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Notas para o acompanhamento da

1a. e 2a. partes

das aulas de

C´

alculo Diferencial e Integral 3

Estat´ıstica

Sum´

ario

1 Fun¸c˜oes Reais de V´arias Vari´aveis Reais 5

1.1 Uma R´apida Apresenta¸c˜ao dos Diversos Tipos de Fun¸c˜oes. . . 5

1.2 Fun¸c˜oes Reais de V´arias Vari´aveis Reais: dom´ınio, contra-dom´ınio, imagem e gr´afico . . . 7

1.3 Uma Brev´ıssima Revis˜ao das Equa¸c˜oes Reduzidas das principais Superf´ıcies Qu´adricas . . . 9

1.4 Curvas de Contorno, Curvas de N´ıvel e Superf´ıcies de N´ıvel . . . 12

Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: Fun¸c˜oes f:X_⊂Rm →R _{. . . . 17}

2 Limites e Continuidade de Fun¸c˜oes Reais de V´arias Vari´aveis Reais 19 2.1 Limites de Fun¸c˜oes Reais de V´arias Vari´aveis Reais . . . 19

2.2 Continuidade em Fun¸c˜oes Reais de V´arias Vari´aveis Reais . . . 22

Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: Limites de Fun¸c˜oes f:X⊂Rm_{→R . . . . 24}

3 Deriva¸c˜ao de Fun¸c˜oes Reais de V´arias Vari´aveis Reais 25 3.1 Derivadas Parciais . . . 25

3.2 Plano Tangente a Gr´afico de Fun¸c˜oes de Duas Vari´aveis . . . 27

3.3 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . 30

3.4 Regra da Cadeia . . . 31

3.5 Deriva¸c˜ao Parcial Impl´ıcita . . . 33

3.6 Incrementos e Diferenciais . . . 34

Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: Deriva¸c˜ao de Fun¸c˜oes f:X_⊂Rm_→R _{. . . . 38}

4 Aplica¸c˜oes de Derivadas de Fun¸c˜oes Reais de V´arias Vari´aveis Reais 41 4.1 Derivada Direcional e Vetor Gradiente . . . 41

4.2 Interpreta¸c˜ao Geom´etrica do Vetor Gradiente . . . 44

4.3 O Vetor Gradiente como Vetor Normal a Curva ou Superf´ıcie . . . 45

4.4 M´aximos e M´ınimos de Fun¸c˜oes de Duas Vari´aveis . . . 47

4.5 O Teste da Derivada Segunda para Fun¸c˜oes de Duas Vari´aveis . . . 50

4.6 Problemas de Otimiza¸c˜ao . . . 51

4.7 Multiplicadores de Lagrange . . . 56

Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: Aplica¸c˜oes de Derivadas de Fun¸c˜oes f:X_⊂Rm_→R _{. . . . 59}

5 Integrais M´ultiplas 61 5.1 Integrais Duplas . . . 61

5.2 Integrais Duplas Sobre Regi˜oes mais Gerais . . . 63

5.3 Area por Integra¸c˜´ ao Dupla . . . 66

5.4 Integrais Duplas em Coordenadas Polares . . . 67

5.5 Integrais Triplas . . . 72

5.6 Integrais Triplas em Coordenadas Cil´ındricas . . . 74

5.7 Integrais Triplas em Coordenadas Esf´ericas . . . 76

Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos: Integrais M´ultiplas . . . 81

Cap´ıtulo 1

Fun¸

c˜

oes Reais de V´

arias Vari´

aveis Reais

Neste cap´ıtulo apresentamos as chamadas fun¸c˜oes reais de v´arias vari´aveis reais, que s˜ao fun¸c˜oes cujo dom´ınio est´a em Rm_{, com} m_≥ 2, e o contradom´ınio ´e R_{. Tais fun¸c˜oes s˜ao, costumeiramente, indicadas por} f : X_⊂Rm _→ R_e

ditas, de forma simplificada,fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis.

Embora a teoria envolvendo tais fun¸c˜oes possa ser feita sempre comm∈N_{, m≥2, vamos trabalhar}

predominante-mente com m=2 e, em algumas situa¸c˜oes, comm=3. Essas restri¸c˜oes se devem ao grande n´umero de aplica¸c˜oes pr´aticas que esses casos apresentam. Entretanto, o leitor n˜ao ter´a dificuldade alguma para generalizar os diversos conceitos que ser˜ao estudados para uma dimens˜aommaior.

Al´em da apresenta¸c˜ao das fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis, vamos introduzir neste cap´ıtulo oslimitesde tais fun¸c˜oes, que ´e o conceito essencial para a introdu¸c˜ao dasderivadas parciais e dasderivadas direcionais (veremos isso no Cap´ıtulo 3). Al´em disso, associado ao conceito de limite de fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis temos, tamb´em, o importante conceito de continuidade de tais fun¸c˜oes. Diversos resultados matem´aticos envolvendo otimiza¸c˜ao est˜ao associados `a continuidade, da´ı a importˆancia pr´atica de tal conceito.

Antes de apresentarmos a defini¸c˜ao formal de fun¸c˜aof:X⊂Rm _{→R, vejamos na se¸c˜ao abaixo, sem muito} compro-misso com o rigor matem´atico, os diversos tipos de fun¸c˜oes que costumam surgir nos textos deC´alculo Diferencial e Integral.

1.1

Uma R´

apida Apresenta¸

c˜

ao dos Diversos Tipos de Fun¸

c˜

oes.

(1)NoC´alculo Diferencial e Integral 1geralmente estudamos fun¸c˜oes do tipo f:X_⊂R_→R_, y=f(x),

que s˜ao fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real. Geralmente, os gr´aficos de fun¸c˜oes dessa natureza s˜ao curvas no plano cartesiano. Por exemplo,f(x) =x2_{comx∈R, cujo gr´afico ´e uma par´abola.}

R

x

R

y= ( )f x f

X

x y

gráfico def x( ) =x2

(2)Fun¸c˜oes do tipo

f :X_⊂R_→R2_,f(t) = (x(t), y(t)),

R

t

R2

f t( ) = ( ( ), ( ))x t y t f

X

x y

imagem de f t( ) = (cos t sen t( ), ( )) x

y

1

x t( ) y t( )

(3)Fun¸c˜oes do tipo

f :X⊂R_→R3_{,f(t) = (x(t), y(t), z(t)),}

s˜ao fun¸c˜oes vetoriais reais no espa¸co, de uma vari´avel real. Tamb´em n˜ao ´e costume analisar os gr´aficos de fun¸c˜oes desse tipo, mas sim, seus conjuntos imagens, que geralmente s˜ao curvas no espa¸co cartesiano. Por exemplo, f(t) = (cos(t),sen(t), t)comt∈R_{, cuja imagem ´e uma h´elice circular de raio1com eixo no eixo cartesianoz.}

R

t

R3

f t( ) = ( ( ), ( ), ( ))x t y t z t f

X

x t( )

y t( )

y z

x

z t( )

y z

x

imagem de

f t( ) = (cos t sen t t( ), ( ), )

(4)Fun¸c˜oes vetoriais reais de uma vari´avel podem ser generalizadas para espa¸cos de dimens˜oes arbitr´arias, ou seja, f :X_⊂R_→Rn_,f(t) = (x1(t), . . . , xn(t)).

Essas fun¸c˜oes s˜ao chamadas de fun¸c˜oes vetoriais reais no espa¸co cartesiano Rn_{, de uma vari´avel real.}

Frequentemente, tais fun¸c˜oes s˜ao tamb´em chamadas decaminhos (ou curvas) no espa¸co Rn_.

(5)Fun¸c˜oes do tipo

f:X_⊂R2_→R_,z=f(x, y),

s˜ao fun¸c˜oes reais de duas vari´aveis reais. Geralmente, os gr´aficos de tais fun¸c˜oes s˜ao superf´ıcies no espa¸co cartesiano. Por exemplo, f(x, y) =p25−x2_−y2_{, com (x, y)em um disco com centro na origem e raio 5 no plano} cartesiano, possui por gr´afico uma semiesfera de raio5 e centro na origem do espa¸co cartesiano.

R

f

gráfico de

f x y( , ) = 25 -x2-y2

x y

R2

X

( , )x y

z= ( , )f x y y

z

x

R3

5

(6)Fun¸c˜oes do tipo

f:X⊂R3_→R_,w=f(x, y, z),

s˜ao fun¸c˜oes reais de trˆes vari´aveis reais. N˜ao ´e costume analisar os gr´aficos de fun¸c˜oes desse tipo, mas sim, determinados subconjuntos de seu dom´ınio, chamados de pr´e-imagem ouimagem inversa. Por exemplo,f(x, y, z) =

x2_+y2_+z2_{com(x, y, z)∈R}3_{, possui como pr´e-imagem de25uma esfera de raio 5com centro na origem do espa¸co} cartesiano. Essa an´alise ´e feita considerando os pontos(x, y, z)_∈R3_{tais que}f(x, y, z) =25.

R

f

pré-imagem de pela função dada por

25

f x y( , ,z)= x2+y2+z2 X

w= ( , , )f x y z y

z

x R3

5

5 5

y z

x R3

( , , )x y z

(7)Fun¸c˜oes reais de duas ou trˆes vari´aveis reais podem ser generalizadas para espa¸cos de dimens˜oes arbitr´arias, ou seja,

f:X_⊂Rm_→R_,y=f(x1, . . . , xm).

S˜ao asfun¸c˜oes reais de v´arias vari´aveis reais, ditas, de forma simplificada,fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis.

(8)Por fim, podemos considerar asfun¸c˜oes vetoriais reais de v´arias vari´aveis reais, ou seja, fun¸c˜oes f:X_⊂Rm _→Rn_,f(t1, . . . , tm) = (x1(t1, . . . , tm), . . . , xn(t1, . . . , tm)).

O caso mais comum de fun¸c˜oes dessa natureza ocorre quando m = 2 e n = 3. Neste caso, ´e comum escrevemos f(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) e o conjunto imagem de tais fun¸c˜oes ´e geralmente uma superf´ıcie, chamada de superf´ıcie parametrizada.

Como j´a dito, nosso objetivo ´e estudarmos as fun¸c˜oes do Item(7). Notadamente nos casos particulares dos Itens(5)

e(6).

1.2

Fun¸

c˜

oes Reais de V´

arias Vari´

aveis Reais: dom´ınio, contra-dom´ınio,

imagem e gr´

afico

Abaixo seja a defini¸c˜ao formal de fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis.

Uma fun¸c˜ao real f de v´arias vari´aveis reais ´e uma regra, geralmente dada por uma express˜ao anal´ıtica, que associa cada elemento de um conjunto n˜ao vazioX_⊂Rm_,m_∈N_,m_≥2, a um ´unico n´umero real. O conjuntoX ´e chamado de dom´ıniodef, enquanto que R_´econtradom´ıniodef.

Indicamos a fun¸c˜aof porf:X⊂Rm_→R_{ou , de forma mais rigorosa:}

f: X_⊂Rm _−→ R

(x1, . . . , xm) 7−→ f(x1, . . . , xm)

O n´umero real z= f(x1, . . . , xm)´e chamado de imagem do elemento (x1, . . . , xm) ∈X pela fun¸c˜ao f. Todos os n´umeros reais que s˜ao imagens de algum elemento do dom´ınio def formam o chamadoconjunto imagem def. O conjuntoG(f) =(x1, . . . , xm, z)∈Rm+1: (x1, . . . , xm)∈Xe z=f(x1, . . . , xm) ´e chamado degr´aficodef.

R

f

gráfico de

superfície em

f z f x y

: = ( , ) R3 x

y

R2

X

( , )x y z= ( , )f x y

y z

x R3

XÌR2:domínio def m=2

z

x y f

Î

imagem

de por

R R:contradomínio def

x y

z

Observa¸c˜oes.

(1)O casom=2 ´e de especial interesse, pois o gr´afico G(f) =(x, y, z)_∈R3_{: (x, y)∈Xez=f(x, y) de f´e uma} superf´ıcie no espa¸co cartesiano (veremos v´arios exemplos adiante). Tal superf´ıcie ´e obtida da equa¸c˜ao cartesiana nas vari´aveisx,yez dada porz=f(x, y). Al´em disso, no espa¸co cartesiano onde representamos o gr´afico de ftamb´em representamos o seu dom´ınio X, no planoxy, e o seu contradom´ınio R_{, como sendo o eixo z.}

y z

x

G f( ) ( , , ( , ))x y f x y

( , )x y X

z= ( , )f x y

domínio contradomínio

gráfico

(2) Quando m = 3 temos G(f) = (x, y, z, w)∈R4_{: (x, y, z)∈Xew=f(x, y, z) como subconjunto de R}4 _{e n˜ao} temos como visualiz´a-lo no espa¸co tridimensional.

(3)Quando o dom´ınio a ser considerado para uma fun¸c˜aoffor o maior poss´ıvel, indicamos a fun¸c˜ao apenas pela sua express˜ao anal´ıtica. Por exemplo, f(x, y) = x2_+y2 _{significa que o dom´ınio de f ´e todo o R}2_{. Tais dom´ınios s˜ao} chamados dedom´ınios m´aximos oudom´ınios maximais def. Geralmente, quando nada ´e dito a respeito do dom´ınio de uma fun¸c˜ao, consideramos como sendo m´aximo.

Exemplo 1.1 Qual ´e o maior dom´ınio poss´ıvel para f:X⊂R2_{→R, dada por f(x, y) =}p

25−x2_−y2_?

Para que z= f(x, y) seja um n´umero real devemos ter 25−x2_−y2_{≥0, ou seja, x}2_+y2_≤52 _{que representa um} disco de raio 5 com centro na origem do plano cartesiano.

x

domínio ( , )x y y

x y

5 5

-5

-5

Logo, o maior dom´ınio X_⊂R2_{poss´ıvel para} f´e um disco de raio 5 com centro na origem do plano cartesiano.

Exemplo 1.2 Encontremos o maior dom´ınio poss´ıvel da fun¸c˜ao f:X_⊂R3_→R_{, dada por} f(x, y, z) = √x+y+z x2_+y2_+z2.

Devemos ter x2_+y2_+z2_{> 0para que f(x, y, z)seja n´umero real. Logo, devemos excluir de X⊂R}3 _{pontos (x, y, z)} tais que x2_+y2_+z2_{≤0. Mas o ´unico ponto de R}3 _{que satisfaz x}2_+y2_+z2_{≤0 ´e(x, y, z) = (0, 0, 0). Logo,}

X=(x, y, z)_∈R3: (x, , y, z)₆= (0, 0, 0) =R3−{(0, 0, 0)} ´e constitu´ıdo pelo espa¸co cartesiano menos a origem.

Exemplo 1.3 Encontremos o maior dom´ınio poss´ıvel da fun¸c˜ao f:X_⊂R2_→R_{, dada por} f(x, y) = √ y y−x2.

Devemos ter y−x2_{> 0, ou seja,y > x}2_{. Logo,}

X=(x, y)_∈R2:y > x2

´e constitu´ıdo pelos pontos “interiores” `a par´abola de equa¸c˜ao y=x2 _{no plano cartesiano.}

x

( , )x y y

Exemplo 1.4 Esbocemos o gr´afico de f:X⊂R2_{→R, dada por f(x, y) =}p

25−x2_−y2_.

Vimos, no Exemplo 1.1 acima, que o maior dom´ınio poss´ıvel para f´e o disco de raio 5com centro na origem do plano cartesiano.

De z=f(x, y) =p25−x2_−y2 _{temos z}2_=25−x2_−y2_{, ou seja,x}2_+y2_+z2₌₅2_{, que ´e a equa¸c˜ao cartesiana de} uma esfera com centro na origem e raio 5.

Mas z=f(x, y)_≥0. Logo, o gr´afico de f´e uma semiesfera de raio 5com centro na origem localizada acima do plano xy no espa¸co cartesiano.

gráfico (semiesfera)

y z

x R3

5

5 5

domínio (disco)

Outra observa¸c˜ao importante: Nem sempre utilizamos as tradicionais letrasf, xeypara representar uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis. Por exemplo, o volume de um cone pode ser expresso em fun¸c˜ao de sua altura e do raio de sua base, ou seja, V= 1

3πr

2_{h pode ser escrito como fun¸c˜ao: V(r, h) =} 1 3πr

2_{hno lugar def(x, y) =} 1 3πx

2_y.

h

r

1.3

Uma Brev´ıssima Revis˜

ao das Equa¸

c˜

oes Reduzidas das principais

Superf´ıcies Qu´

adricas

Para trabalharmos mais facilmente com alguns exemplos de gr´aficos de fun¸c˜oes de duas vari´aveis, fa¸camos uma pequena revis˜ao das principais equa¸c˜oes reduzidas das superf´ıcies qu´adricas vistas na disciplinaGeometria Analitica.

(1)Elips´oidecom centro na origem e eixos paralelos aos eixos coordenados. Equa¸c˜ao reduzida:

x2 a2 +

y2 b2 +z

2 c2 =1 , sendoa,b, ecconstantes positivas.

Observa¸c˜oes:

(i)quandoa=b,a=coub=c o elips´oide ´e circular, ou seja, uma superf´ıcie de rota¸c˜ao.

(2)Hiperbol´oide de uma folhacom eixoze centro na origem. Equa¸c˜ao reduzida:

x2 a2 +

y2 b2 −z

2 c2 =1 , sendoa,b, ecconstantes positivas.

Observa¸c˜oes:

(i)quandoa=bo hiperbol´oide de uma folha ´e circular, ou seja, uma superf´ıcie de rota¸c˜ao.

(ii)o hiperbol´oide de uma folha com eixoye centro na origem possui equa¸c˜ao x2 a2 −

y2 b2 + z

2

c2 =1, enquanto que o de eixo xpossui equa¸c˜ao−x2

a2+ y2 b2 + z

2 c2 =1.

(3)Hiperbol´oide de duas folhascom eixoze centro na origem. Equa¸c˜ao reduzida:

−x2 a2−

y2 b2 +

z2 c2 =1 , sendoa,b, ecconstantes positivas.

Observa¸c˜oes:

(i)quandoa=bo hiperbol´oide de duas folhas ´e circular, ou seja, uma superf´ıcie de rota¸c˜ao.

(ii)o hiperbol´oide de duas folhas com eixo ye centro na origem possui equa¸c˜ao−_ax22 + y2 b2 −

z2

c2 =1, enquanto que o de eixo xpossui equa¸c˜ao x2

a2 − y2 b2 −z

2 c2 =1.

(4)Parabol´oide el´ıpticocom eixoze v´ertice na origem. Equa¸c˜ao reduzida:

z c =

x2 a2+

Observa¸c˜oes:

(i)quandoc > 0temos a convavidade do parabol´oide el´ıptico para cima e, quandoc < 0, para baixo.

(ii)quandoa=bo parabol´oide el´ıptico ´e circular, ou seja, uma superf´ıcie de rota¸c˜ao.

(iii) o parabol´oide el´ıptico com eixoy e centro na origem possui equa¸c˜ao y_b = x2 a2 + z

2

c2, enquanto que o de eixo x possui equa¸c˜ao x

a= y2 b2 + z

2 c2.

(5)Parabol´oide hiperb´olico com eixoze centro na origem. Equa¸c˜ao reduzida:

z c =

x2 a2 −

y2

b2 ou z_c = −x 2 a2 +

y2 b2 , sendoaebconstantes positivas ec₆=0.

Observa¸c˜ao: o parabol´oide hiperb´olico com eixoye centro na origem possui equa¸c˜ao y_b= x2 a2 −z

2 c2 ou

y b= −

x2 a2+z

2 c2, enquanto que o de eixo xpossui equa¸c˜ao x

a = y2 b2 −z

2

c2 ou x_a = − y2 b2 +z

2 c2.

(6)Cone el´ıpticode eixo ze v´ertice na origem. Equa¸c˜ao reduzida:

z2₌ x2 a2+

Observa¸c˜oes:

(i)quandoa=bo cone el´ıptico ´e circular, ou seja, uma superf´ıcie de rota¸c˜ao.

(ii) o cone el´ıptico com eixo y e v´ertice na origem possui equa¸c˜ao y2 ₌ x2 a2 + z

2

c2, enquanto que o de eixo xpossui equa¸c˜aox2= y_b22+ z

2 c2.

(7)Cilindro el´ıpticode eixoz. Equa¸c˜ao reduzida:

x2 a2 +

y2 b2 =1 , sendoaebconstantes positivas.

Observa¸c˜oes:

(i)quandoa=bo cilindro el´ıptico ´e circular, ou seja, uma superf´ıcie de rota¸c˜ao.

(ii)o cilindro el´ıptico com eixoypossui equa¸c˜ao x2 a2 +

z2

c2 =1, enquanto que o de eixoxpossui equa¸c˜ao y2 b2 +

z2 c2 =1.

1.4

Curvas de Contorno, Curvas de N´ıvel e Superf´ıcies de N´ıvel

Nesta sec¸c˜ao trabalhamos exclusivamente com fun¸c˜oes de duas e de trˆes vari´aveis.

As curvas de contorno do gr´afico de uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis s˜ao ferramentas muito importantes para descrevermos o gr´afico de uma tal fun¸c˜ao. Essas curvas podem ser vistas, grosso modo, como resultado de “fatiamentos” que fazemos no gr´afico da fun¸c˜ao. ´E como se estiv´essemos submetendo o gr´afico a uma “tomografia”. Abaixo seguem as defini¸c˜oes formais.

Seja f:X⊂R2_{→Rfun¸c˜ao de duas vari´aveis.}

Chamamos a intersec¸c˜ao do plano z= k, k ∈ R_{, com o gr´afico da fun¸c˜ao f de curva de contorno de altura (ou} cota)k do gr´afico defrelativa ao eixoz.

A proje¸c˜ao ortogonal da curva de contorno de altura k no plano xy (plano z = 0) ´e chamada de curva de n´ıvel

f(x, y) =kda fun¸c˜ao frelativa ao eixo z.

y

z

x

G f( )

X

plano z=k k

curva de contorno de alturak

curva de nívelf x y k xy ( , ) = (projeção no plano )

Observa¸c˜oes.

(1)A equa¸c˜ao cartesiana de uma curva de n´ıvel de uma fun¸c˜aof relativa ao eixoz´e dada porf(x, y) =k.

Exemplo 1.5 Consideremos a fun¸c˜ao f:R2_{→Rdada por f(x, y) =x}2_+y2_{. Esbocemos algumas curvas de contorno} no espa¸co cartesiano e algumas curvas de n´ıvel no plano cartesiano da fun¸c˜ao f.

Curvas de n´ıvel:

• (i)Fa¸camos z=k,k constante, para encontrarmos as curvas de n´ıvel f(x, y) =k de frelativas ao eixo z. Temos x2_+y2_{=k como equa¸c˜ao de curvas de n´ıvel.}

Para k < 0 n˜ao h´a solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao acima.

Para k =0 temos apenas o ponto O= (0, 0)como solu¸c˜ao da equa¸c˜ao acima, que ´e uma curva de n´ıvel degenerada (em um ponto).

Para k > 0 temos x2_+y2₌√_k2_{que ´e equa¸c˜ao de um c´ırculo de centro na origem e raio} √_{k no plano xy.} Na figura abaixo `a esquerda temos o mapa das curvas de n´ıvel f(x, y) =kde f, no plano xy, relativas ao eixo z.

x

x y

y

z z

• (ii) Fa¸camos y=k,k constante, para encontrarmos as curvas de n´ıvel f(x, k) =z de frelativas ao eixo y. Temos x2_+k2_{=zcomo equa¸c˜ao de curvas de n´ıvel, ou seja,z=x}2_+k2 _{s˜ao par´abolas com concavidades para cima} no plano xz.

Na figura acima ao centro temos o mapa das curvas de n´ıvel f(x, k) =zde f, no plano xz, relativas ao eixo y. • (iii) Fa¸camos x=k,kconstante, para encontrarmos as curvas de n´ıvel f(k, y) =zde f relativas ao eixo x. Temos k2_+y2_{=z como equa¸c˜ao de curvas de n´ıvel, ou seja, z=y}2_+k2_{s˜ao par´abolas com concavidades para cima} no plano yz.

Na figura acima `a direita temos o mapa das curvas de n´ıvel f(k, y) =zde f, no plano yz, relativas ao eixo x. Curvas de contorno:

• (i) A intersec¸c˜ao do plano z = k com o gr´afico de f ´e c´ırculo de raio √k, quando k > 0, e centro no ponto

(0, 0, k), contida no plano z=k. A figura abaixo `a esquerda ´e o esbo¸co de algumas dessas curvas de contorno.

x x x

y y

y

z _{z z}

•(ii)A intersec¸c˜ao do plano y=k com o gr´afico de f´e uma par´abola com v´ertice em 0, k, k2

, concavidade para cima, contida no plano y=k. A figura acima ao centro ´e o esbo¸co de algumas dessas curvas de contorno.

• (iii) A intersec¸c˜ao do plano x = k com o gr´afico de f ´e uma par´abola com v´ertice em k, 0, k2

z=f(x, y)´e a equa¸c˜ao z=x2_+y2_{. Entretanto, o m´etodo de determina¸c˜ao de curvas de n´ıvel ou curvas de contorno} pode ser aplicado para qualquer fun¸c˜ao.

Na figura abaixo `a esquerda temos os trˆes tipos de curvas de contorno de f esbo¸cadas em um mesmo sistema de coordenadas. No centro temos as curvas de contorno esbo¸cadas junto com o gr´afico def e na direita apenas o gr´afico de f.

Na figura abaixo `a esquerda temos as curvas de contorno de frelativas ao eixo ze respectivas curvas de n´ıvel esbo¸cadas junto com o gr´afico de f. Ao centro e `a direita temos cada um dos outros dois tipos de curvas de contorno esbo¸cadas, separadamente, junto com o gr´afico de f.

Na figura abaixo temos uma vis˜ao dos fatiamentos do gr´afico de f por planos paralelos aos planos coordenados, cujas intersec¸c˜oes d˜ao origem `as curvas de contorno.

Observa¸c˜oes.

(1)Conforme observado no exemplo acima, por meio das curvas de contorno ou das curvas de n´ıvel de uma fun¸c˜ao f:X_⊂R2_→R_{´e poss´ıvel ter uma ideia do esbo¸co do gr´afico da fun¸c˜ao.}

(2)Quando f:X_⊂R3_→R_{n˜ao temos como visualizar as “superf´ıcies de contorno” (que s˜ao as an´alogas `as curvas de}

Exemplo 1.6 Esbocemos o gr´afico de f:R2_{→Rdada por f(x, y) =y−x}2_. Curvas de n´ıvel:

• (i)Fa¸camos z=k,kconstante, para encontrarmos as curvas de n´ıvel f(x, y) =k de f relativas ao eixo z. Temos y−x2_{= k como equa¸c˜ao de curvas de n´ıvel, ou seja, y=x}2_{+k s˜ao par´abolas com concavidades para cima} no plano xy.

Na figura abaixo `a esquerda temos o mapa das curvas de n´ıvel f(x, y) =kde f, no plano xy, relativas ao eixo z.

x y

x

z z

y

• (ii)Fa¸camos y=k,k constante, para encontrarmos as curvas de n´ıvel f(x, k) =z de frelativas ao eixo y. Temos z=k−x2_{como equa¸c˜ao de curvas de n´ıvel, ou seja, z= −x}2_{+k s˜ao par´abolas com concavidades para baixo} no plano xz.

Na figura acima ao centro temos o mapa das curvas de n´ıvel f(x, k) =zde f, no plano xz, relativas ao eixo y. • (iii)Fa¸camos x=k,k constante, para encontrarmos as curvas de n´ıvel f(k, y) =z de frelativas ao eixo x. Temos z=y−k2 _{como equa¸c˜ao de curvas de n´ıvel, ou seja,z=y−k}2 _{s˜ao retas no plano yz.}

Na figura acima `a direita temos o mapa das curvas de n´ıvel f(k, y) =zde f, no plano yz, relativas ao eixo x. Curvas de contorno:

•(i)A intersec¸c˜ao do plano z=kcom o gr´afico de f´e uma par´abola com v´ertice em(0, k, k), concavidade voltada para a parte positiva do eixo y, contida no plano z = k. A figura abaixo `a esquerda ´e o esbo¸co de algumas dessas curvas de contorno.

y z

x y

z

x y

z

x

• (ii)A intersec¸c˜ao do plano y=kcom o gr´afico de f´e uma par´abola com v´ertice em (0, k, k), concavidade para baixo, contida no plano y=k. A figura acima ao centro ´e o esbo¸co de algumas dessas curvas de contorno.

• (iii) A intersec¸c˜ao do plano x= k com o gr´afico de f ´e uma reta, contida no plano x= k. A figura acima `a direita ´e o esbo¸co de algumas dessas curvas de contorno.

Baseados nas curvas de n´ıvel, ou curvas de contorno, podemos esbo¸car o gr´afico de f (que ´e uma qu´adrica de equa¸c˜ao z=y−x2_).

Na figura abaixo `a esquerda temos as curvas de contorno de frelativas ao eixo ze respectivas curvas de n´ıvel esbo¸cadas junto com o gr´afico de f. Ao centro e `a direita temos cada um dos outros dois tipos de curvas de contorno esbo¸cadas, separadamente, junto com o gr´afico de f.

Na figura abaixo temos uma vis˜ao dos fatiamentos do gr´afico de f por planos paralelos aos eixos coordenados, cujas intersec¸c˜oes d˜ao origem `as curvas de contorno.

O gr´afico de f´e uma qu´adrica cil´ındrica em “formato de p´arabola”.

Exemplo 1.7 Esbocemos algumas superf´ıcies de n´ıvel contidas no dom´ınio de f : R3 _→ R_{,dada por} f(x, y, z) =

x2_+y2_+z2_.

As superf´ıcies de n´ıvel s˜ao dadas pelas equa¸c˜oes f(x, y, z) =k, sendo k constante real. No nosso caso, x2+y2+z2=k.

• Para k < 0n˜ao temos superf´ıcies de n´ıvel, pois a equa¸c˜ao acima n˜ao possui solu¸c˜oes.

• Para k=0 temos uma ´unica solu¸c˜ao: (x, y, z) = (0, 0, 0), ou seja, nesse caso, a superf´ıcie de n´ıvel f(x, y, z) =0 ´e degenerada e constitu´ıda de apenas um ´unico ponto: a origem do sistema de coordenadas cartesianas no espa¸co. • Para k > 0 temos que a superf´ıcie de n´ıvel f(x, y, z) =k corresponde `a esfera de raio r=√k e centro na origem, dada pela equa¸c˜ao x2_+y2_+z2₌√_k2_.

Se¸

c˜

ao de Exerc´ıcios Propostos:

Fun¸

c˜

oes

f

:

X

_⊂

R

_→

R

(i)f:X_⊂R2_→R_{dada por}f(x, y) =ln x2_−y2₋₁ .

(ii)f:X⊂R3

→R_{dada porf(x, y, z) = √} 1

z−x2_−y2. Respostas:

(i)Dom´ınio m´aximo: X=(x, y)_∈R2:x2_−y2_{> 1 . Esboce o dom´ınio (delimitado por dois ramos de hip´erbole).}

(ii)Dom´ınio m´aximo: X=(x, y, z)_∈R3:z > x2_+y2 _{. Esboce o dom´ınio (delimitado por um parabol´oide circular).}

Exerc´ıcio 1.2 Esboce algumas curvas (ou superf´ıcies) de n´ıvel t´ıpicas contidas no dom´ınio da fun¸c˜ao:

(i)f:R2

→R_{, dada porf(x, y) =} 1

1+x2_+y2.

(ii) f:R3

→R_{, dada porf}(x, y, z) =z+p

x2_+y2_.

(iii)f:R3_→R_{, dada por}f(x, y, z) =x2_+y2_−z2_. Respostas:

(i)(an´alise feita apenas para a vari´avel z). Para z=k=1, a curva de contorno se reduz a um ponto: (0, 0, 1). Para z = k tal que 0 < k < 1, as curvas de contorno s˜ao circunferˆencias (contidas nos planos z = k) de centros

(0, 0, k)e raios q1 k−1.

No plano xy, as curvas de n´ıvel s˜ao circunferˆencias concˆentricas com centro na origem sendo que, `a medida que os raios das circunferˆencias aumentam, os valores de zdiminuem tendendo a 0.

(ii)As superf´ıcies de n´ıvel w=f(x, y, z) =k formam o conjunto dos cones de revolu¸c˜ao com concavidade para baixo e v´ertice no eixo z.

(iii). Divida em 3 casos: f(x, y, z)> 0,f(x, y, z) =0 e f(x, y, z)< 0. Tratam-se de hiperbol´oides de uma folha, um cone duplo e hiperbol´oides de duas folhas, respectivamente, todos com eixo z, centros ou v´ertice na origem.

Exerc´ıcio 1.3 Esboce o gr´afico de:

(i)f:R2_→R_{dada por}f(x, y) =px2_+y2_.

(ii)f:R2

→R_{dada porf}(x, y) =10−p

x2_+y2_.

(iii)f:R2_→R_{dada por}f(x, y) =y3_−x2_. Respostas:

(i)Trata-se de um cone com v´ertice na origem e concavidade para cima.

(ii)O gr´afico de f´e um cone de revolu¸c˜ao com concavidade para baixo e v´ertice no ponto (0, 0, 10).

(iii)No plano yz(que ´e o plano x=0) considere a curva z=y3_{. Para cada ponto P 0, k, k}3

dessa curva, no plano y=k, considere a par´abola z=k3_−x2_{, com concavidade para baixo e v´ertice no ponto P. A reuni˜ao de todas essas} par´abolas formam o gr´afico.

Exerc´ıcio 1.4 Associe gr´aficos e curvas de n´ıvel.

Obs.: este exerc´ıcio ´e apenas visual, ou seja, n˜ao ´e necess´ario encontrar equa¸c˜oes de curvas de n´ıvel.

(i)

f(x, y) = 1 1+x2_+y2

(ii) f(x, y) =

(x2_+y2_)cos2

 

3arctg

x y

2

  exp(x2_+y2₎

(1₎

(iii)

f(x, y) =cospx2_+y2

1_{Esta superf´ıcie tamb´em pode ser parametrizada comoX(ρ, θ) =}

ρcos(θ), ρsen(θ),ρ 2_cos2₍3θ

2) eρ2

(iv)

f(x, y) = 3x2+9y2

ex2+y2

(v)

f(x, y) = x

ex2+y2

(vi)

f(x, y) = √ xy ex2+y2

Curvas de n´ıvel:

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Cap´ıtulo 2

Limites e Continuidade de Fun¸

c˜

oes Reais

de V´

arias Vari´

aveis Reais

2.1

Limites de Fun¸

c˜

oes Reais de V´

arias Vari´

aveis Reais

Podemos estender o conceito de limite estudado noC´alculo1para fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis. Para tanto, recordemos que se P(a1, a2, . . . , am)eQ(x1, x2, . . . , xm)s˜ao pontos emRm_{, ent˜ao a distˆancia entrePeQ´e dada por}

d(P, Q) =_kQ−P_k=_k−PQ→_k=

q

(x1−a1)2+ (x2−a2)2+· · ·+ (xm−am)2.

Quando m= 2 ou3 costumamos adotar a nota¸c˜ao P(a, b)eQ(x, y), ou ent˜ao P(a, b, c)eQ(x, y, z) e a express˜ao da distˆancia fica _

  

  

d(P, Q) =

q

(x−a)2+ (y−b)2quandom=2 ou

d(P, Q) =

q

(x−a)2+ (y−b)2+ (z−c)2quandom=3 .

0 a

x y

x b

y

| -x a|

| -y b|

P

Q

d( ,P Q )

x

y y z

z

x

Q

O c

P

b a

A defini¸c˜ao formal de limite de fun¸c˜ao real de v´arias vari´aveis ´e dada abaixo. Antes, por´em, ´e preciso introduzir a no¸c˜ao deponto de acumula¸c˜ao.

Um ponto P∈Rm _{´e ditoponto de acumula¸c˜aode um conjunto X⊂R}m _{quando existem pontos de X, distintos de} P, arbitrariamente pr´oximos deP.

Notemos que um ponto de acumula¸c˜ao de um conjunto n˜ao precisa pertencer, necessariamente, ao conjunto.

Um exemplo simples: P(0, 0)_∈R2_{´e ponto de acumula¸c˜ao de}X=(x, y)_∈R2: (x, y)₆= (0, 0) , pois h´a pontos deX (distintos de P) arbitrariamente pr´oximos de P.

Agora sim, a defini¸c˜ao formal de limite de uma fun¸c˜ao de v´arias vari´aveis:

Sejam f:X⊂Rm _{→R eP(a1, a2, . . . , am)∈R}m _{um ponto de acumula¸c˜ao de X. Indiquemos um ponto gen´erico do} dom´ınio XporQ(x1, x2, . . . , xm). Dizemos quef(Q) temlimiteL∈R_{quando Qtende aP, e escrevemos}

lim

Q→Pf(Q) =L ,

sempre que: para∀ε > 0,∃δ > 0tal que (1)

0 < d(P, Q)< δ_⇒|f(Q) −L|< ε.

Desta forma, dizer que lim

Q→Pf(Q) =L significa que podemos fazer f(Q)arbitrariamente pr´oximo de L, tomando Q suficientemente pr´oximo deP, por´em, diferente deP.

Observa¸c˜oes.

(1)Quandom=2 ou3costumamos escrever a nota¸c˜ao de limite do seguinte modo:

   

  

lim

(x,y)→(a,b)f(x, y) =L, quandom=2 ou

lim

(x,y,z)→(a,b,c)f(x, y, z) =L, quandom=3 .

(2) Como X possui dimens˜ao m´ınima igual a 2, lim

Q→Pf(Q) = L tem a seguinte implica¸c˜ao: n˜ao importa por qual “caminho” fa¸camosQ tender aPno dom´ınioXdef quef(Q)sempre se aproximar´a do n´umero realL.

R

f

x y

R2 X

( , )a b

f x y( , )1 1 ( , )x y1 1

( , )x y2 2 f x y( , )2 2 L

Por outro lado, se existirem pelo menos dois “caminhos” distintos em X tal que o limite acima assuma dois valores distintos, dependendo do caminho adotado para fazer Qtender aP, ent˜ao o limiten˜ao existe.

(3) Todas as propriedades operat´orias relativas aos limites de fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real s˜ao v´alidas para fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis.

Exemplo 2.1 Calculemos lim (x,y)→(0,0)

x2_−y2 x+y .

O dom´ınio de f(x, y) = x2_x+−_yy2 ´eX=(x, y)_∈R2:y= −₆ x . Entretanto, arbitrariamente pr´oximo de (0, 0)h´a pontos

(x, y)_∈X. Logo, podemos considerar o limite. Assim, lim

(x,y)→(0,0) x2−y2

x+y =_(x,ylim_)→(0,0)

(x−y)(x+y)

x+y =_(x,ylim_)→(0,0)(x−y) =0. Exemplo 2.2 Existe lim

(x,y)→(0,0) x2−y2 x2_+y2 ?

O dom´ınio de f(x, y) = x2−y2 x2_+y2 ´eX=

(x, y)_∈R2_{: (x, y)= (6 0, 0) . Entretanto, arbitrariamente pr´oximo de (0, 0)h´a} pontos (x, y)_∈X. Logo, podemos considerar o limite.

Se o limite existir, seu valor independer´a do caminho escolhido para fazer (x, y)tender a (0, 0). Tomemos os seguintes caminhos.

(i)A reta C1 de equa¸c˜ao y=xpassa por (0, 0), Fa¸camos (x, y) tender a (0, 0) por ela. Assim,

lim (x,y)→(0,0)

(x,y)∈C1 x2_−y2 x2_+y2 = lim

x→0 x2_−x2 x2_+x2 = lim

x→0 0

2x2 = lim x→00=0.

(ii)A reta C2de equa¸c˜ao y=2x passa por (0, 0), Fa¸camos (x, y)tender a (0, 0)por ela. Assim,

lim (x,y)→(0,0)

(x,y)∈C2 x2_−y2 x2_+y2 = lim

x→0

x2_−(2x)2 x2_+(2x)2 = lim

x→0 −3x2

5x2 = lim x→0

−3 5 = −

3 5.

R

f

x y

R2

f x x( , ) =0

( , )x y

y=x

( , )0 0

( , )x y y=2x

Conclus˜ao: o limite depende do “caminho” escolhido para fazer(x, y)tender a(0, 0). Logo,n˜ao existe lim (x,y)→(0,0)

x2−y2 x2_+y2.

Abaixo seguem algumas figuras do gr´afico def.

Exemplo 2.3 Estudemos o comportamento do limite lim (x,y)→(0,0)

xy x2_+y2.

O dom´ınio de f(x, y) = _x2xy_+y2 ´eX=

(x, y)∈R2_{: (x, y)= (6 0, 0) . Entretanto, arbitrariamente pr´oximo de (0, 0)h´a} pontos (x, y)∈X. Logo, podemos considerar o limite.

Se o limite existir, seu valor independer´a do caminho escolhido para fazer (x, y)tender a (0, 0). Tomemos os seguintes caminhos.

(i)A reta C1 de equa¸c˜ao y=xpassa por (0, 0), Fa¸camos (x, y) tender a (0, 0) por ela. Assim,

lim (x,y)→(0,0)

(x,y)∈C1 xy

x2_+y2 = lim x→0

xx

x2_+x2 = lim x→0

x2 2x2 = lim

x→0 1 2=

1 2.

(ii)A reta C2de equa¸c˜ao y= −xpassa por (0, 0), Fa¸camos (x, y) tender a (0, 0)por ela. Assim,

lim (x,y)→(0,0)

(x,y)∈C2 xy

x2_+y2 = lim x→0

x(−x)

x2_+(−x)2 = lim x→0

−x2 2x2 = lim

x→0 −1

2 = − 1 2.

Conclus˜ao: o limite depende do “caminho” escolhido para fazer(x, y)tender a(0, 0). Logo, n˜ao existe lim (x,y)→(0,0)

xy x2_+y2.

Exemplo 2.4 Estudemos o comportamento do limite lim (x,y)→(0,0)

x3_−y3 x2_+y2.

O dom´ınio de f(x, y) = x_x32−_+yy32 ´eX=

(x, y)_∈R2: (x, y)= (₆ 0, 0) . Entretanto, arbitrariamente pr´oximo de (0, 0)h´a pontos (x, y)_∈X. Logo, podemos considerar o limite.

Inspirados pelos exemplos anteriores, se considerarmos alguns caminhos particulares em X passando por (0, 0) e fizermos (x, y) _→ (0, 0) por esses caminhos, constataremos que f(x, y) _→ 0. Isso ´e um sinal de que o limite pode existir.

Utilizemos o sistema de coordenadas polares, fazendo a seguinte mudan¸ca de vari´aveis:

x=rcos(θ)

y=rsen(θ) ,

q x y R2

( , ) º ( ;q)x y r

0 _x=rcos(q)

y=rsen(q)

r

Assim, (x, y)_→(0, 0)significa r→0 com θ livre. Logo,

lim (x,y)→(0,0)

x3_−y3

x2_+y2 = lim r→0 (θlivre)

r3_cos3_(θ)−r3_sen3_(θ) r2_cos2_(θ)+r2_sen2_(θ) = lim

r→0r cos

3_{(θ) −sen}3_(θ)

=0, pois h(θ) =cos3_{(θ) −sen}3_{(θ)´e uma fun¸c˜ao limitada, enquanto que g(r) =r}

→0 `a medida que r_→0.

Exemplo 2.5 Estudemos o comportamento do limite lim (x,y)→(0,0)

xy √

x2_+y2.

O dom´ınio de f(x, y) = √xy

x2_+y2 ´e X=

(x, y)_∈R2: (x, y)₆= (0, 0) . Entretanto, arbitrariamente pr´oximo de (0, 0)

h´a pontos (x, y)_∈X. Logo, podemos considerar o limite.

Se considerarmos alguns caminhos particulares em Xpassando por (0, 0)e fizermos(x, y)_→(0, 0)por esses caminhos, constataremos que f(x, y)_→0. Isso ´e um sinal de que o limite pode existir.

Utilizemos o sistema de coordenadas polares, fazendo a seguinte mudan¸ca de vari´aveis:

x=rcos(θ)

y=rsen(θ)

sendo r_≥0 e θ_∈[0, 2π).

Assim, (x, y)_→(0, 0)significa r_→0 com θ livre. Logo,

lim (x,y)→(0,0)

xy √

x2_+y2 = _rlim_→0 (θlivre)

(rcos(θ))(rsen(θ)) √

r2_cos2_(θ)+r2_sen2_(θ) =_rlim_→0

r2cos(θ)sen(θ)

|r| .

Mas

   

  

lim r→0+

r2cos(θ)sen(θ)

|r| = lim

r→0+

r2cos(θ)sen(θ)

r =_rlim_→0+rcos(θ)sen(θ) =0 lim

r→0−

r2_{cos(θ)sen(θ)}

|r| = lim

r→0−

r2_{cos(θ)sen(θ)}

−r =_rlim_→0−(−rcos(θ)sen(θ)) =0

⇒

lim (x,y)→(0,0)

xy √

x2_+y2 =_rlim_→0

r2_{cos(θ)sen(θ)}

|r| =0,

pois h(θ) =cos(θ)sen(θ)´e uma fun¸c˜ao limitada, enquanto que g(r) =r_→0 `a medida que r_→0.

2.2

Continuidade em Fun¸

c˜

oes Reais de V´

arias Vari´

aveis Reais

Conforme o leitor perceber´a na defini¸c˜ao abaixo, a no¸c˜ao de continuidade para fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis ´e oriunda, com as devidas adapta¸c˜oes, da mesma no¸c˜ao para fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real.

Sejam f : X _⊂ Rm _→ R _e P(a1, . . . , am) ∈ X. Denotemos de modo gen´erico um ponto de X por Q(x1, . . . , xm). Dizemos que f´econt´ınua em Pquando existe lim

Q→Pf(Q)(como n´umero real) e

lim

Q→Pf(Q) =f(P).

Quando f for cont´ınua em todos os pontos de seu dom´ınio, dizemos quef ´econt´ınua emX, ou simplesmente que f ´econt´ınua.

Quandofn˜ao for cont´ınua em algum pontoPde seu dom´ınio dizemos quef´edescont´ınua emP. Neste caso tamb´em dizemos simplesmente que f´edescont´ınua.

Exemplo 2.6 A fun¸c˜ao f:R2_{→Rdada por f(x, y) =x}2_+y2 _{´e cont´ınua em P(1, 1), pois} lim

(x,y)→(1,1)f(x, y) =1

2₊₁2_{=2=f(1, 1).} Generalizando,

lim

(x,y)→(a,b)f(x, y) =a

2_+b2_{=f(a, b),} ou seja, f´e cont´ınua em R2_.

Exemplo 2.7 A fun¸c˜ao f:R2_→R_{dada por} f(x, y) =

1, se (x, y)₆= (0, 0)

0, se (x, y) = (0, 0) ´e descont´ınua em P(0, 0), pois

lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) =↓ (x,y)6=(0,0)

lim

Se¸

c˜

ao de Exerc´ıcios Propostos:

Limites de Fun¸

c˜

oes

f

:

X

_⊂

R

_→

R

(i) lim

(x,y)→(0,0) 7−x

2_+5xy .

(ii) lim (x,y)→(0,0)

x+y 1+xy. Respostas:

(i) lim

(x,y)→(0,0) 7−x

2_+5xy

=7 e (ii) lim (x,y)→(0,0)

x+y 1+xy =0. Exerc´ıcio 2.2 Calcule os limites lim

h→0

f(x+h,y)−f(x,y) h e lim_k→0

f(x,y+k)−f(x,y)

k , sendo:

(i)f(x, y) =x+y.

(ii)f(x, y) =xy.

(iii)f(x, y) =xy2_−2. Respostas:

(i) lim h→0

f(x+h,y)−f(x,y)

h =1e _klim_→0

f(x,y+k)−f(x,y)

k =1.

(ii) lim h→0

f(x+h,y)−f(x,y)

h =y e _klim_→0

f(x,y+k)−f(x,y)

k =x.

(iii) lim h→0

f(x+h,y)−f(x,y)

h =y2 e _klim_→0

f(x,y+k)−f(x,y)

k =2xy.

Exerc´ıcio 2.3 Use coordenadas polares para calcular:

(i) lim (x,y)→(0,0)

2x3_−5y3 3x2_+3y2.

(ii) lim (x,y)→(0,0)

8xy √

2x2_+2y2.

Exerc´ıcio 2.4 Utilize coordenadas esf´ericas para mostrar que lim (x,y,z)→(0,0,0)

xyz

x2_+y2_+z2 =0. Obs.: Deve-se utilizar a seguinte mudan¸ca de coordenadas:

 



x=ρsen(φ)cos(θ)

y=ρsen(φ)sen(θ)

z=ρcos(φ)

,

sendoρ≥0,φ∈[0, π]eθ∈[0, 2π). Exerc´ıcio 2.5 Mostre que lim

(x,y)→(0,0) 2xy

7x2_+5y2 n˜ao existe. Exerc´ıcio 2.6 Sejaf:R2_{−{(0, 0)}−}

→R_{dada porf(x, y) =} 2x2y

x4_+y2.

(i)Mostre quef(x, y)_→0 quando(x, y)_→(0, 0)ao longo de qualquer reta que passe pela origem.

(ii)Mostre quef(x, y)_→1 quando(x, y)_→(0, 0)ao longo da par´abolay=x2_. Conclua que o limite def(x, y)quando(x, y)_→(0, 0)n˜ao existe.

Exerc´ıcio 2.7 Mostre que f:R2_{→Rdada por} f(x, y) =

x2_+y2_{+2, se (x, y)6= (0, 0)} 0, se (x, y) = (0, 0)

Cap´ıtulo 3

Deriva¸

c˜

ao de Fun¸

c˜

oes Reais de V´

arias

Vari´

aveis Reais

3.1

Derivadas Parciais

Podemos derivar fun¸c˜oes reais de v´arias vari´aveis reais. A diferen¸ca em rela¸c˜ao `as derivadas de fun¸c˜oes de uma vari´avel ´e que temos mais do que uma derivada. S˜ao as chamadas derivadas parciais e, de forma mais geral, as chamadas derivadas direcionais, que ser˜ao vistas mais adiante.

Comecemos definindo derivadas parciais para fun¸c˜oes de duas vari´aveis.

Sejam f:X⊂R2

→R_e(a, b)_∈X um ponto de acumula¸c˜ao de X.

Definimos a derivada parcial def, em rela¸c˜ao a x, no ponto(a, b), denotada por ∂f

∂x(a, b), como sendo

∂f

∂x(a, b) =_h→0lim

f(a+h,b)−f(a,b) h

caso esse limite exista como n´umero real.

Analogamente, definimos a derivada parcial de f, em rela¸c˜ao a y, no ponto (a, b), denotada por ∂f

∂y(a, b), como sendo

∂f

∂y(a, b) =_k→0lim

f(a,b+k)−f(a,b) k

caso esse limite exista como n´umero real.

Observa¸c˜oes.

(i)Outras nota¸c˜oes para as derivadas parciais:

 



∂f

∂x(a, b) =fx(a, b) ∂f

∂y(a, b) =fy(a, b)

(ii)Podemos considerar as derivadas parciais defem todos os pontos do dom´ınio def(onde elas existem) e considerar

novas fun¸c˜oes: _

         

         

∂f

∂x : X⊂R2 −→ R

(x, y) _7−→ ∂f ∂x(x, y) e

∂f

∂y : X⊂R2 −→ R

(x, y) 7−→ ∂y∂f(x, y)

(iii)A defini¸c˜ao de ∂f

∂x(a, b)permite que interpretemos ∂f

∂x(a, b)como sendo a “derivada de frestrita ao planoy=b, no ponto de abscissa x=a”, o que significa que o n´umero ∂f

∂x(a, b)pode ser interpretado como o coeficiente angular da reta tangente `a curva de contorno, que ´e intersec¸c˜ao do gr´afico de f com o plano y= b, no ponto(a, b, f(a, b))

(veja figura abaixo). Observa¸c˜ao an´aloga vale para ∂f ∂y(a, b). Interpreta¸c˜ao geom´etrica da derivada parcial:

y z

x

gráfico def

planoy= b

f a b( , )

curva de contorno

reta tangente à curva de contorno

no ponto P

a b q P t x z P q t c c

Na figura acima, o plano em azul ´e o plano de equa¸c˜aoy=b, paralelo ao planoxz. A curva de contornoc, tamb´em em azul, ´e a intersec¸c˜ao do plano y=bcom o gr´afico de f. A retat, em vermelho, ´e tangente `a curva de contorno c no ponto P(a, b, f(a, b)). O coeficiente angular da reta t(no plano xz) no ponto P´e tg(θ). DoC´alculo 1 temos tg(θ) = ∂f

∂x(a, b).

(iv) A defini¸c˜ao de derivada parcial, refor¸cada pelaObserva¸c˜ao (iii)acima, indica um m´etodo para derivar parcial-mente: ∂f

∂x(x, y)´e calculada mantendo y como “constante” e derivando em rela¸c˜ao a x. Analogamente, ∂f

∂y(x, y) ´e calculada mantendoxcomo “constante” e derivando em rela¸c˜ao ay(veja os exemplos abaixo).

(v) Podemos generalizar as defini¸c˜oes de derivadas parciais de fun¸c˜oes de 2 vari´aveis para fun¸c˜oes com 3 ou mais vari´aveis. A quantidade de derivadas parciais ´e a quantidade de vari´aveis.

Exemplo 3.1 Calculemos as derivadas parciais de f:R2_→R_{, dada por f}(x, y) =x2+2xy2−y3.

Temos: _





∂f

∂x(x, y) =2x+2y 2

∂f

∂y(x, y) =4xy−3y2

Exemplo 3.2 Calculemos as derivadas parciais de f:R2_→R_{, dada por} f(x, y) = x2_+y2 e−xy_.

Temos, pela Regra do Produto:

 



∂f

∂x(x, y) =2xe

−xy_{+ x}2_+y2

e−xy_{(−y) = 2x−yx}2_−y3 e−xy

∂f

∂y(x, y) =2ye

−xy_{+ x}2_+y2

e−xy_{(−x) = 2y−xy}2_−x3 e−xy

Exemplo 3.3 Calculemos as derivadas parciais de f : X ⊂ R2

→ R_{, dada por f}(x, y) = ln(

√ x)y2

x2₊₁ , sendo X =

(x, y)_∈R2:x > 0 . Temos:                      ∂f

∂x(x, y) =

1 √ x.

1 2√xy

2 _x2₊₁

−ln √x y2_(2x)

(x2₊₁₎2 =

y2_(x2₊₁₎ 2x −2xy

2_ln √_x

(x2₊₁₎2 =

y2_x2_+y2_−4x2_y2_ln(√_x) 2x(x2₊₁₎2

= x

2_+1−x2_ln(x2₎

2x(x2₊₁₎2 y2 (pela Regra do Quociente)

∂f

∂y(x, y) =2 ln(√x)

Exemplo 3.4 Calculemos as derivadas parciais de f:X⊂R2_{→R, dada por f(x, y) =tg x}2_+y2

+cos x2 , sendo X=(x, y)_∈R2:x2_+y2₆₌ π

2+kπ,k∈Z .

Temos: _





∂f

∂x(x, y) =sec2 x2+y2

2x−sen x2

2x=2x sec2 _x2_+y2

−sen x2 ∂f

∂y(x, y) =2ysec

2 _x2_+y2

3.2

Plano Tangente a Gr´

afico de Fun¸

c˜

oes de Duas Vari´

aveis

Sejam f : X ⊂R2

→R _e (a, b) _∈X. Suponhamos que ∂f ∂x e

∂f

∂y existam e sejam cont´ınuas em uma vizinhan¸ca em torno de(a, b)_∈X. Vimos que ∂f

∂x(a, b)´e coeficiente angular da reta tangentet1`a curva de contornoc1, intersec¸c˜ao do gr´afico def com o planoy=b, no pontoT(a, b, f(a, b)).

Analogamente, vimos que ∂f

∂y(a, b)´e coeficiente angular da reta tangentet2 `a curva de contornoc2, intersec¸c˜ao do gr´afico defcom o planox=a, no pontoT(a, b, f(a, b)).

y z

x f a b( , )

a b

T t1 t2

c1 c2

a

c1:z = ( , )f x b c2:z = ( , )f a y t1,t2Ìa

O plano αque cont´em t1e t2´e definido como sendo oplano tangente ao gr´afico defno ponto T(a, b, f(a, b)).

Para deduzir a equa¸c˜ao deαprecisamos de coordenadas de vetores diretores~ue~vdas retast1et2.

Sejam ~i,~j,~kbase ortonormal canˆonica do espa¸co cartesiano,~uvetor diretor det1que forma ˆangulo n˜ao reto (1) de medida θcom~ie tal que~u=~i+w, sendo~ w~ paralelo a~k (figura abaixo).

f a b_{( , )}

a

x z

T

q q

w i

u t1

c₁

i k

f a b_{( , )}

a

x z

T

q

w

i u

t1

c1

i k

q

Logo,w~ = (0, 0, z0). Temos tg(π−θ) = k~wk

k~ik =kw~k= −z0quandoz0< 0(figura acima `a esquerda) ou tg(θ) = k~wk

k~ik =kw~k=z0quando z0≥0(figura acima `a direita).

Como tg(π−θ) = −tg(θ), e ∂f

∂x(a, b) = tg(θ), podemos escrever ∂f

∂x(a, b) = z0 em qualquer situa¸c˜ao e, portanto,

~

w= ∂f

∂x(a, b)~k. Assim,~u=~i+ ∂f

∂x(a, b)~k, ou seja, ~u= 1, 0, ∂f ∂x(a, b)

.

Analogamente, ~v=0, 1,_∂y∂f(a, b).

Sejan~ =~u_×~vvetor normal ao plano tangenteα(figura abaixo). 1_{O ˆangulo em quest˜ao n˜ao pode ser reto pois, caso contr´ario, n˜ao existiria} ∂f

T

n _v

u a

Sabemos que

~

n=det 

    

~i ~j ~k

1 0 _∂x∂f(a, b)

0 1 ∂f ∂y(a, b)



    

= −∂f

∂x(a, b)~i− ∂f

∂y(a, b)~j+~k⇒n~ =

−∂f

∂x(a, b),− ∂f

∂y(a, b), 1

SejaP= (x, y, z)_∈αe tomemos o vetorm~ =P−T = (x−a, y−b, z−f(a, b))que ´e vetor paralelo ao planoα(figura abaixo).

T n

m _a

P

Logo,~n´e ortogonal am~ e, portanto, ~n·m~ =0(produto escalar usual).Assim,

−_∂x∂f(a, b),−_∂y∂f(a, b), 1·(x−a, y−b, z−f(a, b)) =0_⇒

−∂f

∂x(a, b) (x−a) − ∂f

∂y(a, b) (y−b) +z−f(a, b) =0⇒ z−f(a, b) = ∂f

∂x(a, b) (x−a) + ∂f

∂y(a, b) (y−b) que ´e a equa¸c˜ao geral do plano tangenteαao gr´afico defno pontoT(a, b, f(a, b)).

Exemplo 3.5 Determinemos a equa¸c˜ao do plano tangente ao paraboloide circular de equa¸c˜ao z=x2_+y2 _{no ponto} T(1, 2, 5).

Esse paraboloide circular pode ser visto como gr´afico de f:R2

→R_{, dada por f(x, y) =x}2_+y2_.

Sendo T(1, 2, 5)um ponto desse paraboloide temosT(a, b, f(a, b)) = (1, 2, 5)e, portanto,(a, b) = (1, 2)ef(a, b) =5. O plano tangente ao paraboloide no ponto T possui equa¸c˜ao

z−f(1, 2) = ∂f

∂x(1, 2) (x−1) + ∂f

∂y(1, 2) (y−2). Logo, precisamos das derivadas parciais:

 



∂f

∂x(x, y) =2x⇒ ∂f

∂x(1, 2) =2.1=2 ∂f

∂y(x, y) =2y⇒ ∂f

∂y(1, 2) =2.2=4 .

Assim,

z−5=2(x−1) +4(y−2)_⇒ 2x+4y−z−5=0 ´e a equa¸c˜ao (geral) do plano tangente pedido.

Exemplo 3.6 Encontre os pontos do gr´afico dez=f(x, y) =xe−x2−y2 _{nos quais os planos tangentes s˜ao horizontais.}

Sendo

z−f(a, b) = ∂f

∂x(a, b) (x−a) + ∂f

∂y(a, b) (y−b)

a equa¸c˜ao do plano tangente ao gr´afico de f no ponto T(a, b, f(a, b)), para que ele seja horizontal, ´e necess´ario que ∂f

∂x(a, b) = ∂f

∂y(a, b) =0, ou seja, ´e necess´ario que a equa¸c˜ao seja da forma z=k (neste caso,k=f(a, b)).

Assim, precisamos das derivadas parciais:

  

 

∂f

∂x(x, y) =e

−x2−y2_+xe−x2−y2_{(−2x) =e}−x2−y2 _1−2x2 ∂f

∂y(x, y) =xe −x2_−y2

(−2y) = −2xye−x2_−y2

Assim,

  

 

∂f

∂x(a, b) =0⇒e −a2_−b2

1−2a2

=0 ∂f

∂y(a, b) =0⇒−2abe

−a2−b2₌₀

⇒

1−2a2₌₀

−2ab=0 ⇒a=± √

2

2 eb=0. Portanto, temos dois pontos do gr´afico de f onde o plano tangente ´e horizontal:

T1 _√

2 2 , 0,

q 1 2e

eT2

−√2 2 , 0,−

q 1 2e

.

Abaixo seguem figuras com o paraboloide e o plano tangente encontrado.

3.3

Derivadas Parciais de Ordem Superior

´

E poss´ıvel derivar v´arias vezes uma fun¸c˜aof:X⊂R2

→R_{em rela¸c˜ao axouy.}

As derivadas parciais ∂f ∂x e

∂f

∂y de f s˜ao as derivadas parciais de primeira ordem, ou derivadas parciais de

ordem 1, de f.

Caso seja poss´ıvel derivar as derivadas parciais de f, temos as chamadas derivadas parciais de segunda ordem

def.

∂2_f

∂x2(x, y) = ∂ ∂x

∂f ∂x

(x, y) _∂x∂y∂2f (x, y) = _∂x∂ _∂y∂f(x, y)

∂2_f

∂y∂x(x, y) = ∂ ∂y

∂f ∂x

(x, y) _∂y∂2f2(x, y) = ∂ ∂y

∂f ∂y

(x, y)

As derivadas parciais de segunda ordem ∂2_f ∂x∂y e

∂2_f

∂yx s˜ao chamadas dederivadas parciais mistas def.

De modo an´alogo podemos obter derivadas parciais den-´esima ordem def, sendon_∈N_.

Observa¸c˜oes.

(1)Na nota¸c˜aofx efyas derivadas parciais de segunda ordem def:X⊂R2

→R_{s˜ao escritas como}

fxx(x, y) = (fx)x(x, y) fxy(x, y) = (fx)y(x, y) fyx(x, y) = (fy)_x(x, y) fyy(x, y) = (fy)_y(x, y) Percebemos que ∂2_f

∂x∂y(x, y) = fyx(x, y) e ∂ 2_f

∂y∂x(x, y) = fxy(x, y), ou seja, a posi¸c˜ao de x e y nas duas nota¸c˜oes estabelecidas s˜ao trocadas.

(2)De modo an´alogo ao que apresentamos acima, podemos definir derivadas parciais de ordem superior para fun¸c˜oes f:X⊂Rm

Proposi¸c˜ao 3.1 Sejam f:X_⊂R2_→R_e(a, b)_∈X. Se ∂2f ∂x∂y e

∂2f

∂y∂x forem cont´ınuas em uma vizinhan¸ca em torno de (a, b)_∈X, ent˜ao

∂2_f

∂x∂y(a, b) = ∂2_f

∂y∂x(a, b).

Exemplo 3.7 Calculemos as derivadas parciais de segunda ordem def:R2_→R_{, dada por}f(x, y) =x2_+2xy2_−y3_. Temos ∂f

∂x(x, y) =2x+2y 2_e ∂f

∂y(x, y) =4xy−3y 2_.

Logo, ∂2_f

∂x2(x, y) =2, ∂2_f

∂y2(x, y) =4x−6y, ∂2_f

∂y∂x(x, y) =4ye ∂2_f

∂x∂y(x, y) =4y.

Observemos que do fato das derivadas mistas serem cont´ınuas em R2_{temos a igualdade entre elas, devido `a Proposi¸c˜ao}

3.1 acima.

3.4

Regra da Cadeia

Assim como no caso das fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real, a chamadaRegra da Cadeiapara fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis serve para derivarmos fun¸c˜oes compostas.

Vamos enunciar aRegra da Cadeia em quatro casos apenas, mas o leitor n˜ao ter´a a menor dificuldade em generalizar a regra para compostas envolvendo fun¸c˜oes com quaisquer quantidades de vari´aveis.

No primeiro caso, por exemplo, temos z=f(x, y), x=x(t) ey=y(t)e a Regra da Cadeia fornece uma express˜ao que permite calcular z′_{(t)sem precisar substituirx=x(t) ey=y(t)emz=f(x, y)e colocarz explicitamente em} fun¸c˜ao detapenas. E assim ocorre para os demais casos.

Proposi¸c˜ao 3.2 (Regra de Cadeia para fun¸c˜oes f:X⊂R2

→R_ef:X⊂R3

→R _{composta com fun¸c˜oes de uma} ou duas vari´aveis)

(1)Sejamz=f(x, y),x=x(t) ey=y(t)fun¸c˜oes com derivadas cont´ınuas definidas em dom´ınios onde fa¸ca sentido a composi¸c˜ao. Ent˜ao,z=z(t)´e deriv´avel e

dz dt = ∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt z x y t

(2)Sejamz=f(x, y),x=x(u, v)ey=y(u, v)fun¸c˜oes com derivadas cont´ınuas definidas em dom´ınios onde fa¸ca sentido a composi¸c˜ao. Ent˜ao,z=z(u, v)possui derivadas parciais cont´ınuas e

     ∂z ∂u = ∂f ∂x ∂x ∂u + ∂f ∂y ∂y ∂u ∂z ∂v = ∂f ∂x ∂x ∂v+ ∂f ∂y ∂y ∂v z x y u v z x y u v

(3)Sejam w= f(x, y, z), x =x(t), y =y(t)ez =z(t)fun¸c˜oes com derivadas cont´ınuas definidas em dom´ınios onde fa¸ca sentido a composi¸c˜ao. Ent˜ao,w=w(t)´e deriv´avel e

dw dt = ∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt + ∂f ∂z dz dt z x z t y

(4)Sejamw=f(x, y, z),x=x(u, v),y=y(u, v)ez=z(u, v)fun¸c˜oes com derivadas cont´ınuas definidas em dom´ınios onde fa¸ca sentido a composi¸c˜ao. Ent˜ao, w=w(u, v)possui derivadas parciais cont´ınuas e

     ∂w ∂u = ∂f ∂x ∂x ∂u+ ∂f ∂y ∂y ∂u + ∂f ∂z ∂z ∂u ∂w ∂v = ∂f ∂x ∂x ∂v+ ∂f ∂y ∂y ∂v + ∂f ∂z ∂z ∂v z x u v z y z x u v z y