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Introdução
Neste tutorial vou falar sobre vectores. Os vectores são muito importantes em muitas ciências quer para a matemática, quer para alguns tipos de programação (especialmente programação de jogos de computador). Por exemplo, a velocidade, força, aceleração, têm um comprimento (ou magnitude) mas também têm associado a si a noção de direcção. É aqui que entram os vectores.
Um vector pode ser representado por uma linha recta entre dois pontos (ou seja, um segmento de recta), o ponto inicial e o ponto final. O vector fica assim então definido por um comprimento, que não é mais do que a distância mínima entre os dois pontos, por uma direcção e sentido.
Figura 1.1 - Vector −→P Q
Se designarmos a origem do vector como sendo o ponto P e o final do vector o ponto Q, temos que o vector pode ser representado algebricamente por−→P Q ou P Q ou ainda P Q. Neste texto vamos usar −→v para representar um vector e vamos usar P Q para representar o segmento de recta entre os pontos P e Q, visto que estas são as representações mais usadas nos livros de matemática e física.
Nota: apesar do vector −→QP ter a mesma direcção que o vector −→P Q, estes têm sentidos DIFERENTES (têm sentidos opostos).
Para uma interpretação mais fácil, normalmente define-se o vector a partir da origem do referencial, isto é, se tivermos num referencial 3D, o ponto inicial do vector é (0, 0, 0). Se tivermos o ponto P = (a, b, c) e o ponto Q = (a, b, c) então a distância entre eles é dada por: P Q = (a − a)2+ (b − b)2(c − c)2. Como se usa a origem do referencial como ponto de origem, o vector fica OP = (a, b, c). Podemos assim passar a designar um vector por −→v = (a, b, c) sabendo logo à partida que o seu ponto inicial é a origem. O vector −→v é o mesmo vector quer esteja colocado na origem, quer esteja colocado noutro ponto qualquer, desde que a sua direcção, sentido e comprimento se mantenham.
Na figura 1.2-a) estão representados dois vectores com a mesma direcção, sentido e comprimento, logo trata-se do mesmo vector. Na figura 1.2-b) estão representados dois vectores com a mesma direcção e comprimento mas sentidos opostos.
Figura 1.2-a) - Vectores iguais (trata-se do mesmo vector).
Figura 1.2-b) - Vectores semelhantes mas com sentidos opostos.
Nota: os vectores podem ser decompostos em coordenadas de cada um dos eixos. Por-tanto um vector em R3 (no espaço), pode ser decomposto em 3 coordenadas, −→v x , −→v y e
− →vz.
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Vector Nulo
Existe ainda o vector nulo −→O = (0, 0, 0) que não tem direcção ou sentido e tem comprimento 0.
Nota: o vector nulo não passa de um ponto.
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Vectores colineares e vectores complanares
Dois vectores, −→u e −→v , dizem-se colineares se existe λ ∈ R, tal que: −→u = λ × −→v . Por outras palavras, dois vectores, −→u = (x1, y2) e −→u = (x2, y2), são colineares se x1
x2 =
y1
y2.
Dois vectores colineares são paralelos entre si. Três vectores −→u , −→v e −→w dizem-se complanares: • Se dois deles são colineares ou
• Se existem λ, µ ∈ R tal que: −→w = λ × −→u + µ × −→v .
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Operações com vectores
Tal como as operações com números são importantes, as operações com vectores tam-bém não o deixam de ser. Vou aqui mostrar as operações mais importantes sobre vectores e as que são de maior utilidade.
Nota: os vectores podem ser decompostos nas suas coordenadas, isto é, o vector −→v =
4.1
Norma, Magnitude ou comprimento de um vector
A norma, magnitude ou comprimento de um vector −→v representa-se por −→v e dá-nos o comprimento do vector. Se tivermos o vector −→v = (a, b, c) então: −→v =√a2+ b2+ c2.
4.2
Adição de vectores
A soma de dois vectores, −→u e −→v , pode ser calculada de duas formas diferentes: 1. Colocar a origem (ponto inicial) do vector −→v a coincidir com o ponto final do vector
−
→u e desenhar o vector −→u + −→v que vai desde a origem (ponto inicial) do vector −→u
até ao ponto final do vector −→v (ver figura 4.2.1-a)).
2. Colocar ambas as origens dos vectores −→u e −→v juntas na origem do referencial O e desenhar um paralelogramo. A soma dos dois vectores (−→u + −→v ) é o vector que tem origem em O e o seu ponto final é o ponto do lado oposto do paralelogramo (ver figura 4.2.1-b)).
Figura 4.2.1-a) - Adição de dois vectores pelo método 1.
Figura 4.2.1-b) - Adição de dois vectores pelo método 2 (método do paralelogramo).
A soma de 3 vectores, −→u , −→v e −→w , é feita de um modo semelhante, basta somar 2 deles
−
→u + −→v e soma-se a este vector, o vector −→w .
De um modo algébrico, a soma de dois vectores, −→u e −→v , pode ser feita da seguinte forma: (−→u + −→v ) = (−→ux+ −→vx, −→uy+ −→v y, −→uz+ −→v z).
4.3
Subtracção de vectores
Tal como na adição, também existem dois métodos para realizar uma subtracção de dois vectores. Sendo os vectores −→u e −→v :
1. Inverter o sentido do vector −→v (isto é o mesmo que multiplicar o vector por −1 ou fazer uma escala do vector por −1). Obtém-se o vector −−→v = −1 × −→v . Agora basta somar −→u com −−→v : −→u + (−−→v ) (ver figura 4.3.1-a)).
2. Se se somar o vector −→u + (−−→v ) ao vector −→v , obtém-se o vector pretendido, −→u (ver figura 4.3.1-b)).
Figura 4.3.1-a) - Subtracção de dois vectores pelo método 1.
Figura 4.3.1-b) - Subtracção de dois vectores pelo método 2.
De um modo algébrico, a subtracção de dois vectores, −→u e −→v , pode ser feita da seguinte forma: (−→u − −→v ) = (−→ux− −→v x, −→uy − −→v y, −→uz− −→v z).
4.4
Multiplicação de vectores
Os vectores podem ser multiplicados de duas formas diferentes: produto escalar (ou produto interno) e produto vectorial (ou produto externo). Cada uma delas tem a sua importância e características definidas de seguida.
4.4.1 Produto Escalar
O produto escalar é a forma mais simples de multiplicar dois vectores. Dados dois vectores −→u e −→v , define-se o produto escalar −→u · −→v da seguinte forma:
−
→u · −→v = −→ux× −→vx+ −→uy× −→v y+ −→uz× −→v z
Reparem que o produto escalar entre dois vectores resulta num valor real!
Existe ainda uma outra forma de calcular este produto. Esta fórmula, contudo, é mais frequentemente usada para calcular o ângulo entre dois vectores. Se tivermos, novamente, dois vectores −→u e −→v , com comprimentos (ou magnitudes) −→u e −→v , e com um ângulo
θ formado entre eles, num referencial e fazendo coincidir as origens dos vectores com a
origem do referencial, então: −
→u · −→v = −→u × −→v × cos θ Desta fórmula sai que:
cos θ = −→u·−→v −→u×−→v
ou seja,
θ = cos−1(cos θ) = cos−1 −→u·−→v −→u×−→v
Figura 4.4.1.1 - Ângulo θ formado entre os vectores −→u e −→v .
Notas:
• Se θ = 0o, se os vectores são colineares e do mesmo sentido. • Se θ = 180o, se os vectores são colineares e de sentidos opostos.
• O ângulo de −→v com −→v é 0 portanto o cos θ = 1 e portanto −→v · −→v = −→v × −→v ou −→v 2 = −→v2.
• Se −→u · −→v = 0 implica que −→u = 0 ou −→v = 0 ou cos θ = 0. Se −→u = 0 ou
−→v = 0 então trata-se de uma multiplicação de um vector por um vector nulo, logo
como não existe um ângulo entre estes dois vectores, define-se −→O · −→v = 0 porque o comprimento de −→O é 0. Se o cos θ = 0 então o ângulo entre os dois vectores é 90o ou -90o. Neste caso −→u e −→v são perpendiculares entre si.
4.4.2 Produto Vectorial
Tal como o produto escalar, o produto vectorial é uma multiplicação de dois vectores mas ao invés de produzir um valor real, este produto resulta num outro vector. Este vector calculado tem como particularidade ser perpendicular aos outros dois vectores. Dados dois vectores −→u e −→v , define-se o produto externo −→u × −→v da seguinte forma:
(−→u × −→v )x = −→uy × −→vz− −→uz× −→vy
(−→u × −→v )y = −→uz× −→v x− −→ux× −→v z
(−→u × −→v )z = −→ux× −→vy− −→uy × −→v z
Figura 4.4.2.1 - Ilustração do produto externo entre os vectores −→u e −→v .
1. A direcção de −→u × −→v é perpendicular aos vectores −→u e −→v (como se verifica na figura, o ângulo de −→u × −→v com −→u e de −→u × −→v com −→v é 90o);
2. O sentido de −→u × −→v é-nos dado pela regra da mão direita, ou regra do parafuso ou ainda regra do saca-rolhas. Se rodarmos os dedos de −→u para −→v , então o sentido de
−
→u × −→v é-nos dado pelo nosso dedo polegar;
3. O comprimento (magnitude) de −→u × −→v é dado pela área do paralelogramo (a verde na figura 4.4.2.1), formado pelos vectores −→u e −→v . Esta área é dada por
Notas:
• O resultado de −→u × −→v e de −→v × −→u É DIFERENTE! A diferença é que como existem dois vectores perpendiculares a −→u e −→v então o produto externo destes vectores é diferente caso seja −→u × −→v ou −→v × −→u . Note-se que −→u × −→v = −−→v × −→u . • Se tivermos −→v × −→v então como o ângulo entre os vectores é 0 implica que a área do paralelogramo formado por eles seja também 0, logo −→v × −→v = 0. O mesmo sucede para o caso −→O × −→v . - Se −→u × −→v = 0 implica que −→u = 0 ou −→v = 0 ou sen
θ = 0. Se −→u = 0 ou −→v = 0 então trata-se de uma multiplicação de um vector
por um vector nulo, e como visto anteriormente, o resultado é 0. Se o ângulo entre os dois vectores for 0o ou 180o (implica que o senθ = 0) então −→u e −→v têm a mesma direcção (e sentido igual se θ = 0o e sentido oposto se θ = 0o).
• O cálculo do ângulo entre os dois vectores também pode ser calculado através do produto externo, caso não se saiba, mas é um método mais trabalhoso e aconselho, portanto, a usarem o produto escalar para determinar o ângulo entre dois vectores.
4.4.3 Regra da mão direita
Figura 4.4.3.1-a) - Ilustração da regra da mão direita pelo
método descrito em 1.
Figura 4.4.3.1-b) - Ilustração da regra da mão direita pelo método descrito
em 2.
Existem várias formas de utilizar a regra da mão direita. Explico aqui duas formas: 1. colocar o polegar no sentido do primeiro vector do produto (neste caso o −→u ); colocar
os dedos (todos menos o polegar) no sentido do segundo vector do produto (neste caso o −→v ); o sentido do vector resultante aponta para fora da palma da nossa mão; (ver figura 4.4.3.1-a)).
2. colocar todos os dedos no sentido do primeiro vector do produto (neste caso o −→u ); fazer rodar todos os dedos, à excepção do polegar, do primeiro vector, para o segundo (neste caso o −→u ) (ver seta de −→u para −→v na figura 4.4.3.1-b)); o polegar indica-nos o sentido do vector resultante da multiplicação; (ver figura 4.4.3.1-b)).
4.4.4 Normalização de vectores
A normalização de um vector tem como por objectivo colocar o comprimento (mag-nitude) do vector igual à unidade. Isto, se tivermos o vector −→v então a normalização do vector obriga a que no final −→v = 1. Isto é útil para manter os vectores com pequenos para evitar erros. Dado um vector −→v , a sua normalização é feita do seguinte modo:
− →v x= −→v x −→v −→v y = − →v y −→v −→v z = − →vz −→v 4.4.5 Projecção de vectores
Dados dois vectores −→u e −→v , a projecção de −→v sobre −→u é dada da seguinte forma:
proj−→v −→u = −→u × cos α.
Figura 4.4.5.1-a) - Exemplo de projecção do vector −→v sobre o
vector −→u .
Figura 4.4.5.1-b) - Exemplo de projecção do vector −→v sobre o vector −→u .
A partir das figuras 4.4.5.1-a) e 4.4.5.1-b), é possível constatar que: −→w = proj−→v −→u =
−
→u × cos α. Mas e se não se quiser a −→w , isto é, e se quisermos o vector −→w ?
É fácil ver que:
− →u · −→v = −→u × −→v × cos α ⇔ −→u·−→v −→u = −→v × cos α e que: −→w = −→v × cos α ⇔ −→w = −→u·−→v −→u
É ainda de reparar que o vector −→w é colinear com o vector −→u o que implica que pode ser obtido por uma multiplicação escalar do vector −→u por −→w
−→u, ou seja: −→w = −→w −→u× −→u .
Após alguma manipulação algébrica chega-se ao resultado: −→w = −→−→uu·−→v
·−→u ×−→u .
Notas:
• A projecção de −→v sobre −→u é um número real: – positivo seα é agudo (0o< α < 90o);
– negativo se α é obtuso (90o< α < 180o); – 0 se (α = 90o);
– igual a−→u se (α = 0o). – igual a−−→v se (α = 180o).
4.5
Soma de um ponto com um vector
A soma de um ponto P com um vector −→v processa-se do seguinte modo:
1. Transladar o vector −→v para o ponto P (isto é, fazer coincidir o ponto inicial do vector com o ponto P ).
2. O resultado da operação é o ponto final do vector −→v .
De um modo algébrico, a soma de um pontoP = (x, y, z) com um vector −→v = (x, y, z) tem como resultado o ponto Q definido da seguinte forma:
Q = (Px+ −→v x, Py+ −→v y, Pz+ −→v z).
Nota: ATENÇÃO! O resultado da soma de um ponto com um vector resulta num ponto e NÃO num vector.
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Conclusões
Verão as utilidades dos vectores quando tratarem de vários assuntos quer seja em matemática, física, ou programação. No tutorial sobre planos a importância dos vectores ficará mais clara. Pratiquem e não se esqueçam que os vectores são importantes em praticamente todos os ramos de engenharia (se não em todos). Até à próxima!
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Referências
Matemática 12o Ano - Livro de Texto 1o vol.1995
http://www.flipcode.com/geometry/
Autor: Ricardo Sabino E-mail: L0kuS@hotmail.com
