Propriedades de soluções para as equações de Navier-Stokes, MHD e magneto-micropolares

(1)

Universidade Federal de Sergipe

Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Programa de Pós–Gradua¸cão em Matemática

Mestrado em Matem´atica

Propriedades de Solu¸

c˜

oes para as Equa¸

c˜

oes de

Navier-Stokes, MHD e Magneto-micropolares

Taynara Batista de Souza

São Cristóvão – SE Fevereiro de 2016

(2)

Universidade Federal de Sergipe Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Programa de Pós–Gradua¸cão em Matemática

Mestrado em Matem´atica

Propriedades de Solu¸

c˜

oes para as Equa¸

c˜

oes de

Navier-Stokes, MHD e Magneto-micropolares

por

Taynara Batista de Souza

sob a orienta¸c˜ao do

(3)

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

S729p

Souza, Taynara Batista de

Propriedades de soluções para as equações de Navier-Stokes, MHD e magneto-micropolares / Taynara Batista de Souza ; orientador Wilberclay Gonçalves Melo. – São Cristóvão, 2016.

145 f.

Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Federal de Sergipe, 2016.

1. Navier-Stokes, equações de. 2. Magnetoidrodinâmica. 3. Sobolev, Espaços de. l. Melo, Wilberclay Gonçalves, orient. lI. Título.

(4)

(5)

(6)

Agradecimentos

Aos meus pais, pelo dom da vida.

Ao meu noivo, Reinaldo, pessoa com quem amo estar. Obrigada pelo carinho, compreens˜ao e capacidade de me fazer feliz.

Ao meu orientador, Wilberclay, por toda for¸ca e amizade. Meu maior exemplo de car´ater e sabedoria.

A todos os professores que me acompanharam at´e aqui, em especial, aos professores Paulo Rabelo e Ivanete Batista, por todos os ensinamentos, toda ajuda e pizzas compartilhadas.

Aos meus amigos Suelen Cristina, Alan Gois e Natã Firmino, por todo conhecimento partilhado, pelos momentos tristes e alegres desde a gradua¸cão. A vida que escolhemos não é fácil! Não esquecendo de todos os outros companheiros de luta: Diego, Izabela, Jonisson (Laranja) e Thiago. Aos professores Paulo Zingano e Manasses Xavier por aceitarem compor a banca examinadora. A Funda¸cão de Apoio à Pesquisa e à Inova¸cão Tecnológica do Estado de Sergipe (FAPITEC/SE) pelo apoio financeiro.

(7)

Resumo

Neste trabalho, discutimos inicialmente resultados de explos˜ao no tempo T∗ <∞ para a solu¸c˜ao

(u, b)(·, t) (definida em [0, T∗)), como também para as suas derivadas, do sistema Magnetohi-drodinâmico (MHD). Estes foram obtidos por uma extensão de resultados similares encontrados para as clássicas equa¸cões de Navier-Stokes. Em ordem a citarmos um exemplo, provamos que

∥(u, b)(·, t)∥q explode a uma taxa (T∗ − t)−

q−3

2q _{, para todo t} ∈ [0, T∗_{) e 3 < q <} ∞. Em

se-guida, avaliamos algumas condi¸cões suficientes para a existência de solu¸cão global no tempo para as equa¸cões de Navier-Stokes e MHD. Por fim, generalizamos observa¸cões de explosão, também em tempo finito, da solu¸cão das equa¸cões MHD, envolvendo espa¸cos de Sobolev Homogêneos, para o sistema Magneto-micropolar. Mais precisamente, provamos que se a solu¸c˜ao (u, w, b)(·, t) apre-senta explos˜ao em T∗<∞, então ∥(u, w, b)(·, t)∥_H˙s∥(u, w, b)(·, t)∥

2s 1+2δ−1

2 ´e limitado inferiormente por C(T∗− t)1+2δsδ _{, para todo t}∈ [0, T∗_{), se δ}∈ (0, 1) e s ≥ 1

2 + δ.

Palavras-chave: Equa¸cões de Navier-Stokes; Equa¸cões MHD; Equa¸cões Magneto-micropolares; Explosão de Solu¸cão.

(8)

Abstract

In this work, we study blow-up results in ﬁnite time for the solution (u, b)(·, t) (deﬁned in [0, T∗)), as well as for their spacial derivatives, of the Magnetohydrodynamic (MHD) system. These results are obtained by extending some statements found in the literature for the classical Navier-Stokes equations. In order to cite an example, we prove that ∥(u, b)(·, t)∥q explodes at a rate

(T∗ − t)−

q−3

2q _{, for all t} ∈ [0, T∗_{) and 3 < q <} ∞. In addition, we prove some suﬃcient conditions

for the existence of global solution (in time) for the Navier-Stokes and MHD equations. Finally, we generalize some results established from the MHD equations, involving Sobolev Spaces Homogene-ous, to the Magneto-micropolar system. More precisely, we show that if the solution (u, w, b)(·, t) presents blow-up in T∗ <∞, then ∥(u, w, b)(·, t)∥_H˙s∥(u, w, b)(·, t)∥

2s 1+2δ−1 2 ≥ C(T∗− t) sδ 1+2δ_{, for all} t∈ [0, T∗), where δ∈ (0, 1) and s ≥ 1₂ + δ.

Keywords: Navier-Stokes Equations; MHD Equations; Magneto-micropolar Equations; Blow-up of Solution.

(9)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 7

1.1 Nota¸cões e defini¸cões para o Cap´ıtulo 2 . . . 7

1.2 Nota¸cões e defini¸cões para o Cap´ıtulo 3 . . . 12

2 Propriedades de Solu¸cões para as Equa¸cões MHD 14 2.1 Limita¸cão da Norma do Sup Implica Limita¸c˜ao das Derivadas na Norma L2 . . . 14

2.2 A Aplica¸c˜ao Ilimitada ∥(Du, Db)∥q, 3₂ < q≤ 2 . . . 25

2.3 Desigualdade de Leray para o Sistema MHD . . . 39

2.4 A Aplica¸c˜ao Ilimitada ∥(u, b)(·, t)∥q, 3 < q ≤ ∞ . . . 44

2.5 Explos˜ao de ∥(u, b)(·, t)∥q e ∥(Du, Db)(·, t)∥r, q∈ (3, ∞), r ∈ (3₂,∞] . . . 48

2.6 Condi¸cões Suficientes para Existência Global e Explosão de ∥(Dnu, Dnb)∥q . . . 57

2.7 Compara¸c˜ao das Taxas de Explos˜ao . . . 76

2.8 Crit´erio de Explos˜ao Beale-Kato-Majda . . . 84

3 Propriedades de Solu¸c˜oes para as Equa¸c˜oes Magneto-micropolares 92 3.1 Limite Inferior Envolvendo ∥(u, w, b)(·, t)∥_H˙s, s > 1₂ . . . 92

(10)

3.2 Limite Inferior para ∥(bu, bw, bb)(·, t)∥1 . . . 106 3.3 Outro Limite Inferior Envolvendo ∥(u, w, b)(·, t)∥_H˙s, s > 3₂ . . . 113

4 Apˆendice 116

4.1 Resultados B´asicos para o Cap´ıtulo 2 . . . 116 4.2 Resultados B´asicos para o Cap´ıtulo 3 . . . 120

(11)

Introdu¸

c˜

ao

Neste trabalho, derivamos propriedades de solu¸c˜ao para o seguinte sistema de equa¸c˜oes

magneto-micropolar incompress´ıvel:                        ut+ u· ∇u + ∇(p +1₂| b |2) = (µ + χ)∆u + b· ∇b + χ ∇× w, wt+ u· ∇w = γ ∆w + κ ∇(∇ · w) + χ∇× u − 2χ w, bt+ u· ∇b = ν ∆b + b · ∇u, ∇ · u = ∇ · b = 0, u(·, 0) = u0, w(·, 0) = w0, b(·, 0) = b0, (1)

onde u(x, t) = (u1(x, t), u2(x, t), u3(x, t))∈ R3denota o campo velocidade incompress´ıvel, w(x, t) = (w1(x, t), w2(x, t), w3(x, t))∈ R3descreve a velocidade micro-rotacional, b(x, t) = (b1(x, t), b2(x, t),

b3(x, t))∈ R3o campo magn´etico e p(x, t)∈ R a pressão. As constantes positivas µ, χ, ν, κ, e γ estão associadas a propriedades espec´ıficas do fluido; mais precisamente, µ ´e a viscosidade cinemática,

χ ´e a viscosidade do v´ortice, κ e γ s˜ao as viscosidades de rota¸cão e, por ´ultimo, ν−1 é o número magnético de Reynolds. Os dados iniciais para os campos velocidade e magn´eticos, dados por u0 e b0 em (1), são assumidos livres de divergente, i.e., ∇ · u0 =∇ · b0 = 0.

O problema de existência de solu¸cão forte para o sistema magneto-micropolar (1) foi discutido por J. Yuan [48] em 2008. Tal artigo garante a existência de solu¸cão (´unica) (u, w, b)(·, t) ∈

C([0, T∗); Hs0₍R3₎₎∩ C1_{((0, T}∗_{); H}s0₍R3₎₎∩ C((0, T∗_{); H}s0+2₍R3_{)), deﬁnida no intervalo maximal}

[0, T∗), com 0 < T∗ ≤ ∞ dependendo dos parˆametros µ, χ, γ, κ e do dado inicial (u0, w0, b0), atrav´es do teorema a seguir:

Teorema 0.1 (ver [48]). As seguintes afirma¸cões são válidas:

1. (Existˆencia local). Seja s0 > 3₂. Assuma que (u0, w0, b0)∈ Hs0(R3), com ∇ · u0 =∇ · b0= 0, ent˜ao existe um instante positivo T∗ = T∗(∥(u0, w0, b0)∥Hs0), com 0 < T∗ ≤ ∞, tal

(12)

que existe uma ´unica solu¸c˜ao (u, w, b)(·, t) ∈ C([0, T∗); Hs0(R3₎₎∩ C1_{((0, T}∗_{); H}s0(R3₎₎∩

C((0, T∗); Hs0+2(R3_{)) para o sistema (1).}

2. (Crit´erio de explos˜ao). Suponha que para s0 > 3₂, (u, w, b)(·, t) ∈ C([0, T∗); Hs0₍R3₎₎∩

C1((0, T∗); Hs0₍R3₎₎∩ C((0, T∗_{); H}s0+2₍R3_{)) ´}_{e uma solu¸}_c˜_{ao suave para o sistema} _{(1). Se}

existe uma constante absoluta M > 0 tal que

lim

ϵ→0sup_j_∈Z

∫ T∗ T∗−ϵ

∥∆j(∇ × u)(·, t)∥∞dt := δ < M,

então δ = 0, e a solu¸cão pode ser estendida além de t = T∗. Se

lim

ϵ→0sup_j_∈Z

∫ T∗ T∗−ϵ

∥∆j(∇ × u)(·, t)∥∞dt≥ M,

ent˜ao a solu¸c˜ao (u, w, b)(·, t) explode em t = T∗.

Ver deﬁni¸c˜ao de ∆j em [48].

Tal como acontece com as equa¸c˜oes de Navier-Stokes (5), n˜ao sabemos se ´e verdade que T∗ <∞.

De qualquer forma, ´e f´acil ver que, pela primeira parte do Teorema 0.1, conclui-se (u, w, b)(·, t) ∈

C∞(R3_{× (0, T}∗_{)), com (u, w, b)(}_{·, t) ∈ C((0, T}∗_{); H}s₍_R3_{)) para qualquer s}_{≥ s}

0. Mas, a partir da desigualdade

∥(u, w, b)(·, t)∥2 ≤ ∥(u, w, b)(·, t0)∥2, ∀ 0 ≤ t0 ≤ t < T∗, (2) ver Lema 3.1, obtem-se que (u, w, b)(·, t) ∈ C([0, T∗); Hs(R3)) para cada 0≤ s ≤ s0, pois

∥(u, w, b)(·, t)∥_H˙s ≤ ∥(u, w, b)(·, t)∥ 1−s s0 2 ∥(u, w, b)(·, t)∥ s s0 ˙ Hs0,

para cada s. Consequentemente,∥(u, w, b)(·, t)∥Hs, s≥ 0, est´a bem deﬁnida para cada 0 < t < T∗.

Al´em disso, por aplicar a desigualdade (2) e o Teorema 0.1, chegamos a

lim sup

t↗T∗

∥(u, w, b)(·, t)∥_H˙s0 =∞, T∗<∞. (3)

Em ordem a citar alguns outros resultados envolvendo existência de solu¸cões para as equa¸cões magneto-micropolares, referimos [6, 27, 30, 36].

Apresentamos detalhadamente, a partir de agora, quais artigos foram estudados, e o que foi descoberto neste trabalho.

(13)

R. Zingano [31] para as equa¸cões de Navier-Stokes (5) abaixo; como também, estendemos a maioria das informa¸cões estabelecidas neste mesmo artigo para o caso mais geral do sistema que descreve um fluido magnetohidrodinâmico (MHD), i.e.,

                 ut + u· ∇u + ∇(p + 1₂| b |2) = µ∆u + b· ∇b, bt + u· ∇b = ν ∆b + b · ∇u, ∇ · u = ∇ · b = 0, u(·, 0) = u0(·), b(·, 0) = b0(·). (4) ´

E fácil ver que tal sistema é um derivativo das equa¸cões magneto-micropolares (1), basta considerar w = 0 e χ = 0.

Permita-nos discutir os resultados principais apresentados em [31], os quais foram estudados e estendidos nesta disserta¸cão. Mais especificamente, J. Lorenz e P. R. Zingano [31] provaram algumas propriedades de solu¸cões, em tempo de explosão, para as clássicas equa¸cões de

Navier-Stokes _         ut + u· ∇u + ∇p = µ∆u, ∇ · u = 0, u(·, 0) = u0(·). (5) ´

E importante ressaltar que, o sistema acima segue do fato de considerarmos o campo magn´etico b como sendo nulo em (4).

A primeira informa¸c˜ao dada em [31] diz respeito `a norma Lq do gradiente da solu¸c˜ao u(·, t) para o sistema de Navier-Stokes (5). Mais precisamente, temos o seguinte Teorema:

Teorema 0.2 (ver [31]). Seja u(·, t) solu¸cão forte do sistema (5) definida no intervalo maximal [0, T∗). Assuma que T∗ <∞, então os seguintes itens são válidos:

i) Seja 3₂ < q≤ ∞. Ent˜ao,

sup

0≤t<T∗∥Du(·, t)∥q

=∞. (6)

ii) Para cada 3₂ < q≤ 3, existe uma constante Cq> 0, independente de t e u0, tal que

∥Du(·, t)∥q≥ Cq(T∗− t)−

q− 3₂

q _, ∀ 0 ≤ t < T∗_. ₍₇₎

(14)

para o contexto das equa¸c˜oes MHD (4) (o caso q = 3 ´e obtido a uma taxa (T∗− t)−12+ϵ para ϵ > 0

qualquer).

Teorema 0.3 (ver [31]). Seja u(·, t) solu¸c˜ao forte do sistema (5) deﬁnida no intervalo maximal [0, T∗). Assuma que T∗ <∞ e que 3 ≤ q ≤ ∞, existe uma constante Cq> 0, independente de t e

u0 tal que ∥u(·, t)∥q ≥ Cq(T∗− t)−k, ∀ 0 ≤ t < T∗. (8) com k = q− 3 2q se 3≤ q < ∞, k = 1 2 se q =∞. (9)

Em particular, por (8) e (9), temos lim

t↗T∗∥u(·, t)∥q=∞, se T

∗ _<_{∞, para cada 3 < q ≤ ∞.}

Nesta disserta¸c˜ao, ´e provado que o Teorema 0.3 pode ser estendido, exceto q = 3 e q = ∞, em um caminho natural para o sistema MHD (4). Os casos q = ∞ e q = 3 n˜ao foram generalizados neste trabalho. O problema quanto ao caso q = 3 reside no fato que o limite

lim

t↗T∗∥u(·, t)∥3=∞, T

∗_<_∞, ₍₁₀₎

o qual foi provado por G. Seregin [42], parece não ter sido provado para o caso das equa¸cões MHD (4). O caso q = ∞ foi estabelecido por Leray [28]; assim sendo, como não tratamos este artigo aqui nesta disserta¸cão, então foi decidido não acrescentarmos o caso em questão. Apesar disto, detalhamos estes dois casos espec´ıficos para as equa¸cões de Navier-Stokes (5). Para mais detalhes ver Teorema 2.6.

J. Lorenz e P. R. Zingano [31] também provaram o seguinte critério para garantia de existência global no tempo da solu¸cão no caso das equa¸cões de Navier-Stokes (5).

Teorema 0.4 (ver [31]). Seja u(·, t) solu¸cão forte do sistema (5) definida no intervalo maximal [0, T∗). Assuma que 3≤ q ≤ ∞. Então, se existe uma constante Cq > 0 apropriada, dependendo

somente de q, tal que

∥u0∥ 2q−6 3q−6 2 ∥u0∥ q 3q−6 q < Cq, (11) tem-se T∗ =∞.

Pelos mesmos motivos expostos acima, estendemos o Teorema 0.4 para o caso do sistema MHD (4) no caso em que 3 < q <∞ (ver Corol´ario 2.13).

(15)

Teorema 0.5 (ver [31]). Seja u(·, t) solu¸cão forte do sistema (5) definida no intervalo maximal [0, T∗). Seja n≥ 2 um número inteiro. Se T∗ <∞, então

lim

t↗T∗∥D

n_u(_{·, t)∥}

q =∞ (12)

para cada 1≤ q ≤ ∞.

Somente o caso q = 1 e n = 2 do Teorema 0.5 n˜ao foi estendido, nesta disserta¸cão, para o sistema MHD (4) (ver Corolário 2.15). Este problema também segue da ausência do limite (10) para as equa¸cões MHD (4).

Por fim, permita-nos listar alguns artigos que serviram de inspira¸cão para a realiza¸cão deste trabalho. Referimos a [1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 14, 16, 17, 18, 31, 24, 25, 28, 31, 32, 34, 39, 42, 44, 45, 46, 47, 50, 51] quando discutimos as equa¸cões de Navier-Stokes (5).

No Cap´ıtulo 3, estendemos os limites inferiores obtidos por D. Marcon, W. G. Melo, L. Schutz e J. S. Ziebell [12] a partir de uma solu¸cão do sistema MHD (4) para a solu¸cão do sistema de equa¸cões magneto-micropolar (1). Neste último artigo foi provado o seguinte resultado:

Teorema 0.6 (ver [12]). Fixe s0 > 3₂ e seja (u0, b0) ∈ Hs0(R3) tal que ∇ · u0 = ∇ · b0 = 0.

Considere (u, b)(·, t) ∈ C([0, T∗), Hs(R3)) é a solu¸cão forte de (4), definida no intervalo maximal

[0, T∗). Se T∗ <∞, ent˜ao

i) Para cada δ ∈ (0, 1) e s ≥ 1₂ + δ, temos

∥(u, b)(·, t)∥_H˙s∥(u, b)(·, t)∥ p(s,δ) 2 ≥ Cs,δ,σλq(s,δ) (T∗− t)r(s,δ), (13) onde p(s, δ) := 2s 1 + 2δ − 1, q(s, δ) := (2− δ)s 1 + 2δ e r(s, δ) := sδ 1 + 2δ. ii) Para todo t∈ [0, T∗), tem-se

∥(bu, bb)(·, t)∥1≥

(2π)3λ12

3√6 (T

∗_{− t)}−1

2, (14)

iii) Para cada s > 3₂, conclui-se

∥(u, b)(·, t)∥2s3−1 2 ∥(u, b)(·, t)∥_H˙s ≥ Cs,σλ s 3 (T∗− t)s3 , (15)

(16)

onde λ = min{µ, ν}.

A prova da extensão do Teorema 0.6 para o enredo das equa¸cões magneto-micropolares (1) é dada ao longo dos Teoremas 3.1, 3.5 e 3.6 abaixo. Em ordem a listar alguns outros trabalhos que estão diretamente relacionados às equa¸cões MHD (4), temos [8, 13, 22, 40, 41, 43, 49]. Em adi¸cão, ´

e importante ressaltar que a famosa Desigualdade de Leray (ver [28])

∥Du(·, t)∥2 ≥ C(T∗− t)−

1

2, (16)

´

e consequˆencia imediata do Teorema 0.6 i).

O esbo¸co do restante do trabalho é dado como segue: no Cap´ıtulo 1, apresentamos as nota¸cões, as defini¸cões e os resultados básicos necessários para um bom entendimento do conteúdo; no Cap´ıtulo 2, acrescentamos as extensões obtidas a partir do artigo [31]; no Cap´ıtulo 3, coloca-mos as generaliza¸cões das afirma¸cões dadas no artigo [12] e, por último, no Cap´ıtulo 4, provamos alguns resultados que foram aplicados nos Cap´ıtulos 2 e 3 desta disserta¸cão.

(17)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo, estamos interessados em estabelecer uma introdu¸cão para as nota¸cões, defini¸cões e alguns resultados (sem provas) que estão expostos ao longo do trabalho.

1.1 Nota¸

c˜

oes e defini¸

c˜

oes para o Cap´ıtulo 2

Nesta se¸cão, apresentamos algumas nota¸cões, defini¸cões e alguns resultados que estão introdu-zidas no Cap´ıtulo 2.

• A norma Euclidiana de um vetor a = (a1, ..., aN)∈ RN ´e denotada e dada por

|a|2 ₌

N

∑

i=1

a2_i. (1.1)

• Para uma aplica¸cão f suficientemente diferenciável temos

∆f = 3 ∑ i=1 D2_if, ∇f = (D1f, D2f, D3f ) e ∇ · f = 3 ∑ i=1 Difi. (1.2)

• Seja f ∈ Lp₍_RN_{). A norma L}p _{de f ´}_{e dada por}

∥f∥p = (∫ R3|f(x)| p_dx )1 p , 1≤ p < ∞. (1.3) Para p =∞, temos ∥f∥∞= supess_x_∈RN{|f(x)|}. (1.4)

(18)

• Deﬁnimos o produto interno-L2 ₍_{·, ·)}

2 entre duas fun¸c˜oes vetoriais por (a, b)2 :=

∫ R3

a(x)· b(x) dx, (1.5)

onde c· d := c1d1+ ... + cNdN para c = (c1, ..., cN), d = (d1, ..., dN)∈ RN; e a, b :R3 → RN

(N ∈ N) são fun¸cões mensuráveis.

• Para qualquer multi-´ındice α, temos |α| = 3 ∑ i=1 αi, α = (α1, α2, α3). (1.6) • Denotamos Dα = Dα1 1 D α2 2 D α3 3 , (1.7)

onde as derivadas parciais s˜ao dadas por

Di= ∂ ∂xi . (1.8) • Denotamos e deﬁnimos ∥(Dα_{u, D}α_b)_∥2 2 =∥Dαu∥22+∥Dαb∥22 (1.9) e tamb´em

∥u∥∞= max{|ui| : 1 ≤ i ≤ 3}. (1.10)

• Temos J_n2(t) = ∑ |α|=n ∥(Dα_{u, D}α_b)(_{·, t)∥}2 2, ∀ n ∈ N ∪ {0}, (1.11) onde ∥Dn_u_∥ p=  ∑3 i=1 3 ∑ j1=1 . . . 3 ∑ jn=1 |Dj1. . . Djnui(x) p_{| dx}   1 p , 1≤ p < ∞, (1.12) e ∥Dn_u_∥ ∞= sup{|Dαui(x)| : x ∈ R3, 1≤ i ≤ 3, |α| = n}. (1.13)

• Dadas duas aplica¸c˜oes f e g, deﬁnimos para cada j ∈ N, o seguinte produto interno

(19)

Desse produto interno, para cada j ∈ N, a norma Hj de uma fun¸c˜ao f ´e dada por ∥f∥2 Hj = ∑ |α|≤j ∥Dα_f_∥2 2. (1.15)

• Deﬁnimos a Transformada de Fourier de u por

bu(k) := (2π)−3 2 ∫ R3 e−ik·xu(x)dx, onde k· x :=∑3_j=1kjxj, com k = (k1, k2, k3) e x = (x1, x2, x3).

• Sejam f e g fun¸c˜oes reais e p e q expoentes conjugados, 1 ≤ p ≤ ∞. A Desigualdade de

H¨older nos diz que _∫

R3|f(x)g(x)| dx ≤ ∥f∥p∥g∥q

. (1.16)

• Dados dois n´umeros reais positivos a e b. Ent˜ao, ab≤ 1

pa

p₊1

qb

q_, _(1.17)

onde p e q s˜ao expoentes conjugados. A desigualdade (1.17) ´e conhecida como Desigualdade de Young. • Se 1 p + 1 q = 1 + 1 r, u∈ L p₍_RN_{) e v}_{∈ L}q₍_RN_{), ent˜}_{ao u}_{∗ v ∈ L}r₍_RN_{) e} ∥u ∗ v∥r≤ ∥u∥p∥v∥q. (1.18)

A desigualdade acima ´e conhecida como Desigualdade de Young para convolu¸c˜oes.

• Para f ∈ Lp₍_RN_{) e 1}_{≤ p ≤ 2, temos} ∥ bf∥p′ ≤ C∥f∥p, 1 p′ + 1 p = 1. (1.19)

Essa ´e a conhecida Desigualdade de Hausdorﬀ-Young.

• Se f e g são fun¸cões diferenciáveis n-vezes, então a regra de Leibniz estabelece que a n-ésima

derivada do produto f g ´e dada por

(f · g)(n)= n ∑ k=0 ( n k ) f(k)g(n−k), (1.20) onde(n_k) ´e o coeﬁciente binomial de Newton.

(20)

• Para qualquer 0 < s ≤ r ≤ ∞, 1 ≤ p ≤ ∞, temos

∥v∥r≤ C∥v∥1s−θ∥∇v∥θp, ∀v ∈ C0∞(R3), (1.21) onde C ´e uma constante positiva que depende de r, s, p, N ; e θ satisfaz

1 r = θ ( 1 p− 1 N ) + (1− θ)1 s.

A desigualdade (1.21) ´e conhecida como Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg (para mais detalhes ver [37]).

• Assuma que m > n. Ent˜ao vale a seguinte desigualdade:

J_n2(t)≤ Cn(Jm2(t) + J02(t)), ∀ t ≥ 0, (1.22) onde Cn´e uma constante positiva que depende somente de n. Sua prova ´e dada no apˆendice

do livro [26].

• Seja v : R3 _{→ R}3 _{um dado campo vetorial. Ent˜}_{ao existe uma simples decomposi¸c˜}_{ao de v em} um campo livre de divergente w e um campo gradiente∇ϕ,

v = w− ∇ϕ, ∇ · w = 0. (1.23)

Então, em espa¸cos de fun¸cões adequadas, a aplica¸c˜ao v → w := PHv define o operador

proje¸c˜ao PH, chamado Proje¸cão de Helmholtz. Um importante e não trivial resultado é a

limita¸c˜ao de PH em Lq para cada q com 1 < q <∞,

∥PHv∥q ≤ Cq∥v∥q, v∈ C0∞(R3,R3), (1.24) onde Cq´e uma constante positiva que depende somente de q (para mais detalhes ver [11, 18,

29, 31]).

• As constantes, neste trabalho, podem mudar linha por linha, mas ser˜ao denotadas da mesma

maneira. Colocaremos Cq,r,s para denotar constantes que dependem de q, r e s, por exemplo.

C ser´a sempre constante positiva absoluta. Também, em alguns momentos, não nos preocu-paremos com a nota¸cão de dependˆencia em x e t, por exemplo, ∥u∥2 ou ∥u(t)∥2 significará

(21)

Consideremos uma fun¸c˜ao S∈ C(R) tal que      S′(v)≥ 0, ∀v ∈ R; S(0) = 0; S(v) = sgn(v), |v| ≥ 1 .

e para cada δ > 0, construiremos a fun¸c˜ao regularizadora

Sδ(v) := S

(_v

δ

)

e definiremos a fun¸cão aproxima¸cão para|u| por

Lδ(u) := ∫ u 0 S (_v δ ) dv. (1.25)

Observemos que, quando δ → 0, temos que S(u_δ) → sgn(u) e Lδ(u) → |u|, uniformemente

em u. Al´em disso, dado u∈ R e δ > 0 ﬁxo, temos

0≤ Lδ(u)≤ |u|; (1.26) L′_δ(u)≤ C|u| δ (1.27) e tamb´em 0≤ L′′_δ(u)≤ C δ. (1.28)

Outra importante propriedade de Lδ(u) ´e

Lδ(u)· L′′δ(u)→ 0, quando δ → 0. (1.29)

Definamos também a seguinte fun¸cão auxiliar:

Φδ(u) :=

{

u2, se q = 2

(Lδ(u))q, se q > 2,

onde p0 ≤ q < ∞. Para q > 2, temos

Φ′_δ(u) = q(Lδ(u))q−1L′δ(u) (1.30)

e tamb´em

(22)

• Sejam f : [0, T ] → R uma fun¸cão de classe C1_{([0, T ]) e g, h : [0, T ]}_{→ R fun¸cões cont´ınuas não} negativas, onde [0, T ]⊆ R é um intervalo (com T > 0). Se

f′(t)≤ g(t)f(t) + h(t), ∀ t ∈ [0, T ], (1.32) ent˜ao f (t)≤ exp (∫ t 0 g(τ ) dτ ) [ f (0) + ∫ t 0 h(τ ) dτ ] , ∀ t ∈ [0, T ]. (1.33) Este ´e conhecido como o Lema de Gronwall, ver [15].

• A desigualdade abaixo ´e importante na prova do Lema 4.3. Seja v ∈ C∞

0 (R3), ent˜ao

∥v∥∞≤ C∥v∥H2, (1.34)

onde C ´e uma constante positiva. A prova da desigualdade acima ´e dada em [38].

1.2 Nota¸

c˜

oes e defini¸

c˜

oes para o Cap´ıtulo 3

Agora descreveremos as nota¸cões e defini¸cões que serão utilizadas no Cap´ıtulo 3. Algumas das defini¸cões e nota¸cões do Cap´ıtulo 2 continuam sendo válidas para este cap´ıtulo. Além disso, exibiremos (sem provas) dois resultados que serão utilizados neste trabalho.

• Para s ∈ R, o espa¸co de Sobolev Homogˆeneo ˙Hs(R3,R3) ´e o espa¸co das aplica¸c˜oes f tais que

∥f∥_H˙s =

√∫ R3|k|

2s_|bf(k)|2_{dk < +}_∞, _(1.35)

onde|bf|2=∑3_i=1| bfi|2.

• Para (u, w, b) ∈ ˙Hs(R3,R3), temos

∥(u, w, b)∥_H˙s = √ ∥u∥2 ˙ Hs+∥w∥ 2 ˙ Hs+∥b∥ 2 ˙ Hs. (1.36)

• O produto interno- ˙Hs ´e dado por (f , g)_H˙s =

∫ R3|k|

(23)

• Se u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) deﬁnimos o produto tensorial u⊗ v por

u⊗ v := (v1u, v2u, v3u). (1.38)

• Seja φ ∈ C1_[0,_{∞). Sejam y(t) e y}

0(t) fun¸cões de classe C1[0,∞), não-negativas, definidas para todo t∈ [0, T ]. Se y′(t)≤ φ(y(t)), y₀′(t) = φ(y0(t)),∀ t ∈ [0, T ] e y(0) ≤ y0(0), então

y(t)≤ y0(t), ∀ t ∈ [0, T ]. (1.39)

Essa é uma versão não linear para o Lema de Gronwall (para mais detalhes ver [35]).

• Sejam η, η′ _{dois n´}_{umeros reais positivos tal que η <} 3

2 e η +η′ > 0. Se f, g∈ ˙H η₍_R3₎_{∩ ˙}_Hη′₍_R3_), ent˜ao ∥fg∥_˙ Hη+η′− 32(R3₎≤ C(η, η ′₎(_∥f∥ ˙ Hη₍_R3₎∥g∥_H˙η′₍_R3₎+∥f∥_H˙η′₍_R3₎∥g∥_H˙η₍_R3₎ ) , (1.40)

onde C(η, η′) ´e uma constante positiva que depende somente de η e η′. Al´em disso, se η′< 3₂, ent˜ao

∥fg∥_H_˙η+η′− 32(R3₎≤ C(η, η

′₎_∥f∥

˙

Hη₍_R3₎∥g∥_H˙η′₍_R3₎, (1.41)

(24)

Cap´ıtulo 2

Propriedades de Solu¸

c˜

oes para as

Equa¸

c˜

oes MHD

2.1 Limita¸

c˜

ao da Norma do Sup Implica Limita¸

c˜

ao das Derivadas

na Norma L

2

Nesta se¸c˜ao, supondo que o supremo sup

0≤t<T∥(u, b)(·, t)∥∞ ´

e ﬁnito, estamos interessados em provar a seguinte limita¸c˜ao:

∥(Dα_{u, D}α_b)(_{·, t)∥}

2 ≤ Kn, ∀ 0 ≤ t < T,

qualquer que seja α multi-´ındice tal que |α| = n (n ∈ N). Para este ﬁm, vamos provar o resultado a seguir, o qual garante um resultado de desigualdade de energia para uma solu¸c˜ao de (4).

Lema 2.1. Seja (u, b)(·, t) solu¸c˜ao forte do sistema (4) deﬁnida no intervalo maximal [0, T∗).

Portanto, 1 2 d dt∥(u, b)(·, t)∥ 2 2 ≤ −γ∥(Du, Db)(·, t)∥22, ∀ 0 ≤ t < T∗. (2.1) Em particular, ∥(u, b)(·, t)∥2≤ ∥(u0, b0)∥2 e ∫ t 0 ∥(Du, Db)(·, s)∥2 2ds≤ 1 2γ∥(u0, b0)∥ 2 2, (2.2)

(25)

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, notemos que 1 2 d dtJ 2 0(t) := 1 2 d dt∥(u, b)(·, t)∥ 2 2 = 1 2 d dt∥u(·, t)∥ 2 2+ 1 2 d dt∥b(·, t)∥ 2 2, (2.3)

para todo 0≤ t < T∗. Agora, realizando o produto interno (u,·)2 na primeira equa¸c˜ao do sistema (4), obtemos 1 2 d dt∥u∥ 2 2 = (u, ut)2

= µ(u, ∆u)2− (u, u · ∇u)2+ (u, b· ∇b)2− (u, ∇(p + 1 2|b|

2₎₎₂_. _(2.4)

Permita-nos analisar algumas das parcelas encontradas no lado direito das igualdades acima. Assim sendo, usando integra¸cão por partes, é fácil concluir que

(u, ∆u)2 := 3 ∑ i=1 (u, D2_iu)2 =− 3 ∑ i=1 (Diu, Diu)2 =−∥Du∥22 (2.5) e tamb´em (u, u· ∇u)2 = 3 ∑ i=1 (u, uiDiu)2 = − 3 ∑ i=1 (u, Di(uiu))2 = − 3 ∑ i=1 (u, (Diui)u + ui(Diu))2 = −(u, (∇ · u)u)2− 3 ∑ i=1 (u, uiDiu)2 = − 3 ∑ i=1 (u, uiDiu)2 = −(u, u · ∇u)2, (2.6)

onde na quinta igualdade utilizamos o fato∇·u = 0 (ver (4)). Consequentemente, (u, u·∇u)2= 0. Além disso, também por integra¸cão por partes, encontramos

(u,∇(p +1 2|b| 2₎₎₂ ₌ 3 ∑ i=1 (ui, Di(p + 1 2|b| 2₎₎₂ ₌ ₋ 3 ∑ i=1 (Diui, p + 1 2|b| 2₎₂ = −(∇ · u, p +1 2|b| 2₎₂ _{= 0,} _(2.7)

(26)

desde que u ´e livre de divergente. Por substituir os resultados obtidos em (2.5), (2.6) e (2.7) em (2.4), obtemos 1 2 d dt∥u∥ 2 2+ µ∥Du∥22= (u, b· ∇b)2. (2.8) Agora vamos analisar o termo em (2.3) envolvendo a derivada do campo magnético. Aplicando o produto interno (b,·)2 à segunda equa¸cão do sistema (4), inferimos

1 2 d dt∥b∥ 2 2 = (b, bt)2 = ν(b, ∆b)2− (b, u · ∇b)2+ (b, b· ∇u)2. (2.9)

Analogamente ao que foi feito em (2.5), chegamos a

(b, ∆b)2=−∥Db∥22, (2.10)

desde que∇ · b = 0. Notemos ainda que,

(b, u· ∇b)2 = 3 ∑ i=1 (b, uiDib)2 = − 3 ∑ i=1 (b, Di(uib))2 = − 3 ∑ i=1 (b, (Diui)b + ui(Dib))2 = −(b, (∇ · u)b)2− (b, u · ∇b)2 = −(b, u · ∇b)2, (2.11)

onde usamos o fato que ∇ · u = 0 na ´ultima igualdade. Da´ı, (b, u · ∇b) = 0. Assim, substituindo (2.10) e (2.11) em (2.9), obtemos 1 2 d dt∥b∥ 2 2+ ν∥Db∥22 = (b, b· ∇u)2. (2.12) Por ﬁm, somando as igualdades (2.8) e (2.12), encontramos

1 2

d dtJ

2

0(t) + µ∥Du∥22+ ν∥Db∥22= (u, b· ∇b)2+ (b, b· ∇u)2, (2.13) ver deﬁni¸c˜ao (1.11).

(27)

A seguir vamos provar que o lado direito da igualdade (2.13) ´e nulo. Com efeito, (u, b· ∇b)2+ (b, b· ∇u)2 = 3 ∑ i=1 (u, biDib)2+ 3 ∑ i=1 (b, biDiu)2 = − 3 ∑ i=1 (Di(biu), b)2+ 3 ∑ i=1 (b, biDiu)2 = − 3 ∑ i=1 ((Dibi)u + bi(Diu), b)2+ 3 ∑ i=1 (b, biDiu)2 = − 3 ∑ i=1 ((∇ · b)u, b)2− 3 ∑ i=1 (biDiu, b)2+ 3 ∑ i=1 (b, biDiu)2 = 0,

pois b ´e livre de divergente. Logo, 1 2 d dtJ 2 0(t) + µ∥Du(·, t)∥22+ ν∥Db(·, t)∥22= 0, 0≤ t < T∗. Se considerarmos que γ = min{µ, ν} > 0 ´e poss´ıvel obter

1 2 d dtJ 2 0(t) + γ(∥Du(·, t)∥22+∥Db(·, t)∥22)≤ 0, 0 ≤ t < T∗, ou equivalentemente, por (1.11), 1 2 d dtJ 2 0(t)≤ −γJ12(t), ∀ 0 ≤ t < T∗. (2.14) A desigualdade acima prova (2.1).

Agora, verifiquemos que (2.2) vale. De fato, integrando de 0 a t (t ∈ [0, T∗)) a desigualdade (2.14), chegamos, através do Teorema Fundamental do Cálculo, a

1 2J 2 0(t)− 1 2J 2 0(0)≤ −γ ∫ t 0 J₁2(s)ds≤ 0. (2.15) Deste modo, J0(t)≤ ∥(u0, b0)∥2, ∀ 0 ≤ t < T∗,

ver (1.11). Analisando (2.15) de outra maneira, podemos alcan¸car as seguintes desigualdades:

−∥(u0, b0)∥22 ≤ J02(t)− ∥(u0, b0)∥22 ≤ −2γ ∫ t

0

(28)

Com isso, _∫ t 0 J₁2(s)ds≤ 1 2γ∥(u0, b0)∥ 2 2, ∀ 0 ≤ t < T∗, o que prova (2.2). Por conseguinte, ﬁnalizamos a prova do Lema 2.1.

Usando o Lema 2.1, vamos mostrar que quando é poss´ıvel limitar, em algum intervalo de tempo, a norma do sup da solu¸cão dada pelo sistema (4), inferimos uma limita¸cão para todas as derivadas espacias na norma L2 desta mesma solu¸cão no mesmo intervalo de tempo. Mais precisamente, temos o seguinte resultado.

Teorema 2.1. Seja (u, b)(·, t) solu¸c˜ao forte do sistema (4) deﬁnida no intervalo maximal [0, T∗).

Assuma que sup 0≤t<T∥(u, b)(·, t)∥∞ <∞. (2.16) Ent˜ao, Jn(t)≤ Kn, ∀ 0 ≤ t < T e n ∈ N,

onde Kn´e uma constante positiva que depende somente de n, sup

0≤t<T∥(u, b)(·, t)∥∞

, T, µ, ν e ∥(u0, b0)∥Hn.

Demonstra¸cão. A prova deste resultado ´e feita por indu¸c˜ao sobre n. Primeiramente, segue das defini¸cões (1.11) e (1.9), que

1 2 d dtJ 2 n(t) = 1 2 d dt ∑ |α|=n ∥(Dα_{u, D}α_b)(_{·, t)∥}2 2 = 1 2 d dt ∑ |α|=n ∥Dα_u(_{·, t)∥}2 2+ 1 2 d dt ∑ |α|=n ∥Dα_b(_{·, t)∥}2 2,

para todo 0 ≤ t < T e n ∈ N. Permita-nos examinar as duas somas do lado direito da igualdade acima separadamente. Assim sendo,

1 2 d dt ∑ |α|=n ∥Dα_u_∥2 2 = ∑ |α|=n (Dαu, Dαut)2 = ∑ |α|=n [µ(Dαu, Dα∆u)2− (Dαu, Dα(u· ∇u))2+ (Dαu, Dα(b· ∇b))2 − (Dα_{u, D}α₍_{∇(p +}1 2|b| 2_)))2]. _(2.17)

(29)

use integra¸c˜ao por partes em ordem a obter ∑ |α|=n (Dαu, Dα∆u)2 = ∑ |α|=n 3 ∑ i=1 (Dαu, DαD2_iu)2 = − ∑ |α|=n 3 ∑ i=1 (DiDαu, DiDαu)2 = − ∑ |β|=n+1 ∥Dβ_u_∥2 2. (2.18)

Integrando por partes e usando o fato que∇ · u = 0, encontramos ∑ |α|=n (Dαu, Dα(∇(p +1 2|b| 2₎₎₎ 2 = ∑ |α|=n 3 ∑ i=1 (Dαui, DαDi(p + 1 2|b| 2₎₎ 2 = − ∑ |α|=n 3 ∑ i=1 (DαDiui, Dα(p + 1 2|b| 2₎₎ 2 = − ∑ |α|=n (Dα(∇ · u), Dα(p + 1 2|b| 2₎₎ 2 = 0. (2.19)

Da´ı, substituindo (2.18) e (2.19) em (2.17), inferimos 1 2 d dt ∑ |α|=n ∥Dα_u_∥2 2+ µ ∑ |β|=n+1 ∥Dβ_u_∥2 2= ∑ |α|=n [−(Dαu, Dα(u· ∇u))2+ (Dαu, Dα(b· ∇b))2]. (2.20) Similarmente a (2.18), podemos demonstrar que

1 2 d dt ∑ |α|=n ∥Dα_b_∥2 2 = ∑ |α|=n (Dαb, Dαbt)2 = ∑ |α|=n [ν(Dαb, Dα(∆b))2− (Dαb, Dα(u· ∇b))2+ (Dαb, Dα(b· ∇u))2] = −ν ∑ |β|=n+1 ∥Dβ_b_∥2 2+ ∑ |α|=n [−(Dαb, Dα(u· ∇b))2+ (Dαb, Dα(b· ∇u))2], isto equivale a, 1 2 d dt ∑ |α|=n ∥Dα_b_∥2 2+ ν ∑ |β|=n+1 ∥Dβ_b_∥2 2 = ∑ |α|=n [−(Dαb, Dα(u· ∇b))2+ (Dαb, Dα(b· ∇u))2]. (2.21)

(30)

Somando as igualdades (2.20) e (2.21), obtemos 1 2 d dtJ 2 n(t) + µ ∑ |β|=n+1 ∥Dβ_u_∥2 2+ ν ∑ |β|=n+1 ∥Dβ_b_∥2 2 = ∑ |α|=n [−(Dαu, Dα(u· ∇u))2 + (Dαu, Dα(b· ∇b))2− (Dαb, Dα(u· ∇b))2+ (Dαb, Dα(b· ∇u))2].

Assumindo que γ := min{µ, ν}, temos 1 2 d dtJ 2 n(t) + γJn+12 (t)≤ Sn(t), (2.22) onde Sn(t) := ∑ |α|=n [−(Dαu, Dα(u·∇u))2+(Dαu, Dα(b·∇b))2−(Dαb, Dα(u·∇b))2+(Dαb, Dα(b·∇u))2]. Agora estamos aptos a provar que Jn(t) ´e limitado em [0, T ), para todo n∈ N.

Comecemos estimando J1(t) em [0, T ). Para este fim, a desigualdade (2.22) nos diz que é sufi-ciente estimar S1(t). Mais minuciosamnete, conferindo a defini¸cão de S1(t), vemos que a limita¸cão de J1(t) segue da parcela (Du, D(b· ∇b))2, j´a que os demais termos que definem S1(t) contribuem de maneira semelhante nas estimativas que seguem. Com isso exposto, note que

(Du, D(b· ∇b))2 = 3 ∑ i=1 (Du, D(biDib))2 = 3 ∑ i=1 (Du, DbiDib)2+ 3 ∑ i=1 (Du, biDDib)2 = − 3 ∑ i=1 (Di(DuDbi), b)2+ 3 ∑ i=1 (Du, biDDib)2 = − 3 ∑ i=1 ((DiDu)Dbi, b)2− 3 ∑ i=1 (DuDDibi, b)2+ 3 ∑ i=1 (Du, biDDib)2 = − 3 ∑ i=1 ((DiDu)Dbi, b)2− (DuD(∇ · b), b)2+ 3 ∑ i=1 (Du, biDDib)2 = − 3 ∑ i=1 ((DiDu)Dbi, b)2+ 3 ∑ i=1 (Du, biDDib)2,

(31)

|(Du, D(u · ∇u))2|, |(Db, D(u · ∇b))2|, |(Db, D(b · ∇u))2| ≤ CMJ1(t)J2(t).

Com isso, a partir de (2.22) e Desigualdade de Young (1.17), chegamos a 1 2 d dtJ 2 1(t) + γJ22(t)≤ MJ1(t)J2(t)≤ CMγ−1J12(t) + 1 2γJ 2 2(t). Logo, 1 2 d dtJ 2 1(t) + γ 2J 2 2(t)≤ CMγ−1J12(t). Assim, pelo Lema de Gronwall, ver (1.33), encontramos

J₁2(t) ≤ exp{CMγ−1t}J₁2(0) ≤ exp{CMγ−1T} ∑ |α|=1 ∥(Dα_u 0, Dαb0)∥22 ≤ exp{CMγ−1T}∥(u0, b0)∥2_H1,

para todo 0≤ t < T. Portanto, J1(t) est´a limitada em [0, T ) por uma constante

K1 := exp{CMγ−1T}∥(u0, b0)∥H1

que depende somente de M, T, µ, ν e∥(u0, b0)∥H1.

Agora vejamos que J2(t) é limitada em 0≤ t < T (esta limita¸cão é importante para a utiliza¸cão da hipótese de indu¸cão a seguir). Por (2.22), temos que

1 2 d dtJ 2 2(t) + γJ32(t)≤ S2(t).

(32)

Para estimar S2(t) ´e necess´ario encontrar uma limita¸c˜ao para o termo (D2u, D2(b· ∇b))2, desde que as outras parcelas de S2(t) seguem de modo an´alogo.

A Regra de Leibniz para derivadas nos informa que

(D2u, D2(b· ∇b))2 = 3 ∑ i=1 (D2u, D2(biDib))2 = 3 ∑ i=1 2 ∑ j=0 ( 2 j ) (D2u, DjbiD2−jDib)2 = 3 ∑ i=1 [(₂ 0 ) (D2u, biD2Dib)2+ ( 2 1 ) (D2u, DbiDDib)2+ ( 2 2 ) (D2u, D2biDib)2 ] = 3 ∑ i=1 [(₂ 0 ) (D2Dib, biD2u)2− ( 2 1 ) (D(D2uDDib), bi)2− ( 2 2 ) (Di(D2uD2bi), b)2 ] = 3 ∑ i=1 [(₂ 0 ) (D2Dib, biD2u)2− ( 2 1 )[ (D3u, biDDib)2+ (D2Dib, biD2u)2 ] − ( 2 2 ) (DiD2u, bD2bi)2 ] − ( 2 2 ) (D2uD2(∇ · b), b)2 = 3 ∑ i=1 [(₂ 0 ) (D2Dib, biD2u)2− ( 2 1 )[ (D3u, biDDib)2+ (D2Dib, biD2u)2 ] − ( 2 2 ) (DiD2u, bD2bi)2 ] ,

pois ∇ · b = 0. Assim, é suficiente analisarmos os termos da forma (D3b, bD2u) e (D3u, bD2b). Pela Desigualdade de Hölder e hipótese (2.16), chegamos a

|(D3_{b, bD}2_u) 2| ≤ ∥b∥∞∥D3b∥2∥D2u∥2 ≤ MJ2(t)J3(t). Analogamente, |(D3_{u, bD}2_b) 2| ≤ MJ2(t)J3(t). Da´ı, |(D2_{u, D}2_(b_{· ∇b))} 2| ≤ CMJ2(t)J3(t). Do mesmo modo, |(D2 2 _{· ∇u))} _{|, |(D}2 2 _{· ∇b))} _{|, |(D}2 2 _{· ∇u))} _{| ≤ CMJ}

(33)

Com isso, pela Desigualdade de Young (1.17) e (2.22), obtemos 1 2 d dtJ 2 2(t) + γJ32(t)≤ CMJ2(t)J3(t)≤ CMγ−1J22(t) + 1 2γJ 2 3(t). Portanto, 1 2 d dtJ 2 2(t) + 1 2γJ 2 3(t)≤ CMγ−1J22(t). Pelo Lema de Gronwall, inferimos

J₂2(t)≤ exp{CMγ−1t}J₂2(0)≤ exp{CMγ−1T}∥(u0, b0)∥2_H2,

para todo 0≤ t < T . Portanto, J2(t) est´a limitada em [0, T ) por uma constante positiva

K2 := exp{CMγ−1T}∥(u0, b0)∥H2

que depende somente de M, T, µ, ν e∥(u0, b0)∥H2.

Agora, consideremos n ≥ 3 e Jn(t) limitada para 0 ≤ t < T . Veriﬁquemos que Jn+1(t) ´e

limitada neste mesmo intervalo. Vimos em (2.22) que 1 2 d dtJ 2 n+1(t) + γJn+22 (t)≤ Sn+1(t). (2.23)

Em ordem a estimar Sn+1(t) é suficiente limitarmos o termo (Dn+1u, Dn+1(b· ∇b))2, pois as demais parcelas em Sn+1(t) seguem de modo an´alogo. Por integra¸cão por partes e pela Regra de

Leibniz para derivadas, temos

(Dn+1u, Dn+1(b· ∇b))2 = −(Dn+2u, Dn(b· ∇b))2 = − 3 ∑ i=1 (Dn+2u, Dn(biDib))2 = − n ∑ j=0 3 ∑ i=1 ( n j ) (Dn+2u, DjbiDn−jDib)2.

Assim, ´e suﬁciente analisarmos o termo da forma (Dn+2u, DjbDn+1−jb)2, onde 0 ≤ j ≤ n. Exa-minemos trˆes casos:

(34)

Pela Desigualdade de H¨older, temos que |(Dn+2_{u, D}j_bDn+1−j_b) 2| ≤ ∥Djb∥∞∥Dn+2u∥2∥Dn+1−jb∥2 ≤ ∥Dj_b_∥ ∞Jn+2(t)Jn+1−j(t) ≤ Cj(Jn(t) + J0(t))Jn+2(t)Cn(Jn+1(t) + J0(t)) ≤ Kn(Jn+1(t) + J0(t))Jn+2(t),

onde na terceira passagem utilizamos os Lemas 4.3 e 1.22 e na última aplicamos a hipótese de indu¸c˜ao e o fato de que J0(t) é limitado (ver Lema 2.1).

2o Caso: Assuma que j = n− 1.

Aplicando a Desigualdade de H¨older, o Lema 4.3 e o fato que J2(t) ´e limitado, encontramos

|(Dn+2_{u, D}j_bDn+1−j_b)

2| = |(Dn+2u, Dn−1bD2b)2|

≤ ∥Dn−1b∥_∞∥Dn+2u∥2∥D2b∥2

≤ Cn(Jn+1(t) + J0(t))Jn+2(t)J2(t)

≤ Cn(Jn+1(t) + J0(t))Jn+2(t).

3o Caso: Considere, por ﬁm, que j = n.

Novamente pela Desigualdade de H¨older, obtemos

|(Dn+2_{u, D}j_bDn+1−j_b)

2| = |(Dn+2u, DnbDb)2|

≤ ∥Db∥∞∥Dn+2u∥2∥Dnb∥2

≤ Cn(J3(t) + J0(t))Jn+2(t)Jn(t)

≤ Kn(Jn+1(t) + J0(t))Jn+2(t),

onde na segunda desigualdade usamos o Lema 4.3, na desigualdade seguinte aplicamos o Lema 1.22 e a hip´otese de indu¸c˜ao.

Observando os trˆes casos estudados acima, conclu´ımos que

|(Dn+1_{u, D}n+1_(b_{· ∇b))}

(35)

Analogamente, prova-se que

(Dn+1u, Dn+1(u· ∇u))2, (Dn+1b, Dn+1(u· ∇b))2, (Dn+1b, Dn+1(b· ∇u))2 podem ser estimados, no mesmo intervalo de tempo, pelo mesmo limite dado em (2.24).

Deste modo, usando a Desigualdade de Young (1.17), (2.23) torna-se 1 2 d dtJ 2 n+1(t) + γJn+22 (t) ≤ Kn(Jn+1(t) + J0(t))Jn+2(t) ≤ Knγ−1(Jn+1(t) + J0(t))2+ 1 2γJ 2 n+2(t). Logo, d dtJ 2 n+1(t) + γJn+22 (t)≤ Knγ−1(Jn+12 (t) + J02(t)). Da´ı, pelo Lema 2.1, obtemos

d dtJ

2

n+1(t) + γJn+22 (t)≤ Knγ−1(Jn+12 (t) +∥(u0, b0)∥22). Por ﬁm, pelo Lema de Gronwall, chegamos a

J_n+12 (t) ≤ exp{Knγ−1t} [ J_n+12 (0) + Knγ−1 ∫ t 0 ∥(u0, b0)∥22dτ ] ≤ exp{Knγ−1t} [ ∥(u0, b0)∥2_Hn+1+ Knγ−1∥(u0, b0)∥22t ] ≤ Kn+1, para todo 0≤ t < T e Kn+1:=∥(u0, b0)∥2_Hn+1exp{Knγ−1T} [ 1 + Knγ−1T ] .

Portanto, Jn+1(t) est´a limitada por uma constante positiva que depende somente de n, M, T, µ, ν e

∥(u0, b0)∥Hn+1. Deste modo, por indu¸cão, o resultado é válido.

2.2 A Aplica¸

c˜

ao Ilimitada

∥(Du, Db)∥

q

,

3₂

< q

≤ 2

Nesta se¸c˜ao, vamos assumir que a solu¸c˜ao (u, b)(·, t) do sistema (4) em [0, T∗), com T∗ <∞,

apresenta explos˜ao em ordem a provar que

sup 0≤t<T∗

∥(Du, Db)(·, t)∥q=∞,

3

(36)

´

E importante destacar que se ∥(u, b)(·, t)∥_∞ é limitada em 0 ≤ t < T para algum T finito, então (u, b)(·, t) pode ser continuada a uma solu¸cão suave além de T . Isto desempenha um papel impor-tante na demonstra¸cão de (2.25). Mais especificamente, garantiremos que sup₀_≤t<T∥(u, b)(·, t)∥_∞ ´

e limitado por uma constante se (2.25) não for verdadeira e, por conseguinte, este resultado nos levará a uma contradi¸cão.

Come¸camos as justiﬁcativas desta discuss˜ao com o caso espec´ıﬁco q = 2.

Teorema 2.2. Seja (u, b)(·, t) solu¸c˜ao forte do sistema (4) deﬁnida no intervalo maximal [0, T∗).

Assuma que sup 0≤t<T∥(Du, Db)(·, t)∥2 <∞, (2.26) ent˜ao sup 0≤t<T ∥(u, b)(·, t)∥∞≤ K2,

onde K2´e uma constante positiva que depende somente de sup 0≤t<T ∥(Du, Db)(·, t)∥2, T, µ, ν,∥(bu0, bb0)∥1. Em particular, se T∗ <∞, ent˜ao sup 0≤t<T∗∥(Du, Db)(·, t)∥2 =∞.

Demonstra¸c˜ao. Aplicando a Transformada de Fourier `a primeira equa¸c˜ao do sistema (4), temos but(k, t)− µd∆u(k, t) + \u· ∇u(k, t) − \b· ∇b(k, t) + [∇(p +

1 2|b|

2_)]∧_{(k, t) = 0,} _(2.27) para todo k = (k1, k2, k3)∈ R3 e t∈ [0, T ). Consequentemente,

but+ \u· ∇u − \b· ∇b + [∇(p + 1 2|b| 2_)]∧ ₌_−µ|k|2_bu, desde que d ∆u = 3 ∑ i=1 d D_i2u =− 3 ∑ i=1 k_i2bu = −|k|2bu. (2.28) Agora, considerando a deﬁni¸c˜ao

Q(x, t) :=−u · ∇u(x, t) + b · ∇b(x, t) − ∇(p +1 2|b|

(37)

podemos reescrever (2.27) da seguinte forma: b

ut=−µ|k|2bu + bQ. (2.29)

Por outro lado,

\

u· ∇u − \b· ∇b = − bQ− [(∇(p +1 2|b|

2_)]∧ ´

e a decomposi¸c˜ao ortogonal do vetor \u· ∇u− \b· ∇b em um vetor ortogonal a k e um vetor paralelo a k, respectivamente. De fato, por (2.29), temos que

b

Q· k = but· k + µ|k|2(bu · k)

= (bu · k)t+ µ|k|2(bu · k)

= −i[( [∇ · u)t+ µ|k|2( [∇ · u)]

= 0,

pois∇ · u = 0. Logo, bQ ´e ortogonal a k. Al´em disso,

[∇(p +1 2|b| 2_)]∧ ₌ _([D1_{(p +}1 2|b| 2_)]∧_{, [D}_{2(p +} 1 2|b| 2_)]∧_{, [D}_{3(p +}1 2|b| 2_)]∧₎ = (ik1(p +1 2|b| 2₎∧_{, ik}_{2(p +}1 2|b| 2₎∧_{, ik}_{3(p +}1 2|b| 2₎∧₎ = [i(p + 1 2|b| 2₎∧_]k.

Assim sendo, [∇(p +1₂|b|2)]∧ ´e paralelo a k. Pelo Teorema de Pit´agoras, segue que,

| \u· ∇u − \b· ∇b|2 =| bQ|2+|[∇(p +1 2|b| 2_)]∧_|2_. Da´ı, | bQ|2 = | \u· ∇u − \b· ∇b|2− |[∇(p +1 2|b| 2_)]∧_|2 ≤ | \u· ∇u − \b· ∇b|2 ≤ (| \u· ∇u| + | \b· ∇b|)2. (2.30)

Aplicando o semigrupo do calor e−µ|k|2(t−s) `a igualdade (2.29) e integrando de 0 a t, obtemos ∫ t 0 e−µ|k|2(t−s)busds =−µ|k|2 ∫ t 0 e−µ|k|2(t−s)bu ds + ∫ t 0 e−µ|k|2(t−s)Q ds,b

(38)

onde 0≤ s ≤ t < T . Assim, integrando por partes, chegamos a bu(·, t) = e−µ|k|2_t bu0+ ∫ t 0 e−µ|k|2(t−s)Q ds.b Passando ao m´odulo, obtemos, atrav´es de (2.30), que

|bu| ≤ e−µ|k|2_t |bu0| + ∫ t 0 e−µ|k|2(t−s)| bQ| ds ≤ |bu0| + ∫ t 0 e−µ|k|2(t−s)(| \u· ∇u| + | \b· ∇b|) ds. Integrando em rela¸c˜ao a k∈ R3 a desigualdade acima, inferimos

∫ R3|bu(k, t)| dk ≤ ∫ R3|bu0 (k)| dk + ∫ t 0 ∫ R3 e−µ|k|2(t−s)(| \u· ∇u| + | \b· ∇b|) dkds = ∥bu0∥1+ ∫ t 0 ∫ R3 e−µ|k|2(t−s)(| \u· ∇u| + | \b· ∇b|) dkds. Sabemos que ∥u∥∞≤ 1 (2π)32 ∥bu∥1. Consequentemente, ∥u∥∞ ≤ 1 (2π)32 ∫ R3|bu| dk ≤ 1 (2π)32 ∥bu0∥1+ 1 (2π)32 ∫ t 0 ∫ R3 e−µ|k|2(t−s)(| \u· ∇u| + | \b· ∇b|) dkds. (2.31) Observemos que, pela Desigualdade de H¨older,

∫ R3 e−µ|k|2(t−s)| \b· ∇b| dk ≤ (∫ R3 e−2µ|k|2(t−s)dk )1 2 (∫ R3| \ b· ∇b|2dk )1 2 . (2.32) Sabemos que _∫ ∞ −∞e −r2 dr = π12.

(39)

Portanto, por utilizar o Teorema de Mudan¸ca de Vari´aveis para integrais, temos ∫ R3 e−2µ|k|2(t−s)dk = ∫ _∞ −∞ ∫ _∞ −∞ ∫ _∞ −∞e −2µ(k2 1+k22+k32)(t−s)dk₁dk₂dk₃ = ∫ _∞ −∞e −2µk2 1(t−s)_dk 1 ∫ _∞ −∞e −2µk2 2(t−s)_dk 2 ∫ _∞ −∞e −2µk2 3(t−s)_dk 3 = ( 1 √ 2µ(t− s) )3_∫ ∞ −∞e −u2 1_du₁ ∫ _∞ −∞e −u2 2_du₂ ∫ _∞ −∞e −u2 3_du₃ = ( π 2µ )3 2 (t− s)−32 . (2.33)

Al´em disso, usando a Identidade de Parseval, temos que ∫ R3| \ b· ∇b|2dk = ∫ R3|b · ∇b| 2_dx _{≤ C} ∫ R3 3 ∑ i=1 |biDib|2dx ≤ C∥b∥2 ∞ 3 ∑ i=1 ∫ R3|Di b|2dx = C∥b∥2_∞∥Db∥2₂ ≤ C∥(u, b)∥2 ∞∥(Du, Db)∥22 ≤ K12∥(u, b)∥2∞, onde K1 := sup 0≤t<T∥(Du, Db)(·, t)∥2 , (2.34)

ver (2.26). Aplicando essas estimativas em (2.32), conclu´ımos que, ∫ R3 e−µ|k|2(t−s)| \b· ∇b| dk ≤ K1Cµ(t− s)− 3 4∥(u, b)∥_∞. (2.35) Analogamente, conclui-se ∫ R3 e−µ|k|2(t−s)| \u· ∇u| dk ≤ K1Cµ(t− s)− 3 4∥(u, b)∥_∞, (2.36)

ver (2.26). Assim, por (2.31), chegamos a

∥u∥∞ ≤ 1 (2π)32 ∥bu0∥1+ K1Cµ ∫ t 0 (t− s)−34∥(u, b)∥_∞ds ≤ 1 (2π)32 ∥(bu0, bb0)∥1+ K1Cµ ∫ t 0 (t− s)−34∥(u, b)∥_∞ds (2.37)

(40)

de Fourier nesta mesma equa¸c˜ao, obtemos

bbt(k, t) = νd∆b(k, t)− \u· ∇b(k, t) + \b· ∇u(k, t), (2.38)

para todo k∈ R3, 0≤ t < T. Similarmente a (2.28), encontramos

bbt=−ν|k|2bb − \u· ∇b + \b· ∇u. (2.39)

Aplicando o semigrupo do calor e−ν|k|2(t−s) a (2.38) e, em seguida, integrando de 0 a t, obtemos ∫ t 0 e−ν|k|2(t−s)bbsds =−ν|k|2 ∫ t 0 e−ν|k|2(t−s)bb ds + ∫ t 0 e−ν|k|2(t−s)( \−u · ∇b + \b· ∇u) ds, onde 0≤ s ≤ t < T. Deste modo,

bb(·, t) = e−ν|k|2_tbb

0+ ∫ t

0

e−ν|k|2(t−s)( \−u · ∇b + \b· ∇u) ds. Passando ao m´odulo, infere-se

|bb| ≤ e−ν|k|2_t |bb0| + ∫ t 0 e−ν|k|2(t−s)| \−u · ∇b + \b· ∇u| ds ≤ |bb0| + ∫ t 0 e−ν|k|2(t−s)(| \u· ∇b| + | \b· ∇u|) ds. Integrando em rela¸c˜ao a k∈ R3_{, obtemos}

∫ R3|bb| dk ≤ ∫ R3|bb0| dk + ∫ t 0 ∫ R3 e−ν|k|2(t−s)(| \u· ∇b| + | \b· ∇u|) dkds = ∥bb0∥1+ ∫ t 0 ∫ R3 e−ν|k|2(t−s)(| \u· ∇b| + | \b· ∇u|) dkds. Usando a desigualdade ∥b∥∞≤ 1 (2π)32 ∥bb∥1, conclu´ımos que ∥b∥∞ ≤ 1 (2π)32 ∫ R3|bb| dk ≤ 1 (2π)32 ∥bb0∥1+ 1 (2π)32 ∫ t 0 ∫ R3 e−ν|k|2(t−s)(| \u· ∇b| + | \b· ∇u|) dkds. (2.40)

(41)

Pela Desigualdade de H¨older e argumentos an´alogos aos encontradados em (2.33) e (2.34), temos ∫ R3 e−ν|k|2(t−s)| \u· ∇b| dk ≤ (∫ R3 e−2ν|k|2(t−s)dk )1 2 (∫ R3| \ u· ∇b|2dk )1 2 ≤ Cν(t− s)− 3 4∥u∥_∞∥Db∥₂ ≤ Cν(t− s)− 3 4∥(u, b)∥_∞∥(Du, Db)∥₂ ≤ K1Cν(t− s)− 3 4∥(u, b)∥_∞, Analogamente, ∫ R3 e−ν|k|2(t−s)| \b· ∇u| dk ≤ Cν(t− s)− 3 4∥b∥_∞∥Du∥₂ ≤ K1Cν(t− s)− 3 4∥(u, b)∥_∞.

Aplicando estas estimativas em (2.40), temos que

∥b∥∞ ≤ 1 (2π)32 ∥bb0∥1+ K1Cν ∫ t 0 (t− s)−34∥(u, b)∥_∞ds ≤ 1 (2π)32 ∥(bu0, bb0)∥1+ K1Cν ∫ t 0 (t− s)−34∥(u, b)∥_∞ds. (2.41)

Deste modo, por (2.37) e (2.41), chegamos a

∥(u, b)∥∞≤ 1 (2π)32 ∥(bu0, bb0)∥1+ K1Cµ,ν ∫ t 0 (t− s)−34∥(u, b)∥_∞ds.

Por ﬁm, pelo Lema do tipo Gronwall 4.1, conclu´ımos que

∥(u, b)(·, t)∥∞≤ 1 (2π)32 ∥(bu0, bb0)∥1exp{K1Cµ,νT}, ∀ 0 ≤ t < T. Portanto, sup 0≤t<T∥(u, b)(·, t)∥∞≤ K2 , ∀ 0 ≤ t < T,

onde K2 depende somente de K1, T, µ, ν,∥(bu0, bb0)∥1.

Em particular, se T∗ <∞ e K1 <∞ (ver (2.26)) ent˜ao, pela desigualdade acima a solu¸c˜ao de (4) pode ser continuada al´em de T∗. Isto contradiz a maximalidade de T∗.

´