P 3. (a) dy dx. y x (b) Fig Linha elástica duma viga à flexão

CAPÍTULO VI

DEFLEXÃO DE VIGAS ISOSTÁTICAS

6.1. RESUMO DA TEORIA

6.1.1. Introdução

Na nomenclatura habitualmente utilizada no estudo das vigas à flexão,

chama-se linha elástica à deformada do eixo da viga. Assim,

considere-se a viga ilustrada na Fig.6.1(a), solicitada por um conjunto de forças

concentradas (P

i

) e forças distribuídas q(x). Após a deformação, o eixo

da viga, que era inicialmente uma linha recta, assume a forma

representada na Fig.6.1(b).

Para um ponto qualquer ao longo do eixo, o deslocamento vertical ou

deflexão (

δ

) e a rotação (

θ

) da secção recta da viga são numericamente

iguais, respectivamente, à ordenada (y) da linha elástica e ao declive

(dy/dx) da tangente à curva no ponto considerado. Há vários métodos

para a análise do problema, dos quais serão apresentados aqui o método

da integração da elástica, o método da viga conjugada e um terceiro

método que recorre à aplicação dos teoremas energéticos.

Fig.6.1 - Linha elástica duma viga à flexão

P1 P2 P3 y y dx dy = θ θ x (a) (b) ) (x y=δ ) (x q

6.1.2. Método da Integração da Elástica

No caso duma flexão plana, a relação entre a curvatura (1/R), o momento

flector (M), o módulo de Young do material (E) e o momento de inércia

(I

z

) da secção recta em relação ao eixo neutro é dada pela equação

seguinte:

z

I

E

M

R

1

₌

_(6.1)

Por outro lado, de acordo com as fórmulas gerais da geometria analítica,

e para pequenas inclinações da tangente à deformada (dy/dx), pode

escrever-se, com uma aproximação razoável:

2 2

1

dx

y

d

R

=

(6.2)

Das equações (6.85) e (6.87) conclui-se então que:

z

EI

M

dx

y

d

2 2

=

(6.3)

Esta é a chamada "equação da elástica" que, fazendo duas integrações

sucessivas, conduz à rotação em cada secção (

θ

= dy/dx), e à deformada

do eixo da viga (y = δ(x)).

Convém aqui recordar as convenções de sinal a serem utilizadas na

manipulação das equações precedentes:

(i)-os eixos x e y são orientados positivamente para a direita e para cima,

respectivamente;

(ii)-a deflexão y (ou δ) é positiva para cima;

(iii)-a inclinação ou rotação θ = dy/dx é medida positivamente no sentido

directo (contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio);

(iv)-a curvatura (1/R) é positiva quando a viga é deformada de modo a

ficar com a concavidade voltada para cima; e

(v)-o momento flector M é positivo quando produz compressão na parte

superior da viga.

Uma primeira integração da equação da elástica (6.3), permite obter:

1

)

(

x

dx

C

M

dx

dy

EI

=

∫

+

(6.4)

onde C

1

é uma constante de integração. Designando por

θ(x) o ângulo,

medido em radianos, que a tangente à linha elástica faz com o eixo da

viga, e tendo em conta que, por hipótese, esse ângulo é muito pequeno,

pode escrever-se:

)

(

)

g(

x

t

dx

dy

_θ

_θ

≅

=

de tal forma que a equação (6.4) pode assumir a forma alternativa

seguinte:

1

)

(

1

)

(

M

x

dx

C

EI

x

=

∫

+

θ

Por outro lado, uma segunda integração da equação (6.4) permite obter a

deformada do eixo da viga:

2 1

)

(

1

)

(

dx

M

x

dx

C

x

C

EI

x

y

=

∫

∫

+

+

onde C

2

é uma segunda constante de integração. As duas constantes de

integração C

1

e C

2

deverão ser determinadas a partir das condições

fronteira do problema, em particular das condições impostas nos apoios

da estrutura.

Em resumo, a metodologia geral para a resolução do problema da

deflexão de uma viga pelo método clássico de integração da elástica

consiste na implementação duma sequência apropriada, que se traduz

nos seguintes passos:

1)-Começar por escrever a equação (ou as equações…) para os

momentos flectores ao longo do eixo da viga (diagrama dos momentos

flectores). Em alguns casos, uma expressão de momento flector simples

é válida para todo o comprimento da viga. Noutros casos, o perfil dos

momentos flectores sofre modificações abruptas em um ou mais pontos

ao longo do eixo da viga, sendo então necessário escrever expressões

separadas para cada uma das regiões da viga entre os pontos em que as

mudanças ocorrem.

2)-Para cada uma dessas regiões substitui-se a expressão para o

momento M(x) na equação diferencial (6.3) e integra-se uma vez para

obter a inclinação

θ

= y´=dy/dx. Cada uma destas integrações produz

uma constante de integração.

3)-Separadamente em cada uma das regiões, integra-se a respectiva

equação da inclinação, para obter a deflexão (

δ

= y) correspondente.

Novamente aqui, cada uma destas integrações produz uma nova

constante de integração.

4)-Há assim duas constantes de integração para cada região da viga a que

correspondam expressões diferentes para o momento flector. Estas

constantes de integração são avaliadas a partir de condições conhecidas

relativas às inclinações e às deflexões:

(i)-

Condições fronteira nos apoios: Cada uma das condições de

fronteira fornece uma equação algébrica, que pode ser usada

para avaliar as constantes de integração.

(ii)- Condições de continuidade: Em cada secção de transição entre

as diversas regiões, há que respeitar as condições de

continuidade, quer em termos de deflexão (sempre), quer em

termos de rotação (com excepção das rótulas, em que pode haver

descontinuidade das rotações).

(iii)- Condições de simetria: Em determinadas situações particulares,

eventuais condições de simetria podem ser consideradas, em

alternativa a uma ou outra das condições (i) e (ii). É o caso, por

exemplo, duma viga simplesmente apoiada que suporta uma

carga uniforme ao longo de todo o seu comprimento. Neste caso,

sabe-se antecipadamente que a inclinação da elástica é nula no

ponto médio.

6.1.3. Método da Viga Conjugada

No parágrafo §5.1.5 ficou estabelecido que entre o esforço transverso

(V) e o momento flector (M) há a seguinte relação diferencial:

0

=

+

V

dx

Existe uma relação semelhante entre o diagrama de cargas q(x) e o

esforço transverso (V). Com efeito, considere-se um elemento de viga de

comprimento dx e estabeleça-se a condição de equilíbrio segundo a

direcção do eixo dos yy. De acordo com o esquema da Fig.6.2, tem-se:

0

=

+

−

+

dV

V

q

dx

V

(6.5)

Donde:

dx

q

dV

=

−

(6.6)

ou seja:

0

)

(

=

+

q

x

dx

dV

(6.7)

Eliminando V entre as equações

(6.5) e (6.7), obtém-se:

0

2 2

=

−

q

dx

M

d

(6.8)

Considere-se agora uma viga sujeita a forças concentradas (P

i

) e uma

carga distribuída q(x), Fig.6.3(a). Seja M(x) o respectivo diagrama de

momentos flectores, conforme representado na Fig.6.3(b).

Imagine-se ainda uma segunda viga, Fig.6.3(c), de igual comprimento e

sujeita a um diagrama de carga q

c

(x)=M(x)/EI

z

. Esta segunda viga é

designada por viga conjugada (ou fictícia) e todas as grandezas que lhe

dizem respeito serão assinaladas com o índice "c". O momento flector

M

c

da viga conjugada e o esforço transverso satisfazem as seguintes

equações:

)

(

2 2

x

q

dx

M

d

c c

₌

_(6.9)

c c

_V

x

M

₌

₋

∂

∂

(6.10)

Fig.6.2-Viga com carregamento

contínuo q(x) y x V V+dV dx q(x)

Comparando (6.9) com a equação da elástica (6.3), e tendo o cuidado de

ajustar as condições fronteira, inicialmente em y, aos momentos flectores

M, pode concluir-se que:

(a)-A flecha y de uma secção arbitrária da viga real é igual ao momento

flector M

c

para a mesma secção da viga conjugada (y = M

c

);

(b)-A rotação θ = dy/dx de uma secção da viga real é igual ao simétrico

do esforço cortante V

c

para a mesma secção da viga conjugada (θ =

dy/dx =

−

V

c

).

A correspondência entre as constantes de integração das equações (6.3) e

(6.9) consegue-se impondo as seguintes condições nos apoios (e secções

intermédias) da viga conjugada:

(i)-Se no ponto considerado a flecha y da viga real é nula, então o

momento flector da viga conjugada deve ser nulo;

(ii)-Se o ângulo de rotação θ da viga real é nulo, então o esforço

transverso V

c

da viga conjugada deve ser nulo;

(iii)-Se y≠0 e θ≠0 na viga real, então também M

c

≠0 e V

c

≠0 na viga

conjugada.

Na Tabela 6.1 é apresentada uma compilação das condições fronteira

possíveis para a viga real e as correspondentes condições fronteira para a

viga conjugada.

(a)

(b)

(c)

Fig.6.3 - Carregamento da viga real e da viga conjugada

P1 P2 P3 x x x M M(x) qc(x) = M(x)/EIz (Viga Real) (Viga Conjugada) q(x)

Tabela 6.1 - Correspondência das condições fronteira

VIGA REAL VIGA CONJUGADA

Apoio Simples y = 0  θ ≠ 0 Mc = 0 Vc≠ 0 Apoio Simples Encastramento y = 0 θ = 0 Mc = 0 Vc= 0 Extremo Livre Extremo Livre y ≠ 0 θ ≠ 0 Mc≠ 0 Vc≠ 0 Encastramento Apoio Intermédio y = 0 θ ≠ 0 Mc = 0 Vc≠ 0 Rótula Intermédia Rótula Intermédia y ≠ 0 θ ≠ 0 Mc≠ 0 Vc≠ 0 Apoio Intermédio

Em resumo, para a determinação da flecha (y) e da rotação (θ=dy/dx)

duma secção qualquer pelo método da viga conjugada deve proceder-se

do seguinte modo:

a)-Representar o diagrama de carga da viga real.

b)-Construir o diagrama de momentos M(x)/EI

z

.

Mc=0 Vc =0 Mc≠0 Vc ≠0 Mc≠0 Vc ≠0 Mc=0 Vc≠0 y = 0 θ =0 y ≠0 θ ≠0 Mc=0 Vc≠0 Mc≠ 0 Vc ≠ 0 y = 0 θ ≠0 y = 0 θ≠0 y = 0 θ ≠0 y = 0 θ ≠0 y = 0 θ ≠0 y ≠0 θ≠0 y = 0 θ ≠0 y ≠0 θ≠0 Mc=0 Vc≠0 Mc=0 Vc≠0 Mc=0 Vc≠0 Mc=0 Vc≠0

c)-Considerar a viga conjugada com o mesmo comprimento da viga real

e tomar os momentos M(x)/EI

z

como sendo a carga conjugada, q

c

.

d)-Representar os apoios da viga conjugada, de acordo com o esquema

apropriado da tabela 6.1, e calcular para a viga conjugada:

e)-As reacções nos apoios.

f)-O esforço cortante V

c

para a secção considerada.

g)-O momento flector M

c

na mesma secção.

h)-Por último, a flecha y e a rotação θ para uma secção qualquer da viga

real serão dados por:

y = M

c

e θ = −

V

c

(6.11)

O método da viga conjugada permite assim o cálculo de deslocamentos

sem necessidade de determinar as constantes de integração requeridas

pelo método da integração da equação diferencial da elástica. O método

é aplicável a vigas de apoios múltiplos, como se indica na Fig.6.4.

6.1.4. Aplicação dos Teoremas Energéticos

De acordo com o que ficou estabelecido no parágrafo §3.1.9, para o caso

geral, a energia elástica de deformação num corpo elástico é dada pela

expressão seguinte:

(

)

∫∫∫

+

+

+

+

+

=

V xz xz yz yz xy xy zz zz yy yy xx xx

dV

U

2

1

_σ

_ε

_σ

_ε

_σ

_ε

_τ

_γ

_τ

_γ

_τ

_γ

Fig.6.4 - Reciprocidade das condições fronteira

Viga real

No caso particular duma viga de comprimento L, em flexão não

uniforme, isto é, em que há também a considerar o esforço transverso, a

energia elástica de deformação é dada pela expressão seguinte:

dA

bI

VS

G

I

My

E

dx

dA

G

E

dx

U

L A L A xy xx

∫ ∫∫

∫ ∫∫

_



























+













=

















+

=

0 2 2 0 2 2

₁

₁

2

1

2

1

σ

τ

ou seja:

∫∫

∫

∫

























+

=

A L L

dA

b

S

dx

I

V

G

dx

EI

M

U

2 0 2 0 2

2

1

2

(6.12)

A expressão anterior para a energia de deformação contém duas parcelas

distintas, de tal modo que se pode escrever:

τ σ

U

U

U

=

+

onde

=

∫

L

dx

EI

M

U

0 2

2

σ

representa a contribuição do momento flector, e

∫∫

∫

























=

A L

dA

b

S

dx

I

V

G

U

2 0 2

2

1

τ

representa a parcela associada ao esforço

transverso. Contudo, na maior parte das aplicações práticas (ver a

resolução do problema 6.2.1, mais à frente…), a ordem de grandeza da

parcela U

τ

é muito menor do que a da parcela U

σ

, pelo que é habitual

usar-se a seguinte expressão simplificada para a energia elástica de

deformação numa viga em flexão:

∫

=

L

dx

EI

M

U

0 2

2

(6.13)

A aplicação do Teorema de Castigliano é muito conveniente na

determinação de deslocamentos em corpos elásticos sujeitos a esforços

axiais, torção, flexão ou qualquer combinação destes. Este teorema

estabelece que a derivada parcial da expressão da energia elástica total

de deformação em relação a uma qualquer solicitação externa

generalizada (força ou momento…) aplicada sobre um corpo elástico é

numericamente igual ao deslocamento generalizado (deslocamento linear

ou rotação) do ponto de aplicação da força ou secção onde é aplicado o

momento.

De acordo com o Teorema de Castigliano, o deslocamento no ponto de

aplicação da carga generalizada P

n

é dado pela expressão seguinte:

n n n

P

M

EI

M

P

U

∂

∂

=

∂

∂

=

δ

(6.14)

onde o deslocamento associado à carga generalizada P

n

é um

deslocamento linear, se se trata de uma força ordinária, ou é uma

rotação, se se trata de um momento de flexão ou de torção.

No caso particular de haver apenas uma única força (ou momento) a

actuar sobre a viga, pode aplicar-se o Teorema de Clapeyron, como foi

visto no parágrafo §3.1.12 do capítulo III, pode traduzir-se por uma das

equação seguintes:

P

U

2

=

δ

(6.13)

ou

M

U

2

=

θ

(6.14)

conforme se trate de uma carga aplicada sob a forma duma força

ordinária ou dum momento, respectivamente

Quando se quiser avaliar um deslocamento generalizado num ponto

particular (deslocamento linear ou rotação), onde não haja qualquer força

ou momento aí aplicados, então é necessário introduzir uma força ou um

momento fictícios, aplicados no ponto em questão e, tratando essa força

ou momento como uma carga real, aplica-se o Teorema de Castigliano.

No final do problema, na expressão que for obtida para o deslocamento

(ou rotação), essa força ou momento fictícios são igualados a zero.

6.2. PROBLEMAS RESOLVIDOS

PROBLEMA – 6.2.1.

Considere uma viga (E, I) de comprimento l, encastrada numa extremidade e sujeita a uma carga vertical P na extremidade livre, conforme ilustrado na figura ao lado. Calcule a flecha δB e a rotação θB na extremidade livre da viga:

a)- Usando o método de integração da elástica.

b)- Usando o método da viga conjugada. c)- Usando o teorema de Castigliano.

RESOLUÇÃO:

A deformação da viga processa-se de acordo com o esquema apresentado na figura a seguir:

a)-Método da Integração da Elástica

O diagrama dos momentos flectores é linear ao longo de todo o comprimento da viga, conforme o esboço que se apresenta na figura a seguir:

Para uma posição genérica x ao longo do eixo da viga, o momento flector é definido pela expressão seguinte:

Px

x

M

(

)

=

−

Donde, substituindo na equação diferencial da elástica:

B A Pl MA=− M x Px M =− B A P _l δ θ A B l P

EI M dx y d ₌ 2 2 obtém-se: x EI P dx y d − = 2 2

E agora, efectuando duas integrações sucessivas, resulta: 1 2 2EI x C P dx dy_{=− + (a)} 2 1 3 6EI x Cx C P y=− + + (b)

onde C1 e C2 são as duas constantes de integração, que podem ser calculadas a

partir das condições fronteira na secção de encastramento A, isto é: para x = l, tem-se: y = 0 e =0

dx dy

ou seja, substituindo directamente em (a):

EI Pl C 2 2 1= Depois, por substituição em (b), obtém-se:

0 2 6 2 3 3 = + + − C EI Pl EI Pl donde: EI Pl C 3 3 2=−

Substituindo agora C1 e C2 em (a) e (b), obtém-se:

(

)

(

3 2 3

)

2 2 2 3 6 2 l xl x EI P y l x EI P dx dy + − − = − − = = θ

Na extremidade livre B (x = 0) tem-se:

EI Pl y EI Pl 3 2 3 B B 2 B − = = = δ θ

b)-Método da Viga Conjugada

Considera-se a solicitação da viga conjugada por uma distribuição de carga proporcional ao momento flector na viga real:

EI x M x q_c( )= ( ) isto é: EI Px x q_c( )=− e, alterando os apoios em conformidade:

onde a força Qc é a resultante da distribuição contínua qc(x) indicada.

O momento flector conjugado Mc em B é:

( )

EI Pl EI Pl l M_c 3 2 3 2 2 3 B =− =− donde:

( )

EI Pl M_c 3 3 B B = =− δ

e o esforço transverso conjugado Vc em B é:

( )

EI Pl Q V_{c c} 2 2 B= =− donde:

( )

EI Pl V_c B 2 2 B= − = θ

c)-Aplicação do Teorema de Castigliano

A expressão simplificada para a energia total de deformação na viga, considerando apenas os efeitos do momento flector, é a seguinte:

EI Px x q_c( )=− EI Pl EI Pl Q_c 2 2 1 − = A B /3 2l l/3

∫

∫

= − = l l dx Px EI dx EI M U 0 2 0 2 ) ( 2 1 2 donde: EI l P U 6 3 2 =

De acordo com o Teorema de Castigliano, o deslocamento vertical do ponto de aplicação da força P (ponto A), medido positivamente no sentido da força, é dado pela derivada de U em ordem a P:

EI Pl P U 3 3 = ∂ ∂ = δ

Quando avaliado no referencial (x, y), o deslocamento vertical do ponto B tem o valor simétrico de δ, isto é:

EI Pl 3 3 B=−δ=− δ

Para calcular a rotação da secção B, imagina-se um momento fictício M _o´

aplicado no sentido duma rotação contrária ao movimento dos ponteiros do relógio (ver figura…).

A expressão do momento flector para este tipo de carregamento fictício é constante ao longo de todo o comprimento da barra, isto é:

´ o ´

o(x) M

M =−

A distribuição de momentos flectores M´, correspondente à sobreposição dos dois carregamentos (real e fictício…), é dada pela soma dos momentos associados, isto é: ´ o ´ o( ) ) ( ) ´(x M x M x Px M M = − =− −

Donde a energia elástica de deformação associada:

(

)

∫

∫

= + + = l l dx M x PM x P EI dx EI M U 0 ´2 o ´ o 2 2 0 2 ´ o 2 2 1 2 ´ ou seja: ´ o M ´ o ´ o(x) M M =− x ´ o M B A

        + + = P l PM l M l EI U ´_o 2 ´2_o 3 2 ´ o 3 2 1

Derivando, agora, em ordem à carga fictícia ´ o M , obtém-se: EI l M Pl M U 2 2 ´_o 2 ´ o ´ o ₌ + ∂ ∂

Finalmente, o valor da rotação em B obtém-se fazendo M´_o=0, isto é:

EI Pl B 2 2 = θ Nota Importante:

Uma análise mais rigorosa do problema deveria incluir a parcela da energia de deformação associada às tensões de corte. Para o caso duma secção rectangular (bxh), por exemplo, ter-se-ia:

∫ ∫

+ −                           − −       − = l h h bdy bI y h h y h Pb dx G U 0 2 / 2 / 2 2 / 2 2 2 2 1 τ ou seja:

(

)

Gbh L P dy y y h h dx GI b P U l h h 10 3 16 8 128 2 0 2 / 2 / 4 2 2 4 2 2 = + − =

_{∫ ∫}

+ − τ

Comparando com a parcela correspondente à energia associada ao momento flector: 3 3 2 3 2 2 6 Ebh l P EI l P U_σ = = obtém-se: 2 2 40 ) 1 ( 3 20 3 _      + =             = l h l h G E U U ν σ τ

No caso duma viga esbelta (tipicamente, h/l < 1/10), e no caso limite de v = 0.5, obtém-se: 0011 , 0 < σ τ U U

isto é, a parcela da energia associada à deformação de corte é inferior a 0,1% da parcela correspondente ao momento flector.

PROBLEMA – 6.2.2.

Reconsidere o problema anterior, agora supondo que a viga está uniformemente carregada ao longo de todo o comprimento, com uma distribuição de carga intensidade qo, no sentido de cima para baixo (em que qo é uma quantidade

positiva):

RESOLUÇÃO:

A deformação da viga processa-se de acordo com o esquema esboçado na figura a seguir:

a) - Método de Integração da Elástica

Neste caso, o diagrama dos momentos flectores é o seguinte:

Para uma posição genérica x, ao longo do eixo da viga, a expressão do momento flector é: 2 ) ( 2 ox q x M =−

Substituindo na equação geral da elástica:

2 2 ol q M_A=− B A x M 2 2 ox q M =− B A o ) (x q q =− l δ θ A B l o ) (x q q =−

EI M dx y d ₌ 2 2 obtém-se: EI x q dx y d 2 2 o 2 2 − =

Donde, integrando sucessivamente:

1 3 o 6EI x C q dx dy + − = (a) 2 1 4 o 24EI x Cx C q y=− + + (b)

Impondo agora as condições fronteira correspondentes ao encastramento em A, isto é:

Para x = l, y = 0 e =0

dx dy

Obtém-se, directamente por substituição em (a):

EI l q C 6 3 o 1= Depois, por substituição em (b):

2 4 o 4 o 6 24 0 C EI l q EI l q + + − = Donde: EI l q C 8 4 o 2=− Então, de (a) e (b) resulta, finalmente:

(

3 3

)

o 6EI x l q dx dy _{=− −} = θ

(

4 3 4

)

o _{4 3} 24EI x l x l q y=− − +

Donde se obtém, para a secção B:

EI l q y EI l q 8 6 4 o B B 3 o B − = = = δ θ

b)- Método da Viga Conjugada

Considera-se a solicitação da viga conjugada por uma distribuição de carga proporcional ao momento flector na viga real:

A força resultante Qc equivalente à distribuição contínua qc é numéricamente

igual à área Ω do diagrama acima, isto é:

EI l q dx EI x q dx q l l c 6 2 3 o 0 2 o 0 − = − = = Ω

_∫

_∫

Donde: EI l q Q_c 6 3 o − =

A posição xG do centro de gravidade da área Ω obtém-se a partir da equação:

∫

= Ω l c G xq dx x 0 Donde: 4 3 2 0 2 o l xdx EI x q x l G _Ω = − =

∫

A rotação θB e o deslocamento δB podem calcular-se agora directamente:

( )

( )

EI l q EI l q l M EI l q Q V c c c B 8 6 4 3 6 4 o 3 o B B 3 o B − = − = = = − = − = δ θ EI x q x q_c 2 ) ( =− o 2 EI l q 2 2 o EI l q Q_c 6 3 o − = x G x A B

c)-Aplicação do Teorema de Castigliano

Para obter o deslocamento vertical no ponto B, segue-se a metodologia habitual: Ao carregamento real da viga, adiciona-se uma carga virtual P aplicada no '₁ ponto P (no sentido de baixo para cima), calcula-se a energia elástica associada a esse carregamento combinado, deriva-se a expressão resultante em relação a

1

'

P e, finalmente, calcula-se o valor dessa expressão para P'₁=0.

x P x M'₁( )= '₁

Quando se sobrepõe este carregamento fictício

P

'

₁ ao carregamento real, a distribuição global dos momentos flectores é dada pela soma das distribuições associadas a cada um desses carregamentos, isto é:

x P x q x M x M x M ₁ 2 o 1 ' 2 ) ( ' ) ( ) ´( = + =− +

Donde a energia elástica de deformação associada:

∫

∫

       + − = = l l dx x P x P q x q EI dx EI M U 0 2 2 1 3 1 o 4 2 o 0 2 1 ' ' 4 2 1 2 ´ ' ou seja:         + − = 3 ' 4 ' 20 2 1 ' 3 2 1 4 1 o 5 2 o 1 l P l P q l q EI U

Agora, derivando em ordem à carga fictícia P , obtém-se: '₁

        + − = ∂ ∂ 3 ' 2 4 2 1 ' ' _o 4 ₁ 3 1 1 q l P l EI P U

Finalmente, o valor do deslocamento em A obtém-se fazendo

P

'

₁

=

0

:

EI l q 8 4 o B=− δ ´ 1 M x P x M1´( )= 1´ x ´ 1 P B A

Para calcular a rotação da secção B, tal como no problema anterior, imagina-se um momento fictício

M

'

₂ aplicado nessa secção, no sentido duma rotação positiva, isto é contrária à do movimento dos ponteiros do relógio (ver figura). A expressão do momento flector para este tipo de carregamento fictício é constante ao longo de todo o comprimento a barra, isto é:

2 2( ) '

' x M

M =−

A distribuição de momentos flectores, M´, correspondente à sobreposição dos

dois carregamentos (real e fictício) é dada pela soma dos momentos associados, isto é: 2 2 o 2 ' 2 ) ( ' ) ( ) ´(x M x M x q x M M = − =− −

Donde a energia elástica de deformação associada:

∫

∫

       + + = = l l dx M x M q x q EI dx EI M U 0 2 2 2 2 o 4 2 o 0 2 2 ' ' 4 2 1 2 ' ' ou seja:         + + = q l q M l M l EI U 2₂ 3 2 o 5 2 o 2 ' 3 ' 20 2 1 '

Agora, derivando em ordem à carga fictícia M , obtém-se: '₂

        + = ∂ ∂ l M l q EI M U 2 3 o 2 2 _{2 '} 3 2 1 ' '

Finalmente, o valor da rotação em B obtém-se fazendo M'₂=0, isto é:

EI l q 6 3 o B= θ ´ 2 M ´ 2 ´ 2(x) M M =− x ´ 2 M B A

PROBLEMA – 6.2.3.

Considere uma viga (E, I) de comprimento l, simplesmente apoiada nas extremidades e sujeita a uma carga qo uniforme ao longo de todo o seu

comprimento, no sentido de cima para baixo (em que qo é uma quantidade

positiva)

Calcule a flecha δ a meio vão (C) e as rotações das secções extremas (A) e (B):

a)- Utilizando o método de integração da elástica.

b)- Utilizando o método da viga conjugada. c)- Recorrendo à aplicação do Teorema de Castigliano.

RESOLUÇÃO:

A deformação da viga processa-se de acordo com o esquema esboçado na figura a seguir:

a)- Método de Integração da Elástica

Calcule-se, em primeiro lugar, as reacções nos apoios A e B. É óbvio que são iguais a metade da força resultante equivalente à distribuição contínua uniforme

qo, isto é:

Para uma secção genérica à distância x da extremidade A, o correspondente momento flector é: 2 2 ) ( 2 o olx q x q x M = − o ) (x q q =− A _C B l C δ A θ θB x x 2 o B l q R = 2 o A l q R = l o ) (x q q =− A B A B o ) (x q q =− l

Donde o diagrama dos momentos flectores:

Substituindo a expressão para M(x) na equação geral da elástica:

EI x M dx y d ( ) 2 2 = obtém-se, neste caso:

EI x q EI lx q dx y d 2 2 2 o o 2 2 − = ou seja:

(

x lx

)

EI q dx y d − − = o 2 2 2 2 Donde, por integrações sucessivas:

1 2 3 o 2 3 2 C lx x EI q dx dy +         − − = = θ (a) 2 1 3 4 o 6 12 2 C x C lx x EI q y _+ +       − − = (b)

onde C1 e C2 são duas constantes de integração, que podem ser calculadas a

partir das condições fronteira em A e B, isto é: (i) - Para x = 0 (secção A) é y = 0 donde:

C2 = 0

e

(ii) - Para x = l (secção B) é também y = 0 donde: EI l q C 24 3 o 1=− 8 2 o C l q M M_máx= = A C B M x 2 2 ) ( 2 o olx q x q x M = −

Substituindo agora em (a) e (b) obtém-se:

(

3 2 3

)

o _{4 6} 24EI x lx l q dx dy + − − = = θ

(

x lx l x

)

EI q y o 4 2 3 3 24 − + − = Donde: EI l q 24 3 o A=− θ ; EI l q 24 3 o B=+ θ

( )

EI l q y _{x l} 384 5 _o 4 2 / C = = =− δ

b)- Método da Viga Conjugada

Considera-se a solicitação da viga conjugada por uma distribuição de carga proporcional ao momento flector na viga real:

EI x M x

q_c( )= ( )

Nestas condições, tem-se a situação representada na figura a seguir (reparar que as extremidades da viga conjugada mantêm-se simplesmente apoiadas...):

A resultante Qc equivalente à distribuição contínua qc(x) é igual à área do

diagrama supra, isto é:

EI l q l Q_c 8 3 2 _o 2 = Ω =

(Nota: A área duma parábola é igual a 2/3 da área do rectângulo circunscrito!...) Donde, as reacções em A e B na viga conjugada:

EI l q Q_c 12 3 o =

( )

EI l q Rc 24 3 o A =−

( )

EI l q Rc 24 3 o B=−

(

)

( )

EI l q q lx x EI q qc c _máx 8 ; 2 2 o 2 o _{− =−} − = A B C x o x G

( ) ( )

EI l q Q R R_{c c} c 24 2 3 o B A= =− =−

Para obter o valor da flecha a meio vão (x = l/2), há apenas que calcular o momento factor conjugado nessa secção. Para tal terá de calcular-se a posição do centro de gravidade G da metade esquerda da área parabólica na figura anterior: 16 5 2 / 2 / 0 o l dx xq x l c = Ω =

∫

Donde:

( )

      − + − = = o 3 o 3 o C C 2 24 2 24 x l EI l q l EI l q M_c δ isto é:

( )

EI l q y _{x l} 384 5 _o 4 2 / C= = =− δ

Quanto às rotações em A e B, tem-se:

( )

(

)

( )

(

)

EI l q R V EI l q R V c c c c 24 24 3 o B B B 3 o A A A + = + − = − = − = − − = − = θ θ

c) - Aplicação do Teorema de Castigliano

Para obter o deslocamento vertical no ponto C, segue-se a metodologia habitual: Ao carregamento real da viga, adiciona-se uma carga virtual P aplicada no '₁ ponto C (no sentido ascendente), calcula-se a energia elástica associada a esse carregamento combinado (real mais fictício), deriva-se a expressão resultante em relação a P e, finalmente, calcula-se o valor dessa expressão para '₁ P'₁=0.

Considere-se, então o carregamento virtual P na secção central da viga. '₁ A distribuição dos momentos flectores é triangular e simétrica em relação à secção média:

x P x M 2 ' ) ( '₁ =− 1 ) 2 0 ( ≤x≤ l ) ( 2 ' ) ( '₁ x P1 l x M =− − ) 2 (l ≤x≤l C ´ 1 M 1 ' P ( ) 2 ' '1 _A 1 P R =− A B x ( ) 2 ' '1 _B 1 P R =− 4 '1l P −

Quando se sobrepõe este carregamento fictício P ao carregamento real, a '₁ distribuição global dos momentos flectores é dada pela soma das distribuições associadas a cada um desses carregamentos, isto é:

/2 0 para , 2 2 ) ' ( 2 ' 2 2 ) ( ' ) ( ) ( ' 2 o 1 o 1 2 o o 1 l x x q x P l q x P x q lx q x M x M x M ≤ ≤ − − = −         − = + = l x l l P x q x P l q l P x P x q lx q x M x M x M ≤ ≤ − − + = − +         − = + = /2 para , 2 ' 2 2 ) ' ( 2 ' 2 ' 2 2 ) ( ' ) ( ) ( ' 1 2 o 1 o 1 1 2 o o 1

Neste caso particular, porque existe simetria da solicitação combinada relativamente à secção média, pode escrever-se:

∫

∫

= = 2 / 0 2 0 2 1 2 ' 2 2 ' ' l l dx EI M dx EI M U

Donde, substituindo a expressão a expressão supra do momento flector M' x( ), para 0≤x≤l/2:

[

]

        + − = − − =

_∫

60 ' 96 5 ' 24 4 1 ) ' ( 4 1 ' 5 2 o 1 4 o 2 1 3 2 / 0 2 2 o 1 o 1 l q P l q P l EI dx x q x P l q EI U l

Agora, derivando em ordem à carga fictícia P , obtém-se: '₁

        − = ∂ ∂ 96 5 12 ' 4 1 ' ' 3 _{1 o} 4 1 1 l P q l EI P U

Finalmente, o valor do deslocamento em A obtém-se fazendo P'₁=0:

EI l q 384 5 _o 4 C=− δ

Para calcular as rotações das secções extremas A e B, imagina-se que aí são aplicadas, em separado, momentos fictícios M e '₂ M . Atendendo a que há '₃

simetria relativamente à secção central, basta determinar a rotação em numa das secções extremas, que a rotação da outra será igual e de sinal contrário. Tomando a secção A, por exemplo, considere-se um momento fictício M no '₂ sentido directo, conforme ilustrado no esquema representado na figura abaixo.

A distribuição dos momentos flectores é triangular e simétrica em relação à secção média:

      − × − = l x M x M'₂( ) '₂ 1

Quando se sobrepõe este carregamento fictício

M

'

₂ ao carregamento real, a distribuição global dos momentos flectores é dada pela soma das distribuições associadas a cada um desses carregamentos, isto é:

      − −         − = + = l x M M x q lx q x M x M x M ₂ 2 2 o o 2 ' ' 2 2 ) ( ' ) ( ) ´(

Donde a energia elástica de deformação associada:

dx M x l M l M q x l M M q l q x l M q l q x q EI dx EI M U l l     −         − −         − + +             + − = =

_∫

_∫

´2 2 ´2 2 2 o 2 2 2 2 o 2 2 o 0 3 2 o 2 o 4 2 o 0 2 2 2 ' ´ ' 2 4 ' 2 4 2 1 2 ´ ' ou seja:         − + = 3 ' 12 ' 5 120 2 1 ' 2 2 3 2 o 5 2 o 2 l M l M q l q EI U

Agora, derivando em ordem à carga fictícia M , obtém-se: '₂

        − − = ∂ ∂ 12 5 3 ' 2 2 1 ' ' _{2 o} 3 2 2 M l q l EI M U

Finalmente, o valor da rotação em A obtém-se fazendo M'₂=0, isto é:

EI l q 24 5 _o 3 A=− θ ´ 2 M       − × − = l x M x M´2( ) ´2 1 x ´ 2 M A B

( )

l M R2 _A 2 ' ' =+

( )

l M R'_{2 B}=− '2 l

E, por razões de simetria, a rotação da secção B é igual e de sinal contrário à da secção A, isto é: EI l q 24 5 _o 3 B=+ θ PROBLEMA – 6.2.4.

Considere uma viga (E, I) com 6,5m de comprimento, simplesmente apoiada em

dois pontos e solicitada da forma indicada na figura a seguir:

a)- Calcule as reacções nos apoios.

b)- Determine os diagramas dos momentos flectores e dos esforços transversos

ao longo do eixo da viga.

c)- Determine, usando o método de integração da elástica, os valores da flecha

na extremidade A e da rotação no apoio D.

d)- Reconsidere o cálculo do deslocamento em A, aplicando agora o Teorema de Castigliano.

RESOLUÇÃO:

a)-Cálculo das Reacções nos Apoio

A condição de equilíbrio relativa ao vector principal escreve-se:

∑

F=0 ou seja: 0 4 2 D B+R − − = R (a)

e a condição de equilíbrio relativa aos momentos (em B, por exemplo):

∑

M_B=0 ton 2 1ton /m A B C D m 5 , 1 2m 4m ton 2 A B C D m 5 , 1 4m 2m ton 4 D R

ou seja: 0 6 4 4 5 , 1 2× − × + ×R_D= (b)

donde, resolvendo as equações (a) e (b): ton

R_B=3,83 e R_D =2,17ton

b)- Diagramas dos Esforços Transversos e dos Momentos

(i)-Entre as secções A e B, isto é para 0 ≤ x ≤ 1,5m, tem-se:

( )

ton

V_(i)=+2 (c)

(

ton m

)

x

M_(i)=−2 × (d)

(ii)-Entre as secções B e C, isto é para 1,5m < x ≤ 3,5m, tem-se:

83 , 3 2 ) (ii = − V isto é: ton V_(ii)=−1,83 (e) e ) 5 , 1 ( 83 , 3 2 ) ( =− x+ x− M _ii isto é: ) ( 745 , 5 83 , 1 ) ( x ton m M _ii = − × (f)

(iii)-Entre as secções C e D, isto é para 3,5m < x ≤ 7,5m, tem-se:

) 5 , 3 ( 1 83 , 1 ) ( =− + × x− V_iii isto é: ) ( 33 , 5 ) ( x ton V_iii = − (g) e 2 ) 5 , 3 ( 1 745 , 5 83 , 1 2 ) ( − × − − = x x M _iii isto é: ) ( 87 , 11 33 , 5 5 , 0 2 ) ( x x ton m M _iii =− + − × (h)

Então, os correspondentes diagramas V e M são conforme representados nas figuras a seguir:

c)-Cálculo da flecha em A e da rotação em D

Utilizando o método da integração da elástica, considere-se a viga dividida em três segmentos distintos (i)-AB, (ii)-BC e (iii)-CD.

Integrando a equação diferencial da elástica no segmento (i)-AB, obtém-se, sucessivamente: EI x EI x M dx y d (i)( ) 2 2 2 − = =

(

2 1

)

) ( 1 C x EI dx dy i = = − + θ         + + − = 1 2 3 ) ( 3 1 C x C x EI y_i (a) No segmento (ii)-BC: EI x EI x M dx y d (ii)( ) 1,83 5,745 2 2 ₋ = =       + − = = 2 3 ) ( 5,745 2 83 , 1 1 C x x EI dx dy ii θ       + + − = 3 4 2 3 ) ( 2 745 , 5 6 83 , 1 1 C x C x x EI y_ii V x 2 A=+ V A B C D 2 ) ( B =+ − V 83 , 1 ) ( B =− + V 17 , 2 D=+ V 83 , 1 C=− V M x A B C D 6 B=− M 33 , 2 + = max M 66 , 0 C=+ M

E, finalmente, no segmento (iii)-CD: EI x x EI x M dx y d (iii)( ) 0,5 2 5,33 11,875 2 2 _{− + −} = =       + − + − = = 5 2 3 ) ( 11,875 2 33 , 5 3 5 , 0 1 C x x x EI dx dy iii θ (b)       + + − × + − = 5 6 2 3 4 ) ( 2 875 , 11 3 2 33 , 5 12 5 , 0 1 C x C x x x EI y_iii

Impondo agora as condições fronteira nos apoios e as condições de continuidade entre segmentos adjacentes:

( )

0 B ) (i = y : 0 5 , 1 3 5 , 1 2 1 3 = + × + − C C

( )

0 B ) (ii = y : 0 5 , 1 5 , 1 2 745 , 5 5 , 1 6 83 , 1 4 3 2 3_{− + × + =} × C C

( ) ( )

θ(i)_B=θ(ii) _B: 3 2 1 2 _{1,5 5,745 1,5} 2 83 , 1 5 , 1 +C = × − × +C −

( ) ( )

y(ii) _C= y(iii)_C: 4 3 2 3 _{3,5 3,5} 2 745 , 5 5 , 3 6 83 , 1 C C + + × − × = 4 3 2 _{5 6} 5 , 3 5 , 3 2 875 , 11 5 , 3 3 2 33 , 5 5 , 3 12 5 , 0 C C + + × − × × + × −

( ) ( )

θ(ii) C= θ(iii)C: 3 2 _{5,745 3,5} 5 , 3 2 83 , 1 C + × − × = 3 _3,52 _{11,875 3,5 5} 2 33 , 5 5 , 3 3 5 , 0 C + × − × + × −

( )

0 D ) (iii = y : 0 5 , 7 5 , 7 2 875 , 11 5 , 7 3 2 33 , 5 5 , 7 12 5 , 0 6 5 2 3 4 _{× − × + + =} × + × − C C

Isto é, obtém-se o seguinte sistema de equações lineares nas constantes C1, C2,

          + = + − = − − = − − + + − = − + = + + + = + 055 , 91 5 , 7 163 , 7 788 , 18 5 , 3 5 , 3 309 , 4 434 , 5 5 , 1 125 , 1 5 , 1 6 5 5 3 6 5 4 3 3 1 4 3 2 1 C C C C C C C C C C C C C C cuja solução é: 394 , 10 527 , 13 111 , 4 364 , 6 957 , 1 055 , 2 6 5 4 3 2 1 − = + = − = + = − = + = C C C C C C

e a deflexão em A e a rotação em D obtêm-se agora por substituição nas expressões (a) e (b) supra: EI EI y 2,055 0 1,957 1,96 3 0 1 3 A =−       − × + − = e ) ( 058 , 4 527 , 13 5 , 7 875 , 11 5 , 7 2 33 , 5 5 , 7 3 5 , 0 1 3 2 D rad EI EI dx dy ₌       + × − × + × − = = θ

c)- Aplicação do Teorema de Castigliano

A energia elástica de deformação na viga é dada pela expressão geral seguinte:

∫

= l dx EI M U 0 2 2

De acordo com o Teorema se Castigliano, o deslocamento do ponto A, na direcção e sentido da força P aí aplicada, é dado pela derivada da energia elástica de deformação relativamente a P, isto é:

∫

∂_∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = l A dx P M M EI P M M U P U 0 1 δ

Desdobrando para os diferentes segmentos da viga e explicitando em termos da força P, obtém-se: 333 , 1 25 , 1 B= P+ R e R_D=2,667−0,25P donde:

(

)(

)

(

)

(

)

    − + − − + − +     − + − − + − − =

∫

∫

∫

75 5 , 3 2 5 , 3 5 , 1 5 , 1 0 ) 5 , 1 ( 25 , 1 87 , 11 33 , 5 5 , 0 ) 5 , 1 ( 25 , 1 745 , 5 83 , 1 ) ( 2 1 dx x x x x dx x x x dx x x EI A δ

(

)

(

)

    + − + − +     + − + =

∫

∫

∫

75 5 , 3 2 3 5 , 3 5 , 1 2 5 , 1 0 2 25625 , 22 9613 , 12 27 , 2 125 , 0 772 , 10 8675 , 4 4575 , 0 2 1 dx x x x dx x x dx x EI ou seja: EI x x x x x x x x EI 96 , 1 256 , 22 2 961 , 12 3 27 , 2 4 0,125 772 , 10 2 8675 , 4 3 4575 , 0 3 2 1 5 , 7 5 , 3 2 3 4 5 , 3 5 , 1 2 3 5 , 1 0 3 A =             + − + − +             + − +         = δ

O sinal aqui é positivo, uma vez que o Teorema de Castigliano dá o deslocamento no sentido da força, que, no caso vertente, é de cima para baixo.

PROBLEMA – 6.2.4.

Considere uma viga (E=200 GPa, υ=0.3) de secção em T, com as dimensões indicadas na figura a seguir, carregada de acordo com o esquema apresentado na figura a seguir. m 1 1m 1m A B C D kN 10 kN 20 m kN / 10 100 100 mm 220 10 10 P

a)- Calcule as reacções nos apoios.

b)- Determine os diagramas dos momentos flectores e dos esforços transversos

ao longo do eixo da viga.

c)- Identifique as posições onde ocorrem as tensões máximas de flexão e de

corte (devido ao esforço transverso), e determine os respectivos valores.

d)- Determine os valores da flecha na extremidade D e da rotação no apoio C.

RESOLUÇÃO:

a)-Cálculo das Reacções nos Apoios

As reacções nos apoios obtêm-se através do processo habitual, Considerando o diagrama de corpo livre e estabelecendo as condições de equilíbrio estático do sistema de todas as forças externas, incluindo as reacções nos apoios A e C:

Tomando momentos em A, por exemplo, a condição de equilíbrio das forças exteriores implica que seja

∑

M_A=0, isto é:

0 10 3 20 2 20 1 2R_C− × − × − × =

onde Q = −20 kN é a resultante equivalente à distribuição uniforme q(x)= −10kN/m. Donde:

kN R_C=45

Por outro lado, a mesma condição de equilíbrio exige que seja também

∑

F =0, isto é: 0 10 20 20 C A+R − − − = R donde: kN R_A=5 y x A B C D kN P_D =10 kN P_B=−20 m kN q=10 / kN 20 Q=− C R A R m 1 1m 1m ) (i (ii) (iii)

b)- Diagramas dos Esforços Transversos e dos Momentos

(i)-Entre as secções A e B, isto é para 0 ≤ x ≤ 1, tem-se: 5 ) (i =− V (a) x M_(i)=5 (b)

(ii)-Entre as secções B e C, isto é para 1 < x ≤ 2, tem-se: ) 1 ( 10 20 5 ) ( =− + + x− V_ii isto é: 5 10 ) ( = x+ V_ii (c) e 2 ) 1 ( 10 ) 1 ( 20 5 2 ) ( − − − − = x x x M _ii isto é: 15 5 5 2 ) ( =− x − x+ M _ii (d)

(iii)-Entre as secções C e D, isto é para 2 < x ≤ 3, tem-se: 45 ) 1 ( 10 20 5 ) ( =− + + x− − V_iii isto é: 40 10 ) ( = x− V_iii (e) e 2) -45( 2 ) 1 ( 10 ) 1 ( 20 5 2 ) ( x x x x M _iii = − − − − + isto é: 75 40 5 2 ) ( =− x + x− M _iii (f)

Os correspondentes diagramas V e M são, portanto, conforme representado nas figuras a seguir:

c)-Cálculo das Tensões Máximas de Flexão e de Corte

O momento flector máximo ocorre na secção C, isto é:

M = −15 kNxm

O esforço transverso máximo ocorre também nessa mesma secção C, do lado esquerdo, isto é:

V = +25 kN

A tensão de flexão correspondente é dada por:

I

My

=

σ

No caso vertente, tem-se uma secção em forma de T, cujo centro de gravidade se pode obter tomando os momentos estáticos em relação ao lado extremo superior, isto é:

115 10 (210 ₁ × × 210 + 5 × 10 × 200 = 10) × 200 + 10 × d A B C D M x 0 A = M 5 B=+ M 15 C=− M 0 D= M V x 5 A=− V A B C D 5 ) ( B =− − V 15 ) ( B =+ + V 25 ) ( C =+ − V 20 ) ( C =− + V 10 D=− V 200 10 210 10 1 2 G 1 d 2 d

Donde:

d1= 61 mm e d2= 159 mm

Calcule-se, agora, o momento de Inércia I da secção:

I = I1+I2

(

) (

)

2 6 4 3 1 0.2 0.01 0.061 0.005 6.3 10 12 ) 01 . 0 2 . 0 ( m I = × + × × − = × −

(

) (

)

2 6 4 3 2 0.21 0.01 0.115 0.061 12.8 10 12 ) 21 . 0 01 . 0 ( m I = × + × × − = × − Donde: I = 19.1x10-6 m4 E então, tendo em conta que ymax=0.159m:

MPa max 124.9 10 1 . 19 159 . 0 10 15 6 3 = × × = ₋ x σ

Quanto à tensão de corte, tem-se:

eI VS

=

τ

Ora, na alma da secção, tem-se:

(

) (

)

(

0.051

)

0.01

(

0.051

)

/2 005 . 0 061 . 0 2 . 0 01 . 0 y y S + × × − + − × × = Isto é: 2 3 6 _{5 10} 10 125 y S = × − − × − 0 0 ⇒ = = y dy dS E, portanto: 3 6 10 125 m S_max= × − Donde: 6 6 3 10 1 . 19 010 . 0 10 125 10 25 − − × × × × × = max τ (Vmax=25kN) y G

ou seja:

MPa max=16,4 τ

d)-Cálculo da flecha em D e da rotação em C

Utilizando o método da viga conjugada, por exemplo, considere-se a viga conjugada solicitada por uma distribuição de carga proporcional ao momento flector na viga real:

EI x M x

q_c( )= ( )

Para determinar as reacções nos apoios da viga conjugada, são previamente calculadas as resultantes das distribuições contínuas em cada um dos troços AB (i), BC (ii) e CD (iii):

( )

EI dx EI x Q_{c i} 2 10 5 10 5 3 1 0 3 _× = × =

_∫

( )

0.67 2 5 5 1 0 ₌ =

∫

EI xdx EI x x_{G i}

( )

(

)

EI dx x x EI Q_{c ii} 6 10 25 3 10 5 2 3 1 2 3 _× − = − + × − =

_∫

( )

(

)

1.9 6 25 3 5 2 1 2 = − + =

∫

EI xdx x x EI x_{G ii} EI x qc 3 10 5× =

(

3

)

10 5 3 ₂ − + × − = x x EI qc

(

)

15 8 10 5 3 ₂ + − × − = x x EI q_c A B C D x

( )

(

)

EI dx x x EI Q_{c iii} 3 10 20 15 8 10 5 3 3 2 2 3 _× − = + − × − =

_∫

( )

(

)

2.31 3 20 15 8 5 3 2 2 = + − =

∫

EI xdx x x EI x_{G iii}

Agora, da condição de que o momento flector na rótula C deve ser nulo, resulta a seguinte equação:

( )

R_{c A}×2+

( )

Q_{c i}×

(

2−

( )

x_{G i}

)

+

( )

Q_{c ii}×

(

2−

( )

x_{G ii}

)

=0 ou seja:

( )

0.1 0 6 10 25 33 . 1 2 10 5 2 3 3 = × × − × × + × EI EI R_{c A} Donde:

( )

EI R_c 3 A 10 45 , 1 × − =

Por outro lado, da condição de equilíbrio vertical das forças exteriores (incluindo as reações em A e D), resulta a seguinte equação:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

R_{c A}+ Q_{c i}+ Q_{c ii}+ Q_{c iii}+ R_{c D}=0 ou seja:

( )

0 3 10 20 6 10 25 2 10 5 10 45 , 1 D 3 3 3 3 = + × − × − × + × − Rc EI EI EI EI

( )

EI Qc _i 2 10 5× 3 =

( )

EI Qc _ii 6 10 25× 3 − = ( ) EI Qc _iii 3 10 20× 3 − = A _B C D D ) (M_c D ) (R_c A ) (Rc 31 , 2 9 , 1 67 , 0 x

Donde:

( )

EI R_c 3 D 10 79 , 9 × =

Finalmente, da condição de equilíbrio dos momentos das forças exteriores (incluindo as reacções em A e D), no ponto D, por exemplo, resulta a seguinte equação:

( )

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( )

(

3

( )

)

( )

0 3 3 3 D G G G A = − − × + − × + − × + × c iii iii c ii ii c i i c c M x Q x Q x Q R ou seja:

( )

0 69 , 0 3 10 20 1 , 1 6 10 25 33 , 2 2 10 5 3 10 45 , 1 D 3 3 3 3 = − × × − × × − × × + × × − c M EI EI EI EI Donde:

( )

EI M_c 3 D 10 71 , 7 × − = Agora, tem-se:

( )

EI M_c 3 D D 10 71 , 7 × − = = δ

ou, atendendo a que, para a viga em questão se tem ) Ν ( 10 × 8 3 = 10 × 1 19 × 109 × =_{200 ,} −6 _, 9 _m2 EI : m 6 D=−2,03×10− δ

Quanto à rotação da secção em C, tem-se:

( )

Vc C

[

(Rc)D (Qc)iii

]

C=− =− + θ ou seja:         _× − × − = EI EI 3 10 20 10 79 , 9 3 3 C θ isto é: rad 6 C=−0,82×10− θ

PROBLEMA – 6.2.5.

Pretende-se construir uma viga de secção em U, de abas iguais, conforme indicado na figura, a partir de chapa de aço (E=200 GPa, υ=0.3) com espessura de 50 mm para as abas e 25 mm para a alma. A viga está apoiada e é carregada de acordo com o esquema apresentado na figura . Considere σadm=140 MPa.

a)- Determine os diagramas dos momentos flectores e dos esforços transversos

ao longo do eixo da viga.

b)- Determine a largura mínima (a) das abas da secção. c)- Determine o centro de torção da secção.

d)- Determine os valores da flecha na extremidade D, bem assim como das rotações nos apoios B e C.

RESOLUÇÃO:

Cálculo das Reacções nos Apoios:

Antes de mais, há que determinar as reacções nos apoios. Considere-se, então, a situação representada na figura a seguir:

m 2 m 1 A B C D kN 20 m kN / 10 m 2 a 2 25 50 a

(i) (ii) (iii)

x ton Q=2 m ton/ 1 ton 2 y B R C R A B C D m 1 2m 2m

Tomando momentos em B, por exemplo, a condição de equilíbrio das forças exteriores implica que seja

∑

M_B=0, isto é:

0 3 2 2 1 2× +R_C× − × =

onde Q = 2ton é a resultante equivalente à distribuição uniforme qo = 1 ton/m.

Donde:

ton R_C =2

Por outro lado, a mesma condição de equilíbrio exige que seja também

∑

F=0, isto é: 0 2 2− = − + C B R R Donde: ton R_B=2

a)-Cálculo dos Diagramas dos V e M

(i)-Entre as secções A e B, isto é para 0 ≤ x ≤ 1, tem-se: 2 ) (i =+ V (a) x M_(i)=−2 (b)

(ii)-Entre as secções B e C, isto é para 1 < x ≤ 3, tem-se: 2 2 ) (ii = − V isto é: 0 ) (ii = V (c) e ) 1 ( 2 2 ) ( =− x+ × x− M_ii isto é: 2 ) (ii =− M (d)

(iii)-Entre as secções C e D, isto é para 3 < x ≤ 5, tem-se: ) 3 ( 1 2 2 2 ) ( = − − + × x− V_iii isto é: 5 ) ( =x− V_ii (e) e

(

3

)

/2 1 ) 3 ( 2 ) 1 ( 2 2 2 ) ( =− x+ × x− + × x− − × x− M_iii