CONTABILOMETRIA
Revisão de Probabilidade e Teorema de Bayes
Os Postulados de Probabilidade
1. As probabilidades são números reais positivos
maiores que zero e menores que 1; simbolicamente, 0 ≤ P(A) ≤ 1 para qualquer evento A.
2. Qualquer espaço amostral tem probabilidade 1, P(Ω) = 1 para qualquer espaço amostral Ω.
3. Se dois eventos são mutuamente excludentes, a probabilidade de ocorrência de um ou do outro é igual à soma de suas probabilidades.
Simbolicamente, P(A U B) = P(A) + P(B) para dois eventos A e B quaisquer mutuamente excludentes.
Propriedade básicas da Probabilidade
1. P (O) = 0 , a probabilidade de ocorrência do
conjunto vazio é nula. O conjunto vazio é também chamado evento impossível.
2. ΣP(Ei) = 1 , a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis é sempre igual a 1.
3. P(Ei) + P(Ei) = 1 , a soma da probabilidade de um evento com a probabilidade de seu evento
Exemplo
• Se A e B são os eventos de o Dr. Paulo estar em seu
consultório às 9 horas da manhã ou de estar no hospital, se P(A) = 0,48 e P(B)=0,27, encontre:
– (a) P (A)
– (b) P (A U B) – (c) P (A ∩ B) – Solução:
• P(A) representa a probabilidade de Dr. Paulo não estar no hospital às 9h, pela terceira propriedade básica, P(A) = 1 – 0,48 = 0,52 • P(AUB) = 0,48 + 0,27 = 0,75, pelo terceiro postulado, pois os
eventos são mutuamente excludentes. Ou seja, a probabilidade de Dr. Paulo estar ou no hospital ou no consultório é de 75%.
• P(A ∩ B) = 0, pois como os eventos são excludentes a intersecção dos mesmos é o conjunto vazio, que tem probabilidade igual a 0.
Regras de Adição
• Generalização do Postulado 3
– k eventos são mutuamente excludentes quando não há dois
quaisquer deles que tenham algum elemento em comum. Nesse caso o terceiro postulado pode ser aplicado repetidamente até que:
Se k eventos são mutuamente excludentes, a probabilidade de ocorrência de qualquer um deles é igual à soma de suas
probabilidades individuais, simbolicamente,
P(A1 U A2 U...U Ak) = P(A1) + P(A2) + ... + P(Ak)
Exemplo
• As probabilidades de uma pessoa que deseja
adquirir um carro novo escolher um Chevrolet, um Ford ou um Honda são 0,17, 0,22 e 0,08,
respectivamente. Supondo que ela compre apenas um carro, qual é a probabilidade de ser de uma
dessas três marcas?
– Solução: como as três possibilidades são mutuamente
excludentes, uma substituição direta dá 0,17 + 0,22 + 0,08 = 0,47.
Regra Geral de Adição
• Até aqui trabalhamos com eventos mutuamente
excludentes, mas como somar probabilidades de eventos que não sejam excludentes?
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Para entendermos o porquê vamos a um exemplo utilizando o diagrama de Venn...
Regra Geral de Adição
• No diagrama abaixo o conjunto I representa a
probabilidade de um recém-formado receber uma proposta de uma indústria e o conjunto B a
probabilidade do mesmo receber uma proposta de um banco. Observe que há uma probabilidade de
que ele receba proposta dos dois, representada pela área de intersecção entre I e B.
I B
0,18
0,12 0,24
Regra Geral de Adição
• Pelo diagrama podemos ver que:– P(I) = 0,18 + 0,12 = 0,30 – P(B) = 0,12 + 0,24 = 0,36
– P(I U B) = 0,12 + 0,18 + 0,24 = 0,54
– Mas se tivéssemos aplicado a regra de adição para eventos excludentes calcularíamos P(I) + P(B) = 0,30 + 0,36 = 0,66 o que estaria errado.
I B
0,18
0,12 0,24
Regra Geral de Adição
• Cont.:– Esse erro resulta de somar duas vezes P(I ∩ B) = 0,12. A correção se faz subtraindo 0,12 de 0,66. Assim, poderíamos escrever, de acordo com a regra geral de adição:
I B
0,18
0,12 0,24
Ω
P(I U B) = P(I) + P(B) – P(I∩B) = 0,30 + 0,36 – 0,12 = 0,54
Exemplo
• As probabilidades de que choverá no Recife num
certo dia de agosto, de que haverá trovoadas nesse dia, e de que choverá e haverá trovoadas nesse dia são de 0,27, 0,24 e 0,15, respectivamente. Qual é a probabilidade de chover e/ou haver trovoadas nesse dia no Recife?
– Solução: Se R denota chuvas e T denota trovoadas, temos P(R) = 0,27, P(T) = 0,24 e P(R ∩ T) = 0,15. Substituindo estes valores na expressão da regra geral de adição obtemos
P(R U T) = P(R) + P(T) - P(R ∩ T) = 0,27 + 0,24 – 0,15
Probabilidade Condicional
• Se quisermos saber a probabilidade de um evento,
sem especificar o espaço amostral, o que fazer?
• É bem possível que encontremos respostas
diferentes, todas corretas.
• Exemplo: qual a probabilidade de um contador
ganhar mais de $200.000/ano dentro dos 10 anos seguintes à formatura?
– Podemos obter uma resposta que se aplique aos contadores que trabalham em empresas, outra diferente para contadores que trabalham para o governo, e ainda outra para os contadores com escritórios próprios.
– Ou seja, a resposta depende da escolha do espaço amostral. – Como a definição do espaço amostral não é óbvia, em geral
costumamos dizer “a probabilidade de A dado Ω”
Probabilidade Condicional
• Suponha que uma pesquisa tenha estudado os serviços
prestados dentro da garantia por 200 lojas de pneus em uma grande cidade. Os resultados foram:
• Selecionando uma loja aleatoriamente quais as probabilidades
de:
– Escolher uma loja especializada numa marca (evento N)
– Escolher uma loja que preste bom serviço dentro da garantia (evento G) – Escolher uma loja especializada numa marca e que preste bom serviço
dentro da garantia (evento N ∩ G) Bom serviço dentro
da garantia (G) Serviço deficiente dentro da garantia Total Lojas especializadas numa marca (N) 64 16 80 Lojas não especializadas 42 78 120 Total 106 94 200
Probabilidade Condicional
– Escolher uma loja especializada numa marca (evento N)
– Escolher uma loja que preste bom serviço dentro da garantia (evento G)
– Escolher uma loja especializada numa marca e que preste bom serviço
dentro da garantia (evento N ∩ G) Bom serviço dentro
da garantia (G) Serviço deficiente dentro da garantia Total Lojas especializadas numa marca (N) 64 16 80 Lojas não especializadas 42 78 120 Total 106 94 200 40 , 0 200 80 ) (N P 53 , 0 200 106 ) (G P 32 , 0 200 64 ) (N G P
Até aqui usamos a definição de
probabilidade s / n
Probabilidade Condicional
– O que acontece se limitarmos a escolha a lojas especializadas
numa marca? Isso reduz o espaço amostral à primeira linha da tabela, e daí a probabilidade de prestar bons serviços dentro da garantia é
– Mas note que:
Bom serviço dentro da garantia (G) Serviço deficiente dentro da garantia Total Lojas especializadas numa marca (N) 64 16 80 Lojas não especializadas 42 78 120 Total 106 94 200 80 , 0 80 64 ) | (G N P ) ( ) ( 200 80 200 64 ) | ( N P G N P N G P
Probabilidade Condicional
• Definição:
Se P(B) é diferente de zero, então a probabilidade de A em relação a B, isto é, a probabilidade de A dado B, é
)
(
)
(
)
|
(
B
P
B
A
P
B
A
P
Exemplo
• Com referência às lojas de pneus, qual a probabilidade de uma
loja que não é especializada numa marca prestar bons serviços sob garantia? Ou seja, qual a probabilidade P(G|N)?
• Mas também poderíamos ter obtido o mesmo resultado
diretamente na segunda linha da tabela, escrevendo:
35 , 0 60 , 0 21 , 0 ) ( ) ( ) | ( 60 , 0 200 120 ) ( 21 , 0 200 42 ) ( N P N G P N G P N P e N G P
35
,
0
120
42
)
|
(
G
N
P
Exemplo
• Numa certa escola de primeiro grau, a probabilidade de um
aluno selecionado aleatoriamente provir de um lar com somente o pai ou a mãe presente é 0,36 e a probabilidade de ele provir de um lar com somente o pai ou a mãe presente e ser um estudante fraco (que geralmente é reprovado) é 0,27. Qual é a
probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente ser um estudante fraco, dado que ele provém de um lar com somente o pai ou a mãe presente?
– Definindo F como um estudante fraco e O um estudante que provém de um lar com somente o pai ou a mãe, temos que P(O)=0,36 e
P(F∩O)=0,27
– Assim a probabilidade de ser um estudante fraco dado que provém de um lar com somente pai ou mãe é denotado por
75 , 0 36 , 0 27 , 0 ) ( ) ( ) | ( O P O F P O F P
Regras de Multiplicação
• Se na expressão da probabilidade condicional multiplicarmos
ambos os lados por P(B), obteremos a fórmula que permite calcular a probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos.
• A regra geral da multiplicação afirma que a probabilidade de
ocorrência de dois eventos é o produto da probabilidade de ocorrência de um deles pela probabilidade condicional da ocorrência do outro, dado que o primeiro ocorreu, está
ocorrendo, ou ocorrerá. Como não interessa qual dos dois eventos designamos por A e qual por B, também podemos escrever:
P(A ∩ B) = P(B) . P(A | B)
Exemplo
• Um júri consiste em 15 pessoas que somente completaram o
Ensino Médio e em 9 pessoas que tiveram alguma educação superior. Se um advogado seleciona ao acaso dois dos
membros do júri para uma arguição, qual é a probabilidade de nenhum dos dois ter tido alguma educação superior?
– Solução: Se A é o evento de a primeira pessoa selecionada não ter tido alguma educação superior, então P(A)=15/24. Também, se B é o evento de a segunda pessoa selecionada não ter tido educação superior, segue que P(B|A)=14/23, já que há somente 14 pessoas sem alguma educação superior dentre as 23 que restam depois de ter sido selecionada uma pessoa sem alguma educação superior. Portanto, a regra geral de multiplicação fornece
38
,
0
276
105
23
14
24
15
)
|
(
)
(
)
(
A
B
P
A
P
B
A
P
Regra Especial de Multiplicação Eventos Independentes
• Dois eventos são independentes quando a
probabilidade de ocorrência de um não afeta a probabilidade de ocorrência de outro.
• Na linguagem de probabilidade podemos escrever:
– P (A | B) = P (A), ou seja, o fato de B ter ocorrido não altera a probabilidade de A ocorrer
– P (B | A) = P (B), ou seja, o fato de A ter ocorrido não altera a probabilidade de B ocorrer
• A regra de multiplicação anteriormente definida fica:
P(A ∩ B) = P(B) . P(A | B) = P(B) . P(A) P(A ∩ B) = P(A) . P(B | A) = P(A) . P(B)
Exemplo
• Foram pesquisados 300 domicílios que compraram aparelhos de TV, foi
perguntado se estavam satisfeitos com a compra. A tabela abaixo, classifica de forma cruzada, a satisfação e se o aparelho tem tela de plasma ou não. Verifique se estar satisfeito com a compra e o tipo de aparelho de TV comprado são
estatisticamente independentes.
• Logo, estar satisfeito com a compra e o tipo de aparelho comprado são eventos estatisticamente independentes. O conhecimento de um dos eventos não afeta a probabilidade do outro evento.
Satisfeito com a compra? Tipo de Aparelho Sim Não Total De tela de plasma 64 16 80
Sem tela de plasma 176 44 220
Total 240 60 300 80 , 0 300 240 o) (Satisfeit a igual é que 80 , 0 80/300 64/300 plasma) de Tela | Satisfeito ( P P
Exemplo
• Se for de 0,70 a probabilidade de uma pessoa
entrevistada em um shopping ser contra o aumento de impostos para o financiamento da saúde, qual é a probabilidade de entrevistar quatro pessoas no
shopping e as três primeiras serem contra o
aumento de impostos, mas a quarta não ser contra?
– Solução: Admitindo que o fato de uma pessoa ser contra
independe do fato da outra ser ou não contra, ou seja, admitindo a independência dos eventos, multiplicamos todas as
probabilidades e obtemos:
Teorema de Bayes
• É utilizado para rever probabilidades anteriormente
calculadas com base em novas informações.
• Desenvolvido por Thomas Bayes no século 18, o
teorema de Bayes é uma extensão do que
aprendemos anteriormente sobre probabilidade condicional.
P(A ∩ B) = P(B) . P(A | B) P(A ∩ B) = P(A) . P(B | A) P(A) . P(B | A) = P(B) . P(A | B)
P(B | A) = P(B) . P(A | B)
Exemplo
• Em um estado onde os carros são submetidos a
testes quanto à emissão de gases:
– P(A) = ? = prob. do automóvel ser reprovado no teste – P(B) = 0,25 = prob. de emitir gases em excesso
– P(A | B) = 0,99 = prob. de ser reprovado dado que emite gases em excesso
– P(A | B’) = 0,17 = prob. de ser reprovado dado que não emite gases em excesso
– P(B | A) = ? = qual a prob. de dado que foi reprovado ele emitir gases em excesso?
P(B | A) = P(B) . P(A | B)
P(A)
Exemplo
A ocorre de duas formas, quando B ocorre ou quando B’ ocorre.
B B’ P(A | B) = 0,99 P(A | B’) = 0,17 A A P(B) . P(A | B) = (0,25)(0,99) = 0,2475 P(B’) . P(A | B’) = (0,75)(0,17) = 0,1275
Como as duas formas como A pode ocorrer são mutuamente excludentes a probabilidade de A é a soma das duas
probabilidades calculadas P(A) = 0,2475 + 0,1275 = 0,3750
E a probabilidade que procurávamos é:
66 , 0 ) 3750 , 0 ( ) 99 , 0 )( 25 , 0 ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( A P B A P B P A B P
Generalizando...
• ... para o caso em que há mais de duas “causas”
possíveis para o evento A, ou seja, mais de dois ramos conduzindo ao evento A.
• Podemos dizer que P(Bi | A) é a probabilidade de o
evento A ter sido alcançado através do i-ésimo ramo da árvore (com i = 1, 2, ..., k) e pode ser mostrado
que essa probabilidade é igual à razão da
probabilidade associada ao i-ésimo ramo pela soma das probabilidades associadas com todos os k
ramos que alcançam A.
Teorema de Bayes
. , , 2 , 1 para ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( então ocorrer, deve um quais dos s excludente mutuamente eventos são , , , Se 2 2 1 1 2 1 k i B A P B P B A P B P B A P B P B A P B P A B P B B B k k i i i k Veja que o denominador nada mais é que P(A), quando A é alcançado através de vários
Diagrama de árvore para o Teorema de Bayes
B1 Bk P(A | B1) P(A | Bk) A A P(B1) . P(A | B1) B2 P(A | B2) P(B2) . P(A | B2) P(Bk) . P(A | Bk) etc. etc.Exemplo
• Numa fábrica de enlatados, as linhas de produção I, II e III
respondem por 50, 30 e 20% da produção total. Se 0,4% das latas da linha I são lacradas inadequadamente e as
percentagens correspondentes às linhas II e III são de 0,6% e 1,2%, respectivamente, qual é a probabilidade de uma lata lacrada impropriamente (e descoberta na inspeção final de produtos prontos) provir da linha de produção I?
– Vamos nomear os eventos A = lata ser lacrada impropriamente; B1, B2 e B3 uma lata provir das linhas I, II e III.
– As probabilidades fornecidas
• P(B1) = 0,50; P(B2) = 0,30 e P(B3) = 0,20
• P(A | B1) = 0,004; P(A |B2) = 0,006 e P(A | B3) = 0,012
– A probabilidade procurada
