Notas de aula – 2° ano – Função Exponencial

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Hewlett-Packard

FUNÇÃO

EXPONENCIAL

Aulas 01 a 06

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Sumário

Equação Exponencial ... 1

Exemplo 1 ... 1

Método da redução à base comum ... 1

Exemplo 2 ... 1

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 1

Equação Exponencial ... 1

Resolução por artifícios ... 1

1º artifício – o primeiro artifício consiste em colocarmos o termo comum, com incógnita, em evidência. ... 1

Exemplo 1 ... 1

Exemplo 2 ... 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 2

O CONCEITO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL ... 2

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ... 2

O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL ... 3

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ... 4

Gráficos com Translação ... 4

Gráficos com reflexão ... 4

CASO GERAL ... 5 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 5 Conjunto-Imagem ... 5 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 5 PROBLEMAS ... 5 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 5 INEQUAÇÃO EXPONENCIAL... 6 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ... 7 CAIU NO VEST ... 7 Questões extras ... 7 GABARITO ... 9 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 9 CAIU NO VEST ... 9 QUESTÕES EXTRAS ... 9

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Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1

AULA 01

Equação Exponencial

Uma equação exponencial é aquela cuja incógnita aparece no expoente. Exemplo 1 • 2𝑥_{= 4} • (√3)𝑥 = 9 • 2𝑥_{+ 𝜋 = 3} • 5𝑥2 _{= 7}

Avaliando a primeira equação do exemplo acima, observamos que

2𝑥 _{= 4 ⟺ 2}𝑥_{= 2}2_{⟺ 𝑥 = 2}

Assim, vemos que é possível resolvermos essas equações. No entanto, veremos a seguir que há técnicas de resolução distintas para cada tipo de equação exponencial.

Método da redução à base comum

Um dos métodos para resolver equações exponenciais consiste em reduzir, quando possível, ambos os membros da igualdade a uma mesma base e utilizar a seguinte propriedade: 𝑎𝑥_{= 𝑎}𝑦_{⟺ 𝑥 = 𝑦 (𝑎 ∈ ℝ} + ∗_{𝑒 𝑎 ≠ 1)} Exemplo 2 (1 3) 𝑥 = 9 ⟺ (3−1₎𝑥_{= 3}2_{⟺ 3}−𝑥_{= 3}2_{⟺ 𝑥 = −2}

Obs.1: Com o presente conhecimento, nem sempre

conseguimos igualar as bases.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

1.1. Resolva, em ℝ, as equações: a) 2𝑥_{= 128} b) (√23 )𝑥 = 128 c) 3𝑥= 1 d) 1252𝑥−1= 0,04 e) 22𝑥+1∙ 4(3𝑥+1)= 8𝑥−1 f) 3𝑥2+2𝑥= 243

DESAFIO: Resolva a equação exponencial 3𝑥+ 3−𝑥

3𝑥_{− 3}−𝑥= 2

Obs.2: Lembre-se que 𝑎0= 1, ∀𝑎 ∈ ℝ∗_.

AULA 02

Equação Exponencial

Resolução por artifícios

Nem sempre o processo de igualar as bases é feito de forma direta. Quando houver somas na base da potência, pode-se tornar necessário aplicar um artifício.

1º artifício – o primeiro artifício consiste em colocarmos o termo comum, com incógnita, em evidência.

Exemplo 1

2𝑥+2_{− 3 ∙ 2}𝑥−1_{= 20}

Para utilizar o primeiro artifício, faça o seguinte passo-a-passo:

Base comum

Lembre-se que a propriedade apresentada se aplica apenas aos casos nos quais se é possível reduzir a equação a uma igualdade com apenas duas potências de mesma base, uma de cada lado da igualdade. Note que, no caso a seguir,

2𝑥_{+ 1 = 2}2

não é possível se fazer tal redução.

Uma boa ferramenta para igualar as bases dos membros da equação é fatorar os números em divisores primos. Utilize também as propriedades relacionadas às potências.

TAREFA 1 – Unid. 7, Cap. 25: PSA 1, 2, 4, 6, 7 e 8. Fração

No estudo de equações exponenciais, evitaremos utilizar números na forma decimal. Transforme-os em fração, pois o processo de igualar as bases fica mais fácil nessa forma.

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Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2 1º) Identifique quem é o termo comum e faça-o

aparecer livre em cada parcela. 2𝑥+2− 3 ∙ 2𝑥−1= 20 ⟺ 2𝑥∙ 22− 3 ∙ 2𝑥∙ 2−1= 20

⟺ 4 ∙ 2𝑥−3 2∙ 2

𝑥 _{= 20}

2º) Coloque o termo comum em evidência.

⟺ 2𝑥_{∙ (4 −}3

2) = 20

3º) Isole o termo com incógnita e iguale as bases. Determine o resultado utilizando a propriedade. ⟺ 2𝑥= 8

⟺ 𝑥 = 3

Obs.3: Utilize o primeiro artifício quando a equação

dada apresentar todas as incógnitas como expoentes de números que podem ser reduzidos a uma mesma base. Em geral, há somas e subtrações nos expoentes.

2º artifício – o segundo artifício consiste na criação, e substituição, de uma variável auxiliar.

Exemplo 2

4𝑥− 2𝑥 = 12

Para utilizar o segundo artifício, faça o seguinte passo-a-passo:

1º) Identifique quem é o termo comum (por vezes faz-se necessário fatorar alguma(s) bafaz-se(s)) e faça ele aparecer livre em cada parcela.

4𝑥− 2𝑥 = 12 ⟺ (2𝑥₎2_{− 2}𝑥 _{= 12}

2º) Crie uma variável auxiliar e faça a substituição (𝑦 = 𝑎𝑥).

Tomando 𝑦 = 2𝑥, temos que

𝑦2₋_𝑦_{− 12 = 0}

3º) Resolva a equação na nova incógnita.

𝑦 = 4 ou 𝑦 = −3

4º) Retorne à variável original e determine seu valor. 2𝑥 = 𝑦

⟺ 2𝑥 = 4 𝑜𝑢 2𝑥 = −3 ⟺ 𝑥 = 2

Obs.4: Lembre-se que 𝑎𝑥 é sempre positivo, se 𝑎 > 0 .

Obs.5: Utilize o segundo artifício quando, no processo

para evidenciar a base comum, aparecer potências da mesma base em diferentes graus e com somas entre elas.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

2.1. Resolva, em ℝ, as seguintes equações. a) 5𝑥+3− 5𝑥+2− 11 ∙ 5𝑥 = 89

b) 25𝑥− 23 ∙ 5𝑥 _{= 50}

AULA 03

O CONCEITO DE FUNÇÃO

EXPONENCIAL

Uma função 𝑓: ℝ → ℝ+∗ é denominada função

exponencial de base a se sua lei, 𝑓(𝑥), puder ser

escrita como 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1.

Exemplos:

1) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3) 𝑦 = 𝑔(𝑥) = (1₂)𝑥 2) 𝑦 = ℎ(𝑥) = √3𝑥

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL

3.1. Identifique quais funções a seguir são exemplos de função exponencial. a) 𝑓: ℝ → ℝ ; 𝑓(𝑥) = 7𝑥 b) 𝑔: ℝ → ℝ ; 𝑔(𝑥) = (2𝑥)𝑥 c) ℎ: ℝ → ℝ ; ℎ(𝑥) = (𝑥 − 1)2− 𝑥2 d) 𝑖: ℝ → ℝ ; 𝑖(𝑥) =2𝑥+1₂𝑥−2𝑥 e) 𝑗: ℝ → ℝ ; 𝑗(𝑥) =2𝑥+2₃−2𝑥

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Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 3 3.2. Dada a função 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = 2𝑥, determine

a) 𝑓(2) b) 𝑓(−2) c) 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = 8 d) 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = −4

O GRÁFICO DE UMA

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Vamos começar o estudo do gráfico de uma função exponencial por meio de dois exemplos:

Exemplo 1

Gráfico de 𝒇: ℝ → ℝ 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙.

Para construir o gráfico de f escolhemos alguns valores para x e, em seguida, descobrimos os valores de 𝑦 = 𝑓(𝑥) correspondentes. Veja os pares ordenados obtidos, na tabela a seguir.

x 𝑦 = 𝑓(𝑥) (𝑥; 𝑦) −2 0,25 𝐴(−2; 0,25) −1 0,5 𝐵(−1; 0,5) 0 1 𝐶(0; 1) 1 2 𝐷(1; 2) 2 4 𝐸(2; 4) 3 8 𝐹(3; 8)

Marcando os pontos da última coluna da tabela em um plano cartesiano, podemos construir o seguinte gráfico:

Obs.1: Repare que2𝑥 _{> 0,}_para_{todo 𝑥 ∈ ℝ. Por isso,}

o gráfico de f nunca irá tocar o eixo das abscissas, por mais que ele se aproxime deste. Quando isso ocorre com uma curva, dizemos que ela é assíntótica ao eixo das abscissas.

Exemplo 2

Gráfico de 𝒈: ℝ → ℝ , 𝒄𝒐𝒎 𝒈(𝒙) = (𝟏_𝟐)𝒙.

Para construir o gráfico de g escolhemos alguns valores para x e, em seguida, descobrimos os valores de 𝑦 = 𝑔(𝑥) correspondentes. Veja os pares ordenados obtidos, na tabela a seguir.

x 𝑦 = 𝑔(𝑥) (𝑥; 𝑦) 2 0,25 𝐴(2; 0,25) 1 0,5 𝐵(1; 0,5) 0 1 𝐶(0; 1) −1 2 𝐷(−1; 2) −2 4 𝐸(−2; 4) −3 8 𝐹(−3; 8)

Marcando os pontos da última coluna da tabela em um plano cartesiano, pudemos construir o seguinte gráfico:

De um modo geral, o gráfico de uma função exponencial f, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e

𝑎 ≠ 1, apresentará algumas características. São elas:

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙

𝟎 < 𝑎 < 1 𝒂 > 1

Decrescente Crescente

Passa pelo ponto (0, 1) Passa pelo ponto (0, 1) Acima do eixo das

abscissas

Acima do eixo das abscissas.

I. Todo o gráfico estará contido acima do eixo das abscissas, pois, sendo 𝑎 > 0, temos 𝑎𝑥 _{> 0, para todo 𝑥 ∈ ℝ.}

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Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 4 II. O gráfico sempre passa pelo ponto (0, 1), pois

𝑎0= 1 para todo 𝑥 ∈ ℝ+∗.

III. Se 𝒂 > 1, então o gráfico será crescente e se

𝟎 < 𝑎 < 1, então o gráfico será decrescente.

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL

3.3. Construa, em um sistema de eixos perpendiculares 𝑥𝑂𝑦, o gráfico de cada função exponencial a seguir. a) 𝑓: ℝ → ℝ+∗; 𝑓(𝑥) = 3𝑥 b) 𝑔: ℝ → ℝ+∗; 𝑔(𝑥) = ( 1 3) 𝑥

AULA 04

Gráficos com Translação

Obs.1: Para auxiliar nos estudos dessa parte, você

deve fazer o download do app "geogebra". Ele é um aplicativo gratuito.

Construa, com o auxílio do geogebra, os gráficos das funções a seguir.

a) 𝑓: ℝ → ℝ ; 𝑓(𝑥) = 2𝑥 b) 𝑔: ℝ → ℝ ; 𝑔(𝑥) = 3 + 2𝑥 c) ℎ: ℝ → ℝ ; ℎ(𝑥) = −1 + 2𝑥

Observe que o gráfico da função 𝑔 é o gráfico de 𝑓 transladado três unidades para cima e que o gráfico de ℎ é o gráfico de 𝑓 transladado uma unidade para baixo.

De um modo geral, o gráfico de uma função 𝑓: ℝ → ℝ ; 𝑓(𝑥) = 𝐵 + 𝑎𝑥_{, com 𝑎 ∈ ℝ}

+

∗_{e 𝑎 ≠ 1, será a}

translação do gráfico da função 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 em: • B unidades para cima, se 𝑩 > 0, • |𝑩| unidades para baixo, se 𝑩 < 0.

Nesses casos, a curva da função f será assintótica à reta 𝒚 = 𝑩. Veja exemplo abaixo (𝑩 > 0).

Gráficos com reflexão

Construa, com o auxílio do geogebra, os gráficos das funções a seguir.

a) 𝑓: ℝ → ℝ ; 𝑓(𝑥) = 3 ∙ 2𝑥 b) 𝑔: ℝ → ℝ ; 𝑔(𝑥) = (−3) ∙ 2𝑥

Observe que o gráfico da função 𝑔 é o gráfico de 𝑓 refletido pelo eixo 𝑥.

De um modo geral, o gráfico de uma função 𝑓: ℝ → ℝ ; 𝑓(𝑥) = 𝐶 ∙ 𝑎𝑥, com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1, com 𝑪 <

0, será a reflexão pelo eixo x do gráfico da função 𝑔(𝑥) = |𝐶| ∙ 𝑎𝑥.

Veja o exemplo abaixo.

TAREFA 3 – Unid. 7, Cap. 24: Ler p. de 1 a 5 e fazer os PSA 5 e 6.

Como construir um gráfico no geogebra?

Para construir um gráfico no geogebra siga os seguintes passos:

1. Clique no "campo de entrada"

2. Comece a escrita da função sempre com "y=" 3. Depois do igual digite a função desejada,

lembrando que para escrever potência usa-se o símbolo "^". (por exemplo, para escrever 𝑥3 escreve-se x^3)

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Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 5 Obs.2: Com 𝐶 > 0 a curvatura do gráfico irá se

alterar, porém ele não será refletido.

CASO GERAL

Considere a função 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = 𝐵 + 𝐶𝑎𝑘𝑥, em que 𝑎, 𝐵 e 𝐶 são constantes reais, 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1. Essa função pode ser considerada como um caso geral para funções que envolvem exponencial. O gráfico dessa função é gerado por translações e reflexões do gráfico da função 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

4.1. Utilizando translação e reflexão esboce o gráfico das funções:

a) 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = 2 + 3 ∙ 2𝑥 b) 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = −2 + 2𝑥 c) 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = −2 − 2𝑥

Conjunto-Imagem

O conjunto-imagem da função exponencial 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = 𝐵 + 𝐶 ∙ 𝑎𝑘𝑥 é limitado pelo valor assintótico da função, ou seja, se a função tem como assíntota a reta 𝒚 = 𝑩, então seu conjunto imagem é

• 𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ | 𝑦 > 𝐵} Ou

• 𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ |𝑦 < 𝐵}

Para determinar em qual dos dois casos está a situação, basta observar se o gráfico está ou não refletido.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

4.2. Determine o conjunto-imagem das funções: a) 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = 2 + 3 ∙ 2𝑥

b) 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = −2 + 2𝑥 c) 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = −2 − 2𝑥

4.3. Seja a função 𝑓: ℝ → ℝ, em que 𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏 ∙ 5𝑥, com 𝑎 e 𝑏 constantes reais.

Sabendo que o conjunto-imagem da função 𝑓 é dado por 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ |𝑦 > 3} e que 𝑓(2) = 53 é correto afirmar que

a) 𝑎 + 𝑏 = 4 b) 𝑎 + 𝑏 = 5 c) 𝑎 − 𝑏 = −1 d) 𝑎 − 𝑏 = 0 e) 𝑎 ∙ 𝑏 = 4

AULA 05

PROBLEMAS

Considere o caso geral da função exponencial 𝑓: ℝ → ℝ; 𝑓(𝑥) = 𝐵 + 𝐶𝑎𝑘𝑥. Encontraremos vários problemas que envolvem funções desse tipo para descobrirmos os valores de B, C e k.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

5.1. Um produto tem seu valor dado pela função 𝑃(𝑥) = 500 ∙ 2𝑘𝑥_{, em que x é o tempo em anos}

contados a partir de 2003 (𝑥 = 0), e 𝑃(𝑥) é dado em reais. Dado que em 2005 esse produto valia 1000 reais, calcule o que se pede nos itens abaixo.

a) O valor do produto em 2003. b) O valor do produto em 2007.

c) O ano em que o produto valerá 32000 reais. Fórmula geral e gráfico

Observe que a fórmula geral da função exponencial altera o gráfico da seguinte maneira:

𝑓(𝑥) = 𝐵 + 𝐶 ∙ 𝑎𝑘𝑥 REFLEXÃO TRANSLAÇÃO Resumidamente: • 𝐶 > 0, não reflete. • 𝐶 < 0, reflete (assíntota ).

• 𝐵 > 0, tranlada 𝐵 unidades para cima. • 𝐵 < 0, translada |𝐵| unidades para baixo.

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Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 6 5.2. Para um refrigerador fechado, a sua temperatura

interna segue a lei 𝜃(𝑡) = 𝑘 ∙ (0,8)𝑡, em que 𝑡 é o tempo em minutos, 𝜃 é a temperatura em graus Celsius (° 𝐶) e k é uma constante real. Se após 1 minuto, a temperatura interna é de 20° 𝐶, a temperatura interna após 3 minutos será de

A) 128 °𝐶. B) 1,28 °𝐶. C) 12,8 °𝐶. D) 10,24 °𝐶. E) 102,4 °𝐶.

5.3. Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água, em litros, de certo reservatório é dada pela função 𝑞(𝑡) = 𝑞0∙ 𝑏−𝑘𝑡, em que 𝑏 e 𝑘 são

constantes positivas, 𝑞(𝑡) é a quantidade de água após t semanas e 𝑞0 é a quantidade inicial de água.

Sabe-se que 𝑞0 gramas dessa substância foram

reduzidas a 40% em 10 semanas. A que porcentagem de 𝑞0 ficara reduzida a quantidade de água após 30

semanas: A) 21,6% B) 20% C) 16% D) 10% E) 6,4%

Obs.2: Nem sempre é possível determinar todas as

constantes que aparecem na situação.

5.4. Em um experimento com uma colônia de bactérias, observou-se que havia 5.000 bactérias vinte minutos após o início do experimento e, dez minutos mais tarde, havia 8.500 bactérias. Suponha que a população da colônia cresce exponencialmente, de acordo com a função 𝑃(𝑡) = 𝑃0∙ 𝑒𝑘𝑡, em que 𝑃0 é a

população inicial, 𝑘 é uma constante positiva e 𝑃(𝑡) é a população t minutos após o início do experimento. Calcule o valor de 𝑃0/100, desprezando a parte

fracionária de seu resultado, caso exista.

Obs.3: A constante 𝑒 é um número irracional também

conhecido como “número de Euler”.

AULA 06

INEQUAÇÃO

EXPONENCIAL

Antes de entrarmos no estudo de inequações exponenciais vamos fazer uma análise que é válida para qualquer função.

Considere uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Vamos avaliar o seu comportamento quanto ao crescimento/decrescimento

• Se f é crescente em todo seu domínio, então para dois valores, 𝑥1 e 𝑥2, pertencentes a 𝐴,

temos que

𝒙

_𝟏

< 𝒙

_𝟐

⇔ 𝒇(𝒙

_𝟏

) < 𝑓(𝒙

_𝟐

)

Determinação das constantes

Em grande parte dos problemas que envolvem função exponencial é solicitado (ou é necessário) que se encontre os valores das constantes. Um dos principais métodos para se determinar constantes é substituir valores numéricos. Estes podem ser encontrados

• No enunciado • Em gráficos • Em tabelas

Lembre-se que valores numéricos são objetos do tipo 𝑓(2) = 3, por exemplo.

TAREFA 5 – Unid. 7, Cap. 24: PSA 7 a 11

(9)

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 7 • Se f é decrescente em todo seu domínio,

então para dois valores, 𝑥1 e 𝑥2, pertencentes

a A, temos que

𝒙

_𝟐

< 𝒙

_𝟏

⇔ 𝒇(𝒙

_𝟐

) > 𝑓(𝒙

_𝟏

)

No estudo das funções exponenciais dividimos as funções em dois casos de acordo com sua base real a.

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙

𝟎 < 𝑎 < 1 𝒂 > 1

Decrescente Crescente

Assim podemos concluir que • Se 𝒂 > 1, então

𝒂

𝒙𝟏

_{< 𝒂}

𝒙𝟐

_{⇔ 𝒙}

𝟏

< 𝒙

𝟐 • Se 𝟎 < 𝑎 < 1, então

𝒂

𝒙𝟏

_{< 𝒂}

𝒙𝟐

_{⇔ 𝒙}

𝟏

> 𝒙

𝟐

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL

6.1. Resolva, em ℝ, as inequações a seguir.

a) 2𝑥 > 8 b) 9𝑥 < 27 c) 0,2𝑥 < 1 125 d) 3 ∙ 7𝑥> 147 e) 2𝑥+2− 2𝑥+1+ 2𝑥 > 96 f) 32𝑥− 10 ∙ 3𝑥 > −9

EXTRA

CAIU NO VEST

1. (ITA – 2013) A soma de todos os números reais x que satisfazem a equação 8√𝑥+1+ 44 ∙ 2√𝑥+1_{+ 64 =}

19 ∙ 4√ 𝑥+1_{. É igual a:}

a) 8. b) 12. c) 16. d) 18. e) 20.

Questões extras

1) A soma das raízes da equação ₁₀₀₀₀₀1 ⋅ 10𝑥 = √10−6 𝑥 é igual a (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. (E) 5.

TAREFA 6 – Unid. 7, Cap. 26: Ler páginas de 1 a 5 e fazer os PSA 1(a,b), 2(a,b,c,d), 3(1,4,6), 4, 5, 9, 13 e 17.

Como resolver inequações exponenciais

O seguinte passo-a-passo facilita a resolução de inequações exponenciais:

1º) Reduza ambos os membros a uma base comum 2º) Avalie o valor da base (maior ou menor que 𝟏) 3º) Aplique a respectiva definição feita acima.

Note que para reduzir ambos os membros a uma base comum, pode ser necessário fazer uso dos artifícios.

(10)

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 8 2) A raiz real da equação 3𝑥−1+ 3𝑥+1_{+ 3}𝑥 _{= 351 é}

(A) Um divisor de 3. (B) Um múltiplo de 2. (C) O inverso de 13. (D) Igual a 15.

(E) Um número primo maior do que 3.

3) Se a equação 25𝑥+125₆ = 5𝑥+1_{admite como}

soluções os números reais 𝑎 e 𝑏, então 𝑎𝑏 pode ser igual a (A) 1. (B) 3. (C) 6. (D) 8. (E) 9. 4) O conjunto-solução, em ℝ, da equação 5𝑥= 0,04, é igual a a) {2}. b) {−2}. c) {25}. d) {−25}. e) ∅. 5) O conjunto-solução, em ℝ, da equação 22𝑥 = 12 + 2𝑥_{, possui}

(A) Dois números reais opostos.

(B) Dois números reais cuja soma é igual a um. (C) Um único número real cujo valor é maior que

dois.

(D) Um único número real cujo valor é igual a dois.

(E) Um número negativo.

6) Em uma experiência observou-se que uma substância se desintegra com o passar dos anos. Sua massa 𝑀, existente após 𝑘 anos do início da experiência, é dada por 𝑀 = 𝑀0⋅ (2,5)−

𝑘 1000, em

que 𝑀0 representa uma massa inicial. Decorridos

1000 anos após o início da experiência, a porcentagem de massa existente, em relação à quantidade 𝑀0 é igual a (A) 20%. (B) 30%. (C) 40%. (D) 50%. (E) 60%.

7) A massa de uma população de bactérias, ao final de 𝑡 minutos, é dada pela lei 𝑓(𝑡) = 𝐶 ⋅ 4𝑘𝑡. Sabendo que ao final de 1 minuto a massa dessa população era 64 e que ao final de 3 minutos a massa dessa mesma população era 256, calcule a

massa dessa população de bactérias ao final de 90 segundos.

8) O gráfico a seguir é uma representação cartesiana do gráfico da função 𝑓: ℝ → ℝ, em que 𝑓(𝑥) = 𝑏 + 𝑎𝑥, com 𝑎, 𝑏 ℝ e 𝑎 > 0.

Dado que 1 é raiz de 𝑓 e a reta 𝑦 = −2 é uma assíntota de 𝑓, o valor de 𝑎 + 𝑏 é igual a

(A) -2. (B) -1. (C) 0. (D) 1. (E) 2.

9) Resolva as seguintes equações exponenciais: a) 24𝑥+1⋅ 8−𝑥+3₌ 1

16

b) (1₅)3𝑥: 252+𝑥_{= 5}

c) (√10)𝑥⋅ (0,01)4𝑥−1=₁₀₀₀1 10) Resolva os seguintes sistemas:

a) {( 1 2) 𝑥+2𝑦 = 8 (1 3) = 3 𝑥+𝑦 b) {100 𝑥_{⋅ √10}𝑦_{= 10} 0,1𝑥⋅ 0,01𝑦2= 0,01

11) Resolva as seguintes equações a) 5𝑥+3− 5𝑥+2_{− 11 ⋅ 5}𝑥 _{= 89} b) 4𝑥+1+ 4𝑥+2− 4𝑥−1− 4𝑥−2 = 315 c) 2𝑥+ 2𝑥+1+ 2𝑥+2+ 2𝑥+3=15 2 d) 100𝑥− 1 = 9 ⋅ (10𝑥_{+ 1)} e) 4𝑥−1− 33 ⋅ 2𝑥+ 8 = 0

(11)

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 9

CAIU NO VEST

1. D

QUESTÕES EXTRAS

1. E 2. B 3. A 4. B 5. D 6. C 7. 64 2 8. C 9. a)-14 b) -1 c) 2₃ 10. a) (1; −2) b) (0; 2) 11. a) 0 b) 2 c) -1 d) 1 e) 3; -2